第七章 调 制
7.1 如图 P7.1 表示的正弦调制和解调系统.
(a) 若载波的相位 $ \theta_{c} $ 为任意值，证明解调系统中的信号 $ w(t) $ 可表示为
$$ w(t)=\frac{1}{2}x(t)+\frac{1}{2}x(t)\mathrm{c o s}\left(2\omega_{c}t+2\theta_{c}\right) $$
(b) 当 $ |\omega| \geqslant \omega_{M} $ 时， $ x(t) $ 的频谱为零，确定在 W [理想低通滤波器的截止频率]、 $ \omega_{c} $ （载频）和 $ \omega_{M} $ 之间的关系，以便使低通滤波器的输出正比于 $ x(t) $。所得的结果与载波相位 $ \theta_{c} $ 有关吗？解：
(a) 由图 P7.1 可见
$$ y(t)=x(t)\mathrm{c o s}\left(\omega_{e}t+\theta_{e}\right) $$
$$ w(t)=y(t)\mathrm{c o s}\left(\omega_{e}t+\theta_{e}\right)=x(t)\mathrm{c o s}^{2}\left(\omega_{e}t+\theta_{e}\right) $$
由于 $ \cos^{2}\theta=\frac{1}{2}\left[1+\cos2\theta\right] $，所以
$$ \cos^{2}(\omega_{c}t+\theta_{c})=\frac{1}{2}\left[1+\cos\left(2\omega_{c}t+2\theta_{c}\right)\right] $$
代入前一式即得
$$ w(t)=\frac{1}{2}x(t)+\frac{1}{2}x(t)\cos\left(2\omega_{c}t+2\theta_{c}\right) $$
(b) 为说明起见，假设带限信号 x(t) 的频谱如图 P7.1-1(a) 所示。
$ y(t)=x(t)\cos\left(\omega_{c}t+\theta_{c}\right) $ 的傅里叶变换为
$$ Y(\omega)=\frac{1}{2}e^{-i\theta_{c}}X(\omega+\omega_{e})+\frac{1}{2}e^{i\theta_{c}}X(\omega-\omega_{e}) $$
如图 P7.1-1(b) 所示。为防止两边带之间的重叠，必须满足 $ \omega_{c}>\omega_{Mo} $
$ w(t)=\frac{1}{2}x(t)+\frac{1}{2}x(t)\cos(2\omega_{c}+2\theta_{c}) $ 的傅里叶变换为
$$ \begin{aligned}{W(\omega)}&{{}=\frac{1}{2}X(\omega)+\frac{1}{4}e^{-i2\theta_{c}}X(\omega+2\omega_{e})}\\ {}&{{}\quad+\frac{1}{4}e^{i2\theta_{c}}X(\omega-2\omega_{c})}\\ \end{aligned} $$
如图 P7.1-1(c) 所示。显然，为使系统的输出与 $ x(t) $ 成比例，由图可见低通滤波器的截止频率应具有
$$ \omega_{M}\leqslant W\leqslant2\omega_{c}-\omega_{M} $$
本解答与 $ \theta_{0} $无关.
7.2 若在图 P7.2-1 的系统中输入信号 x(t) 的傅里叶变换 $ X(\omega) $ 如图 P7.2-2 所示。确定并画出 y(t) 的频谱 $ Y(\omega) $。
解：
信号 $ x(t) $ 经第一个调制器后输出频谱为
$$ \frac{1}{2}X(\omega+5W)+\frac{1}{2}X(\omega-5W) $$
如图 P7.2-3(a) 所示.
经带通滤波器后输出为
$$ \frac{1}{2}X(\omega+5W)U(\omega+5W)+\frac{1}{2}X(\omega-5W)U[-(\omega-5W)] $$
如图 P7.2-3(b) 所示
经第二个调制器后的输出为
$$ \begin{aligned}{\frac{1}{4}X}&{{}(\omega+8W)U(\omega+8W)+\frac{1}{4}X(\omega+2W)U(\omega+2W)}\\ {}&{{}+\frac{1}{4}X(\omega-8W)U[-(\omega-8W)]}\\ \end{aligned} $$
$$ +\frac{1}{4}X(\omega-2W)U[-(\omega-2W)] $$
如图 P7.2-3(c) 所示.
经理想低通滤波器的输出 $ Y(\omega) $ 为
$$ \frac{1}{4}X(\omega+2W)U(\omega+2W)+\frac{1}{4}X(\omega-2W)U[-(\omega-2W)] $$
如图 P7.2-3(d) 所示。
7.3 假定在图 P7.3-1 中的振幅调制和解调系统中， $ \theta_{c}-\theta_{d}=0 $，调制器的频率为 $ \omega_{c} $，解调器的频率为 $ \omega_{d} $，它们之间的频差 $ \Delta\omega=(\omega_{d}-\omega_{c}) $。此外，假定 $ x(t) $ 是带限的，即 $ |\omega|\geqslant\omega_{M} $ 时， $ X(\omega)=0 $，且假定解调器中低通滤波器的截止频率满足不等式
$$ (\omega_{M}+\triangle\omega) (a) 证明解调器的低通滤波器的输出正比于 $$ x(t)c o s\left(\Delta\omega t\right) $$ (b) 若 $ x(t) $ 的频谱如图 P7.3-2 所示，画出解调器输出的频谱。 解： (a) 由图P7.3-1可见 $$ \begin{align*}\omega(t)&=x(t)\cos\left(\omega_{c}t\right)\cos\left(\omega_{a}t\right)\\&=\frac{1}{2}x(t)[\cos\left(\Delta\omega t\right)+\cos\left[\left(\omega_{c}+\omega_{d}\right)t\right]\end{align*} $$ 式中 $ \Delta\omega=\omega_{d}-\omega_{*} $ 而 $ \frac{1}{2}x(t)\cos[(\omega_{c}+\omega_{d})t] $ 在下列范围具有一频谱，即 $$ \omega_{c}+\omega_{d}-\omega_{M}\leqslant\omega\leqslant\omega_{c}+\omega_{d}+\omega_{M} $$ 上式可改写成 $$ 2\omega_{c}+(\omega_{d}-\omega_{c})-\omega_{M}\leqslant\omega\leqslant2\omega_{c}+(\omega_{d}-\omega_{c})+\omega_{M} $$ 即 $$ 2\omega_{e}+\Delta\omega-\omega_{M}\leqslant\omega\leqslant2\omega_{e}+\Delta\omega+\omega_{M} $$ 然而，低通滤波器给出的范围要满足 $$ W<2\omega_{c}+\Delta\omega-\omega_{M} $$ 所以低通滤波器只输出 $ \frac{1}{2}x(t)\cos(\Delta\omega t) $ (b) 由 (a) 小题可知，解调器输出 $ y(t) $ 为 $$ y(t)=\frac{1}{2}x(t)\cos\left(\Delta\omega t\right) $$ 其傅里叶变换为 $$ Y(\omega)=\frac{1}{4}X(\omega+\Delta\omega)+\frac{1}{4}X(\omega-\Delta\omega) $$ 取 $ \Delta\omega = \omega_{M/2} $ 和 $ \Delta\omega = \omega_{M} $，如图 P7.3-3(a)、(b) 所示。 7.4 图 P7.4 表示一种幅度调制系统。假定输入 $ x(t) $ 是带限的，即 $ |\omega| > \omega_{M} $ 时 $ X(\omega) = 0 $。若要求输出 $ y(t) $ 就是用 $ x(t) $ 对 $ \cos \omega_{c}t $ 的调幅信号，即 $ y(t) = x(t) \cos \omega_{c}t $。确定带通滤波器的参数 A、 $ \omega_{c} $ 和 $ \omega_{k} $。若对 $ \omega_{c} $ 和 $ \omega_{M} $ 有任何约束，则给出对 $ \omega_{c} $ 和 $ \omega_{k} $ 的必要约束条件。 解： 由图 P7.4 可知，带通滤波器 $ H(\omega) $ 的输入为 $$ [x(t)+\cos\omega_{c}t]^{2}=x^{2}(t)+\cos^{2}\omega_{c}t+2x(t)\cos\omega_{c}t $$ 为得到输出 $ y(t) = x(t) \cos \omega_{c} t $，带通滤波器应抑制 $ x^{2}(t) $ 和 $ \cos^{2}\omega_{c} $ 项且倍乘 $ \frac{1}{2} $，所以 $ A = \frac{1}{2} $。 由题可知， $ |\omega| > \omega_{M} $ 时， $ X(\omega) = 0 $，所以 $ x^{2}(t) $ 项是在 $ |\omega| < 2\omega_{M} $ 频率范围内； $ \cos^{2}\omega_{c}t $ 项的频谱分布在 $ \omega = 0, -2\omega_{c}, 2\omega_{c} $ 上； $ 2x(t)\cos\omega_{c}t $ 项的频谱中心频率为 $ \omega_{c} $ 和 $ -\omega_{c} $，各自的宽度为 $ 2\omega_{M} $。 因此，为了保留 $ x(t)\cos\omega_{c}t $，应选带通滤波器的 $ \omega_{L}=\omega_{c}-\omega_{M} $， $ \omega_{h}=\omega_{c}+\omega_{M} $。 由此可得其限制条件为 $$ \omega_{M}<\omega_{c},\quad\omega_{M}<\omega_{c}-2\omega_{M} $$ 得 $$ \omega_{M}<\frac{\omega_{e}}{3} $$ 7.5 图 P7.5-1 表示实现幅度调制的另一种系统。 (a) 若 x(t) 的频谱如图 P7.5-2 所示，且载波频率 $ \omega_{c}=100\omega_{1} $，试利用 $ e^{y} $ 的幂级数的前四项 $ \left(即 e^{y}=1+y+\frac{1}{2}y^{2}+\frac{1}{6}y^{3}+\cdots\right) $，画出 z(t) 的频谱 Z( $ \omega $)，并加以标注。 (b) 若带通滤波器（BPF）具有图 P7.5-3 所示的参量。确定 $ \alpha $ 和 $ \beta $ 的范围，使得输出 $ r(t) $ 是用 $ x(t) $ 进行调幅的形式。 解： (a) 由图可知 $$ z(t)\rightleftharpoons e^{y(t)}-1 $$ 其中 $$ y(t)=x(t)+\cos\omega_{c}t $$ $$ e^{y(t)}\approx1+y(t)+\frac{1}{2}~y^{2}(t)+\frac{1}{6}~y^{3}(t) $$ 所以 $$ \begin{aligned}x(t)&=e^{y(t)}-1=y(t)+\frac{1}{2}\ y^{2}(t)+\frac{1}{6}\ y^{3}(t)\\&=x(t)+\cos\omega_{c}t+\frac{1}{2}x^{2}(t)+x(t)\cos\omega_{c}t+\frac{1}{2}\cos^{2}\omega_{c}t\\&\quad+\frac{1}{6}x^{3}(t)+\frac{2}{6}x^{2}(t)\cos\omega_{c}t+\frac{1}{6}x(t)\cos^{2}\omega_{c}t\\&\quad+\frac{1}{6}x^{2}(t)\cos\omega_{c}t+\frac{2}{6}x(t)\cos^{2}\omega_{c}t+\frac{1}{6}\cos^{3}\omega_{c}t\\&=\left[\begin{array}{l}x(t)+\frac{1}{2}x^{2}(t)+\frac{1}{6}x^{3}(t)\end{array}\right]\\&\quad+\left[1+x(t)+\frac{1}{2}x^{2}(t)\right]\cos\omega_{c}t\\&\quad+\frac{1}{2}[1+x(t)]\cos^{2}\omega_{c}t+\frac{1}{6}\cos^{3}\omega_{c}t。\end{aligned} $$ 利用三角公式 $$ \cos^{2}\omega_{e}t\;=\;{\frac{1}{2}}\;[1\;+\;\cos2\omega_{o}t] $$ $$ \cos^{3}\omega_{e}t=\frac{1}{4}[3\cos\omega_{e}t+\cos3\omega_{e}t] $$ 代入上式整理后得 $$ \begin{aligned}{\mathbf{z}(t)=}&{{}\left[\frac{1}{4}+\frac{5}{4}\;x(t)+\frac{1}{2}\;x^{i}(t)+\frac{1}{6}\;x^{3}(t)\right]}\\ {}&{{}+\left[\frac{9}{8}+x(t)\;+\frac{1}{2}x^{2}(t)\cos\omega_{e}t\right]}\\ {}&{{}+\frac{1}{4}\bigg[(1+x(t)\cos2\omega_{e}t\bigg]+\frac{1}{24}\cos3\omega_{e}t}\\ {=}&{{}\;a(t)+b(t)\cos\omega_{e}t+c(t)\cos2\omega_{e}t}\\ {}&{{}+\frac{1}{24}\cos3\omega_{e}t}&{(1}\\ \end{aligned} $$ 式中 $$ \begin{aligned}&a(t)=\frac{1}{4}+\frac{5}{4}x(t)+\frac{1}{2}x^{2}(t)+\frac{1}{6}x^{3}(t)\\ &b(t)=\frac{9}{8}+x(t)+\frac{1}{2}x^{2}(t)\\ &c(t)=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}x(t)\\ \end{aligned} $$ 对 $ z(t) $ 求傅里叶变换，得 $$ \begin{aligned}{\mathbf{Z}(\omega)}&{{}=A(\omega)+\frac{1}{2}B(\omega)*[\delta(\omega-\omega_{e})+\delta(\omega+\omega_{e})]}\\ {}&{{}\quad+\frac{1}{2}C(\omega)*[\delta(\omega-2\omega_{e})+\delta(\omega+2\omega_{e})]}\\ {}&{{}\quad+\frac{\pi}{24}[\delta(\omega-3\omega_{e})+\delta(\omega+3\omega_{e})]\qquad(P7.5-2}\\ \end{aligned} $$ 式中 $$ \left\{\begin{aligned}A(\omega)&=\frac{\pi}{2}\delta(\omega)+\frac{5}{4}X(\omega)+\frac{1}{4\pi}X(\omega)*X(\omega)\\ &\quad+\frac{1}{24\pi^{2}}X(\omega)*X(\omega)*X(\omega)\\ B(\omega)&=\frac{9\pi}{4}\delta(\omega)+X(\omega)+\frac{1}{4\pi}X(\omega)*X(\omega)\\ C(\omega)&=\frac{\pi}{2}\delta(\omega)+\frac{1}{4}X(\omega)\end{aligned}\right. $$ 欲画 $ Z(\omega) $ 频谱，先计算上式中 $ X(\omega) $ 的几个卷积： $$ X(\omega)*X(\omega)=\left\{\begin{matrix}{\displaystyle\int_{-\omega_{1}}^{\omega+\omega_{1}}d\omega=\omega+2\omega_{1},~-2\omega_{1}\leqslant\omega\leqslant0}\\ {\displaystyle\int_{\omega-\omega_{1}}^{\omega_{1}}d\omega=2\omega_{1}-\omega,~0\leqslant\omega\leqslant2\omega_{1}}\\ \end{matrix}\right. $$ $$ [X(\omega)*X(\omega)]*X(\omega) $$ $$ \begin{aligned}=&\left\{\begin{aligned}&\int_{-2\omega_{1}}^{\omega+\omega_{1}}(\omega+2\omega_{1})d\omega=\frac{1}{2}\omega^{2}+3\omega_{1}\omega\\&+\frac{9}{2}\omega_{1}^{2},-3\omega_{1}\leqslant\omega\leqslant-\omega_{1}\\&\int_{\omega-\omega_{1}}^{0}(\omega+2\omega_{1})d\omega+\int_{0}^{\omega+\omega_{1}}(2\omega_{1}-\omega)d\omega\\&=3\omega_{1}^{2}-\omega^{2},-\omega_{1}\leqslant\omega\leqslant\omega_{1}\\&\int_{\omega-\omega_{1}}^{2\omega_{1}}(2\omega_{1}-\omega)d\omega=\frac{9}{2}\omega_{1}^{2}-3\omega\omega_{1}\\&+\frac{1}{2}\omega^{2},\omega_{1}\leqslant\omega\leqslant3\omega_{1}\end{aligned}\right.\end{aligned} $$ $ X(\omega) $、 $ X(\omega) \cdot X(\omega) $ 及 $ X(\omega) \cdot X(\omega) \cdot X(\omega) $ 的频谱如 图 P7.5-4(a)、(b)、(c) 所示。 根据式（P7.5-3）由 $ X(\omega) $、 $ X(\omega) \times X(\omega) $ 及 $ X(\omega) \times X(\omega) \times X(\omega) $ 的频谱得到 $ A(\omega) $、 $ B(\omega) $ 和 $ C(\omega) $ 频谱如图 P7.5-4 (d)、(e)、(f) 所示。再根据式（P7.5-1）画出 $ Z(\omega) $ 的频谱如图 P7.5-4(g) 所示。 (b) 由式 (P7.5-1) 和图 P7.5-4(g) 可知，要得到由 x(t) 调幅的信号，带通滤波器的 $ \alpha $、 $ \beta $ 取值范围为 $$ 3\omega_{1}<\alpha<\omega_{c}-3\omega_{1},\quad\omega_{c}+3\omega_{1}<\beta<2\omega_{c}-\omega_{1} $$ 7.6 图 P7.6 示出一个正弦调幅系统。其中 $ X(t) $ 是带限信号，即 $ \left|\omega\right| > \omega_{M} $ 时， $ X(\omega) = 0 $。信号 $ s(t) $ 是图中所示的周期为 T 的冲激串，系统 $ H(\omega) $ 是一个带通滤波器。 (a) 若取 $ \Delta = 0 $, $ \omega_{M} = \pi / 2T $, $ \omega_{L} = \pi / T $ 和 $ \omega_{h} = 3\pi / T $, 证明 $ y(t) $ 正比于 $ x(t) \cos \omega_{c}t $, 其中 $ \omega_{c} = 2\pi / T $. (b) 若 $ \omega_{M} $, $ \omega_{L} $ 和 $ \omega_{h} $ 与 (a) 小题相同，但 $ \Delta $ 不为零，证明 $ y(t) $ 正比于 $ x(t)\cos\left(\omega_{c}t+\theta_{c}\right) $，并根据 T 和 $ \Delta $ 确定 $ \omega_{c} $ 和 $ \theta_{c} $. (c) 在 $ y(t) $ 仍正比于 $ x(t)\cos\left(\omega_{c}t+\theta_{c}\right) $ 前提下，确定与 T 有关的 $ \omega_{M} $ 的最大允许值。 解： (a) 在 $ \Delta=0 $时， $ s(t) $可写成 $$ s(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\delta(t-k T) $$ 其傅里叶变换为 $$ S(\omega)=\frac{2\pi}{T}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\delta\left(\omega-\frac{2\pi}{T}k\right) $$ 设带限信号 $ X(\omega) $ 为三角形，则 $$ X(t)s(t){\longleftrightarrow}\frac{1}{2\pi}X(\omega)*S(\omega) $$ 如图 P7.6-1 所示. 在图中虚线所示的带通滤波器的输出为 $$ \frac{1}{T}X\left(\omega-\frac{2\pi}{T}\right)+\frac{1}{T}X\left(\omega+\frac{2\pi}{T}\right) $$ 上式可改写成 $$ \frac{1}{T}\;X(\omega)*\left[\delta\;\left(\omega-\frac{2\pi}{T}\right)+\delta\left(\omega+\frac{2\pi}{T}\right)\right] $$ 所以其逆变换为 $$ \frac{1}{T}x(t)\cos\left(\frac{2\pi}{T}t\right) $$ (b) 设在 (a) 小题情况中 $ p(t) $ 是 $ \Delta = 0 $ 情况下的 $ s(t) $. 因此现在写成 $ c(t) = p(t - \Delta) $. 其傅里叶变换为 $$ S(\omega)=e^{-i\omega\Delta}P(\omega)=\frac{2\pi}{T}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}e^{-i\omega\Delta}\delta\left(\omega-\frac{\mathcal{L}\pi}{T}k\right) $$ 于是带通滤波器的输出为 $$ \frac{1}{T}X(\omega)*\frac{1}{2\pi}\left[e^{-i\frac{2\pi}{T}\triangle}\delta\left(\omega-\frac{2\pi}{T}\right)+e^{i\frac{2\pi}{T}\triangle}\delta\left(\omega+\frac{2\pi}{T}\right)\right] $$ 其傅里叶逆变换为 $$ \frac{1}{T}x(t)\cos\left[\frac{2\pi}{T}t-\frac{2\pi\Delta}{T}\right] $$ 可见， $ \omega_{c}=\frac{2\pi}{T} $， $ \theta_{c}=-\frac{2\pi\Delta}{T} $ (c) 由 (b) 小题可知，带通滤波器的输出与图 P7.6-1 位置相同，仅引入相移因子 $ e^{-j\frac{2\pi}{T}\Delta} $ 或 $ e^{j\frac{i\pi}{T}\Delta} $. 可见，为使频谱不重迭，最大的 $ \omega_{M} = \pi/T $，才能使 $ y(t) $ 与 $ x(t)\cos\left(\omega_{e}t + \theta_{e}\right) $ 成正比. 7.7 图 P7.7-1 示出一个调制/解调系统，其中 $ \cos\omega_{c}t $ 和 $ p(t) $ 之间的关系示于图 P7.7-2 中。设输入信号 $ x(t) $ 是一个带限信号，如图 P7.7-3 所示，其最高频率 $ \omega_{M}<\omega_{c} $ (a) 分别画出并标明 $ z(t) $， $ p(t) $ 及 $ y(t) $ 的傅里叶变换 $ Z(\omega) $、 $ P(\omega) $ 及 $ Y(\omega) $ 的实部和虚部。 (b) 画出并标明使 $ v(t)=x(t) $ 的滤波器 $ H(\omega) $ 解： (a) 因为 $$ \scriptstyle\cos\omega_{e}t{\longleftrightarrow}\pi[\delta(\omega-\omega_{e})+\delta(\omega+\omega_{e})] $$ $$ x(t)\longleftrightarrow X(\omega)=\operatorname{R e}\{X(\omega)\}+I_{m}\{X(\omega)\} $$ 所以调制器输出 $ z(t) $ 的频谱为 $$ \begin{aligned}{Z(\omega)}&{{}=\frac{1}{2\pi}X(\omega)*\mathcal{F}\left\{\cos\omega_{e}t\right\}}\\ {}&{{}=\frac{1}{2\pi}\left[\mathcal{R}_{e}\{X(\omega)\}+j\mathcal{I}_{m}\{X(\omega)\}\right]*\pi[\delta(\omega-\omega_{e})}\\ {}&{{}\qquad+\delta(\omega+\omega_{e})]}\\ {}&{{}=\frac{1}{2}(\mathcal{R}_{e}\{X(\omega)\}*[\delta(\omega-\omega_{e})+\delta(\omega+\omega_{e})]}\\ {}&{{}\qquad+j\mathcal{I}_{m}\{X(\omega)\}*[\delta(\omega-\omega_{e})+\delta(\omega+\omega_{e})])}\\ {}&{{}=\frac{1}{2}[\mathcal{R}_{e}\{X(\omega-\omega_{e})\}+\mathcal{R}_{e}\{X(\omega+\omega_{e})\}]}\\ {}&{{}\qquad+j\frac{1}{2}[\mathcal{I}_{m}\{X(\omega-\omega_{e})\}+\mathcal{I}_{m}\{X(\omega+\omega_{e})\}]}\\ {}&{{}=\mathcal{R}_{e}\{Z(\omega)\}+j\mathcal{I}_{m}\{Z(\omega)\}}\\ \end{aligned} $$ 其中 $$ \mathcal{R}_{*}\{Z(\omega)\}=\frac{1}{2}\;\mathcal{R}_{*}\{X(\omega-\omega_{*})\} $$ $$ +\frac{1}{2}\mathcal{R}_{\mathfrak{s}}\{X(\omega+\omega_{\mathfrak{e}})\} $$ $$ \begin{aligned}{\mathcal{I}_{m}\{Z(\omega)\}=}&{{}~\frac{1}{2}~^{^{\prime}}\mathcal{I}_{m}\{X(\omega-\omega_{e})\}}\\ {}&{{}\quad+\frac{1}{2}~\mathcal{I}_{m}\{X(\omega+\omega_{e})\}}\\ \end{aligned} $$ 由此画出 $ \mathcal{R}_{s}\{Z(\omega)\} $ 和 $ \mathcal{I}_{m}\{Z(\omega)\} $ 如图 P7.7-4 所示. 周期方波 $ p(t) $ 的傅里叶变换为 $$ P(\omega)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}2\pi a_{k}\delta(\omega-k\omega_{c}) $$ 其中 $$ a_{0}=0,\ k=0 $$ $$ a_{k}=\frac{2\sin\left(k\pi/2\right)}{2\pi k},k\neq0 $$ 代人得 $$ P(\omega)=\sum_{\substack{k=-\infty\\ k\neq0}}^{+\infty}\frac{2\sin\left(k\pi/2\right)}{k}\delta(\omega-k\omega_{0}) $$ 如图 P7.7-5(a) 所示。 因此得 $ Y(\omega) $ 为 $$ Y(\omega)=\frac{1}{2\pi}Z(\omega)*P(\omega)=\mathcal{R}_{e}\{Y(\omega)\}+j\mathcal{I}_{m}\{Y(\omega)\} $$ 其中 $$ \mathcal{R}_{\bullet}\{Y(\omega)\}\;=\;\mathcal{R}_{\bullet}\left\{\frac{1}{2\pi}P(\omega)*Z(\omega)\right\} $$ $$ \begin{align*}&=\mathcal{R}_{*}\left\{\frac{1}{2\pi}\;Z(\omega)*\sum_{\substack{k=-\infty\\ k\neq0}}^{+\infty}\frac{2\sin\left(k\pi/2\right)}{k}\delta(\omega-k\omega_{0})\right\}\\&\mathcal{J}_{\infty}\{Y(\omega)\}=\mathcal{J}_{\infty}\left\{\frac{1}{2\pi}P(\omega)*Z(\omega)\right\}\\&=\mathcal{J}_{\infty}\left\{\frac{1}{2\pi}\;Z(\omega)\right.\\&\quad*\left.\sum_{\substack{k=-\infty\\ k\neq0}}^{+\infty}\frac{2\sin\left(k\pi/2\right)}{k}\delta(\omega-k\omega)\right\}\end{align*} $$ 如图 P7.7-5(b) 所示. $$ \left(\frac{1}{2\pi}-\frac{1}{6\pi}\right)\underset{-2\omega_{c}-\omega_{c}-\omega_{M}}{R_{\circ}}\left|\begin{array}{c}\gamma(0)\\ 1/\pi\\ \omega_{M}\omega_{c}\end{array}\right|\underset{2\omega_{c}}{=}\left(\frac{1}{2\pi}-\frac{1}{6\pi}\right)\omega $$ (b) 由图 P7.7-5(b) 可见，为使 $ v(t)=x(t) $，滤波器的频率响应为 $$ \mathcal{R}_{\bullet}\{H(\omega)\}=\left\{\begin{matrix}{\pi,~|\omega|\leqslant\omega_{M}}\\ {0,~|\omega|>0}\\ \end{matrix}\right. $$ $$ \mathcal{I}_{m}\{H(\omega)\}=\left\{\begin{aligned}{}&{{}\pi,}&{}&{{}|\omega|\leqslant\omega_{M}}\\ {}&{{}0,}&{}&{{}|\omega|>0}\\ \end{aligned}\right. $$ 如图 P7.7-5(c) 所示. 7.8 图 P7.8-1 表示一个通信系统，它要将一个带限信号 x(t) 转变为周期性的高频能量脉冲。假定 $ \left|\omega\right| > \omega_{M} $ 时， $ X(\omega) = 0 $。调制信号 m(t) 有两种可能的选择。 $ m_{1}(t) $ 是脉宽为 D 的周期正弦脉冲串，如图 P7.8-2 所示，即 $$ m_{1}(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}p(t-kT) $$ 其中 $$ p(t)=\left\{\begin{matrix}{\cos\omega_{c}t,}&{|t| $ m_{2}(t) $ 是周期通断的 $ \cos\omega_{e}t $，即 $ m_{2}(t)=g(t)\cos\omega_{e}t $，其中 $ g(t) $ 示于图 P7.8-2 中。 假定参量 T、D、 $ \omega_{c} $ 及 $ \omega_{M} $ 之间有下列关系： $$ D 此外，假定在 $ x \gg 1 $ 时 $ \sin c(x) $ 可忽略。 确定是否可选某个频率 $ \omega_{LP} $，无论是 $ m_{1}(t) $ 或 $ m_{2}(t) $ 都将产生与信号 x(t) 成比例的解调信号 r(t)。若能，则确定 $ \omega_{LP} $ 可容许的范围。 解： 因为 $$ p(t)=\left\{\begin{aligned}{\cos\omega_{e}t,}&{{}\quad|\tau|\leqslant\frac{D}{2}}\\ {0,}&{{}\quad|\tau|>\frac{D}{2}}\\ \end{aligned}\right. $$ 其傅里叶变换为 $$ P(\omega)=\frac{\sin{(\omega-\omega_{e})}\frac{D}{2}}{\omega-\omega_{e}}+\frac{\sin{(\omega+\omega_{e})}\frac{D}{2}}{\omega+\omega_{e}} $$ 如图 P7.8-3（a）所示 情况1 $$ m_{1}(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}p(t-kT) $$ 其傅里叶变换 $ M_{1}(\omega) $ 为 $$ M_{1}(\omega)=2\pi\sum_{k=-\infty}^{+\infty}a_{k}\delta\left(\omega-\frac{2\pi}{T}k\right) $$ 其中 $$ \begin{aligned}{a_{k}=\frac{1}{T}P(k\omega_{_{0}})}&{{}=\frac{1}{T}\left[\frac{\sin{\left(k\frac{2\pi}{T}-\omega_{c}\right)}\frac{D}{2}}{k\frac{2\pi}{T}-\omega_{c}}\right.}\\ {}&{{}\quad+\left.\frac{\sin{\left(k\frac{2\pi}{T}+\omega_{c}\right)}\frac{D}{2}}{k\frac{2\pi}{T}+\omega_{c}}\right]}\\ \end{aligned} $$ 可见， $ M_{1}(\omega) $ 是间隔为 $ \frac{2\pi}{T} $ 上的 $ P(\omega) $ 的样本，除非 $ \omega_{e} $ 是 $ \frac{2\pi}{T} $ 的一个倍数，否则在 $ \omega = \pm\omega_{c} $ 上其样本值为零，因此 $ a_{k} = 0 $，则得 $ M_{1}(\omega) = 0 $。这时用 $ \cos\omega_{c}t $ 解调获得的 $ r(t) $ 将不与 $ x(t) $ 成比例。 情况2 $$ g(t)=\left\{\begin{aligned}&1,\quad|t|\leqslant\frac{D}{2}\\ &0,\quad|t|>\frac{D}{2}\end{aligned}\right. $$ 上式的傅里叶变换 $ G(\omega) $ 为 $$ G(\omega)=\frac{2\sin\omega\frac{D}{2}}{\omega} $$ 如图 P7.8-3(b) 所示。由于 $ g(t) $ 是周期信号，所以其频谱是以 $ G(\omega) $ 为包络，间隔为 $ \frac{2\pi}{T} $ 的谱线。 因而 $ m_{2}(t)=g(t)\cos\omega_{e}t $ 的傅里叶变换为 $$ M_{2}(\omega)=\frac{\sin\left(\omega-\omega_{c}\right)\frac{D}{2}}{\omega-\omega_{c}}+\frac{\sin\left(\omega+\omega_{c}\right)\frac{D}{2}}{\omega+\omega_{c}} $$ 显然， $ M_{2}(\omega) $ 与 $ [G(\omega-\omega_{c})+G(\omega+\omega_{c})] $ 成比例。因而， $ M_{2}(\omega) $ 在 $ \omega=\pm\omega_{c} $ 上将具有等于非零的分布。于是， $ m_{2}(t) $ 与 x(t) 相乘在频域中产生中心在 $ \omega=\omega_{c} $ 和 $ \omega=-\omega_{c} $ 上的 $ X(\omega) $。由于 $ \frac{2\pi}{T}>2\omega_{M} $，所以无混迭。因而，用 $ \cos\omega_{c}t $ 解调将得出与 $ X(\omega) $ 成比例的结果。 通过观察可知 $$ 2\omega_{_{M}}<\omega_{_{LP}}<2\pi/T $$ 7.9 另一种不要求相位同步，但要求频率同步的解调系统如图 P7.9 所示。两个低通滤波器的截止频率都是 $ \omega_{c} $，而 $ y(t)=[x(t)+A]\cos(\omega_{c}t+\theta_{c}) $，其中 $ \theta_{c} $ 是未知的常数。 $ x(t) $ 是带限信号，当 $ |\omega|>\omega_{M} $ 时， $ X(\omega)=0 $，且 $ \omega_{M}<\omega_{c} $。设所有的 t 都满足 $ x(t)+A>0 $。 证明可以用图 P7.9 所示的系统从 $ y(t) $ 恢复 $ x(t) $，而不需 要知道调制器的相位 $ \theta_{c} $ 解：已知 $ y(t) = [x(t) + A] \cos(\omega_{c} t + \theta_{c}) $ 上式的傅里叶变换为 $$ \begin{aligned}{\mathbf{Y}({\omega})=}&{{}\frac{1}{2\pi}\left[X({\omega})+2\pi A\delta({\omega})\right]*\pi[\delta({\omega}-{\omega}_{e})e^{i\theta_{e}}}\\ {}&{{}+\delta({\omega}+{\omega}_{e})e^{-i\theta_{e}}]}\\ {=}&{{}\frac{1}{2}X({\omega}+{\omega}_{e})e^{-i\theta_{e}}+\frac{1}{2}X({\omega}-{\omega}_{e})e^{i\theta_{e}}}\\ {}&{{}+A\pi e^{-i\theta_{c}}\delta({\omega}+{\omega}_{e})+A\pi e^{i\theta_{c}}\delta({\omega}-{\omega}_{e})}\\ \end{aligned} $$ 设带限信号 $ X(\omega) $ 如图 P7.9-1(a) 所示，则得 $ Y(\omega) $ 图形如图 P7.9-1(b) 所示。 对于图 P7.9 的上面支路： $$ \begin{aligned}{y(t)\cos\omega_{c}t}&{{}=[x(t)+A]\cos\left(\omega_{c}t+\theta_{c}\right)\cos\omega_{c}t}\\ {}&{{}=\frac{1}{2}\left[x(t)+A\right][\cos\left(2\omega_{c}t+\theta_{c}\right)+\cos\theta_{c}]}\\ \end{aligned} $$ $$ =\frac{1}{2}\left[x(t)+A\right]\cos\left(2\omega_{c}t+\theta_{c}\right)+\frac{1}{2}\left[x(t)+A\right]\cos\theta_{c} $$ 因此由上面求得的 $ Y(\omega) $ 可直接得到 $ y(t)\cos\omega_{c}t $ 的傅里叶变换为 $$ \begin{aligned}{\mathcal{F}\left\{y(t)\cos\omega_{c}t\right\}}&{{}=\frac{1}{4}X(\omega+2\omega_{c})e^{-i\theta_{c}}+\frac{1}{4}X(\omega-2\omega_{c})e^{i\theta_{c}}}\\ {}&{{}\quad+\frac{\pi}{2}A e^{-i\theta_{c}\delta}(\omega+2\omega_{c})}\\ {}&{{}\quad+\frac{\pi}{2}A e^{i\theta_{c}\delta}(\omega-2\omega_{c})}\\ {}&{{}\quad+\frac{1}{2}\cos\theta_{c}X(\omega)+\pi A\cos\theta_{c}\delta(\omega)}\\ \end{aligned} $$ 画出其频谱图如图 P7.9-1(c) 所示. 通过低通滤波器后，剩下式（P9.7-3）中后面两项，即低频频谱．其对应的信号就是式（P9.7-2）中后面一项，即 $$ z_{1}(t)=\frac{1}{2}\left[x(t)+A\right]\cos\theta_{c} $$ 同理，对于图 P7.9 下面支路： $$ \begin{aligned}{y(t)\sin\omega_{c}t}&{{}=[x(t)+A]\cos\left(\omega_{c}t+\theta_{c}\right)\sin\omega_{c}t}\\ {}&{{}=\frac{1}{2}[x(t)+A][\sin\left(2\omega_{c}t+\theta_{c}\right)-\sin\theta_{c}]}\\ {}&{{}=\frac{1}{2}[x(t)+A]\sin\left(2\omega_{c}t+\theta_{c}\right)}\\ {}&{{}\quad-\frac{1}{2}[x(t)+A]\sin\theta_{c}}\\ \end{aligned} $$ 同样，通过低通滤波器后，只剩下上式的后面一项低频分量，即 $$ z_{2}(t)=\frac{1}{2}\left[x(t)+A\right]\sin\theta_{c} $$ 将式（P7.9-4）和（P7.9-5）的信号各自经过平方、求和、再开方，得到输出响应为 $$ \begin{aligned}v(t)&=[z_{1}^{2}(t)+z_{2}^{2}(t)]^{\frac{1}{2}}\\&=\left\{\frac{1}{4}\left[x(t)+A\right]^{2}\mathrm{cos}^{2}\theta_{c}+\frac{1}{4}\left[x(t)+A\right]^{2}\mathrm{sin}\theta_{e}\right\}^{\frac{1}{4}}\\&=\frac{1}{2}\left[x(t)+A\right]\\ \end{aligned} $$ 可见，这时只需要频率同步，而不需要相位同步即可恢复 $ x(t) $。 7.10 在非同步调制和解调时需要加入载波信号，使得已调信号为 $$ y(t)=[A+x(t)]\mathrm{c o s}\left(\omega_{c}t+\theta_{c}\right) $$ 其中对所有 t， $ [A+x(t)]>0 $. （a）设 $ x(t)=\cos\omega_{M}t $ ，且 $ \omega_{M}<\omega_{*} $， $ [A+x(t)]>0 $ 对一个周期为 T 的周期信号 $ y(t) $，其时间平均功率 P，定义为 $$ P_{y}=\frac{1}{T}\int_{T}y^{2}(t)d t $$ 确定并画出式（P7.10）中 $ y(t) $ 的平均功率 $ P_{y} $，并将答案表示成调制指数 m 的函数。m 定义为 $ x(t) $ 的最大绝对值与 A 之比值。 （b）调幅信号的传输效率定义为信号的边带功率与信号的总功率之比。当 $ x(t)=\cos\omega_{M}t,\omega_{M}<\omega_{c} $ 和 $ [A+x(t)]>0 $ 时，确定并画出作为调制指数 m 函数的已调信号的效率。 解： (a) 已知 $ x(t) = \cos\omega_{M}t $，代入得 $$ y(t)=[A+\cos\omega_{M}t]\cos\left(\omega_{c}t+\theta\right) $$ 由于 $ [A + \cos\omega_{M}t] > 0 $，得 $ A \geqslant 1 $，而 $ m = \frac{1}{A} $，所以 0 < m \leqslant 1。 将 $ y(t) $ 展开得 $$ \begin{aligned}{y(t)=}&{{}~{}A\cos{(\omega_{_{c}}t+\theta)}~{}+\frac{1}{2}\left\{\cos{[(\omega_{_{c}}-\omega_{_{M}})t+\theta]}\right.}\\ {}&{{}~{}+\left.\cos{[\omega_{_{c}}+\omega_{_{M}})t+\theta]}\right\}}\\ \end{aligned} $$ 可见， $ y(t) $ 是由3个不同频率的余弦项组成。根据帕斯瓦尔定理，可将上述3项功率相加即得出总功率。 由于 $$ \begin{aligned}{\frac{\omega_{_{0}}}{2\pi}\int_{0}^{\frac{2\pi}{\omega_{0}}}\cos^{2}\omega_{_{0}}t d t}&{{}=\frac{\omega_{_{0}}}{2\pi}\int_{0}^{\frac{2\pi}{\omega_{0}}}\frac{1}{2}~d t~+\frac{\omega_{_{0}}}{2\pi}\int_{0}^{\frac{2\pi}{\omega_{0}}}\frac{1}{2}~\cos2\omega_{_{0}}t d\bar{x}}\\ {}&{{}=\frac{1}{2}}\\ \end{aligned} $$ 所以可得 $$ P_{y}=\frac{A^{2}}{2}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\left(A^{2}+\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}\left(m^{-2}+\frac{1}{2}\right) $$ 如图 P7.10(a) 所示. (b) 效率 $ =\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}\left(m^{-2}+\frac{1}{2}\right)}=\frac{m^{2}}{2+m^{2}} $ 如图 P7.10(b) 所示. 7.11 带通滤波器也可由两个低通滤波器和一个振荡器综合而成。设输入信号 x(t) 具有图 P7.11 所示频谱 X(ω) 的带限信 号(图中对负频率的部分打了阴影，以便与正频率部分区别). 当 $ \omega_{M}<\omega_{c},\omega_{1}<\omega_{c} $ 和 $ \omega_{2}>(\omega_{c}-\omega_{1}) $ 时，画出 $ r_{1}(t) $、 $ r_{2}(t) $、 $ r_{3}(t) $ 和 $ y(t) $ 的频谱。证明整个系统等效于一个带通滤波器，并根据 $ \omega_{c} $、 $ \omega_{1} $ 和 $ \omega_{2} $ 确定带通滤波器的上、下截止频率。 解： 已知 $ x(t) $ 的频谱 $ X(\omega) $，第一个调制后得 $$ r_{1}(t)\equiv x(t)\mathrm{c o s}^{\omega_{c}t} $$ 其傅里叶变换为 $$ R_{1}(\omega)\;=\;\frac{1}{2}X(\omega+\omega_{e})+\frac{1}{2}X(\omega-\omega_{e}) $$ 如图 P7.11-1(a) 所示。由于 $ \omega_{1} < \omega_{c} $，所以经图 P7.11-1(b) 所示的低通滤波器 $ H_{1}(\omega) $ 后，所得 $ R_{2}(\omega) $ 如图 P7.11-1(c) 所示。 第二个调制器的输出 $ r_{2}(t)\cos\omega_{e}t $ 的频谱为 $$ R_{3}(\omega)=\frac{1}{2}R_{2}(\omega+\omega_{c})+\frac{1}{2}R_{2}(\omega-\omega_{c}) $$ 根据频移特性，可由图 P7.11-1(c) 得 $ R_{3}(\omega) $，如图 P7.11-1(d) 所示。 由于 $ \omega_{2} > (\omega_{c} - \omega_{1}) $，所以经图 P7.11-1(e) 所示的低通滤波器便得 $ Y(\omega) $，如图 P7.11(f) 所示。 由图 P7.11（f）可见，带通滤波器的下、上截止频率为 $ \omega_{0} $ $ -\omega_{1} $ 和 $ \omega_{2} $ 7.12 图 P7.12 表示用正弦调制和低通滤波器构成带通滤波器的方案。证明该系统的输出 y(t) 与图 P7.12-1 中只保留 $ \mathcal{R}\circ\{f(t)\} $ 所得的输出相同。 解： 设图 P7.12 中， $ g_{1}(t) $ 为 $ H_{1}(\omega) $ 对 $ x(t)\cos\omega_{c}t $ 的响应； $ g_{2}(t) $ 为 $ H_{1}(\omega) $ 对 $ x(t)\sin\omega_{c}t $ 的响应。因此输出 $ y(t) $ 为 $$ y\left(t\right)\;=\;g_{1}(t)\;\cos\omega_{e}t\;+\;g_{2}(t)\;\sin\omega_{e}t $$ 由图 P7.12-1 可见， $$ y\left(t\right)=x\left(t\right)e^{j\omega_{c}t}=x\left(t\right)\cos\omega_{c}t+j x\left(t\right)\sin\omega_{c}t $$ 同样，设 $ g_{1}(t) $ 为 $ H(\omega) $ 对 $ x(t)\cos\omega_{c}t $ 的响应； $ g_{2}(t) $ 为 $ H_{1}(\omega) $ 对 $ x(t)\sin\omega_{c}t $ 的响应，因此 $$ w\left(t\right)\rightleftharpoons g_{1}(t)\;+\;j g_{2}(t) $$ $$ \begin{aligned}{f(t)}&{{}=e^{-j\omega_{c}t}w\left(t\right)=[\cos\omega_{c}t-j\sin\omega_{c}t][g_{1}(t)+j g_{2}(t)]}\\ {^{-}}&{{}=[g_{1}(t)\cos\omega_{c}t+g_{2}(t)\sin\omega_{c}t]+j[g_{2}(t)\cos\omega_{c}t}\\ {}&{{}\quad-g_{1}(t)\sin\omega_{c}t]}\\ \end{aligned} $$ 所以 $$ \mathcal{R}_{e}\{f\left(t\right)\}=g_{1}(t)\cos\omega_{c}t+g_{2}(t)\sin\omega_{c}t $$ 它与图 P7.12 中的输出 $ y(t) $ 结果相同，因此图 P7.12 的系统 等价于一个带通滤波器，其中心频率为 $ \omega_{c} $，带宽为 $ 2\omega_{0} $ 7.13 图 P7.13-1 表示用来实现低通滤波器的系统。其中 $ H(\omega) $ 是一个理想的 $ 90^{\circ} $ 相移器，其频率响应为 $$ H(\omega)=\left\{\begin{aligned}{}&{{}e^{j\pi/2}(=j),}&{\omega>0}\\ {}&{{}e^{-j\pi/2}(=-j),}&{\omega<0}\\ \end{aligned}\right. $$ 整个系统的输出 $ y(t) $ 是复信号 $ r_{3}(t) $ 的虚部。 (a) 当 $ X(\omega) $ 为图 P7.13-2 所示的实函数时，画出 $ r_{1}(t) $、 $ r_{2}(t) $、 $ r_{3}(t) $ 及 $ y(t) $ 的频谱。证明此系统实现了一个理想的低通滤波器，并用调制频率 $ \omega_{c} $ 来表示该低通滤波器的截止频率。 (b) 证明图 P7.13-3 的系统与图 P7.13-1 的系统等效，其中在两种情况下系统 $ H(\omega) $ 是完全相同的，而且 $ x(t) $ 为实信号. 解： (a) 由图 P7.13-1 可知， $$ r_{1}(t)\;=\;x\left(t\right)e^{\dagger\omega_{c}\delta} $$ 的傅里叶变换 $ R_{1}(\omega) $ 为 $$ R_{1}(\omega)=X(\omega-\omega_{c}) $$ 如图 P7.13-4(a) 所示. 经 $ 90^{\circ} $ 相移器 $ H(\omega) $ 后得 $ R_{2}(\omega) $ 为 $$ R_{2}(\omega)=X(\omega-\omega_{c})H(\omega)=\left\{\begin{aligned}{X(\omega-\omega_{c})e^{i\frac{\pi}{2}},\quad\omega>0}\\ {X(\omega-\omega_{c})e^{-i\frac{\pi}{2}},\quad\omega<0}\\ \end{aligned}\right. $$ 如图 P7.13-4(b) 所示. 解调信号 $ r_{3}(t) = r_{2}(t)e^{-j\omega_{c}t} $ 的傅里叶变换为 $$ R_{3}(\omega)=R_{2}(\omega+\omega_{c})=\left\{\begin{aligned}{X(\omega)}&{{}e^{i\frac{\pi}{2}},\quad\omega+\omega_{c}>0}\\ {X(\omega)}&{{}e^{-i\frac{\pi}{2}},\quad\omega+\omega_{c}<0}\\ \end{aligned}\right. $$ 如图 P7.13-4(c) 所示。 由于 $$ \begin{array}{r}{\mathbf{y}\left(t\right)\;=\;\mathcal{I}_{m}\{r_{3}(t)\}\;=\;\frac{1}{2}\left[r_{3}(t)\;-\;r_{3}^{*}(t)\right]}\end{array} $$ 所以 $ y(t) $ 的傅里叶变换为 $$ Y(\omega)=-j\frac{1}{2}\left[R_{3}(\omega)-R_{3}^{*}(-\omega)\right] $$ 而 $$ \begin{aligned}{R_{3}^{*}(-\omega)}&{{}=\left\{\begin{aligned}{}&{{}X(-\omega)\;e^{-j\frac{\pi}{2}},\;-\omega+\omega_{e}>0}\\ {}&{{}X(-\omega)\;e^{j\frac{\pi}{2}},\;-\omega+\omega_{c}<0}\\ \end{aligned}\right.}\\ {}&{{}=\left\{\begin{aligned}{}&{{}X(\omega)\;e^{-j\frac{\pi}{2}},\;-\omega+\omega_{c}>0}\\ {}&{{}X(\omega)\;e^{j\frac{\pi}{2}},\;-\omega+\omega_{c}<0}\\ \end{aligned}\right.}\\ \end{aligned} $$ 其中 $ X(-\omega) = X(\omega) $ （见图 P7.13-2） 因此可得 $ Y(\omega) $ 为 $$ Y(\omega)=-\frac{j}{2}\left[R_{3}(\omega)-R_{3}^{*}(-\omega)\right] $$ $$ =\left\{\begin{aligned}{X(\omega),}&{{}\quad-\omega_{c}<\omega<\omega_{c}}\\ {0,}&{{}\quad-\omega_{c}>\omega>\omega_{c}}\\ \end{aligned}\right. $$ 可见这是一个截止频率为 $ \omega_{c} $ 的低通滤波器，对于 $ \omega_{M} > \omega_{c} $ 的情况，Y( $ \omega $) 如图 P7.13-4(e) 所示。 (b) 由图 P7.13-3 可知，其输出 $ y(t) $ 为 $$ \begin{aligned}{y\left(t\right)=}&{{}-[x\left(t\right)\cos\omega_{0}t\ast h\left(t\right)]\sin\omega_{0}t}\\ {}&{{}+[x\left(t\right)\sin\omega_{0}t\ast h\left(t\right)]\cos\omega_{0}t}\\ \end{aligned} $$ 而图 P7.13-1 可知，其输出 $ y(t) $ 为 $$ \begin{aligned}{y\left(t\right)}&{{}=\mathcal{I}_{m}\left\{\left[x\left(t\right)e^{j\omega_{c}t}*h\left(t\right)\right]e^{-j\omega_{0}}\right\}}\\ {}&{{}=\cos\omega_{0}t\mathcal{I}_{m}\{x\left(t\right)e^{j\omega_{0}t}*h\left(t\right)\}}\\ {}&{{}\quad-\sin\omega_{0}t\mathcal{R}_{e}\{x\left(t\right)e^{j\omega_{0}t}*h\left(t\right)\}}\\ \end{aligned} $$ 由于 $ H(\omega)=H^{*}(-\omega) $，所以 $ h(t) $ 是实函数。因此上式变为 $$ \begin{aligned}{\mathbf{y}\left(t\right)=}&{{}~\cos\omega_{0}t\{x\left(t\right)\sin\omega_{0}t*h\left(t\right)\}}\\ {}&{{}-\sin\omega_{0}t\{x\left(t\right)\cos\omega_{0}t*h\left(t\right)\}}\\ \end{aligned} $$ 这恰好是图 P7.13-3 的输出 $ y(t) $。因此图 P7.13-3 的系统与图 P7.13-1 的系统等效。 7.14 图 P7.14-1 表示保密通信中的一种语音加密器。 假定加密器的所有输入都是实的带限信号，即 $ X(\omega)=0 $， $ |\omega|>\omega_{M} $。当给定任何一个这样的输入以后，加密器就把这个输入信号的频谱变换到不同的频带。此外，输出信号也是实信号而且带限于相同的频带，即 $ |\omega|>\omega_{M} $ 时， $ Y(\omega)=0 $。这种加密器的特定变换算法为 $$ Y(\omega)=X(\omega-\omega_{M}),~\omega>0 $$ $$ Y(\omega)=X(\omega+\omega_{M}),~\omega<0 $$ (a) 若 $ X(\omega) $ 为图 P7.14-2 所示的频谱，画出加密后信号 $ y(t) $ 的频谱。 (b) 用放大器、乘法器、加法器、振荡器和认为必需的任何类 型理想滤波器，画出这样一个理想加密器的框图。 (c) 再用放大器、乘法器、加法器、振荡器和理想滤波器，画出相应的解密器的框图。 解： (a) 由图 P7.14-2，可画出 $$ Y(\omega)=X(\omega-\omega_{M}),~\omega>0 $$ $$ Y(\omega)=X(\omega+\omega_{M}),~\omega<0 $$ 如图 P7.14-3(a) 所示. (b) 由图 P7.14-3(a) 可知，利用一个乘法器和一个截止频谱 $ \omega_{c}=\omega_{M} $，增益为2的理想低通滤波器即可实现，如图 P7.14-3(b) 所示。 (c) 其相应的解密器框图类似于图 P7.14-3(b)，用一个乘法器解调，再用一个理想低通滤波器，如图 P7.14-3(c) 所示。 7.15 图 P7.15 表示一个斩波放大器。它根据调幅原理将低 频信号搬到较高频段上。 (a) 若 $ y(t) $ 正比于 $ x(t) $ （即如果整个系统等效于一个放大器），根据 T 确定 $ x(t) $ 中允许存在的最高频率。 (b) 若 $ x(t) $ 为 (a) 小题中所述的带限信号，用 A 和 T 确定图 P7.15 中整个系统的增益. 解： (a) 周期方波 $ s(t) $ 的傅里叶变换为 $$ S(\omega)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\frac{2\sin\left(k\pi/2\right)}{k}\delta\left(\omega-\frac{2\pi}{T}k\right) $$ 如图 P7.15-1(a) 所示. 若信号 $ x(t) $ 的振幅为 A，则第一个调制器后信号频谱为 $$ \frac{A}{2\pi}X(\omega)*S(\omega)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\frac{A\sin\left(k\pi/2\right)}{\pi k}X\left(\omega-\frac{2\pi}{T}k\right) $$ 也就是说， $ X(\omega) $ 的频谱每间隔 $ \frac{2\pi}{T} $ 又重复一次。若信号 $ x(t) $ 是带限的，如图 P7.15-1(b) 所示，则调制器输出谱如图 P7.15-1(c) 所示。显然，为避免混叠，信号的最高频率 $ \omega_{M} $ 应限制为 $$ \omega_{M}<\frac{\pi}{T} $$ 而带通滤波器 $ H_{1}(\omega) $ 的输出为 $$ \begin{aligned}\left[\frac{A}{2\pi}\;X(\omega)*\mathcal{S}(\omega)\right]H_{1}(\omega)&=\frac{A\sin\pi/2}{\pi}X\left(\omega\pm\;\frac{2\pi}{T}\right)\\&=\frac{A}{\pi}X\left(\omega\pm\;\frac{2\pi}{T}\right)\end{aligned} $$ 如图 P7.15-1(d) 所示。再经过第二个调制器的输出为 $$ \begin{aligned}{\frac{1}{2\pi}}&{{}\left\{\left[\frac{A}{2\pi}X(\omega)*\mathcal{S}(\omega)\right]H_{1}(\omega)\right\}*\mathcal{S}(\omega)}\\ {}&{{}=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\frac{A\sin\left(k\pi/2\right)}{\pi^{2}k}X\left(\omega\pm\frac{2\pi}{T}-\frac{2\pi}{T}k\right)}\\ \end{aligned} $$ 低通滤波器 $ H_{2}(\omega) $ 的输出为 $$ \begin{aligned}Y(\omega)&=H_{2}(\omega)\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\frac{A\sin\left(k\pi/2\right)}{\pi^{2}k}X\left(\omega\pm\frac{2\pi}{T}-\frac{2\pi}{T}k\right)\\&=\frac{2A}{\pi^{2}}X(\omega)\end{aligned} $$ 如图 P7.15-1(e) 所示. (b) 由图 P7.15-1(e) 可知，系统的总增益为 $$ G=\frac{2A}{\pi^{2}} $$ 7.16 假定在一个二元频移键控（FSK）系统中，对于消息 $ m_{0} $，发送长度为 T 的 $ \cos\omega_{0}t $，对于消息 $ m_{1} $，发送长度为 T 的 $ \cos\omega_{1}t $ 的信号，如图 P7.16-1 所示。当接收到高频脉冲 b(t) 时，可用图 P7.16-2 所示的系统来判断是消息 $ m_{0} $，还是消息 $ m_{1} $。 (a) 证明：当 $ \cos\omega_{0}t $ 和 $ \cos\omega_{1}t $ 满足关系 $$ \int_{0}^{T}\cos\omega_{0}t\cos\omega_{1}t d t=0 $$ 时，图 P7.16-2 中两路输出的绝对值之间差别最大。 (b) 可能选择这样的 $ \omega_{0} $ 和 $ \omega_{1} $，使得没有一个长度为 T 的区间能满足 $$ \int_{0}^{T}\cos\omega_{0}t\cos\omega_{1}t dt=0 $$ 吗？ 解： (a) 由图 P7.16-2 可知，两路输出的绝对值之间的差为 $$ D_{0}=\int_{0}^{T}\cos^{2}\omega_{0}t d t-\left|\int_{0}^{T}\cos\omega_{0}t\cos\omega_{1}t d t\right| $$ 和 $$ D_{1}=\int_{0}^{T}\cos^{2}\omega_{1}t dt\;-\;\left|\int_{0}^{T}\cos\omega_{0}t\cos\omega_{1}t dt\right| $$ $$ D_{0}\leqslant\int_{0}^{T}\cos^{2}\omega_{0}t dt $$ 显然， $$ D_{1}\leqslant\int_{0}^{\pmb{T}}\cos^{2}\omega_{1}t dt $$ 可见，当满足条件 $$ \left|\int_{0}^{\mathbf{T}}\cos\omega_{0}t\cos\omega_{1}t dt\right|=0\ 时 $$ 它们的差值最大。 (b) 因为 $$ \cos\omega_{0}t\cos\omega_{1}t=\frac{1}{2}\cos\left(\omega_{1}+\omega_{0}\right)t+\frac{1}{2}\cos\left(\omega_{1}-\omega_{0}\right)t $$ 所以 $$ \begin{aligned}{\int_{0}^{T}\cos\omega_{0}t\cos\omega_{1}t d t}&{{}=\frac{1}{2}\int_{0}^{T}[\cos\left(\omega_{0}+\omega_{1}\right)t}\\ {}&{{}\quad+\cos\left(\omega_{0}-\omega_{1}\right)t]d t}\\ \end{aligned} $$ 由上式可知，若选 $ \omega_{0} $ 和 $ \omega_{1} $，使得 T 为 $ \cos(\omega_{0}+\omega_{1})t $ 和 $ \cos(\omega_{0}-\omega_{1})t $ 的周期的公共倍数时，就不能满足 $$ \int_{0}^{T}\cos\omega_{0}t\cos\omega_{1}t d t=0 $$ 7.17 图 P7.17-1 表示一个超外差式接收系统，其输入信号 $ y(t) $ 由多路频分复用的调幅信号叠加而成（各路信号占有不同频道）. (a) 假定其中一个频道具有图 P7.17-2 所示频谱 $ Y_{1}(\omega) $ 的调幅信号 $ y_{1}(t)=x_{1}(t)\cos\omega_{c}t $。若利用图 P7.17-1 所示的系统来解频分复用和解调，以便恢复调制信号 $ x_{1}(t) $。粗调滤波器具有图 P7.17-2(b) 所示的频谱 $ H_{1}(\omega) $。确定固定选频滤波器 $ H_{2}(\omega) $ 的输入信号的频谱 $ Z(\omega) $。画出并标明 $ \omega>0 $ 时的频谱 $ Z(\omega) $。 (b) 固定选频滤波器是一个中心频率为 $ \omega_{1} $ 的带通型滤波器，如图 P7.17-3 所示。要求滤波器 $ H_{2}(\omega) $ 的输出为 $ r(t)=x_{1}(t)\cos\omega_{f}t $。若要确保 $ x_{1}(t) $ 的频谱不失真地位于 $ \omega=\omega_{f} $，根据 $ \omega_{e} $ 和 $ \omega_{M} $，确定图 P7.17-2 中 $ \omega_{T} $ 的约束条件。 (c) 为使 $ r(t) = x_{1}(t) \cos \omega_{f} t $，确定图 P7.17-3 中 G、 $ \alpha $ 和 $ \beta $ 的值. 解： (a) 由图 P7.17-2 可知，信号 $ y(t) $ 经中心频率为 $ \omega_{e} $ 的滤波器 $ H_{1}(\omega) $ 后的输出频谱如图 P7.17-4(a) 所示。该信号与振荡器输出的信号 $ \cos(\omega_{e} + \omega_{f})t $ 调制后输出频谱 $ z(\omega) $ 为图 P7.17-4(a) 频谱位移 $ \pm(\omega_{e} + \omega_{f}) $，如图 P7.17-4(b) 所示。 (b) 由图 P7.17-4(b) 可见，若要确保 $ x_{1}(t) $ 的频谱不失真地位于 $ \omega = \omega_{f} $，则应满足 $$ 2\omega_{c}+\omega_{f}-\omega_{T}\geqslant\omega_{f}+\omega_{M} $$ 即 $$ \omega_{T}\leqslant2\omega_{c}-\omega_{M} $$ 注意，若 $ \omega_{f}-\omega_{T} $ 是负值，则有必要对 $ \omega_{T} $ 加以限制，即要求 $$ \omega_{t}-\omega_{M}\geqslant-\omega_{t}+\omega_{M} $$ 即 $$ \omega_{T}\leqslant2\omega_{f}-\omega_{M} $$ 通常都要求 $ \omega_{f}-\omega_{M}>0 $ (c) 由图 P7.17-4(b) 可知， $ G = \frac{2}{k} $， $ \alpha = \omega_f - \omega_M $， $ \beta = \omega_f + \omega_M $ 时， $$ r\left(t\right)\;=\;x_{1}(t)\;\cos\omega_{f}t $$ 7.18 一种多路复用系统如图 P7.18(a) 所示，解复用系统如图 P7.18(b) 所示。假定 $ x_{1}(t) $ 和 $ x_{2}(t) $ 都是带限的，其最高频率为 $ \omega_{M} $，因此当 $ |\omega| > \omega_{M} $ 时， $ X_{1}(\omega) = X_{2}(\omega) = 0 $。假定载波频率 $ \omega_{t} $ 大于 $ \omega_{M} $，证明 $ y_{1}(t) = x_{1}(t) $， $ y_{2}(t) = x_{2}(t) $。 解：设 $ x_{1}(t) $ 和 $ x_{2}(t) $ 的傅里叶变换分别为 $ X_{1}(\omega) $ 和 $ X_{2}(\omega) $。而 $$ \begin{aligned}&\cos\omega_{c}t\longleftrightarrow\pi\left[\delta(\omega-\omega_{c})+\delta(\omega+\omega_{c})\right]\\&\sin\omega_{c}t\longleftrightarrow\frac{\pi}{j}\left[\delta(\omega-\omega_{c})-\delta(\omega+\omega_{c})\right]\\ \end{aligned} $$ 设 $ r_{1}(t) $、 $ r_{2}(t) $ 及 $ r(t) $ 的傅里叶变换分别为 $ R_{1}(\omega) $、 $ R_{2}(\omega) $ 及 $ R(\omega) $，则 $$ \begin{aligned}{R_{1}(\omega)}&{{}=\frac{1}{2\pi}\;X_{1}(\omega)*\mathcal{F}\left\{\cos\omega_{\circ}t\right\}}\\ {}&{{}=\frac{1}{2}\left[X_{1}(\omega-\omega_{c})\;+\;X_{1}(\omega+\omega_{\circ})\right]}\\ \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned}{R_{2}(\omega)}&{{}=\frac{1}{2\pi}X_{2}(\omega)*\mathcal{F}\left\{\cos\omega_{c}t\right\}}\\ {}&{{}=\frac{1}{2j}\left[X_{2}(\omega-\omega_{c})+X_{2}(\omega+\omega_{c})\right]}\\ \end{aligned} $$ 因此 $$ \begin{aligned}R(\omega)&=R_{1}(\omega)+R_{2}(\omega)\\&=\frac{1}{2}[X_{1}(\omega-\omega_{c})+X_{1}(\omega+\omega_{c})]\end{aligned} $$ $$ +\frac{1}{2j}\left[X_{2}(\omega-\omega_{c})-X_{2}(\omega+\omega_{e})\right] $$ 解复用时，上支路解调器输出为 $$ \begin{aligned}{\frac{1}{2\pi}R(\omega)*\mathcal{F}\left\{\cos\omega_{c}t\right\}}&{{}=\frac{1}{4}\left\{X_{1}(\omega-2\omega_{e})\right.}\\ {}&{{}\quad+X_{1}(\omega)\left.+\frac{1}{j}X_{2}(\omega-2\omega_{e})\right.}\\ {}&{{}\quad+\frac{1}{j}X_{2}(\omega)+X_{1}(\omega)+X_{1}(\omega+2\omega_{e})}\\ {}&{{}\quad-\frac{1}{j}X_{2}(\omega)-\frac{1}{j}X_{2}(\omega+2\omega_{e})\bigg\}}\\ {}&{{}=\frac{1}{4}\left\{2X_{1}(\omega)+X_{1}(\omega+2\omega_{e})\right.}\\ {}&{{}\quad+X_{1}(\omega-2\omega_{e})+\frac{1}{j}X_{2}(\omega-2\omega_{e})}\\ {}&{{}\quad-\left.\frac{1}{j}X_{2}(\omega+2\omega_{e})\right\}}\\ \end{aligned} $$ 若 $ X_{1}(\omega) $ 和 $ X_{2}(\omega) $ 的频谱对称，则上式变为 $$ \frac{1}{2\pi}R(\omega)*\mathcal{F}\{\cos\omega_{c}t\}=\frac{1}{2}X_{1}(\omega)+\frac{1}{2}X_{1}(\omega-2\omega_{c}) $$ 经幅度为2的低通滤波器 $ H(\omega) $（其中 $ \omega_{M}<\omega_{c} $）后得到 $$ Y_{1}(\omega)=\left\{\frac{1}{2\pi}\;R(\omega)*\mathcal{F}[\;{\cos\omega_{c}t}]\right\}H(\omega)=X_{1}(\omega) $$ 即 $$ y_{1}(t)=x_{1}(t) $$ 用同样方法可得 $$ \begin{aligned}{\frac{1}{2\pi}R(\omega)*\mathcal{F}\lbrace\sin\omega_{e}t\rbrace}&{{}=\frac{1}{4}\left\lbrace\frac{1}{j}X_{1}(\omega-2\omega_{e})\right.}\\ {}&{{}\quad+\frac{1}{j}X_{1}(\omega)-X_{2}(\omega-2\omega_{e})}\\ \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned}&+X_{2}(\omega)-\frac{1}{j}X_{1}(\omega)-\frac{1}{j}X_{1}(\omega+2\omega_{o})+X_{2}(\omega)\\&-X_{2}(\omega+2\omega_{e})\Big\}\\ \end{aligned} $$ 若 $ X_{1}(\omega) $ 和 $ X_{2}(\omega) $ 的频谱对称，则 $$ \frac{1}{2\pi}\;R(\omega)*\mathcal{F}\{\sin\omega_{e}t\}=\frac{1}{2}\;X_{2}(\omega)\;+\frac{1}{2}\;X_{2}(\omega-2\omega_{e}) $$ 经幅度为2的低通滤波器 $ H(\omega) $后得 $$ Y_{2}(\omega)=X_{2}(\omega) $$ 即 $$ y_{2}(t)=x_{2}(t) $$ 如图 P7.18-1 所示. 7.19 图 P7.19-1 表示一个保留下边带的单边带调制系统. 若 $ X(\omega) $ 是实对称频谱，则图 P7.19-2 画出了相应的频谱。当 $ X(\omega) $ 如图 P7.19-3 所示时，通过画出 $ y_{1}(t) $、 $ y_{2}(t) $ 及 $ y(t) $ 的频谱来证明该系统也只保留其下边带。 解： 由图 P7.19-1 可知， $$ Y_{1}(\omega)=\frac{1}{2\pi}X(\omega)*\mathcal{F}\{\cos\omega_{e}t\} $$ $$ \frac{1}{2}\left[X(\omega-\omega_{e})+X(\omega+\omega_{e})\right] $$ $$ X_{P}(\omega)=X(\omega)H(\omega)=\left\{\begin{matrix}{-j X(\omega),~\omega>0}\\ {j X(\omega)\quad\omega<0}\\ \end{matrix}\right. $$ $$ \begin{aligned}\mathrm{Y}_{2}(\omega)&=\frac{1}{2\pi}X_{P}(\omega)*\mathcal{F}\{\sin\omega_{e}t\}\\&=\left\{\begin{aligned}&\frac{1}{2\pi}\Big\{-jX(\omega)*\frac{\pi}{j}[\delta(\omega-\omega_{e})-\delta(\omega+\omega_{e})]\Big\}\\&\quad=-\frac{1}{2}X(\omega-\omega_{e})+\frac{1}{2}X(\omega+\omega_{e}),\omega+\omega_{e}>0\\\frac{1}{2\pi}&jX(\omega)*\frac{\pi}{j}[\delta(\omega-\omega_{e})-\delta(\omega+\omega_{e})]\\&\quad=\frac{1}{2}X(\omega-\omega_{e})-\frac{1}{2}X(\omega+\omega_{e}),\omega+\omega_{e}<0\end{aligned}\right.\end{aligned} $$ 因此 $$ Y(\omega)=Y_{1}(\omega)+Y_{2}(\omega)=\left\{\begin{aligned}{}&{{}X(\omega+\omega_{e}),\quad\omega+\omega_{e}>0}\\ {}&{{}X(\omega-\omega_{e}),\quad\omega+\omega_{e}<0}\\ \end{aligned}\right. $$ 可见，它们只保留了下边带，如图P7.19-4所示。 7.20 图 P7.20 -1 表示一个保留上边带的单边带系统，图 P7.20-2 为实对称 $ X(\omega) $ 的频谱。 (a) 通过画出该系统的 $ Y_{1}(\omega) $、 $ Y_{2}(\omega) $ 及 $ Y(\omega) $ 来证明其只保留上边带. (b) 当 $ X(\omega) $ 为图 P7.20-3 所示的虚函数 $ X_{1}(\omega) $ 时，同样通过画出该系统的 $ Y_{1}(\omega) $、 $ Y_{2}(\omega) $ 及 $ Y(\omega) $ 来证明其也只保留上边带。 解： (a) 由图 P7.20-1 可知， $$ \begin{aligned}{Y_{1}(\omega)}&{{}=\frac{1}{2\pi}X(\omega)*\mathcal{F}\{\cos\omega_{e}t\}}\\ {}&{{}=\frac{1}{2}\left[X(\omega-\omega_{e})+X(\omega+\omega_{e})\right]}\\ \end{aligned} $$ $$ X_{P}(\omega)=X(\omega)H(\omega)=\left\{\begin{aligned}{j X(\omega),~\omega>0}\\ {-j X(\omega),~\omega<0}\\ \end{aligned}\right. $$ $$ \begin{aligned}{\mathbf{Y}_{2}(\omega)}&{{}=\frac{1}{2\pi}X_{p}(\omega)*\mathcal{F}\left\{\sin\omega_{e}t\right\}}\\ {}&{{}=\left\{\begin{aligned}{}&{{}\frac{1}{2\pi}\left\{\begin{aligned}{}&{{}j X(\omega)*\frac{\pi}{j}[\delta(\omega-\omega_{e})-\delta(\omega+\omega_{e})]}\\ {}&{{}=\frac{1}{2}X(\omega-\omega_{e})-\frac{1}{2}X(\omega+\omega_{e}),\;\omega+\omega_{c}>0}\\ \end{aligned}\right.}\\ {}&{{}\frac{1}{2\pi}\left\{\begin{aligned}{}&{{}-j X(\omega)*\frac{\pi}{j}[\delta(\omega-\omega_{e})-\delta(\omega+\omega_{e})]}\\ {}&{{}=-\frac{1}{2}X(\omega-\omega_{e})+\frac{1}{2}X(\omega+\omega_{e}),\omega+\omega_{e}<0}\\ \end{aligned}\right.}\\ \end{aligned}\right.}\\ \end{aligned} $$ 因此 $$ \mathrm{Y}(\omega)=\mathrm{Y}_{1}(\omega)+\mathrm{Y}_{2}(\omega)=\left\{\begin{aligned}&X(\omega-\omega_{c})&\omega+\omega_{e}>0\\ &X(\omega+\omega_{c})&\omega+\omega_{e}<0\end{aligned}\right. $$ 如图 P7.20-3 所示。可见，它只保留上边带。 (b) 对于图 P7.20-2 所示信号 $ X(\omega) $，显然可表示成 $$ \hat{X}(\omega)=\left\{\begin{aligned}{}&{{}j X(\omega),~\omega>0}\\ {-}&{{}j X(\omega),~\omega<0}\\ \end{aligned}\right. $$ 因此 $$ \begin{aligned}{Y_{1}(\omega)}&{{}=\frac{1}{2\pi}\;\hat{X}(\omega)*\mathcal{F}\{\cos\omega_{e}t\}}\\ {}&{{}=\frac{1}{2}\;[\hat{X}(\omega-\omega_{c})-\hat{X}(\omega+\omega)]}\\ \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned}{}&{{}X_{p}(\omega)=\hat{X}(\omega)H(\omega)=\left\{\begin{aligned}{}&{{}-X(\omega),~\omega>0}\\ {}&{{}-X(\omega),~\omega<0}\\ \end{aligned}\right.}\\ \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned}{\mathbf{Y}_{i}(\omega)}&{{}=\frac{1}{2\pi}X_{p}(\omega)*\mathcal{F}\left\{\sin\omega_{e}t\right\}}\\ {}&{{}\quad\times\frac{1}{2\pi}\left\{j\hat{\mathbf{X}}(\omega)*\frac{\pi}{j}\left[\delta(\omega-\omega_{e})-\delta(\omega+\omega_{e})\right]\right\}}\\ {}&{{}=\frac{1}{2}\hat{X}(\omega-\omega_{e})-\frac{1}{2}\hat{X}(\omega+\omega_{e}),~\omega+\omega_{e}>0}\\ \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned}{\frac{1}{2\pi}\left\{-i\hat{\bar{X}}(\omega)*\frac{\pi}{j}\left[\delta(\omega-\omega_{e})-\delta(\omega+\omega_{e})\right]\right\}}\\ {=-\frac{1}{2}\hat{X}(\omega-\omega_{e})+\frac{1}{2}\hat{X}(\omega+\omega_{e}),}&{{}\omega+\omega_{e}<0}\\ \end{aligned} $$ 因此 $$ Y(\omega)=Y_{1}(\omega)+Y_{2}(\omega)=\left\{\begin{aligned}{}&{{}\hat{X}(\omega-\omega_{e}),~\omega+\omega_{e}>0}\\ {}&{{}\hat{X}(\omega+\omega_{e}),~\omega+\omega_{e}<0}\\ \end{aligned}\right. $$ 其中 $$ \hat{X}(\omega-\omega_{c})=\left\{\begin{matrix}{j X(\omega-\omega_{c}),~\omega-\omega_{c}>0}\\ {-j X(\omega-\omega_{c}),~\omega-\omega_{c}<0}\\ \end{matrix}\right. $$ $$ \hat{\bar{X}}(\omega+\omega_{c})=\left\{\begin{matrix}{j X(\omega+\omega_{c}),~\omega+\omega_{c}>0}\\ {-j X(\omega+\omega_{c}),~\omega+\omega_{c}<0}\\ \end{matrix}\right. $$ 也可通过直接画图，如图 P7.20-4 所示的 $ Y_{1}(\omega) $、 $ Y_{2}(\omega) $ 及 $ Y(\omega) $ 可知，它只保留上边带。 7.21 图 P7.21 (a) 表示保留下边带的单边带系统，而图 P7.21-1(b) 表示保留上边带的单边带系统. (a) 当 $ X(\omega) $ 如图 P7.21-2 所示时，确定并画出下边带已调信号的傅里叶变换 $ S(\omega) $ 和上边带已调信号的傅里叶变换 $ R(\omega) $。假定 $ \omega_{c} > \omega_{s} $。 (b) 图 P7.21-3 表示相移法的单边带系统。证明它所产生的单边带信号与图 P7.21-1(a) 的下边带调制方案所产生的单边带信号成比例（即 p(t) 与 s(t) 成比例）。 (c) 所有 3 种振幅调制单边带信号 (AM-SSB) 都可用图 P7.21-1 右边所示方案来解调。证明：只要接收机的振荡器与发射机的振荡器同相，且 $ W = \omega_{c} $，则无论接收到的信号是 s(t)、r(t) 或 p(t)，解调器的输出都是 x(t)。 解： (a) 设 $ x(t) \leftarrow X(\omega) $ 而 $$ \cos\omega_{e}{}^{t}\longleftrightarrow\pi[\delta(\omega+\omega_{e})+\delta(\omega-\omega_{e})] $$ 则 $$ x\left(t\right)\cos\omega_{e}t\longleftrightarrow\frac{1}{2\pi}X(\omega)*\mathcal{F}\left\{\cos\omega_{e}t\right\} $$ $$ \mathrm{=}\frac{1}{2}X(\omega+\omega_{c})+\frac{1}{2}X(\omega-\omega_{e}) $$ 如图 P7.21-4(b) 所示. 由图可见，低通滤波器 $ H_{L}(\omega) $为 $$ H_{L}(\omega)=\left\{\begin{aligned}&1,&\mid\omega\mid\leqslant\omega_{*}\\ &0,& 其它 \omega\end{aligned}\right. $$ 如图 P7.21-4(c) 所示。所以 $$ \begin{aligned}{\mathcal{S}(\omega)}&{{}=\left[\frac{1}{2\pi}X(\omega)\ast\mathcal{F}\left\{\cos\omega_{e}t\right\}\right]H_{L}(\omega)}\\ {}&{{}=\left\{\begin{aligned}{}&{{}\frac{1}{2}X(\omega+\omega_{e}),~\omega+\omega_{e}\geqslant0}\\ {}&{{}\frac{1}{2}X(\omega-\omega_{e}),~\omega-\omega_{e}\leqslant0}\\ \end{aligned}\right.}\\ \end{aligned} $$ 如图 P7.21-4(d) 所示. 对于图 P7.21-1(b) 的上边带情况，滤波器之前的分析与上面相同。高通滤波器 $ H_{h}(\omega) $ 为 $$ H_{\hbar}(\omega)=\left\{\begin{aligned}&1,&\left|\omega\right|\geqslant\omega_{*}\\ &0,& 其它 \omega\end{aligned}\right. $$ 所以 $$ \begin{aligned}{R(\omega)}&{{}=\left[\frac{1}{2\pi}X(\omega)*\mathcal{F}\left\{\cos\omega_{c}t\right\}\right]H_{k}(\omega)}\\ {}&{{}=\left\{\begin{aligned}{}&{{}\frac{1}{2}X(\omega+\omega_{c}),~\omega+\omega_{c}\leqslant0}\\ {}&{{}\frac{1}{2}X(\omega-\omega_{c}),~\omega-\omega_{c}\geqslant0}\\ \end{aligned}\right.}\\ \end{aligned} $$ 如图 P7.21-5 所示. (b) 由图 P7.21-3 和图 P7.21-2 可知， $ x(t) $ 经相移器 $ H(\omega) $ 后输出 $ Y_{1}(\omega) $ 为 $$ Y_{1}(\omega)=X(\omega)H(\omega)=\left\{\begin{matrix}{j X(\omega),~\omega<0}\\ {-j X(\omega),~\omega>0}\\ \end{matrix}\right. $$ 如图 P7.21-6(a) 所示. 相移器输 $ y_{1}(t) $ 与 $ \sin\omega_{e}t $ 相乘所得频谱为 $$ \begin{aligned}{y_{2}(t)}&{{}=y_{1}(t)\sin\omega_{\epsilon}t\longleftrightarrow\frac{1}{2\pi}[Y_{1}(\omega)*\mathcal{F}\{\sin\omega_{\epsilon}t\}]}\\ {}&{{}=\frac{1}{2j}[Y_{1}(\omega-\omega_{\epsilon})-Y_{1}(\omega+\omega_{\epsilon})]}\\ \end{aligned} $$ 如图 P7.21-6(b) 所示 $ x(t) $ 与 $ \cos\omega_{e}t $ 相乘所得的频谱 $ Y_{3}(\omega) $ 为 $$ \mathrm{Y}_{\mathrm{3}}(\omega)=\frac{1}{2}\left[X(\omega-\omega_{e})+X(\omega+\omega_{e})\right] $$ 如图 P7.21-6(c) 所示. 系统输出 $ p(t) $ 的频谱 $ P(\omega) $ 为 $$ P(\omega)=Y_{2}(\omega)+Y_{3}(\omega) $$ 如图 P7.21-6(d) 所示. 可见 $ P(\omega) $ 与 $ S(\omega) $ 成比例，从而 $ \dot{p}(t) $ 与 $ s(t) $ 成比例. (c) 对于图 P7.21-1(a)，在接收端 $ s(t)\cos\omega_{e}t $ 的频谱为 $$ \begin{aligned}{\frac{1}{2\pi}\;S(\omega)}&{{}*\mathcal{F}\{\cos\omega_{e}t\}}\\ {}&{{}=\left\{\begin{aligned}{}&{{}\frac{1}{4}X(\omega+2\omega_{c})+\frac{1}{4}X(\omega),\;\omega+2\omega_{c}>0}\\ {}&{{}\frac{1}{4}X(\omega)+\frac{1}{4}X(\omega-2\omega_{e}),\;\omega-2\omega_{e}<0}\\ \end{aligned}\right.}\\ \end{aligned} $$ 如图 P7.21-7(a) 所示。 假设低通滤波器 $ H(\omega) $ 的截止频率 $ W = \omega_{c} $，并由图可见，其幅值为4，所以 $$ \begin{aligned}{\left[\frac{1}{2\pi}\mathcal{S}(\omega)*\mathcal{F}\{\cos\omega_{e}t\}\right]H(\omega)}&{{}=\left\{\begin{aligned}{X(\omega),}&{{}\quad\omega+2\omega_{e}>0}\\ {X(\omega),}&{{}\quad\omega-2\omega_{e}<0}\\ \end{aligned}\right.}\\ {}&{{}=X(\omega),~2\omega_{e}>\omega>-2\omega_{e}}\\ \end{aligned} $$ 如图 P7 21-7(b) 所示，所以输出恢复 $ x(t) $. 同样，对于图 P7.21-1(b)，在接收端 $ r(t)\cos\omega_{c}t $ 的频谱为 $$ \begin{aligned}{\frac{1}{2\pi}R(\omega)}&{{}*\mathcal{F}\{\cos\omega_{e}t\}}\\ {}&{{}=\begin{cases}{\frac{1}{4}X(\omega+2\omega_{e})+\frac{1}{4}X(\omega),\;\omega+2\omega_{e}>0}\\ {\frac{1}{4}X(\omega)+\frac{1}{4}X(\omega-2\omega_{e}),\;\omega-2\omega_{e}<\emptyset}\\ \end{cases}}\\ \end{aligned} $$ 如图 P7.21-7(d) 所示. 同样，若低通滤波器 $ H(\omega) $ 的截止频率 $ W = \omega_{e} $，幅值为 4，则 $$ \begin{aligned}{\Big[\frac{1}{2\pi}R(\omega)*\mathcal{F}\{\cos\omega_{c}t\}\Big]H(\omega)}&{{}=\Big\{\begin{aligned}{}&{{}X(\omega),~\omega+2\omega_{c}>0}\\ {}&{{}X(\omega),~\omega-2\omega_{c}<0}\\ \end{aligned}}\\ {}&{{}=X(\omega),~2\omega_{c}>\omega>-2\omega_{*}}\\ \end{aligned} $$ 如图 P7.21-7(e) 所示。 7.22 图 P7.22-1 中虚线框的部分表示一种脉冲调幅(PAM)系统. 系统的输出是 PAM 信号 q(t). (a) 设 $ x(t) $ 为图 P7.22-2 所示的带限信号，即 $ \left| \omega \right| \geqslant \pi $ (T) 时 $ X(\omega) = 0 $。确定并画出 $ R(\omega) $ 和 $ Q(\omega) $。 (b) 求 $ \triangle $的最大值，使得通过一个合适的滤波器 $ M(\omega) $后， 有 $ W(t) = x(t) $. (c) 确定并画出一个使 $ W(t) = x(t) $ 的补偿滤波器 $ M(\omega) $ 解： (a) $ p(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \delta(t - nT) $ 的傅里叶变换为 $$ P\left(\omega\right)=\frac{2\pi}{T}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\delta\left(\omega-\frac{2\pi}{T}k\right) $$ 如图 P7.22-3(a) 所示. $ x(t) $ 与 $ p(t) $ 相乘得 $ r(t) $ 的傅里叶变换为 $$ \begin{aligned}{R(\omega)}&{{}=\frac{1}{2\pi}\left[X(\omega)*\mathcal{P}(\omega)\right]}\\ {}&{{}=\frac{2\pi}{2\pi T}X(\omega)*\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\delta\left(\omega-\frac{2\pi}{T}k\right)}\\ {}&{{}=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}X\left(\omega-\frac{2\pi}{T}k\right)}\\ \end{aligned} $$ 如图 P7.22-3(b) 所示。其 $ R(\omega)=0 $。 图中低通滤波器 $ h(t) $ 的傅里叶变换为 $$ H(\omega)=2\;\frac{\sin{(\omega\Delta/2)}}{\omega} $$ 如图 P7.22-3(c) 所示。而 $$ Q(\omega)=H(\omega)R(\omega) $$ 如图 P7.22-3(d) 所示. (b) 在 $ -\frac{\pi}{T}\leqslant|\omega|\leqslant\frac{\pi}{T} $区间， $ R(\omega)=\frac{1}{T}X(\omega) $，所以 $$ Q(\omega)=H(\omega)\cdot R(\omega)=H(\omega)\frac{1}{T}X(\omega) $$ 这就要求 $$ H(\omega)\neq0,\ |\omega|\leqslant\pi/T $$ 由图 P7.22-3(c) 可知，只有 $ \frac{2\pi}{\Delta} \geqslant \frac{\pi}{T} $，即 $ \Delta \leqslant 2T $ 时才是可能的，因此最大 $ \Delta $ 值为 $ \Delta_{max} = 2T $。 (c) 若在一 $ \frac{\pi}{T} \leqslant \omega \leqslant \frac{\pi}{T} $ 范围内 $ M(\omega) $ 是 $ H(\omega) $ 的逆系统，且幅值相差 T 倍，即 $$ M(\omega)=\left\{\begin{aligned}\frac{T}{H(\omega)},&|\omega|\leqslant\frac{\pi}{T}\\ 0,& 其它 \omega\end{aligned}\right. $$ 如图 P7.22-3(d) 所示，则可使 $ w(t) = x(t) $。 7.23 假定用一个傅里叶变换如图 P7.23-1 所示的离散时间信号 x[n] 对正弦序列 $ \cos Q_{e}n $ 进行振幅调制，如图 P7.23-2 所示。 (a) 确定并画出 $ y[n] $ 的傅里叶变换 $ Y(\mathcal{Q}) $. (b) 图 P7.23-3 表示一个可采用的解调系统。当 $ \theta_{c} $、 $ \mathcal{Q}_{Lp} $ 和 G 为何值时将有 $ \hat{x}[n] = x[n] $? 为了确保能从 y[n] 恢复 x[n]， 对 $ Q_{c} $ 和 $ Q_{L_{p}} $ 有何约束？ 解： (a) 已知 $ X(\mathcal{Q}) $ 如图 P7.23-1 所示，而 $ \cos\mathcal{Q}_{0}n $ 的频谱为 $$ C(\mathcal{Q})=\sum_{l=-\infty}^{+\infty}\pi\{\delta(\mathcal{Q}-\mathcal{Q}_{l}-2\pi l)+\delta(\mathcal{Q}+\mathcal{Q}_{r}-2\pi l)\} $$ 因此 $$ \begin{aligned}Y(\mathcal{Q})&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\pi}C(\theta)X(\mathcal{Q}-\theta)d\theta\\&=\frac{1}{2}\sum_{l=-\infty}^{+\infty}[X(\mathcal{Q}-\mathcal{Q}_{c}-2\pi l]+X(\mathcal{Q}+\mathcal{Q}_{c}-2\pi l)]\end{aligned} $$ 设 $ Q_{c} > Q_{L_{p}} $， $ Q_{c} < \pi - Q_{L_{p}} $，得 Y(Q) 如图 P7.23-4 所示。 (b) 设 $$ \begin{aligned}{C_{1}(\mathcal{Q})}&{{}=\mathcal{F}^{\mathcal{T}}\{\cos{(\mathcal{Q}_{0}n+\theta)}\}}\\ {}&{{}=\sum_{l=-\infty}^{+\infty}\{\pi e^{i\theta}\delta(\mathcal{Q}-\mathcal{Q}_{c}-2\pi l)}\\ {}&{{}\quad+\pi e^{-i\theta}\delta(\mathcal{Q}+\mathcal{Q}_{\epsilon}-2\pi l)\}}\\ \end{aligned} $$ 又设 $$ g[n]=y[n]\cos\left(\mathcal{Q}_{c}n+\theta\right) $$ 则 $$ \begin{aligned}{G(\mathcal{Q})}&{{}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}Y(\theta)C_{1}(\mathcal{Q}-\theta)d\theta}\\ {}&{{}=\frac{1}{2}\sum_{l=-\infty}^{+\infty}[Y(\mathcal{Q}-\mathcal{Q}_{e}-2\pi l)}\\ {}&{{}\quad+Y(\mathcal{Q}+\mathcal{Q}_{e}-2\pi l)]}\\ \end{aligned} $$ 如图 P7.23-5 所示. 因而，若 $ \cos\theta\neq0 $，则 $ \pmb{x}[n]=x[n] $，而滤波器的增益 G $ =\frac{1}{\cos\theta} $。所以 $ \theta=\pm\frac{k\pi}{2} $，k 为奇数是不允许的。 同（a）小题一样，Q_{c} 和 Q_{Lp} 的约束条件为 $$ \mathcal{Q}_{c}>\mathcal{Q}_{L_{p}}\mathrm{~ 和 ~}\mathcal{Q}_{c}<\pi-\mathcal{Q}_{L_{p}} $$ 7.24 图 P 7.24-1 表示正弦载波离散时间调制和解调系统。调制器和解调器的载波之间频率差和相位差分别为 $ \Delta Q = Q_{d} - Q_{c} $ 和 $ \Delta\theta = \theta_{d} - \theta_{c} $ (a) 若 x[n] 的频谱如图 P7.24-2 所示，画出 $ \Delta Q = 0 $ 时的 x[n] 的频谱。 (b) 若 $ \Delta Q = 0 $，证明可通过选择 W，使输出 r[n] 为 $ r[n] = x[n] \cos \Delta \theta $。若 $ \Delta \theta = \frac{\pi}{2} $，那么 r[n] 是什么？ (c) 当 $ \Delta\theta=0 $ 和 $ W=\mathcal{Q}_{M}+\Delta\mathcal{Q} $ 时，证明输出 r[n]=x[n]=x[n] $ \cos(\Delta\mathcal{Q}n) $，(假定 $ \Delta\mathcal{Q} $ 很小)。 解： 由图 P7.24-1 可知，设 $$ g_{c}(t)\;=\;\cos\left(\Omega_{c}n+\theta_{c}\right) $$ $$ g_{d}(t)\;=\;\cos\left(\mathcal{Q}_{d}n+\theta_{d}\right) $$ 的傅里叶变换分别为 $$ G_{c}(\mathcal{Q})=\pi\sum_{l=-\infty}^{+\infty}\{e^{i\theta_{c}\delta}(\mathcal{Q}-\mathcal{Q}_{c}-2\pi l)+e^{-j\theta_{c}\delta}(\mathcal{Q}+\mathcal{Q}_{c}-2\pi l)\} $$ $$ G_{d}(\mathcal{Q})=\pi\sum_{l=-\infty}^{+\infty}\{e^{i\theta_{d}}\delta(\mathcal{Q}-\mathcal{Q}_{d}-2\pi l)+e^{-i\theta_{d}}\delta(\mathcal{Q}+\mathcal{Q}_{d}-2\pi l)\} $$ 如图 P7.24-3(a)、(b) 所示。 因此， $ x[n]\cos\left(\mathcal{Q}_{c}n+\theta_{c}\right) $ 及 $ y[n]\cos\left(\mathcal{Q}_{d}n+\theta_{d}\right) $ 的傅里叶变换 Y(Q) 及 W(Q) 为 $$ \begin{aligned}{Y(\mathcal{Q})}&{{}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}G_{e}(\theta)X(\mathcal{Q}-\theta)d\theta}\\ {}&{{}=\frac{1}{2}X(\mathcal{Q}-\mathcal{Q}_{e}-2\pi l)e^{i\theta_{c}}+\frac{1}{2}~X(\mathcal{Q}+\mathcal{Q}_{e}-2\pi l)e^{-i\theta_{c}}}\\ \end{aligned} $$ 和 $$ \begin{align*}W(\mathcal{Q})&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}G_{d}(\theta)Y(\mathcal{Q}-\theta)d\theta\\&=\frac{1}{2}Y(\mathcal{Q}-\mathcal{Q}_{d}-2\pi l)+\frac{1}{2}Y(\mathcal{Q}+\mathcal{Q}_{d}-2\pi l)\end{align*} $$ 其中，假设 $ Q_{e} > Q_{M}, Q_{e} + Q_{M} < \pi $ (a) 当 $ \Delta Q = 0 $ 时，则 $ Q_{d} = Q_{c} $，所以 $$ Y(\mathcal{Q})=\frac{1}{2\pi}X(\mathcal{Q})*G_{c}(\mathcal{Q}) $$ 如图 P7.24-3(c)、(d) 所示. $$ W\left(\mathcal{Q}\right)=\frac{1}{2\pi}Y\left(\mathcal{Q}\right)*G_{d}\left(\mathcal{Q}\right) $$ (b) 当 $ \Delta Q = 0 $ 时，由图 P7.24-3(d) 可知，当 $ W(\mathcal{Q}) $ 通过 $ H(\mathcal{Q}) $ 后，得 $ R(\mathcal{Q}) $ 如图 P7.24-3(e) 所示。所以 $$ r\left[n\right]=x\left[n\right]\cos\Delta\theta $$ 在 $ \Delta\theta = \frac{\pi}{2} $ 时， $ r[n] = 0 $ (c) 当 $ \Delta\theta = 0, \Delta Q \neq 0 $ 时，则 $$ \vec{W}(\mathcal{Q})=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}G_{d}(\theta)Y(\mathcal{Q}-\theta)d\theta $$ 如图 P7.24-3(f) 所示. 若低通滤波器 $ H(\mathcal{Q}) $ 的截止频率 $ \overline{W} $ 满足 $ \overline{W} = Q_{M} + \Delta Q $，则由图 P7.24-3(f) 可见，输出 $ R(\mathcal{Q}) $ 为 $$ R(\mathcal{Q})=\frac{1}{2}X(\mathcal{Q}+\Delta\mathcal{Q})+\frac{1}{2}X(\mathcal{Q}-\Delta\mathcal{Q}),-\pi\leqslant\mathcal{Q}\leqslant\pi $$ 显然，上式的逆变换为 $$ r\left[n\right]=x\left[n\right]\cos\left(\triangle Q n\right)\approx x\left[n\right] $$ 7.25 设 x[n] 是一个频谱为 X(Q) 的离散时间信号，并设 p(t) 是频谱为 P(ω) 的连续时间脉冲函数。由它们构成脉冲调幅信号 y(t): $$ y\left(t\right)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x\left[n\right]p\left(t-n\right) $$ (a) 用 $ X(\mathcal{Q}) $ 和 $ P(\omega) $ 确定频谱 $ Y(\omega) $ (b) $ p(t) = \left\{ \begin{aligned} & \cos 8\pi t, & 0 \leqslant t \leqslant 1 \\ & 0, & \text{其它} t \end{aligned} \right. $ 确定 $ P(\omega) $ 和 $ Y(\omega) $. 解： (a) $ y(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x[n]p(t-n) $ 的傅里叶变换为 $$ \begin{aligned}\mathbf{Y}(\omega)&=\int_{-\infty}^{+\infty}\left\{\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n]p(t-n)\right\}e^{-j\omega t}d t\\&=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n]\int_{-\infty}^{+\infty}p(t-n)e^{-j\omega(t-n)}e^{-j\omega n}d(t-n)\\&=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n]e^{-j\omega n}P(\omega)\\&=P(\omega)\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n]e^{-j\omega n}\\&=P(\omega)X(\omega)\\ \end{aligned} $$ 其中 $ X(\omega) = X(\mathcal{Q})|_{\mathcal{Q} = \omega}; X(\mathcal{Q}) $ 是 $ x[n] $ 的频谱。 (b) 设 $ c(t) = \cos 8\pi t $ $$ g\left(t\right)=\left\{\begin{aligned}&1,&&0\leqslant t\leqslant1\\ &0,&& 其它 \end{aligned}\right. $$ 则 $ p(t) = g(t)c(t) $ 的傅里叶变换为 $$ P\left(\omega\right)=\frac{1}{2\pi}\left[G\left(\omega\right)*C\left(\omega\right)\right] $$ 而 $$ C(\omega)=\pi[\delta(\omega+8\pi)+\delta(\omega-8\pi)] $$ $$ G(\omega)=\frac{\sin\omega/2}{\omega/2}\ e^{-j\omega/2} $$ 所以 $$ \begin{aligned}P\left(\omega\right)&=\frac{1}{2\pi}\left[G(\omega)*C(\omega)\right]\\&=\frac{1}{2}G(\omega-8\pi)+\frac{1}{2}G(\omega+8\pi)\\&=\frac{1}{2}\left[\frac{\sin\left(\frac{\omega}{2}-4\pi\right)}{\left(\frac{\omega}{2}-4\pi\right)}e^{-j\omega/2}+\frac{\sin\left(\frac{\omega}{2}+4\pi\right)}{\left(\frac{\omega}{2}+4\pi\right)}e^{-j\omega/2}\right]\\ \end{aligned} $$ 根据（a）小题结果可得 $$ \begin{aligned}Y(\omega)&=P(\omega)X(\omega)\\&=\frac{X(\omega)}{2}\left\{\left[\frac{\sin\left(\frac{\omega}{2}-4\pi\right)}{\left(\frac{\omega}{2}-4\pi\right)}e^{-j\omega/2}\right]\right.\\&\quad\left.+\left[\frac{\sin\left(\frac{\omega}{2}+4\pi\right)}{\left(\frac{\omega}{2}+4\pi\right)}e^{-j\omega/2}\right]\right\}\end{aligned} $$ 7.26 设有一个冲激响应为 $ h_{lp}[n] $ 的离散时间低通滤波器，其频率响应如图 P7.26 所示。用序列 $ (-1)^{n} $ 调制冲激响应 $ h_{lp}[n] $，以便获得 $ h_{hp}[n] = (-1)^{n}h_{lp}[n] $。 (a) 用 $ H_{lp}(\mathcal{Q}) $ 确定 $ H_{hp}(\mathcal{Q}) $，并画出 $ H_{hp}(\mathcal{Q}) $。证明：用 $ (-1)^{n} $ 序列调制低通滤波器的冲激响应之结果， $ H_{lp}(\mathcal{Q}) $ 就相当 于一个高通滤波器。 (b) 反之，证明用 $ (-1) $ 序列调制离散时间高通滤波器的冲激响应，则就变换成一个低通滤波器。 解： $$ \begin{array}{r l}{\left(\mathfrak{a}\right)}&{{}h_{l p}[n]=(-1)^{n}h_{l p}[n]=e^{i\pi n}h_{l p}[n]}\end{array} $$ 利用频移特性可得上式的傅里叶变换为 $$ H_{\hbar p}(\mathcal{Q})=H_{l p}\left(\mathcal{Q}-\pi\right) $$ 可见，将图 P7.26 的 $ H_{lp}(\mathcal{Q}) $ 位移 $ \pi $，得图 P7.26-1 的高通滤波器。 (b) 由于 $ (-1)^{n}h_{hp}[n] $ 是将 $ H_{hp}(\mathcal{Q}) $ 再位移 $ \pi $，因此又返回到 $ H_{Lp}(\mathcal{Q}) $，所以是一个低通滤波器。即 $$ (-1)^{n}h_{h p}[n]=e^{i\pi n}h_{h p}[n]\longleftrightarrow H_{h p}(\mathcal{Q}-\pi). $$ 7.27 假定一个冲激响应为 $ h_{L_{p}}[n] $，频率响应为 $ H_{lp}(\Omega) $ 的低通滤波器，其差分方程为 $$ \sum_{k=0}^{N}a_{k}y[n-k]=\sum_{k=0}^{M}b_{k}x[n-k], $$ (a) 用差分方程的系数表示频率响应 $ H_{lp}(\mathcal{Q}) $ (b) 用 $ (-1)^{n} $ 调制，将低通滤波器 $ h_{lp}[n] $ 变换成高通滤波器 $ h_{hp}[n] $，即 $$ h_{h p}[n]=(-1)^{n}h_{h p}[n]_{\circ} $$ 试用 $ H_{lp}(\mathcal{Q}) $ 表示频率响应 $ H_{lp}(\mathcal{Q}) $。 (c) 利用 (a)、(b) 小题所得结果，证明若差分方程式 (P7.27-1) 实现了 $ H_{lp}(\mathcal{Q}) $，则差分方程 $$ \sum_{k=0}^{N}(-1)^{k}a_{k}y[n-k]=\sum_{k=0}^{M}(-1)^{k}b_{k}x[n-k], $$ 就实现了 $ H_{hp}(\mathcal{Q}) $ 解： (a) $$ \sum_{k=0}^{N}a_{k}y[n-k]=\sum_{k=0}^{M}b_{k}x[n-k] $$ 两边取傅里叶变换，有 $$ \sum_{k=0}^{N}a_{k}e^{-j\mathcal{Q}k}\Upsilon(\mathcal{Q})=\sum_{k=0}^{N}b_{k}e^{-j\mathcal{Q}k}X(\mathcal{Q}) $$ 所以 $$ H_{l p}(\mathcal{Q})=\frac{Y(\mathcal{Q})}{X(\mathcal{Q})}=\frac{\displaystyle\sum_{k=0}^{M}b_{k}e^{-j\mathcal{Q}^{k}}}{\displaystyle\sum_{k=0}^{N}a_{k}e^{-j a_{k}}} $$ (b) $$ h_{h p}[n]=(-1)^{n}h_{l p}[n]=e^{-i n n}h_{l p}[n] $$ 所以上式的傅里叶变换为 $$ H_{h p}(\mathcal{Q})=H_{~l p}(\mathcal{Q}-\pi) $$ (c) $$ \begin{aligned}{H_{k p}\left(\mathcal{Q}\right)}&{{}=H_{l p}(\mathcal{Q}-\pi)=\frac{\displaystyle\sum_{k=0}^{M}b_{k}e^{-j(\mathcal{Q}-\pi)k}}{\displaystyle\sum_{k=0}^{N}a_{k}e^{-j(\mathcal{Q}-\pi)k}}}\\ {}&{{}=\frac{\displaystyle\sum_{k=0}^{M}(-1)^{k}b_{k}e^{-i\mathcal{Q}k}}{\displaystyle\sum_{k=0}^{N}(-1)^{k}a_{k}e^{-i\mathcal{Q}k}}}\\ \end{aligned} $$ 式中用到了 $ e^{j\pi k}=(-1)^{k} $ 根据 $ H(\mathcal{Q}) = \frac{Y(\mathcal{Q})}{X(\mathcal{Q})} $，其中 $ H(\mathcal{Q}) $ 由 $$ \sum_{k=0}^{N}(-\mathrm{1})^{k}a_{k}e^{-j\Omega k}\mathrm{Y}(\mathcal{Q})=\sum_{k=0}^{N}(-\mathrm{1})^{k}b_{k}e^{-j\Omega k}\mathrm{X}(\mathcal{Q}) $$ 给出。对上式两边取傅里叶逆变换，得 $$ \sum_{k=0}^{N}(-1)^{k}a_{k}y[n-k]=\sum_{k=0}^{M}(-1)^{k}b_{k}x[n-k] $$ 即证。 7.28 图 P7.28-1 与图 P7.28-2 表示图 P7.13-1 与图 P7.13-2 系统的离散时间对应系统，即用 $ 90^{\circ} $ 相移器实现低通滤波器的系统。 (a) 证明图 P7.28-1 和图 P7.28-2 的系统是等效的. (b) 证明上述系统等效于一个理想的低通滤波器，并用载频 $ Q_{c} $ 确定滤波器的截止频率. 解： (a) 在图 P7.28-1 中， $$ \begin{aligned}{y[n]}&{{}=\mathcal{I}_{m}\{[\left(x[n]e^{i\mathcal{Q}_{0}n}\right)*h[n]]e^{-i\mathcal{Q}_{0}n}\}}\\ {}&{{}=\cos\mathcal{Q}_{0}n\mathcal{I}_{m}\{x[n]e^{i\mathcal{Q}_{0}n}*h[n]\}}\\ {}&{{}\quad-\sin\mathcal{Q}_{0}n\mathcal{R}_{e}\{x[n]e^{i\mathcal{Q}_{0}n}*h[n]\}}\\ \end{aligned} $$ 由于 $$ H(\mathcal{Q})=\left\{\begin{matrix}{j,~0<\mathcal{Q}<\pi}\\ {-j,~-\pi<\mathcal{Q}<0}\\ \end{matrix}\right. $$ 的傅里叶逆变换 h[n] 是实序列，所以 $$ \begin{aligned}{y[n]=}&{{}~\cos\mathcal{Q}_{0}n\{x[n]\sin\mathcal{Q}_{0}n\ast h[n]\}}\\ {}&{{}\quad--\sin\mathcal{Q}_{0}n\{x[n]\cos\mathcal{Q}_{0}n\ast h[n]\}_{*}.}\\ \end{aligned} $$ 恰好是图 P7.28-2 中的时域表达式，所以两者等效。 (b) 类似于 7.13(a) 小题的讨论，由图 P7.28-1 可得 $$ R_{1}(\mathcal{Q})=X(\mathcal{Q}-\mathcal{Q}_{c}) $$ $$ R_{2}(\mathcal{Q})=X(\mathcal{Q}-\mathcal{Q}_{c})H(\mathcal{Q})=\left\{\begin{aligned}{}&{{}X(\mathcal{Q}-\mathcal{Q}_{c})e^{i\frac{\pi}{2}},}&{0<\mathcal{Q}<\pi}\\ {}&{{}X(\mathcal{Q}-\mathcal{Q}_{c})e^{-i\frac{\pi}{2}},}&{-\pi<\mathcal{Q}<0}\\ \end{aligned}\right. $$ $$ R_{3}(\mathcal{Q})=R_{2}(\mathcal{Q}+\mathcal{Q}_{c})=\left\{\begin{aligned}{}&{{}X(\mathcal{Q})e^{j\frac{\pi}{2}},~0<(\mathcal{Q}+\mathcal{Q}_{e})<\pi}\\ {}&{{}X(\mathcal{Q})e^{-j\frac{\pi}{2}},~-\pi<(\mathcal{Q}+\mathcal{Q}_{c})<0}\\ \end{aligned}\right. $$ 而 $$ y\left(t\right)\;=\;\mathcal{I}_{m}\{r_{3}[n]\}\;=\frac{1}{2}\left\{r_{3}[n]\;-\;r_{\mathfrak{s}}^{*}[n]\right\} $$ 其傅里叶变换为 $$ Y(\mathcal{Q})=-j\frac{1}{2}\left\{R_{3}(\mathcal{Q})-R_{3}^{*}(-\mathcal{Q})\right\}=\left\{\begin{matrix}{X(\mathcal{Q}),}&{|\mathcal{Q}|<\mathcal{Q}_{c}}\\ {0,}&{\mathcal{Q}_{c}<|\mathcal{Q}|<\pi}\\ \end{matrix}\right. $$ 如图 P7.28-3 所示。 7.29 图 P7.29-1 表示一个离散时间系统. (a) 一般情况下，整个系统是线性的吗？是时不变的吗？ (b) 若 $ \phi_{1}[n]=z^{-n} $， $ \phi_{2}[n]=z^{n} $，其中 z 是任意复数，证明整个系统是 LTI 的。 (c) 若 $ \phi_{1}[n]=(j)^{-n} $， $ \phi_{2}[n]=j^{n} $， $ H(\mathcal{Q}) $ 如图 P7.29-2 所示。画出整个系统的频率响应（振幅及相位）。 解： (a) 由图 P7.29-1 可见，若输入为 $ a_{1}x_{1}[n] $，则输出 $ y_{1}[n] $ 为 $$ y_{1}[n]=\phi_{2}[n]\sum_{k=-\infty}^{+\infty}a_{1}\phi_{1}[k]x_{1}[k]h[n-k] $$ 若输入为 $ a_{2}x_{2}[n] $，则输出 $ y_{2}[n] $ 为 $$ y_{2}[n]=\Phi_{2}[n]\sum_{k=-\infty}^{+\infty}a_{2}\phi_{1}[k]x_{2}[k]h[n-k] $$ 其中 $ a_{1} $， $ a_{2} $ 均为常数。 于是可得 $$ y_{1}[n]+y_{2}[n]=\phi_{2}[n]\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\phi_{1}[k]\{a_{1}x_{1}[k]+a_{2}x_{2}[k]\}h[a-k]^{-1} $$ 若输入是 $ a_{1}x_{1}[n]+a_{2}x_{2}[n] $，则输出为 $$ y_{3}[n]=\phi_{2}[n]\sum_{k=-\infty}^{\infty}\phi_{1}[k]\{a_{1}x_{1}[k]+a_{2}x_{2}[k]\}h[n-k] $$ 可见 $$ y_{3}[n]=y_{1}[n]+y_{2}[n] $$ 所以系统是线性的。 现在假设图 P7.29-1 中的 $ \phi_{1}[n]=\phi_{2}[n]=\delta[n] $，设 $ x_{1}[n]=\delta[n] $，则 $$ \begin{aligned}{y_{1}[n]}&{{}=\phi_{2}[n]\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x_{1}[k]h[n-k]}\\ {}&{{}=\delta[n]\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\delta[k]h[n-k]}\\ {}&{{}=h[0]\delta[n]}\\ \end{aligned} $$ 又设 $ x_{2}[n]=\delta[n-n_{0}] $，其中 $ n_{0}\neq0 $，则 $$ \begin{aligned}{y_{2}[n]}&{{}=\phi_{2}[n]\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x_{2}[\hat{k}]h[n-k]}\\ {}&{{}=\delta[n]\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\delta[k-n_{0}]h[n-k]}\\ {}&{{}=\delta[n]h[n-n_{0}]=\delta[n]h[-n_{0}]=0}\\ \end{aligned} $$ 式中 $ h[-n_{0}] = 0 $，因 LTI 系统 $ H(\mathcal{Q}) $ 是因果的。 因此 $ x_{2}[n]=x_{1}[n-n_{0}] $ 时， $ y_{2}[n]\neq y_{1}[n-n_{0}] $ 所以系统是时变的。 (b) $$ \begin{aligned}{y[n]}&{{}=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]\phi_{1}[k]h[n-k]\phi_{2}[n]}\\ {}&{{}=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]z^{-k}h[n-k]\pi^{a}}\\ \end{aligned} $$ $$ \begin{array}{l}\displaystyle=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]h[n-k]z^{n-k}\\ \displaystyle=x[n]*h[n]z^{n}=x[n]*g[n]\end{array} $$ 其中设 $$ g[n]=h[n]z^{n} $$ 可见，一个实现上述线性卷积的系统是 LTI 的。 (c) 由 (b) 小题结果可知，设 $ z = i = e^{j\frac{\pi}{2}} $，则 $$ g[n]=h[n]z^{n}=e^{j\frac{\pi}{2}}h[n] $$ 利用频移特性，得上式的博里叶变换为 $$ G(\mathcal{Q})=H\left(\mathcal{Q}-\frac{\pi}{2}\right) $$ 如图 P7.29-3 所示。 7.30 利用一种基本的低通滤波器 $ H(Q) $ 与适当的复指数幅度调制来实现一个离散时间滤波器组，如图 P7.30-1 所示. (a) 若 $ H(\mathcal{Q}) $ 为图 P7.30-2(a) 所示的理想低通滤波器，则滤波器组的第 i 个通道等效于频率响应如图 P7.30-2(b) 所示的带通滤波器。确定为达此目的的系数 $ \alpha_{i} $ 和 $ \beta_{i} $ 的值。 (b) 当 $ H(\mathcal{Q}) $ 仍如图 P7.30-2 所示，且 $ \mathcal{Q}_{i}=\frac{2\pi i}{N} $ 时，根据 N 来确定 $ Q_{0} $ 的值，使得该滤波器组覆盖整个频段而没有任何混叠。 解： (a) x[n] 与各路的第一个乘法器相乘结果为 $ x[n]e^{j2\pi\alpha_{i}n} $，其傅里叶变换为 $ X(\Omega - 2\pi\alpha_{i}) $。 由图 P7.30-2 可见， $ H(\mathcal{Q}) $ 只通过宽度为 $ 2Q_{0} $ 的 $ \mathcal{Q}_{i}= $ $ 2\pi\alpha_{i}\pm2\pi k(k=0,1,2,\cdots) $ 附近的区域。因而就要求 $ 2\pi\alpha_{i}= $ $ Q_{i} $，则得 $$ \alpha_{i}=\frac{2\pi}{Q_{i}} $$ 第二个乘法器是为解调，即为了使调制信号返回到频率为 $ \Omega_{i} $ 附近的滤波区域，显然应使 $$ \beta_{i}=--\frac{Q_{i}}{2\pi} $$ 因为图中第二个乘法器将滤波器的输出在频域中位移了 $ 2\pi\beta_{i} $ (b) 因为 $ \varrho_{i}=\frac{2\pi}{N}i,\ i=1,2,\cdots,N-1 $。所以任意二条相邻通路 $ \varrho_{i} $ 之间的长度为 $ \frac{2\pi}{N} $。因此为使该滤波器覆盖整个频段而没有任何混选，就要求低通滤波器的截止频率为 $$ \mathcal{Q}_{0}=\frac{\pi}{N} $$ 7.31 图 P7.31-1 所示的连续时间系统与图 P7.31-2 所示的离散时间系统在以下意义上是类似的，即两者都采用同样的结构形式，使得一个低通滤波器对于整个系统响应来说好象是一个带通滤波器. (a) 证明：在两种情况中，无论对低通滤波器的输入是什么输出 $ y(t) $ 或 $ y[n] $ 都将是一个带通信号。 (b) 确定并画出图 P 7.31-1 和图 P 7.31-2 各系统的整个频率响应。 解： (a) 连续时间情况 由图 P7.31-1 可见，低通滤波器在 $ \left|\omega\right| \geqslant \omega_{0} $ 时输出为零，因此用 $ \cos\omega_{c}t $ 调制后，得 $$ \frac{1}{2}X(\omega+\omega_{c})+\frac{1}{2}X(\omega-\omega_{c}) $$ 经低通滤波后，得 $$ [X(\omega+\omega_{c})+X(\omega-\omega_{e})][U(\omega+\omega_{0})-U(\omega-\omega_{0})] $$ 其中 $ U(\cdot) $ 是阶跃函数，所以经 $ \cos\omega_{c}t $ 解调后得 $$ \begin{aligned}\overline{W}_{1}(\omega)&=\left[\frac{1}{2}X(\omega+2\omega_{e})+\frac{1}{2}X(\omega)\right]\\&\quad\times[U(\omega+\omega_{e}+\omega_{0})-U(\omega+\omega_{e}-\omega_{0})]\\&\quad+\left[\frac{1}{2}X(\omega)+\frac{1}{2}X(\omega-2\omega_{e})\right]\\&\quad\times[U(\omega-\omega_{e}+\omega_{0})-U(\omega-\omega_{e}-\omega_{0})]\end{aligned} $$ 同样可得 $$ \begin{aligned}\overrightarrow{W}_{2}(\omega)=&\left[-\frac{1}{2}X(\omega+2\omega_{e})+\frac{1}{2}X(\omega)\right]\\&\times[U(\omega+\omega_{e}+\omega_{0})-U(\omega+\omega_{e}-\omega_{0})]\\&+\left[\frac{1}{2}X(\omega)-\frac{1}{2}X(\omega-2\omega_{e})\right]\\&\times[U(\omega-\omega_{e}+\omega_{0})-U(\omega-\omega_{e}-\omega_{0})]\end{aligned} $$ 于是得 $$ \begin{aligned}Y(\omega)&=\overline{W}_{1}(\omega)+\overline{W}_{2}(\omega)\\&=X(\omega)[U(\omega+\omega_{c}+\omega_{0})-U(\omega+\omega_{c}-\omega_{0}]\\&\quad+X(\omega)[U(\omega-\omega_{c}+\omega_{0})-U(\omega-\omega_{c}-\omega_{0})]\end{aligned} $$ 由此可见输出 $ Y(\omega) $ 是带通信号. 同样，对于离散时间情况，若 $ Q_{0} + Q_{c} = \pi $，推导过程与推导连续时间情况相似，此处不再重复。另一方面，若 $ Q_{0} + Q_{c} > \pi $，必须考虑覆盖效应。在这种情况下，对于 $ -\pi \leq Q \leq \pi $ 可得 $$ \begin{aligned}\overline{W}_{1}(\mathcal{Q})&=\left\{\frac{1}{2}X(\mathcal{Q}+2\mathcal{Q}_{c})+\frac{1}{2}X(\mathcal{Q})\right\}\\&\quad\times\{U(\mathcal{Q}+\pi)-U(\mathcal{Q}+\mathcal{Q}_{c}-\mathcal{Q}_{0})-U(\mathcal{Q}-\pi)\\&\quad+U[\mathcal{Q}-(\pi-\Delta\mathcal{Q})]\}\\&\quad+\left\{\frac{1}{2}X(\mathcal{Q})+\frac{1}{2}X(\mathcal{Q}-2\mathcal{Q}_{c})\right\}\\&\quad\times\{U(\mathcal{Q}+\mathcal{Q}_{0}-\mathcal{Q}_{c})-U(\mathcal{Q}-\pi)\\&\quad+U(\mathcal{Q}+\pi)-U(\mathcal{Q}+(\pi-\Delta\mathcal{Q})\}\end{aligned} $$ 其中 $ \Delta Q = Q_{0} - (\pi - Q_{c}) $ 同样可得 $$ \begin{aligned}{\overline{{W}}_{2}(Q)}&{{}=\left\{-\frac{1}{2}X(\mathcal{Q}+2\mathcal{Q}_{c})+\frac{1}{2}X(\mathcal{Q})\right\}}\\ {}&{{}\quad\times\{U(\mathcal{Q}+\pi)-U(\mathcal{Q}+\mathcal{Q}_{c}-\mathcal{Q}_{0})}\\ {}&{{}\quad-U(\mathcal{Q}-\pi)+U[\mathcal{Q}-(\pi-\triangle\mathcal{Q})]\}}\\ {}&{{}\quad+\left\{\frac{1}{2}X(\mathcal{Q})-\frac{1}{2}X(\mathcal{Q}-2\mathcal{Q}_{c})\right\}}\\ \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned}&\times\left\{U(\mathcal{Q}-\mathcal{Q}_{c}+\mathcal{Q}_{0})-U(\mathcal{Q}-\pi)+U(\mathcal{Q}+\pi)\right.\\&\left.-U(\mathcal{Q}+(\pi-\Delta\mathcal{Q}))\right\}\\ \end{aligned} $$ 于是得 $$ \begin{aligned}Y(\mathcal{Q})&=\overline{W}_{1}(\mathcal{Q})+\overline{W}_{2}(\mathcal{Q})\\&=X(\mathcal{Q})\{U(\mathcal{Q}+\pi)-U(\mathcal{Q}+\mathcal{Q}_{e}-\mathcal{Q}_{0})\\&\quad-U(\mathcal{Q}-\pi)+U[\mathcal{Q}-(\pi-\Delta\mathcal{Q})]\}\\&\quad+X(\mathcal{Q})\{U(\mathcal{Q}-\mathcal{Q}_{e}+\mathcal{Q}_{0})-U(\mathcal{Q}-\pi)\\&\quad+U(\mathcal{Q}+\pi)-U[\mathcal{Q}+(\pi-\Delta\mathcal{Q})]\}\end{aligned} $$ 因此，对于 $ -\pi\leqslant Q\leqslant\pi $而言， $ Y(Q) $是带通信号。但是，由于 $ Q_{0}+Q_{c}>\pi $，因此产生频谱覆盖效应。 (b) 由 (a) 小题的结果可知 对于连续时间情况，有 $$ \begin{aligned}{H(\omega)}&{{}=\frac{Y(\omega)}{X(\omega)}}\\ {}&{{}=[U(\omega+\omega_{e}+\omega_{0})-U(\omega+\omega_{e}-\omega_{0})]}\\ {}&{{}\quad+[U(\omega-\omega_{e}+\omega_{0})-U(\omega-\omega_{e}-\omega_{0})]}\\ \end{aligned} $$ 对于 $ \omega_{0}<\omega_{c} $ 与 $ \omega_{0}>\omega_{c} $ 两种情况的 $ H(\omega) $ 如图 P7.31(a)、(b) 所示。 对于离散时间情况，若 $ Q_{0} + Q_{c} \leqslant \pi $，有 $$ \begin{aligned}{H(\mathcal{Q})}&{{}=\frac{Y(\mathcal{Q})}{X(\mathcal{Q})}}\\ {}&{{}=[U(\mathcal{Q}-\mathcal{Q}_{e}+\mathcal{Q}_{0})-U(\mathcal{Q}+\mathcal{Q}_{c}-\mathcal{Q}_{0})]}\\ {}&{{}\quad+[U(\mathcal{Q}-\mathcal{Q}_{c}+\mathcal{Q}_{0})-U(\mathcal{Q}-\mathcal{Q}_{e}-\mathcal{Q}_{0})]}\\ \end{aligned} $$ 如图 P7.31-3(c) 所示 若 $ Q_{0} + Q_{c} \geqslant \pi $，有 $$ \begin{aligned}{H(\mathcal{Q})}&{{}=\frac{Y(\mathcal{Q})}{X(\mathcal{Q})}}\\ {}&{{}=[U(\mathcal{Q}+\pi)-U(\mathcal{Q}+\mathcal{Q}_{c}-\mathcal{Q}_{0})}\\ {}&{{}\quad-U(\mathcal{Q}-\pi)+U(\mathcal{Q}-(\pi-\triangle\mathcal{Q}))]}\\ \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned}&+[U(\mathcal{Q}+\pi)-U(\mathcal{Q}-\mathcal{Q}_{c}+\mathcal{Q}_{\varnothing})-U(\mathcal{Q}-\pi)\\&-U(\mathcal{Q}+(\pi-\Delta\mathcal{Q}))]\\ \end{aligned} $$ 如图 P7.31-3(d) 所示. 7.32 与习题 7.18 对应，图 P7.32 表示离散时间正交调制与解调系统。假定信号 $ x_{1}[n] $ 与 $ x_{2}[n] $ 都是最高频率为 $ \mathcal{Q}_{M} $ 的带限信号，即 $$ X_{1}(\mathcal{Q})=X_{2}(\mathcal{Q})=0,\ \mathcal{Q}_{M}<\mathcal{Q}<(2\pi-\mathcal{Q}_{\mathcal{M}}) $$ (a) 为使 $ x_{1}[n] $ 与 $ x_{2}[n] $ 能从 y[n] 中恢复，确定 $ Q_{e} $ 值的范围。 (b) 若 $ \mathcal{Q}_{c} $ 满足 (a) 小题的条件，且 $ y_{1}[n]=x_{1}[n] $ 和 $ y_{2}[n]=x_{2}[n] $，确定 $ H(\mathcal{Q}) $。 解： （a）设 $ X_{1}(\mathcal{Q}) $、 $ X_{2}(\mathcal{Q}) $ 如图 P 7.32-1(a)、(b) 所示。则 $ x_{1}[n]\cos\mathcal{Q}_{c}n+x_{2}[n]\sin\mathcal{Q}_{c}n $ 的博里叶变换 $ R(\mathcal{Q}) $ 为 $$ \begin{aligned}{R(\mathcal{Q})}&{{}=\frac{1}{2}\left[X_{1}(\mathcal{Q}+\mathcal{Q}_{c}-2\pi l)+X_{1}(\mathcal{Q}-\mathcal{Q}_{c}-2\pi l)\right]}\\ {}&{{}\quad+\frac{1}{2j}\left[X_{2}(\mathcal{Q}+\mathcal{Q}_{c}-2\pi l)-X_{2}(\mathcal{Q}-\mathcal{Q}_{c}-2\pi l)\right]}\\ \end{aligned} $$ 如图 P7.32-1(c) 所示. 为避免混叠，由图 P7.32-1 可知，要求 $$ \mathcal{Q}_{c}+\mathcal{Q}_{M}<\pi\;,\;\;\mathcal{Q}_{c}-\;\mathcal{Q}_{M}>0 $$ 因此 $$ \mathcal{Q}_{M}<\mathcal{Q}_{c}<\pi-\mathcal{Q}_{M}。 $$ (b) 由图 P7.32(b) 中的上支路可知 $$ r[n]\cos\mathcal{Q}_{c}n{\longleftrightarrow}\frac{1}{2\pi}\;R(\mathcal{Q})\circledast\mathcal{F}\left\{\cos\mathcal{Q}_{c}n\right\} $$ 将（a）小题中 $ R(\mathcal{Q}) $ 及 $ \mathcal{F}\{\cos\mathcal{Q}_{c}n\} $ 代入，得其频谱为 $$ \begin{aligned}{\frac{1}{2\pi}}&{{}\left[\frac{1}{2}X_{1}(\mathcal{Q}+\mathcal{Q}_{e}-2\pi l)+\frac{1}{2}X_{1}(\mathcal{Q}-\mathcal{Q}_{e}-2\pi l)\right]}\\ {}&{{}\quad+\frac{1}{2j}\left[X_{2}(\mathcal{Q}+\mathcal{Q}_{e}-2\pi l)-\frac{1}{2j}X_{2}(\mathcal{Q}-\mathcal{Q}_{e}-2\pi l)\right]}\\ {}&{{}\quad\circledast\pi\sum_{l=-\infty}^{+\infty}\left\{\delta(\mathcal{Q}-\mathcal{Q}_{e}-2\pi l)+\delta(\mathcal{Q}+\mathcal{Q}_{e}-2\pi l)\right\}}\\ {}&{{}=\frac{1}{4}\sum_{l=-\infty}^{+\infty}[X_{1}(\mathcal{Q}-2\pi l)+X_{1}(\mathcal{Q}-2\mathcal{Q}_{e}-2\pi l)}\\ {}&{{}\quad+X_{1}(\mathcal{Q}+2\mathcal{Q}_{e}-2\pi l)+X_{1}(\mathcal{Q}-2\pi l)]}\\ \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned}&+\frac{1}{4j}\sum_{l=-\infty}^{+\infty}[X_{2}(\mathcal{Q}-2\pi l)-X_{2}(\mathcal{Q}-2\mathcal{Q}_{c}-2\pi l)\\&+X_{2}(\mathcal{Q}+2\mathcal{Q}_{c}-2\pi l)+X_{2}(\mathcal{Q}-2\pi l)]\end{aligned} $$ 设 l=0，可得在 Q=0 附近部分的频谱，为 $$ \begin{aligned}{\frac{1}{2}X_{1}}&{{}(\mathcal{Q})+\frac{1}{2}X_{1}(\mathcal{Q})+\frac{1}{2}j X_{2}(\mathcal{Q})-\frac{1}{2}j X_{2}(\mathcal{Q})}\\ {}&{{}=\frac{1}{2}X_{1}(\mathcal{Q})}\\ \end{aligned} $$ 如图 P7.32-2(a) 所示. 同样，可求出 $ r[n]\sin\Omega_{c}n $ 的频谱在 Q=0 附近部分为 $$ \begin{aligned}-\frac{1}{2}j[i X_{2}(\mathcal{Q})+X_{1}(\mathcal{Q})]+\frac{1}{2}j[-j X_{2}(\mathcal{Q})+X_{1}(\mathcal{Q})]\\=\frac{1}{2}X_{2}(\mathcal{Q})\end{aligned} $$ 如图 P7.32-2(b) 所示. 因此应选低通滤波器 $ H(\Omega) $ 为 $$ H(\mathcal{Q})=\left\{\begin{aligned}{}&{{}2,|\mathcal{Q}|<\mathcal{Q}_{\mathcal{M}}}\\ {}&{{}0,\mathcal{Q}_{\mathcal{M}}<|\mathcal{Q}|<\pi}\\ \end{aligned}\right. $$ 则 $$ \begin{aligned}{Y_{1}(\omega)}&{{}=\frac{1}{2\pi}R(\mathcal{Q})\circledast\mathcal{F}\left\{\cos\mathcal{Q}_{c}n\right\}H(\mathcal{Q})}\\ {}&{{}=\frac{1}{2}X_{1}(\mathcal{Q})\cdot2=X_{1}(\mathcal{Q})}\\ \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned}{Y_{2}(\omega)}&{{}=\frac{1}{2\pi}R(\mathcal{Q})\circledast\mathcal{F}\left\{\sin\mathcal{Q}_{c}n\right\}H(\mathcal{Q})}\\ {}&{{}=\frac{1}{2}X_{2}(\mathcal{Q})\cdot2=X_{2}(\mathcal{Q})}\\ \end{aligned} $$ 如图 P7.32-2(c) 所示. 7.33 图 P7.33-1 表示离散时间脉冲幅度调制系统. (a) 确定并画出图 P7.33-1 中周期方波信号 p[n] 的离散 时间博里叶变换. (b) 假定 $ x[n] $ 具有图 P7.33-2 所示的频谱。若 $ \Omega_{M}=\frac{\pi}{2N} $，且图 P7.33-1 中 M=1。画出 y[n] 的博里叶变换 Y( $ \Omega $)。 (c) 现在假定 X(Q) 已知是带限的，当 $ Q_{M} < Q < (2\pi - Q_{M}) $ 时， $ X(Q) = 0 $，而在其它区域未加限定。对于图 P 7.33-1 的系统，为使得能从 y[n] 恢复 x[n]，作为 N 的函数，确定最大 $ Q_{M} $ 的允许值。其结果是否与 M 有关？ (d) 当 $ \mathcal{Q}_{M} $ 和 N 满足 (c) 小题中所确定的条件时，说明或用框图形式表示出如何从 y[n] 恢复 x[n]。 解： (a) 周期方波的博里叶变换为 $$ P\left(\mathcal{Q}\right)=2\pi\sum_{k=-\infty}^{+\infty}a_{k}\delta\left(\mathcal{Q}-\frac{2\pi}{N}k\right) $$ 其中 由图 P7.33-1 中 p[n] 可知，其博里叶系数 ak 为 $$ \begin{aligned}a_{k}&=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{M}e^{-j k\frac{2\pi}{N}\cdot n}\\&=\frac{1}{N}\left[\frac{1-e^{-j k\frac{2\pi}{N}(M+1)}}{1-e^{-j k\frac{2\pi}{N}}}\right]\\&=\frac{1}{N}\frac{e^{-j\frac{2\pi k}{2N}(M+1)}}{e^{-i\frac{2\pi k}{2N}}}\left[\frac{e^{j\frac{2\pi k}{N}\left(\frac{M+1}{2}\right)}-e^{-j\frac{2\pi k}{N}\left(\frac{M+1}{2}\right)}}{e^{j\frac{2\pi k}{N}}-e^{-j\frac{2\pi k}{N}}}\right]\\&=\frac{e^{-i\frac{2\pi k}{N}\left(\frac{M}{2}\right)}\sin\left[\frac{2\pi k}{N}\left(\frac{M+1}{2}\right)\right]}{N\sin\left(\frac{2\pi k}{2N}\right)},\;k\neq0,\pm N,\pm2N,\cdots\end{aligned} $$ $$ a_{k}=\frac{M+1}{N},~k=0,~\pm N,~\pm2N,\cdots $$ 如图 P7.33-3(a) 所示，图中取 N=6。 (b) M = 1 时，得 $$ a_{k}=\left\{\begin{aligned}{}&{{}\frac{e^{-i\frac{2\pi k}{N}}\sin\left(2\pi k/N\right)}{N\sin\left(\pi k/N\right)},~k\neq0,\pm N,\pm2N,\cdots}\\ {}&{{}\quad}\\ {}&{{}\quad\frac{2}{N},}\\ \end{aligned}\right.k=0,\pm N,\pm2N,\cdots $$ 忽略相位因子，取 N=6，得 $$ \Upsilon(\mathcal{Q})=\frac{1}{2\pi}P(\mathcal{Q})*X(\mathcal{Q}) $$ 如图 P7.33-3(b) 所示. (c) 由图 P7.33-3(b) 可见，若 $ \Omega_{M} \leqslant \frac{\pi}{N} $，则 y[n] 可恢复成 x[n]，且与 M 无关。 (d) 由图 P7.33-3(b) 可见，若低通滤波器如图 P7.33-3(c) 所示，则 y[n] 可恢复成 x[n]。 7.34 设 $ x(t) $ 为一个窄带信号（即调制指数 $ m \ll \frac{\pi}{2} $ 的信号）。在 $ x(t) $ 被传输到调制器之前，先对它进行归一化预处理，使得 $ X(\omega)|_{\omega=0}=0 $ 及 $ |x(t)|<1 $。然后用这个归一化的 $ x(t) $ 对一个载波进行角调制，用以构成 FM 信号 $$ y(t)=\cos\left[\omega_{ct}+m\int_{-\infty}^{t}x(\tau)d\tau\right] $$ (a) 确定瞬时频率 $ \omega_{i} $ (b) 利用窄带的假设（即 $ m \ll \frac{\pi}{2} $），取近似关系 $$ \cos\left(m\sin\omega_{M}t\right)\approx1 $$ $$ \sin\left(m\sin\omega_{M}t\right)\approx m\sin\omega_{M}t $$ 并引用上面所述的归一化条件，证明 $$ y(t)\simeq\cos\omega_{c}t-\left[m\int_{-\infty}^{t}x(\tau)d\tau\right]\sin\omega_{c}t $$ (c) 求 $ y(t) $ 的带宽， $ x(t) $ 的带宽和载波频率 $ \omega_{c} $ 之间的关系。 解： (a) 因 $ y(t) = \cos\left[\omega_{c}t + m\int_{-\infty}^{t}x(\tau)d\tau\right] = \cos[\theta(t)] $ 所以 $$ \theta(t)=\omega_{c}t+m\int_{-\infty}^{t}x(\tau)d\tau $$ $$ \omega_{i}(t)\;=\;{\frac{d}{d t}}\;\theta(t)=\omega_{c}+m x(t) $$ (b) $$ \begin{aligned}{y(t)}&{{}=\cos\Big[\omega_{c}t+m\int_{-\infty}^{t}x(\tau)d\tau}\\ {}&{{}=\cos\omega_{c}t\cdot\cos\Big[m\int_{-\infty}^{t}x(\tau)d\tau\Big]-\sin\omega_{c}\pmb{e}}\\ \end{aligned} $$ $$ \bullet \quad \sin\left[m\int_{-\infty}^{t}x(\tau)d\tau\right] $$ 由于 $ \left|x(t)\right|<1 $，则可利用窄带调制近似式 $$ x(t)\approx\cos\omega_{m}t $$ 又由于 $ m \ll \frac{\pi}{2} $，所以 $$ \begin{aligned}&\cos\left(m\sin\omega_{m}t\right)\approx1\\&\sin\left(m\sin\omega_{m}t\right)\approx m\sin\omega_{m}t\\ \end{aligned} $$ 于是 $ y(t) $ 可近似表示为 $$ \begin{align*}y(t)&\approx\cos\omega_{c} t\cdot\cos\left(m\sin\omega_{m} t\right)-\sin\omega_{c} t\cdot\sin\left[m\sin\omega_{m} t\right]\\&\approx\cos\omega_{c} t-m\sin\omega_{m} t\sin\omega_{c} t\\&\approx\cos\omega_{c} t-m\left(\int_{-\infty}^{t}x(\tau)d\tau\right)\sin\omega_{c} t\end{align*} $$ 可见，它近似于调幅波。 (c) 假设 $ x(t) $ 是带限信号，即当 $ |\omega| > \omega_{B} $ 时 $ X(\omega) = 0 $，按照通带时带宽的定义，是指信号频谱在正频轴上所占据频宽，因而 $ x(t) $ 的带宽为 $ \omega_{B} $，而调频系数 m 定义为 $$ m=\frac{\Delta\omega_{m}}{\omega_{B}} $$ 式中 $ \Delta\omega_{m} $ 是最大频偏，取决于 $ x(t) $ 的最高频率 $ \omega_{B} $ 与 $ x(t) $ 的最大幅度，因而调频信号的带宽为 $$ 2\Delta\omega_{m}=2m\omega_{B} $$ 与载频 $ \omega_{c} $ 无关。若从 $ -\infty $ 到 $ +\infty $ 整个频率轴定义，则 $ x(t) $ 的带宽定义为 $ 2\omega_{B} $，而相应的调频信号 $ y(t) $ 的带宽可近似为 $$ 2(\omega_{e}+\omega_{B}) $$ 如图 P7.34 所示. 7.35 线性调频信号（或称为 chirp 信号）可用复指数时间函数表示为 $$ s(t)=e^{i\theta(t)} $$ 其中 $ \theta(t)=\frac{\omega_{0}t^{2}}{2} $，其瞬时频率为 $ \omega_{i}=\frac{d\theta}{dt} $ (a) 确定瞬时频率. (b) 确定并画出 chirp 信号傅里叶变换的振幅及相位特性. [计算傅里叶变换的积分时可能要用到的关系式： $$ \int_{-\infty}^{\infty}e^{j x^{2}}d z=\sqrt{\frac{\pi}{2}}\left(1+j\right)] $$ (c) 设图 P7.35 所示的系统中， $ s(t) $ 是式 (P7.35) 中的 chirp 信号。证明 $$ y(t)=X(\omega_{0}t) $$ 其中 $ X(\omega) $ 是 $ x(t) $ 的傅里叶变换. 解： (a) 已知 $ s(t) = e^{j\frac{\omega_0 t^2}{2}} $ 其中 $ \theta(t)=\omega t^{2}/2 $，所以 $$ \omega_{i}=\frac{d\theta(t)}{d t}=\frac{d}{d t}\left[\frac{\omega_{0}t^{2}}{2}\right]=\omega_{0}t $$ (b) $ s(t) $ 的傅里叶变换 $ S(\omega) $ 为 $$ S(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{j\frac{\omega_{0}}{2}t^{2}}e^{-i\omega t}d t $$ 而 $$ j\frac{\omega_{0}}{2}t^{2}-j\omega_{t}=j\frac{\omega_{0}}{2}\left(t-\frac{\omega}{\omega_{0}}\right)^{2}-\frac{j\omega^{2}}{2\omega_{0}} $$ 代人得 $$ S\left(\omega\right)\;=\;e^{-j\frac{\omega^{2}}{2\omega_{0}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{j\left[\sqrt{\frac{\omega_{0}}{2}}\left(t-\frac{\omega}{\omega_{0}}\right)\right]^{2}}\;d t} $$ 设 $ z=\sqrt{\frac{\omega_{0}}{2}}\left(t-\frac{\omega}{\omega_{0}}\right) $，则 $ dz=\sqrt{\frac{\omega_{0}}{2}}dt $， $ dt=\sqrt{\frac{2}{\omega_{0}}}dz $ 并利用关系式 $$ \int_{-\infty}^{+\infty}e^{i z^{2}}d z=\sqrt{\frac{\pi}{2}}\left(1+j\right) $$ 代人得 $$ \begin{aligned}{S(\omega)}&{{}=e^{-j\frac{\omega^{4}}{2\omega_{0}}}\sqrt{\frac{2}{\omega_{0}}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{i z^{2}}d z}\\ {}&{{}=\sqrt{\frac{2}{\omega_{0}}}e^{-i\frac{\omega^{4}}{2\omega_{0}}}\sqrt{\frac{\pi}{2}}\left(1+j\right)}\\ {}&{{}=\sqrt{\frac{\pi}{\omega_{0}}}\left(1+j\right)e^{-j\frac{\omega^{4}}{2\omega_{0}}}}\\ {}&{{}=\sqrt{\frac{2\pi}{\omega_{0}}}e^{-i\left(\frac{\omega^{4}}{2\omega_{0}}+\frac{\pi}{4}\right)}}\\ \end{aligned} $$ $$ |S(\omega)|=\sqrt{\frac{2\pi}{\omega_{0}}} $$ 所以振幅特性与相位特性分别为 $$ \phi(\omega)=-\frac{\omega^{2}}{2\omega_{0}}+\frac{\pi}{4} $$ 如图 P7.35-1 所示。 (c) $$ \begin{aligned}{X({{}}{{}}_{0}{{}}_{0}t)}&{{}=\int_{-\infty}^{+\infty}x({{}}\tau)e^{-j({{}}_{0}{{}}_{0}t)\tau}d\tau}\\ {}&{{}=\int_{-\infty}^{+\infty}x({{}}\tau)e^{-j{{}}_{0}{{}}_{0}(t\tau)}d\tau}\\ \end{aligned} $$ 所以 $$ \begin{aligned}{X(\omega_{0}t)}&{{}=\int_{-\infty}^{+\infty}x(\tau)e^{j\frac{\omega_{0}\tau^{L}}{2}}e^{-j\frac{\omega_{0}t^{L}}{2}}e^{j\omega\frac{(t-\tau)^{2}}{2}}d\tau}\\ {}&{{}=e^{-j\frac{\omega t^{L}}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}[x(\tau)e^{-j\frac{\omega\tau^{L}}{2}}]e^{j\omega_{0}\frac{(t-\tau)^{L}}{2}}d\tau}}\\ \end{aligned} $$ 设 $ g(\tau) = x(\tau) e^{-j \omega_0 \frac{\tau^6}{2}} $，则 $$ X(\omega_{0}t)=e^{-j\omega_{0}\frac{t^{4}}{2}}[g(t)*e^{j\frac{\omega_{0}t^{4}}{2}}] $$ 而由图 P7.35 可得输出为 $$ \begin{aligned}y(t)&=\{[x(t)s^{*}(t)]*h(t)\}s^{*}(t)\\&=\{[x(t)e^{-j\frac{\omega_{0}t^{4}}{2}}]*e^{j\frac{\omega_{0}t^{4}}{2}}\}e^{-j\frac{\omega_{0}t^{4}}{2}}\\&=e^{-j\frac{\omega_{0}}{2}t^{2}}[g(t)*e^{j\frac{\omega_{0}}{2}t^{2}}]\\ \end{aligned} $$ 两者正好一致。所以 $$ y(t)=X(\omega_{0}t) $$
