第二章 信号与系统

说明：本章前七个题是复数的表示以及复数的几个基本性质的复习题。为节省篇幅，在此将其删去，未作解答。

2.8（a）证明下列表达式成立

$ \sum_{n=0}^{N-1}\alpha^{n}=\left\{\begin{aligned}&N,&\alpha=1\\ &\frac{1-\alpha^{N}}{1-\alpha},& 对 \alpha\neq1 的任何复数\end{aligned}\right. $

(b) 证明：如果 $ |a| < 1 $，则

$$ \sum_{n=0}^{+\infty}\alpha^{n}=\frac{1}{1-\alpha} $$

(c) 证明：如果 $ |\alpha| < 1 $，则

$$ \sum_{n=0}^{+\infty}n\alpha^{n}=\frac{\alpha}{(1-\alpha)^{2}} $$

(d) 假定 $ \left|\alpha\right|<1 $ ，求 $ \sum_{n=k}^{+\infty}\alpha^{n} $ 的值

解：(a) 当 $ \alpha = 1 $ 时， $ \sum_{n=0}^{N-1} \alpha^{n} = N $

当 $ \alpha \neq 1 $ 时， $ (1 - \alpha) \sum_{n=0}^{N-1} \alpha^{n} = \sum_{n=0}^{N-1} \alpha^{n} - \sum_{n=0}^{N-1} \alpha^{n+1} = 1 - \alpha^{N} $

所以

$$ \sum_{n=0}^{N-1}\alpha^{n}=\frac{1-\alpha^{N}}{1-\alpha} $$

(b) 当 $ \left|\alpha\right|<1 $ 时， $ \lim_{N\to\infty}\alpha^{N}=0 $

由(a)小题可知，

$$ \sum_{n=0}^{+\infty}\alpha^{n}=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=0}^{N-1}\alpha^{n}=\lim_{N\to\infty}\frac{1-\alpha^{N}}{1-\alpha}=\frac{1}{1-\alpha} $$

(c) 由(b)小题知， $ |a|<1 $ 时

$$ \sum_{n=0}^{+\infty}\alpha^{n}=\frac{1}{1-\alpha} $$

上式两端对 $ \alpha $ 微分，得

$$ \sum_{n=0}^{+\infty}n\alpha^{n-1}=\frac{1}{(1-\alpha)^{2}} $$

所以

$$ \sum_{n=0}^{+\infty}n\alpha^{n}=\frac{\alpha}{(1-\alpha)^{2}} $$

(d) 在 $ \left|a\right|<1 $ 时，

$$ \sum_{n=k}^{+\infty}\alpha^{n}=\sum_{n=0}^{+\infty}\alpha^{n}-\sum_{n=0}^{k-1}\alpha^{n}=\frac{1}{1-\alpha}-\frac{1-\alpha^{k}}{1-\alpha}=\frac{\alpha^{k}}{1-\alpha} $$

2.9（a）已知一连续时间信号 $ x(t) $ 如图 P 2.9(a) 所示。画出并仔细标明下列各信号的图形。

(i) $ x(t-2) $ (ii) $ x(1-t) $

(iii) $ x(2t+2) $ (iv) $ x(2-t/3) $

(v) $ [x(t)+x(2-t)]u(1-t) $

(vi) $ x(t)[\delta(t+3/2)-\delta(t-3/2)] $

(b) 对于图 P2.9(b) 所示的信号 h(t)，画出并仔细标明下列各信号的图形。

(i) $ h(t + 3) $ (ii) $ h(t/2 - 2) $

(iii) $ h(1 - 2t) $ (iv) $ 4h(t/4) $

(v) $ \frac{1}{2}h(t)u(t)+h(-t)u(t) $ (vi) $ h(t/2)\delta(t+1) $

(vii) $ h(t)[u(t+1)-u(t-1)] $

(c) 再用图 P2.9(a) 和 (b) 所示的信号 x(t) 和 h(t)，画出并仔细标明下列各信号的图形。

(i) $ x(t) h(t + 1) $ (ii) $ x(t) h(-t) $

(iii) $ x(t-1)h(1-t) $ (iv) $ x(1-t)h(t-1) $

(v) $ x(2-t/2)h(t+4) $

解：

(a) 小题，如图 P2.9-1 所示.

(b) 小题，如图 P2.9-2 所示。

(c) 小题，如图 P2.9-3 所示.

2.10 (a) 根据图 P2.10(a) 所示离散时间信号 x[n]，画出并仔细标明下列各信号图形。

(i) $x[n-2]$

(iii) x[2n]

(ii) $ x[4 - n] $

(iv) $ x[2n+1] $

(v) x[n]u[2-n]

(vi) $ x[n-1]\delta[n-3] $

$$ \left(\mathrm{v i i}\right)\frac{1}{2}x[n]+\frac{1}{2}(-1)^{n}x[n]\quad\left(\mathrm{v i i i}\right)x[n^{2}] $$

（b）用图 P2.10(b) 所示信号 h[n]，画出并仔细标明下列各信号图形。

(i) $ h[2-n] $ (ii) $ h[n+2] $

(iii) $ h[-n]u[n]+h[n] $ (iv) $ h[n+2]+h[-1-n] $

(v) $ h[3n]\delta[n-1] $

(vi) $ h[n+1]\{u[n+3]-u[-n]\} $

(c) 用(a)和(b)小题中所用的信号 x[n] 和 h[n]，画出并仔细标明下列各信号图形.

(i) $ h[n]x[-n] $ (ii) $ x[n+2]h[1-2n] $

(iii) $ x[1-n]h[n+4] $ (iv) $ x[n-1]h[n-3] $

解：

(a) 小题，如图 P2.10-1 所示.

(b) 小题，如图 P2.10-2 所示.

(c) 小题，如图 F 2.10-3 所示.

2.11 一个独立变量信号（一维信号）的独立变量变换的概念及处理方法可直接扩展用来处理二维信号。现以常用的表示图像的二维信号为例，图 P2.11(a) 就是一幅图片，其亮度信号 $ d(x, y) $ 在 $ (x, y) $ 平面上的阴影部分取值为 1，而在其余部分取值为零。

(a) 对于图 P 2.11(a) 所示信号 d(x,y)，画出下列各信号的图形。

(i) $ d(x+1,y-2) $ (ii) $ d(x/2,2y) $

(iii) $ d(y,3x) $ (iv) $ d(x-y,x+y) $

(v) $ d(1/x,1/y) $

(b) 对于图 F 2.11(b) 所示信号 $ f(x, y) $，画出下列各信号的图形。

(i) $ f(x-3,y+2) $ (ii) $ f(x,-y) $

(iii) $ f\left(-\frac{1}{2}y, 2x\right) $ (iv) $ f(2-x,-1-y) $

(v) $ f(2y-1,x/3+2) $

(vi) $ f(x\cos\theta - y\sin\theta, x\sin\theta + y\cos\theta) $, $ \theta = \pi/4 $

(vii) $ f(x,y)u\left(\frac{1}{2}-y\right) $

解：

(a) 小题，如图 F2.11-1 所示。

(b) 小题，如图 P2.11-2 所示。

2.12 画出并标明图 P2.12 中各信号的偶部和奇部。

解：根据

$$ x_{e}(t)=\frac{x(t)+x(-t)}{2},\quad x_{0}(t)=\frac{x(t)-x(-t)}{2} $$

$$ x(t)=x_{0}(t)+x_{e}(t) $$

得图 P2.12-1 所示。

2.13 证明奇、偶信号的下列几个特性。

(a) 若 x[n] 是奇信号，则

$$ \sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n]=0 $$

(b) 若 $ x_{1}[n] $ 是奇信号， $ x_{2}[n] $ 是偶信号，则 $ x_{1}[n]x_{2}[n] $ 是奇信号。

(c) 任意信号 x[n] 与其偶部 $ x_{c}[n] $ 和奇部 $ x_{0}[n] $ 满足下列关系：

$$ \sum_{n=-\infty}^{+\infty}x^{2}[n]=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x_{e}^{2}[n]+\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x_{0}^{2}[n] $$

(d) 对于连续时间信号证明上述三个特性也成立，如

$$ \int_{-\infty}^{+\infty}x^{2}(t)dt=\int_{-\infty}^{+\infty}x^{2}(t)dt+\int_{-\infty}^{+\infty}x_{0}^{2}(t)dt $$

解：(a) 因 x[n] 为奇信号，则 $ x[-n] = -x[n] $， $ x[0] = 0 $ 所以

$$ \sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n]=x[0]+\sum_{n=1}^{+\infty}\left\{x[n]+x[-n]\right\}=0 $$

(b) $ y[n]=x_{1}[n]x_{2}[n] $，则

$$ y[-n]=x_{1}[-n]x_{2}[-n]=-x_{1}[n]x_{2}[n]=-y[n] $$

所以 $ x_{1}[n]x_{2}[n] $ 是奇信号.

(c)

$$ \begin{aligned}{\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x^{2}[n]}&{{}=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\{x_{e}[n]+x_{0}[n]\}^{2}}\\ {}&{{}==\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x_{e}^{2}[n]+\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x_{0}^{2}[n]}\\ {}&{{}\quad+2\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x_{e}[n]x_{0}[n]}\\ \end{aligned}. $$

根据(b)小题可知， $ x_{*}[n]x_{0}[n] $为奇信号，又根据(a)小题可知，

$$ \sum_{n=-\infty}^{+\infty}x_{*}[n]x_{*}[n]=0 $$

所以

$$ \sum_{n=-\infty}^{+\infty}x^{2}[n]\;=\;\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x_{r}^{2}[n]\;+\;\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x_{0}^{2}[n] $$

(d)

$$ \begin{aligned}{\int_{-\infty}^{+\infty}x^{2}(t)d t=}&{{}~\int_{-\infty}^{+\infty}x_{0}^{2}(t)d t+\int_{-\infty}^{+\infty}x_{0}^{2}(t)d t}\\ {}&{{}~+~2\int_{-\infty}^{+\infty}x_{e}(t)x_{0}(t)d t}\\ \end{aligned} $$

因为 $ x_{c}(t)x_{0}(t) $ 是奇信号，且 $ \int_{-\infty}^{+\infty}x_{c}(t)x_{0}(t)dt=0 $，则得

$$ \int_{-\infty}^{+\infty}x^{2}(t)d t=\int_{-\infty}^{+\infty}x_{*}^{2}(t)d t+\int_{-\infty}^{+\infty}x_{0}^{2}(t)d t $$

对于连续时间信号(a)和(b)小题关系的证明。与(a)、(b)小题相同，从略。

2.14 (a) 假设信号 x[n] 的偶部 $ x_{c}[n] $ 如图 I 2.14 (a) 所示，且当 n < 0 时 x[n] = 0，确定并画出 x[n]。

（b）假设信号 x[n] 的奇部 x_{n}。如图 F 2.14（b）所示，且当 n < 0 时 x[n] = 0，而且 x[0] = 1。确定并画出 x[n]。

(c) 假设信号 $ x(t) $ 的偶部 $ x_{*}(t) $ 如图 P2.14(c) 所示。且在图 P2.14(d) 中给出了信号 $ x(t+1)u(-t-1) $，确定并画出 $ x(t) $ 的奇部 $ x_{0}(t) $。

解：(a) 因 $ x_{e}[n]=\frac{1}{2}\left\{x[n]+x[-n]\right\} $，且已知 n<0 时，x[n]=0。所以当 n<0 时， $ x_{e}[n]=\frac{1}{2}x[-n] $；当 n>0 时， $ x_{e}[n]=\frac{1}{2}x[n] $；当 n=0 时， $ x_{e}[0]=\frac{1}{2}\left\{x[0]+x[-0]\right\}=x[0]=1 $。因此得 x[n] 如图 P2.14-1(a) 所示。

(b) 因 $ x_{0}[n]=\frac{1}{2}\left\{x[n]-x[-n]\right\} $，且已知 n<0 时， $ x[n]=0 $，又知 x[0]=1。所以

$$ x_{0}[0]=\frac{1}{2}\left\{x[0]-x[-0]\right\}=1 $$

且当 n<0 时， $ x_{0}[n]=-\frac{1}{2}x[-n] $

n>0 时 $ x_{0}[n]=\frac{1}{2}x[n] $

因此得x[n]波形如图F 2.14-1(b)所示。

(c) $ x(t) = x_{e}(t) + x_{0}(t) $

$$ x(t)u(-t)=x_{e}(t)u(-i)+x_{0}(t)u(-t) $$

所以

$$ x_{0}(t)u(-t)=x(t)u(-t)-x_{e}(t)u(-t) $$

由 $ x(t+1)u(-t-1) $ 得 $ x(t)u(-t) $，如图 P2.14-2(a) 所示。

由 $ x_{c}(t) $ 得 $ x_{e}(t)u(-t) $，如图 P2.14-2(b) 所示。

再由式 $ (P2.14) $得 $ x_{0}(t)u(-t) $，如图P2.14-2(c)所示。并利用

$$ x_{0}(t)=-x_{0}(-t) $$

$$ x_{0}(t)u(t)\;=\;-x_{0}(-\tau)u(t) $$

如图 P2.14-2(d) 所示。最后得

$$ x_{0}(t)=x_{0}(t)u(-\tau)+x_{0}(t)u(t) $$

如图 F 2.14-2(e) 所示。

2.15 离散时间信号 x[n] 的“加速”和“减速”分别定义为

$$ y_{i}[n]=x[2n] $$

$$ y_{2}[n]=\left\{\begin{aligned}&x[n/2],&n& 为偶数 \\ &0,&n& 为奇数 \end{aligned}\right. $$

(a) 对图 P2.15 所示信号 x[n]，画出 $ y_{1}[n] $ 和 $ y_{2}[n] $.

(b) 设 $ x(t) $ 为连续时间信号，且 $ y_{1}(t)=x(2t) $， $ y_{2}(t)=x(t/2) $。考虑下列说法：

(i) 若 $ x(t) $ 是周期的，

则 $ y_{1}(t) $ 也是周期的。

（ii）若 $ y_{1}(t) $ 是周期的，则 $ x(t) $ 也是周期的.

(iii) 若 $ x(t) $ 是周期的，则 $ y_{2}(t) $ 也是周期的.

(iv) 若 $ y_{2}(t) $ 是周期的，则 $ x(t) $ 也是周期的.

试问上述各种说法是否正确？若正确，确定所提到两个信号间基本周期的关系。若不正确，试举出一个反例。

对于离散时间信号，对下列说法作相同的判断。

(i) 若 x[n] 是周期的，则 $ y_{1}[n] $ 也是周期的.

（ii）若 $ y_{1}[n] $ 是周期的，则 x[n] 也是周期的.

（iii）若 $ x[n] $ 是周期的，则 $ y_{2}[n] $ 也是周期的。

（iv）若 $ y_{2}[n] $ 是周期的，则 $ x[n] $ 也是周期的。

解：

(a) 小题，如图 I 2.15-1 所示。

(b) (i) 正确。若 $ x(t) $ 的周期为 T，则 $ y_{1}(t) $ 的周期为 T/2。因为 $ x(t+T)=x(t) $，而 $ y_{1}(t)=x(2t) $，所以

$$ \begin{aligned}y_{1}(t+T/2)&=x[2(t+T/2)]=x(2t+T)\\&=x(2t)=y_{1}(t)\end{aligned} $$

（ii）正确。若 $ y_{1}(t) $ 的周期为 T，则 $ x(t) $ 的周期为 2T。

因为 $ y_{1}(t)=x(2t) $，而 $ x(t)=y_{1}(t/2) $，所以

$$ x(\tau+2T)=y_{1}\bigg[\frac{1}{2}\left(\tau+2T\right)\bigg]=y_{1}(\tau/2+T)=y_{1}(\tau/2) $$

（iii）正确，若 $ x(t) $ 的周期为 T，则 $ y_{2}(t) $ 的周期为 2T。因为 $ y_{2}(t)=x(t/2) $，所以

$$ \begin{aligned}y_{2}(t+2T)&=x\left[\frac{1}{2}\ (t+2T)\right]\\&=x(t/2+T)=x(t/2)=\dot{y}_{2}(t)\end{aligned} $$

（iv）正确。若 $ y_{2}(t) $ 的周期为 T，则 $ x(t) $ 的周期为 T/2。因为

$ y_{2}(t)=x(t/2) $，而 $ x(t)=y_{2}(2t) $，所以

$$ x(t+T/2)=y_{2}(2t+T)=y_{2}(2t)=x(t) $$

对于离散时间系统：

(i) 正确。若 x[n] 的周期 N 为偶数，则 $ y_{1}[n] $ 的周期为 $ N_{0}:=N/2 $；若 x[n] 的周期 N 为奇数，则 $ y_{1}[n] $ 的周期为 $ N_{0}=N $。

因为

$$ \boldsymbol{y}_{1}[n]=\left\{\begin{aligned}\boldsymbol{y}_{1}[n+N/2]&=:\mathrm{e}^{2}(n+N/2)]=\boldsymbol{x}[2n+N]\\&=\boldsymbol{x}[2n],N 为偶数 \\\boldsymbol{y}_{i}[n+N]&=\boldsymbol{x}[2(n+N)]=\boldsymbol{x}[2n+2N]\\&=\boldsymbol{x}[2n],N 为奇数 \end{aligned}\right. $$

（ii）一般情况下正确。若 $ y_{1}[n] $ 的周期为 N，则 x[n] 的周期为 2N。

因为 $ y_{1}[n]=x[2n] $，所以 $ x[n]=y_{1}[n/2] $，则

$$ x[n+2N]=y_{1}\left[\frac{1}{2},(n+2N)\right]=y_{1}[n/2+N]=y_{1}[n/2] $$

但是，该小题并不意味着 x[n] 所有情况下一定是周期的。例如，设 x[n] = g[n] + h[n]，式中

$ g[n]=\left\{\begin{aligned}&1,&n\text{为偶数}\\ &0,&n\text{为奇数},\end{aligned}\right.\quad h[n]=\left\{\begin{aligned}&\left(\frac{1}{2}\right)^{n},&n\text{为奇数}\\ &0,&n\text{为偶数}\end{aligned}\right. $

则 $ y_{1}[n]=x[2n] $ 是周期的，但 $ x[n] $ 明显不是周期的。（或 $ y_{1}[n]=y_{1}[n+N],x[2(n+N)]=x[2n+2N]=x[2n] $）。

（iii）正确。若 x[n] 的周期为 N，则 $ y_{2}[n] $ 的周期为 2N_{0} 因为

$$ \begin{aligned}y_{2}[n+N_{0}]&=x\left[\frac{n+2N}{2}\right]=x[n/2]\\&=x[n/2+N]=y_{2}[n],N_{0}=2N\end{aligned} $$

（iv）正确。若 $ y_{2}[n] $ 的周期为 N，则 N 只能为偶数，此时 x[n] 的周期为 N/2。

2.16 判定下列各信号是否是周期的？若是周期的，求其周期。

(a) $ x(t) = 2\cos(3t + \pi/4) $ (b) $ x(t) = e^{j(x t + 1)} $

(c) $ x[n] = \cos(8\pi n/7 + 2) $ (d) $ x[n] = e^{j(\pi/8 + \pi)} $

(e) $ x(t) = [\sin(t - \pi/6)]^2 $ (f) $ x[n] = \cos(\pi n^2/8) $

$$ \left(g\right)x[n]=\sum_{m=-\infty}^{+\infty}\left\{\delta[n-3m]-\delta[n-1-3m]\right\} $$

(h) $ x(t) = [\cos(2\pi t)]u(t) $

(i) $ x(t) = \mathcal{E}_{v}\{[\cos2\pi t]u(t)\} $

(i) $ x(t) = \mathcal{E}_{v}\{\left[\cos(2\pi t + \pi/4)\right]u(t)\} $

$$ (k)x[n]=\cos(n/4)\cos(\pi n/4) $$

$$ x[n]=2\cos\left(\pi n/4\right)+\sin\left(\pi n/8\right)-2\cos\left(\pi n/2+\pi/6\right) $$

$$ (m)x(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}e^{-(t-3n)^{2}} $$

解：

(a) 周期的。因为 $ \omega = 3 $，所以 $ T = 2\pi/3 $。

(b) 周期的。因为 $ \omega = \pi $，所以 T = 2。

(c) 周期的。因为 $ \mathcal{Q} = 8\pi/7 $，所以 $ N = \frac{\angle\pi}{\mathcal{Q}}m $，其中 m = 4，N = 7。

（d）非周期的。因为 $ \pmb{\mathscr{Q}} = 1/8, N = \frac{2\pi}{\pmb{Q}} m = 16\pi m $，不是一个有理数。

(e) 周期的。因为

$$ \begin{aligned}x(t)&=[\sin\left(t-\pi/6\right)]^{2}\\ &=\frac{1}{2}\left[1-\cos\left(2t-\pi/3\right)\right]=x(t+\pi),\end{aligned} $$

所以 $ T=\pi $

(f) 周期的。根据 $ x[n+N]=x[n] $，得

$ \frac{(n+N)^{2}\pi}{8}=2\pi k+\frac{n^{2}\pi}{8} $，要求 $ 2nN+N^{2}=16k $（k为整数）。若使对所有n，该式成立，必须有 $ N^{2} $和2N均为16的整数倍。

由此得基本周期为 N=8.

(g) 周期的。因为

$$ \begin{aligned}{x[n+3k]}&{{}=\sum_{m=-\infty}^{+\infty}\left\{\delta[n+3k-3m]-\delta[n+3k-1-3m]\right\}}\\ {}&{{}=\sum_{m=-\infty}^{+\infty}\left\{\delta[n-3(m-k)-\delta[n-1-3(m-k)]\right\}}\\ {}&{{}=\sum_{m=-\infty}^{+\infty}\left\{\delta[n-3m]-\delta[n-1-3m]\right\}}\\ \end{aligned} $$

所以N=3.

(h) 非周期的，因为 t<0 时， $ x(t)=0 $.

(i) 周期的. T=1.

(i) 非周期的.

(k) 非周期的。因为 $ \cos(n/4) $ 是非周期的。

(1) 周期的，因为 $ \Omega = \pi/8 $，所以 $ N = \frac{2\pi}{\Omega} m = \frac{2\pi}{\pi/8} m = 16 $.

(m) 周期的，因为

$ x(t+T)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}e^{-(t+T-3n)^{2}} $，设 $ T=3k $，则

$$ x(t+3k)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}e^{-(t+3k-3n)^{2}}=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}e^{-[t-3(n-k)]^{2}} $$

改变求和的范围得 $ x(t+3k)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}e^{-(t-3n)^{2}}=x(t) $

所以它是周期的，T=3。

2.17 (a) 证明周期的离散时间指数信号

$$ x[n]=e^{j m(2\pi/N)n} $$

的基本周期为

$$ N_{0}=N/\gcd(m,N) $$

式中 $ \gcd(m,N) $ 是 m 和 N 的最大公约数。

(b) 设谐波相关的周期指数信号集为

$$ \phi_{k}[n]=e^{j k(2\pi/7)\pi} $$

对所有的整数值 k，求这些信号的基本周期及频率。

(c) 对信号

$$ \phi_{k}[n]=e^{i k(2\pi/8)n} $$

重做(b)小题.

解：（a）由 $ x[n] = e^{jm(2\pi/N)n} $ 和 $ \pmb{\mathcal{Q}}_{0} = m2\pi/N $ 可知，

$$ \frac{Q_{0}}{2\pi}=\frac{m}{N}=\frac{m}{N_{0}\mathrm{g c d}(m,N)} $$

所以

$$ N_{\mathrm{a}}=N/\mathrm{g c d}(m,N) $$

(b)

$$ \mathcal{Q}_{0}=k\frac{2\pi}{7},N_{0}=\frac{2\pi}{\mathcal{Q}_{0}}m=\frac{2\pi}{k\frac{2}{7}\pi}m=\frac{7}{k}m $$

所以，除 k = 0 为直流分量， $ N_{0} = \infty $ 以及 $ k = \pm 7m, N_{0} = 1 $ 外，其余所有 k，周期均为 7。

$$ (c)Q_{0}=k\frac{2\pi}{8},N_{0}=\frac{2\pi}{Q_{0}}m=\frac{2\pi}{k2\pi/8}m=\frac{8}{k}m $$

所以 $ k=0, N_{0}=\infty; k=1, 3, 5, 7, N_{0}=8; k=2, 6, N_{n}=4; k=4, N_{n}=2. $ 对于 $ k^{\prime} \in [0,7] $, $ k=k^{\prime}+8m $ 情况下， $ N_{0}=8 $ 周期性重复。

2.18 设对连续时间复指数信号

$$ x(t)=e^{i\omega_{0}t} $$

进行等间隔采样所得的离散时间信号为

$$ x[n]=x(n T)=\rho^{1\circ\circ n T} $$

（a）证明：当且仅当 $ T/T_{0} $ 为有理数时， $ x[n] $ 才是周期的。

(b) 假设 x[n] 是周期的，即

$$ T/T_{v}=p/q $$

式中 p 和 q 是整数。x[n] 的基频和基本周期是什么？将基频表示成 $ \omega_{0}T $ 的分式。

(c) 再假设 $ T/T_{0} $ 满足式 (P2.18-1)，试确定需要多少个 $ x(t) $ 的周期，使获得的采样正好构成 x[n] 的一个周期。

解：(a) 若 $ x[n] $ 是周期的，则

$$ e^{j\omega_{0}(n+N)T}\;=\;e^{j\omega_{0}n T},\quad\omega_{0}\;=\;2\pi/T。 $$

所以 $ \frac{2\pi}{T_{0}}NT = 2\pi k, \frac{T}{T_{0}} = \frac{k}{N} $ 为有理数。

(b) 已假设 $ \frac{T}{T_{0}} = \frac{p}{q} $，则

$$ x\left[n\right]\;\equiv\;e^{j2\pi n(p/q)} $$

若 p,q 有公因子，则其周期为 q/gcd(p,q)，基本频率为

$$ \frac{2\pi}{q}\operatorname*{g c d}\left(p,q\right)=\frac{2\pi}{p}\mathrm{~e~}\frac{p}{q}\operatorname*{g c d}\left(p,q\right)=\frac{\omega_{0}T}{p}\operatorname*{g c d}\left(p,q\right) $$

(c) 对于 $ x[n] $, $ N = \frac{p}{q} m = p / \gcd(p, q) $，需要 $ x(t) $ 的 $ p / \gcd(p, q) $ 个周期才能得出组成 x[n] 单个周期的所有样本值。

2.19 (a) 设 x(t) 和 y(t) 分别是基本周期为 $ T_{1} $ 和 $ T_{2} $ 的周期信号，在什么条件下，其和式

$$ x(t)+y(t) $$

是周期的？它的基本周期是什么？

（b）设 x[n] 和 y[n] 是基本周期为 $ N_{1} $ 和 $ N_{2} $ 的周期信号，在什么条件下，其和式

$$ x[n]+y[n] $$

是周期的？它的基本周期是什么？

(c) 若信号

$$ x(t)=\cos\left(\frac{2\pi t}{3}\right)+2\sin\left(\frac{16\pi t}{3}\right) $$

$$ \dot{y}(t)=\sin\pi t $$

证明：

$$ x(t)=x(t)y(t) $$

是周期的。并将 $ z(t) $写成谐波相关的复指数信号的线性组合，也就是，求一个数T和一组复数 $ c_{k} $，使得

$$ z(t)=\sum_{k}c_{k}e^{j k(2\varpi/T)t} $$

解：(a) 在 $ kT_{1}=lT_{2}, k, l $ 为整数的条件下， $ x(t)+y(t) $ 是周期的，其基本周期为 $ T_{1} $ 和 $ T_{2} $ 的最小公倍数，即 $ T_{0}=kT_{1}=lT_{2} $，或 $ T_{0}=T_{1}T_{2}/\gcd(T_{1},T_{2}) $。

(b) $ x[n+N_{1}]+y[n+N_{2}]=x[n]+y[n] $，所以 $ x[n]+y[n] $ 始终是周期的，其基本周期为 $ N_{1} $ 和 $ N_{2} $ 的最小公倍数，即

$$ N_{0}==~N_{1}N_{2}/{\mathrm{g c d}}(N_{1},N_{2})。 $$

$$ \begin{array}{l} \displaystyle \therefore c \quad \displaystyle z(t) = x(t) y(t) = \left[ \cos \frac{2\pi t}{3} + 2 \sin \frac{16\pi t}{3} \right] \sin \pi t\\ \displaystyle = \cos \frac{2\pi t}{3} \sin \pi t + 2 \sin \frac{16\pi t}{3} \sin \pi t\\ \displaystyle = \frac{1}{2} \sin \frac{5\pi t}{3} - \frac{1}{2} \sin \frac{\pi t}{3} + \cos \frac{13\pi t}{3} - \cos \frac{19\pi t}{3}\\ \displaystyle = \frac{1}{2} \sin \left(5 \frac{2x}{6} t\right) - \frac{1}{2} \sin \left( \frac{2\pi}{6} t\right) \\ \displaystyle + \cos \left(13 \frac{2\pi}{6} t\right) - \cos \left(19 \frac{2\pi}{6} t\right) \end{array} $$

可见 $ z(t) $是周期的，其周期T=6。

$$ \begin{aligned}{z(t)}&{{}=\left[\frac{1}{2}\left(e^{i\frac{2\pi}{3}t}+e^{-i\frac{2\pi}{3}t}\right)+\frac{1}{i}\left(e^{j\frac{16\pi}{3}t}-e^{-j\frac{16\pi}{3}t}\right)\right]}\\ {}&{{}\quad\times\left[\frac{1}{2j}\left(e^{j\pi t}-e^{-j\pi t}\right)\right]}\\ {}&{{}=\frac{1}{4j}\left[e^{i\frac{2\pi}{3}t}e^{i\pi t}+e^{-i\frac{2\pi}{3}t}e^{i\pi t}-e^{i\frac{2\pi}{3}}e^{-i\pi t}-e^{-i\frac{2\pi}{3}t}e^{-i\pi t}\right]}\\ {}&{{}\quad+\frac{-1}{2}\left[e^{i\frac{16\pi}{3}t}e^{j\pi t}-e^{-i\frac{16\pi}{3}t}e^{j\pi t}-e^{i\frac{16\pi}{3}t}e^{-i\pi t}+e^{-i\frac{16\pi}{3}t}e^{-j\pi t}\right]}\\ \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned}{=}&{{}\frac{1}{4j}\left[e^{i\frac{9\pi}{3}t}+e^{j\frac{\pi}{3}t}-e^{-i\frac{\pi}{3}t}-e^{-i\frac{5\pi}{3}t}\right]}\\ {}&{{}-\frac{1}{2}\left[e^{i\frac{19\pi}{3}t}-e^{-i\frac{13\pi}{3}t}-e^{j\frac{13\pi}{3}t}+e^{-j\frac{19\pi}{3}t}\right]}\\ \end{aligned} $$

所以

$$ c_{1}=\frac{1}{4j},\quad c_{-1}=c_{1}^{*},\quad c_{5}=\frac{1}{4j},\quad c_{-5}=c_{5}^{*}, $$

$ c_{\pm13}=\frac{1}{2}, c_{\pm19}=-\frac{1}{2} $，其余的均为零。

2.20 (a) 若一个系统的输入 x(t) 和输出 y(t) 之间的关系为

$$ y(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x(t)\delta(\iota-nT) $$

试问：

(i) 这个系统是线性的吗？

(ii) 这个系统是时不变的吗？

若回答是，说明为什么；若回答不是，举一个反例。

(b) 假设该系统的输入为

$$ x(t)=\cos2\pi t $$

画出并标明对应下列各个T值的输出 $ y(t) $

$$ T=1,1/2,1/4,1/8,1/12。 $$

(c) 当 $ x(t) = e^{t} \cos 2\pi t $ 时，重作(b)小题.

解：(a)(i) 是线性的。因为在 $ x(t)=ax_{1}(t)+bx_{2}(t) $ 时，有

$$ \begin{aligned}y(t)&=a\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x_{1}(t)\delta(t-nT)+b\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x_{2}(t)\delta(t-nT)\\&=ay_{1}(t)+by_{2}(t)\end{aligned} $$

符合叠加原理。

(ii) 不是时不变的。因为，若 $ x(t)=x_{1}(t-t_{0}) $，则有

$$ y(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x_{1}(t-t_{0})\delta(t-n T) $$

而

$$ y_{1}(t-t_{0})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x_{1}(n T)\delta(t-t_{0}-n T), $$

所以 $ y(t) \neq y_{1}(t - t_{0}) $。例如，当 $ x_{1}(t) = \sin(2\pi t / T) $ 时，

$$ y_{1}(t)=\sum_{n=-\pi}^{+\infty}\sin\left(2\pi t/T\right)\delta(i-nT)=0 $$

而当 $ x_{2}(t)=x_{1}(t+T/4)=\cos(2\pi t/T) $ 时，

$$ \begin{aligned}{y_{2}(t)}&{{}=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\cos\left(2\pi t/T\right)\delta(t-n T)}\\ {}&{{}=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(t-n T)\neq y_{1}(t+T/4)}\\ \end{aligned} $$

(b) 因为 $ x(t) $、 $ y(t) $ 是偶函数，所以只需画出 $ t \geqslant 0 $ 的波形，如图 P2.20-1 所示。

(c) 在 $ t \geqslant 0 $ 时， $ y(t) $ 的输出波形如图 P2.20-2 所示。

2.21 (a) 根据 $ \delta_{\Delta}(t) $ 为 $ u_{\Delta}(t) $ 的导数的广义函数定义，证明：

$$ \delta(2t)=\frac{1}{2}\delta(t) $$

(b) $ 8[2n] $ 是什么？

(c) 如果定义 $ u_{\Delta}(t) = \int_{-\infty}^{t} \delta_{\Delta}(r) dr $，而 $ u(t) = \lim_{\Delta \to 0} u_{\Delta}(t) $ 那样，假若

$$ u_{\triangle}^{i}(t)=\int_{-\infty}^{t}r_{\circ}^{i}(x)d\tau $$

则

$$ \lim_{\triangle\to0}u_{\triangle}^{i}(t)=u(t) $$

式中 $ r_{\Delta}^{i}(t) $ 的波形如图 P 2.21 所示， $ i=1,2,\cdots6 $

证明：当 $ \Delta\rightarrow0 $ 时，图 P 2.21 中各个信号“表现得象”一个冲激。画出并标明各种情况中的信号 $ u_{\Delta}^{i}(t) $。

(d) 在定义 $ u(t) $ 时，t=0 是没有定义的。为了证明乘积 $ u(t)\delta(t) $ 的值是没有定义的，试证明

$$ \lim_{\triangle\to0}[u_{\triangle}(t)\delta(t)]=\Theta $$

但是

$$ \lim_{\triangle\to0}[u_{\triangle}(t)\delta_{\triangle}(t)]=\frac{1}{2}\delta(t) $$

注意：对于所有 $ \Delta $， $ u_{\Delta}(0)=0 $，而 $ u^{\prime}_{\Delta}(0)=1/2 $ [见(c)小题]。

为了证明当奇异点的位置重合时，该乘积是无定义的。作为一个例子，证明信号

$$ g(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}u(\tau)\delta(t-\tau)d\tau $$

是与 $ u(t) $相等的.

解：(a) $ u_{\Delta}(t) $, $ \delta_{\Delta}(t) $ 和 $ \delta_{\Delta}(2t) $ 的波形如图 P 2.21-1 所示. 取极限，得

$$ \lim_{\triangle\to0}\delta_{\triangle}(2t)=\frac{1}{2}\delta(t) $$

所以

$$ \delta(2t)=\frac{1}{2}\;\delta(t) $$

另外，可利用广义函数的概念来证明

$$ \delta(a t)=\frac{1}{|a|}\delta(t) $$

为此，只要证明上式两边的积分值相等即可。

首先设 a > 0，并且令 at = t_{1}，则上式左端积分为

$$ \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(a t)\varphi(t)d t=\frac{1}{a}\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t_{1})\varphi(t_{1}/a)d t_{1}=\frac{1}{a}\varphi(0) $$

又设 a<0，并且令 $ \left|a\right|=t_{1} $，并考虑到 $ \delta(t) $ 是偶函数，同

洋可证明

$$ \begin{align*}\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(-|a|t)\varphi(t)dt&=\frac{1}{-|a|}\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t_{1})\varphi(t_{1}/(-|a|))dt_{1}\\&=\frac{1}{|a|}\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t_{1})\varphi(t_{1}/|a|)dt_{1}\\&=\frac{1}{|a|}\varphi(0)\end{align*} $$

由于式 $ (P\ 2.21) $的右边积分为

$$ \frac{1}{\mid a\mid}\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)\varphi(t)d t=\frac{1}{\mid a\mid}\varphi(0) $$

故有

$$ \delta(a t)=\frac{1}{|a|}\;\delta(t) $$

其 $ \varphi(t) $是在t=0处的连续函数.

(b) 当 n = 0 时， $ \delta[n] = 1 $， $ \delta[2n] = 1 $，对于其它 n， $ \delta[2n] $ 均为零，所以

$$ \delta[2n]=\delta[n] $$

(c) 如图 P2.21-2 所示.

(d) $ u_{\Delta}(t) $, $ \delta_{\Delta}(t) $ 及 $ u_{\Delta}(t) \delta_{\Delta}(t) $ 的波形如图 P 2.21-3 所示，则

$$ \lim_{\triangle\to0}u_{\triangle}(t)\delta(t)=\lim_{\triangle\to0}u_{\triangle}(0)\delta(t)=0 $$

$$ \lim_{\triangle\to0}u_{\triangle}(t)\delta_{\triangle}(t)=u(0)\delta(t)=\frac{1}{2}\delta(t) $$

其中 $ u(0)=\frac{1}{2} $

$$ \begin{aligned}g(t)&=\int_{-\infty}^{+\infty}u(\tau)\delta(t-\tau)d\tau\\&=\int_{0}^{+\infty}u(\tau)\delta(t-\tau)d\tau\\&=\begin{cases}0,&t<0\\1,&t>0\end{cases}\quad 因为 \quad\delta(t-\tau)d\tau=0\\&\text{ 无定义 },\tau=0\end{aligned} $$

说明：

由（a）小题可知，当宽度 $ \Delta $ 趋于零时，幅度 1/ $ \Delta $ 便趋于无限大，但是不论 $ \Delta $ 怎样变小并趋于零，方波所包围的面积始终保持为1。读者可以自己证明，在整个横坐标轴上曲线面积为定值的函数都可以用来作 $ \delta $ 函数的定义。 $ \delta $ 函数可视为普通函数极限的例子很多，例如

$$ \delta(t)=\lim_{k\to\infty}\frac{1}{\pi}\frac{\sin k t}{t} $$

$$ \delta(t)=\lim_{k\to\infty}\frac{\dot{k}}{2}e^{-k|t|} $$

$$ \delta(t)=\lim_{k\to\infty}\sqrt{\frac{k}{\pi}}e^{-k t^{2}} $$

等等。

2.22 假定系统的输入和输出分别为 $ x(t) $ 或 $ x[n] $ 和 $ y(t) $ 取 $ y[n] $。说明下列各系统是否为

(i) 无记忆的

(ii) 时不变的

(iii) 线性的

(iv) 因果的

(v) 稳定的

这些系统为

(a) $ y(t) = e^{x(t)} $

(b) $ y[n] = x[n]x[n-1] $

(c) $ y(t) = \frac{dx(t)}{dt} $

(d) $ y[n] = x[-n] $

(e) $ y[n] = x[n-2] - 2x[n-17] $

(f) $ y(t) = x(t-1) - x(1-t) $

(g) $ y(t) = [\sin(bt)]x(t) $

(h) $ y[n] = \sum_{k=n-2}^{n+4} x[k] $

(i) $ y[n] = nx[n] $

(j) $ y(t) = \int_{-\infty}^{3t} x(\tau)d\tau $

(k) $ y[n] = \mathcal{E}_{v}\{x[n]\} $

(l) $ y(t) = \left\{\begin{aligned}&0,&t<0\\ &x(t)+x(t-100),&t\geq0\end{aligned}\right. $

(m) $ y(t) = \left\{\begin{aligned}&0,&x(t)<0\\ &x(t)+x(t-100),&x(t)\geq0\end{aligned}\right. $

(n) $ y[m] = \left\{\begin{aligned}&x[n],&n\geq1\\ &0,&n=0\\ &x[n+1],&n\leq-1\end{aligned}\right. $

(o) $ y[n] = \left\{ \begin{aligned} x[n], & \quad n \geqslant 1 \\ 0 & \quad n = 0 \\ x[n] & \quad n \leqslant -1 \end{aligned} \right. $

(p) $ y(t) = x(t/2) $

(q) $ y[n] = x[2n] $

解：(a) $ y(t) = e^{x(t)} $

(i) $ y(t) $ 只取决于 $ x(t) $ 的当前值，所以系统是无记忆的；

(ii) $ y_{1}(t) = e^{x_{1}(t)}, \quad y_{2}(t) = e^{x_{2}(t)} $; 当 $ x_{2}(t) = x_{1}(t - t_{0}) $ 时， $ y_{2}(t) = e^{x_{1}(t - t_{0})} $，而 $ y_{1}(t - t_{0}) = e^{x_{1}(t - t_{0})} $，所以 $ y_{2}(t) = y_{1}(t - t_{0}) $。系统是时不变的；

(iii) $ y_{1}(t) = e^{x_{1}(t)}, \quad y_{2}(t) = e^{x_{2}(t)} $，则

$$ y_{1}(t)+y_{2}(t)\not\equiv e^{x_{1}(t)+x_{2}(t)} $$

且 $ ay_{1}(t) \neq e^{ax_{1}(t)} $，系统是非线性的；

（iv）因为 $ y(t) $ 的值与 $ x(t) $ 的未来值无关，因而不能预期未来值，所以系统是因果的；

(v) 假设输入 $ x(t) $ 是有界的 ( $ |x(t)|\leq M $)，则对应的输出也是有界的，即 $ |y(t)|=|e^{x(t)}|\leq e^{M} $，所以系统是稳定的。

(b) $ y[n] = x[n]x[n-1] $

(i) $ y[0] = x[0]x[-1] $，其输出与前一时刻的输入有关，所以系统是有记忆的；

(ii) $ y_{1}[n]=x_{1}[n]x_{1}[n-1] $, $ y_{2}[n]=x_{2}[n]x_{2}[n-1] $，当 $ x_{2}[n]=\underline{x}_{1}[n-n_{0}] $ 时，

$$ y_{2}[n]=x_{1}[n-n_{0}]x_{1}[n-n_{0}-1] $$

而

$$ y_{1}[n-n_{0}]\;=\;x_{1}[n-n_{0}]x_{1}[n-a_{0}-1] $$

所以

$$ y_{2}[n]=y_{1}[n-n_{0}] $$

因而系统是时不变的；

(iii) $ y_{1}[n] + y_{2}[n] = x_{1}[n]x_{1}[n-1] + x_{2}[n]x_{2}[n-1] $ 但是

$$ a y[n]\neq a^{2}x[n]x[n-1] $$

眉以系统是非线性的；

(iv) $ y[n] $ 与 $ x[n] $ 的未来值无关，因而不能预期未来值，所以系统是因果的；

(v) 若 x[n] 是有界的，则 y[n] 也是有界的，所以系统是稳定的。

用同样的方法，可对(c)至(q)小题各系统进行分析，并得出相应的结果。为节省篇幅，仅列出结果，其中各符号表示如下：

ML——无记忆的，M——记忆的；

$ T_{1} $——时不变的，TV——时变的；

L——线性的，NL——非线性的；

C——因果的， NC——非因果的；

S——稳定的，US——不稳定的。

(a) ML, TI, C, S, NL.

(b) M, T1, C, S, NL.

c) M, TI, C, US, L. $ \left\{\begin{array}{l}t<0\text{时}, 系统冲激响应 h(t)=0,\therefore C \\ x(t)=u(t)\text{时}, y(t)=\delta(t)\text{是无界的} \\ \therefore U S\text{。}\end{array}\right. $

(d) M, TV, NC, S, L. $ \left[\begin{array}{l}y[1]=x[-1], \therefore M.\\y[-1]=x[1], \therefore NC\end{array}\right] $

(e) M,Ti,C,S,L. [y[1] = x[-1] - 2x[-16],∴M]

(f) M, TV, NC, S, L $ \left[\begin{array}{l}y(0)=x(-1)-x(1),\therefore M.\\y_{2}(t)=-x(1-t).\therefore NC\end{array}\right] $

(g) ML, TV, C, S, L $ [(\sin 6t)x(t-t_{0})\neq[\sin 6(t-t_{0})]\cdot x(t-t_{0})\therefore TV] $

(h) M, TI, NC, S, L [y[0] = $ \sum_{k=-2}^{1}x[k] $, $ \therefore M $]

(i) ML, TV, C, US, L $ \{nx[n - n_0] \neq (n - n_0)[n - n_0] $, $ \therefore TV\} $

(i) M, TV, NC, US, L $ \left[\begin{aligned}&\int_{-\infty}^{3t}x(t-t_{0})d\tau\neq\int_{-\infty}^{3(t-t_{n})}x(\tau)d\tau,\\&\therefore TV,\\&x(t)=u(t)时,y(t)在t\rightarrow\infty时发散,\\&\therefore VS\end{aligned}\right] $

(k) M, TV, NC, S, L $ \left[y_{2}[n]=\frac{1}{2}x[-n], \therefore TC\right] $

(1) M, T V, C, S, L [y(0) = x(0) + x(-100), $ \therefore $ M]

(m) M, TI, C, S, NL, $ [x(t-T) $ 时，输出 $ W(t)=y(t-T) $,

$ \therefore TI] $

(n) N, TV, NC, S, L. [y[-1] = x[0], \therefore TV.]

(o) ML, TV, C, S, L [x[n-n_{0}]时，输出 $ W[n] \neq y[n-n_{0}] $,

$$ \therefore T V] $$

$$ (p)\mathrm{~M,TV,NC,S,L。}\left\{y(-1)=x\left(-\frac{1}{2}\right),\therefore M\right\} $$

(q) M, TV, NC, S, L. [y[1] = x[2], $ \therefore $ NC]

2.23 两个信号 $ x(t) $ 和 $ y(t) $ 的互相关函数 $ \phi_{xy}(t) $ 定义为

$$ \phi_{x y}(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(\tau+\tau)y(\tau)d\tau $$

信号 $ x(t) $ 自相关函数 $ \phi_{xx}(t) $ 定义为

$$ \phi_{x x}(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t+\tau)x(\tau)d\tau $$

(a) $ \phi_{xy}(t) $ 和 $ \phi_{yx}(t) $ 之间的关系是什么？

(b) 计算 $ \phi_{xx}(t) $ 的奇部。

(c) 假设 $ y(t) = x(t + T) $，用 $ \phi_{xx}(t) $ 表示 $ \phi_{xy}(t) $ 和 $ \phi_{yy}(t) $

(d) 当 $ h(t) $ 是一确知信号，而 $ x(t) $ 是任意信号时，实际当中很重要的是，计算其相关函数 $ \phi_{kx}(t) $。这时需要设计一个系统，使其输入为 $ x(t) $ 时，输出为 $ \phi_{kx}(t) $。试问：这个系统是线性的吗？是时不变的吗？是因果的吗？为什么？

(e) 若以 $ \phi_{xh}(t) $ 而不是 $ \phi_{hx}(t) $ 作为输出，则 (d) 小题的答案

有何变化？

解：(a) 令 $ \tau^{\prime} = \tau + \tau $，则

$$ \begin{aligned}{\phi_{x y}(t)}&{{}=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t+\tau)y(\tau)d\tau}\\ {}&{{}=\int_{-\infty}^{+\infty}y(-t+\tau^{\prime})x(\tau^{\prime})d\tau^{\prime}=\phi_{y x}(-\tau)}\\ \end{aligned} $$

(b) 利用(a)小题结果，有

$$ \phi_{x x}(t)=\phi_{x x}(-t) $$

可见 $ \phi_{xx}(t) $ 是偶函数，所以 $ \mathcal{O}_{d}\{\phi_{xx}(t)\}=0 $。

(c) 将 $ y(t) = x(t + T) $ 代入 $ \phi_{xy}(t) $ 中，得

$$ \begin{aligned}{\phi_{x y}(t)}&{{}=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t+\tau)y(\tau)d\tau}\\ {}&{{}=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t+\tau)x(\tau+T)d\tau}\\ {}&{{}=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t-T+\tau^{\prime})x(\tau^{\prime})d\tau^{\prime}}\\ {}&{{}=\phi_{x x}(t-T)}\\ \end{aligned} $$

所以

$$ \phi_{x y}(t)=\phi_{x x}(t-T) $$

$$ \begin{aligned}{\phi_{y y}(t)}&{{}=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t+\tau+T)x(\tau+T)d\tau}\\ {}&{{}=\int_{-\infty}^{+\infty}x(\tau^{\prime}+t)x(\tau^{\prime})d\tau^{\prime}=\phi_{x x}(t)}\\ \end{aligned} $$

（d）该系统是线性的。因为在 $ x(t)=ax_{1}(t)+bx_{2}(t) $时，有

$$ \begin{align*}\phi_{hx}(t)=&\;a\int_{-\infty}^{+\infty}x_{1}(\tau)h(t+\tau)d\tau+b\int_{-\infty}^{+\infty}x_{2}(\tau)h(t+\tau)d\tau\\=&\;a\phi_{hx_{i}}(t)+b\phi_{hx_{2}}(t)\end{align*} $$

符合叠加原理。

该系统不是时不变的。因为令输入为 $ x(t) $ 时，输出为 $ \phi_{hx}(t) $，则输入为 $ x(t + t_{0}) $ 时，输出为

$$ \begin{aligned}\int_{-\infty}^{+\infty}h(t+\tau)x(v+t_{0})d\tau&=\int_{-\infty}^{+\infty}h(t-t_{0}+\tau)x(\tau)d\tau\\&\quad=\phi_{hx}(t-t_{0})\neq\phi_{hx}(t+t_{0})\end{aligned} $$

该系统不是因果的，因为它取决于所有 $ x(t) $，包括未来值。

(e) 利用(a)小题结果 $ \phi_{xh}(t)=\phi_{hx}(-t) $，因此由(d)小题的结果可知，这个系统是线性的，时不变的，但是非因果的。

2.24 考虑图 P 2.24-1 所示的系统，假定图中平方根运算产生正平方根.

(a) 求 $ y(t) $ 和 $ x(t) $ 之间的显式。

(b) 这个系统是线性的吗？

(c) 这个系统是时不变的吗?

(d) 当输入 x(t) 如图 P 2.24-2 所示时，响应 y(t) 是什么？

解：(a) $ y(t) = \sqrt{x^{2}(t) - 2x(t)x(t - 1)} + x^{2}(t - 1) $

$ =|x(t)-x(t-1)| $

(b) 它是非线性的(取幅值输出，不满足可加性).

(c) 根据(a)小题，显然它是时不变的，因输入为 $ x(i-t_{0}) $ 时，输出为 $ y(t-t_{0}) $。

(d) 解题波形如图 P2.24-3 所示.

225（a）判断下面提法正确与否，为什么？

两个线性时不变系统相互串联仍然是线性时不变系统。

(b) 判断下面提法正确与否，为什么？

两个非线性系统相互串联结果仍然是一个非线性系统。

(c) 假定有下列输入—输出关系的三个系统:

系统1 $ w[n]=\left\{\begin{aligned}&x[n/2],&n 为偶数 \\ &0,&n 为奇数\end{aligned}\right. $

系统 2 $ z[n]=w[n]+\frac{1}{2}w[n-1]+\frac{1}{4}w[n-2] $

系统 3 $ y[n] = z[2n] $

若将这些系统如图 P 2.25 所示串联连接。求整个系统的输入-输出关系。这系统是线性的吗？是时不变的吗？

（d）假定有另外三个系统如图 P 2.25 串联连接，图中三个系统由下列方程描述：

系统1 $ w[n] = x[-n] $

系统 2 $ z[n]=aw[n-1]+bw[n]+cw[n+1] $

系统 3 $ y[n] = z[-n] $

这里 a、b 和 c 是实数。求整个系统的输入-输出关系。在a、b

和 c 满足什么条件下，可使整个系统具有下列特性之一。

(i) 总统是线性和时不变的.

（ii）总系统的输入-输出关系与系统2的输入-输出关系相同。

(iii) 总系统是因果的.

解：（a）对的。假定两个线性时不变系统如图P2.25-1所示，则其线性表现为

$$ a x_{1}(t)+\overset{h_{1}(t)}{\underset{}{b x_{2}(t)}{\longrightarrow}}a y_{1}(t)+\overset{h_{2}(t)}{\underset{}{b y_{2}(t)}{\longrightarrow}}a z_{1}(t)+\overset{}{b z_{2}(t)}_{*} $$

其时不变性表现在

$$ x(t-t_{0})\xrightarrow{h_{1}(t)}y(t-t_{0})\xrightarrow{h_{2}(t)}z(t-t_{0}) $$

此论断对离散时间线性时不变系统也成立。

(b) 不对。因为两个系统虽然各自非线性的，但它们串联连接后的总系统可能是线性的。例如， $ y(t)=x(t)+A $, $ z(t)=y(t)-A $, 则 $ z(t)=x(t) $ 是线性的。

（c）假定各有关点信号分别为 $ x[n] $, $ w[n] $, $ z[n] $ 和 $ y[n] $，如图 P2.25 所示，则

$$ w[n]=\left\{\begin{aligned}&x[n/2],&n& 为偶数 \\ &0,&n& 为奇数 \end{aligned}\right. $$

$$ \begin{aligned}x\left[n\right]=\left\{\begin{aligned}&w\left[n\right]+\frac{1}{2}w\left[n-1\right]+\frac{1}{4}w\left[n-2\right],\quad n 为偶数 \\&0,\quad n 为奇数 \end{aligned}\right.\end{aligned} $$

$ y[n]=\left\{\begin{aligned}&z[2n],&n 为偶数 \\ &0,&n 为奇数\end{aligned}\right. $

逐式代入后可得

$$ y[n]=\left\{\begin{array}{l l}{\displaystyle x[n]+\frac{1}{4}x[n-1]}\\ {}\\ {0,}\end{array}\right. $$

可见，该系统是线性时不变的。

(d) 同样，利用图 P 2.25 中的符号，则

$$ \begin{aligned}y[n]&=z[-n]=aw[-n-1]+bw[-n]+cw[-n+1]\\&=ax[n+1]+bx[n]+cx[n-1]\end{aligned} $$

由此可见：

(i) a、b 和 c 为任意实常数时，整个系统是线性时不变的。

(ii) a = c 时，总系统的输入-输出关系与系统 2 的相同。

(iii) a = 0 时，总系统是因果的。

2.26 下列各系统是否是可逆的？若是可逆的，求其逆系统。若不是可逆的，试找出两个使系统具有同样输出的输入信号。

$$ y(t)=x(t-4) $$

$$ y(t)=\cos[x(t)] $$

$$ y[n]=n x[n] $$

$$ y(t)=\int_{-\infty}^{t}x(\tau)d\tau $$

(e) $ y[n] = \left\{ \begin{aligned} x[n-1], & \quad n \geqslant 1 \\ 0, & \quad n = 0 \\ x[n], & \quad n \leqslant -1 \end{aligned} \right. $

(f) $ y[n] = x[n]x[n-1] $ (g) $ y[n] = x[1-n] $

(h) $ y(t) = \int_{-\infty}^{t} e^{-(t-\tau)} x(\tau) \, d\tau $

$$ y[n]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{n-k}x[k]\quad(j)y(t)=\frac{dx(t)}{dt} $$

(k) $ y[n] = \left\{ \begin{aligned} x[n + 1], & \quad n \geqslant 0 \\ x[n] & \quad n \leqslant -1, \end{aligned} \right. $

(l) $ y(t) = x(2t) $ (m) $ y[n] = x[2n] $,

(n) $ y[n]=\left\{\begin{aligned}&x[n/2],&&n\text{为偶数}\\ &0,&&n\text{为奇数}.\end{aligned}\right. $

解：（a）可逆的．其逆系统为

$$ z(t)=y(t+4) $$

(b) 不可逆的。 $ x(t) $ 和 $ [x(t)+2\pi k] $ 两个信号都给出相同的结果 $ y(t)=\cos[x(t)] $.

(c) 不可逆的。 $ \delta[n] $ 和 $ 2\delta[n] $ 两个信号都给出相同的 $ y[n]=0 $.

(d) 可逆的. 其逆系统为

$$ z(t)=\frac{d}{d t}\left[y(t)\right] $$

(e) 可逆的. 其逆系统为

$$ z\left[n\right]=\left\{\begin{aligned}{}&{{}y\left[n+1\right],}&{}&{{}n\geqslant1}\\ {}&{{}0,}&{}&{{}n=0}\\ {}&{{}y\left[n\right],}&{}&{{}n\leqslant-1}\\ \end{aligned}\right. $$

(f) 不可逆的。x[n] 和 -x[n] 都给出相同的结果。

(g) 可逆的。其逆系统为

$$ z[n]=y[1-n] $$

(h) 可逆的. 其逆系统为

$$ z(t)=y(t)+\frac{d}{d t}y(t) $$

(i) 可逆的. 其逆系统为

$$ z[n]=y[n]-\frac{1}{2}y[n-1] $$

(i) 不可逆的. $ x(t) $ 为任意常数 (c, 2c, 3c 等) 时, $ y(t) = 0 $.

(k) 不可逆的。当输入 u[n] 或 $ \delta[n] + u[n] $ 时，y[n] 相同。

(1) 可逆的. 其逆系统为

$$ z(t)=y(t/2) $$

(m) 不可逆的。只要 $ x_{1}[n] $ 和 $ x_{2}[n] $ 的偶数位相同，就会产

生相同的输出。

(n) 可逆的。其逆系统为

$$ z[n]=y[2n] $$

2.27 (a) 确定下列系统是否为可加的和(或)齐次的。若是，证明之；若不是，则举出一个反例。

(i) $ y[n] = \mathcal{R}_e\{x[n]\} $

(ii)

$$ y\left(t\right)=\frac{1}{x\left(t\right)}\left[\frac{dx\left(t\right)}{dt}\right]^{2} $$

(iii)

$$ y[n]=\left\{\begin{aligned}{}&{{}\frac{x[n\mid x[n-2]}{x[n-1]},}&{x[n-1]}&{{}\neq0}\\ {}&{{}0,}&{x[n-1]}&{{}=0}\\ \end{aligned}\right. $$

（iv）有一连续时间系统，在输入 $ x(t) $不为零时，其输出 $ y(t) $总是零，而在 $ x(t)=0 $的每一点上，输出是一个冲激，该冲激的面积等于在此瞬间 $ x(t) $的导数。假定对该系统的所有输入都有连续的导数。

(b) 若一个系统是可加的，且对于任意实数 c，齐次性 $ cx(t) \rightarrow cy(t) $ 成立，则称其为实线性系统。在 (a) 小题所考虑的系统中，有一个系统不是线性的，但是它是实线性的，试问是哪一个？

(c) 若一个系统既是可加的，又是齐次的，证明其必有如下的特性，即若输入恒等于零；则输出也恒等于零.

(d) 确定一个系统(连续的或离散的)，它既不是可加的，又不是齐次的。但当输入恒等于零时，输出也为零。

(e) 根据 (c) 小题，若在连续时间 $ t_{1} $ 和 $ t_{2} $ 之间或离散时间 $ n_{1} $ 和 $ n_{2} $ 之间对线性系统的输入为零，你能断定在这同样的时间之间其输出也必然为零吗？

解：（a）（i）是可加的。因为当输入 $ x[n] = x_{1}[n] + x_{2}[n] $ 时，有

$$ \begin{aligned}{y[n]}&{{}=\mathcal{R}_{e}\{x_{1}[n]+x_{2}[n]\}=\mathcal{R}_{e}\{x_{1}[n]\}+\mathcal{R}_{e}\{x_{2}[n]\}}\\ {}&{{}=y_{1}[n]+y_{2}[n]}\\ \end{aligned} $$

当 c 为任意实常数时，系统是齐次的。因为输入 x[n] = cx_{1}[n] 时，有

$$ y[n]={\mathcal R}_{e}\{c x_{1}[n]\}=c{\mathcal R}_{e}\{x_{1}[n]\}=c y_{1}[n] $$

当 c 为任意复数时，系统是非齐次的。例如，令 c = j，即输入 $ x[n] = cx_1[n] = jx_1[n] $ 时，有

$$ \begin{aligned}{y[n]}&{{}=\mathcal{R}_{e}\{c x_{1}[n]\}=\mathcal{R}_{e}\{j x_{1}[n]\}}\\ {}&{{}=-l_{m}\{x_{1}[n]\}\neq j y_{1}[n]}\\ \end{aligned} $$

(ii) 是齐次的。因为 $ x(t) = cx_{1}(t) $ 时，有

$$ y(t)=\frac{1}{c x_{1}(t)}\left[\frac{d[c x_{1}(t)]}{d t}\right]^{2}=c\;\frac{1}{x_{1}(t)}\left[\frac{d x_{1}(t)}{d t}\right]^{2}=c y_{1}(t) $$

但此系统是不可加的。当输入 $ x(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t) $ 时，有

$$ \begin{aligned}y(t)&=\frac{1}{x_{1}(t)+x_{2}(t)}\left\{\frac{d[x_{1}(t)+x_{2}(t)]}{dt}\right\}^{2}\\&=\frac{1}{x_{1}(t)+x_{2}(t)}\left\{\left[\frac{dx_{1}(t)}{dt}\right]^{2}+2\frac{dx_{1}(t)}{dz}\frac{dx_{2}(t)}{dt}+\left[\frac{dx_{2}(t)}{dt}\right]^{2}\right\}\\&=\frac{x_{1}(t)}{x_{1}(t)+x_{2}(t)}\ y_{1}(t)+\frac{2\frac{dx_{1}(t)}{dt}\frac{dx_{2}(t)}{dt}}{x_{1}(t)+x_{2}(t)}+\frac{x_{2}(t)}{x_{1}(t)+x_{2}(t)}y_{2}(t)\\&\rightleftharpoons y_{1}(t)+y_{2}(t)\\ \end{aligned} $$

（iii）是齐次的。设 $ x[n] = cx_{1}[n] $，则

$$ \mathbf{y}_{}{[n]}=\left\{\begin{aligned}{\frac{c x_{}{[n]}\bullet c x_{1}{[n-2]}}{c x_{1}{[n-1]}}}&{{}=c\frac{x_{1}{[n]}x_{1}{[n-2]}}{x_{1}{[n-1]}}=c y_{1}{[n]}}\\ {}&{{}\quad x{[n-1]}\neq0}\\ {0,}&{{}\quad x{[n-1]}=0}\\ \end{aligned}\right. $$

但是此系统是不可加的。设输入 $ x[n] = x_{1}[n] + x_{2}[n] $，则有

$$ \begin{aligned}y[n]=\left\{\begin{aligned}&(x_{1}[n]+x_{2}[n])(x_{1}[n-2]\\&\frac{+x_{2}[n-2])}{x_{1}[n-1]+x_{2}[n-1]}\neq y_{1}[n]+y_{2}[n]\\&\quad x_{2}[n-1]\ 和 \ x_{1}[n-1]\ 不同时为零时 \\&0,\quad x_{1}[n-1]\ 和 \ x_{2}[n-1]\ 同时为零时 \end{aligned}\right.\end{aligned} $$

（iv）系统的输入输出关系可表示为

$$ y(t)=\left\{\begin{aligned}&0,&x(t)\neq0\ 的所有 \ t\\ & 面积为 \ d x(t)/d t\ 的冲激 ,\ &x(t)=0\ 的所有 \ t\end{aligned}\right. $$

此系统是齐次的。因为 $ x(t) $ 有连续导数，所以有

$$ \frac{d[c x(t)]}{d t}=c\frac{d x(t)}{d t}=c y(t) $$

但此系统是不可加的。设 $ x_{1}(t)=1 $，则 $ y_{1}(t)=0 $，又设 $ x_{2}(t)=-1 $，则 $ y_{2}(t)=0 $。但是当输入为

$$ x(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t)=0 $$

时，则有

$$ y(t)=\frac{dx(t)}{dt}\delta(t)\neq y_{1}(t)+y_{2}(t) $$

所以系统是不可加的。

(b) 系统(i) 是实线性的。因为 a 为实数时， $ \mathcal{R}\cdot\{ax[n]\}=a\mathcal{R}\cdot\{x[n]\} $。

（c）设该系统为 $ y(t)=u[x(t)] $，并设 c 为任意常数和 $ x(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t) $，则根据其可加性，有

$$ \begin{aligned}\alpha_{\perp}x_{1}(t)+\dot{x}_{2}(t)]&=u[x_{1}(t)]+u[x_{2}(t)]\\&=y_{1}(t)+y_{2}(t)\end{aligned} $$

根据其齐次性，有

$$ u[c x(t)]=c y(t) $$

若现在设 $ x_{1}(t) = -x_{2}(t) $，则有

$$ x(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t)=0 $$

因此，有

$$ \begin{aligned}y(t)&=u[x(t)]=u[x_{1}(t)+x_{2}(t)]\\&=u[x_{1}(t)]+u[x_{2}(t)]\\&=u[x_{1}(t)]-u[x_{1}(t)]=0\end{aligned} $$

即输入为零，则输出为零。

(d) 例如，系统 $ y(t) = x^{2}(t) $，它既不是可加的，也不是齐次的。但是当 $ x(t) = 0 $ 时， $ y(t) = 0 $。

(e) 不能断定. 例如 $ y(t) = \int_{-\infty}^{t} x(\tau) \, d\tau $ 和 $ x(t) = u(t) - u(t-1) $. 则 t > 1 时，输入 $ x(t) = 0 $，但 $ t \geqslant 1 $ 时，输出 $ y(t) = \int_{-\infty}^{t} x(t) \, dt = \int_{0}^{1} dt = 1 \neq 0 $.

2.28 设有一个完成下列运算的离散时间系统。在每个时间n上计算

$$ r_{+}[n]=|x[n]-x[n-1]| $$

$$ r_{0}[n]=|x[n+1]-x[n-1]| $$

$$ r_{-}[n]=|x[n+1]-x[n]| $$

然后确定其中最大的一个．系统输出 y[n] 由下列之一式给出：

$ y[n]=x[n+1] $，若 $ r_{+}[n]=\max(r_{+}[n],r_{0}[n],r_{-}[n]) $

$ y[n] = x[n] $，若 $ r_{0}[n] = \max (r_{+}[n], r_{0}[n], r_{-}[n]) $

$ y[n]=x[n-1] $，若 $ r_{-}[n]=\max(r_{+}[n],r_{0}[n],r_{-}[n]) $

（其中 $ r = \max(x, y, z) $ 表示 r 取 x, y, z 中最大的一个）.

（a）证明，当 x[n] 是实数值时，这个系统是选择 x[n-1]

$ x[n] $ 和 $ x[n+1] $ 三个数值中的中间值的中值滤波系统。

(b) 证明上述系统是齐次的，但不是可加的。

(c) 设有下列三个滤波系统：

系统1：中值滤波器（如上述）

系统2：平均系统

$$ y[n]=\frac{1}{3}\left\{x[n-1]+x[n]+x[n+1]\right\} $$

系统3：对信号的当前值加重权的平均系统

$$ y[n]=\frac{1}{4}x[n-1]+\frac{1}{2}x[n]+\frac{1}{4}x[n+1] $$

假定，输入信号 x[n] 由要求的信号 $ x_{d}[n] $ 和干扰信号 $ x_{i}[n] $ 之和组成，即

$$ x[n]=x_{d}[n]+x_{i}[n] $$

(i) 假设 $ x_{i}[n]=0 $，计算三个系统分别对图 P 2.28(a) 和图 P 2.28(b) 产生的输出。

(ii) 当输入 x[n] 为图 P 2.28(a) 的 $ x_{d}[n] $ 和图 P 2.28(c) 中给出的干扰 $ x_{i}[n] $ 之和时，分别计算三个系统的输出。

（iii）当要求信号 $ x_{d}[n] $ 仍为图 P 2.28 (a) 所示，而干扰为 $ x_{i}[n]=5(-1)^{n} $ 时，计算各系统的输出。

（iv）当 $ x_{d}[n] $ 仍如图 P2.28(a) 所示，而 $ x_{i}[n]=\frac{1}{2}(-1)^{i} $ 时，试计算系统：和 3 的输出，并将所得响应与在(iii)小题中所得相应的响应比较之.

解：(a) 当 x[n] 为实数值时，若

$$ r_{+}[n]=\max\left(r_{+}[n],r_{0}[n],r_{-}[n]\right) $$

则由 $ r_{+}[n] $、 $ r_{0}[n] $和 $ r_{-}[n] $的定义可知，必有下列关系存在，即

$$ x[n]

或

$$ x[n-1]

因此，这时取 $ y[n] = x[n + 1] $ 是取其中值者。

同样，若 $ r_{0}[n]=\max\left(r_{+}[n],r_{0}[n],r_{-}[n]\right) $，则

$$ x\left[n-1\right]

或

$$ x[n+1]

此时取 $ y[n] = x[n] $ 也是取其中值者.

若 $ r_{-}[n] = \max (r_{+}[n], r_{0}[n], r_{-}[n]) $，则

$$ x[n]

或

$$ x[n+1]

此时取 y[n] = x[n - 1] 也是取其中值者。所以系统起到中值滤波作用。

(b) 齐次性的证明：输入为 $ cx[n] $ 时，有

$$ r_{+}[n]=|c||x[n]-x[n-1]| $$

$$ r_{0}[n]=|c||x[n+1]-x[n-1]| $$

$$ r\_{[}n]=|c||x[n+1]-x[n]| $$

因此，输出为

$$ y[n]=c\{x[n-1],x[n],x[n]+1]\} 的中值 , $$

非可加性的证明：例如

当输入 $ x_{1}[0]=0 $, $ x_{1}[1]=10 $, $ x_{1}[2]=15 $ 时，则系统输出中值为 $ y_{1}[1]=10 $;

当输入 $ x_{2}[0]=14 $, $ x_{2}[1]=2 $. $ x_{2}[2]=5 $ 时，则系统输出中值为 $ y_{2}[2]=5 $;

而当输入 $ x[n] = x_{1}[n] + x_{2}[n] $ 时， $ x[0] = 14 $， $ x[1] = 12 $， $ x[2] = 20 $，则系统输出中值为 y[0] = 14。

可见，其结果在数值上就不等于单独输入 $ x_{1}[n] $ 和 $ x_{2}[n] $ 时的输出中值之和，而且在中值出现的时刻上也与前两者不同。因此该系统是不可加的。

(c)(i) 系统1对两输入信号分别产生的输出，如图P2.28-1(a)、(b)所示.

系统2对两输入信号分别产生的输出，如图P2.28-1(c)、(d)所示.

系统3对两输入信号分别产生的输出，如图P 2.28-1(e)、(f)

所示.

（ii）系统1、2、3分别对 $ x_{du}[n]+x_{i}[n] $的响应，如图P2.282所示。

（iii）当 $ x_{i}[n]=5(-1)^{n} $ 时，系统1，2、3分别对 $ x_{da}[nj]+x_{i}[n] $ 的响应，如图P2.28-3所示。

(iv) 当 $ x_{i}[n]=\frac{1}{2}(-1)^{s} $ 时，系统1,2,3对 $ x_{d_{a}}[n]+x_{i}[n] $ 的响应，如图P2.28-4所示。

将此结果与(iii)小题中相应的结果比较可见，当干扰强度增大时，系统1的失真就增大，系统3的失真不变。

2.29 （a）对于一个输入为 $ x(t) $ 和输出为 $ y(t) $ 的时不变系统。证明：若 $ x(t) $ 为周期的，其周期为 T，则 $ y(t) $ 也是周期的，其周期为 T。证明，在离散时间情况中类似的结果成立。

(b) 一系统的输入输出关系为

$$ y[n]=x^{2}[n] $$

找出一个周期输入信号 x[n]，使系统输出 y[n] 的基本周期小于 x[n] 的基本周期。再找出另一个周期输入 x[n]，使得 x[n] 和 y[n] 的基本周期相同。

（c）举出一个线性时变系统的例子（连续时间的或离散时间的）。要求当给此系统输入周期信号时，其对应的输出是非周期的。

解：（a）证明：根据时不变条件，当 $ x(t) $对应的输出为 $ y(t) $

时，有 $ x(t+T) $ 对应的输出为 $ y(t+T) $。

因为 $ x(t+T) = x(t) $，所以 $ y(t+T) = y(t) $。因此 $ y(t) $ 是周期的，而且周期与 $ x(t) $ 相同，均为 T。

对于离散时间情况，同样可证明得 $ y[n+N]=y[n] $，周期为 N。

(b) 若 $ x[n] = \cos[n\pi/2] $，其基本周期为 $ N_{0} = 4 $，则

$$ y[n]=\cos^{2}[n\pi/2]=\frac{1}{2}\left(1+\cos\left[n\pi\right]\right) $$

其基本周期为 $ N_{0}/2=2 $ ，小于 x[n] 的基本周期。

若

$$ x[n]=\left\{\begin{aligned}&1,&n\ 为偶数 \\ &0,&n\ 为奇数 \end{aligned}\right. $$

其基本周期为 $ N_{0}=2 $ ,则

$$ y[n]=x^{2}[n]=\left\{\begin{aligned}&1,&n\ 为偶数 \\ &0,&n\ 为奇数 \end{aligned}\right. $$

其基本周期为 $ N_{0}=2 $ ，与 x[n] 的相同。

(c) 例如 $ y(t) = tx(t) $ 就是这样的系统之一。当输入周期信号 $ x(t) = \cos t $ 时，其输出 $ y(t) = t\cos t $ 是非周期的。

2.30 (a) 证明一个连续时间线性系统的因果性等效于下列陈述：

对于任一时刻 $ t_{0} $ 和任一输入 $ x(t) $，若 $ t < t_{0} $ 时，输入 $ x(t) = 0 $，则在 $ t < t_{0} $ 时，对应的输出必定为 $ y(t) = 0 $。

对于离散时间线性系统，也能得出类似的陈述。

(b) 举出一个满足这种条件，但不是因果的非线性系统。

(c) 举出一个因果的，但不满足这条件的非线性系统.

(d) 证明：一个离散时间线性系统的可逆性等效于下列陈述：

对于所有 n，产生输出 $ y[n] = 0 $ 的唯一的输入是，对于所有的 n, $ x[n] = 0 $.

对于连续时间线性系统，与此类似的陈述也是正确的。

(e) 找出一个满足(d)小题条件，但不是可逆的非线性系统.

解：（a）证明必要性：根据线性特性（可加性和齐次性），对于任意t，当输入为 $ x(t) $时，对应的输出为 $ y(t) $，则必有 $ x(t)=0(t

充分性：因为 $ x_{1}(t) $ 对应的输出为 $ y_{1}(t) $ 和 $ x_{2}(t) $ 对应输出为 $ y_{2}(t) $，所以如果 $ x_{1}(t)=x_{2}(t)(t

(b) 例如，非线性系统 $ y(t) = x(t)x(t+1) $ 就是这样的例子。当 $ x(t) = 0 $ ( $ t < t_{0} $) 时，则 $ y(t) = 0(t < t_{0}) $。但是 $ y(t) $ 与 $ x(t+1) $ 有关，因而该系统是非因果的。

(c) 例如系统 $ y(t) = x(t) + 1 $，它是非线性的，且是因果的。

但当 $ x(t) = 0 $ （ $ t < t_0 $）时， $ y(t) = 1 \neq 0 $，不满足上述条件

(d) 必要性：若 $ x[n] \neq 0 $ 产生输出为 $ y[n] = 0 $，则当 $ c \neq $

1时，根据线性特性， $ cx[n] $ 产生输出为 cy[n]=0，且 $ x[n]+cx[n] $ 产生输出为 $ y[n]+cy[n]=0 $，即有

$$ (1-c)x[n]=0 $$

由于系统是可逆的，所以 x[n]=0.

(e) 例如系统 $ y[n] = x^{2}[n] $。若 x[n] = 0 (所有 n)，则 $ y[n] = 0 $ (所有 n)，但该系统是不可逆的。

2.31 （a）设一个 LTI 系统，对于图 P 2.31-1 (a) 所示信号 $ x_{1}(t) $ 的响应是图 P 2.31-1 (b) 所示的信号 $ y_{1}(t) $。求系统对图 P 2.31-1(c) 所示信号 $ x_{2}(t) $ 的响应。

(b) 求系统对图 P 2.31(d) 所示信号 $ x_{3}(t) $ 的响应.

（c）假设另一个LTI系统，当输入单位阶跃信号 $ x(t)=u(t) $时，它有如下的输出响应 $ y(t) $：

$$ y(t)=e^{-\iota}u(t)+u(-1-\iota) $$

求这个系统对图 P 2.31-1(e) 所示输入信号 $ x(t) $ 的响应。

(d) 假设一个离散时间线性系统对输入信号 $ x_{1}[n] $, $ x_{2}[n] $ 和 $ x_{3}[n] $ 分别产生 $ y_{1}[n] $, $ y_{2}[n] $ 和 $ y_{3}[n] $ 的响应，如图 P 2.31-2(a) 所示。如果对这系统的输入是图 P 2.31-2(b) 所示的 x[n]，试问输出 y[n] 是什么？

（e）如果一个 LT1 系统对图 P 2.31-2 (a) 中所示的输入 $ x_{1}[n] $ 具有响应 $ y_{1}[n] $，求其对 $ x_{2}[n] $ 和 $ x_{3}[n] $ 的响应是什么？

(f) 设一个线性系统，它对 $ t^{k} $ 的响应为 $ \cos kt $。求这系统分别对输入

$$ x_{1}(t)=\pi+6t^{2}-47t^{5}+\sqrt{6}t^{6} $$

和

$$ x_{2}(t)=\frac{1+t^{10}}{1+t^{2}} $$

的响应。

解：(a) $ x_{2}(t) = x_{1}(t) - x_{1}(t - 2) $，得

$ y_{2}(t)=y_{1}(t)-y_{1}(t-2) $，如图P2.31-3(a)所示。

(b) $ x_{3}(t) = x_{1}(t) + x_{1}(t+1) $，得

$ y_{3}(t)=y_{1}(t)+y_{1}(t+1) $ 如图 P 2.31-3(b) 所示。

(c) $ x(t) = u(t - 1) - u(t - 2) $，而

对 $ u(t-1) $ 的响应为

$$ y_{1}(t)=y(t-1)=e^{1-t}u(t-1)+u(-t) $$

对 $ u(t-2) $ 的响应为

$$ y_{2}(t)=y(t-2)=e^{2-\tau}u(t-2)+u(1-\tau) $$

所以

$$ \begin{aligned}y(t)&=e^{-(t-1)}u(t-1)+u(-t)-e^{-(t-2)}u(t-2)\\&\quad-u(1-t),\quad 如图 P2.31-3(c) 所示。\end{aligned} $$

（d）设 $ x[n] = ax_{1}[n] + bx_{2}[n] + cx_{3}[n] $

其中 a, b 和 c 为待定系数。由图 P 2.31-2 可见，当 n = -1 时， $ x_{1}[-1] = 0 $， $ x_{2}[-1] = 0 $， $ x_{3}[-1] = 1 $，所以

$$ x[-1]=a x_{1}[-1]+b x_{2}[-1]+c x_{3}[-1]=c x_{3}[-1] $$

由此得 c=2.

同样，当 n=1 时，由 $ x[1]=bx_{2}[1] $，可得出 b=-2。

当 n=0 时， $ x[0]=ax_{1}[0]+bx_{2}[0] $，由此可得 a=1 -b=3。所以

$$ x\left[n\right]=3x_{1}[n]\;-\;2x_{2}[n]\;+\;2x_{3}[n] $$

因此

$$ y[n]=3y_{1}[n]\rightharpoonup2y_{2}[n]+2y_{3}[n] $$

由此可得 y[n] 如图 P 2.31-4(a) 所示。

(e) 因为 $ x_{2}[n] = x_{1}[n] + x_{1}[n-1] $，所以系统对 $ x_{2}[n] $ 的响应为

$$ y_{2}[n]=y_{1}[n]+y_{1}[n-1]\ 如图 \ P\ 2.31-4(b)\ 所示。 $$

因为 $ x_{3}[n]=x_{1}[n+1] $，所以系统对 $ x_{3}[n] $ 的响应为

$$ y_{3}[n]=y_{1}[n+1] $$

如图 P2.31-4(c) 所示。

(1)(i)

$$ \begin{array}{r l r}&{}&{x_{1}(t)=\pi+6t^{2}-47t^{5}+\sqrt{6}t^{6}}\\ &{}&{=\pi t^{0}+6t^{2}-47t^{5}+\sqrt{6}t^{6}}\end{array} $$

所以响应 $ y_{1}(t) $ 为

$$ y_{1}(t)=\pi+6\cos\left(2t\right)-47\cos\left(5t\right)+\sqrt{6}\cos\left(6t\right) $$

(ii) 将 $ x_{2}(t) $ 用除法展开可得

$$ x_{2}(t)=\frac{1+t^{10}}{1+t^{2}}=1-t^{2}+t^{4}-t^{6}+t^{8} $$

所以响应 $ y_{2}(t) $ 为

$$ y_{2}(t)=1-\cos\left(2t\right)+\cos\left(4t\right)-\cos\left(6t\right)+\cos\left(8t\right) $$

2.32 假定图 P 2.32-1 所示反馈系统，在 n<0 时， $ y[n] = 0 $

(a) 画出 x[n] = $ \delta $ [n] 时的输出.

(b) 画出 $ x[n] = x[n] $ 时的输出.

解：(a) 由图 P2.32-1 可写出差分方程为

$$ y[n]+y[n-1]=x[n-1] $$

当 $ x[n] = \delta[n] $ 时有 $ y[n] + y[n-1] = \delta[n-1] $

当 n=0 时， $ y[0]=\delta[-1]-y[-1]=0 $

n=1 时， $ y[1]=\delta[0]-y[0]=1 $

n=2 时， $ y[2]=\delta[1]-y[1]=-1 $

n=3 时 $ y[3]=\delta[2]-y[2]=1 $

・・・・・・・・

由此可得输出 y[n] 如图 P 2.32-2(a) 所示.

(b) 当 $ x[n] = u[n] $ 时， $ y[n] + y[n-1] = u[n-1] $

当 n=0,1,2,3,\cdots 时，有

$$ y[0]=u[-1]-y[-1]=0 $$

$$ y[1]=u[0]-y[0]=1 $$

$$ y[2]=u[1]-y[1]=0 $$

$$ y[3]=u[2]-y[2]=1 $$

$$ \begin{array}{r l}{\bullet\bullet\bullet}&{{}}&{\bullet\bullet\bullet\bullet}\end{array} $$

由此可得 y[n] 如图 P 2.32-2(b) 所示.

2.33 (a) 假定 S 表示一个增量线性系统，并假定 S 对一个任意输入信号 $ x_{1}[n] $ 的响应为 $ y_{1}[n] $。证明图 P2.33-1 中所示的系统是线性的。

(b) 利用 (a) 小题的结果证明，S 可表示为图 P 2.33-2 所示的形式.

(c) 下列系统中哪一个系统是增量线性的？为什么？若系统是增量线性的，试用等同于图 P 2.33-2 中所示的系统表示线性系统 L 和零输入响应 $ y_{0}[n] $ 或 $ y_{0}(t) $.

(i) $ y[n] = n + x[n] + 2x[n + 4] $

(ii) $ y[n] = \left\{ \begin{aligned} & n/2, & n \text{ 为偶数} \\ &( n - 1)/2 + \sum_{k=-\infty}^{n-1/2} x[k], & n \text{ 为奇数} \end{aligned} \right. $

(iii) $ y[n] = \left\{ \begin{aligned} x[n] - x[n-1] + 3, & x[0] \geqslant 0 \\ x[n] - x[n-1] - 3, & x[0] < 0 \end{aligned} \right. $

(iv) 图 P 2.33-3(a) 所示系统.

(v) 图 P 2.33-3(b) 所示系统.

（d）假设有图 P 2.33-2 所示的一个增量线性系统．证明，当且仅当 L 是时不变系统，且 $ y_{0}[n] $ 为常数时，s 才是时不变的。

解：（a）若以 S 表示系统 s 的变换，则

$$ y[n]=\mathcal{S}(x[n]-x_{1}[n])-y_{1}[n] $$

$$ \begin{aligned}&=\mathcal{S}(\boldsymbol{x}[n])+\mathcal{S}(\boldsymbol{x}_{1}[n]-\mathcal{S}(\boldsymbol{x}_{1}[n])\\&=\mathcal{S}(\boldsymbol{x}[n])\end{aligned} $$

因此该系统是线性的，且与 $ x_{1}[n] $ 无关.

(b) $ x_{1}[n]=0 $，所有 n

$ y_{1}[n]=y_{0}[n] $ 为零输入响应，所以如图 P 2.33-4 所示。

(c) (i) 是增量线性系统，其线性部分（用 L 表示）为 $ L(x[n]) $ 对应于 $ x[n]+2x[n+4] $

而零输入响应为 $ y_{0}[n]=n $。

(ii) 是增量线性系统。其线性部分为

$$ L\left(x[n]\right)=\left\{\begin{aligned}&0,&n\ 为偶数 \\ &\sum_{k=-\infty}^{n-1}x[k],&n\ 为奇数 \end{aligned}\right. $$

而零输入响应为

$$ y_{0}[n]=\left\{\begin{aligned}&n/2,&n\ 为偶数 \\ &(n-1)/2,&n\ 为奇数 \end{aligned}\right. $$

（iii）不是增量线性系统．因为其零输入响应 $ y_{0}[n] $ 依赖于 x[0] 的不同而不同．例如选 $ y_{0}[n]=3 $ ，则

$$ y[n]-y_{0}[n]=\left\{\begin{aligned}{}&{{}x[n]-x[n-1],}&{x[0]}&{{}\geqslant0}\\ {}&{{}x[n]-x[n-1]-6,}&{x[0]}&{{}<0}\\ \end{aligned}\right. $$

若选择 $ y_{0}[n] = -3 $，则

$$ y[n]-y_{0}[n]=\left\{\begin{aligned}{}&{{}x[n]-x[n-1]+6,}&{x[0]\geqslant6}\\ {}&{{}x[n]-x[n-1]}&{x[0]<0}\\ \end{aligned}\right. $$

$$ \mathrm{(i v)}y(t)=\frac{d w(t)}{d t}=\frac{d\left[t x(t)\right]}{d t}=x(t)+t\frac{d x(t)}{d t} $$

在零输入 $ [x(t)=0] $时，响应为 $ y_{0}(t)=0 $。所以系统是线性的，不是增量线性的。

$$ \begin{aligned}(\mathrm{v})\ y[n]&=z[n]-w[n]=(x[n]+\cos\pi n)^{2}-x^{2}[n]\\&=2x[n]\cos\pi n+\cos^{2}\pi n\end{aligned} $$

在零输入 $ (x[n]=0) $时，响应为 $ y_{0}[n]=\cos^{2}\pi n $。所以系统是增量线性的，其线性部分为

$$ L\{x[n]\}=2\cos\pi n\cdot x[n] $$

零输入响应为 $ y_{0}[n]=\cos^{2}n\pi=1 $

显然此系统还是时变的。

（d）根据图 P 2.33-2 可知，增量线性系统 S 对 x[n] 的响应为

$$ y[n]=z[n]+y_{0}[n] $$

其中 $ z[n] $ 是相应的线性系统对 x[n] 的响应， $ y_{0}[n] $ 与输入 x[n] 无关。对于时不变系统，要求输入为 $ x[n-n_{0}] $ 时，输出为

$$ y[n-n_{0}]=z[n-n_{0}]+y_{0}[n] $$

可见，只有当 L 是时不变系统，且 $ y_{0}[n] $ 是常数（即与 n 无关）时，增量线性系统才是时不变系统。