第一章行列式

原书第 4 页

第一章行列式

例题优选

例1 四阶行列式 $ \left| A \right| = \begin{vmatrix} 0 & 0 & 0 & a \\ 0 & 0 & b & 0 \\ 0 & c & 0 & 0 \\ d & 0 & 0 & 0 \end{vmatrix} = $ ___. 学习册答案 →

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再做一遍，你真掌握了吗

原书第 5 页

例4 证明： $ \begin{vmatrix}b_{1}+c_{1}&c_{1}+a_{1}&a_{1}+b_{1}\\b_{2}+c_{2}&c_{2}+a_{2}&a_{2}+b_{2}\\b_{3}+c_{3}&c_{3}+a_{3}&a_{3}+b_{3}\end{vmatrix}=2\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix} $. 学习册答案 →

学前预习

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例 6 计算行列式的值学习册答案 →

$$ {\mathrm{(1)}}\left|\begin{matrix}{1}&{4}&{-1}&{4}\\ {2}&{2}&{2}&{3}\\ {3}&{-1}&{6}&{2}\\ {4}&{0}&{5}&{3}\\ \end{matrix}\right|={\underline{\quad}}.{\mathrm{(2)}}\left|\begin{matrix}{0}&{5}&{2}&{0}\\ {8}&{3}&{5}&{4}\\ {7}&{2}&{4}&{1}\\ {0}&{4}&{1}&{0}\\ \end{matrix}\right|={\underline{\quad}}. $$

学前预习

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原书第 6 页

例 9 计算行列式的值 $ D = \begin{vmatrix} a + x & a & a & a \\ a & a + x & a & a \\ a & a & a + x & a \\ a & a & a & a + x \end{vmatrix} = $ ___. 学习册答案 →

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例11 (2023, 经联) 已知 $ \left| A \right| = \left| \begin{matrix} 1 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & t & 1 \\ 3 & -1 & 2 & 2 \\ -1 & 3 & 2 & 1 \end{matrix} \right| $， $ A_{ij} $ 为元素 $ a_{ij} $ 的代数余子式，若 $ A_{31} - A_{32} + 2A_{33} - A_{34} = 0 $，则 t = ___. 学习册答案 →

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例 13 方程组学习册答案 →

$$ \{\begin{aligned}x_{1}+x_{2}+\quad\ddot{x}_{\hat{s}}&=1,\\ 2x_{1}-x_{\hat{2}}-3\ddot{x}_{\hat{s}}&=0,\\ 4x_{1}+x_{2}+9\ddot{x}_{\hat{s}}&=0\end{aligned}. $$

的解中， $ x_{1}= $ ___.

学前预习

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学后优练

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自测练习题

1. 答案 →

$$ \left|\begin{matrix}1&1&1\\ -1&0&1\\ -2&-2&0\end{matrix}\right|={\underline{\underline{\quad}}}. $$

2. 答案 →

$$ \left|\begin{array}{c c c}{b+c}&{c+a}&{a+b}\\ {a}&{b}&{c}\\ {a^{2}}&{b^{2}}&{c^{2}}\\ \end{array}\right|=\underline{\quad\quad\quad}, $$

原书第 8 页

3. 答案 →

$$ \left|\begin{array}{c c c c}{a_{1}}&{0}&{0}&{b_{1}}\\ {0}&{a_{2}}&{b_{2}}&{0}\\ {0}&{b_{3}}&{a_{3}}&{0}\\ {b_{4}}&{0}&{0}&{a_{4}}\\ \end{array}\right|=\underline{\quad\quad}. $$

n 阶行列式 $ \begin{vmatrix} a & b & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & a & b & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a & b \\ b & 0 & 0 & \cdots & 0 & a \end{vmatrix} = \underline{\quad} $.

答案 →

n 阶行列式 $ \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & \cdots & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & \cdots & 1 & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 1 & 1 & 1 & \cdots & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 & 0 \end{vmatrix} = \underline{\quad} $.

答案 →

已知齐次方程组

答案 →

$$ \{\begin{aligned}x_{1}&+2x_{2}-x_{3}=0,\\ 2x_{1}&-x_{2}+\lambda x_{3}=0,\\ 3x_{1}&+x_{2}+x_{3}=0\end{aligned}. $$

有非零解，则 $ \lambda = $ ___.

原书第 9 页

证明范德蒙德（Vandermonde）行列式

答案 →

$$ D_{u}=\left|\begin{matrix}{1}&{1}&{\cdots}&{1}\\ {x_{1}}&{x_{2}}&{\cdots}&{x_{u}}\\ {x_{1}^{2}}&{x_{2}^{2}}&{\cdots}&{x_{u}^{2}}\\ {\vdots}&{\vdots}&{}&{\vdots}\\ {x_{1}^{\pi-1}}&{x_{2}^{\pi-1}}&{\cdots}&{x_{u}^{\pi-1}}\\ \end{matrix}\right|=\prod_{1\leqslant j\lt i\leqslant u}(x_{i}-x_{j}). $$

记行列式 $ \begin{vmatrix} x-2 & x-1 & x-2 & x-3 \\ 2x-2 & 2x-1 & 2x-2 & 2x-3 \\ 3x-3 & 3x-2 & 4x-5 & 3x-5 \\ 4x & 4x-3 & 5x-7 & 4x-3 \end{vmatrix} $ 为 $ f(x) $，则方程 $ f(x)=0 $ 的根的个数为

答案 →

(A)1. (B)2. (C)3. (D)4.

$ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = $ ___.

答案 →

设行列式 $ D = \begin{vmatrix} 3 & 0 & 4 & 0 \\ 2 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & -7 & 0 & 0 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \end{vmatrix} $，则第4行各元素余子式之和的值为 ___.

答案 →

原书第 10 页

以下题目如果不会可在学完二、三章后再做

设 $ 4 \times 4 $ 矩阵 $ A = [\alpha, \gamma_{2}, \gamma_{3}, \gamma_{4}] $, $ B = [\beta, \gamma_{2}, \gamma_{3}, \gamma_{4}] $，其中 $ \alpha, \beta, \gamma_{2}, \gamma_{3}, \gamma_{4} $ 均为四维列向量，且已知行列式 $ |A| = 4 $, $ |B| = 1 $，则行列式 $ |A + B| = $ ___.

答案 →

设矩阵 $ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $，矩阵 B 满足 $ ABA^{*} = 2BA^{*} + E $，其中 $ A^{*} $ 为 A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，则 $ \left| B \right| = $ ___.

答案 →