第二章矩阵

原书第 35 页

Ⅱ 第二章矩阵

矩阵 (matrix) 是线性代数中的一个重要概念，贯穿于线性代数的各个部分，在自然科学、工程技术和生产实践中都有很重要的作用。本章主要介绍矩阵的运算和一些基本性质。

§2.1 矩阵与矩阵的运算

1. 矩阵的定义

在数学上，矩阵是指纵横排列的数据表格，最早来自于方程组的系数所构成的方阵。这一概念由19世纪的英国数学家凯莱（Cayley）首先提出。矩阵是线性代数中的一个重要部分，自始至终贯穿于线性代数中。它联系着行列式、线性方程组、二次型、向量空间和线性变换等，几乎无所不及。矩阵在生产实践中也有许多应用，比如假设某种物资有3个产地 $ A_{1}, A_{2}, A_{3} $，有4个销售点 $ B_{1}, B_{2}, B_{3}, B_{4} $，那么一个调运方案就可以用数表

$$ a_{11}\quad a_{12}\quad a_{13}\quad a_{14} $$

$$ a_{21}\quad a_{22}\quad a_{23}\quad a_{24} $$

$$ a_{31}\quad a_{32}\quad a_{33}\quad a_{34} $$

来表示，其中 $ a_{ij} $ 表示由产地 $ A_{i} $ 运到销售点 $ B_{j} $ 的数量.

在我们给出矩阵的严格数学定义之前先给出数域的概念.

原书第 36 页

定义 1.1. 对于一个至少含有 0,1 的复数集合的子集合 F，如果其中任意两个数的和、差、积、商（除数不为 0）仍在 F 中，那么 F 称为一个数域.

由定义易知，所有的有理数形成一个数域，称为有理数域，用 Q 表示；所有的实数形成实数域，用 R 表示；所有的复数形成复数域，用 C 表示。所有的奇数不能构成数域，所有的偶数也不能构成数域。

例题 1.1. 证明集合

$$ F=\{a+b\sqrt{2}\mid a,b\in\mathbb{Q}\} $$

构成一个数域.

证明首先注意, 若 $ a + b\sqrt{2} = c + d\sqrt{2} $, 则必有 a = c, b = d. 特别地, 当 $ a + b\sqrt{2} = 0 $ 时, 必有 a = b = 0.

因为 $ Q \subset F $，所以 $ F $ 中有无穷多个元素。若有 $ \alpha = a + b\sqrt{2}, \beta = c + d\sqrt{2} \in F $，则

$$ \alpha\pm\beta=(a+b\sqrt{2})\pm(c+d\sqrt{2})=(a\pm c)+(b\pm d)\sqrt{2}, $$

$$ \alpha\beta=(a+b\sqrt{2})(c+d\sqrt{2})=(ac+2bd)+(ad+bc)\sqrt{2}. $$

因为当 $a,b,c,d$ 为有理数时，$a \pm c,b \pm d,ac+2bd,ad+bc$ 也为有理数，所以 $\alpha \pm \beta, \alpha\beta \in F$. 设 $\beta = c + d\sqrt{2} \neq 0$，则 $c,d$ 不全为 0，并且 $c^{2}-2d^{2} \neq 0$. 于是

$$ \frac{\alpha}{\beta}=\frac{a+b\sqrt{2}}{c+d\sqrt{2}}=\frac{(a+b\sqrt{2})(c-d\sqrt{2})}{(c+d\sqrt{2})(c-d\sqrt{2})}=\frac{ac-2bd}{c^{2}-2d^{2}}+\frac{bc-ad}{c^{2}-2d^{2}}\sqrt{2}. $$

由于 $ \frac{ac-2bd}{c^2-2d^2} $， $ \frac{bc-ad}{c^2-2d^2} $ 为有理数，所以 $ \frac{\alpha}{\beta}\in F $。依定义 F 为数域。

这样，我们以前学过的有理数集、实数集、复数集就都统一到数域这个一般的概念里面来。在线性代数中，讨论的问题总是限定在某一个数域，比如复数域、实数域，甚至像上述例题 1.1 提到的其他数域中进行。有时为了方便，甚至就在一般的数域 F 上讨论。

定义 1.2. 矩阵是指由数域 F 中的 $ m \times n $ 个数排成 m 行 (横) n 列 (竖) 的表，即

$$ \begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{pmatrix}. $$

原书第 37 页

我们称它为一个数域 $F$ 上的 $m \times n$ 矩阵。通常用大写英文黑斜体字母表示矩阵，上述矩阵可以简记为 $A$, $A = (a_{ij})_{mn}$, $A_{mn}$ 或 $A_{m \times n}$。其中 $a_{ij}(i = 1,2,\cdots,m; j = 1,2,\cdots,n)$ 称为矩阵第 $i$ 行第 $j$ 列上的元素，简称 $(i,j)$ 元素。当所有的 $a_{ij}$ 都是实数时，我们就称矩阵 $(1.1)$ 为实矩阵；当所有的 $a_{ij}$ 都是复数时，我们就称矩阵 $(1.1)$ 为复矩阵。

在本章中，如果没有特别说明，都假定所讨论的矩阵是复数域 C 上的矩阵.

当两个矩阵的行和列的个数分别相等时，称它们是同型矩阵，若这两个矩阵在相同位置上的元素都相等，那么称两个矩阵相等，即 $ \boldsymbol{A}=(a_{ij})_{st}=\boldsymbol{B}=(b_{ij})_{mn} $ 当且仅当 s=m,t=n 且 $ a_{ij}=b_{ij}(i=1,2,\cdots,s;j=1,2,\cdots,t) $.

特别地，如果 m=1，那么矩阵 (1.1) 为 $ 1 \times n $ 矩阵，可以看成一个行向量，即

$$ \boldsymbol{A}=(a_{11},a_{12},\cdots,a_{1n}). $$

当 n=1 时，矩阵 (1.1) 为 $ m \times 1 $ 矩阵，可以看成一个列向量，即

$$ \boldsymbol{A}=\left(\begin{matrix}{a_{11}}\\ {a_{21}}\\ {\vdots}\\ {a_{m1}}\\ \end{matrix}\right). $$

当 m = n 时，我们称矩阵 (1.1) 为 $ n \times n $ 矩阵或 n 阶方阵. 称 $ a_{ii}(i = 1,2,\cdots,n) $ 为方阵的主对角线元素，所有主对角线元素的和称为方阵的迹 (trace)，记作

$$ \mathrm{tr}\left(\boldsymbol{A}\right)=a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn}=\sum_{i=1}^{n}a_{ii}. $$

当 n 阶方阵 A 满足 $ a_{ij}=0 $ ( $ i\neq j;i,j=1,2,\cdots,n $) (即除主对角线元素之外的元素都是零) 时，我们称其为 n 阶对角矩阵，记作

$$ \begin{array}{r}{\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{l l l l}{a_{11}}&{}&{}&{}\\ {}&{a_{22}}&{}&{}\\ {}&{}&{\ddots}&{}\\ {}&{}&{}&{a_{n n}}\end{array}\right),}\end{array} $$

可以将其简记为

$$ \boldsymbol{A}=\mathrm{diag}\left(a_{11},a_{22},\cdots,a_{nn}\right). $$

原书第 38 页

进一步地，当对角矩阵中的对角线元素 $ a_{ii}=1(i=1,2,\cdots,n) $ 时，称它为单位矩阵，记作 $ E_{n} $ 或者 E；当 m=n=1 时，矩阵 $ (a_{11}) $ 就是 C 中的一个数，即 $ (a_{11})=a_{11} $；当矩阵所有的元素都是 0 时，我们称它为零矩阵，仍记为 0.

定义 1.3. 设 $ \boldsymbol{A} = (a_{ij})_{mn} $，称 $ -\boldsymbol{A} = (-a_{ij})_{mn} $ 是 A 的负矩阵，其中

$$ -\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}-a_{11}&-a_{12}&\cdots&-a_{1n}\\-a_{21}&-a_{22}&\cdots&-a_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\-a_{m1}&-a_{m2}&\cdots&-a_{mn}\end{pmatrix}. $$

矩阵的运算

(a) 矩阵的加法

定义 1.4. 设 $ \boldsymbol{A} = (a_{ij})_{mn}, \boldsymbol{B} = (b_{kl})_{mn} $ 是两个 $ m \times n $ 矩阵，则

$$ \begin{aligned}\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}&=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots&b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\cdots&b_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\b_{m1}&b_{m2}&\cdots&b_{mn}\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&\cdots&a_{1n}+b_{1n}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\cdots&a_{2n}+b_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&\cdots&a_{mn}+b_{mn}\end{pmatrix}.\end{aligned} $$

注意两个矩阵可以相加的条件是两个矩阵的行数和列数都分别相等.

有了矩阵的加法，很容易定义矩阵的减法，即矩阵

$$ \boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}+(-\boldsymbol{B}). $$

同样, 我们很容易得到矩阵加法的性质. 设 A, B, C 是三个 $ m \times n $ 矩阵, 那么其满足:

(1) 交换律: $ A + B = B + A $;

(2) 结合律: $ \boldsymbol{A} + (\boldsymbol{B} + \boldsymbol{C}) = (\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B}) + \boldsymbol{C} $;

(3) $ A + \mathbf{0} = A $;

(4) $ \boldsymbol{A} + (-\boldsymbol{A}) = \boldsymbol{0} $.

(b) 矩阵的数乘

原书第 39 页

定义 1.5. 设 A 是一个 $ m \times n $ 矩阵，k 是复数域 C 中的一个数。矩阵

$$ \begin{pmatrix}ka_{11}&ka_{12}&\cdots&ka_{1n}\\ka_{21}&ka_{22}&\cdots&ka_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\ka_{m1}&ka_{m2}&\cdots&ka_{mn}\end{pmatrix} $$

称为 A 与 k 的数量乘积，简称数乘，记作 kA 或 Ak. 特别地，称矩阵

$$ k\boldsymbol{E}=\begin{pmatrix}k&&&\\&k&&\\&&\ddots&\\&&&k\end{pmatrix} $$

为数量矩阵.

由定义可知，一个数乘一个矩阵，就是将矩阵的每个元素都乘这个数，在这里要注意与行列式数乘的区别。此外，很容易验证矩阵的数乘有以下性质。

设 $ A, B $ 是两个 $ m \times n $ 矩阵且 $ k, \ell $ 是 $ \mathbb{C} $ 中的两个数，那么其满足：

(1) 结合律: $ k(\ell A) = (k\ell)A $;

(2) 分配律: $ (k + \ell)A = kA + \ell A, k(A + B) = kA + kB; $

(3) $ 1A = A $;

(4) $ kA = 0 \Longleftrightarrow k = 0 $ 或 $ A = 0 $.

定义 1.6. 设矩阵 $ \boldsymbol{A} = (a_{ij})_{sn} $, $ \boldsymbol{B} = (b_{kl})_{nm} $，则矩阵

$$ \boldsymbol{C}=(c_{ij})_{sm}=\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&\cdots&c_{1m}\\c_{21}&c_{22}&\cdots&c_{2m}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\c_{s1}&c_{s2}&\cdots&c_{sm}\end{pmatrix} $$

称为矩阵 A 与 B 的乘积，其中

$$ c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{in}b_{nj}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj} $$

$$ (i=1,2,\cdots,s;j=1,2,\cdots,m), $$

原书第 40 页

记作 C = AB.

注意 (1) 要保证矩阵乘法有意义, 必须使第一个矩阵的列数和第二个矩阵的行数相等, 且乘积 C 的行数是第一个矩阵的行数, 列数是第二个矩阵的列数.

(2) 矩阵的乘法并不一定满足交换律，即 AB = BA 不一定成立.

例题 1.2. 已知 $ \boldsymbol{A} = (1, 4, 3) $, $ \boldsymbol{B} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} $，则

$$ \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}=\left(1,4,3\right)\begin{pmatrix}2\\ 3\\ 1\end{pmatrix}=17, $$

但是

$$ \boldsymbol{B}\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}{{{2}}} \\{{{3}}} \\{{{1}}}\end{pmatrix}(1,4,3)=\begin{pmatrix}{{{2}}}&{{{8}}}&{{{6}}} \\{{{3}}}&{{{12}}}&{{{9}}} \\{{{1}}}&{{{4}}}&{{{3}}}\end{pmatrix}. $$

例题 1.3. 如果 AB = BA, 我们就称矩阵 A, B 可交换. 设对角矩阵

$$ \boldsymbol{A}=\left(\begin{matrix}{a_{11}}&{0}&{\cdot\cdot\cdot}&{0}\\ {0}&{a_{22}}&{\cdots}&{0}\\ {\vdots}&{\vdots}&{}&{\vdots}\\ {0}&{0}&{\cdots}&{a_{n n}}\\ \end{matrix}\right), $$

其中 $ a_{ii} \neq a_{jj} $ ( $ i \neq j $; i, j = 1, 2, $ \cdots $, n)，证明和 A 可交换的矩阵只能是对角矩阵.

证明设矩阵 $ B = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nn} \end{pmatrix} $ 和 A 可交换，那么有

原书第 41 页

$$ \begin{aligned}&\left(\begin{array}{cccc}b_{11}&b_{12}&\cdots&b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\cdots&b_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\b_{n1}&b_{n2}&\cdots&b_{nn}\\\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}a_{11}&0&\cdots&0\\0&a_{22}&\cdots&0\\\vdots&\vdots&&\vdots\\0&0&\cdots&a_{nn}\\\end{array}\right)\\&=\left(\begin{array}{cccc}a_{11}&0&\cdots&0\\0&a_{22}&\cdots&0\\\vdots&\vdots&&\vdots\\0&0&\cdots&a_{nn}\\\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}b_{11}&b_{12}&\cdots&b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\cdots&b_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\b_{n1}&b_{n2}&\cdots&b_{nn}\\\end{array}\right),\end{aligned} $$

即有

$$ \begin{pmatrix}a_{11}b_{11}&a_{22}b_{12}&\cdots&a_{nn}b_{1n}\\a_{11}b_{21}&a_{22}b_{22}&\cdots&a_{nn}b_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{11}b_{n1}&a_{22}b_{n2}&\cdots&a_{nn}b_{nn}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{11}b_{11}&a_{11}b_{12}&\cdots&a_{11}b_{1n}\\a_{22}b_{21}&a_{22}b_{22}&\cdots&a_{22}b_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{nn}b_{n1}&a_{nn}b_{n2}&\cdots&a_{nn}b_{nn}\end{pmatrix}. $$

依次比较等式两边第1行，第2行，…，第n行相应位置上的元素，可以得到

$$ b_{12}=b_{13}=\cdots=b_{1n}=0, $$

$$ b_{21}=b_{23}=\cdots=b_{2n}=0, $$

$$ b_{n1}=b_{n2}=\cdots=b_{n,n-1}=0. $$

故结论成立.

在给出矩阵乘法定义后，下面我们可以归纳定义方阵的方幂.

设 A 是一个 n 阶方阵，对正整数 k，归纳的定义

$$ \boldsymbol{A}^{1}=\boldsymbol{A},\ \boldsymbol{A}^{k}=\boldsymbol{A}^{k-1}\boldsymbol{A},\ k=2,3,\cdots, $$

即 $ A^{k} $ 表示 k 个 A 相乘，称为方阵 A 的 k 次方幂。特别地，定义 $ A^{0} = E_{n} $。由乘法结合律，易知对任意非负整数 k, $ \ell $ 有

$$ \boldsymbol{A}^{k}\boldsymbol{A}^{\ell}=\boldsymbol{A}^{k+\ell},(\boldsymbol{A}^{k})^{\ell}=\boldsymbol{A}^{k\ell}. $$

关于矩阵的乘法，有以下性质（当然，这里假定矩阵运算是有意义的）：

(1) 结合律: $ A(BC) = (AB)C; $

原书第 42 页

(2) 分配律: $ (\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})\boldsymbol{C}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{C}+\boldsymbol{B}\boldsymbol{C},\ \boldsymbol{A}(\boldsymbol{B}+\boldsymbol{C})=\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}+\boldsymbol{A}\boldsymbol{C}; $

(3) $ k(AB) = (kA)B = A(kB) $, $ k \in \mathbb{C} $;

(4) 若 A 是一个 n 阶方阵, $ f(x), g(x) $ 为复系数的多项式, 则方阵 A 的多项式 $ f(A) $ 和 $ g(A) $ 的乘法满足交换律, 即 $ f(A)g(A) = g(A)f(A) $.

这里，需要说明方阵的多项式的概念. 设 $ f(x)=a_{m}x^{m}+a_{m-1}x^{m-1}+\cdots+a_{1}x+a_{0} $ 为 m 次的复系数多项式，A 为 n 阶方阵，称

$$ f(\boldsymbol{A})=a_{m}\boldsymbol{A}^{m}+a_{m-1}\boldsymbol{A}^{m-1}+\cdots+a_{1}\boldsymbol{A}+a_{0}\boldsymbol{E} $$

为方阵 A 的 m 次多项式.

下面证明性质（1）和（4），其余的请读者自行证明.

证明 (1) 记 $ \boldsymbol{A}=(a_{ij})_{sn}, \boldsymbol{B}=(b_{jk})_{nm}, \boldsymbol{C}=(c_{kl})_{mt} $，令 $ \boldsymbol{U}=\boldsymbol{B}\boldsymbol{C}=(u_{jl})_{nt} $， $ \boldsymbol{V}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}=(v_{ik})_{sm} $，则

$$ u_{j\ell}=\sum_{k=1}^{m}b_{j k}c_{k\ell}\quad(j=1,2,\cdots,n;\ell=1,2,\cdots,t), $$

$$ v_{i k}=\sum_{j=1}^{n}a_{i j}b_{j k}\quad(i=1,2,\cdots,s;k=1,2,\cdots,m), $$

且 A(BC) 和 (AB)C 都是 $ s \times t $ 矩阵. 由矩阵乘法定义可知 A(BC) = AU 的 $ (i, \ell) $ 位置上的元素为

$$ \sum_{j=1}^{n}a_{ij}u_{j\ell}=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}\left(\sum_{k=1}^{m}b_{jk}c_{k\ell}\right)=\sum_{j=1}^{n}\sum_{k=1}^{m}a_{ij}b_{jk}c_{k\ell}, $$

(AB)C=VC的 $ (i,\ell) $位置上的元素为

$$ \sum_{k=1}^{m}v_{ik}c_{k\ell}=\sum_{k=1}^{m}\left(\sum_{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}\right)c_{k\ell}=\sum_{k=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}c_{k\ell}, $$

而

$$ \sum_{j=1}^{n}\sum_{k=1}^{m}a_{ij}b_{jk}c_{k\ell}=\sum_{k=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}c_{k\ell}, $$

即得 $ \boldsymbol{A}(\boldsymbol{B}\boldsymbol{C})=\boldsymbol{A}\boldsymbol{U} $ 的 $ (i,\ell) $ 位置上的元素和 $ (\boldsymbol{A}\boldsymbol{B})\boldsymbol{C}=\boldsymbol{V}\boldsymbol{C} $ 的 $ (i,\ell) $ 位置上的元素相等，那么结论 (1) 成立.

原书第 43 页

（4）设 $ f(x)=a_{p}x^{p}+a_{p-1}x^{p-1}+\cdots+a_{1}x+a_{0} $， $ g(x)=b_{q}x^{q}+b_{q-1}x^{q-1}+\cdots+b_{1}x+b_{0} $ 分别为 p,q 次复系数多项式，则

$$ f(\boldsymbol{A})=a_{p}\boldsymbol{A}^{p}+a_{p-1}\boldsymbol{A}^{p-1}+\cdots+a_{0}\boldsymbol{E}=\sum_{j=0}^{p}a_{j}\boldsymbol{A}^{j}, $$

$$ g(\boldsymbol{A})=b_{q}\boldsymbol{A}^{q}+b_{q-1}\boldsymbol{A}^{q-1}+\cdots+b_{0}\boldsymbol{E}=\sum_{k=0}^{q}b_{k}\boldsymbol{A}^{k}, $$

那么 $ f(\boldsymbol{A})g(\boldsymbol{A}) $ 是关于 A 的一个 $ p+q $ 次多项式，且

$$ f(\boldsymbol{A})g(\boldsymbol{A})=\left(\sum_{j=0}^{p}a_{j}\boldsymbol{A}^{j}\right)\left(\sum_{k=0}^{q}b_{k}\boldsymbol{A}^{k}\right)=\sum_{j=0}^{p}\sum_{k=0}^{q}a_{j}b_{k}\boldsymbol{A}^{j+k}=\sum_{i=0}^{p+q}\left(\sum_{j+k=i}a_{j}b_{k}\right)\boldsymbol{A}^{i}. $$

同理可得

$$ g(\boldsymbol{A})f(\boldsymbol{A})=\sum_{i=0}^{p+q}\left(\sum_{j+k=i}a_{j} b_{k}\right)\boldsymbol{A}^{i}, $$

所以 $ f(A)g(A)=g(A)f(A) $.

(d) 矩阵的转置

定义 1.7. 将矩阵 A 的行列互换得到的矩阵称为 A 的转置矩阵，记作 $ A^{T} $.

即设 $ \boldsymbol{A}=(a_{ij})_{mn} $，则

$$ \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{21}&\cdots&a_{m1}\\a_{12}&a_{22}&\cdots&a_{m2}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{1n}&a_{2n}&\cdots&a_{mn}\end{pmatrix}=(a_{ji})_{nm}. $$

$ A^T $ 还可以用 $ A' $ 来表示. 当 $ A = A^T $ 时, 我们称 $ A $ 为对称矩阵; 当 $ A = -A^T $ 时, 称 $ A $ 为反称矩阵.

矩阵的转置有下列性质：

(1) $ (A^{\mathrm{T}})^{\mathrm{T}} = A $;

(2) $ (\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}+\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}; $

(3) $ (kA)^{\mathrm{T}} = kA^{\mathrm{T}} $;

(4) $ (\boldsymbol{A}\boldsymbol{B})^{\mathrm{T}} = \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} $

性质(1)—(3)易证，下面证明(4).

原书第 44 页

设 $ \boldsymbol{A}=(a_{ij})_{sn}, \boldsymbol{B}=(b_{jk})_{nm} $，则 $ (\boldsymbol{AB})^{\mathrm{T}} $ 和 $ B^{T}A^{T} $ 都是 $ m \times s $ 矩阵。其次， $ (\boldsymbol{AB})^{\mathrm{T}} $ 的 $ (i,j) $ 元素就是 AB 的 $ (j,i) $ 元素，故等于

$$ a_{j1}b_{1i}+a_{j2}b_{2i}+\cdots+a_{j n}b_{n i}. $$

$ B^{T}A^{T} $ 的 $ (i,j) $ 元素等于 $ B^{T} $ 的第 i 行元素与 $ A^{T} $ 的第 j 列对应元素乘积的和，故等于 B 的第 i 列元素与 A 的第 j 行对应元素乘积的和，即

$$ b_{1i}a_{j1}+b_{2i}a_{j2}+\cdots+b_{n i}a_{j n}. $$

两式显然相等，故 $ (AB)^{\mathrm{T}} = B^{\mathrm{T}} A^{\mathrm{T}} $

(e) 矩阵的共轭

定义 1.8. 设 $ \boldsymbol{A} = (a_{ij})_{mn} $ 是复数域 C 上的矩阵，用 $ \overline{a_{ij}} $ 表示 $ a_{ij} $ 的共轭复数，称 $ \overline{\boldsymbol{A}} = (\overline{a_{ij}})_{mn} $ 是 A 的共轭矩阵，其中

$$ \overline{{\cal A}}=\left(\begin{matrix}{\overline{{a_{11}}}}&{\overline{{a_{12}}}}&{\cdots}&{\overline{{a_{1n}}}}\\ {\overline{{a_{21}}}}&{\overline{{a_{22}}}}&{\cdots}&{\overline{{a_{2n}}}}\\ {\vdots}&{\vdots}&{}&{\vdots}\\ {\overline{{a_{m1}}}}&{\overline{{a_{m2}}}}&{\cdots}&{\overline{{a_{m n}}}}\\ \end{matrix}\right). $$

由定义可知， $ (\overline{\boldsymbol{A}})^{\mathrm{T}} = \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} $，且复矩阵 $ \boldsymbol{A} $ 是实矩阵当且仅当 $ \overline{\boldsymbol{A}} = \boldsymbol{A} $。共轭矩阵有下列性质：

(1) $ \overline{A} + \overline{B} = \overline{A} + \overline{B}; $

(2) $ \overline{kA} = \overline{k}\overline{A} $;

(3) $ \overline{AB} = \overline{A} \overline{B} $.

§2.2 矩阵的分块

对于行数和列数较大的矩阵，为了计算简单，常采用的一种方法就是矩阵分块，即把一个较大的矩阵分块成为若干个小的矩阵，把每个子块看成一个“元素”时，它们依然构成一个矩阵。将矩阵 A 用若干条水平线和垂直线划分成一些小

原书第 45 页

矩阵，每个小矩阵称为矩阵A的一个子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。注意，分块时同行的子块要求行数一样，同列的子块要求列数一样。例如矩阵

$$ \boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&0&0&3&1\\0&1&0&-1&2\\0&0&1&1&0\\\hline0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\boldsymbol{W}&\boldsymbol{X}\\\boldsymbol{Y}&\boldsymbol{Z}\end{pmatrix}, $$

其中 $ W = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $, $ X = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $, $ Y = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $, $ Z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $，即按照上述水平线和垂直线分块后，就得到一个 $ 2 \times 2 $ 的分块矩阵.

一般来说，分块表示方法是把一个 $ m \times n $ 矩阵 A 用水平线和垂直线分割成若干个小矩阵。例如，水平线把 m 行分成 s 组，各组依次有 $ m_1, m_2, \cdots, m_s $ 行，垂直线把 n 列分成 t 组，各组有 $ n_1, n_2, \cdots, n_t $ 列。于是矩阵 A 就变成

$$ \boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}\boldsymbol{A}_{11}&\boldsymbol{A}_{12}&\cdots&\boldsymbol{A}_{1t}\\\boldsymbol{A}_{21}&\boldsymbol{A}_{22}&\cdots&\boldsymbol{A}_{2t}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\\boldsymbol{A}_{s1}&\boldsymbol{A}_{s2}&\cdots&\boldsymbol{A}_{st}\end{pmatrix} $$

的形状. 此时, A 由小矩阵 $ A_{ij} $ 组成, $ A_{ij} $ 为 $ m_{i} \times n_{j} $ 矩阵.

形象地说，给定一个矩阵 A，在行间作从左到右的若干水平线，在列间作从上到下的若干垂直线，从而把矩阵化为若干个级数小的矩阵．如果 s = t，且当 $ i \neq j $ 时 $ A_{ij} = 0 $ ，那么就称矩阵 A 为准对角矩阵，即 A 有如下形式

$$ \begin{pmatrix}A_{11}&&&\\&A_{22}&&\\&&&\\&&A_{ss}\end{pmatrix} $$

原书第 46 页

又如，设

$$ \boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&0&3&2\\0&1&4&5\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\boldsymbol{E}_{2}&\boldsymbol{A}_{1}\\\boldsymbol{0}&\boldsymbol{E}_{2}\end{pmatrix}, $$

$$ \boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}1&0&-7&-8\\0&1&6&-4\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\boldsymbol{E}_{2}&\boldsymbol{B}_{1}\\\mathbf{0}&\boldsymbol{E}_{2}\end{pmatrix}. $$

直接计算得 $ AB = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 - 7 & 2 - 8 \\ 0 & 1 & 4 + 6 & 5 - 4 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \boldsymbol{E}_{2} & \boldsymbol{A}_{1} + \boldsymbol{B}_{1} \\ \boldsymbol{0} & \boldsymbol{E}_{2} \end{pmatrix} $.

分块后的矩阵运算和一般的矩阵运算一样. 在对矩阵进行分块时一定要注意分块后运算有意义. 用于两个矩阵相乘时, 第一个矩阵的列的分法和第二个矩阵的行的分法要一致. 这样, 在把小矩阵当矩阵元素相乘时才有意义, 也就是说如果矩阵分块后求 $ A_{sn}B_{nm} $, 那么分块后其形式如下:

$$ \begin{aligned}{\boldsymbol{A}=\left(\begin{matrix}{\boldsymbol{A}_{11}}&{\boldsymbol{A}_{12}}&{\cdots}&{\boldsymbol{A}_{1\ell}}\\ {\boldsymbol{A}_{21}}&{\boldsymbol{A}_{22}}&{\cdots}&{\boldsymbol{A}_{2\ell}}\\ {\vdots}&{\vdots}&{}&{\vdots}\\ {\boldsymbol{A}_{t1}}&{\boldsymbol{A}_{t2}}&{\cdots}&{\boldsymbol{A}_{t\ell}}\\ \end{matrix}\right),}\\ \end{aligned} $$

其中 $ A_{ij} $ 是 $ s_{i} \times n_{j} $ 矩阵， $ s_{1} + s_{2} + \cdots + s_{t} = s $， $ n_{1} + n_{2} + \cdots + n_{\ell} = n $；

$$ \begin{aligned}{B=\left(\begin{matrix}{B_{11}}&{B_{12}}&{\cdots}&{B_{1r}}\\ {B_{21}}&{B_{22}}&{\cdots}&{B_{2r}}\\ {\vdots}&{\vdots}&{}&{\vdots}\\ {B_{\ell1}}&{B_{\ell2}}&{\cdots}&{B_{\ell r}}\\ \end{matrix}\right),}\\ \end{aligned} $$

其中 $ B_{ij} $ 是 $ n_{i} \times m_{j} $ 矩阵, $ n_{1} + n_{2} + \cdots + n_{\ell} = n, m_{1} + m_{2} + \cdots + m_{r} = m $. 且

$$ \begin{aligned}{\mathbf{A}\mathbf{B}=\left(\begin{matrix}{C_{11}}&{C_{12}}&{\cdots}&{C_{1r}}\\ {C_{21}}&{C_{22}}&{\cdots}&{C_{2r}}\\ {\vdots}&{\vdots}&{}&{\vdots}\\ {C_{t1}}&{C_{t2}}&{\cdots}&{C_{t r}}\\ \end{matrix}\right),}\\ \end{aligned} $$

原书第 47 页

其中

$$ \begin{align*}C_{ij}=\boldsymbol{A}_{i1}\boldsymbol{B}_{1j}+\boldsymbol{A}_{i2}\boldsymbol{B}_{2j}+\cdots+\boldsymbol{A}_{i\ell}\boldsymbol{B}_{\ell j}=\sum_{k=1}^{\ell}\boldsymbol{A}_{ik}\boldsymbol{B}_{kj},\ $ i=1,2,\cdots,t;j=1,2,\cdots,r).\end{align*} $$

同样，用于矩阵的加法时，两个相加的矩阵必须在分块后对应位置上的矩阵大小相同，使得矩阵加法有意义。此处不写出具体的形式，但需要强调的是关于分块矩阵的转置。设矩阵 A 的分块如 (2.1) 所示，则有

$$ \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=\left(\begin{matrix}{\boldsymbol{A}_{11}^{\mathrm{T}}}&{\boldsymbol{A}_{21}^{\mathrm{T}}}&{\cdots}&{\boldsymbol{A}_{s1}^{\mathrm{T}}}\\ {\boldsymbol{A}_{12}^{\mathrm{T}}}&{\boldsymbol{A}_{22}^{\mathrm{T}}}&{\cdots}&{\boldsymbol{A}_{s2}^{\mathrm{T}}}\\ {\vdots}&{\vdots}&{}&{\vdots}\\ {\boldsymbol{A}_{1t}^{\mathrm{T}}}&{\boldsymbol{A}_{2t}^{\mathrm{T}}}&{\cdots}&{\boldsymbol{A}_{s t}^{\mathrm{T}}}\\ \end{matrix}\right), $$

也就是说，先转置分块矩阵，再转置每个小分块，这就得到 A 的转置 $ A^{T} $。矩阵分块简化了很多计算。例如，用矩阵分块可以证明行列式的乘法定理。首先给出一个定义。

设 $ A=(a_{ij})_{nn} $ 是一个 n 阶方阵，则称

$$ \begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix} $$

为方阵 A 的行列式, 记为 $ \left|A\right| $ 或 $ \det(A) $.

例如，矩阵 $ \begin{pmatrix}3&3&2\\5&-5&1\\5&2&5\end{pmatrix} $的行列式就是 $ \begin{vmatrix}3&3&2\\5&-5&1\\5&2&5\end{vmatrix}=-71 $.

注意 n 阶方阵和 n 阶行列式是两个不同的概念, 前者是 $ n^{2} $ 个数按一定方式排成的一个数表, 而后者是这个数表按一定的运算法则所确定的一个数. 另外, 由于行列式有 n 行 n 列, 所以若矩阵 A 不是方阵, 就不能对它取行列式.

n 阶方阵 A 的行列式有下列性质：

(1) $ |\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}| = |\boldsymbol{A}| $，即方阵 $ \boldsymbol{A} $ 的转置矩阵的行列式等于 $ \boldsymbol{A} $ 的行列式；

(2) $ \left|kA\right|=k^{n}|A| $;

原书第 48 页

(3) $ \left|\overline{A}\right|=\left|\overline{A}\right| $

进一步有如下的定理：

定理 2.1. 矩阵乘积的行列式等于行列式的乘积，即如果 A, B 是两个同阶的方阵，那么

$$ |\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}|=|\boldsymbol{A}||\boldsymbol{B}|. $$

证明设

$$ \begin{aligned}\boldsymbol{A}&=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix},\boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots&b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\cdots&b_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\b_{n1}&b_{n2}&\cdots&b_{nn}\end{pmatrix},\end{aligned} $$

$$ \begin{aligned}\boldsymbol{C}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}&=\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&\cdots&c_{1n}\\c_{21}&c_{22}&\cdots&c_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\c_{n1}&c_{n2}&\cdots&c_{nn}\end{pmatrix},\end{aligned} $$

其中 $ c_{ij}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}(i=1,2,\cdots,n;j=1,2,\cdots,n) $. 作分块矩阵

$$ \boldsymbol{D}=\left(\begin{array}{c c}{\boldsymbol{A}}&{\boldsymbol{0}}\\ {}&{-\boldsymbol{E}}\\ \end{array}\right). $$

一方面，由行列式的拉普拉斯展开定理知

$$ \left|D\right|=|\boldsymbol{A}||\boldsymbol{B}|. $$

另一方面，对 $ |D| $ 进行下述变形：将其第1列的 $ b_{11} $ 倍，第2列的 $ b_{21} $ 倍， $ \cdots $，第n列的 $ b_{n1} $ 倍加到第 $ n+1 $列；将其第1列的 $ b_{12} $ 倍，第2列的 $ b_{22} $ 倍， $ \cdots $，第n列的 $ b_{n2} $ 倍加到第 $ n+2 $列； $ \cdots $；将其第1列的 $ b_{1n} $ 倍，第2列的 $ b_{2n} $ 倍， $ \cdots $，第n列的 $ b_{nn} $ 倍加到第2n列。这样，就把 $ |D| $ 变成了如下行列式

原书第 49 页

$$ \begin{aligned}\left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}&c_{11}&c_{12}&\cdots&c_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}&c_{21}&c_{22}&\cdots&c_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}&c_{n1}&c_{n2}&\cdots&c_{nn}\\-1&0&\cdots&0&0&0&\cdots&0\\0&-1&\cdots&0&0&0&\cdots&0\\\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\0&0&\cdots&-1&0&0&\cdots&0\\\end{matrix}\right|&=\left|\begin{matrix}\boldsymbol{A}&\boldsymbol{C}\\\boldsymbol{-E}&\mathbf{0}\\\end{matrix}\right|=|\boldsymbol{D}_{1}|,\end{aligned} $$

其中 $ D_1 = \begin{pmatrix} A & C \\ -E & 0 \end{pmatrix} $. 首先, 我们由行列式的性质知 $ |D| = |D_1| $. 又由行列式的拉普拉斯展开定理知 $ |D_1| = (-1)^{2n^2 + n}|C|| - E| = (-1)^n |C|(-1)^n = |C| $. 因此 $ |AB| = |C| = |D_1| = |D| = |A||B| $. 结论成立.

§2.3 矩阵的秩

这一节主要介绍矩阵秩的定义，以及矩阵秩的求法。设 F 是一个数域。首先，我们讨论矩阵的初等变换。

定义 3.1. 对矩阵施行的下列三种变换称为初等行变换：

Ⅰ. 交换矩阵中的两行;

Ⅱ. 用一个非零的数 $ k (k \in F) $ 去乘矩阵某行的各元素；

Ⅲ. 把矩阵某行各元素的 $ k(k \in F) $ 倍加到另一行对应的元素上.

上面的三种变换分别叫做第Ⅰ种、第Ⅱ种、第Ⅲ种初等行变换. 把其中的“行”字改为“列”字, 相应的变换称为初等列变换. 矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换.

为了书写方便，引进记号：

I. 交换矩阵的 i, j 行 (列)，记为 $ r_i \leftrightarrow r_j (c_i \leftrightarrow c_j) $;

原书第 50 页

Ⅱ. 用一个非零的数 $ k \in F $ 去乘矩阵第 i 行 (列), 记为 $ k \times r_i (k \times c_i) $;

Ⅲ. 把矩阵第 j 行 (列) 的 k 倍加到第 i 行 (列) 上，记为 $ r_{i} + k r_{j}(c_{i} + k c_{j}) $

显然，若 $ m \times n $ 矩阵 A 经一次初等变换变成矩阵 B，则 B 也是 $ m \times n $ 矩阵，B 也可经一次初等变换变成 A.

定义 3.2. 若矩阵 A 经一系列初等变换变成矩阵 B, 则称 A 等价于 B. 换句话说, A 等价于 B 是指有一个由矩阵组成的序列

$$ \boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}_{1}\rightarrow\boldsymbol{A}_{2}\rightarrow\boldsymbol{A}_{3}\rightarrow\cdots\rightarrow\boldsymbol{A}_{s}=\boldsymbol{B}\quad(s\geqslant1), $$

其中每个 $ A_{i+1} $ (i=1,2, $ \cdots $,s-1) 可由 $ A_{i} $ 经一次初等变换得到.

“A 等价于 B” 是两个矩阵之间的关系，它满足以下三条性质：

(1) 反身性：即 A 等价于 A;

(2) 对称性: 若 A 等价于 B, 则 B 等价于 A;

(3) 传递性：若 A 等价于 B, B 等价于 C，则 A 等价于 C.

其中反身性显然成立，传递性也不难证明．而我们已经指出，当 $ A_{i} $ 经一次初等变换变成 $ A_{i+1} $ 时， $ A_{i} $ 也可由 $ A_{i+1} $ 经一次初等变换得到，故对称性成立．因为有对称性，我们可把 “A 等价于 B” 表述成 “A, B 等价”.

为适应用消元法解线性方程组的需要，我们有下列定义.

定义 3.3. 一个 $ m \times n $ 矩阵 $ \boldsymbol{A} = (a_{ij})_{mn} $ 称为阶梯形矩阵，如果其满足

(1) 若某行中每个元素都为 0, 那么位于该行下面各行元素也全为 0;

(2) 若有非零元素且非零元素出现于前 r 行，设第 i (i = 1, 2, \cdots, r) 行中左起第 1 个非零元素为 $ a_{ij_i} $，则有 $ j_1 \lt j_2 \lt \cdots \lt j_r $。也就是说，各个非零行的左起第一个非零元素的列指标由上至下严格递增。

根据这个定义，阶梯形矩阵的形状为

$$ \begin{pmatrix}0&\cdots&0&\left\lfloor a_{1j_{1}}\cdots\quad a_{1j_{2}-1}\right\rfloor&a_{1j_{2}}&\cdots&a_{1j_{r}}&\cdots&a_{1n}\\0&\cdots&0&0&\cdots&0&\cdots&a_{2j_{r}}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\0&\cdots&0&0&\cdots&0&0&\cdots&\left\lfloor a_{rj_{r}}\cdots a_{rn}\right\rfloor\\0&\cdots&0&0&\cdots&0&0&\cdots&0&\cdots&0\\\vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots&&\vdots\\0&\cdots&0&0&\cdots&0&0&\cdots&0&\cdots&0\end{pmatrix}, $$

其中 $ a_{1j_1} $, $ a_{2j_2} $, $ \cdots $, $ a_{rj_\tau} $ 均不为零. 例如,

原书第 51 页

$$ \begin{pmatrix}{{{\begin{pmatrix}1}}}&{{{0}}}&{{{4}}}&{{{-2}}}&{{{1}}} \\{{{0}}} \\{{{\sqrt{1-1}}}}&{{{1}}}&{{{-1}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{\sqrt{3}}}}&{{{0}}}\end{pmatrix},&\begin{pmatrix}{{{0}}}&{{{\begin{vmatrix}2}}}&{{{-1}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}\end{vmatrix}6 \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}\end{pmatrix},&\begin{pmatrix}{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}\end{pmatrix}\end{pmatrix} $$

都是阶梯形矩阵.

定理 3.1. 任意一个矩阵都可经过一系列初等行变换化为阶梯形矩阵.

证明这里，只允许施行初等行变换. 设已给 $ m \times n $ 矩阵 $ \boldsymbol{A} = (a_{ij})_{mn} $.

若所有的 $ a_{ij} $ 均为零，则 A 是阶梯形矩阵.

若 A 有非零元素. 设 A 的第 1, 2, $ \cdots $, $ j_{1}-1 $ 列的元素均为 0, 而第 $ j_{1} $ 列有非零元素. 通过两行互换, 可把该非零元素换到第 1 行. 然后从第 2 行起, 每行都加上第 1 行的适当倍数可使第 $ j_{1} $ 列中除第 1 行的元素外全为 0. 于是矩阵化成

$$ \begin{array}{r}{\boldsymbol{A}_{1}=\left(\begin{array}{l l l l l l}{0}&{\cdots}&{0}&{a_{1j_{1}}^{\prime}}&{a_{1,j_{1}+1}^{\prime}}&{\cdots}&{a_{1n}^{\prime}}\\ {0}&{\cdots}&{0}&{0}&{a_{2,j_{1}+1}^{\prime}}&{\cdots}&{a_{2n}^{\prime}}\\ {0}&{\cdots}&{0}&{0}&{a_{3,j_{1}+1}^{\prime}}&{\cdots}&{a_{3n}^{\prime}}\\ {\vdots}&{}&{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{}&{\vdots}\\ {0}&{\cdots}&{0}&{0}&{a_{m,j_{1}+1}^{\prime}}&{\cdots}&{a_{m n}^{\prime}}\end{array}\right),}\end{array} $$

其中 $ a'_{1j_1} \neq 0 $。若此时后 $ m-1 $ 行全为 0， $ A_1 $ 就是阶梯形矩阵。如果 $ A_1 $ 除第 1 行外还有非零元素，设在后 $ m-1 $ 行中第 1, 2, $ \cdots $, $ j_2-1 $ 列全为 0，而 $ j_2 $ 列中有非零元素，显然 $ j_2 \gt j_1 $。像上面一样经过初等行变换可使 $ (2, j_2) $ 位置的元素不为 0，并且当 $ i \gt 2 $ 时， $ (i, j_2) $ 位置元素全为 0。继续这一过程，最后即得到阶梯形矩阵。

以后我们用 “A $ \longrightarrow $ B” 表示 A 经一次 (或几次) 初等变换化成 B. 下面给出一个例子.

例题 3.1. 把

$$ \boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}{{{1}}}&{{{0}}}&{{{4}}}&{{{-2}}}&{{{1}}} \\{{{2}}}&{{{-1}}}&{{{9}}}&{{{-5}}}&{{{2}}} \\{{{1}}}&{{{-1}}}&{{{5}}}&{{{0}}}&{{{-1}}} \\{{{2}}}&{{{3}}}&{{{5}}}&{{{5}}}&{{{-2}}}\end{pmatrix} $$

化成阶梯形矩阵

解把 A 的第 1 行的 -2 倍加到第 2 行、-1 倍加到第 3 行、-2 倍加到

原书第 52 页

第4行，得

$$ \boldsymbol{A}\longrightarrow\begin{pmatrix}1&0&4&-2&1\\0&-1&1&-1&0\\0&-1&1&2&-2\\0&3&-3&9&-4\end{pmatrix}=\boldsymbol{A}_{1}. $$

然后把 $ A_{1} $ 的第 2 行的 -1 倍加到第 3 行、3 倍加到第 4 行，得

$$ \begin{array}{l}{A_{1}\longrightarrow\left(\begin{array}{c c c c c}{1}&{0}&{4}&{-2}&{1}\\ {0}&{-1}&{1}&{-1}&{0}\\ {0}&{0}&{0}&{3}&{-2}\\ {0}&{0}&{0}&{6}&{-4}\end{array}\right)\longrightarrow\left(\begin{matrix}{1}&{0}&{4}&{-2}&{1}\\ {0\sqrt{-1}}&{1}&{-1}&{0}\\ {0}&{0}&{0\sqrt{3}}&{3}&{-2}\\ {0}&{0}&{0}&{0}&{0}\end{matrix}\right),}\end{array} $$

最后一步是把第3行的 -2 倍加到第4行. 这就得到了阶梯形矩阵.

如果不局限于初等行变换，定理 3.1 可加强为定理 3.2.

定理 3.2. 任何一个 $ m \times n $ 矩阵 A 都与一个形如

$$ \begin{pmatrix}1&0&\cdots&0&0&\cdots&0\\0&1&\cdots&0&0&\cdots&0\\\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\0&0&\cdots&1&0&\cdots&0\\0&0&\cdots&0&0&\cdots&0\\\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\0&0&\cdots&0&0&\cdots&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\boldsymbol{E}_{r}&\mathbf{0}\\\mathbf{0}&\mathbf{0}\end{pmatrix} $$

的矩阵等价. 在矩阵(3.2)中，(1,1)，(2,2)， $ \cdots $，(r,r)位置的元素为1，其余为零. 显然当r=0时，上述矩阵为零矩阵.

定理 3.2 断言每个 $ m \times n $ 矩阵都可经过一系列初等变换化成 (3.2) 的形状.

证明定理 3.1 已经证明 $ m \times n $ 矩阵 $ \boldsymbol{A} = (a_{ij})_{mn} $ 可经过一系列初等行变换化成阶梯形矩阵 (3.1). 设其中 $ a_{1j_1}, a_{2j_2}, \cdots, a_{rj_r} $ 为所在行的第 1 个不为零的元素，且有 $ j_1 \lt j_2 \lt \cdots \lt j_r $. 同时，后 m - r 行元素全为零. 依次将第 1, $ j_1 $ 两列互换，第 2, $ j_2 $ 两列互换，…，第 r, $ j_r $ 两列互换，就把这些非零元素换到主对角线上，成为所在各行的第 1 个非零元素. 用适当的非零元素去乘各行可使主对角线上前 r 个元素成为 1，然后各列加上第 1 列的适当倍数可使第 1 行中

原书第 53 页

除 $ (1,1) $位置上的“1”以外全化成“0”，再把各列加上第2列的适当倍数可使第2行中除对角线上的“1”以外也全化成“0”。继续这一过程，最后化成 $ (3,2) $的形状.

定理 3.2 的证明建立在定理 3.1 的基础上，即先把 A 化成阶梯形，然后化成 (3.2) 的形状。但实际计算时不必先化成阶梯形，而根据需要选择行变换和列变换的顺序。

若 A 与 (3.2) 的矩阵等价，则后者称为 A 的等价标准形。等价标准形中“1”的个数是一个重要的数据。下面引入矩阵中秩的概念。为此，我们可以像在行列式中一样定义 k 阶子式。

定义 3.4. 如果 A 是一个 $ m \times n $ 矩阵，任意取 k 行 k 列，位于这些选定行和列的交叉点上的 $ k^{2} $ 个元素按原来的顺序组成的一个 k 阶行列式，这个行列式称为矩阵 A 的一个 k 阶子式。

由定义可知 $ k \leq \min\{m, n\} $，即不大于 m, n 的最小值。易知，k 阶子式总共有 $ C_m^k C_n^k $ 个。

例题 3.2. 取例题 3.1 中矩阵 A 的 1,2,4 行和 1,3,5 列得到的一个三阶子式, 即

$$ \begin{vmatrix}1&4&1\\ 2&9&2\\ 2&5&-2\end{vmatrix}. $$

定义矩阵的子式后，我们给出矩阵论中的一个重要概念：矩阵的秩。

定义 3.5. 称非零的 $ m \times n $ 矩阵 A 的秩 (rank) 为正整数 r，如果 A 有非零的 r 阶子式，而没有非零的 $ r+1 $ 阶子式。零矩阵的秩规定为 0。A 的秩记作 $ r(A) $。

对于 n 阶方阵 A，若 $ r(A)=n $，则称矩阵 A 为满秩的（或非奇异的、非退化的），这时它的行列式不等于 0；反之，则称其为降秩的（或奇异的、退化的），且行列式等于 0.

以例题 3.1 中的矩阵 A 为例，它有 60 个 2 阶子式，40 个 3 阶子式和 5 个 4 阶子式。其中，2 阶子式

$$ \left|\begin{array}{cc}0&4\\ -1&9\end{array}\right|=4, $$

原书第 54 页

3 阶子式

$$ \begin{aligned}\left|\begin{matrix}0&4&-2\\ -1&9&-5\\ -1&5&0\end{matrix}\right|&=12,\end{aligned} $$

两者均不为 0，而所有的 4 阶子式都等于 0. 依定义， $ r(A)=3 $.

在以上定义中，A“没有非零的 $ r+1 $ 阶子式”概括了两种情形： $ r=\min\{m,n\} $，因而 A 没有 $ r+1 $ 阶子式；A 虽有 $ r+1 $ 阶子式但全等于 0。由行列式按一行展开定理，在后一情形下，A 若有 $ r+2 $ 阶或更高阶子式，也必然全为 0。于是 r 是 A 中不为 0 的子式阶数的最大者。

根据定义，(3.2) 中矩阵的秩就是主对角线上“1”的个数 r.

定理 3.3. 初等变换不改变矩阵的秩

证明矩阵的初等变换有三种，这里只考虑上述的第三种情况，其余作为习题. 即将某一行（列）的 c 倍加到另一行（列），由于行变换和列变换的证明思路一样，所以不妨假设 $ m \times n $ 矩阵 A 按列分块后为

$$ \boldsymbol{A}=(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{i},\cdots,\alpha_{j},\cdots,\alpha_{n}), $$

其中 $ \alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{i},\cdots,\alpha_{j},\cdots,\alpha_{n} $ 是矩阵的列，经过初等列变换后变为

$$ \boldsymbol{B}=(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{i}+c\alpha_{j},\cdots,\alpha_{j},\cdots,\alpha_{n}), $$

即将矩阵的第 j 列的 c 倍加到第 i 列. 设 $ r(A) = r $, 现取矩阵 B 的任意一个 $ k (k \gt r) $ 阶子式 D, 记 $ \beta_{i}, \beta_{j} $ 是 D 中分别对应于 $ \alpha_{i}, \alpha_{j} $ 的列, 则 D 有三种情形.

(1) D 中不含 B 的第 i 列，这时 D 就是 A 的子式，那么 D = 0.

(2) D 中含 B 的第 i 列，但不含 B 的第 j 列，这时

$$ D=\det(\cdots,\beta_{i}+c\beta_{j},\cdots)=\det(\cdots,\beta_{i},\cdots)+\det(\cdots,c\beta_{j},\cdots)=0. $$

这是因为这两个式子都是 A 的 k 阶子式.

(3) D 中同时含 B 的第 i 列和第 j 列，这时

$$ \begin{aligned}D&=\det(\cdots,\beta_{i}+c\beta_{j},\cdots,\beta_{j},\cdots)\\&=\det(\cdots,\beta_{i},\cdots,\beta_{j},\cdots)+\det(\cdots,c\beta_{j},\cdots,\beta_{j},\cdots)\\&=0.\\ \end{aligned} $$

原书第 55 页

这是因为第一个式子就是 $ A $ 的 $ k $ 阶子式, 第二个式子中有两列成比例. 那么, $ B $ 中高于 $ r $ 阶的子式都为零, 所以 $ r(B) \leq r = r(A) $. 同理可得 $ r(A) \leq r(B) $ (因为将矩阵 $ B $ 第 $ j $ 列的 $ -c $ 倍加到它的第 $ i $ 列就变成了矩阵 $ A $). 所以, $ r(B) = r(A) $, 即矩阵经过上述的第 $ \mathbb{M} $ 种初等变换后秩不变.

性质 3.1. 两个 $ m \times n $ 矩阵 A, B 等价的充要条件是它们有相同的秩.

证明设 $ r(A)=r(B)=r $，则 A, B 的等价标准形都是主对角线上恰有个 1 的形如 (3.2) 的矩阵 C。于是 A, C 等价，B, C 等价，则由传递性知 A, B 等价。至于等价的矩阵有相同的秩则是定理 3.3 的直接推论。

性质 3.2. 阶梯形矩阵的秩等于它非零行的数目.

证明在阶梯形矩阵(3.1)中，有前 $ 1,2,\cdots,r $行和第 $ j_{1},j_{2},\cdots,j_{r} $列构成的r阶子式

$$ \begin{aligned}\left|\begin{matrix}a_{1j_{1}}&a_{1j_{2}}&a_{1j_{3}}&\cdots&a_{1j_{r}}\\&a_{2j_{2}}&a_{2j_{3}}&\cdots&a_{2j_{r}}\\&&\ddots&&\vdots\\&&&a_{rj_{r}}\\&\end{matrix}\right|&=a_{1j_{1}}a_{2j_{2}}\cdots a_{rj_{r}}\neq0,\end{aligned} $$

而所有阶大于等于 $ r+1 $ 的子式全为 0. 故其秩为非零行的个数 r.

由于任何矩阵都可以经初等变换化为阶梯形矩阵，根据上述性质，我们就可以把矩阵作初等变换化为阶梯形矩阵，而阶梯形矩阵的秩就等于非零行的数目，这样就很容易求得矩阵的秩.

例题 3.3. 求矩阵 $ A = \begin{pmatrix} 0 & 2 & -1 & 3 \\ 1 & 4 & -2 & 0 \\ 2 & 3 & 5 & 2 \\ 0 & 0 & 13 & 19 \end{pmatrix} $ 的秩.

解对矩阵作如下初等变换：

$$ \begin{pmatrix}{{{0}}}&{{{2}}}&{{{-1}}}&{{{3}}} \\{{{1}}}&{{{4}}}&{{{-2}}}&{{{0}}} \\{{{2}}}&{{{3}}}&{{{5}}}&{{{2}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{13}}}&{{{19}}}\end{pmatrix}\xrightarrow{r_{1}\leftrightarrow r_{2}}\begin{pmatrix}{{{1}}}&{{{4}}}&{{{-2}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{2}}}&{{{-1}}}&{{{3}}} \\{{{2}}}&{{{3}}}&{{{5}}}&{{{2}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{13}}}&{{{19}}}\end{pmatrix}\xrightarrow{-2r_{1}+r_{3}}\begin{pmatrix}{{{1}}}&{{{4}}}&{{{-2}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{2}}}&{{{-1}}}&{{{3}}} \\{{{0}}}&{{{-5}}}&{{{9}}}&{{{2}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{13}}}&{{{19}}}\end{pmatrix} $$

原书第 56 页

$$ \begin{array}{r l}{\frac{\widetilde{\pi}_{2}r_{2}+r_{3}}{2}}&{{}\left(\begin{array}{l l l l}{1}&{4}&{-2}&{0}\\ {0}&{2}&{-1}&{3}\\ {0}&{0}&{\frac{13}{2}}&{\frac{19}{2}}\\ {0}&{0}&{13}&{19}\end{array}\right)\xrightarrow{-2r_{B}+r_{4}}\left(\begin{array}{l l l l}{1}&{4}&{-2}&{0}\\ {0}&{2}&{-1}&{3}\\ {0}&{0}&{\frac{13}{2}}&{\frac{19}{2}}\\ {0}&{0}&{0}&{0}\end{array}\right).}\end{array} $$

由此可知 $ r(A)=3 $.

§2.4 矩阵的逆

定义了矩阵的相关运算后，我们很容易就联想到由所有矩阵构成的集合和数域的相似之处。我们知道，对于数域 $F$ 中任一个非零的数 $a$，均有一个数 $a^{-1} \in F$，满足

$$ \boldsymbol{a}\boldsymbol{a}^{-1}=\boldsymbol{a}^{-1}\boldsymbol{a}=1. $$

这里， $ a^{-1} $ 是 a 的倒数，称为 a 的逆. 那么，矩阵是否和数域中的数一样存在逆呢？这一节将介绍矩阵的逆矩阵的定义、性质和求法.

定义 4.1. 设 A 是一个 n 阶方阵，如果存在矩阵 B，使得

$$ \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}=\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}, $$

则称 A 存在逆矩阵 B，将 A 的逆矩阵记作 $ A^{-1} $. A, B 称为互逆矩阵.

注意逆矩阵只对方阵而言，没有定义非方阵的矩阵的逆.

例题 4.1. (1) 已知 $ A=\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix} $，则 $ A^{-1}=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&0\\0&\frac{1}{3}\end{pmatrix} $.

(2) 设 $ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} $，求其逆矩阵.

解 (1) 由定义验算即得.

原书第 57 页

(2) 设 $ B = \begin{pmatrix} b_{1} & b_{2} \\ b_{3} & b_{4} \end{pmatrix} $ 是 A 的逆矩阵，则

$$ \begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}b_{1}&b_{2}\\b_{3}&b_{4}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}. $$

那么

$$ \{\begin{array}{r}2b_{1}+b_{3}=1,\\ 2b_{2}+b_{4}=0,\\ \quad3b_{3}=0,\\ \quad3b_{4}=1.\end{array}. $$

解得 $ b_{1}=\frac{1}{2}, b_{2}=-\frac{1}{6}, b_{3}=0, b_{4}=\frac{1}{3} $，即 $ A^{-1}=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{6}\\ 0&\frac{1}{3}\end{pmatrix} $.

矩阵的逆有以下性质：

(1) 若矩阵 A 可逆，则其逆矩阵唯一确定.

(2) A 可逆时， $ A^{-1} $ 也可逆，且 $ (A^{-1})^{-1} = A $.

(3) A, B 可逆时，AB 也可逆，且 $ (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} $

(4) A 可逆时，其转置 $ A^{T} $ 也可逆，并且 $ (\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}})^{-1} = (\boldsymbol{A}^{-1})^{\mathrm{T}} $

证明 (1) 若 B, C 都是 A 的逆，则有等式

$$ \begin{aligned}\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}=\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E},&\boldsymbol{A}\boldsymbol{C}=\boldsymbol{C}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}.\end{aligned} $$

这样一来 $ B = BE = B(AC) = (BA)C = EC = C $. 这也是定义 4.1 中把 A 的（唯一的）逆矩阵记作 $ A^{-1} $ 的原因所在.

(2) 若矩阵 A 可逆，则存在矩阵 B 使得 AB = BA = E，那么按照定义 $ A^{-1} = B $ 也可逆，且它的逆矩阵就是 A，即 $ (A^{-1})^{-1} = A $.

(3) 若 A, B 可逆，则

$$ (\boldsymbol{A}\boldsymbol{B})(\boldsymbol{B}^{-1}\boldsymbol{A}^{-1})=\boldsymbol{A}(\boldsymbol{B}\boldsymbol{B}^{-1})\boldsymbol{A}^{-1}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^{-1}=\boldsymbol{E}, $$

同理， $ (B^{-1}A^{-1})(AB)=E $，故由定义知 AB 也可逆，且 $ (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} $

(4) 若矩阵 A 可逆，则

$$ \boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^{-1}=\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}, $$

原书第 58 页

两边同时求转置得

$$ (\boldsymbol{A}^{-1})^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}(\boldsymbol{A}^{-1})^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{E}, $$

由定义知 $ (\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}})^{-1}=(\boldsymbol{A}^{-1})^{\mathrm{T}} $

可以用数学归纳法证明：如果 $ A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{s} $ 是同阶的可逆矩阵，那么

$$ (\boldsymbol{A}_{1}\boldsymbol{A}_{2}\cdots\boldsymbol{A}_{s})^{-1}=\boldsymbol{A}_{s}^{-1}\cdots\boldsymbol{A}_{2}^{-1}\boldsymbol{A}_{1}^{-1}. $$

矩阵的逆和复数域中的倒数有点相似. 在复数域中, 0 没有倒数. 那么, 在所有的方阵中, 是否存在没有逆矩阵的方阵? 更进一步讲, 如果矩阵存在逆, 怎么求逆呢?

例题 4.2. 已知矩阵 $ A = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} $，那么 A 是否存在逆矩阵？

解假设 A 存在逆矩阵 B = $ \begin{pmatrix} b_{1} & b_{2} \\ b_{3} & b_{4} \end{pmatrix} $，那么有 $ \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_{1} & b_{2} \\ b_{3} & b_{4} \end{pmatrix} = $

$ \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} $，而 $ \begin{pmatrix}0 & 3 \\ 0 & 4\end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_{1} & b_{2} \\ b_{3} & b_{4}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3b_{3} & 3b_{4} \\ 4b_{3} & 4b_{4}\end{pmatrix} $，不可能是单位矩阵，故矩阵 A

没有逆矩阵.

为了简化计算，我们定义矩阵的伴随矩阵.

定义 4.2. 设矩阵 $ \boldsymbol{A} = (a_{ij})_{nn} $，称矩阵

$$ \boldsymbol{A}^{*}=\begin{pmatrix}A_{11}&A_{21}&\cdots&A_{n1}\\A_{12}&A_{22}&\cdots&A_{n2}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\A_{1n}&A_{2n}&\cdots&A_{nn}\end{pmatrix} $$

为矩阵 A 的伴随矩阵，其中 $ A_{ij} $ 是元素 $ a_{ij} $ 的代数余子式.

设 $ |A|=d $，由于 $ a_{ij} $ 和其代数余子式 $ A_{ij} $ 有如下关系：

$$ a_{i1}A_{j1}+a_{i2}A_{j2}+\cdots+a_{in}A_{jn}=\{\begin{aligned}&d,&i&=j,\\ &0,&i&\neq j,\end{aligned}. $$

$$ a_{1i}A_{1j}+a_{2i}A_{2j}+\cdots+a_{ni}A_{nj}=\{\begin{aligned}&d,&i=j,\\ &0,&i\neq j.\end{aligned}. $$

原书第 59 页

所以

$$ \begin{aligned}\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^{*}&=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}A_{11}&A_{21}&\cdots&A_{n1}\\A_{12}&A_{22}&\cdots&A_{n2}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\A_{1n}&A_{2n}&\cdots&A_{nn}\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}d&&&\\&d&&\\&&.&\\&&&d\end{pmatrix}=d\boldsymbol{E}=\boldsymbol{A}^{*}\boldsymbol{A}.\end{aligned} $$

下面，我们证明定理4.1.

定理 4.1. n 阶矩阵 A 可逆当且仅当其行列式 $ \left|A\right| $ 不等于零.

证明 (1) 必要性假设 $ AB = BA = E $，对它取行列式得 $ |A||B| = 1 $，于是 $ |A| \neq 0 $。

(2) 充分性假设 $ \left|A\right|=d\neq0 $，那么由上述关系有

$$ \boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^{*}=\boldsymbol{A}^{*}\boldsymbol{A}=d\boldsymbol{E}, $$

从而有

$$ \boldsymbol{A}\left(\frac{1}{d}\boldsymbol{A}^{*}\right)=\left(\frac{1}{d}\boldsymbol{A}^{*}\right)\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}. $$

由矩阵可逆的定义知， $ A^{-1} = \frac{1}{d} A^* $，即矩阵 A 可逆.

由于行列式不为零等价于矩阵满秩，故上述定理也可以叙述为：矩阵可逆当且仅当矩阵满秩。

在证明上述定理的过程中得到了求矩阵的逆矩阵的一个方法：求矩阵的伴随矩阵和行列式.下面举例说明.

例题 4.3. 求矩阵

$$ \boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}{{{2}}}&{{{1}}}&{{{-1}}} \\{{{1}}}&{{{4}}}&{{{2}}} \\{{{5}}}&{{{-3}}}&{{{1}}}\end{pmatrix} $$

的逆矩阵.

原书第 60 页

解首先， $ |A|=52 $ 并且

$$ A_{11}=\left|\begin{matrix}4&2\\ -3&1\end{matrix}\right|=10,\quad A_{12}=-\left|\begin{matrix}1&2\\ 5&1\end{matrix}\right|=9,\quad A_{13}=\left|\begin{matrix}1&4\\ 5&-3\end{matrix}\right|=-23, $$

$$ A_{21}=-\left|\begin{matrix}1&-1\\ -3&1\end{matrix}\right|=2,\quad A_{22}=\left|\begin{matrix}2&-1\\ 5&1\end{matrix}\right|=7,\quad A_{23}=-\left|\begin{matrix}2&1\\ 5&-3\end{matrix}\right|=11, $$

$$ A_{31}=\left|\begin{matrix}1&-1\\ 4&2\end{matrix}\right|=6,\qquad A_{32}=-\left|\begin{matrix}2&-1\\ 1&2\end{matrix}\right|=-5,\quad A_{33}=\left|\begin{matrix}2&1\\ 1&4\end{matrix}\right|=7, $$

于是

$$ \boldsymbol{A}^{-1}=\frac{1}{52}\begin{pmatrix}{{{10}}}&{{{2}}}&{{{6}}} \\{{{9}}}&{{{7}}}&{{{-5}}} \\{{{-23}}}&{{{11}}}&{{{7}}}\end{pmatrix}. $$

直接验算可知确有 $ AA^{-1} = A^{-1}A = E $.

例题 4.4. 设关于 $ x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} $ 的 n 元线性方程组为

$$ \{\begin{array}{l}a_{11}x_{1}+.a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}=b_{1},\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}=b_{2},\\\cdots\cdots\cdots\cdots\\a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots+a_{nn}x_{n}=b_{n}.\end{array}. $$

记

$$ \begin{array}{r}{\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{c c c c}{a_{11}}&{a_{12}}&{\cdots}&{a_{1n}}\\ {a_{21}}&{a_{22}}&{\cdots}&{a_{2n}}\\ {\vdots}&{\vdots}&{}&{\vdots}\\ {a_{n1}}&{a_{n2}}&{\cdots}&{a_{n n}}\end{array}\right),}\end{array} $$

当 A 可逆时，证明线性方程组有唯一解.

证明记 $ \boldsymbol{X}=(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})^{\mathrm{T}},\boldsymbol{b}=(b_{1},b_{2},\cdots,b_{n})^{\mathrm{T}} $，那么方程组就可以写成 AX=b 的形式.

(1) 存在性当 A 可逆时, $ A^{-1} $ 存在. 将 $ X = A^{-1}b $ 代入原方程组, 得恒等式 $ A(A^{-1}b) = b $, 可知 $ A^{-1}b $ 是方程组的一个解.

(2) 唯一性假设 $ X = X_{0} $ 是方程组的另一个解，那么 $ AX_{0} = b $，而 A 可逆，那么两边左乘 $ A^{-1} $ 得： $ A^{-1}(AX_{0}) = A^{-1}b $，即 $ X_{0} = A^{-1}b $。综上所述，原方程组存在唯一的解 $ X = A^{-1}b $。

分块矩阵在求矩阵的逆时也起到了非常重要的作用，下面举例说明.

原书第 61 页

例题 4.5. 设

$$ \boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{c c}{\boldsymbol{A}_{1}}&{\mathbf{0}}\\ {\boldsymbol{B}_{1}}&{\boldsymbol{C}_{1}}\\ \end{array}\right), $$

其中 $ A_{1} $ 为 $ r \times r $ 可逆矩阵， $ C_{1} $ 为 $ t \times t $ 可逆矩阵，求 A 的逆.

解由于 $ |A|=|A_1||C_1| $，而 $ A_1 $ 和 $ C_1 $ 可逆，故 A 可逆。设 A 的逆 $ A^{-1} $ 有分块形式，即

$$ \boldsymbol{A}^{-1}=\begin{pmatrix}\boldsymbol{X}&\boldsymbol{Y}\\ \boldsymbol{Z}&\boldsymbol{T}\end{pmatrix}. $$

其中 X 为 $ r \times r $ 矩阵, Y 为 $ r \times t $ 矩阵, Z 为 $ t \times r $ 矩阵, T 为 $ t \times t $ 矩阵. 此时 $ A, A^{-1} $ 的分块形式可作分块乘法. 设

$$ \boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^{-1}=\left(\begin{matrix}\boldsymbol{A}_{1}&\mathbf{0}\\ \boldsymbol{B}_{1}&\boldsymbol{C}_{1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\boldsymbol{X}&\boldsymbol{Y}\\ \boldsymbol{Z}&\boldsymbol{T}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\boldsymbol{A}_{1}\boldsymbol{X}&\boldsymbol{A}_{1}\boldsymbol{Y}\\ \boldsymbol{B}_{1}\boldsymbol{X}+\boldsymbol{C}_{1}\boldsymbol{Z}&\boldsymbol{B}_{1}\boldsymbol{Y}+\boldsymbol{C}_{1}\boldsymbol{T}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\boldsymbol{E}_{r}&\mathbf{0}\\ \mathbf{0}&\boldsymbol{E}_{t}\end{matrix}\right). $$

那么有矩阵等式

$$ \{\begin{aligned}\boldsymbol{A}_{1}\boldsymbol{X}&=\boldsymbol{E}_{r},\\ \boldsymbol{A}_{1}\boldsymbol{Y}&=\mathbf{0},\\ \boldsymbol{B}_{1}\boldsymbol{X}+\boldsymbol{C}_{1}\boldsymbol{Z}&=\mathbf{0},\\ \boldsymbol{B}_{1}\boldsymbol{Y}+\boldsymbol{C}_{1}\boldsymbol{T}&=\boldsymbol{E}_{t}.\end{aligned}. $$

因为 $ A_{1} $ 可逆，即有 $ X = A_{1}^{-1} $，Y = 0。由矩阵等式第3式知

$$ \boldsymbol{C}_{1}\boldsymbol{Z}=-\boldsymbol{B}_{1}\boldsymbol{X}=-\boldsymbol{B}_{1}\boldsymbol{A}_{1}^{-1}. $$

所以 $ Z = -C_1^{-1}B_1A_1^{-1} $。由 $ Y = 0 $，矩阵等式第 4 式成为 $ C_1T = E_t $，即 $ T = C_1^{-1} $。于是

$$ \boldsymbol{A}^{-1}=\left(\begin{matrix}{\boldsymbol{A}_{1}^{-1}}&{\mathbf{0}}\\ {-\boldsymbol{C}_{1}^{-1}\boldsymbol{B}_{1}\boldsymbol{A}_{1}^{-1}}&{\boldsymbol{C}_{1}^{-1}}\\ \end{matrix}\right). $$

§2.5 初等矩阵

在本章的第三节中，我们介绍了矩阵的初等变换；在本节中，我们将初等变

原书第 62 页

换和矩阵联系起来，介绍初等变换的矩阵表现形式，以及利用它来求可逆矩阵的逆矩阵．对应于给出的三种初等变换，我们给出三种初等矩阵.

定义 5.1 (第 I 种类型的初等矩阵). n 阶单位矩阵 E 的第 i 行、第 j 行互换 $ (i \lt j) $, 得到的矩阵

$$ \begin{pmatrix}1&&&&\\&\ddots&&&\\&&\vdots&&\\&&1&&\\&&&0&\\&&&&1&\\&&&&1&\ $ i)&&&&1&\ $ j)&&&&0&\\&&&&1&\\&&&&1&\end{pmatrix} $$

称为第 I 种类型的初等矩阵，记为 $ P(i,j) $.

矩阵 $ \boldsymbol{A} = (a_{ij})_{mn} $ 左乘 m 阶的 $ \boldsymbol{P}(i, j) $ 得到

$$ \boldsymbol{P}(i,j)\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{j1}&a_{j2}&\cdots&a_{jn}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{in}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{pmatrix}(i)\quad(j) $$

因此，对矩阵 A 作第 I 种初等行变换（即交换矩阵的第 i 行、第 j 行）相当于矩阵 A 左乘 $ P(i,j) $.

同样，交换矩阵 A 的第 i 列、第 j 列相当于将矩阵 A 右乘 n 阶的 $ P(i,j) $.

定义 5.2 (第Ⅱ种类型的初等矩阵). n 阶单位矩阵 E 的第 i 行乘一个非

原书第 63 页

零数 k，得到的矩阵

$$ \begin{pmatrix}1&&&&\\&\ddots&&&\\&&\vdots&&\\&&1&&\\&&&k&\\&&&&\vdots&\\&&&&1\end{pmatrix}\quad(i $$

称为第Ⅱ种类型的初等矩阵，记为 $ P(i(k)) $

经简单计算可知，矩阵 $ A=(a_{ij})_{mn} $ 左乘 m 阶的 $ P(i(k)) $ 相当于将矩阵 A 的第 i 行乘一个非零数 k；右乘 n 阶的 $ P(i(k)) $ 相当于将矩阵 A 的第 i 列乘一个非零数 k.

定义 5.3 (第Ⅲ种类型的初等矩阵). n 阶单位矩阵 E 的第 j 行乘一个非零数 k, 再加到第 i 行, 得到的矩阵

$$ \begin{pmatrix}1&&&&\\&\ddots&&&\\&&1&\cdots&k&\\&&&\ddots&\vdots&\\&&&&1&\\&&&&&\ddots&\\&&&&&&1\end{pmatrix}(i) $$

称为第Ⅲ种类型的初等矩阵，记为 $ P(i,j(k)) $

同样可以证明，矩阵 $ \boldsymbol{A} = (a_{ij})_{mn} $ 左乘 m 阶的 $ \boldsymbol{P}(i,j(k)) $ 相当于将矩阵 A 的第 j 行乘一个 k 后，再加到第 i 行；右乘 n 阶的 $ \boldsymbol{P}(i,j(k)) $ 相当于将矩阵 A 的第 i 列乘一个数 k 后，再加到第 j 列。由此可归纳出如下的定理.

定理 5.1. 用 m 阶初等矩阵左乘一个 $ m \times n $ 矩阵 A 相当于对矩阵 A 作一次相应的初等行变换；用 n 阶初等矩阵右乘一个 $ m \times n $ 矩阵 A 相当于对矩阵 A 作一次相应的初等列变换.

原书第 64 页

例题 5.1. 已知 $ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & -2 \\ 2 & -2 & 1 \end{pmatrix} $，求 $ P(3,1(2))A, AP(2,3), P(3(3))A $.

解因为左乘 3 阶的 $ P(3,1(2)) $ 相当于将矩阵 A 的第 1 行乘 2 后，再加到第 3 行，故

$$ \boldsymbol{P}(3,1(2))\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}{{{1}}}&{{{2}}}&{{{2}}} \\{{{2}}}&{{{1}}}&{{{-2}}} \\{{{4}}}&{{{2}}}&{{{5}}}\end{pmatrix}; $$

右乘 P(2,3) 相当于交换矩阵的第 2 列、第 3 列，故

$$ \boldsymbol{A}\boldsymbol{P}(2,3)=\begin{pmatrix}{{{1}}}&{{{2}}}&{{{2}}} \\{{{2}}}&{{{-2}}}&{{{1}}} \\{{{2}}}&{{{1}}}&{{{-2}}}\end{pmatrix}; $$

同样，左乘 $ P(3(3)) $ 相当于矩阵 A 的第 3 行乘 3，故

$$ \boldsymbol{P}(3(3))\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&2&2\\2&1&-2\\6&-6&3\end{pmatrix}. $$

思考题:试计算 $ \boldsymbol{A}\boldsymbol{P}(3,1(2)) $，它与 $ \boldsymbol{P}(3,1(2))\boldsymbol{A} $ 有什么不同？

经过简单的计算可以发现以下性质：

(1) $ P(i,j)^{-1} = P(i,j) $;

(2) $ P(i(k))^{-1} = P(i(k^{-1})) $;

(3) $ \boldsymbol{P}(i,j(k))^{-1}=\boldsymbol{P}(i,j(-k)) $.

由此可见，任何初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵。初等矩阵在矩阵中的作用很大，矩阵之间的很多关系都用初等矩阵来解释。

在 §2.3 里，我们已经给出了矩阵等价的定义：如果两个矩阵可以经过一系列的初等变换相互转换，那么就称这两个矩阵等价。由于任何一个矩阵经过初等变换都可以化成阶梯形矩阵，故任何一个矩阵都与一个阶梯形矩阵等价。更进一步讲，对于任意一个 $ m \times n $ 矩阵 $ \pmb{A} $，若 $ r(\pmb{A}) = r $，那么 $ \pmb{A} $ 等价于其标准形

$$ \begin{pmatrix}\boldsymbol{E}_{r}&\mathbf{0}\\ \mathbf{0}&\mathbf{0}\end{pmatrix}. $$

有了初等矩阵及上面的讨论，定理 3.2 可以改写为定理 5.2.

原书第 65 页

定理 5.2. 设 A 为 $ m \times n $ 矩阵，若 $ r(A) = r $，则存在 m 阶初等矩阵 $ P_{1}, P_{2}, \cdots, P_{s} $ 和 n 阶初等矩阵 $ Q_{1}, Q_{2}, \cdots, Q_{t} $，使得

$$ \boldsymbol{P}_{s}\boldsymbol{P}_{s-1}\cdots\boldsymbol{P}_{2}\boldsymbol{P}_{1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q}_{1}\boldsymbol{Q}_{2}\cdots\boldsymbol{Q}_{t}=\left(\begin{array}{c c}\boldsymbol{E}_{r}&\mathbf{0}\\ \mathbf{0}&\mathbf{0}\end{array}\right). $$

推论 5.1. 若矩阵 A 为 n 阶可逆矩阵, 那么存在 n 阶初等矩阵 $ P_{1}, P_{2}, \cdots, P_{m} $, 使得

$$ \boldsymbol{P}_{m}\boldsymbol{P}_{m-1}\cdots\boldsymbol{P}_{2}\boldsymbol{P}_{1}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}, $$

从而有 $ A^{-1}=P_{m}P_{m-1}\cdots P_{2}P_{1} $

证明由上面定理知存在初等矩阵 $ P_{1}, P_{2}, \cdots, P_{s} $ 和 $ Q_{1}, Q_{2}, \cdots, Q_{t} $，使得

$$ \boldsymbol{P}_{s}\boldsymbol{P}_{s-1}\cdots\boldsymbol{P}_{2}\boldsymbol{P}_{1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q}_{1}\boldsymbol{Q}_{2}\cdots\boldsymbol{Q}_{t}=\boldsymbol{E}, $$

那么等式两边同时左乘 $ Q_1Q_2\cdots Q_t $，右乘 $ Q_t^{-1}Q_{t-1}^{-1}\cdots Q_1^{-1} $ 得到

$$ \boldsymbol{Q}_{1}\boldsymbol{Q}_{2}\cdots\boldsymbol{Q}_{t}\boldsymbol{P}_{s}\cdots\boldsymbol{P}_{2}\boldsymbol{P}_{1}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}, $$

故结论成立.

相同的方法可以证明下面的推论.

推论 5.2. 若矩阵 A 为 n 阶可逆矩阵, 那么存在 n 阶初等矩阵 $ Q_{1}, Q_{2}, \cdots, Q_{m} $, 使得

$$ \boldsymbol{A}\boldsymbol{Q}_{1}\boldsymbol{Q}_{2}\cdots\boldsymbol{Q}_{m}=\boldsymbol{E}, $$

从而有 $ A^{-1} = Q_{1} Q_{2} \cdots Q_{m} $

推论 5.3. A 是任意矩阵，那么有 $ r(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}})=r(\boldsymbol{A}) $

借助这两个推论, 我们可以得到两个用初等变换求逆矩阵的方法. 设矩阵 A 为 n 阶可逆矩阵, 那么

(1) 将 n 阶单位矩阵 E 添到 A 的右侧，构成分块矩阵 $ (A, E) $，然后对这个 $ n \times 2n $ 矩阵进行初等行变换，使它变为 $ (E, B) $ 的形式，那么 $ A^{-1} = B $。因为存在初等矩阵 $ P_{1}, P_{2}, \cdots, P_{m} $ 使得 $ P_{m} \cdots P_{2} P_{1} A = E $，那么

$$ \boldsymbol{A}^{-1}=\boldsymbol{P}_{m}\cdots\boldsymbol{P}_{2}\boldsymbol{P}_{1}=\boldsymbol{P}_{m}\cdots\boldsymbol{P}_{2}\boldsymbol{P}_{1}\boldsymbol{E}. $$

故利用分块矩阵的乘法即知

$$ \boldsymbol{P}_{m}\cdots\boldsymbol{P}_{2}\boldsymbol{P}_{1}(\boldsymbol{A},\boldsymbol{E})=(\boldsymbol{P}_{m}\cdots\boldsymbol{P}_{2}\boldsymbol{P}_{1}\boldsymbol{A},\boldsymbol{P}_{m}\cdots\boldsymbol{P}_{2}\boldsymbol{P}_{1}\boldsymbol{E})=(\boldsymbol{E},\boldsymbol{A}^{-1}). $$

原书第 66 页

(2) 将 n 阶单位矩阵 E 添到 A 的下面，构成分块矩阵 $ \begin{pmatrix} A \\ E \end{pmatrix} $，然后对这个 $ 2n \times n $ 矩阵进行初等列变换，使它变为 $ \begin{pmatrix} E \\ B \end{pmatrix} $ 的形式，那么 $ A^{-1} = B $。因为存在初等矩阵 $ Q_{1}, Q_{2}, \cdots, Q_{m} $，使得 $ AQ_{1}Q_{2} \cdots Q_{m} = E $，从而

$$ \boldsymbol{A}^{-1}=\boldsymbol{Q}_{1}\boldsymbol{Q}_{2}\cdots\boldsymbol{Q}_{m}=\boldsymbol{E}\boldsymbol{Q}_{1}\boldsymbol{Q}_{2}\cdots\boldsymbol{Q}_{m}, $$

那么由分块矩阵的乘法知，

$$ \left(\begin{matrix}{\boldsymbol{A}}\\ {\boldsymbol{E}}\\ \end{matrix}\right)\boldsymbol{Q}_{1}\boldsymbol{Q}_{2}\cdots\boldsymbol{Q}_{m}=\left(\begin{matrix}{\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q}_{1}\boldsymbol{Q}_{2}\cdots\boldsymbol{Q}_{m}}\\ {\boldsymbol{E}\boldsymbol{Q}_{1}\boldsymbol{Q}_{2}\cdots\boldsymbol{Q}_{m}}\\ \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}{\boldsymbol{E}}\\ {\boldsymbol{A}^{-1}}\\ \end{matrix}\right). $$

例题 5.2. 求矩阵 $ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & 4 & 2 \\ 5 & -3 & 1 \end{pmatrix} $ 的逆.

解法一对矩阵 $ (A, E_{3}) $ 作初等行变换：

$$ \begin{aligned}(\boldsymbol{A},\boldsymbol{E}_{3})&=\begin{pmatrix}{{{2}}}&{{{1}}}&{{{-1}}}&{{{1}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{1}}}&{{{4}}}&{{{2}}}&{{{0}}}&{{{1}}}&{{{0}}} \\{{{5}}}&{{{-3}}}&{{{1}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{1}}}\end{pmatrix}\xrightarrow{r_{1}\leftrightarrow r_{2}}\begin{pmatrix}{{{1}}}&{{{4}}}&{{{2}}}&{{{0}}}&{{{1}}}&{{{0}}} \\{{{2}}}&{{{1}}}&{{{-1}}}&{{{1}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{5}}}&{{{-3}}}&{{{1}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{1}}}\end{pmatrix}\\&\xrightarrow{r_{2}-2r_{1}}\begin{pmatrix}{{{1}}}&{{{4}}}&{{{2}}}&{{{0}}}&{{{1}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{-7}}}&{{{-5}}}&{{{1}}}&{{{-2}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{-23}}}&{{{-9}}}&{{{0}}}&{{{-5}}}&{{{1}}}\end{pmatrix}\\&\xrightarrow{r_{3}-3r_{2}}\begin{pmatrix}{{{1}}}&{{{4}}}&{{{2}}}&{{{0}}}&{{{1}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{-7}}}&{{{-5}}}&{{{1}}}&{{{-2}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{-2}}}&{{{6}}}&{{{-3}}}&{{{1}}}&{{{1}}}\end{pmatrix}\\&\xrightarrow{r_{1}+2r_{3}}\begin{pmatrix}{{{1}}}&{{{0}}}&{{{14}}}&{{{-6}}}&{{{3}}}&{{{2}}} \\{{{0}}}&{{{1}}}&{{{-29}}}&{{{13}}}&{{{-6}}}&{{{-4}}} \\{{{0}}}&{{{-2}}}&{{{6}}}&{{{-3}}}&{{{1}}}&{{{1}}}\end{pmatrix}\end{aligned} $$

原书第 67 页

$$ \begin{aligned}&\xrightarrow{r_{3}+2r_{2}}\left(\begin{array}{ccccc}1&0&14&-6&3&2\\0&1&-29&13&-6&-4\\0&0&-52&23&-11&-7\\\end{array}\right)\\&\xrightarrow{-\frac{1}{52}r_{3}}\left(\begin{array}{ccccc}1&0&14&-6&3&2\\0&1&-29&13&-6&-4\\0&0&1&-\frac{23}{52}&\frac{11}{52}&\frac{7}{52}\\\end{array}\right)\end{aligned} $$

$$ \begin{array}{c}{{\frac{r_{2}+29r_{3}}{r_{1}-14r_{3}}\nonumber}}\\ {{\left(\begin{array}{c c c c c}{{1}}&{{0}}&{{0}}&{{\displaystyle\frac{10}{52}}}&{{\displaystyle\frac{2}{52}}}&{{\displaystyle\frac{6}{52}}}\\ {{}}&{{}}&{{}}&{{\displaystyle\frac{9}{52}}}&{{\displaystyle\frac{7}{52}}}&{{\displaystyle-\frac{5}{52}}}\\ {{0}}&{{1}}&{{0}}&{{\displaystyle\frac{9}{52}}}&{{\displaystyle\frac{7}{52}}}&{{\displaystyle-\frac{5}{52}}}\\ {{}}&{{}}&{{}}&{{\displaystyle-\frac{23}{52}}}&{{\displaystyle\frac{11}{52}}}&{{\displaystyle\frac{7}{52}}}\\ {{0}}&{{0}}&{{1}}&{{\displaystyle-\frac{23}{52}}}&{{\displaystyle\frac{11}{52}}}&{{\displaystyle\frac{7}{52}}}\end{array}\right)}}\end{array}, $$

故 $ A^{-1}=\frac{1}{52}\left(\begin{array}{rrr}10&2&6\\9&7&-5\\-23&11&7\end{array}\right) $.

解法二对矩阵 $ \begin{pmatrix} A \\ E_{3} \end{pmatrix} $ 作初等列变换：

$$ \left(\begin{array}{c}{{{\boldsymbol{A}}}} \\{{{\boldsymbol{E}_{3}}}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c c c}{{{2}}}&{{{1}}}&{{{-1}}} \\{{{1}}}&{{{4}}}&{{{2}}} \\{{{5}}}&{{{-3}}}&{{{1}}} \\{{{1}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{1}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{1}}}\end{array}\right)\xrightarrow{c_{1}\leftrightarrow c_{2}}\left(\begin{array}{r r r}{{{1}}}&{{{2}}}&{{{-1}}} \\{{{4}}}&{{{1}}}&{{{2}}} \\{{{-3}}}&{{{5}}}&{{{1}}} \\{{{0}}}&{{{1}}}&{{{0}}} \\{{{1}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{1}}}\end{array}\right)\xrightarrow[c_{3}+c_{1}]{\frac{c_{2}-2c_{1}}{c_{3}+c_{1}}}\left(\begin{array}{r r r}{{{1}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{4}}}&{{{-7}}}&{{{6}}} \\{{{-3}}}&{{{11}}}&{{{-2}}} \\{{{0}}}&{{{1}}}&{{{0}}} \\{{{1}}}&{{{-2}}}&{{{1}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{1}}}\end{array}\right) $$

$$ \begin{aligned}\xrightarrow{c_{2}+c_{3}}&(\begin{array}{c c c}{1}&{0}&{0}\\ {4}&{-1}&{6}\\ {-3}&{9}&{-2}\\ {0}&{1}&{0}\\ {1}&{-1}&{1}\\ {0}&{1}&{1}\end{array})\xrightarrow[\substack{c_{3}-6c_{2}\\ \frac{1}{52}c_{3}}]{\begin{array}{c c c}{-c_{2}}&{0}&{0}\\ {}&{4}&{1}&{0}\\ {-3}&{-9}&{1}\\ {0}&{-1}&{\frac{6}{52}}\\ {}&{1}&{1}&{-\frac{5}{52}}\\ {}&{0}&{-1}&{\frac{7}{52}}\end{array}})\end{aligned} $$

原书第 68 页

$$ \begin{aligned}\xrightarrow[c_{2}+9c_{3}]{c_{1}-4c_{2}}\left(\begin{array}{ccc}{{{1}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{1}}}&{{{0}}} \\{{{33}}}&{{{0}}}&{{{1}}} \\{{{4}}}&{{{\frac{2}{52}}}}&{{{\frac{6}{52}}}} \\{{{-3}}}&{{{\frac{7}{52}}}}&{{{-\frac{5}{52}}}} \\{{{4}}}&{{{\frac{11}{52}}}}&{{{\frac{7}{52}}}}\end{array}\right)\xrightarrow[]{c_{1}-33c_{3}}\left(\begin{array}{ccc}{{{1}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{1}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{1}}} \\{{{\frac{10}{52}}}}&{{{\frac{2}{52}}}}&{{{\frac{6}{52}}}} \\{{{\frac{9}{52}}}}&{{{\frac{7}{52}}}}&{{{-\frac{5}{52}}}} \\{{{-\frac{23}{52}}}}&{{{\frac{11}{52}}}}&{{{\frac{7}{52}}}}\end{array}\right).\end{aligned} $$

所以 $ A^{-1}=\frac{1}{52}\left(\begin{array}{rrr}10&2&6\\9&7&-5\\-23&11&7\end{array}\right) $

习题二

计算下列矩阵：

(1)

$$ \begin{pmatrix}2&3&1&4\\3&3&4&1\\2&3&3&4\\4&3&4&2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}5&3&3&2\\2&4&6&3\\2&5&5&1\\5&5&2&5\end{pmatrix}; $$

(2)

$$ \left(\begin{array}{cc}{2}&{4}\\ {3}&{3}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{3}&{2}\\ {5}&{5}\end{array}\right); $$

(3)

$$ \begin{pmatrix}{{{a}}}&{{{b}}}&{{{c}}} \\{{{c}}}&{{{a}}}&{{{b}}} \\{{{1}}}&{{{1}}}&{{{1}}}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{{{a}}}&{{{c}}}&{{{1}}}&{{{1}}} \\{{{b}}}&{{{a}}}&{{{1}}}&{{{1}}} \\{{{c}}}&{{{b}}}&{{{1}}}&{{{1}}}\end{pmatrix}; $$

(4)

$$ \begin{pmatrix}{{{\lambda}}}&{{{1}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{\lambda}}}&{{{1}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{\lambda}}}\end{pmatrix}^{3},\begin{pmatrix}{{{\lambda}}}&{{{1}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{\lambda}}}&{{{1}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{\lambda}}}\end{pmatrix}^{n}; $$

(5)

$$ \begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\\sin\alpha&\cos\alpha\end{pmatrix}^{n}. $$

原书第 69 页

求 $ \begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{n} \end{pmatrix} $ $ \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1p} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2p} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{np} \end{pmatrix} $.

令 $ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -2 & 0 & 1 \end{pmatrix} $，计算

(1) $ A^{2}, A^{3} $ 和 $ f(A) $，其中 $ f(x)=x^{3}-3x^{2}-2x+2; $

(2) $ A^{5}, A^{6} $ 和 $ g(A) $，其中 $ g(x)=x^{8}+2x^{6}+2x^{4}+x^{2}+1 $.

求与 $ \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} $ 可交换的所有矩阵.

设 $ A = \begin{pmatrix} a_1 E_{n_1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 E_{n_2} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_r E_{n_r} \end{pmatrix} $, $ a_i \neq a_j $ ( $ i \neq j $; $ i, j = 1, 2, \cdots, r $), $ E_{n_i} $ 是 $ n_i $ 阶单位矩阵，且 $ \sum_{i=1}^{r} n_i = n $。证明：与 A 可交换的矩阵只能是准对角矩阵 $ \mathrm{diag}(A_1, A_2, \cdots, A_r) $，其中 $ A_i $ 为 $ n_i $ 阶方阵 ( $ i = 1, 2, \cdots, r $)。

证明：与任意 n 阶矩阵都可交换的矩阵 A 只能是数量矩阵，即 A = kE.

若 $ AB = BA, AC = CA $，证明： $ A(B + C) = (B + C)A, A(BC) = (BC)A $

若 $ A = \frac{1}{2}(B + E) $，证明： $ A^{2} = A $ 当且仅当 $ B^{2} = E $.

证明：若 A 是实对称矩阵并且 $ A^{2}=0 $，则 A=0.

称矩阵 $ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix} $ 为上三角形矩阵，当 $ n \geqslant i \gt j \geqslant 1 $ 时， $ a_{ij} = 0 $;

称矩阵 $ \boldsymbol{A}=(a_{ij})_{nn} $ 为下三角形矩阵，当 $ 1 \leqslant i \lt j \leqslant n $ 时， $ a_{ij}=0 $。证明：同阶的两个上（下）三角形矩阵的乘积还是上（下）三角形矩阵；可逆的上（下）三角形矩阵的逆还是上（下）三角形矩阵。

证明：任一方阵都可以表示成一个对称矩阵和一个反称矩阵的和.

设 A, B 为对称矩阵, 试证明: AB 也是对称矩阵当且仅当 A, B 可交换.

设 A 为 n 阶方阵，对任意的 n 维列向量 $ \boldsymbol{X}=(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})^{\mathrm{T}} $ 都有 AX=0，证明：A=0.

用初等行变换把下列矩阵化成阶梯形矩阵：

原书第 70 页

(1)

$$ \begin{pmatrix}1&3&5&-1\\2&-1&-3&4\\5&1&-1&7\\7&7&9&1\end{pmatrix}; $$

(2)

$$ \begin{pmatrix}{{{-3}}}&{{{1}}}&{{{-3}}}&{{{0}}}&{{{5}}} \\{{{4}}}&{{{3}}}&{{{2}}}&{{{3}}}&{{{0}}} \\{{{6}}}&{{{-1}}}&{{{-5}}}&{{{0}}}&{{{-7}}} \\{{{2}}}&{{{5}}}&{{{1}}}&{{{4}}}&{{{1}}}\end{pmatrix}. $$

计算下列矩阵的秩，如果矩阵为满秩，计算出矩阵的逆：

(1)

$$ \begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&-1\\0&3&5\end{pmatrix}; $$

(2)

$$ \begin{pmatrix}{{{3}}}&{{{3}}}&{{{-1}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{3}}}&{{{4}}}&{{{-2}}} \\{{{3}}}&{{{1}}}&{{{-1}}}&{{{-2}}} \\{{{2}}}&{{{-3}}}&{{{2}}}&{{{1}}}\end{pmatrix}; $$

(3)

$$ \begin{pmatrix}{{{2}}}&{{{3}}}&{{{4}}}&{{{5}}} \\{{{1}}}&{{{0}}}&{{{-4}}}&{{{6}}} \\{{{1}}}&{{{1}}}&{{{2}}}&{{{3}}} \\{{{1}}}&{{{1}}}&{{{1}}}&{{{2}}}\end{pmatrix}; $$

(4)

$$ \begin{pmatrix}0&1&1&1\\1&0&1&1\\1&1&0&1\\1&1&1&0\end{pmatrix}; $$

(5)

$$ \begin{pmatrix}{{{2}}}&{{{3}}}&{{{2}}}&{{{2}}} \\{{{-1}}}&{{{-1}}}&{{{0}}}&{{{-1}}} \\{{{2}}}&{{{2}}}&{{{2}}}&{{{1}}} \\{{{-6}}}&{{{9}}}&{{{3}}}&{{{2}}}\end{pmatrix}; $$

(6)

$$ \begin{pmatrix}9&-12&7&18\\0&1&1&1\\3&-12&1&0\\-1&4&0&1\end{pmatrix}. $$

求矩阵

$$ \begin{pmatrix}0&a_{1}&0&\cdots&0&0\\0&0&a_{2}&\cdots&0&0\\\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\0&0&0&\cdots&a_{n-2}&0\\0&0&0&\cdots&0&a_{n-1}\\a_{n}&0&0&\cdots&0&0\end{pmatrix} $$

的逆，其中 $ a_{i} \neq 0 $ ( $ i = 1, 2, \cdots, n $).

求矩阵 X，使得

$$ \begin{pmatrix}1&1&1&\cdots&1&1\\0&1&1&\cdots&1&1\\0&0&1&\cdots&1&1\\\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\0&0&0&\cdots&1&1\\0&0&0&\cdots&0&1\end{pmatrix}\mathbf{X}=\begin{pmatrix}2&1&0&\cdots&0&0\\1&2&1&\cdots&0&0\\0&1&2&\cdots&0&0\\\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\0&0&0&\cdots&2&1\\0&0&0&\cdots&1&2\end{pmatrix}. $$

求下列方程组的唯一解：

原书第 71 页

$$ \begin{aligned}(1)\{\begin{array}{r}2x_{1}+3x_{3}=1,\\3x_{2}-5x_{3}=-4,\\-2x_{1}+3x_{2}+2x_{3}=4;\end{array}.\quad(2)\{\begin{array}{r}2x_{1}+4x_{2}+3x_{3}=-2,\\2x_{1}-3x_{2}=0,\\x_{1}+5x_{3}=5.\end{array}.\end{aligned} $$

$$ \boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&2&-1\\3&4&-2\\5&-3&1\end{pmatrix},\quad\boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}3&4&-2\\5&-3&1\\1&2&-1\end{pmatrix},\quad\boldsymbol{C}=\begin{pmatrix}-1&1&2\\-2&3&4\\1&5&-3\end{pmatrix}. $$

求(1) $ A^{-1}B $; (2) $ A^{-1}C $.

已知 $ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 4 & -2 & 0 & 0 & 0 \\ 5 & -3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} $，用分块矩阵的方法求 $ A^{2} $.

求 $ (k+l) \times (k+l) $ 矩阵

$$ \boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{c c}{\boldsymbol{E}_{k}}&{\boldsymbol{B}}\\ {\mathbf{0}}&{\boldsymbol{E}_{l}}\\ \end{array}\right) $$

的逆，其中 $ E_{k}, E_{l} $ 分别为 k, l 阶单位矩阵，B 为 $ k \times l $ 矩阵.

A, B, C 为同阶方阵，其中 A, B 可逆. 求

$$ D=\left(\begin{array}{l l}{\mathbf{0}}&{A}\\ {B}&{C}\end{array}\right) $$

的逆.

如果 $ A^{k}=0 $，证明 $ (\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})^{-1}=\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^{2}+\cdots+\boldsymbol{A}^{k-1} $

设 $ A $ 为 $ n $ ( $ n \geq 2 $) 阶方阵, 证明 $ |A^*| = |A|^{n-1} $

第二章自测题

第二章 矩阵

Ⅱ 第二章 矩阵