第四章 线性方程组

第四章 线性方程组

线性代数的一个重要主题是求解线性方程组。前面几章对此有所涉及，比如克拉默法则。我们知道当方程组中方程的个数和未知数的个数相等且系数行列式不为零时，由克拉默法则知方程组有唯一解；特别地，对于方程组中方程的个数和未知数个数相等的齐次线性方程组，若它有非零解，则其系数行列式必等于零。对于方程组中方程的个数和未知数的个数不相等的情形，克拉默法则不适用。本章以矩阵和向量为工具对一般的线性方程组作系统的研究，主要讨论三个方面的问题：（1）有解和无解的判定问题；（2）有解时，解的个数问题；（3）有解时，如何求解及解的结构问题。

§4.1 消 元 法

现在讨论线性方程组. 一般的线性方程组的形状是

$$ \{\begin{array}{l}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}=b_{1},\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}=b_{2},\\\quad\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots+a_{m n}x_{n}=b_{m}.\end{array}. $$

其中 $ x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} $ 为未知数， $ a_{ij}, b_{i} $ 属于某已知的数域 F. $ a_{ij} $ 称为系数，第一个下标 i 表示它在第 i 个方程，第二个下标 j 表示它是第 j 个未知数 $ x_{j} $ 的系数. $ b_{i} $ 称为常数项. 一般说来，未知数的个数 n 与方程的个数 m 不一定相等. 如果

$ b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{m} $ 全为 0，则方程组 (1.1) 称为齐次线性方程组，否则称为非齐次线性方程组.

线性方程组理论要回答的问题是：方程组(1.1)有解的条件是什么？有解时解有多少？若方程组的解不止一个，解之间有何关系，也即解的结构问题.

所谓方程组(1.1)的一个解指的是一个n元有序数组 $ (k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{n}) $，当 $ x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} $分别用 $ k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{n} $代入后，(1.1)中的每个等式都变成恒等式。方程组(1.1)解的全体称为它的解的集合。解线性方程组实际上就是求出它的全部解，即解的集合。有解的方程组称为相容的方程组，否则称为不相容的方程组。

易知齐次线性方程组总有解，因为 $ (0,0,\cdots,0) $就是一个解，称为零解。所以，对齐次线性方程组而言，我们要讨论的是非零解是否存在，有多少个解，以及解的结构问题。

定义 1.1. 设给定两个线性方程组. 如果第一个方程组的解都是第二个方程组的解, 而第二个方程组的解也都是第一个方程组的解, 则称它们是同解方程组.

若令

$$ \boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{pmatrix},\quad\boldsymbol{X}=\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots\\x_{n}\end{pmatrix},\quad\boldsymbol{b}=\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots\\b_{m}\end{pmatrix}, $$

则方程组（1.1）可以改写成矩阵的形式

$$ A\boldsymbol{X}=\boldsymbol{b}, $$

称 A 为方程组 (1.1) 的系数矩阵，而

$$ \widetilde{\boldsymbol{A}}=(\boldsymbol{A},\boldsymbol{b})=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}&b_{2}\\\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}&b_{m}\end{pmatrix} $$

称为方程组（1.1）的增广矩阵.

显然，增广矩阵唯一决定线性方程组．这样，对一般的线性方程组的研究实质上是对其对应的增广矩阵 $ \tilde{A} $的研究.

在中学学过用加减消元法和代入消元法解二元和三元线性方程组. 这个方法比用行列式 (克拉默法则) 来解线性方程组更有一般的意义. 下面介绍如何用消元法解一般的线性方程组.

例题 1.1. 解线性方程组

$$ \{\begin{aligned}2x_{1}-x_{2}+3x_{3}&=1,\\ 4x_{1}+2x_{2}+5x_{3}&=4,\\ 2x_{1}+x_{2}+2x_{3}&=5.\end{aligned}. $$

解 第2个方程减去第1个方程的2倍，第3个方程减去第1个方程，得到

$$ \{\begin{aligned}2x_{1}-x_{2}+3x_{3}&=1,\\ 4x_{2}-x_{3}&=2,\\ 2x_{2}-x_{3}&=4.\end{aligned}. $$

第2个方程减去第3个方程的2倍，再交换后两个方程的次序，得到

$$ \{\begin{aligned}2x_{1}-x_{2}+3x_{3}&=1,\\ 2x_{2}-x_{3}&=4,\\ x_{3}&=-6.\end{aligned}. $$

由此，易得到方程组的解为 (9, -1, -6).

分析上述消元法解方程组的过程，易知解线性方程组实际上是反复对方程组进行变换，这里主要进行了下面三种变换：

1. 互换两个方程的位置：

1. 用一非零数乘某一个方程：

1. 把一个方程的倍数加到另一个方程.

上述三种变换称为线性方程组的初等变换

消元法解方程组的过程实际上是反复对方程组进行初等变换的过程，用初等变换解线性方程组的理论根据是下面的事实.

性质 1.1. 线性方程组的初等变换总是把方程组变成同解的方程组.

证明 显然，只需讨论对原方程组(1.1)进行一次初等变换得到新方程组的情况.

若进行的是第1种初等变换，那么新方程组与(1.1)仅仅是方程的编号不同，(1.1)显然与新方程组同解.

若进行的是第3种初等变换，则新方程组只有一个方程（例如第 j 个方程）与(1.1)不同，即它是

$$ \{\begin{aligned}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}&=b_{1},\\ \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\ (a_{j1}+da_{i1})x_{1}+\cdots+(a_{jn}+da_{in})x_{n}&=b_{j}+db_{i},\\ \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\ a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots+a_{mn}x_{n}&=b_{m}.\end{aligned}. $$

其中 d 为任意实数. 设 $ (c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{n}) $ 为原方程组的解, 则有

$$ \begin{aligned}&a_{i1}c_{1}+a_{i2}c_{2}+\cdots+a_{in}c_{n}=b_{i},\\&a_{j1}c_{1}+a_{j2}c_{2}+\cdots+a_{jn}c_{n}=b_{j},\\ \end{aligned} $$

从而有

$$ \begin{aligned}&\quad(a_{j1}+da_{i1})c_{1}+\cdots+(a_{jn}+da_{in})c_{n}\\&=(a_{j1}c_{1}+\cdots+a_{jn}c_{n})+d(a_{i1}c_{1}+\cdots+a_{in}c_{n})\\&=b_{j}+db_{i},\end{aligned} $$

即 $ (c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{n}) $ 满足新方程组 (1.2) 的第 j 个方程. $ (c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{n}) $ 当然满足其余的方程, 故 $ (c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{n}) $ 为新方程组 (1.2) 的解. 类似可证作第 3 种变换后得到的新方程组 (1.2) 的解是 (1.1) 的解, 因此二者同解. 同理, 作第 2 种变换后得到的新方程组与原方程组同解.

因为线性方程组和它的增广矩阵一一对应，而线性方程组的初等变换对应着增广矩阵的初等行变换。互换两个方程的位置，相当于对 $ \widetilde{A} $ 对应的两行交换位置。用一非零数乘某个方程，相当于用这个数乘 $ \widetilde{A} $ 对应的行。把一个方程的倍数加到另一个方程，相当于用这个倍数乘 $ \widetilde{A} $ 的一行再加到另一行。根据性质1.1，线性方程组的初等变换将方程组变成同解的方程组，因此增广矩阵的初等行变换将增广矩阵对应的方程组变成同解的方程组，即得到下面的定理。

定理 1.1. 若线性方程组(1.1)的增广矩阵 $ \tilde{A} $ 经一系列的初等行变换变成 $ \tilde{B} $，则以 $ \tilde{B} $ 为增广矩阵的线性方程组与 (1.1) 同解.

因此，对于解线性方程组，我们可以利用对增广矩阵进行初等行变换化成阶梯形矩阵来达到解方程的目的。

例题 1.2. 解非齐次线性方程组

$$ \{\begin{aligned}x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}&=2,\\ 2x_{1}+3x_{2}+x_{3}+x_{4}-3x_{5}&=0,\\ x_{1}+2x_{3}+2x_{4}+6x_{5}&=6,\\ 4x_{1}+5x_{2}+3x_{3}+3x_{4}-x_{5}&=4.\end{aligned}. $$

解

$$ \begin{aligned}\widetilde{\boldsymbol{A}}&=\begin{pmatrix}1&1&1&1&1&2\\2&3&1&1&-3&0\\1&0&2&2&6&6\\4&5&3&3&-1&4\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}1&1&1&1&1&2\\0&1&-1&-1&-5&-4\\0&-1&1&1&5&4\\0&1&-1&-1&-5&-4\end{pmatrix}\\&\rightarrow\begin{pmatrix}1&1&1&1&1&2\\0&1&-1&-1&-5&-4\\0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\end{pmatrix}=\widetilde{\boldsymbol{B}}.\end{aligned} $$

以 $ \tilde{B} $ 为增广矩阵的方程组为

$$ \{\begin{aligned}x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}&=2,\\ x_{2}-x_{3}-x_{4}-5x_{5}&=-4.\end{aligned}. $$

任给 $ x_{3} $, $ x_{4} $, $ x_{5} $ 一组值，就唯一定出 $ x_{1} $, $ x_{2} $ 的值，也就是定出方程组的一个解。因此，我们可以把 $ x_{1} $, $ x_{2} $ 通过 $ x_{3} $, $ x_{4} $, $ x_{5} $ 表示出来，即方程组的一般解为

$$ \{\begin{aligned}x_{1}&=-2x_{3}-2x_{4}-6x_{5}+6,\\ x_{2}&=x_{3}+x_{4}+5x_{5}-4,\end{aligned}. $$

其中 $ x_{3}, x_{4}, x_{5} $ 为任意常数，称为自由未知量。若令 $ x_{3} = k_{1}, x_{4} = k_{2}, x_{5} = k_{3} $，则解也可以写为

$$ \{\begin{array}{l}{x_{1}=-2k_{1}-2k_{2}-6k_{3}+6,}\\ {{}}\\ {x_{2}=k_{1}+k_{2}+5k_{3}-4,}\\ {{}}\\ {x_{3}=k_{1},}\\ {{}}\\ {x_{4}=k_{2},}\\ {{}}\\ {x_{5}=k_{3},}\end{array}. $$

或 $ (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})=(-2k_{1}-2k_{2}-6k_{3}+6,k_{1}+k_{2}+5k_{3}-4,k_{1},k_{2},k_{3}) $，这里 $ k_{1},k_{2},k_{3} $为任意常数.

例题 1.3. 解非齐次线性方程组

$$ \{\begin{aligned}x_{1}+2x_{2}-5x_{3}&=-1,\\ 2x_{1}+4x_{2}-3x_{3}&=5,\\ 3x_{1}+6x_{2}-10x_{3}&=3.\end{aligned}. $$

解

$$ \widetilde{\boldsymbol{A}}=\begin{pmatrix}1&2&-5&-1\\2&4&-3&5\\3&6&-10&3\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}1&2&-5&-1\\0&0&7&7\\0&0&5&6\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}1&2&-5&-1\\0&0&1&1\\0&0&0&1\end{pmatrix}. $$

最后的矩阵对应的同解方程组为

$$ \{\begin{aligned}x_{1}+2x_{2}-5x_{3}&=-1,\\ x_{3}&=1,\\ 0&=1.\end{aligned}. $$

因为第3个方程“0=1”无解，故原方程组无解.

下面讨论一般的情形. 设

$$ \widetilde{\boldsymbol{A}}=(\boldsymbol{A},\boldsymbol{b})=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}&b_{2}\\\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}&b_{m}\end{pmatrix} $$

为方程组（1.1）的增广矩阵.

由第二章定理 3.1 知，每个矩阵都可经初等行变换化成阶梯形矩阵，故可设原方程组 (1.1) 的增广矩阵 $ \tilde{A} $ 化成阶梯形矩阵 $ \tilde{B} $. $ \tilde{A} $ 的前 n 列组成原方程组的系数矩阵 A. 容易看出 $ \tilde{B} $ 的前 n 列组成的矩阵 B 可由 A 经同样的初等行变换得到，而且 B 也是阶梯形矩阵. 又设 $ \tilde{B} $ 的最后一列为 $ b' $，即

$$ \tilde{\boldsymbol{A}}=(\boldsymbol{A},\boldsymbol{b})\longrightarrow\tilde{\boldsymbol{B}}=(\boldsymbol{B},\boldsymbol{b}^{\prime}). $$

设

$$ \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{lllllllllll} 0&\cdots&0&a_{1j_1}^{\prime}&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&a_{1n}^{\prime} \\ 0&\cdots&0&0&\cdots&0&a_{2j_2}^{\prime}&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&a_{2n}^{\prime} \\ \vdots& &\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots&&&\cdots&\cdots&\cdots&\vdots \\ 0&\cdots&0&0&\cdots&0&0&\cdots&0&a_{r j_r}^{\prime}&\cdots&a_{r n}^{\prime} \\ 0&\cdots&0&0&\cdots&0&0&\cdots&0&0&\cdots&0 \\ \vdots& &\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots&&\ &\vdots&\vdots&&\vdots \\ 0&\cdots&0&0&\cdots&0&0&\cdots&0&0&\cdots&0 \end{array}\right) , $$

其中 $ a_{1j_1}^{\prime}, a_{2j_2}^{\prime}, \cdots, a_{rj_r}^{\prime} $ 均不为 0, $ j_1 \lt j_2 \lt \cdots \lt j_r $. $ \widetilde{B} = (B, b^{\prime}) $ 为阶梯形矩阵, 故它可能有 r 个或 $ r+1 $ 个非零行. 于是 $ \widetilde{B} $ 可写成

$$ \begin{pmatrix}0&\cdots&0&a^{\prime}_{1j_{1}}&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&a^{\prime}_{1n}&b^{\prime}_{1}\\0&\cdots&0&0&\cdots&0&a^{\prime}_{2j_{2}}&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&a^{\prime}_{2n}&b^{\prime}_{2}\\\vdots&&\vdots&\vdots&&&\vdots&\vdots&&\cdots&\cdots&\cdots&\vdots&\vdots\\0&\cdots&0&0&\cdots&0&0&\cdots&0&a^{\prime}_{rj_{r}}&\cdots&a^{\prime}_{rn}&b^{\prime}_{r}\\0&\cdots&0&0&\cdots&0&0&\cdots&0&0&\cdots&0&b^{\prime}_{r+1}\\0&\cdots&0&0&\cdots&0&0&\cdots&0&0&\cdots&0&0\\\vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\0&\cdots&0&0&\cdots&0&0&\cdots&0&0&\cdots&0&0\end{pmatrix}, $$

其中 $ b'_{r+1}=0 $ 或 $ b'_{r+1}\neq0 $ 分别对应 $ \widetilde{B} $ 有 r 个非零行和 $ \widetilde{B} $ 有 $ r+1 $ 个非零行的情况. 把 $ \widetilde{B} $ 所对应的新方程组中最后 n-r-1 个形如 “0=0” 的方程去掉，得到下面与原方程组同解的阶梯形方程组

$$ \{\begin{aligned}a_{1j_{1}}^{\prime}x_{j_{1}}+\cdots+a_{1j_{2}}^{\prime}x_{j_{2}}+\cdots+a_{1j_{r}}^{\prime}x_{j_{r}}+\cdots+a_{1n}^{\prime}x_{n}&=b_{1}^{\prime},\\ a_{2j_{2}}^{\prime}x_{j_{2}}+\cdots+a_{2j_{r}}^{\prime}x_{j_{r}}+\cdots+a_{2n}^{\prime}x_{n}&=b_{2}^{\prime},\\ \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\ a_{r j_{r}}^{\prime}x_{j_{r}}+\cdots+a_{r n}^{\prime}x_{n}&=b_{r}^{\prime},\\ 0&=b_{r+1}^{\prime}.\end{aligned}. $$

这里，第1个方程中不出现包含 $ x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{j_{1}-1} $ 的项；第2个方程中不出现包含 $ x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{j_{2}-1} $ 的项；…；第r个方程中不出现包含 $ x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{j_{r}-1} $ 的项。通过(1.3)可知原方程组解的情况。

当 $ b_{r+1} \neq 0 $ 时，方程组 (1.3) 无解。因为无论怎样的 $ (c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{n}) $ 代入最后一个方程均使左端成为零，而右端非零，方程组不相容。

考虑 $ b_{r+1}^{\prime}=0 $ 的情况. 此时，(1.3) 的最后一个方程变成 0=0, 于是原方程组与 (1.3) 的前 r 个方程组成的方程组同解.

如果 r = n，则 (1.3) 中方程个数和未知数个数都是 n，而且系数行列式为 $ a_{11}^{\prime}a_{22}^{\prime}\cdots a_{nn}^{\prime} \neq 0 $，由克拉默法则知 (1.3) 有唯一解.

现在设 r < n. 为便于说明, 我们仅考虑 $ j_{1} = 1 $, $ j_{2} = 2 $, $ \cdots $, $ j_{r} = r $ 的特殊情况. 此时, 把包含 $ x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{r} $ 的项留在左端, 而把其余的项移到右端, 方程组 (1.3) 变成

$$ \{\begin{aligned}a_{11}^{\prime}x_{1}+a_{12}^{\prime}x_{2}+\cdots+a_{1r}^{\prime}x_{r}&=b_{1}^{\prime}-a_{1\ r+1}^{\prime}x_{r+1}-\cdots-a_{1n}^{\prime}x_{n},\\ a_{22}^{\prime}x_{2}+\cdots+a_{2r}^{\prime}x_{r}&=b_{2}^{\prime}-a_{2\ r+1}^{\prime}x_{r+1}-\cdots-a_{2n}^{\prime}x_{n},\\ &\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\ a_{r r}^{\prime}x_{r}&=b_{r}^{\prime}-a_{r\ r+1}^{\prime}x_{r+1}-\cdots-a_{r n}^{\prime}x_{n}.\end{aligned}. $$

此时，(1.3)' 的各方程左端依次出现 r 个, r-1 个, $ \cdots $, 1 个未知数. $ x_{r+1} $, $ \cdots $, $ x_n $ 称为自由未知量. 每当给自由未知量赋一个值 $ (t_1, t_2, \cdots, t_{n-r}) $ 时, 由 (1.3)' 就可依次解出 $ x_r, x_{r-1}, \cdots, x_1 $ 的值 $ s_r, s_{r-1}, \cdots, s_1 $. 此时, $ (s_1, \cdots, s_r, t_1, t_2, \cdots, t_{n-r}) $ 显然满足 (1.3), 进而满足 (1.1). 这证明了无论 r = n, 还是 r < n, 当 $ b'_{r+1} = 0 $ 时方程组 (1.1) 有解. 另一方面, 注意 (1.3)' 左端的系数行列式不为零, 所以一旦自由未知量的值被指定, $ x_1, x_2, \cdots, x_r $ 相应的值也随之唯一确定 (克拉默法则). 于是, (1.1) 的任何一个解都可通过对自由未知量适当赋值得到.

综上所述，方程组(1.1)有解当且仅当 $ b_{r+1}^{\prime}=0 $。

$ b_{r+1}' $ 是否为零由方程组 (1.1) 唯一确定. 实际上, 阶梯形矩阵 B 中包含 r 个非零行, 所以 B 的秩为 r. $ \widetilde{B} $ 的秩则依 $ b_{r+1}' $ 的取值不同而不同. 当 $ b_{r+1}' \neq 0 $ 时, $ \widetilde{B} $ 包含 $ r+1 $ 个非零行, 它的秩为 $ r+1 $; 当 $ b_{r+1}' = 0 $ 时, $ \widetilde{B} $ 的秩为 r. 根据第二章定理 3.3, 矩阵 B 与方程组 (1.1) 的系数矩阵的秩相同, $ \widetilde{B} $ 与方程组 (1.1) 的增广矩阵 $ \widetilde{A} $ 的秩相同, 所以, $ b_{r+1}' = 0 $ 当且仅当方程组 (1.1) 的系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相同. 这样, 我们就得到下面的定理.

定理 1.2. 线性方程组 (1.1) 有解的充要条件是系数矩阵 A 的秩等于增广矩阵 $ \tilde{A} $ 的秩，即

$$ r(\boldsymbol{A})=r(\widetilde{\boldsymbol{A}}). $$

由此得到下面的定理.

定理 1.3. 线性方程组（1.1）解的情况如下：

(1) 方程组有唯一解，当且仅当 $ r(\tilde{A}) = r(A) = n $;

(2) 方程组有无穷多个解，当且仅当 $ r(\tilde{A}) = r(A) \lt n $;

(3) 方程组无解，当且仅当 $ r(\tilde{A}) \neq r(A) $ （即 $ r(\tilde{A}) = r(A) + 1 $）.

对于齐次线性方程组，它总有解，即零解。将定理1.3应用到齐次线性方程组，就有定理1.4.

定理 1.4. 齐次线性方程组 AX=0 (这里 $ A=(a_{ij})_{mn}, X=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^{\mathrm{T}} $) 有非零解当且仅当系数矩阵 A 的秩 $ r(A)\lt n $.

证明 对于齐次线性方程组 AX = 0，显然有 $ r(\tilde{A}) = r(A) $，故它必有解。它有非零解当且仅当它有无穷多个解，由定理 1.3，当且仅当 $ r(A) \lt n $。

特别地，若齐次线性方程组中方程的个数小于未知数个数，则它一定有非零解；若齐次线性方程组中方程的个数等于未知数的个数，则它有非零解当且仅当其系数行列式等于零。分别写成如下推论。

推论 1.1. 在齐次线性方程组

$$ \{\begin{array}{l}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}=0,\\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}=0,\\ \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\ a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots+a_{m n}x_{n}=0\end{array}. $$

中，如果 m < n，那么它必有非零解.

证明 用 $ \boldsymbol{A}=(a_{ij})_{mn} $ 表示方程组 (1.4) 的系数矩阵. 显然, 此方程组化成阶梯形方程组之后, 方程的个数不会超过原方程组中方程的个数, 即

$$ r(\widetilde{\boldsymbol{A}})=r(\boldsymbol{A})\leqslant m\lt n. $$

由定理 1.4，它必有非零解.

推论 1.2. 齐次线性方程组

$$ \{\begin{aligned}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}&=0,\\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}&=0,\\ \cdots\cdots\cdots\cdots\\ a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots+a_{nn}x_{n}&=0\end{aligned}. $$

有非零解的充要条件是其系数矩阵 A 的行列式 $ \left|A\right|=0 $.

证明 充分性 设方程组 (1.5) 的系数矩阵 A 的行列式 $ \left|A\right|=0 $，则矩阵 A 是降秩的，从而 $ r(A)\lt n $，由定理 1.4 知齐次线性方程组有非零解。必要性的证明就是应用第一章定理 5.4.

思考题: 对齐次线性方程组 (1.4), 当 m > n 时, 解的情况如何?

现在我们给出求解一般线性方程组 Ax = b 的步骤：

(1) 写出增广矩阵 $ \widetilde{A} = (A, b) $;

(2) 将 $ \tilde{A} $ 通过初等变换化为阶梯形矩阵，从而也求出了系数矩阵和增广矩阵的秩，于是可以判断方程组是否有解；

(3) 有解时，设 $ r(A)=r $，选好 n-r 个自由未知量，将含自由未知量的项移到右边，得到形如 $ (1.3)^{\prime} $ 的方程组；

(4) 令自由未知量取值为 $ t_1, t_2, \cdots, t_{n-r} $，解方程组 $ (1.3)^{\prime} $，把其余未知数的值用 $ t_1, t_2, \cdots, t_{n-r} $ 表示出来。

例题 1.4. 解线性方程组

$$ \{\begin{aligned}x_{1}+4x_{3}-2x_{4}&=1,\\ 2x_{1}-x_{2}+9x_{3}-5x_{4}&=2,\\ x_{1}-x_{2}+5x_{3}&=-1,\\ 2x_{1}+3x_{2}+5x_{3}+5x_{4}&=-2.\end{aligned}. $$

解 方程组的增广矩阵为

$$ \widetilde{\boldsymbol{A}}=\begin{pmatrix}{{{1}}}&{{{0}}}&{{{4}}}&{{{-2}}}&{{{1}}} \\{{{2}}}&{{{-1}}}&{{{9}}}&{{{-5}}}&{{{2}}} \\{{{1}}}&{{{-1}}}&{{{5}}}&{{{0}}}&{{{-1}}} \\{{{2}}}&{{{3}}}&{{{5}}}&{{{5}}}&{{{-2}}}\end{pmatrix}. $$

用初等行变换将其化成下面的阶梯形矩阵

$$ \begin{pmatrix}1&0&4&-2&1\\0&-1&1&-1&0\\0&0&0&3&-2\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}. $$

由于 $ r(\tilde{\boldsymbol{A}})=r(\boldsymbol{A})=3 $，所以方程组有解，且原方程组与方程组

$$ \{\begin{array}{r}x_{1}+4x_{3}-2x_{4}=1,\\-x_{2}+x_{3}-x_{4}=0,\\3x_{4}=-2\end{array}. $$

同解. 由于 $ n - r(A) = 4 - 3 = 1 $，解中有一个自由未知量，把 $ x_{3} $ 移到右端，作为自由未知量，得

$$ \{\begin{array}{l}x_{1}-2x_{4}=1-4x_{3},\\-x_{2}-x_{4}=-x_{3},\\3x_{4}=-2.\end{array}. $$

令 $ x_{3}=t $，解得

$$ x_{4}=-\frac{2}{3},\quad x_{2}=\frac{2}{3}+t,\quad x_{1}=-\frac{1}{3}-4t. $$

故方程组的解为

$$ (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=\left(-\frac{1}{3}-4t,\frac{2}{3}+t,t,-\frac{2}{3}\right). $$

思考题: 本题中的 $ x_{2} $ 或 $ x_{1} $ 能作自由未知量吗?

例题 1.5. 解齐次线性方程组

$$ \{\begin{aligned}x_{1}-2x_{2}+3x_{3}-5x_{4}+x_{5}&=0,\\ x_{2}+x_{3}+6x_{4}-10x_{5}&=0,\\ 3x_{1}-10x_{2}+5x_{3}-39x_{4}+43x_{5}&=0,\\ 2x_{1}-x_{2}+9x_{3}+8x_{4}-28x_{5}&=0.\end{aligned}. $$

解 对系数矩阵施行初等行变换：

$$ \begin{align*}\begin{pmatrix}1&-2&3&-5&1\\0&1&1&6&-10\\3&-10&5&-39&43\\2&-1&9&8&-28\end{pmatrix}&\longrightarrow\begin{pmatrix}1&-2&3&-5&1\\0&1&1&6&-10\\0&-4&-4&-24&40\\0&3&3&18&-30\end{pmatrix}\\&\longrightarrow\begin{pmatrix}1&-2&3&-5&1\\0&1&1&6&-10\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}.\end{align*} $$

于是， $ r(\boldsymbol{A})=2,n-r(\boldsymbol{A})=3 $ ，方程组与下面的方程组同解：

$$ \{\begin{aligned}x_{1}-2x_{2}&=-3x_{3}+5x_{4}-x_{5},\\ x_{2}&=-x_{3}-6x_{4}+10x_{5},\end{aligned}. $$

取 $ x_{3}, x_{4}, x_{5} $ 为自由未知量. 令 $ x_{3} = t_{1}, x_{4} = t_{2}, x_{5} = t_{3} $, 得 $ x_{2} = -t_{1} - 6t_{2} + 10t_{3} $ 和 $ x_{1} = -5t_{1} - 7t_{2} + 19t_{3} $. 因此解为

$$ (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})=(-5t_{1}-7t_{2}+19t_{3},-t_{1}-6t_{2}+10t_{3},t_{1},t_{2},t_{3}). $$

§4.2 n 维向量空间

上一节介绍了 n 元线性方程组的解，它由 n 个数组成，而这 n 个数作为线性方程组的解是一个整体，分开是没有意义的。它其实是一个 n 维向量。

定义 2.1. 由数域 F 上的 n 个数 $ a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n} $ 组成的 n 元有序数组

$$ \left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right) 或 \left(\begin{array}{c}a_{1}\\a_{2}\\\vdots\\a_{n}\end{array}\right) $$

称为数域 F 上的 n 维向量，其中 $ a_{i} $ 称为它的第 i 个分量.

通常以希腊字母 $ \alpha, \beta, \gamma, \cdots $ 来表示 n 维向量。写成行形式的向量称为行向量，写成列形式的向量称为列向量。其实，它们也可以看作 $ 1 \times n $ 和 $ n \times 1 $ 的矩阵。数域 F 上的 n 维向量的全体组成的集合记为 $ F^n $。在本章中， $ F^n $ 的向量统一采用行向量的形式。

n = 2 或 3 且 F = R 的情形就是我们熟悉的平面或空间的有向向量，当 n > 3 时向量没有直观的几何意义.

下面介绍 n 维向量之间的基本运算.

定义 2.2. 设 $ \alpha=(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}),\beta=(b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}) $，若

$$ a_{i}=b_{i}\quad(i=1,2,\cdots,n), $$

则称这两个向量相等, 记为 $ \alpha = \beta $.

定义 2.3. 设向量 $ \boldsymbol{\alpha} = (a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}) $, $ \boldsymbol{\beta} = (b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}) $, 称

$$ \gamma=(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\cdots,a_{n}+b_{n}) $$

为 $ \alpha $ 与 $ \beta $ 的和，记为

$$ \gamma=\alpha+\beta. $$

定义 2.4. 分量全为零的向量

$$ (0,0,\cdots,0) $$

称为零向量，记为 $ \mathbf{0} $; $ (-a_{1}, -a_{2}, \cdots, -a_{n}) $ 称为向量 $ \alpha = (a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}) $ 的负向量，记为 $ -\alpha $.

利用负向量可以定义向量的减法：

$$ \alpha-\beta=\alpha+(-\beta). $$

定义 2.5. 设 $ k \in F $，向量

$$ (ka_{1},ka_{2},\cdots,ka_{n}) $$

称为向量 $ \alpha = (a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}) $ 与数 k 的数量乘积，记为 $ k\alpha $ 或 $ \alpha k $.

显然，由上述定义易知， $ \forall \alpha, \beta \in F^n $ 和 $ \forall k, \ell \in F $， $ n $ 维向量的加法及数乘运算有以下八条运算规律：

(1) $ \alpha + \beta = \beta + \alpha $;

(2) $ (\boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta}) + \boldsymbol{\gamma} = \boldsymbol{\alpha} + (\boldsymbol{\beta} + \boldsymbol{\gamma}); $

(3) $ \alpha + 0 = \alpha $;

(4) $ \alpha + (-\alpha) = 0 $;

(5) $ 1 \cdot \alpha = \alpha $;

(6) $ k(\ell\alpha) = (k\ell)\alpha $;

(7) $ k(\boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta}) = k\boldsymbol{\alpha} + k\boldsymbol{\beta}; $

(8) $ (k + \ell)\alpha = k\alpha + \ell\alpha $.

定义 2.6. 以数域 F 中的数作为分量的 n 维向量的全体, 同时考虑到定义在它们上面的加法和数量乘积, 称为数域 F 上的 n 维向量空间, 记为 $ F^{n} $.

特别地，当 $ F = \mathbb{R} $ 时称为 n 维实向量空间，记为 $ \mathbb{R}^n $；当 $ F = \mathbb{C} $ 时称为 n 维复向量空间，记为 $ \mathbb{C}^n $。

4.3 向量组的线性相关性

由若干个同维数的向量组成的集合称为向量组．两个向量之间最简单的关系是成比例，即存在一个数 k，使

$$ \alpha=k\beta. $$

在多个向量之间，上述关系表现为线性组合。

定义 3.1. 对向量组 $ \alpha, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m} $，若存在一组数 $ k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{m} $，使

$$ \alpha=k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}+\cdots+k_{m}\alpha_{m} $$

成立, 则称 $ \alpha $ 是 $ \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m $ 的线性组合, 或者说 $ \alpha $ 可由 $ \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m $ 线性表示 (线性表出).

显然，任意一个 n 维向量 $ \alpha = (a_1, a_2, \cdots, a_n) $ 都是向量组

$$ \boldsymbol{\varepsilon}_{1}=(1,0,\cdots,0), $$

$$ \epsilon_{2}=(0,1,\cdots,0), $$

$$ \epsilon_{n}=(0,0,\cdots,1) $$

的一个线性组合, 这是因为 $ \alpha = a_1\varepsilon_1 + a_2\varepsilon_2 + \cdots + a_n\varepsilon_n $.

向量 $ \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n} $ 称为 n 维单位向量.

零向量是任一向量组的线性组合.

例题 3.1. 证明 $ \alpha=(-1,1,5) $ 是向量 $ \alpha_{1}=(1,2,3) $, $ \alpha_{2}=(0,1,4) $, $ \alpha_{3}=(2,3,6) $ 的线性组合.

证明 假定 $ \alpha = k_{1}\alpha_{1} + k_{2}\alpha_{2} + k_{3}\alpha_{3} $，其中 $ k_{1}, k_{2}, k_{3} $ 为待定的系数，即

$$ (-1,1,5)=k_{1}(1,2,3)+k_{2}(0,1,4)+k_{3}(2,3,6). $$

由向量的加法知， $ (-1,1,5)=(k_{1}+2k_{3},2k_{1}+k_{2}+3k_{3},3k_{1}+4k_{2}+6k_{3}) $。再由向量相等的定义得线性方程组

$$ \{\begin{aligned}k_{1}+2k_{3}&=-1,\\ 2k_{1}+k_{2}+3k_{3}&=1,\\ 3k_{1}+4k_{2}+6k_{3}&=5.\end{aligned}. $$

解此方程组得

$$ \{\begin{array}{l}k_{1}=1,\\ \\k_{2}=2,\\ \\k_{3}=-1.\end{array}. $$

于是 $ \alpha $ 可以表示为 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} $ 的线性组合，即 $ \alpha = \alpha_{1} + 2\alpha_{2} - \alpha_{3} $.

由例题 3.1 可知, 线性表示的问题可以归结为求解线性方程组的问题, 反之亦然.

定义 3.2. 若向量组 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{t} $ 中每个向量 $ \alpha_{i} (i = 1, 2, \cdots, t) $ 都可以由向量组 $ \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{s} $ 线性表出，则称向量组 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{t} $ 可以由向量组 $ \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{s} $ 线性表出.

由定义易知，每个向量组都可以由它自身线性表出；而且，若向量组(I): $ \alpha_1 $, $ \alpha_2 $, $ \cdots $, $ \alpha_t $ 可由向量组(II): $ \beta_1 $, $ \beta_2 $, $ \cdots $, $ \beta_s $ 线性表出，向量组(II): $ \beta_1 $, $ \beta_2 $, $ \cdots $, $ \beta_s $ 可由向量组(III): $ \gamma_1 $, $ \gamma_2 $, $ \cdots $, $ \gamma_p $ 线性表出，则向量组(I): $ \alpha_1 $, $ \alpha_2 $, $ \cdots $, $ \alpha_t $ 可由向量组(III): $ \gamma_1 $, $ \gamma_2 $, $ \cdots $, $ \gamma_p $ 线性表出.

下面我们对此作出证明：设

$$ \alpha_{i}=\sum_{j=1}^{s}k_{ij}\beta_{j},\quad i=1,2,\cdots,t, $$

$$ \beta_{j}=\sum_{m=1}^{p}\ell_{j m}\gamma_{m},\quad j=1,2,\cdots,s, $$

则有

$$ \alpha_{i}=\sum_{j=1}^{s}k_{ij}\sum_{m=1}^{p}\ell_{jm}\gamma_{m}=\sum_{m=1}^{p}\sum_{j=1}^{s}k_{ij}\ell_{jm}\gamma_{m},\quad i=1,2,\cdots,t. $$

这表明，向量组 (I): $ \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_t $ 中的每一个向量可由向量组 (III): $ \gamma_1, \gamma_2, \cdots, \gamma_p $ 线性表出，结论成立。

定义 3.3. 若两个向量组可以互相线性表出，则称它们等价.

向量组的等价有以下性质：

(1) 反身性：每个向量组与自身等价；

(2) 对称性: 若向量组 (I) 与向量组 (II) 等价, 则向量组 (II) 与向量组 (I) 等价;

(3) 传递性: 若向量组 (I) 与向量组 (II) 等价, 向量组 (II) 与向量组 (III) 等价, 则向量组 (I) 与向量组 (III) 等价.

定义 3.4. 如果存在不全为零的数 $ k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{m} $，使

$$ k_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1}+k_{2}\boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+k_{m}\boldsymbol{\alpha}_{m}=\mathbf{0}, $$

就称向量组 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m} $ 线性相关，否则称为线性无关.

对于线性无关，如果

$$ k_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1}+k_{2}\boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+k_{m}\boldsymbol{\alpha}_{m}=\mathbf{0} $$

成立，则 $ k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{m} $ 必须全为零.

定理 3.1. 向量组 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m} $ 线性相关的充要条件是向量组中至少有一个向量可由其余向量线性表出.

证明 充分性 设向量组 $ \alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{m} $ 中至少有一个向量可由其余向量线性表出，不妨设 $ \alpha_{m} $ 能由 $ \alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{m-1} $ 线性表出，即

$$ \alpha_{m}=k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}+\cdots+k_{m-1}\alpha_{m-1} $$

或

$$ k_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1}+k_{2}\boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+k_{m-1}\boldsymbol{\alpha}_{m-1}-\boldsymbol{\alpha}_{m}=\mathbf{0}. $$

由于 $ k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{m-1}, -1 $ 不全为零，故 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m} $ 线性相关.

必要性 设 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m} $ 线性相关，即存在不全为零的数 $ k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{m} $，使

$$ k_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1}+k_{2}\boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+k_{m}\boldsymbol{\alpha}_{m}=\mathbf{0}. $$

不妨设 $ k_{m} \neq 0 $，于是

$$ \alpha_{m}=-\frac{k_{1}}{k_{m}}\alpha_{1}-\frac{k_{2}}{k_{m}}\alpha_{2}-\cdots-\frac{k_{m-1}}{k_{m}}\alpha_{m-1}, $$

即 $ \alpha_{m} $ 可由其余向量线性表出.

定理 3.2. 如果一个向量组中一部分向量线性相关，那么这个向量组就线性相关.

证明 若 $ \alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{m} $ 线性相关，则可以证明 $ \alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{m},\alpha_{m+1},\cdots,\alpha_{m+r} $ 亦线性相关. 设存在不全为零的数 $ k_{1},k_{2},\cdots,k_{m} $，使

$$ k_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1}+k_{2}\boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+k_{m}\boldsymbol{\alpha}_{m}=\mathbf{0}. $$

从而

$$ k_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1}+k_{2}\boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+k_{m}\boldsymbol{\alpha}_{m}+0\boldsymbol{\alpha}_{m+1}+\cdots+0\boldsymbol{\alpha}_{m+r}=\mathbf{0}, $$

这里 $ m+r $ 个系数 $ k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{m}, 0, \cdots, 0 $ 当然不全为零，所以 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}, \alpha_{m+1}, \cdots, \alpha_{m+r} $ 线性相关.

上述定理说明若一个向量组线性无关，则它的任意非空的部分向量组也线性无关.

定理 3.3. 如果 n 维向量组线性无关，那么在每个向量上添加一个分量得到的 $ n+1 $ 维向量组也线性无关.

证明 若 n 维向量组 $ \alpha_{i} = (a_{i1}, a_{i2}, \cdots, a_{in}) (i = 1, 2, \cdots, m) $ 线性无关，则我们证明 n + 1 维向量组 $ \beta_{i} = (a_{i1}, a_{i2}, \cdots, a_{in}, a_{i,n+1}) (i = 1, 2, \cdots, m) $ 亦线性无关。设 $ k_{1}\beta_{1} + k_{2}\beta_{2} + \cdots + k_{m}\beta_{m} = \mathbf{0} $，其中 $ k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{m} $ 为 m 个数，则可得方程组

$$ \{\begin{aligned}a_{11}k_{1}+a_{21}k_{2}+\cdots+a_{m1}k_{m}&=0,\\ a_{12}k_{1}+a_{22}k_{2}+\cdots+a_{m2}k_{m}&=0,\\ \cdots\cdots\cdots\cdots\\ a_{1n}k_{1}+a_{2n}k_{2}+\cdots+a_{mn}k_{m}&=0,\\ a_{1,n+1}k_{1}+a_{2,n+1}k_{2}+\cdots+a_{m,n+1}k_{m}&=0.\end{aligned}. $$

若能证明方程组(3.1)只有零解，则结论成立. 显然，方程组(3.1)的解都是由前n个方程构成的方程组的解，而前n个方程构成的方程组的等价形式为

$$ k_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1}+k_{2}\boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+k_{m}\boldsymbol{\alpha}_{m}=\mathbf{0}. $$

由于 $ \alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{m} $ 线性无关，得 $ k_{1}=k_{2}=\cdots=k_{m}=0 $ ，即 (3.2) 只有零解.

故得(3.1)只有零解，因此 $ \beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{m} $ 线性无关.

这个结论可以推广到添加多个分量的情形.

§4.4 $ R^{n} $ 的基、向量在基下的坐标

前两节中，我们给出了任意数域 F 上的 n 维向量空间 $ F^{n} $ 的定义，讨论了向量组的线性相关性。本节我们讨论一类特殊的向量空间即实数域上的 n 维向量空间 $ R^{n} $ 的基、向量在基下的坐标以及基变换和坐标变换公式。

1. 基与坐标

首先看两个例子. 在空间 $ \mathbb{R}^{3} $ 中, 建立空间直角坐标系, 在 x, y, z 轴上分别取单位向量 i, j, k, 则它们是线性无关的向量组, 且空间中的任意一个给定向量 p 可以唯一地表示为

$$ \boldsymbol{p}=p_{x}\boldsymbol{i}+p_{y}\boldsymbol{j}+p_{z}\boldsymbol{k}, $$

这里 $ p_x, p_y, p_z \in \mathbb{R} $，而有序三元数组 $ (p_x, p_y, p_z) $ 称为向量 $ p $ 的坐标。

在 $ \mathbb{R}^n $ 中，容易验证向量组 $ \boldsymbol{\varepsilon}_1 = (1, 0, \cdots, 0) $, $ \boldsymbol{\varepsilon}_2 = (0, 1, \cdots, 0) $, $ \cdots $, $ \boldsymbol{\varepsilon}_n = (0, 0, \cdots, 1) $ 是线性无关的，且对任意一个向量 $ \boldsymbol{\alpha} = (a_1, a_2, \cdots, a_n) $ 都可以表示为 $ \boldsymbol{\varepsilon}_1, \boldsymbol{\varepsilon}_2, \cdots, \boldsymbol{\varepsilon}_n $ 的线性组合

$$ \alpha=a_{1}\varepsilon_{1}+a_{2}\varepsilon_{2}+\cdots+a_{n}\varepsilon_{n}, $$

且显然表示方法是唯一的. 这种关系就是本节要讨论的 “基” 与 “坐标” 的概念.

定义 4.1. 设 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n} $ 为 $ \mathbb{R}^{n} $ 中的 n 个向量，若它满足

(1) $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n} $ 是线性无关的；

(2) $ \mathbb{R}^n $ 中任意一个向量 $ \alpha $ 都可以被 $ \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n $ 线性表出，即存在 $ x_1, x_2, \cdots, x_n \in \mathbb{R} $，使得

$$ \mathbf{\alpha}=x_{1}\mathbf{\alpha}_{1}+x_{2}\mathbf{\alpha}_{2}+\cdots+x_{n}\mathbf{\alpha}_{n}, $$

则称 $ \alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n} $ 是 $ R^{n} $ 的一组基，而 n 元有序数组 $ (x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}) $ 称为向量 $ \alpha $ 在基 $ \alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n} $ 下的坐标.

易知向量 $ \alpha $ 在基 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n} $ 下的坐标是唯一确定的. 这是因为, 若还有 $ \alpha = y_{1}\alpha_{1} + y_{2}\alpha_{2} + \cdots + y_{n}\alpha_{n} $, 则

$$ (x_{1}-y_{1})\boldsymbol{\alpha}_{1}+(x_{2}-y_{2})\boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+(x_{n}-y_{n})\boldsymbol{\alpha}_{n}=\mathbf{0}. $$

由向量组 $ \alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n} $ 的线性无关性知， $ x_{1}-y_{1}=0,x_{2}-y_{2}=0,\cdots,x_{n}-y_{n}=0 $。故 $ x_{1}=y_{1},x_{2}=y_{2},\cdots,x_{n}=y_{n} $。

由定义 4.1，前面提到的 $ i, j, k $ 是 $ \mathbb{R}^3 $ 的一组基， $ \varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n $ 是 $ \mathbb{R}^n $ 的一组基，它们称为标准基，而向量 $ \boldsymbol{\alpha} = (a_1, a_2, \cdots, a_n) $ 在标准基下的坐标为 $ (a_1, a_2, \cdots, a_n) $.

例题 4.1. 设 $ \beta_1 = (1,1,\cdots,1,1), \beta_2 = (0,1,\cdots,1,1),\cdots, \beta_n = (0,0,\cdots,0,1) \in \mathbb{R}^n $，则它们线性无关，对任意向量 $ \alpha = (a_1, a_2, \cdots, a_n) \in \mathbb{R}^n $，有

$$ \boldsymbol{\alpha}=a_{1}\boldsymbol{\beta}_{1}+(a_{2}-a_{1})\boldsymbol{\beta}_{2}+\cdots+(a_{n}-a_{n-1})\boldsymbol{\beta}_{n}. $$

所以 $ \beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n} $ 也是 $ R^{n} $ 的一组基，且 $ (a_{1},a_{2}-a_{1},\cdots,a_{n}-a_{n-1}) $ 就是 $ \alpha $ 在基 $ \beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n} $ 下的坐标.

事实上，若设 $ x_{1}\beta_{1}+x_{2}\beta_{2}+\cdots+x_{n}\beta_{n}=0 $，则有

$$ (x_{1},x_{1}+x_{2},\cdots,x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n})=(0,0,\cdots,0). $$

由此可得 $ x_{1}=0, x_{2}=0, \cdots, x_{n}=0 $，故向量组 $ \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n} $ 线性无关.

下证任意 $ \alpha = (a_1, a_2, \cdots, a_n) \in \mathbb{R}^n $ 可由 $ \beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n $ 线性表出. 若设 $ \alpha = k_1\beta_1 + k_2\beta_2 + \cdots + k_n\beta_n $, 于是

$$ (a_{1},a_{2},\cdots,a_{n})=(k_{1},k_{1}+k_{2},\cdots,k_{1}+k_{2}+\cdots+k_{n}), $$

则有线性方程组

$$ \{\begin{aligned}k_{1}&=a_{1},\\ k_{1}+k_{2}&=a_{2},\\ &\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\ k_{1}+k_{2}+\cdots+k_{n}&=a_{n}.\end{aligned}. $$

解得 $ k_{1}=a_{1}, k_{2}=a_{2}-a_{1}, \cdots, k_{n}=a_{n}-a_{n-1} $，故

$$ \boldsymbol{\alpha}=a_{1}\boldsymbol{\beta}_{1}+(a_{2}-a_{1})\boldsymbol{\beta}_{2}+\cdots+(a_{n}-a_{n-1})\boldsymbol{\beta}_{n}. $$

所以 $ \beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n $ 是 $ \mathbb{R}^n $ 的一组基，且 $ (a_1, a_2 - a_1, \cdots, a_n - a_{n-1}) $ 就是 $ \alpha $ 在这组基下的坐标。

由此可见， $ \mathbb{R}^{n} $ 的基不唯一，且同一个向量在不同基下的坐标一般是不同的。为了表达的方便，我们引进一种形式的记法，即将式子 (4.1) 表示为

$$ \boldsymbol{\alpha}=\left(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n}\right)\left(\begin{array}{c}x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots\\ x_{n}\end{array}\right). $$

也就是将基写成一个 $ 1 \times n $ 矩阵，将向量的坐标写成一个 $ n \times 1 $ 矩阵，而将向量 $ \alpha $ 看成是这两个矩阵的乘积 $ \alpha = \sum_{i=1}^{n} x_{i} \alpha_{i} $. 之所以称这个记法是“形式的”，是由于这里矩阵 $ (\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}) $ 是以行向量 $ \alpha_{i} (i = 1, 2, \cdots, n) $ 作为矩阵的元素，一般是没有意义的.

2. 基变换与坐标变换

我们已经知道， $ R^{n} $ 中有不同的基，同一个向量在不同基下的坐标一般是不同的。下面讨论当基变化时，向量的坐标是如何变化的。

设 $ \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n $ 和 $ \beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n $ 是 $ \mathbb{R}^n $ 的两组基. 由于 $ \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n $ 是基, 每个 $ \beta_j $ 都可以表示为 $ \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n $ 的线性组合. 设

$$ \{\begin{array}{l}\beta_{1}=a_{11}\alpha_{1}+a_{21}\alpha_{2}+\cdots+a_{n1}\alpha_{n},\\\beta_{2}=a_{12}\alpha_{1}+a_{22}\alpha_{2}+\cdots+a_{n2}\alpha_{n},\\\quad\cdots\cdots\cdots\cdots\\\beta_{n}=a_{1n}\alpha_{1}+a_{2n}\alpha_{2}+\cdots+a_{nn}\alpha_{n}.\end{array}. $$

我们把矩阵

$$ \boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix} $$

称为由基 $ \alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n} $ 到基 $ \beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n} $ 的过渡矩阵. 需要注意的是, 过渡矩阵 A 的第 i 列 $ (i=1,2,\cdots,n) $ 为基向量 $ \beta_{i} $ 在基 $ \alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n} $ 下的坐标. 利用矩阵的乘法, 两组基的关系可形式地表示为

$$ (\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n})=(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}){\cal A}, $$

称为基变换公式

下面讨论同一个向量在不同基下的坐标变换公式. 仍设 $ \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n $ 和 $ \beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n $ 是 $ \mathbb{R}^n $ 的两组基, $ A $ 是由基 $ \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n $ 到基 $ \beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n $ 的过渡矩阵. 设 $ \alpha $ 为 $ \mathbb{R}^n $ 中的一个向量, 且 $ \alpha $ 在基 $ \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n $ 下的坐标为 $ (x_1, x_2, \cdots, x_n) $, 在基 $ \beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n $ 下的坐标为 $ (y_1, y_2, \cdots, y_n) $, 则

$$ \boldsymbol{\alpha}=x_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1}+x_{2}\boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+x_{n}\boldsymbol{\alpha}_{n}=\left(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n}\right)\left(\begin{array}{c}x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots\\ x_{n}\end{array}\right), $$

$$ \boldsymbol{\alpha}=y_{1}\boldsymbol{\beta}_{1}+y_{2}\boldsymbol{\beta}_{2}+\cdots+y_{n}\boldsymbol{\beta}_{n}=(\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},\cdots,\boldsymbol{\beta}_{n})\begin{pmatrix}y_{1}\\ y_{2}\\ \vdots\\ y_{n}\end{pmatrix}, $$

且 $ (\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n})=(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n})A $。从而

$$ \begin{aligned}\boldsymbol{\alpha}&=(\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},\cdots,\boldsymbol{\beta}_{n})\left(\begin{array}{c}y_{1}\\ y_{2}\\ \vdots\\ y_{n}\end{array}\right)=((\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n})\boldsymbol{A})\left(\begin{array}{c}y_{1}\\ y_{2}\\ \vdots\\ y_{n}\end{array}\right)\\&=(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n})\left(\boldsymbol{A}\left(\begin{array}{c}y_{1}\\ y_{2}\\ \vdots\\ y_{n}\end{array}\right)\right).\end{aligned} $$

因为向量 $ \alpha $ 在基 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n} $ 下的坐标是唯一确定的，由 (4.3) 和 (4.4) 得到

$$ \begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots\\x_{n}\end{pmatrix}=\boldsymbol{A}\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\\vdots\\y_{n}\end{pmatrix}, $$

即

$$ \{\begin{aligned}x_{1}&=a_{11}y_{1}+a_{12}y_{2}+\cdots+a_{1n}y_{n},\\ x_{2}&=a_{21}y_{1}+a_{22}y_{2}+\cdots+a_{2n}y_{n},\\ &\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\ x_{n}&=a_{n1}y_{1}+a_{n2}y_{2}+\cdots+a_{nn}y_{n}.\end{aligned}. $$

式子(4.5)或(4.5) $ ^{\prime} $称为坐标变换公式.

思考题: (4.4) 式最后一个等号为什么成立?

最后，我们断言：由基 $ \alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n} $ 到基 $ \beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n} $ 的过渡矩阵 A 是可逆的（证明作为习题）。故由 (4.2) 已知，由基 $ \beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n} $ 到基 $ \alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n} $ 的过渡矩阵是 $ A^{-1} $。

综上所述，有下述定理.

定理 4.1. 设 $ \mathbb{R}^n $ 中的基 $ \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n $ 到基 $ \beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n $ 的过渡矩阵为 $ A $，则 $ A $ 是可逆矩阵，若向量 $ \alpha \in \mathbb{R}^n $ 在这两组基下的坐标分别是 $ (x_1, x_2, \cdots, x_n) $ 和 $ (y_1, y_2, \cdots, y_n) $，则

$$ \begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots\\x_{n}\end{pmatrix}=\boldsymbol{A}\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\\vdots\\y_{n}\end{pmatrix} 或 \begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\\vdots\\y_{n}\end{pmatrix}=\boldsymbol{A}^{-1}\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots\\x_{n}\end{pmatrix}. $$

例题 4.2. 在 $ \mathbb{R}^{3} $ 中，求向量 $ \alpha = (4,12,6) $ 在基 $ \alpha_{1} = (-2,1,3), \alpha_{2} = (-1,0,1), \alpha_{3} = (-2,-5,-1) $ 下的坐标.

解 取 $ \mathbb{R}^{3} $ 的标准基 $ \varepsilon_{1}=(1,0,0),\varepsilon_{2}=(0,1,0),\varepsilon_{3}=(0,0,1) $，则 $ \alpha $ 在标准基下的坐标 $ (x_{1},x_{2},x_{3})=(4,12,6) $。又因为

$$ \alpha_{1}=-2\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}+3\varepsilon_{3}, $$

$$ \alpha_{2}=-\varepsilon_{1}+\varepsilon_{3}, $$

$$ \alpha_{3}=-2\varepsilon_{1}-5\varepsilon_{2}-\varepsilon_{3}, $$

所以由标准基 $ \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3} $ 到基 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} $ 的过渡矩阵为

$$ \boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}-2&-1&-2\\1&0&-5\\3&1&-1\end{pmatrix}. $$

若设 $ \alpha $ 在基 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} $ 下的坐标为 $ (y_{1}, y_{2}, y_{3}) $，则

$$ \begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}=\boldsymbol{A}^{-1}\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}=\left(\begin{array}{rrr}\frac{5}{2}&-\frac{3}{2}&\frac{5}{2}\\-7&4&-6\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{array}\right)\begin{pmatrix}4\\12\\6\end{pmatrix}=\left(\begin{array}{c}7\\-16\\-1\end{array}\right), $$

即 $ \alpha $ 在基 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} $ 下的坐标为 $ (7, -16, -1) $.

例题 4.3. 在 $ \mathbb{R}^{3} $ 中，求由基 $ \alpha_{1}=(-3,1,-2) $, $ \alpha_{2}=(1,-1,1) $, $ \alpha_{3}=(2,3,-1) $ 到基 $ \beta_{1}=(1,1,1) $, $ \beta_{2}=(1,2,3) $, $ \beta_{3}=(2,0,1) $ 的过渡矩阵.

解 要求基 $ \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3} $ 到基 $ \beta_{1},\beta_{2},\beta_{3} $ 的过渡矩阵，需要把 $ \beta_{i}(i=1,2,3) $ 表示为 $ \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3} $ 的线性组合，直接计算是比较麻烦的。这里我们借助由标准基 $ \varepsilon_{1}=(1,0,0),\varepsilon_{2}=(0,1,0),\varepsilon_{3}=(0,0,1) $ 到这两组基的过渡矩阵来计算。由于

$$ \alpha_{1}=-3\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}-2\varepsilon_{3}, $$

$$ \alpha_{2}=\varepsilon_{1}-\varepsilon_{2}+\varepsilon_{3}, $$

$$ \alpha_{3}=2\varepsilon_{1}+3\varepsilon_{2}-\varepsilon_{3}, $$

所以 $ (\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3})=(\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},\varepsilon_{3})A $，这里

$$ \boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}{{{-3}}}&{{{1}}}&{{{2}}} \\{{{1}}}&{{{-1}}}&{{{3}}} \\{{{-2}}}&{{{1}}}&{{{-1}}}\end{pmatrix} $$

为基 $ \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3} $ 到基 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} $ 的过渡矩阵. 同理, 有 $ (\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}) = (\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}) B $, 这里

$$ \boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}{{{1}}}&{{{1}}}&{{{2}}} \\{{{1}}}&{{{2}}}&{{{0}}} \\{{{1}}}&{{{3}}}&{{{1}}}\end{pmatrix} $$

为基 $ \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3} $ 到基 $ \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3} $ 的过渡矩阵，因为过渡矩阵是可逆的，所以

$$ (\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},\boldsymbol{\beta}_{3})=(\boldsymbol{\varepsilon}_{1},\boldsymbol{\varepsilon}_{2},\boldsymbol{\varepsilon}_{3})\boldsymbol{B}=((\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\boldsymbol{\alpha}_{3})\boldsymbol{A}^{-1})\boldsymbol{B}=(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\boldsymbol{\alpha}_{3})(\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{B}). $$

上式表明，由基 $ \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3} $ 到基 $ \beta_{1},\beta_{2},\beta_{3} $ 的过渡矩阵为

$$ \boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}{{{-3}}}&{{{1}}}&{{{2}}} \\{{{1}}}&{{{-1}}}&{{{3}}} \\{{{-2}}}&{{{1}}}&{{{-1}}}\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}{{{1}}}&{{{1}}}&{{{2}}} \\{{{1}}}&{{{2}}}&{{{0}}} \\{{{1}}}&{{{3}}}&{{{1}}}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{{{-6}}}&{{{-19}}}&{{{-1}}} \\{{{-13}}}&{{{-42}}}&{{{-1}}} \\{{{-2}}}&{{{-7}}}&{{{0}}}\end{pmatrix}. $$

§4.5 向量组的秩

1. 向量组的秩

在向量组的线性无关的部分组中, 最重要最有用的是极大线性无关组, 它的定义如下:

定义 5.1. 若一个向量组的一个部分组线性无关，但将原向量组的其余向量（若还有）添加进去后所得的部分组线性相关，则称这个部分组是原向量组的极大线性无关组.

由定义可知，一个线性无关向量组的极大线性无关组就是它自身。

定理 5.1. 向量组的任意一个极大线性无关组都与向量组自身等价

证明 设向量组为 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}, \cdots, \alpha_{r} $，不妨设 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s} $ 是它的一个极大线性无关组。因为 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s} $ 是 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}, \cdots, \alpha_{r} $ 的一部分，当然可以被这个向量组线性表出。现在考察 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}, \cdots, \alpha_{r} $ 是否可以被 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s} $ 线性表出。首先， $ \alpha_{i}(i = 1, 2, \cdots, s) $ 显然可以被 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s} $ 线性表出；其次，考察 $ \alpha_{j}(j = s + 1, s + 2, \cdots, r) $。由极大线性无关组 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s} $ 的极大性知向量组 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}, \alpha_{j} $ 线性相关，即存在不全为零的数 $ k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{s}, l $，使得

$$ k_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1}+k_{2}\boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+k_{s}\boldsymbol{\alpha}_{s}+\ell\boldsymbol{\alpha}_{j}=\mathbf{0}. $$

若 $ \ell = 0 $，则由 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s} $ 线性无关得 $ k_{1} = k_{2} = \cdots = k_{s} = 0 $，矛盾。因此 $ \ell \neq 0 $，从而有

$$ \mathbf{\alpha}_{j}=-\frac{k_{1}}{\ell}\mathbf{\alpha}_{1}-\frac{k_{2}}{\ell}\mathbf{\alpha}_{2}-\cdots-\frac{k_{s}}{\ell}\mathbf{\alpha}_{s}(j=s+1,\cdots,r). $$

即证得 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}, \cdots, \alpha_{r} $ 也可以被 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s} $ 线性表出，因此它们等价.

定理 5.2. 设向量组 (I): $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r} $ 和向量组 (II): $ \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{s} $ 满足下列条件

(1) 向量组 (I) 可由向量组 (II) 线性表出，

(2) r > s,

则向量组（I）线性相关.

证明 由条件(1)，每个 $ \alpha_{i} $ 都可写成 $ \beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{s} $ 的线性组合，因而有

$$ \{\begin{array}{l}\alpha_{1}=a_{11}\beta_{1}+\cdots+a_{s1}\beta_{s},\\\alpha_{2}=a_{12}\beta_{1}+\cdots+a_{s2}\beta_{s},\\\quad\cdots\cdots\cdots\cdots\\\alpha_{r}=a_{1r}\beta_{1}+\cdots+a_{s r}\beta_{s},\end{array}. $$

其中 $ a_{ij} \in F $. 令

$$ \boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1r}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2r}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{s1}&a_{s2}&\cdots&a_{sr}\end{pmatrix}, $$

则上面的一组等式可以直观地表示成

$$ (\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{r})=(\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{s})A. $$

由于齐次线性方程组

$$ \boldsymbol{A}\begin{pmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots\\ x_{r}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ \vdots\\ 0\end{pmatrix} $$

的未知数个数 r 大于方程个数 s，由本章第 1 节推论 1.1 知，此齐次线性方程组有非零解. 设 $ (k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{r}) $ 为非零解，则对这些不全为零的元素 $ k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{r} $ 有

$$ \boldsymbol{A}\begin{pmatrix}k_{1}\\ k_{2}\\ \vdots\\ k_{r}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ \vdots\\ 0\end{pmatrix}. $$

于是

$$ \begin{aligned}k_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1}+k_{2}\boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+k_{r}\boldsymbol{\alpha}_{r}&=(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{r})\begin{pmatrix}k_{1}\\ k_{2}\\ \vdots\\ k_{r}\end{pmatrix}\\&=(\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},\cdots,\boldsymbol{\beta}_{s})\boldsymbol{A}\begin{pmatrix}k_{1}\\ k_{2}\\ \vdots\\ k_{r}\end{pmatrix}=(\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},\cdots,\boldsymbol{\beta}_{s})\begin{pmatrix}0\\ 0\\ \vdots\\ 0\end{pmatrix}=\mathbf{0}.\end{aligned} $$

所以，向量组 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r} $ 线性相关.

推论 5.1. 设 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r} $ 可由 $ \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{s} $ 线性表示，且 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r} $ 线性无关，则 $ r \leqslant s $.

推论 5.2. 任意 $ n+1 $ 个 n 维向量一定线性相关，从而当 m > n 时，任意 m 个 n 维向量一定线性相关.

证明 设 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n+1} $ 为任意 $ n+1 $ 个 n 维向量. 因为每个 n 维向量 $ \alpha_{i} $ 都可由 n 维单位向量 $ \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n} $ 线性表出, 故向量组 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n+1} $ 可由向量组 $ \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n} $ 线性表出, 且 $ n+1 \gt n $, 由定理 5.2 知 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n+1} $ 线性相关.

推论 5.3. 一个向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量.

证明 设 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r} $ 与 $ \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{s} $ 是同一个向量组的两个极大线性无关组，由定理 5.1 知它们都与原向量组等价，故 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r} $ 与 $ \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{s} $ 等价。首先，由 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r} $ 可以被 $ \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{s} $ 线性表出及 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r} $ 线性无关，应用推论 5.1 知， $ r \leqslant s $。同理， $ s \leqslant r $。故 r = s。

我们利用向量线性相关性的概念来定义向量组的秩.

定义 5.2. 一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩.

推论 5.4. 等价的向量组有相同的秩.

1. 矩阵秩的进一步讨论

学习了向量组秩的定义及性质以后，我们可以进一步讨论矩阵的秩.

设

$$ \begin{aligned}\boldsymbol{A}&=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{pmatrix}\end{aligned} $$

是数域 F 上的一个 $ m \times n $ 矩阵. A 的每一行可看作 $ F^{n} $ 的向量, 我们称之为行向量. 设

$$ \alpha_{i}=(a_{i1},a_{i2},\cdots,a_{in}),\quad i=1,2,\cdots,m, $$

则

$$ \boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{c}\alpha_{1}\\\alpha_{2}\\\vdots\\\alpha_{m}\end{array}\right), $$

这里 $ \alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{m} $ 称为 A 的行向量组. A 也可以看作是由行向量组构成的分块矩阵. 同样, A 的每一列可看作 $ F^{m} $ 的向量, 称之为列向量. 若令

$$ \beta_{i}=\left(\begin{matrix}{a_{1i}}\\ {a_{2i}}\\ {\vdots}\\ {a_{m i}}\\ \end{matrix}\right),\quad i=1,2,\cdots,n, $$

则 A 可以看作列向量的分块矩阵，即

$$ \boldsymbol{A}=(\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},\cdots,\boldsymbol{\beta}_{n}), $$

这里 $ \beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n} $ 称为 A 的列向量组.

A 有 m 个行向量和 n 个列向量. 矩阵 A 的行向量组的秩称为矩阵 A 的行秩, 列向量组的秩称为矩阵 A 的列秩.

例题 5.1 求下列矩阵的行秩和列秩

$$ \boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&1&3&1\\0&2&-1&4\\0&0&0&5\\0&0&0&0\end{pmatrix}. $$

解 矩阵 A 的行向量组是

$$ \alpha_{1}=(1,1,3,1),\quad\alpha_{2}=(0,2,-1,4), $$

$$ \boldsymbol{\alpha}_{3}=(0,0,0,5),\quad\boldsymbol{\alpha}_{4}=(0,0,0,0). $$

下面证明 $ \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3} $ 是行向量组的极大线性无关组. 若

$$ k_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1}+k_{2}\boldsymbol{\alpha}_{2}+k_{3}\boldsymbol{\alpha}_{3}=\mathbf{0}, $$

即

$$ (k_{1},k_{1}+2k_{2},3k_{1}-k_{2},k_{1}+4k_{2}+5k_{3})=\mathbf{0}, $$

由此可得 $ k_{1}=k_{2}=k_{3}=0 $ ，因此 $ \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3} $ 线性无关。由于 $ \alpha_{4} $ 为零向量，将它添进去就线性相关。故向量组 $ \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4} $ 的秩是 3，即 A 的行秩是 3。

A 的列向量组是

$$ \beta_{1}=\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{pmatrix},\quad\beta_{2}=\begin{pmatrix}1\\ 2\\ 0\\ 0\end{pmatrix},\quad\beta_{3}=\begin{pmatrix}3\\ -1\\ 0\\ 0\end{pmatrix},\quad\beta_{4}=\begin{pmatrix}1\\ 4\\ 5\\ 0\end{pmatrix} $$

同理可证, $ \beta_{1},\beta_{2},\beta_{4} $ 线性无关而 $ \beta_{3}=\frac{i}{2}\beta_{1}-\frac{1}{2}\beta_{2} $，所以 $ \beta_{1},\beta_{2},\beta_{4} $ 是列向量组的极大线性无关组，即 A 的列秩为 3.

第三章定义过矩阵的秩：如果 A 有一个不为零的 r 阶子式，但没有不为零的 $ r+1 $ 阶子式，那么矩阵 A 的秩为 r。于是，我们对同一个矩阵定义了三种“秩”：秩、行秩、列秩。下面证明这三种秩相同。

定理 5.3. 矩阵的行秩和列秩都等于矩阵的秩.

证明 设矩阵 $ r(A)=r $，现证矩阵 A 的行秩也为 r，这样就证明行秩等于秩. 同理可证列秩也等于秩.

矩阵 A 可经一系列初等行变换化为一个阶梯形矩阵 B，即有矩阵序列

$$ \boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}_{0}\rightarrow\boldsymbol{A}_{1}\rightarrow\boldsymbol{A}_{2}\rightarrow\cdots\rightarrow\boldsymbol{A}_{s}=\boldsymbol{B}, $$

其中每个 $ A_{i+1} $ 由 $ A_{i} $ 经一次行变换得到，而阶梯形矩阵 B 有 r 个非零行. 已知，任何矩阵经一次初等变换后其秩不变. 正因为如此，每个矩阵 $ A_{i} $ 的秩都是 r.

这里先证明一个结论：任何矩阵经一次初等行变换后，新矩阵的行向量组都可由原矩阵的行向量组线性表出。实际上，如果行变换是第 I 种类型的初等行变换，则新矩阵的行向量就是原矩阵的行向量，但改变了排列次序。如果行变换是第 II 和 III 种类型的初等行变换，那么新矩阵中除去一个行向量外都是原矩阵的行向量，而改变了的那个行向量，要么是原矩阵的一个行向量与数域 F 中一非零元素的数乘（在第 II 种类型的初等行变换下），要么是原矩阵的一个行向量加上另一个行向量的数量倍（在第 III 种类型的初等行变换下）。于是上面的结论成立。由此可知，新矩阵的行向量组可以由原矩阵的行向量组线性表出。由于初等变换可逆，所以原矩阵的行向量组也可以由新矩阵的行向量组线性表出，即知二者是等价的行向量组，故由推论 5.4 知它们有相同的秩。这就证明矩阵经一次初等行变换后，行秩保持不变。

把上面得到的结果用到序列 $ A = A_{0} \to A_{1} \to A_{2} \to \cdots \to A_{s} = B $ 上，知 A 和 B 有相同的行秩. 显然，阶梯形矩阵 B 的 r 个非零行（看作向量）正好构成行向量组的极大线性无关组. 这就证明 B 的行秩 = r = r(A) = A 的行秩.

由此定理不难得到求一个向量组秩的方法：将已知的向量组作为行（列）向量构成一个矩阵，再用初等变换求解矩阵的秩，即为向量组的秩.

定理 5.4. 设 A, B 分别为 $ m \times n, n \times s $ 矩阵，则

$$ r(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B})\leqslant\min\{r(\boldsymbol{A}),r(\boldsymbol{B})\}. $$

证明 设

$$ \begin{array}{c c c c c}{\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{c c c c}{a_{11}}&{a_{12}}&{\cdots}&{a_{1n}}\\ {a_{21}}&{a_{22}}&{\cdots}&{a_{2n}}\\ {\vdots}&{\vdots}&{}&{\vdots}\\ {a_{m1}}&{a_{m2}}&{\cdots}&{a_{m n}}\end{array}\right),}&{\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{c c c c}{b_{11}}&{b_{12}}&{\cdots}&{b_{1s}}\\ {b_{21}}&{b_{22}}&{\cdots}&{b_{2s}}\\ {\vdots}&{\vdots}&{}&{\vdots}\\ {b_{n1}}&{b_{n2}}&{\cdots}&{b_{n s}}\end{array}\right).}\end{array} $$

令 A 的列向量组为 $ \beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n},AB $ 的列向量组为 $ \gamma_{1},\gamma_{2},\cdots,\gamma_{s} $. 即有 $ A=(\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}),AB=(\gamma_{1},\gamma_{2},\cdots,\gamma_{s}) $, 所以

$$ (\gamma_{1},\gamma_{2},\cdots,\gamma_{s})=(\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n})\boldsymbol{B}, $$

这表明 $ \gamma_{1},\gamma_{2},\cdots,\gamma_{s} $ 可由 $ \beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n} $ 线性表出. 由本章习题 13 得

$$ r(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B})\leqslant r(\boldsymbol{A}). $$

又设

$$ \boldsymbol{B}=\left(\begin{matrix}{\alpha_{1}}\\ {\alpha_{2}}\\ {\vdots}\\ {\alpha_{n}}\\ \end{matrix}\right),\quad\boldsymbol{A B}=\left(\begin{matrix}{\delta_{1}}\\ {\delta_{2}}\\ {\vdots}\\ {\delta_{m}}\\ \end{matrix}\right), $$

其中 $ \alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n} $ 为 B 的行向量组， $ \delta_{1},\delta_{2},\cdots,\delta_{m} $ 为 AB 的行向量. 故有

$$ \left(\begin{array}{c}{{\delta_{1}}}\\ {{\delta_{2}}}\\ {{\vdots}}\\ {{\delta_{m}}}\end{array}\right)={\cal A}\left(\begin{array}{c}{{\alpha_{1}}}\\ {{\alpha_{2}}}\\ {{\vdots}}\\ {{\alpha_{n}}}\end{array}\right). $$

这表明 $ \delta_{1},\delta_{2},\cdots,\delta_{m} $ 可由 $ \alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n} $ 线性表出. 由本章习题 13 得

$$ r(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B})\leqslant r(\boldsymbol{B}), $$

故结论成立.

推论 5.5. 若 $ A = A_1 A_2 \cdots A_t $，则 $ r(A) \leqslant \min\{r(A_1), r(A_2), \cdots, r(A_t)\} $.

推论 5.6. 设 A 是一个 $ m \times n $ 矩阵, 若 P 是 $ m \times m $ 可逆矩阵, Q 为 $ n \times n $ 可逆矩阵, 则

$$ r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{P}\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q}). $$

证明 设 B = PA，由定理 5.4 知 $ r(B) \leq r(A) $。由于 P 可逆，由 B = PA 得 $ A = P^{-1}B $，又由定理 5.4 有 $ r(A) \leq r(B) $。所以， $ r(A) = r(B) = r(PA) $。另一等式类似可证。

4.6 线性方程组解的结构

线性方程组

$$ \{\begin{array}{r}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}=b_{1},\\ \\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}=b_{2},\\ \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots+a_{mn}x_{n}=b_{m}\end{array}. $$

与齐次线性方程组

$$ \{\begin{array}{r}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}=0,\\ \\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}=0,\\ \cdots\cdots\cdots\cdots\\ \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots+a_{mn}x_{n}=0\end{array}. $$

的矩阵形式分别为

$$ \boldsymbol{A}\boldsymbol{X}=\boldsymbol{b} $$

和

$$ A\boldsymbol{X}=\boldsymbol{0}, $$

$$ \boldsymbol{A}=(a_{ij})_{mn},\boldsymbol{X}=(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})^{\mathrm{T}},\boldsymbol{b}=(b_{1},b_{2},\cdots,b_{m})^{\mathrm{T}}. $$

若设 $ \alpha_{i}=(a_{1i},a_{2i},\cdots,a_{mi})^{\mathrm{T}}(i=1,2,\cdots,n) $，则线性方程组 (6.1) 又可以用以下向量方程表出：

$$ x_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1}+x_{2}\boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+x_{n}\boldsymbol{\alpha}_{n}=\boldsymbol{b}. $$

从而有如下的定理.

定理 6.1. 线性方程组 (6.3) 有解的充要条件为向量 b 可以由向量组 $ \alpha_{1} $, $ \alpha_{2} $, $ \cdots $, $ \alpha_{n} $ 线性表出.

首先考察齐次线性方程组解的结构.

性质 6.1. 若 $ \xi_{1}, \xi_{2} $ 是齐次线性方程组 (6.4) 的两个解，则 $ \xi_{1} + \xi_{2} $ 也是它的解.

证明 由 $ A\xi_{1}=0, A\xi_{2}=0 $，可得 $ A(\xi_{1}+\xi_{2})=A\xi_{1}+A\xi_{2}=0+0=0 $.

性质 6.2. 若 $ \xi $ 是齐次线性方程组 (6.4) 的一个解，则 $ k\xi $ 也是它的解，其中 k 是任意数.

证明 由 $ A\xi=0 $，可得 $ A(k\xi)=k(A\xi)=0 $.

显然，齐次线性方程组解的线性组合还是齐次线性方程组的解，且若齐次线性方程组有一个非零解，则它必有无数多个解。那么，齐次线性方程组的全部解是否能够通过它的有限几个解的线性组合表示出来？回答是肯定的，为此引入下面的定义。

定义 6.1. 若齐次线性方程组 (6.2) 的一组解 $ \eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{t} $ 满足以下两个条件：

(1) $ \eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{t} $ 线性无关,

(2) 齐次线性方程组的任意一个解都可由 $ \eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{t} $ 线性表出，则称这组解 $ \eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{t} $ 为齐次线性方程组的一个基础解系.

定理 6.2. 若齐次线性方程组 (6.4) 有非零解，则它一定有基础解系，并且基础解系所含解的个数等于 n - r(A)，这里 $ r(A) $ 为系数矩阵 A 的秩.

证明 设 $ r(A)=r $，不妨设 A 左上角的 r 阶子式不等于零，于是方程组 (6.4) 可写成等价方程组

$$ \{\begin{aligned}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1r}x_{r}&=-a_{1,r+1}x_{r+1}-\cdots-a_{1n}x_{n},\\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2r}x_{r}&=-a_{2,r+1}x_{r+1}-\cdots-a_{2n}x_{n},\\ \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\ a_{r1}x_{1}+a_{r2}x_{2}+\cdots+a_{rr}x_{r}&=-a_{r,r+1}x_{r+1}-\cdots-a_{rn}x_{n}.\end{aligned}. $$

若 r = n，则方程组（6.6）没有自由未知量，方程右端全为零，这时方程组只有零解，故没有基础解系.

设 r < n，给定方程组 (6.6) 右端自由未知量 $ x_{r+1} $, $ x_{r+2} $, $ \cdots $, $ x_n $ 的一组值，由于其左端系数行列式不等于零，根据克拉默法则便可唯一确定出未知量 $ x_1 $, $ x_2 $, $ \cdots $, $ x_r $ 的一组值。将这两部分放在一起，便是齐次线性方程组 (6.4) 的一个

解. 依此法, 依次取 n-r 组给定的值, 即 $ (x_{r+1}, x_{r+2}, \cdots, x_n) $ 依次取

$$ (1,0,\cdots,0),(0,1,\cdots,0),\cdots,(0,0,\cdots,1), $$

而求得相应的 $ (x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{r}) $ 的值依次为

$$ (c_{11},c_{12},\cdots,c_{1r}),(c_{21},c_{22},\cdots,c_{2r}),\cdots,(c_{n-r,1},c_{n-r,2},\cdots,c_{n-r,r}), $$

从而得到齐次线性方程组(6.4)的n-r个解

$$ \{\begin{aligned}\pmb{\eta}_{1}&=(c_{11},c_{12},\cdots,c_{1r},1,0,\cdots,0),\\\pmb{\eta}_{2}&=(c_{21},c_{22},\cdots,c_{2r},0,1,\cdots,0),\\&\cdots\cdots\cdots\cdots\\\pmb{\eta}_{n-r}&=(c_{n-r,1},c_{n-r,2},\cdots,c_{n-r,r},0,0,\cdots,1).\end{aligned}. $$

我们可以证明 (6.8) 就是齐次线性方程组 (6.4) 的一个基础解系. 显然, 它是线性无关组. 下面我们证明齐次线性方程组 (6.4) 的任意一个解都可以由它线性表出.

设

$$ \boldsymbol{\eta}=\left(c_{1},c_{2},\cdots,c_{r},c_{r+1},c_{r+2},\cdots,c_{n}\right) $$

是齐次线性方程组（6.4）的一个解. 由于 $ \eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{n-r} $ 是齐次线性方程组（6.4）的解, 所以线性组合

$$ c_{r+1}\boldsymbol{\eta}_{1}+c_{r+2}\boldsymbol{\eta}_{2}+\cdots+c_{n}\boldsymbol{\eta}_{n-r} $$

也是齐次线性方程组(6.4)的一个解.

由于向量(6.9)和(6.10)中的后n-r个分量对应相同,均为 $ c_{r+1},c_{r+2},\cdots,c_{n} $,即这两个解的自由未知量有相同的值,所以这两个解相等,即

$$ \boldsymbol{\eta}=c_{r+1}\boldsymbol{\eta}_{1}+c_{r+2}\boldsymbol{\eta}_{2}+\cdots+c_{n}\boldsymbol{\eta}_{n-r}. $$

综上所述，(6.8)是齐次线性方程组(6.4)的一个基础解系，且基础解系所含向量个数等于 $ n-r(A) $.

实际上，定理的证明过程给出了一个具体求基础解系的方法。

定义 6.2. 设齐次线性方程组 (6.2) 的一个基础解系为 $ \eta_{1},\eta_{2},\cdots,\eta_{n-r} $，称

$$ \boldsymbol{\eta}=c_{1}\boldsymbol{\eta}_{1}+c_{2}\boldsymbol{\eta}_{2}+\cdots+c_{n-r}\boldsymbol{\eta}_{n-r} $$

为齐次线性方程组(6.2)的通解或一般解，其中 $ c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{n-r} $为任意常数.

下面我们来讨论一般线性方程组解的结构. 它的解与其对应的齐次线性方程组（即它的导出组）的解有以下关系.

性质 6.3. 设 $ \gamma_{1}, \gamma_{2} $ 是 AX = b 的解，则 $ \gamma_{1} - \gamma_{2} $ 是 AX = 0 的解.

证明 由 $ A\gamma_{1}=b,A\gamma_{2}=b $ , 可得 $ \boldsymbol{A}(\gamma_{1}-\gamma_{2})=\boldsymbol{A}\gamma_{1}-\boldsymbol{A}\gamma_{2}=\boldsymbol{b}-\boldsymbol{b}=\boldsymbol{0} $

性质 6.4. 设 $ \gamma $ 是 AX = b 的解, $ \eta $ 是 AX = 0 的解, 则 $ \gamma + \eta $ 是 AX = b 的解.

证明 由 $ A\gamma = b, A\eta = 0 $，可得 $ A(\gamma + \eta) = A\gamma + A\eta = b + 0 = b $.

根据以上两个性质, 我们可得到一般线性方程组解的结构定理.

定理 6.3. 设 $ \gamma_{0} $ 是线性方程组 (6.1) 的一个解 (通常称为特解)，它的任意一个解 $ \gamma $ 都可以表示成

$$ \gamma=\gamma_{0}+\eta, $$

其中 $ \eta $ 是它的导出组 (6.2) 的一个解. 因此, 对于线性方程组 (6.1) 的任意一个特解 $ \gamma_{0} $, 当 $ \eta $ 取遍它的导出组 (6.2) 的全部解时, (6.11) 就给出了线性方程组 (6.1) 的全部解.

证明 显然, $ \gamma $ 可以表示成

$$ \gamma=\gamma_{0}+(\gamma-\gamma_{0}). $$

由于 $ \gamma $ 为线性方程组 (6.1) 的任意一个解，而 $ \gamma_{0} $ 是线性方程组 (6.1) 的一个特解，由性质 6.3 知， $ \gamma - \gamma_{0} $ 是导出组 (6.2) 的一个解，令 $ \eta = \gamma - \gamma_{0} $，就证明了结论。既然线性方程组 (6.1) 的任意一个解可以表示成 (6.11) 的形式，根据性质 6.4，当 $ \eta $ 取遍它的导出组 (6.2) 的全部解时， $ \gamma = \gamma_{0} + \eta $ 就取遍线性方程组 (6.1) 的全部解。

此定理实际上告诉我们如何求非齐次线性方程组的全部解. 首先, 找出它的一个特解 $ \gamma_{0} $; 其次, 求出其导出组的基础解系 $ \eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{n-r} $; 最后, 写出非齐次线性方程组的通解

$$ \gamma=\gamma_{0}+k_{1}\eta_{1}+k_{2}\eta_{2}+\cdots+k_{n-r}\eta_{n-r}, $$

其中 $ k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{n-r} $ 为任意常数. 由此也可归纳出下面的定理

定理 6.4. 设 $ \gamma_{0} $ 是 n 元非齐次线性方程组 $ AX = b $ 的一个特解， $ \eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{n-r} $ 为其导出组 AX = 0 的基础解系，则

$$ \gamma=\gamma_{0}+k_{1}\eta_{1}+k_{2}\eta_{2}+\cdots+k_{n-r}\eta_{n-r} $$

为非齐次线性方程组 AX = b 的通解或一般解，其中 $ r = r(A) $ 且 $ k_1, k_2, \cdots, k_{n-r} $ 为任意常数.

例题 6.1. 用本节的方法求例题 1.2 中方程组的通解.

解 在例题 1.2 中， $ x_{3}, x_{4}, x_{5} $ 是自由未知量，取 $ x_{3} = x_{4} = x_{5} = 0 $，得到非齐次方程组的一个特解 $ \gamma_{0} = (6, -4, 0, 0, 0) $。对应的齐次方程组与下列齐次方程组同解

$$ \{\begin{aligned}x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}&=0,\\ x_{2}-x_{3}-x_{4}-5x_{5}&=0.\end{aligned}. $$

依次令 $ (x_{3}, x_{4}, x_{5}) = (1, 0, 0) $, $ (0, 1, 0) $, $ (0, 0, 1) $，得到齐次线性方程组的基础解系

$$ \begin{aligned}\eta_{1}&=(-2,1,1,0,0),\\\eta_{2}&=(-2,1,0,1,0),\\\eta_{3}&=(-6,5,0,0,1).\end{aligned} $$

故得非齐次线性方程组的通解为

$$ \begin{aligned}\gamma&=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})\\ &=(6,-4,0,0,0)+k_{1}(-2,1,1,0,0)+k_{2}(-2,1,0,1,0)+k_{3}(-6,5,0,0,1),\end{aligned} $$

这里 $ k_{1}, k_{2}, k_{3} $ 为任意常数. 容易算得

$$ (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})=(-2k_{1}-2k_{2}-6k_{3}+6,k_{1}+k_{2}+5k_{3}-4,k_{1},k_{2},k_{3}), $$

此与例题 1.2 中的结果一致.

例题 6.2. 解非齐次线性方程组

$$ \{\begin{aligned}x_{1}-x_{2}-x_{3}+x_{4}&=0,\\ x_{1}-x_{2}+x_{3}-3x_{4}&=1,\\ x_{1}-x_{2}-2x_{3}+3x_{4}&=-\frac{1}{2}.\end{aligned}. $$

解 对增广矩阵 $ \tilde{A} $ 作初等行变换，即

$$ \begin{aligned}\widetilde{\boldsymbol{A}}&=\begin{pmatrix}{{{1}}}&{{{-1}}}&{{{-1}}}&{{{1}}}&{{{0}}} \\{{{1}}}&{{{-1}}}&{{{1}}}&{{{-3}}}&{{{1}}} \\{{{1}}}&{{{-1}}}&{{{-2}}}&{{{3}}}&{{{-\frac{1}{2}}}}\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}{{{1}}}&{{{-1}}}&{{{-1}}}&{{{1}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{2}}}&{{{-4}}}&{{{1}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{-1}}}&{{{2}}}&{{{-\frac{1}{2}}}}\end{pmatrix}\\&\rightarrow\begin{pmatrix}{{{1}}}&{{{-1}}}&{{{-1}}}&{{{1}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{-1}}}&{{{2}}}&{{{-\frac{1}{2}}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{2}}}&{{{-4}}}&{{{1}}}\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}{{{1}}}&{{{-1}}}&{{{-1}}}&{{{1}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{-1}}}&{{{2}}}&{{{-\frac{1}{2}}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}\end{pmatrix}.\end{aligned} $$

可知 $ r(\tilde{A}) = r(A) = 2 $，故方程组有解，我们有

$$ \{\begin{aligned}x_{1}-x_{2}-x_{3}+x_{4}&=0,\\ -x_{3}+2x_{4}&=-\frac{1}{2}.\end{aligned}. $$

由于 $ n - r(A) = 2 $，所以取自由未知量 $ x_{2}, x_{4} $，得到

$$ \{\begin{aligned}x_{1}&=x_{2}+x_{4}+\frac{1}{2},\\ x_{3}&=2x_{4}+\frac{1}{2}.\end{aligned}. $$

取 $ x_2 = x_4 = 0 $，得 $ x_1 = x_3 = \frac{1}{2} $，即得原方程组的一个特解 $ \gamma_0 = \left(\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}, 0\right) $.

对应的齐次方程组为

$$ \{\begin{aligned}x_{1}&=x_{2}+x_{4},\\ x_{3}&=2x_{4}.\end{aligned}. $$

分别取 $ (x_{2},x_{4})=(1,0),(0,1) $，则有 $ (x_{1},x_{3})=(1,0),(1,2) $，即得对应的齐次方程组的基础解系为

$$ \eta_{1}=(1,1,0,0),\quad\eta_{2}=(1,0,2,1). $$

于是所求的非齐次方程组的通解为

$$ (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=\gamma_{0}+k_{1}\eta_{1}+k_{2}\eta_{2}=\left(\frac{1}{2},0,\frac{1}{2},0\right)+k_{1}(1,1,0,0)+k_{2}(1,0,2,1), $$

这里 $ k_{1}, k_{2} $ 为任意常数.

习题四

1. 解下列线性方程组：

$$ \{\begin{aligned}x_{1}+2x_{2}-5x_{3}+4x_{4}+x_{5}&=4,\\ 3x_{1}+7x_{2}-x_{3}-3x_{4}+2x_{5}&=10,\\ -x_{2}-13x_{3}-2x_{4}+x_{5}&=-14,\\ x_{3}-16x_{4}+2x_{5}&=-11,\\ 2x_{4}+5x_{5}&=12;\end{aligned}. $$

(2)

$$ \{\begin{aligned}x_{1}+2x_{2}+3x_{3}+4x_{4}&=0,\\ 7x_{1}+14x_{2}+20x_{3}+27x_{4}&=0,\\ 5x_{1}+10x_{2}+16x_{3}+19x_{4}&=-2,\\ 3x_{1}+5x_{2}+6x_{3}+13x_{4}&=5.\end{aligned}. $$

1. 设 $ \beta = (1,2,1,1) $， $ \alpha_{1} = (1,1,1,1) $， $ \alpha_{2} = (1,1,-1,-1) $， $ \alpha_{3} = (1,-1,1,-1) $， $ \alpha_{4} = (1,-1,-1,1) $。试将 $ \beta $ 表示成向量 $ \alpha_{1} $， $ \alpha_{2} $， $ \alpha_{3} $， $ \alpha_{4} $ 的线性组合。

1. 设 $ \alpha_{1}=(3,-1,1) $, $ \alpha_{2}=(1,1,2) $, $ \alpha_{3}=(1,-3,-3) $, $ \alpha_{4}=(4,0,5) $.

(1) 证明： $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4} $ 线性相关；

(2) 证明： $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{4} $ 线性无关.

1. 设向量组 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} $ 线性无关. 证明: 向量组 $ \alpha_{1}, \alpha_{1} + \alpha_{2}, \alpha_{1} + \alpha_{2} + \alpha_{3} $ 也线性无关.

1. 证明：向量组 $ \alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s} $ 与向量组 $ \beta_{1}=\alpha_{2}+\alpha_{3}+\cdots+\alpha_{s},\beta_{2}=\alpha_{1}+\alpha_{3}+\cdots+\alpha_{s},\cdots,\beta_{s}=\alpha_{1}+\alpha_{2}+\cdots+\alpha_{s-1} $ 等价.

1. 在 $ \mathbb{R}^{3} $ 中，求由基 $ \alpha_{1}=(1,2,-1) $， $ \alpha_{2}=(1,-1,1) $， $ \alpha_{3}=(-1,2,1) $ 到基 $ \beta_{1}=(2,0,1) $， $ \beta_{2}=(0,1,1) $， $ \beta_{3}=(1,-1,2) $ 的过渡矩阵.

1. 已知 $ \alpha_{1}=(1,0,0) $, $ \alpha_{2}=(1,1,0) $, $ \alpha_{3}=(1,1,1) $ 和 $ \beta_{1}=(1,2,3) $, $ \beta_{2}=(2,3,1) $, $ \beta_{3}=(3,1,2) $ 是 $ R^{3} $ 的两组基.

(1) 求从基 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} $ 到基 $ \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3} $ 的过渡矩阵；

(2) 分别求向量 $ \alpha = (1, 0, 1) $ 在这两组基下的坐标.

1. 在 $ \mathbb{R}^{3} $ 中求向量 $ \alpha = (3,7,1) $ 在基 $ \alpha_{1} = (1,3,5) $, $ \alpha_{2} = (6,3,2) $, $ \alpha_{3} = (3,1,0) $ 下的坐标.

1. 在 $ \mathbb{R}^{4} $ 中找一个向量 $ \gamma $，使它在标准基 $ \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}, \varepsilon_{4} $ 和基 $ \beta_{1} = (2,1,-1,1) $, $ \beta_{2} = (0,3,1,0) $, $ \beta_{3} = (5,3,2,1) $, $ \beta_{4} = (6,6,1,3) $ 下有相同的坐标.

1. 在 $ \mathbb{R}^{3} $ 中，求由基 $ \epsilon_{1} = (1,1,1), \epsilon_{2} = (1,1,-1), \epsilon_{3} = (1,-1,1) $ 到基 $ \eta_{1} = (1,1,0), \eta_{2} = (2,1,3), \eta_{3} = (0,1,-1) $ 的过渡矩阵，并求向量 $ \xi = (3,5,0) $ 在基 $ \eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{3} $ 下的坐标.

11、设向量组 $ \boldsymbol{\xi}_{1}=(1,-1,2,4) $， $ \boldsymbol{\xi}_{2}=(0,3,1,2) $， $ \boldsymbol{\xi}_{3}=(3,0,7,14) $， $ \boldsymbol{\xi}_{4}=(1,-1,2,0) $， $ \boldsymbol{\xi}_{5}=(2,1,5,6) $。

(1) 证明： $ \xi_{1}, \xi_{2} $ 线性无关；

(2) 求向量组中包含 $ \xi_{1}, \xi_{2} $ 的极大线性无关组.

1. 设 $ \alpha_{1}=(2,1,2,2,-4) $， $ \alpha_{2}=(1,1,-1,0,2) $， $ \alpha_{3}=(0,1,2,1,-1) $， $ \alpha_{4}=(-1,-1,-1,-1,1) $， $ \alpha_{5}=(1,2,1,1,1) $。试确定向量组 $ \alpha_{1} $， $ \alpha_{2} $， $ \alpha_{3} $， $ \alpha_{4} $， $ \alpha_{5} $ 的秩和极大线性无关组。

1. 证明：若向量组(I)可由向量组(II)线性表出，则向量组(I)的秩不超过向量组(II)的秩.

1. 设 A, B 都是 $ m \times n $ 矩阵，证明： $ r(A + B) \leq r(A) + r(B) $.

1. 设 A 是 $ m \times n $ 矩阵，证明： $ r(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}})=r(\boldsymbol{A}) $

1. 设 A, B 均为 $ n \times n $ 矩阵，且 AB = 0. 证明： $ r(A) + r(B) \leq n $.

1. 设 A 为 $ n \times n $ 矩阵，且 $ A^{2} = A $. 证明： $ r(A) + r(A - E) = n $.

1. 设 $ \eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{n-r} $ 为齐次线性方程组 AX = 0 的一个基础解系，这里 $ r = r(A) $. 证明：与 $ \eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{n-r} $ 等价的线性无关的向量组 $ \gamma_{1}, \gamma_{2}, \cdots, \gamma_{n-r} $ 仍是 AX = 0 的一个基础解系.

1. 求下列齐次线性方程组的一个基础解系，并写出通解：

(1)

$$ \{\begin{aligned}x_{1}+2x_{2}+x_{3}-x_{4}&=0,\\ 3x_{1}+6x_{2}-x_{3}-3x_{4}&=0,\\ 5x_{1}+10x_{2}+x_{3}-5x_{4}&=0;\end{aligned}. $$

(2)

$$ \{\begin{aligned}x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}&=0,\\ 3x_{1}+2x_{2}+x_{3}+x_{4}-3x_{5}&=0,\\ x_{2}+2x_{3}+2x_{4}+6x_{5}&=0,\\ 5x_{1}+4x_{2}+3x_{3}+3x_{4}-x_{5}&=0;\end{aligned}. $$

(3)

$$ \{\begin{aligned}&3x_{1}+4x_{2}+x_{3}+2x_{4}+3x_{5}=0,\\ &5x_{1}+7x_{2}+x_{3}+3x_{4}+4x_{5}=0,\\ &4x_{1}+5x_{2}+2x_{3}+x_{4}+5x_{5}=0,\\ &7x_{1}+10x_{2}+x_{3}+6x_{4}+5x_{5}=0.\end{aligned}. $$

20. 设线性方程组为

$$ \{\begin{aligned}2x_{1}-x_{2}+3x_{3}+2x_{4}&=0,\\ 9x_{1}-x_{2}+14x_{3}+2x_{4}&=1,\\ 3x_{1}+2x_{2}+5x_{3}-4x_{4}&=1,\\ 4x_{1}+5x_{2}+7x_{3}-10x_{4}&=2.\end{aligned}. $$

(1) 求方程组导出组的一个基础解系；

(2) 用特解和导出组的基础解系表示方程组的所有解.

1. 求下列非齐次线性方程组的通解：

(1)

$$ \{\begin{aligned}2x_{1}+7x_{2}+3x_{3}+x_{4}&=6,\\ 3x_{1}+5x_{2}+2x_{3}+2x_{4}&=4,\\ 9x_{1}+4x_{2}+x_{3}+7x_{4}&=2,\\ x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}&=7;\end{aligned}. $$

(2)

$$ \{\begin{aligned}3x_{1}+2x_{2}+x_{3}+x_{4}-3x_{5}&=-2,\\ x_{2}+2x_{3}+2x_{4}+6x_{5}&=23,\\ 5x_{1}+4x_{2}+3x_{3}+3x_{4}-x_{5}&=12;\end{aligned}. $$

$$ 12x_{1}+14x_{2}-15x_{3}+23x_{4}+27x_{5}=5, $$

(3)

$$ \{\begin{aligned}16x_{1}&+18x_{2}-22x_{3}+29x_{4}+37x_{5}=8,\\ 18x_{1}&+20x_{2}-21x_{3}+32x_{4}+41x_{5}=9,\\ 10x_{1}&+12x_{2}-16x_{3}+20x_{4}+23x_{5}=4;\end{aligned}. $$

(4)

$$ \{\begin{aligned}2x_{1}+5x_{2}+x_{3}+3x_{4}&=2,\\ 4x_{1}+6x_{2}+3x_{3}+5x_{4}&=4,\\ 4x_{1}+14x_{2}+x_{3}+7x_{4}&=4,\\ 2x_{1}-3x_{2}+3x_{3}+6x_{4}&=7.\end{aligned}. $$

1. 已知线性方程组

$$ \{\begin{aligned}x_{1}+x_{2}-2x_{3}+3x_{4}&=0,\\ 2x_{1}+x_{2}-6x_{3}+4x_{4}&=-1,\\ 3x_{1}+2x_{2}+px_{3}+7x_{4}&=-1,\\ x_{1}-x_{2}-6x_{3}-x_{4}&=t.\end{aligned}. $$

讨论参数 p, t 取何值时，方程组有解，无解；有解时，试用导出组的基础解系表示通解。

1. 设 $ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s} $ 为线性方程组 AX = 0 的一个基础解系： $ \beta_{1} = t_{1}\alpha_{1} + t_{2}\alpha_{2} $， $ \beta_{2} = t_{1}\alpha_{2} + t_{2}\alpha_{3} $， $ \cdots $， $ \beta_{s} = t_{1}\alpha_{s} + t_{2}\alpha_{1} $，其中 $ t_{1}, t_{2} $ 为实常数。试问 $ t_{1}, t_{2} $ 满足什么关系时， $ \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{s} $ 也为 AX = 0 的一个基础解系。

1. 设 $ A $ 是 $ n $ 阶矩阵, 证明: 非齐次线性方程组 $ AX = b $ 对任何 $ b $ 都有解的充要条件是 $ |A| \ne 0 $.

1. 对于 $ \lambda $ 不同的值，判断下列方程组是否有解，有解时求出全部的解：

(1)

$$ \{\begin{aligned}\lambda x_{1}+x_{2}+x_{3}&=1,\\ x_{1}+\lambda x_{2}+x_{3}&=1,\\ x_{1}+x_{2}+\lambda x_{3}&=1;\end{aligned}. $$

(2)

$$ \{\begin{aligned}&(1+\lambda)x_{1}+x_{2}+x_{3}=1,\\ &x_{1}+(1+\lambda)x_{2}+x_{3}=\lambda,\\ &x_{1}+x_{2}+(1+\lambda)x_{3}=\lambda^{2};\end{aligned}. $$

(3)

$$ \{\begin{array}{r}(3-2\lambda)x_{1}+(2-\lambda)x_{2}+x_{3}=\lambda,\\ (2-\lambda)x_{1}+(2-\lambda)x_{2}+x_{3}=1,\\ x_{1}+x_{2}+(2-\lambda)x_{3}=1.\end{array}. $$

1. 设 A 为 $ m \times n $ 矩阵，证明：若任一个 n 维向量都是 AX = 0 的解，则 A = 0.

1. 设有方程组

$$ \{\begin{aligned}x_{1}-x_{2}&=a_{1},\\ x_{2}-x_{3}&=a_{2},\\ x_{3}-x_{4}&=a_{3},\\ x_{4}-x_{5}&=a_{4},\\ x_{5}-x_{1}&=a_{5}.\end{aligned}. $$

证明：方程组有解的充要条件为

$$ \sum_{i=1}^{5}a_{i}=0. $$

在有解的情况下，求出它的一般解.

1. 设 $ \eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{t} $ 是非齐次线性方程组 AX = b 的解. 证明:

$$ k_{1}\boldsymbol{\eta}_{1}+k_{2}\boldsymbol{\eta}_{2}+\cdots+k_{t}\boldsymbol{\eta}_{t} $$

也是 AX = b 的一个解的充要条件是 $ k_{1} + k_{2} + \cdots + k_{t} = 1 $.

1. 设 A 为 $ n (n \geqslant 2) $ 阶方阵，那么

$$ r(\boldsymbol{A}^{*})=\{\begin{aligned}&n,&r(\boldsymbol{A})=n,\\ &1,&r(\boldsymbol{A})=n-1,\\ &0,&r(\boldsymbol{A})\lt n-1.\end{aligned}. $$

第四章 自测题