第六章 二次型与二次曲面

第六章 二次型与二次曲面

含有 n 个变量且每一项都是二次的多项式称为 n 元二次型. 虽然二次型作为多项式是二次的, 但研究它的一个有力工具是矩阵, 所以二次型的初等理论被认为是线性代数的重要内容. 这里, 首先讨论用配方法化二次型为平方和的问题, 然后讨论实二次型的问题, 包括惯性定理和正定二次型的判别法则. 这些内容可用于数学的其他分支和物理学等. 在这里, 总假设 F 为一个数域.

§6.1 二次型及其标准形

1. 二次型及其矩阵

定义 1.1. 含有 n 个变量 $ x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} $ 且系数属于数域 F 的二次齐次多项式

$$ \begin{aligned}f(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})&=a_{11}x_{1}^{2}+2a_{12}x_{1}x_{2}+\cdots+2a_{1n}x_{1}x_{n}\\&\quad+a_{22}x_{2}^{2}+\cdots+2a_{2n}x_{2}x_{n}\\&\quad+\cdots\\&\quad+a_{nn}x_{n}^{2}\end{aligned} $$

称为关于数域 F 的一个 n 元二次型，简称二次型. $ F = \mathbb{R} $ 时的二次型称为实二次型， $ F = \mathbb{C} $ 时的二次型称为复二次型.

注意 这里非平方项的系数采用 $ 2a_{ij} $ 主要是为了便于用矩阵表示二次型. 例如

$$ f(x_{1},x_{2})=x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+2x_{2}^{2}, $$

$$ g(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})=x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+\cdots+x_{n-1}x_{n}, $$

$$ h(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2} $$

都是实（复）二次型.

下面我们给出二次型的另一种表达方式. 令

$$ a_{ij}=a_{ji}\ (i\lt j), $$

则 $ 2a_{ij}x_{i}x_{j}=a_{ij}x_{i}x_{j}+a_{ji}x_{j}x_{i} $. 于是，上述表达式变为

$$ \begin{aligned}f(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})&=a_{11}x_{1}^{2}+a_{12}x_{1}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{1}x_{n}+\\&\quad a_{21}x_{2}x_{1}+a_{22}x_{2}^{2}+\cdots+a_{2n}x_{2}x_{n}+\cdots+\\&\quad a_{n1}x_{n}x_{1}+a_{n2}x_{n}x_{2}+\cdots+a_{nn}x_{n}^{2}\\&=x_{1}(a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n})+\\&\quad x_{2}(a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n})+\cdots+\\&\quad x_{n}(a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots+a_{nn}x_{n})\\&=(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})\begin{pmatrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}\\\vdots\\a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots+a_{nn}x_{n}\end{pmatrix}\\&=(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots\\x_{n}\end{pmatrix},\end{aligned} $$

其中矩阵

$$ \boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix} $$

为对称矩阵. 若记

$$ \mathbf{X}=\left(\begin{array}{c}{x_{1}}\\ {x_{2}}\\ {\vdots}\\ {x_{n}}\end{array}\right), $$

则二次型可简写成

$$ f(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})=\boldsymbol{X}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{X}. $$

由于 $ a_{ij} = a_{ji} $，所以矩阵 A 是由二次型唯一确定的对称矩阵，称为二次型 $ f(x_1, x_2, \cdots, x_n) $ 的矩阵。反过来，有了对称矩阵 A，二次型 $ f(x_1, x_2, \cdots, x_n) = X^{\mathrm{T}}AX $ 也就唯一确定。于是，上边的三个二次型就可以分别写成

$$ f(x_{1},x_{2})=(x_{1},x_{2})\begin{pmatrix}1&1\\ 1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\ x_{2}\end{pmatrix}, $$

$$ g(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})=(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})\left(\begin{array}{c c c c c c}{{0}}&{{\frac{1}{2}}}&{{0}}&{{0}}&{{\cdots}}&{{0}}&{{0}}\\ {{\frac{1}{2}}}&{{0}}&{{\frac{1}{2}}}&{{0}}&{{\cdots}}&{{0}}&{{0}}\\ {{0}}&{{\frac{1}{2}}}&{{0}}&{{0}}&{{\cdots}}&{{0}}&{{0}}\\ {{\vdots}}&{{\vdots}}&{{\vdots}}&{{\vdots}}&{{}}&{{\vdots}}&{{\vdots}}\\ {{0}}&{{0}}&{{0}}&{{0}}&{{\cdots}}&{{0}}&{{\frac{1}{2}}}\\ {{0}}&{{0}}&{{0}}&{{0}}&{{\cdots}}&{{\frac{1}{2}}}&{{0}}\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}{{x_{1}}}\\ {{x_{2}}}\\ {{\vdots}}\\ {{x_{n}}}\end{array}\right), $$

$$ h(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})=(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})\begin{pmatrix}1&&&&\\&1&&&\\&&\ddots&&\\&&&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots\\x_{n}\end{pmatrix}. $$

二次型的基本问题是二次型的化简.

定义 1.2. 所谓数域 F 上由变量 $ x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} $ 到变量 $ y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n} $ 的线性替换是指形如

$$ \{\begin{aligned}x_{1}&=c_{11}y_{1}+c_{12}y_{2}+\cdots+c_{1n}y_{n},\\ x_{2}&=c_{21}y_{1}+c_{22}y_{2}+\cdots+c_{2n}y_{n},\\ &\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\ x_{n}&=c_{n1}y_{1}+c_{n2}y_{2}+\cdots+c_{n n}y_{n}\end{aligned}. $$

的一组表达式，其中所有的 $ c_{ij} $ 都在 F 内.

若系数矩阵

$$ \boldsymbol{C}=\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&\cdots&c_{1n}\\c_{21}&c_{22}&\cdots&c_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\c_{n1}&c_{n2}&\cdots&c_{nn}\end{pmatrix} $$

可逆，则上述的线性替换称为非退化的线性替换或可逆的线性替换.

显然, 若上面的线性替换是非退化的, 则 $ y_1, y_2, \cdots, y_n $ 也可以写成 $ x_1, x_2, \cdots, x_n $ 的线性表达式. 令

$$ \mathbf{Y}=\begin{pmatrix}y_{1}\\ y_{2}\\ \vdots\\ y_{n}\end{pmatrix}, $$

则上边的线性替换可写成

$$ \boldsymbol{X}=C\boldsymbol{Y}, $$

于是

$$ \boldsymbol{Y}=\boldsymbol{C}^{-1}\boldsymbol{X} $$

也是一个线性替换. 这样, 如果二次型 $ f(x_1, x_2, \cdots, x_n) $ 经非退化的线性替换 $ X = CY $ 化成 $ g(y_1, y_2, \cdots, y_n) $, 那么 $ g(y_1, y_2, \cdots, y_n) $ 也可经线性替换 $ Y = C^{-1}X $ 化成 $ f(x_1, x_2, \cdots, x_n) $.

一般认为，只有平方项的二次型最简单。所以二次型的基本问题是研究如何用非退化线性替换把二次型化成只有平方项的问题，简称为二次型化平方和问题。这种只含平方项的二次型，称为二次型的标准形。

设给定的二次型为

$$ f(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})=\boldsymbol{X}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{X}. $$

作一个非退化的线性替换

$$ \boldsymbol{X}=C\boldsymbol{Y}, $$

就有

$$ f(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})=(\boldsymbol{C}\boldsymbol{Y})^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}(\boldsymbol{C}\boldsymbol{Y})=\boldsymbol{Y}^{\mathrm{T}}(\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{C})\boldsymbol{Y}=g(y_{1},y_{2},\cdots,y_{n}). $$

此时，若用 B 表示二次型 $ g(y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}) $ 的矩阵，则由

$$ (C^{\mathrm{T}}A C)^{\mathrm{T}}=C^{\mathrm{T}}A^{\mathrm{T}}(C^{\mathrm{T}})^{\mathrm{T}}=C^{\mathrm{T}}A C, $$

可知 $ C^{T}AC $ 对称，从而有

$$ \boldsymbol{B}=\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{C}, $$

其中 C 为可逆矩阵.

定义 1.3. 设 A, B 为两个 $ n \times n $ 矩阵，若有可逆矩阵 C，使

$$ \boldsymbol{B}=\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{C}, $$

则称 A 合同于 B.

于是，我们得到了矩阵间的又一个关系：合同。与矩阵的等价关系一样，合同关系也满足下列三条性质：

(1) 反身性：A 合同于 A. 这是因为 $ A = E^{T} A E $.

(2) 对称性: 若 A 合同于 B, 则 B 合同于 A. 这是因为若 $ B = C^{T}AC $, 且 C 可逆, 有 $ \boldsymbol{A} = (C^{-1})^{\mathrm{T}}BC^{-1} $.

(3) 传递性：若 A 合同于 B, B 合同于 C, 则 A 合同于 C. 因为若有 $ B = C_{1}^{T}AC_{1} $, $ C = C_{2}^{T}BC_{2} $, $ C_{1}, C_{2} $ 可逆，则 $ C_{1}C_{2} $ 可逆且有 $ \boldsymbol{C} = (C_{1}C_{2})^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} (C_{1}C_{2}) $.

总结上述讨论，得到下列定理.

定理 1.1. 经过非退化的线性替换之后，原二次型的矩阵合同于新二次型的矩阵.

因此，对于矩阵而言，二次型化平方和的问题即为求一对角矩阵 B，使 A, B 合同.

1. 化二次型为标准形

上一章我们曾证明，若 A 为 $ n \times n $ 实对称矩阵，则有正交矩阵 T，使

$$ \boldsymbol{T}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{T}=\boldsymbol{B} $$

为实对角矩阵. 由于 T 为正交矩阵, 故 $ T^{-1} = T^{T} $. 因此, $ T^{T} A T = T^{-1} A T = B $, 故 B 与 A 不但相似, 而且合同. 把这个事实应用于二次型, 我们得到如下定理.

定理 1.2. 设 $ f(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}) = \boldsymbol{X}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{X} $ 为实二次型，则可作一个非退化的线性替换

$$ \{\begin{array}{l}x_{1}=c_{11}y_{1}+c_{12}y_{2}+\cdots+c_{1n}y_{n},\\x_{2}=c_{21}y_{1}+c_{22}y_{2}+\cdots+c_{2n}y_{n},\\\quad\cdots\cdots\cdots\cdots.\\x_{n}=c_{n1}y_{1}+c_{n2}y_{2}+\cdots+c_{n n}y_{n},\end{array}. $$

其中

$$ \boldsymbol{C}=\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&\cdots&c_{1n}\\c_{21}&c_{22}&\cdots&c_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\c_{n1}&c_{n2}&\cdots&c_{nn}\end{pmatrix} $$

为正交矩阵，把 $ f(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}) $ 化成标准形 $ \lambda_{1}y_{1}^{2}+\lambda_{2}y_{2}^{2}+\cdots+\lambda_{n}y_{n}^{2} $，这里 $ \lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n} $ 都是 $ f(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}) $ 的矩阵 A 的特征值.

由定理1.2 可知，对于实数域的情形，我们不但可通过非退化线性替换把二次型化成标准形，而且可以通过正交变换（即 X = TY，T 为正交矩阵时的线性替换称为正交变换）把它化成标准形。后边的这个结论在几何学和力学中相当有用。

例题 1.1. 试用正交变换将二次型

$$ f(x_{1},x_{2},x_{3})=2x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+4x_{1}x_{2}+4x_{2}x_{3} $$

化为标准形.

解 先写出二次型的矩阵

$$ \boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}2&2&0\\2&1&2\\0&2&0\end{pmatrix}, $$

再求出对称矩阵 A 的特征值和单位正交的特征向量, 从而求出正交矩阵 C. 矩阵 A 的特征多项式为

$$ \begin{aligned}\left|\begin{matrix}{{{\lambda-2}}}&{{{-2}}}&{{{0}}} \\{{{-2}}}&{{{\lambda-1}}}&{{{-2}}} \\{{{0}}}&{{{-2}}}&{{{\lambda}}}\end{matrix}\right|&=(\lambda-1)(\lambda+2)(\lambda-4),\end{aligned} $$

由此得特征值 $ \lambda_{1}=1,\lambda_{2}=-2,\lambda_{3}=4 $.

将 $ \lambda_{1}=1 $ 代入齐次线性特征方程组 $ (\lambda_{1}E-A)X=0 $ 中，得

$$ \{\begin{array}{l}-x_{1}-2x_{2}=0,\\ -2x_{1}-2x_{3}=0,\\ -2x_{2}+x_{3}=0.\end{array}. $$

由此求得单位特征向量 $ \eta_{1} = \left(-\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right)^{\mathrm{T}} $，同样可求得单位特征向量 $ \eta_{2} = \left(\frac{1}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right)^{\mathrm{T}}, \eta_{3} = \left(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{3}\right)^{\mathrm{T}} $。由于它们是属于不同特征值的特征向量，故它们正交。从而得到正交矩阵

$$ \boldsymbol{C}=\begin{pmatrix}-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{pmatrix}. $$

最后，通过正交变换 X = CY，原二次型

$$ \begin{aligned}f&=\boldsymbol{X}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{X}\\&=\boldsymbol{Y}^{\mathrm{T}}(\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{C})\boldsymbol{Y}\\&=(y_{1},y_{2},y_{3})\begin{pmatrix}{{{1}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{-2}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{4}}}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{{{y_{1}}}} \\{{{y_{2}}}} \\{{{y_{3}}}}\end{pmatrix}\\&=y_{1}^{2}-2y_{2}^{2}+4y_{3}^{2}.\end{aligned} $$

把二次型化为标准形的第二种方法是配方法，这是中学学过的方法.

例题 1.2. 试用配方法把二次型 $ f(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+4x_{1}x_{2}+2x_{1}x_{3}+6x_{2}x_{3} $ 化成标准形.

解

$$ \begin{aligned}f(x_{1},x_{2},x_{3})&=x_{1}^{2}+2x_{1}(2x_{2}+x_{3})+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+6x_{2}x_{3}\\&=(x_{1}+2x_{2}+x_{3})^{2}-(2x_{2}+x_{3})^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+6x_{2}x_{3}\end{aligned} $$

$$ \begin{aligned}&=(x_{1}+2x_{2}+x_{3})^{2}-3x_{2}^{2}+2x_{2}x_{3}\\&=(x_{1}+2x_{2}+x_{3})^{2}-3\left(x_{2}^{2}-\frac{2x_{2}x_{3}}{3}+\frac{x_{3}^{2}}{9}\right)+\frac{x_{3}^{2}}{3}\\&=(x_{1}+2x_{2}+x_{3})^{2}-3\left(x_{2}-\frac{x_{3}}{3}\right)^{2}+\frac{x_{3}^{2}}{3}.\end{aligned} $$

显然

$$ \{\begin{aligned}y_{1}&=x_{1}+2x_{2}+x_{3},\\ y_{2}&=x_{2}-\frac{1}{3}x_{3},\\ y_{3}&=x_{3},\end{aligned}.\quad 即 \quad\{\begin{aligned}x_{1}&=y_{1}-2y_{2}-\frac{5}{3}y_{3},\\ x_{2}&=y_{2}+\frac{1}{3}y_{3},\\ x_{3}&=y_{3}\end{aligned}. $$

是一个非退化的线性替换. 它把原二次型化成了标准形, 即

$$ f=y_{1}^{2}-3y_{2}^{2}+\frac{1}{3}y_{3}^{2}. $$

上面的配方法有一般性，我们有定理（证明不作要求，从略）如下所述.

定理 1.3. 数域 F 上的任意一个二次型都可以经非退化线性替换化成标准形.

根据这个定理, 任意二次型 $ f(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}) $ 都可作一个非退化线性替换使之成为标准形, 即

$$ f=d_{1}y_{1}^{2}+d_{2}y_{2}^{2}+\cdots+d_{n}y_{n}^{2}. $$

标准形的矩阵为对角矩阵

$$ \begin{pmatrix}d_{1}&&&\\&d_{2}&&\\&&\ddots&\\&&&d_{n}\end{pmatrix}, $$

所以，定理1.3也可表述成定理1.4.

定理 1.4. 数域 F 上的任意对称矩阵都合同于一个对角矩阵.

例题 1.3. 把下面的二次型化成标准形

$$ f(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}x_{2}+2x_{1}x_{3}+4x_{2}x_{3}. $$

解 作非退化的线性替换

$$ \{\begin{aligned}x_{1}&=y_{1}+y_{2},\\ x_{2}&=y_{1}-y_{2},\\ x_{3}&=y_{3},\end{aligned}. $$

代入原二次型得

$$ \begin{aligned}f&=y_{1}^{2}-y_{2}^{2}+2(y_{1}+y_{2})y_{3}+4(y_{1}-y_{2})y_{3}\\&=y_{1}^{2}-y_{2}^{2}+6y_{1}y_{3}-2y_{2}y_{3}\\&=y_{1}^{2}+6y_{1}y_{3}+9y_{3}^{2}-y_{2}^{2}-2y_{2}y_{3}-9y_{3}^{2}\\&=(y_{1}+3y_{3})^{2}-(y_{2}^{2}+2y_{2}y_{3}+y_{3}^{2})-8y_{3}^{2}.\\ \end{aligned} $$

令

$$ \{\begin{array}{l}z_{1}=y_{1}+3y_{3},\\ z_{2}=y_{2}+y_{3},\\ z_{3}=y_{3},\end{array}. $$

则

$$ f=z_{1}^{2}-z_{2}^{2}-8z_{3}^{2}. $$

由 $ x_{1}, x_{2}, x_{3} $ 到 $ z_{1}, z_{2}, z_{3} $ 的线性替换为

$$ \{\begin{aligned}x_{1}&=z_{1}+z_{2}-4z_{3},\\ x_{2}&=z_{1}-z_{2}-2z_{3},\\ x_{3}&=z_{3}.\end{aligned}. $$

记原二次型的矩阵为 A, 化成标准形后的矩阵为 B, 线性替换的矩阵为 C, 则

$$ \boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}0&\frac{1}{2}&1\\\frac{1}{2}&0&2\\1&2&0\end{pmatrix},\quad\boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}1&&\\&-1&\\&&-8\end{pmatrix},\quad\boldsymbol{C}=\begin{pmatrix}1&1&-4\\1&-1&-2\\0&0&1\end{pmatrix}. $$

经计算，确有

$$ \boldsymbol{C}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{C}=\boldsymbol{B}. $$

设 $ f(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}) $ 化成标准形后成为

$$ g(y_{1},y_{2},\cdots,y_{n})=d_{1}y_{1}^{2}+d_{2}y_{2}^{2}+\cdots+d_{n}y_{n}^{2}. $$

必要时可把 $ y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n} $ 重新编号，故不妨设上式中前 r 个 $ d_{i} $ 不为 0，而 $ d_{r+1}= $

$ d_{r+2}=\cdots=d_{n}=0 $. 这说明矩阵

$$ \boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}d_{1}&&&&\\&\ddots&&&\\&&d_{r}&&\\&&&0&\\&&&&\ddots&\\&&&&&0\end{pmatrix} $$

的秩为 r. 由于 B 作为 $ g(y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}) $ 的矩阵与原二次型 $ f(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}) $ 的矩阵 A 合同, 所以

$$ r(\boldsymbol{B})=r(\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{C})=r(\boldsymbol{A}), $$

即 B 与 A 有相同的秩. 这样可得定理 1.5.

定理 1.5. 设二次型 $ f(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}) $ 的矩阵 A 的秩为 r，则化成标准形后，正好有 r 个平方项不为零.

今后把二次型 $ f(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}) $ 的矩阵 A 的秩也称为该二次型的秩.

1. 规范形

在 F = C 为复数域的情形中进一步讨论. 若经过非退化的线性替换已得到标准形

$$ f=d_{1}y_{1}^{2}+d_{2}y_{2}^{2}+\cdots+d_{r}y_{r}^{2}, $$

这里 $ d_{1}, d_{2}, \cdots, d_{r} $ 均不为0. 由于复数均可以开平方，那么令

$$ y_{i}=\{\begin{aligned}{}&{{}\frac{1}{\sqrt{d_{i}}}z_{i},}&{}&{{}i=1,2,\cdots,r,}\\ {}&{{}z_{i},}&{}&{{}i=r+1,r+2,\cdots,n,}\\ \end{aligned}. $$

即

$$ \left(\begin{array}{c}{z_{1}}\\ {\vdots}\\ {z_{r}}\\ {z_{r+1}}\\ {\vdots}\\ {z_{n}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c c c c c}{\sqrt{d_{1}}}&&&&\\ &{\ddots}&&&\\ &&{\sqrt{d_{r}}}&&\\ &&&{1}&\\ &&&&{\ddots}\\ &&&&&{1}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{y_{1}}\\ {\vdots}\\ {y_{r}}\\ {y_{r+1}}\\ {\vdots}\\ {y_{n}}\end{array}\right). $$

则它是非退化的线性替换，且有

$$ f=z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+\cdots+z_{r}^{2}. $$

此处， $ z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+\cdots+z_{r}^{2} $ 称为复二次型 f 的规范形. 显然，复二次型的规范形由 $ f(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}) $ 的秩 r 唯一确定.

下面讨论实数域上的二次型. 这不仅要求所出现的一切二次型系数都是实数, 而且要求所作的线性替换中的系数也都是实数.

设 $ f(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}) $ 的标准形中有 r 个系数不为零的平方项. 重新排列各变量, 不妨设

$$ f=d_{1}y_{1}^{2}+d_{2}y_{2}^{2}+\cdots+d_{p}y_{p}^{2}-d_{p+1}y_{p+1}^{2}-\cdots-d_{r}y_{r}^{2}, $$

其中 $ d_{i}\left(i=1,2,\cdots,r\right) $ 都大于零. 此时令

$$ \{\begin{aligned}y_{i}&=\frac{1}{\sqrt{d_{i}}}z_{i},&i&=1,2,\cdots,r,\\ y_{j}&=z_{j},&j&=r+1,r+2,\cdots,n,\end{aligned}. $$

则

$$ f=z_{1}^{2}+\cdots+z_{p}^{2}-z_{p+1}^{2}-\cdots-z_{r}^{2}. $$

上式右端称为实二次型 f 的规范形. 其中，系数为 +1 的平方项有 p 个，系数为 -1 的平方项有 r - v 个.

定理 1.6 (惯性定理). 任意一个实数域上的二次型 $ f(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}) = X^{T}AX $ 经过一适当非退化的线性替换可以变成规范形，且规范形唯一确定.

定理的证明不作要求，从略.

这就是说，不管用何种非退化的线性替换来化简二次型，最后所得到的规范形中系数为 +1 的平方项个数总不变。把这个定理用到标准形上，说明用不同方法得到的二次型标准形中有正系数的平方项个数总相同。于是，负系数的平方项个数也相同。

这个定理证明了 $ f(x_1, x_2, \cdots, x_n) $ 规范形中系数为 +1 的平方项个数和系数为 -1 的平方项个数都由原二次型唯一确定，分别称为二次型 $ f(x_1, x_2, \cdots, x_n) $ 的正惯性指数和负惯性指数。正惯性指数减去负惯性指数得到的数称为符号差。这个定理称为惯性定理。

§6.2 正定二次型

本节继续讨论实二次型.

定义 2.1. 给定一个实二次型 $ f(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}) $。若对于任意 n 个不全为零的实数 $ c_{1},c_{2},\cdots,c_{n} $，总有 $ f(c_{1},c_{2},\cdots,c_{n})\gt 0 $，则称 $ f(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}) $ 为正定二次型。若对于任意 n 个实数 $ c_{1},c_{2},\cdots,c_{n} $，总有 $ f(c_{1},c_{2},\cdots,c_{n})\geq0 $，则称 $ f(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}) $ 为半正定二次型。

由定义可知，正定二次型一定是半正定二次型，而半正定二次型不一定是正定二次型。

例题 2.1. 二次型

$$ f_{1}(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}, $$

$$ f_{2}(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})=x_{1}^{2}+(x_{1}+x_{2})^{2}+\cdots+(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n})^{2} $$

都是正定二次型.

例题 2.2. 二次型 $ f(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+\cdots+x_{n-1}^{2} $ 是半正定的，但不是正定二次型。实际上，令 $ (x_{1},x_{2},\cdots,x_{n-1},x_{n})=(0,0,\cdots,0,1)\neq0 $ 则 $ f(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}) $ 的值为零。

现在来讨论正定二次型的性质. 设

$$ f(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j} $$

为正定二次型，其矩阵为 $ \boldsymbol{A} = (a_{ij})_{nn} $。设

$$ \boldsymbol{X}=\boldsymbol{C}\boldsymbol{Y} $$

为非退化线性替换，其中

$$ \begin{aligned}\boldsymbol{X}&=\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots\\x_{n}\end{pmatrix},\quad\boldsymbol{Y}=\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\\vdots\\y_{n}\end{pmatrix},\quad\boldsymbol{C}=\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&\cdots&c_{1n}\\c_{21}&c_{22}&\cdots&c_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\c_{n1}&c_{n2}&\cdots&c_{nn}\end{pmatrix}.\end{aligned} $$

设 $ f(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}) $ 经此线性替换后化为二次型 $ g(y_{1},y_{2},\cdots,y_{n}) $. 于是, 对于任意 n 个实数 $ \widetilde{y}_{1},\widetilde{y}_{2},\cdots,\widetilde{y}_{n} $, 则由

$$ \{\begin{array}{l}\widetilde{x}_{1}=c_{11}\widetilde{y}_{1}+c_{12}\widetilde{y}_{2}+\cdots+c_{1n}\widetilde{y}_{n},\\\widetilde{x}_{2}=c_{21}\widetilde{y}_{1}+c_{22}\widetilde{y}_{2}+\cdots+c_{2n}\widetilde{y}_{n},\\\cdots\cdots\cdots\cdots\\\widetilde{x}_{n}=c_{n1}\widetilde{y}_{1}+c_{n2}\widetilde{y}_{2}+\cdots+c_{n n}\widetilde{y}_{n}\end{array}. $$

得到 n 个数 $ \widetilde{x}_{1}, \widetilde{x}_{2}, \cdots, \widetilde{x}_{n} $，且必有 $ g(\widetilde{y}_{1}, \widetilde{y}_{2}, \cdots, \widetilde{y}_{n}) = f(\widetilde{x}_{1}, \widetilde{x}_{2}, \cdots, \widetilde{x}_{n}) $。注意，由于 C 为可逆矩阵，若 $ \widetilde{y}_{1}, \widetilde{y}_{2}, \cdots, \widetilde{y}_{n} $ 不全为零，则 $ \widetilde{x}_{1}, \widetilde{x}_{2}, \cdots, \widetilde{x}_{n} $ 也不全为零，此时因为已假设 $ f(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}) $ 为正定二次型，故 $ f(\widetilde{x}_{1}, \widetilde{x}_{2}, \cdots, \widetilde{x}_{n}) \gt 0 $。进而有 $ g(\widetilde{y}_{1}, \widetilde{y}_{2}, \cdots, \widetilde{y}_{n}) \gt 0 $。这说明 $ g(y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}) $ 也是正定二次型。于是我们得到性质 2.1。

性质 2.1. 非退化线性替换将正定实二次型仍变为正定实二次型.

关于正定二次型的判定，有如下的等价条件：

定理 2.1. 设有 n 元实二次型 $ f(x_1, x_2, \cdots, x_n) = \boldsymbol{X}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{X} $，则下列命题等价：

(1) $ f(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}) $为正定二次型;

(2) A 的所有特征值都是正实数;

(3) A 的秩和正惯性指数都是 n;

(4) A 与单位矩阵 E 合同;

(5) 存在可逆矩阵 P，使得 $ A = P^{T}P $

证明 (1) $ \Rightarrow $ (2). 由定理 1.2, 存在正交变换 X = PY, 使得 $ f(x_1, x_2, \cdots, x_n) $ 变为

$$ f(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})=g(y_{1},y_{2},\cdots,y_{n})=\lambda_{1}y_{1}^{2}+\lambda_{2}y_{2}^{2}+\cdots+\lambda_{n}y_{n}^{2}, $$

其中 $ \lambda_{i}\quad(i=1,2,\cdots,n) $ 为 A 的特征值. 因为 f 是正定二次型, 由性质 2.1 知 $ g(y_{1},y_{2},\cdots,y_{n}) $ 也是正定二次型, 则所有的 $ \lambda_{i}\gt 0 $. 事实上, 若存在某 $ \lambda_{i}\leq0 $, 不妨设 $ \lambda_{1}\leq0 $, 我们取 $ (y_{1},y_{2},\cdots,y_{n})=(1,0,\cdots,0) $ 代入上式, 得到 $ g(1,0,\cdots,0)\leq0 $, 这与 $ g(y_{1},y_{2},\cdots,y_{n}) $ 正定矛盾.

(2) $ \Rightarrow $(3). 由惯性定理知，正惯性指数 p=n=r(A).

(3) $ \Rightarrow $ (4). 若正惯性指数 p = n = r(A), 则 $ f(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}) = \boldsymbol{X}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{X} $ 的规范形为

$$ z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+\cdots+z_{n}^{2}, $$

即存在可逆矩阵 C，使得 $ C^{T}AC=E $，这也就是说 A 与单位矩阵 E 合同.

(4) $ \Rightarrow $ (5). 若 $ A $ 与单位矩阵 $ E $ 合同, 即有可逆矩阵 $ C $, 使得 $ C^{\mathrm{T}}AC = E $, 故 $ A = (C^{\mathrm{T}})^{-1}C^{-1} = P^{\mathrm{T}}P $, 其中 $ P = C^{-1} $ 也可逆.

(5) $ \Rightarrow $ (1). 由于 P 可逆, $ A = P^{T}P $, 故对任意的 $ \boldsymbol{X} = (x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n})^{\mathrm{T}} \neq \boldsymbol{0} $ 有 P X $ \neq $ 0, 记 Y = P X = (y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n})^{\mathrm{T}} \neq \mathbf{0} $, 这样 $ f(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}) = \boldsymbol{X}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{X} = \boldsymbol{X}^{\mathrm{T}} (\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{P}) \boldsymbol{X} = (\boldsymbol{P} \boldsymbol{X})^{\mathrm{T}} (\boldsymbol{P} \boldsymbol{X}) = \boldsymbol{Y}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{Y} = y_{1}^{2} + y_{2}^{2} + \cdots + y_{n}^{2} > 0 $, 故 $ f(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}) $ 是正定二次型.$

如果一个 $ n \times n $ 实对称矩阵 A 所对应的二次型为正定二次型，那么 A 称为正定矩阵.

性质 2.2. 实正定矩阵 A 的行列式大于 0.

证明 由定理2.1知，存在可逆矩阵P，使得 $ A=P^{T}P $，则

$$ |\boldsymbol{A}|=|\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{P}|=|\boldsymbol{P}|^{2}\gt 0. $$

由性质 2.2 知，实二次型的矩阵 A 的行列式大于 0 只是二次型正定的必要条件，不能用它来判定二次型是否正定。那么，实对称矩阵 A 要满足什么条件，才能保证它对应的二次型是正定的呢？为此，我们先引入顺序主子式的概念。

定义 2.2. n 阶矩阵 $ A = (a_{ij})_{nn} $ 的 $ k (k = 1, 2, \cdots, n) $ 阶子式

$$ P_{k}=\left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1k}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2k}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{k1}&a_{k2}&\cdots&a_{kk}\end{matrix}\right| $$

称为 A 的 k 阶顺序主子式.

有了这个概念，我们不加证明地给出下列定理.

定理 2.2. 实对称矩阵是正定矩阵当且仅当它的各阶顺序主子式全大于零.

例题 2.3. 试判断二次型

$$ f(x_{1},x_{2},x_{3})=3x_{1}^{2}+2x_{2}^{2}+4x_{3}^{2}-2x_{1}x_{2}+4x_{1}x_{3}-4x_{2}x_{3} $$

是不是正定二次型

解 此二次型的矩阵是

$$ \left(\begin{array}{r r r}{3}&{-1}&{2}\\ {-1}&{2}&{-2}\\ {2}&{-2}&{4}\end{array}\right). $$

因为它的顺序主子式

$$ 3\gt 0,\left|\begin{matrix}{{{3}}}&{{{-1}}} \\{{{-1}}}&{{{2}}}\end{matrix}\right|=5\gt 0,\left|\begin{matrix}{{{3}}}&{{{-1}}}&{{{2}}} \\{{{-1}}}&{{{2}}}&{{{-2}}} \\{{{2}}}&{{{-2}}}&{{{4}}}\end{matrix}\right|=8\gt 0, $$

所以 f 是正定二次型.

定义 2.3. 设 $ f(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}) $ 是一个实二次型，若对于任意不全为零的实数 $ c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{n} $，均有 $ f(c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{n}) \lt 0 $，则称 $ f(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}) $ 为负定的。如果对于任意 n 个实数 $ c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{n} $，总有 $ f(c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{n}) \leq 0 $，则称 $ f(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}) $ 为半负定的。

显然 $ f(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}) $ 为负定的当且仅当 $ -f(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}) $ 为正定的. 所以，负定二次型的问题可借助正定二次型的理论解决.

§6.3 曲面及其方程

类似于平面解析几何中把曲线看作动点的轨迹，我们把曲面看成是一个动点或一条动曲线按照一定的条件或规律运动而产生的轨迹。根据这一条件或规律就能导出曲面上动点 P 的坐标 $ (x, y, z) $ 所满足的方程为

$$ F(x,y,z)=0. $$

如果当且仅当 P 为曲面上的点时，点 P 的坐标才满足上面的方程，那么曲面的几何性质必然由这个方程反映出来。因此可以用这个方程来表示曲面，并把方程 (3.1) 称为曲面的方程，而把这个曲面称为方程 (3.1) 的图形。

在空间解析几何中，研究曲面首先要建立曲面的方程，然后通过方程研究曲面的几何性质。

1. 球面及其方程

空间中到定点的距离等于定长的点的集合称为球面. 定点称为球心, 定长称为半径.

下面在空间直角坐标系中建立以点 $ P(x_{0}, y_{0}, z_{0}) $ 为球心且半径为 r 的球面方程.

设 $ P(x,y,z) $ 为球面上的任意一点，点 P 在球面上的充要条件为

$$ |\overrightarrow{P_{0}P}|=r. $$

把上面方程用点的坐标写出来，就得到该球面的方程，即

$$ (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=r^{2}. $$

把方程（3.2）展开可得

$$ x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x_{0}x-2y_{0}y-2z_{0}z+(x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+z_{0}^{2}-r^{2})=0. $$

由此可知，球面方程是一个三元二次方程，没有交叉项，平方项的系数相同。反之，任一个三元二次方程

$$ x^{2}+y^{2}+z^{2}+ax+by+cz+d=0 $$

经过配方可以写成

$$ \left(x+\frac{a}{2}\right)^{2}+\left(y+\frac{b}{2}\right)^{2}+\left(z+\frac{c}{2}\right)^{2}=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4}-d. $$

令 $ t=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4}-d $，则

(1) 当 t > 0 时，方程 (3.3) 表示的图形是一个以点 $ \left(-\frac{a}{2}, -\frac{b}{2}, -\frac{c}{2}\right) $ 为球心，以 $ \sqrt{t} $ 为半径的球面.

(2) 当 t=0 时，方程 (3.3) 表示的图形是一个点 $ \left(-\frac{a}{2}, -\frac{b}{2}, -\frac{c}{2}\right) $.

(3) 当 t<0 时，方程 (3.3) 不表示任何实空间中的图形，或者说它表示一个虚球面.

2. 柱面及其方程

一条直线 l 沿着一个空间曲线 C 平行移动所形成的曲面称为柱面. l 称为母线, C 称为准线 (如图 6.1).

按定义，平面也是柱面.

对于一个柱面，它的准线和母线都不唯一，但母线方向唯一（平面除外）。与每一条母线都相交的曲线都可以作为准线。

例题 3.1. 方程 $ x^{2}+y^{2}=r^{2}(r\gt 0) $ 表示一个什么样的曲面？

解 $ x^{2}+y^{2}=r^{2} $ 在 xOy 面上表示以原点 O 为圆心，r 为半径的圆.

在空间直角坐标系中，由于该方程不含坐标 z，所以无论空间点 $ (x, y, z) $ 的坐标分量 z 取什么值，只要横坐标 x 和纵坐标 y 满足这个方程，这样的点就在该方程所表示的曲面上.

又因为通过 xOy 面内的圆 $ x^{2}+y^{2}=r^{2} $ 上一点 $ M_{0}(x,y,0) $，且平行于 z 轴的直线 L 上所有点的 x 和 y 坐标均相同，点 $ M_{0} $ 在曲面上，所以直线 L 也在曲面上.

因此，这个曲面可以看作是由直线 L 沿 xOy 面上的圆 $ x^{2} + y^{2} = r^{2} $ 平行于 z 轴移动所形成的柱面（如图 6.2），该柱面称为圆柱面。

由上例可知，一个只含两个变量 x, y 的方程 $ f(x, y) = 0 $ 在空间中表示母线平行于 z 轴且准线为 xOy 面上的曲线 $ f(x, y) = 0 $ 的柱面.

同理， $ g(y,z)=0 $ 和 $ h(x,z)=0 $ 在空间中分别表示母线平行于 x 轴和 y 轴的柱面.

例题 3.2. 方程 $ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1 $ 和 $ x^{2}-2py=0(p\gt 0) $ 分别表

示母线平行于 z 轴的椭圆柱面、双曲柱面（如图 6.3 所示）和抛物柱面（如图 6.4 所示）.

3. 旋转面及其方程

由于这三个方程都是二次方程，因而都称为二次柱面.

一条曲线 C 绕一条直线 l 旋转所得到的曲面称为旋转面. 曲线 C 称为母线, 直线 l 称为旋转轴 (如图 6.5 所示).

我们只考虑旋转轴为坐标轴的情形. 设在 yOz 面上有一条已知曲线 C, 方程为 $ f(y, z) = 0 $, 下面求此曲线 C 绕 z 轴旋转一周所形成的旋转面的方程.

设 M(x,y,z) 为所求旋转面上的任一点，当曲线 C 绕 z 轴旋转一周时，其上每一点都随着旋转而各自形成一个圆.

设点 M 在由曲线 C 上的点 $ M_{1}(0,y_{1},z_{1}) $ 绕 z 轴旋转所形成的圆上，显然 z = z_{1}。记圆心为 $ O_{1}(0,0,z_{1}) $，则 $ |\overrightarrow{O_{1}M}| = |\overrightarrow{O_{1}M_{1}}| $，即

$$ \sqrt{x^{2}+y^{2}}=|y_{1}|,\quad y_{1}=\pm\sqrt{x^{2}+y^{2}}. $$

又因为 $ M_{1} $ 在曲线 C 上，所以 $ f(y_{1},z_{1})=0 $ ，从而有

$$ f(\pm\sqrt{x^{2}+y^{2}},z)=0. $$

由此可见，在母线 C 的方程 $ f(y, z) = 0 $ 中将 y 换成 $ \pm\sqrt{x^{2} + y^{2}} $ 便得到曲线 C 绕 z 轴旋转所形成的旋转面的方程.

同理, 如果把曲线 C 绕 y 轴旋转, 那么所形成的旋转曲面的方程为 $ f(y, \pm\sqrt{x^{2}+z^{2}})=0 $. 完全类似可以得到其他情形下旋转面的方程.

直线 L 绕另一条与 L 相交的直线旋转一周所得到的旋转面积为圆锥面。两条直线的交点叫做圆锥面的顶点，两条直线的夹角 $ \alpha \left(0 \lt \alpha \lt \frac{\pi}{2}\right) $ 叫做圆锥面的半顶角。

例题 3.3. 试求顶点在坐标原点, 旋转轴为 z 轴, 半顶角为 $ \alpha $ 的圆锥面的方程.

解 在 xOz 面上，直线 L 的方程为

$$ x=z\tan\alpha. $$

因为旋转轴为 z 轴，所以所求圆锥面的方程为

$$ \pm\sqrt{x^{2}+y^{2}}=z\tan\alpha. $$

例题 3.4. 曲面 $ x^{2}+y^{2}=a^{2}z $ 叫做旋转抛物面，指出其旋转轴和母线.

解 旋转轴为 z 轴，母线为 yOz 面上的抛物线 $ y^{2}=a^{2}z $ 或 xOz 面上的抛物线 $ x^{2}=a^{2}z $.

4. 空间曲线及其方程

正如空间直线可以看作两个平面的交线一样，一条空间曲线可以看作两个曲面的交线。设两个曲面 $ S_{1} $ 和 $ S_{2} $ 的方程分别为

$$ F(x,y,z)=0,\quad G(x,y,z)=0, $$

则曲面 $ S_{1} $ 和 $ S_{2} $ 的交线 C 上点的坐标同时满足上述两个方程. 反之, 同时满足上述两个方程的点必定在 $ S_{1} $ 和 $ S_{2} $ 的交线上.

因此，曲线 C 的方程就是将这两个方程联立所形成的方程组

$$ \{\begin{aligned}F(x,y,z)&=0,\\ G(x,y,z)&=0,\end{aligned}. $$

称之为空间曲线的一般式方程.

例如，在空间直角坐标系中， $ x^{2}+y^{2}=1 $ 表示一个母线平行于 z 轴的柱面。xOy 面上以原点为圆心，半径为 1 的圆在空间直角坐标系中的方程可表示为

$$ \{\begin{aligned}x^{2}+y^{2}&=1,\\ z&=0.\end{aligned}. $$

这里是把它看成柱面 $ x^{2}+y^{2}=1 $ 与 xOy 面的交线。当然，它也可以看成球面 $ x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 $ 与 xOy 面的交线，即

$$ \{\begin{aligned}x^{2}+y^{2}+z^{2}&=1,\\ z&=0.\end{aligned}. $$

由此可见，空间曲线的方程在形式上不唯一。

空间曲线还可以看成动点运动的轨迹, 方程可以用动点关于时间 t 的运动方程的坐标形式表示, 即

$$ \{\begin{array}{l}x=x(t),\\ y=y(t),\\ z=z(t).\end{array}. $$

上面的方程称为空间曲线的参数方程.

最后，简单介绍空间曲线关于坐标面的投影柱面和投影曲线及其方程.

设有空间曲线 C，过曲线 C 上的每一点作 xOy 面的垂线，这些垂线形成一个母线平行于 z 轴且过 C 的柱面，称之为曲线 C 关于 xOy 面的投影柱面。这个柱面与 xOy 面的交线称为曲线 C 在 xOy 面上的投影曲线，简称投影。

事实上，投影曲线确实是曲线 C 上各点在 xOy 面上的垂直投影所形成的曲线。

设曲线 C 的方程为

$$ \{\begin{aligned}F(x,y,z)&=0,\\ G(x,y,z)&=0.\end{aligned}. $$

由此方程组消去 z 得到方程 $ H(x,y)=0 $，由于方程 $ H(x,y)=0 $ 不含 z 坐标，所以它是一个母线平行于 z 轴的柱面。显然，C 上的点都在此柱面上，因此方程 $ H(x,y)=0 $ 就是曲线 C 关于 xOy 面上投影柱面的方程。它与 xOy 面的交线就是 C 在 xOy 面上的投影曲线方程，即

$$ \{\begin{aligned}H(x,y)&=0,\\ y&=0.\end{aligned}. $$

同理，可得到曲线 C 在其他坐标平面上的投影曲线方程.

例题 3.5. 求曲线 C

$$ \{\begin{aligned}z&=\sqrt{x^{2}+y^{2}},\\ x^{2}+y^{2}+z^{2}&=2\end{aligned}. $$

在 xOy 面上投影曲线的方程.

解 消去变量 z 得

$$ x^{2}+y^{2}=1. $$

这是曲线 C 关于 xOy 面的投影柱面方程, 所以曲线 C 在 xOy 面上的投影曲线方程为

$$ \{\begin{aligned}x^{2}+y^{2}&=1,\\ z&=0.\end{aligned}. $$

它是 xOy 面上以原点为圆心且半径为 1 的圆.

§6.4 二次曲面

一个三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面。本节将介绍几种常见的二次曲面，首先给出它们的标准方程，然后利用其标准方程研究其几何性质。研究的主要方法是：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的形状，这种方法叫做截痕法。最后我们利用化二次型为标准形的方法，通过正交变换和平移变换把一般二次方程化为标准方程，从而判别曲面的类型。

1. 椭球面

设a>0,b>0,c>0，由方程

$$ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 $$

表示的曲面称为椭球面. a, b 和 c 称为椭球面的半轴.

椭球面（4.1）与 xOy 面的交线为

$$ \{\begin{array}{c}\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,\\z=0.\end{array}. $$

这是 xOy 面上的一个椭圆. 同理, 椭球面 (4.1) 与 yOz 面 (xOz 面) 的交线也是椭圆.

用平行于 xOy 面的平面 z = h 截椭球面 (4.1) 得到的交线（称为截痕）为

$$ \{\begin{array}{c}\displaystyle\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1-\frac{h^{2}}{c^{2}},\\z=h.\end{array}. $$

当 $ |h| \lt c $ 时，截痕是椭圆；当 $ |h| = c $ 时，截痕是一个点；当 $ |h| \gt c $ 时，无轨迹。

用平行于另外两个坐标面的平面去截椭球面(4.1)，可得到类似的结果.

综合上面的讨论, 可知椭球面 (4.1) 的形状如图 6.6 所示.

1. 二次锥面

设a>0, b>0, c>0，由方程

$$ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=0 $$

表示的曲面称为二次锥面.

(1) 二次锥面 (4.2) 与 yOz 面的交线为

$$ \{\begin{array}{c}\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=0,\\ x=0,\end{array}. $$

即

$$ \{\begin{array}{l}\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=0,\\ x=0\end{array}. $$

和

$$ \{\begin{array}{l}\frac{y}{b}-\frac{z}{c}=0,\\ x=0.\end{array}. $$

它们为 yOz 面上的一对直线.

同理，二次锥面（4.2）与 xOz 面的交线也是一对直线。

(2) 二次锥面 (4.2) 与平行于 xOy 面的平面 z=h 的交线为

$$ \{\begin{array}{c}\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=\frac{h^{2}}{c^{2}},\\z=h.\end{array}. $$

当 h=0 时，交线是原点 O。当 $ h \neq 0 $ 时，交线是中心在 z 轴上的椭圆，当 |h| 由小变大时，椭圆截痕也由小变大。

综上所述，二次锥面（4.2）的形状如图6.7所示。

1. 单叶双曲面和双叶双曲面

设 a > 0, b > 0, c > 0. 由方程

$$ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 $$

所表示的曲面称为单叶双曲面.

下面用截痕法来研究它的形状.

(1) 单叶双曲面 (4.3) 与 yOz 面的交线为

$$ \{\begin{array}{r}\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1,\\ x=0.\end{array}. $$

它是 yOz 面上的双曲线，虚轴在 z 轴上。类似可知单叶双曲面（4.3）与 xOz 面的交线为双曲线，虚轴在 z 轴上。

(2) 单叶双曲面 (4.3) 与平行于 xOy 面的平面 z = h 的交线为

$$ \{\begin{array}{c}\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1+\frac{h^{2}}{c^{2}},\\z=h.\end{array}. $$

它是中心在 z 轴上的椭圆. 当 $ \left|h\right| $ 由小变大时, 椭圆截痕也由小变大; 当 h = 0 时, 截痕最小.

综上所述，单叶双曲面（4.3）的形状如图6.8所示.

设a>0,b>0,c>0，由方程

$$ -\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 $$

所表示的曲面称为双叶双曲面.

(1) 双叶双曲面 (4.4) 与 yOz 面的交线为

$$ \{\begin{array}{c}\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1,\\ x=0.\end{array}. $$

它是 yOz 面上的双曲线，虚轴在 z 轴上。类似可知双

叶双曲面（4.4）与 xOy 面的交线为双曲线，虚轴在 x 轴上.

(2) 双叶双曲面 (4.4) 与平行于 xOz 面的平面 y = h (其中 $ |h| \geq b $) 的交线为

$$ \{\begin{array}{c}\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=\frac{h^{2}}{b^{2}}-1,\\ y=h.\end{array}. $$

它是中心在 y 轴上的椭圆. 当 $ |h|=b $ 时,

截痕缩为一点. 当 $ \frac{|h|}{b} $ 越来越大时, 椭圆截

痕也越来越大.

综上所述，双叶双曲面（4.4）的形状如图6.9所示.

4. 椭圆抛物面和双曲抛物面

设a>0,b>0，由方程

$$ z=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} $$

或方程

$$ -z=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} $$

所表示的曲面称为椭圆抛物面.

下面以前者为例用截痕法来研究其形状.

(1) 椭圆抛物面 (4.5) 与 yOz 面的交线为

$$ \{\begin{array}{l}z=\frac{y^{2}}{b^{2}},\\ x=0.\end{array}. $$

它是 yOz 面上开口向上的抛物线. 类似可知椭圆抛物面 (4.5) 与 xOz 面的交线也是开口向上的抛物线.

(2) 因为椭圆抛物面 (4.5) 中的 $ z \geqslant 0 $，所以它的图形

在 xOy 面的上方.

椭圆抛物面（4.5）与平行于 xOy 面的平面 z = h（其中 $ h \geqslant 0 $）的交线为

$$ \{\begin{array}{c}\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=h,\\z=h.\end{array}. $$

当 h=0 时，截痕缩为原点 O；当 h>0 时，截痕是中心在 z 轴上的椭圆。当 h 由 0 变大时，椭圆截痕也越来越大。

综上所述，椭圆抛物面（4.5）的形状如图6.10所示.

设a>0,b>0，由方程

$$ z=\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} $$

所表示的曲面称为双曲抛物面或马鞍面.

(1) 双曲抛物面 (4.7) 与平行于 xOy 面的平面 z = h 的交线为

$$ \{\begin{array}{c}\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=h,\\z=h.\end{array}. $$

当 h=0 时，它是 xOy 面上的两条直线 $ y=\pm\frac{bx}{a} $; 当 $ h\neq0 $ 时，它是双曲线。如果 h>0 ，其实轴平行于 x 轴；如果 h<0 ，其实轴平行于 y 轴。

(2) 双曲抛物面 (4.7) 与平行于 xOz 面的平面 y = h 的交线为

$$ \{\begin{aligned}z&=\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{h^{2}}{b^{2}},\\ y&=h.\end{aligned}. $$

它是抛物线，其对称轴与 z 轴平行，开口朝 z 轴的正方向.

双曲抛物面（4.7）与平行于 yOz 面的平面 x = h 的交线为

$$ \{\begin{aligned}z&=\frac{h^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}},\\ x&=h.\end{aligned}. $$

它是抛物线，其对称轴与z轴平行，开口朝z轴的负方向.

综上所述，双曲抛物面（4.7）的形状如图6.11所示.

5. 二次方程的化简

由前面的讨论可知, 如果知道二次曲面的标准方程, 就很容易画出其图形, 讨论其几何性质也就相对容易.

但是，在很多实际问题的研究中，由于很难建立理想的空间直角坐标系，结果导致曲面方程不是标准方程。下面我们利用化二次型为标准形的方法通过正交变换和平移变换把一般二次方程化为标准方程，以进一步判别曲面的类型。

设三元二次方程的一般形式为

$$ a_{11}x^{2}+a_{22}y^{2}+a_{33}z^{2}+2a_{12}x y+2a_{13}x z+2a_{23}y z+b_{1}x+b_{2}y+b_{3}z+c=0. $$

令 $ \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} = \boldsymbol{A} = (a_{ij})_{3 \times 3} $, $ \boldsymbol{u} = (x, y, z)^{\mathrm{T}} $, $ \boldsymbol{b} = (b_1, b_2, b_3)^{\mathrm{T}} $, 则方程 (4.8) 可写为

$$ \boldsymbol{u}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{u}+\boldsymbol{b}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{u}+c=0. $$

因为 A 是实对称矩阵，所以存在正交矩阵 Q，使得

$$ \boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q}=\mathrm{diag}(\lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3}). $$

作正交变换 u = Q v，其中 $ \boldsymbol{v} = (x_{1}, y_{1}, z_{1})^{\mathrm{T}} $，则 (4.9) 变为

$$ \begin{array}{r}{\ensuremath{\boldsymbol{v}}^{\mathrm{T}}\mathrm{d i a g}(\lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3})\ensuremath{\boldsymbol{v}}+\ensuremath{\boldsymbol{b}}^{\mathrm{T}}\ensuremath{\boldsymbol{Q}}\ensuremath{\boldsymbol{v}}+c=0.}\end{array} $$

令 $ \boldsymbol{b}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{Q}=(d_{1},d_{2},d_{3}) $，则 (4.10) 变为

$$ \lambda_{1}x_{1}^{2}+\lambda_{2}y_{1}^{2}+\lambda_{3}z_{1}^{2}+d_{1}x_{1}+d_{2}y_{1}+d_{3}z_{1}+c=0. $$

通过配方，进一步作平移变换可将原方程化为标准方程。这里， $ \lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3} $ 为实对称矩阵 A 的特征值。

例题 4.1. 将二次曲面

$$ 2xy+2xz+2yz-\sqrt{2}x+\sqrt{2}y-1=0 $$

化为标准方程，并指出它是什么曲面.

解令

$$ \boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{l l l}{0}&{1}&{1}\\ {1}&{0}&{1}\\ {1}&{1}&{0}\end{array}\right), $$

$$ \boldsymbol{b}=(-\sqrt{2},\sqrt{2},0)^{\mathrm{T}},\quad\boldsymbol{u}=(x,y,z)^{\mathrm{T}}, $$

则原方程可以写为

$$ \boldsymbol{u}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{u}+\boldsymbol{b}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{u}-1=0. $$

求出矩阵 A 的特征值及对应的标准正交特征向量分别为

$$ \lambda_{1}=2,\boldsymbol{q}_{1}=\left(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{\mathrm{T}}; $$

$$ \lambda_{2}=\lambda_{3}=-1,\boldsymbol{q}_{2}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}},0\right)^{\mathrm{T}},\boldsymbol{q}_{3}=\left(\frac{1}{\sqrt{6}},\frac{1}{\sqrt{6}},-\frac{2}{\sqrt{6}}\right)^{\mathrm{T}} $$

令

$$ \boldsymbol{Q}=(\boldsymbol{q}_{1},\boldsymbol{q}_{2},\boldsymbol{q}_{3}), $$

则有

$$ \boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q}=\mathrm{diag}(2,-1,-1),\ \boldsymbol{b}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{Q}=(0,-2,0). $$

作正交变换 u = Q v，其中 $ \boldsymbol{v} = (x_{1}, y_{1}, z_{1})^{\mathrm{T}} $，则式 (4.12) 变为

$$ \boldsymbol{v}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q}\boldsymbol{v}+\boldsymbol{b}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{Q}\boldsymbol{v}-1=0, $$

即

$$ 2x_{1}^{2}-y_{1}^{2}-z_{1}^{2}-2y_{1}-1=0, $$

配方得

$$ 2x_{1}^{2}-(y_{1}+1)^{2}-z_{1}^{2}=0. $$

作平移变换

$$ \{\begin{aligned}x_{2}&=x_{1},\\ y_{2}&=y_{1}+1,\\ z_{2}&=z_{1},\end{aligned}. $$

可得

$$ 2x_{2}^{2}-y_{2}^{2}-z_{2}^{2}=0, $$

这就是原曲面方程的标准方程，它表示一个圆锥面.

习题六

1. 写出下列二次型的矩阵表示形式：

(1) $ f(x_1, x_2, x_3) = (ax_1 + bx_2 + cx_3)^2 $;

$$ f(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-7x_{3}^{2}-2x_{1}x_{2}-4x_{1}x_{3}+3x_{2}x_{3}; $$

(3) $ f(x_1, x_2, x_3, x_4) = 2x_4^2 - 2x_1x_3 + 6x_2x_3; $

$$ f(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=x_{1}^{2}+2x_{2}^{2}+3x_{3}^{2}+4x_{4}^{2}-2x_{1}x_{2}+4x_{1}x_{3}+6x_{1}x_{4}-4x_{2}x_{3}-2x_{3}x_{4}. $$

1. 写出下列矩阵所对应的二次型：

(1) $ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & -3 \end{pmatrix} $; (2) $ B = \begin{pmatrix} -4 & 3 & 2 \\ 3 & 0 & 6 \\ 2 & 6 & 2 \end{pmatrix} $.

1. 用配方法把下列二次型化成标准形：

(1) $ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+3x_{3}^{2}+4x_{1}x_{2}+2x_{1}x_{3}+2x_{2}x_{3}; $

(2) $ x_{1}^{2}-2x_{2}^{2}+3x_{3}^{2}+2x_{1}x_{2}+4x_{1}x_{3}+2x_{2}x_{3}; $

(3) $ x_{1}x_{2} + x_{1}x_{3} + x_{1}x_{4} + x_{2}x_{4} $

1. 用正交变换把下列实二次型化成标准形，并写出所作的正交变换：

(1) $ 2x_1x_3 + x_2^2 $;

(2) $ 6x_{1}^{2}+5x_{2}^{2}+7x_{3}^{2}-4x_{1}x_{2}+4x_{1}x_{3}; $

(3) $ x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-4x_{3}x_{4}-2x_{4}^{2} $

1. 求下列实二次型的正、负惯性指数：

(1) $ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+3x_{3}^{2}+4x_{1}x_{2}+2x_{1}x_{3}+2x_{2}x_{3}; $

(2) $ x_{1}^{2}+2x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+4x_{1}x_{2}+4x_{1}x_{3}+4x_{2}x_{3}; $

(3) $ x_{1}^{2} + x_{3}^{2} - x_{1}x_{2} + x_{3}x_{4} + x_{5}x_{6} $

1. 判断下列实二次型是不是正定二次型，或在何种条件下是正定二次型：

(1) $ f = 3x_1^2 + 3x_2^2 + 7x_3^2 + 2x_4^2 + 4x_1x_3 + 2x_2x_3 + 2x_2x_4 - 4x_3x_4 $;

$$ f=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+5x_{3}^{2}+2\lambda x_{1}x_{3}-2x_{1}x_{3}+4x_{2}x_{3}; $$

(3) $ f = x_1^2 + 4x_2^2 + x_3^2 + 2\lambda x_1 x_2 + 10x_1 x_3 + 6x_2 x_3 $;

(4) $ f = \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2} + \sum_{1 \leq i \lt j \leq n} x_{i} x_{j}. $

1. 设 A, B 分别是 m, n 阶正定矩阵，判断分块矩阵

$$ C=\left(\begin{array}{l l}{\boldsymbol{A}}&{\mathbf{0}}\\ {\mathbf{0}}&{\boldsymbol{B}}\end{array}\right) $$

是不是正定矩阵？

1. 证明：实二次型 $ f(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})=\boldsymbol{X}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{X} $ 负定的充要条件是：A 的奇数阶顺序主子式全小于零，偶数阶顺序主子式全大于零.

1. 设有二次型 $ f(x_{1},x_{2},x_{3})=a(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2})+2x_{1}x_{2}+2x_{1}x_{3}-2x_{2}x_{3} $，问

(1) 当 a 取何值时， $ f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) $ 正定？

(2) 当 a 取何值时， $ f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) $ 负定？

1. 证明：若实二次型 $ f = \boldsymbol{X}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{X} $ 正定，则 $ g = \boldsymbol{X}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{X} $ 也正定.

1. 设 A, B 为两个 n 阶正定矩阵，证明： $ A + B $ 也是正定矩阵.

1. 设 A 为 n 阶正定矩阵，证明：

(1) $ A^{T} $ 也是正定矩阵;

(2) A 的伴随矩阵 $ A^{*} $ 也是正定矩阵.

1. 设 A 是正定矩阵，证明：必存在正定矩阵 B，使得 $ A = B^{2} $

1. 设 $ A $ 是一个 $ n $ 阶实对称矩阵，且 $ |A| \lt 0 $。证明：必存在实 $ n $ 维列向量 $ X_0 \ne 0 $ 使 $ X_0^T A X_0 \lt 0 $。

1. 证明：若 $ \boldsymbol{A}=(a_{ij})_{nn} $ 为正定矩阵，则 $ a_{ii}\gt 0(i=1,2,\cdots,n) $；若 $ \boldsymbol{A}=(a_{ij})_{nn} $ 为负定矩阵，则 $ a_{ii}\lt 0(i=1,2,\cdots,n) $.

1. 设 A, B 都是 n 阶正定矩阵，又 k, l 为正数，证明： $ kA + lB $ 也是正定矩阵.

1. 设 A 是 n 阶正定矩阵，m 为正整数，则 $ A^{m} $ 也是正定的.

1. 设 $ \boldsymbol{A} = (a_{ij})_{nn} $ 为实正定矩阵, $ b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n} $ 为任意 n 个非零实数. 证明: 矩阵 $ \boldsymbol{B} = (a_{ij} b_{i} b_{j})_{nn} $ 也是正定矩阵.

1. 求球面 $ x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x+4y-4=0 $ 的球心和半径.

1. 在空间直角坐标系中，下列方程表示什么图形？并作图.

(1) $ 9x^{2} + y^{2} = 1 $;

(2) $ y^{2}-z^{2}=1; $

(3) $ x^{2}=3y $

1. 求下列 xOy 面上的曲线绕指定的坐标轴旋转所形成的旋转面的方程:

(1) $ y^{2}=2x $，绕x轴；

(2）$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$，绕y轴.

1. 说明方程组

$$ \{\begin{array}{r}\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1,\\ y=3\end{array}. $$

在空间直角坐标系中表示什么图形.

1. 求球面 $ x^{2}+y^{2}+z^{2}=6 $ 与平面 x+z=1 的交线在 xOy 面上的投影方程.

1. 下列二次方程表示什么曲面？并作图.

(1) $ 4x^{2} + y^{2} + 9z^{2} = 36; $

(2) $ 4x^{2}-4y^{2}+9z^{2}=36; $

(3) $ x^{2}-2y^{2}-z^{2}=0; $

(4) $ 4x^{2} - 9y^{2} = 72z $;

(5) $ 5x^{2} + z^{2} = 2y $.

1. 将下面的二次方程化成标准方程，并指出它们是什么曲面：

(1) $ 4x^{2}-6y^{2}-6z^{2}-4yz-4x+4y+4z-5=0; $

(2) $ x^{2}-y^{2}+4xz-4yz=3 $;

(3) $ 2xy + 2xz + 2yz = -1 $;

(4) $ 4x^{2}+3y^{2}+3z^{2}+2yz=1 $

第六章 自测题