第三章 向量代数与几何应用

第三章 向量代数与几何应用

解析几何学是用代数的方法研究几何问题的学科，在数学的发展史上占有重要地位，是沟通几何图形与数量关系的一座桥梁。它的内容非常丰富，在自然科学技术领域及某些社会科学领域中有着广泛的应用。本书只介绍空间解析几何的一些基本知识，本章主要介绍向量代数、空间平面与直线。第六章介绍一些常见的空间曲面和曲线，使学生掌握必要的几何直观分析能力，同时掌握必要的代数方法和计算技巧，能准确地进行计算。

§3.1 向量的线性运算与空间直角坐标系

向量代数是重要的数学工具，利用向量的代数运算来研究几何图形性质的方法称为向量法。本节主要介绍向量的一些基本概念及其线性运算，通过建立空间直角坐标系将向量与有序三元实数组一一对应，为进一步研究向量代数及空间的平面与直线奠定基础。

1. 向量的基本概念

既有大小又有方向的量称为向量（或矢量）。向量通常用小写英文黑斜体字母 $ a, b, c, \cdots $ 表示或英文大写字母 $ \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD}, \cdots $ 表示。向量的大小也称为向量的长度。向量 $ a $ 的长度记作 $ |a| $。

一个向量 $ \alpha $ 也可以用一条有向线段 $ \overrightarrow{AB} $ 来表示，有向线段的起点和终点分别称为向量的起点和终点。向量的方向由起点指向终点。我们用这条线段的长度

|AB| 来表示向量 a 的长度.

对于两个向量, 若用同一起点的有向线段表示, 它们在同一条直线上, 且两个终点位于起点的同(异)侧时, 则称这两个向量方向相同(反).

长度等于1的向量称为单位向量. 长度等于0的向量称为零向量, 记作0. 零向量的方向不确定.

若两个向量 a 和 b 的方向相同且长度相等，则称之为相等的向量，记作 a = b.

当我们只考虑向量的方向和大小，而不考虑其具体位置时，这样的向量称为自由向量。自由向量的起点可以任意选取。自由向量可以任意平行移动。

若两个向量的方向相反且长度相等，则称它们是互为相反的向量（或互为逆向量）。向量 a 的逆向量记为 -a。

若两个向量 a 和 b 所在的直线平行 (垂直), 则称这两个向量为共线的或平行的 (垂直的) 向量, 记作 $ a \parallel b $ ( $ a \perp b $).

若一组向量所在的直线都平行于同一平面，则称这组向量是共面的向量。规定零向量与任何向量共线，也与任何向量垂直。显然，共线的向量必共面，任意两个向量必共面。

需要注意的是，上述向量的共线和共面是符合实际需要的数学概念，与直观的共线（即在一条直线上）和共面（即在一个平面上）有所不同，原因在于所讨论的向量是自由向量。

2. 向量的线性运算

我们知道, 接连作两次位移 $ \overrightarrow{AB} $ 和 $ \overrightarrow{BC} $ 的效果是作出位移 $ \overrightarrow{AC} $ (如图 3.1). 借助这个背景, 我们可定义向量的加法.

定义 1.1. 向量 a 和 b 的和记作 $ a+b $，是按如下的“三角形法则”或“平行四边形法则”所确定的向量，也就是

(1) 三角形法则. 作有向线段 $ \overrightarrow{AB} $ 表示 a, 作有向线段 $ \overrightarrow{BC} $ 表示 b, 则 $ \overrightarrow{AC} = a + b $ (如图 3.1 所示).

(2) 平行四边形法则. 从同一起点 O 作 $ \overrightarrow{OA} $ 表示 a, 作 $ \overrightarrow{OB} $ 表示 b, 再以 OA 和 OB 为邻边作平行四边形 OACB, 则对角线 $ \overrightarrow{OC} $ 表示的向量就是 $ \boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} $, 即 $ \overrightarrow{OC} = \boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} $ (如图 3.2 所示).

求向量和的运算称为向量的加法运算. 向量的减法定义为 $ a - b = a + (-b) $.

定义 1.2. 实数 $ \lambda $ 和向量 a 的乘积 $ \lambda a $ 是一个向量, 长度为 $ |\lambda a| = |\lambda||a| $,

方向: 当 $ \lambda \gt 0 $ 时 $ \lambda a $ 与 a 同向, 当 $ \lambda \lt 0 $ 时 $ \lambda a $ 与 a 反向.

对于任意向量 $ a $，由于 $ |0a| = |0||a| = 0 $，所以 $ 0a = 0 $。同理，对于一切实数 $ \lambda $，都有 $ \lambda 0 = 0 $。

数与向量的乘积运算称为向量的数乘运算，向量的加法和数乘这两种运算统称为向量的线性运算.

设 $ \lambda,\mu $ 是实数, a, b, c 是任意三个向量. 由定义容易验证向量的线性运算满足以下运算规律:

(1) $ a + b = b + a $;

(2) $ (a+b)+c=a+(b+c) $;

(3) $ a + 0 = a $;

(4) $ \boldsymbol{a} + (-\boldsymbol{a}) = \boldsymbol{0} $;

(5) $ \lambda(\mu a) = \mu (\lambda a) = (\lambda \mu)a; $

(6) 1a = a 且 $ (-1)a = -a $;

(7) $ \lambda(a + b) = \lambda a + \lambda b $;

(8) $ (\lambda + \mu)a = \lambda a + \mu a $.

由于向量的加法满足交换律和结合律，所以三个向量 $ a, b, c $ 的和可以简记为 $ a + b + c $。由三角形法则易知， $ a + b + c $ 是一个以 $ a $ 的起点为起点，以 $ c $ 的终点为终点的向量。这个结论可以推广到一般 $ n $ 个向量 $ a_1, a_2, \cdots, a_n (n \geq 2) $ 的和 $ a_1 + a_2 + \cdots + a_n $。

对于向量 $ a $ 和 $ b $，约定 $ a $ 和 $ b $ 的夹角 $ \langle a, b \rangle $ 是指不大于 $ \pi $ 的角，即 $ 0 \leq \langle a, b \rangle \leq \pi $.

设向量 a 和 b 的夹角为 $ \theta $ 且 $ b \neq 0 $，称 $ |a| \cos \theta $ 为向量 a 在 b 上的投影，记作 $ \Pi_{b} a $，即

$$ \Pi_{b}\boldsymbol{a}=|\boldsymbol{a}|\cos\theta. $$

把 $ \Pi_{b}a $ 与 b 方向上单位向量的乘积 $ \Pi_{b}a\frac{b}{|b|} $ 称为向量 a 在 b 上的投影向量. 显然, 投影向量的长度为 $ |a||\cos\theta| $.

设 $ c \neq 0 $，易验证向量的投影具有下列性质：

(1) 对于任意实数 $ \lambda $，都有 $ \Pi_{c}(\lambda a) = \lambda \Pi_{c}a $;

(2) $ \Pi_{c}(a+b)=\Pi_{c}a+\Pi_{c}b $.

上面的性质表明，对向量先进行线性运算再投影相当于对向量先投影再进行线性运算。换言之，就是对向量的投影保持向量的线性关系不变。

3. 空间直角坐标系

在平面解析几何中，通过建立平面直角坐标系，将平面上的点与有序实数对一一对应，就能用代数的方法研究平面图形的性质。为了研究空间图形的性质，我们将上述思想推广，先建立空间直角坐标系。

在空间内选定一点 O 作为原点，过 O 点作三个两两垂直的数轴。这三个数轴统称为坐标轴，分别用 x 轴，y 轴和 z 轴表示。由原点 O 和这三个坐标轴组成的系统称为空间直角坐标系。由每两根坐标轴决定的平面称为坐标平面，分别为 xOy，xOz 和 yOz 平面。坐标平面把空间分成八个部分，称为八个卦限。

将右手四指（拇指除外）从 x 轴方向以小于 $ \pi $ 的角度弯向 y 轴方向，如果拇指所指的方向为 z 轴的正向，则称此坐标系为右手系。将左手四指（拇指除外）从 x 轴方向以小于 $ \pi $ 的角度弯向 y 轴方向，如果拇指所指的方向为 z 轴的正向，则称此坐标系为左手系（如图 3.3 所示）。我们通常所用的坐标系都是右手直角坐标系，记之为 Oxyz 坐标系。

在 Oxyz 坐标系中，分别与 x 轴、y 轴和 z 轴同向的单位向量叫做这个坐标系的基本向量，分别用 i, j 和 k 表示.

设 p 为空间中任意一个给定的向量, 将其始点平移到坐标原点 O, 设终点为 P, 即 $ \overrightarrow{OP} = p $.

如图 3.4 所示，过 P 点作三个平面分别垂直于 x 轴、y 轴和 z 轴，它们与三个坐标轴的交点分别为 A, B 和 C.

设向量 $ \overrightarrow{OP} $ 在三个坐标轴上的投影分别为 $ p_{x}, p_{y} $ 和 $ p_{z} $，则易知

$$ \overrightarrow{O A}=p_{x}\boldsymbol{i},\quad\overrightarrow{O B}=p_{y}\boldsymbol{j},\quad\overrightarrow{O C}=p_{z}\boldsymbol{k}. $$

由于 $ \overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DP} $, $ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{OB} $, $ \overrightarrow{DP} = \overrightarrow{OC} $, 所以

$$ \boldsymbol{p}=p_{x}\boldsymbol{i}+p_{y}\boldsymbol{j}+p_{z}\boldsymbol{k}. $$

上式称为向量 p 的分解式. 由此易知, 在 Oxyz 坐标系中, 由一个给定的向量 p 可以唯一地确定它在三个坐标轴上的投影 $ p_{x}, p_{y} $ 和 $ p_{z} $; 反之, 由给定的三个有序实数 $ p_{x}, p_{y} $ 和 $ p_{z} $ 也可以唯一地确定一个向量 p. 因此, Oxyz 坐标系中的向量与有序三元数组一一对应.

向量 p 在三个坐标轴上的投影 $ \mathit{p}_{x} $, $ \mathit{p}_{y} $ 和 $ \mathit{p}_{z} $ 叫做向量 p 的坐标. $ \boldsymbol{p} = (\mathit{p}_{x}, \mathit{p}_{y}, \mathit{p}_{z}) $ 称为向量 p 的坐标表示或代数表示.

对于空间中的任意一点 P, 向量 $ \overrightarrow{OP} $ 的坐标 $ p_{x}, p_{y} $ 和 $ p_{z} $ 分别称为点 P 的横坐标、纵坐标和竖坐标, 统称为点 P 的坐标, 并把点 P 用 $ P(p_{x}, p_{y}, p_{z}) $ 表示.

对于起点为 $ P(p_x, p_y, p_z) $，终点为 $ Q(q_x, q_y, q_z) $ 的向量 $ \overrightarrow{PQ} $，由于

$$ \overrightarrow{O P}=p_{x}i+p_{y}j+p_{z}k,\quad\overrightarrow{O Q}=q_{x}i+q_{y}j+q_{z}k, $$

所以有

$$ \overrightarrow{P Q}=\overrightarrow{O Q}-\overrightarrow{O P}=(q_{x}-p_{x})i+(q_{y}-p_{y})j+(q_{z}-p_{z})k. $$

由此可知，空间中任意一个向量的坐标等于其终点坐标与起点坐标之差.

有了向量的分解式, 就可以用向量的坐标表示向量的长度.

设非零向量 $ \overrightarrow{OP} = \boldsymbol{p} = \boldsymbol{p}_x \boldsymbol{i} + \boldsymbol{p}_y \boldsymbol{j} + \boldsymbol{p}_z \boldsymbol{k} $，利用勾股定理易得 $ \boldsymbol{p} $ 的长度为

$$ |\pmb{p}|=\sqrt{p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}. $$

把两点 $ P(p_{x}, p_{y}, p_{z}) $ 和 $ Q(q_{x}, q_{y}, q_{z}) $ 的距离记作 $ d(P, Q) $，显然 $ d(P, Q) $ 就是向量 $ \overrightarrow{PQ} $ 的长度，即

$$ d(P,Q)=|\overrightarrow{PQ}|=\sqrt{(q_{x}-\overrightarrow{p_{x}})^{2}+(q_{y}-p_{y})^{2}+(q_{z}-p_{z})^{2}}. $$

对于上面的向量 p，它的方向可以用与其同向的单位向量来表示，即

$$ \frac{\pmb{p}}{|\pmb{p}|}=\frac{p_{x}}{|\pmb{p}|}i+\frac{p_{y}}{|\pmb{p}|}j+\frac{p_{z}}{|\pmb{p}|}k. $$

由向量投影的定义可得

$$ \frac{\pmb{p}}{|\pmb{p}|}=\cos\alpha\pmb{i}+\cos\beta\pmb{j}+\cos\gamma\pmb{k}, $$

其中 $ \alpha,\beta,\gamma $ 分别是向量 p 与 x 轴，y 轴和 z 轴正向的夹角.

因为用 $ \alpha,\beta,\gamma $ 也能确定向量 p 的方向, 称它们为向量 p 的方向角, 其余弦 $ \cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma $ 称为向量 p 的方向余弦. 显然有

$$ \begin{aligned}\cos\alpha&=\frac{p_{x}}{\sqrt{p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}},\\\cos\beta&=\frac{p_{y}}{\sqrt{p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}},\\\cos\gamma&=\frac{p_{z}}{\sqrt{p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}}.\end{aligned} $$

并且对于任意非零向量，其三个方向余弦的平方和等于1，即

$$ \cos^{2}\alpha+\cos^{2}\beta+\cos^{2}\gamma=1. $$

例题 1.1. 求点 $ P(1,2,0) $ 和点 $ Q(2,1,\sqrt{2}) $ 的距离 $ d(P,Q) $ 、向量 $ \overrightarrow{PQ} $ 的长度、方向余弦及方向角.

解

$$ \overrightarrow{P Q}=(2-1)i+(1-2)j+(\sqrt{2}-0)k=i-j+\sqrt{2}k. $$

$$ d(P,Q)=|\overrightarrow{PQ}|=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}+(\sqrt{2})^{2}}=2. $$

$$ \cos\alpha=\frac{1}{2},\quad\cos\beta=-\frac{1}{2},\quad\cos\gamma=\frac{\sqrt{2}}{2}. $$

$$ \alpha=\frac{\pi}{3},\quad\beta=\frac{2\pi}{3},\quad\gamma=\frac{\pi}{4}. $$

我们已经知道，在空间直角坐标系中，向量与它的坐标表示一一对应。现在进一步考察向量的线性运算与其坐标表示的线性运算是否也一一对应，

设 $ \lambda $ 是实数, $ a = a_{x}i + a_{y}j + a_{z}k $, b = bx + by + bz, 也就是向量 a 和 b 的坐标分别为 $ (a_{x}, a_{y}, a_{z}) $ 和 $ (b_{x}, b_{y}, b_{z}) $.

由向量的线性运算及其性质可得

$$ \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(a_{x}+b_{x})\boldsymbol{i}+(a_{y}+b_{y})\boldsymbol{j}+(a_{z}+b_{z})\boldsymbol{k}, $$

$$ \lambda\boldsymbol{a}=\lambda\boldsymbol{a}_{x}\boldsymbol{i}+\lambda\boldsymbol{a}_{y}\boldsymbol{j}+\lambda\boldsymbol{a}_{z}\boldsymbol{k}. $$

由此可知，a+b 的坐标为 $ (a_{x}+b_{x}, a_{y}+b_{y}, a_{z}+b_{z}) $， $ \lambda a $ 的坐标为 $ (\lambda a_{x}, \lambda a_{y}, \lambda a_{z}) $。这表明向量的线性运算与其坐标表示的线性运算也一一对应。

§3.2 向量的内积、外积与混合积

1. 向量的内积

在力学中，物体在与水平线成 $ \theta $ 角的力 F 作用下产生水平位移 s，则力对物体所做的功为

$$ W=\vert\boldsymbol{F}\vert\vert\boldsymbol{s}\vert\cos\theta. $$

将这个求功的运算进行数学抽象, 我们可以给出如下的定义.

定义 2.1. 我们将实数 $ |a||b|\cos(a,b) $ 称为向量 $ \boldsymbol{a} $ 与 $ \boldsymbol{b} $ 的内积 (数量积), 记作 $ \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} $, 即

$$ \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}). $$

若 a 与 b 中有一个为零向量，则 $ \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 0 $.

显然若 $ b \neq 0 $，则有

$$ \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=|\boldsymbol{b}|\boldsymbol{\Pi}_{b}\boldsymbol{a}. $$

上式反映了向量的内积与向量的投影之间的关系.

由内积的定义可得

$$ |a|=\sqrt{a\cdot a}, $$

当 $ a\neq0,b\neq0 $时，

$$ \cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=\frac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|}. $$

由内积的定义还可得到 $ a \perp b $ 的充要条件是 $ a \cdot b = 0 $.

性质 2.1. 对于任意的向量 a, b, c, 以及任意实数 $ \lambda $, 有

(1) 若 $ a \neq 0 $, 则 $ a \cdot a \gt 0 $;

(2) $ a^2b = b \cdot a $;

(3) $ (\lambda a) \cdot b = a \cdot (\lambda b) = \lambda (a \cdot b) $;

(4) $ (a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c $.

证明 由内积的定义容易验证 (1), (2) 和 (3) 成立, 下面证明 (4) 也成立.

当c=0时，(4)显然成立.当 $ c\neq0 $时，由向量投影的性质可得

$$ ({\boldsymbol{a}}+{\boldsymbol{b}})\cdot\boldsymbol{c}=|\boldsymbol{c}|\Pi_{c}({\boldsymbol{a}}+{\boldsymbol{b}})=|\boldsymbol{c}|(\Pi_{c}{\boldsymbol{a}}+\Pi_{c}{\boldsymbol{b}})=|\boldsymbol{c}|\Pi_{c}{\boldsymbol{a}}+|\boldsymbol{c}|\Pi_{c}{\boldsymbol{b}}={\boldsymbol{a}}\cdot{\boldsymbol{c}}+{\boldsymbol{b}}\cdot{\boldsymbol{c}}. $$

因此(4)成立.

下面利用内积的性质导出内积在空间直角坐标系中的坐标表达式.

设 $ a = a_{x}i + a_{y}j + a_{z}k $, $ b = b_{x}i + b_{y}j + b_{z}k $, 由

$$ i\cdot j=j\cdot k=k\cdot i=0,\quad i\cdot i=j\cdot j=k\cdot k=1 $$

可得

$$ \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=(a_{x}\boldsymbol{i}+a_{y}\boldsymbol{j}+a_{z}\boldsymbol{k})\cdot(b_{x}\boldsymbol{i}+b_{y}\boldsymbol{j}+b_{z}\boldsymbol{k})=a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}, $$

即两个向量的内积等于它们对应坐标的乘积之和.

2. 向量的外积

定义 2.2. 设有向量 c, c 的模 $ |c| = |a||b|\sin\langle a, b\rangle $，其方向与 a, b 均垂直，且 a, b, c 成右手系，则向量 c 叫做向量 a 与 b 的外积（向量积），记作 $ a \times b $。

若 a, b 中有一个为 0，则 $ a \times b = 0 $.

由定义知 $ a \times b = 0 $ 的充要条件是 a 与 b 共线.

外积的几何意义是: 当 a 与 b 不平行时, $ |a \times b| $ 表示以 a 和 b 为邻边的平行四边形的面积.

性质 2.2. 对于任意的向量 a, b, c, 以及任意实数 $ \lambda $, 外积有如下性质：

(1) $ a \times a = 0 $;

(2) $ a \times b = -b \times a $;

(3) $ (\lambda a) \times b = a \times (\lambda b) = \lambda (a \times b) $;

(4) $ (a+b)\times c=a\times c+b\times c. $

利用定义 2.2 不难证明性质 (1), (2) 和 (3), 性质 (4) 的证明较烦琐, 这里从略.

下面导出外积在空间直角坐标系中的坐标表达式.

设 $ a = a_{x}i + a_{y}j + a_{z}k $, $ b = b_{x}i + b_{y}j + b_{z}k $, 由

$$ i\times j=-j\times i=k,\quad j\times k=-k\times j=i, $$

$$ \boldsymbol{k}\times\boldsymbol{i}=-\boldsymbol{i}\times\boldsymbol{k}=\boldsymbol{j},\quad\boldsymbol{i}\times\boldsymbol{i}=\boldsymbol{j}\times\boldsymbol{j}=\boldsymbol{k}\times\boldsymbol{k}=\mathbf{0}, $$

以及外积的运算性质得

$$ \boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}=(a_{y} b_{z}-a_{z} b_{y})\boldsymbol{i}+(a_{z} b_{x}-a_{x} b_{z})\boldsymbol{j}+(a_{x} b_{y}-a_{y} b_{x})\boldsymbol{k}. $$

为便于记忆，外积可写成行列式形式

$$ \boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}=\left|\begin{array}{ccc}\boldsymbol{i}&\boldsymbol{j}&\boldsymbol{k}\\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\end{array}\right|. $$

例题 2.1. 设向量 $ \boldsymbol{a}=-i+j+k $, $ \boldsymbol{b}=2i-j+k $, 求 $ \boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b} $ 及以 $ \boldsymbol{a} $ 和 $ \boldsymbol{b} $ 为邻边的平行四边形的面积 S.

解

$$ \boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}=\left|\begin{array}{c c c}{i}&{j}&{k}\\ {-1}&{1}&{1}\\ {2}&{-1}&{1}\end{array}\right|=2i+3j-k. $$

$$ S=\left|\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\right|=\sqrt{2^{2}+3^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{14}. $$

3. 向量的混合积

定义 2.3. 三个向量 a, b, c 的混合积记作 $ (a, b, c) $，它是一个数，规定

$$ (a,b,c)=(a\times b)\cdot c. $$

混合积的几何意义为：以三个非零向量 $ \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c} $ 为棱作一个平行六面体，其底面积为 $ |\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}| $，高为 $ |c||\cos\theta| $，其中 $ \theta $ 为 $ c $ 与 $ \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} $ 的夹角。于是该平行六面体的体积为

$$ V=|\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}||\boldsymbol{c}||\cos\theta|=|(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{c}|=|(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c})|. $$

由此可知，三个向量混合积的绝对值（与向量的次序无关）是以它们为棱的平行六面体的体积.

易知, 若三个向量 $ a, b, c $ 符合右手法则, 则 $ V = (a, b, c) $, 否则 $ V = -(a, b, c) $.

由混合积的几何意义可知，三个向量 a, b, c 共面的充要条件是 $ (a, b, c) = 0 $.

下面在空间直角坐标系中建立混合积的坐标表达式.

设 $ a = a_{x}i + a_{y}j + a_{z}k $, $ b = b_{x}i + b_{y}j + b_{z}k $, $ c = c_{x}i + c_{y}j + c_{z}k $, 由

$$ \boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}=\begin{vmatrix}a_{y}&a_{z}\\ b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}\boldsymbol{i}+\begin{vmatrix}a_{z}&a_{x}\\ b_{z}&b_{x}\end{vmatrix}\boldsymbol{j}+\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}\\ b_{x}&b_{y}\end{vmatrix}\boldsymbol{k} $$

可得

$$ \begin{aligned}(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c})=\begin{vmatrix}a_{y}&a_{z}\\ b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}c_{x}+\begin{vmatrix}a_{z}&a_{x}\\ b_{z}&b_{x}\end{vmatrix}c_{y}+\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}\\ b_{x}&b_{y}\end{vmatrix}c_{z}=\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\ b_{x}&b_{y}&b_{z}\\ c_{x}&c_{y}&c_{z}\end{vmatrix}.\end{aligned} $$

从而有

$$ (a,b,c)=\left|\begin{array}{l l l}{a_{x}}&{b_{x}}&{c_{x}}\\ {a_{y}}&{b_{y}}&{c_{y}}\\ {a_{z}}&{b_{z}}&{c_{z}}\end{array}\right|. $$

例题 2.2. 设向量 $ a = i + j $, b = j + k, c = k + i, 它们的始点同为 O, 求以 a, b, c 为棱的平行六面体的体积 V.

解 因为

$$ \left(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\right)=\left|\begin{matrix}{{{1}}}&{{{0}}}&{{{1}}} \\{{{1}}}&{{{1}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{1}}}&{{{1}}}\end{matrix}\right|=2, $$

所以 V=2.

例题 2.3. 当 k 为何值时，四个点 $ P(2,0,1) $， $ A(1,2,3) $， $ B(2,3,1) $ 和 $ C(3,1,k) $ 共面？

解 令 $ a = \overrightarrow{PA} $, $ b = \overrightarrow{PB} $, $ c = \overrightarrow{PC} $，则 $ a = (-1, 2, 2) $, $ b = (0, 3, 0) $, $ c = (1, 1, k-1) $.

因为

$$ (\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c})=\left|\begin{matrix}{{{-1}}}&{{{0}}}&{{{1}}} \\{{{2}}}&{{{3}}}&{{{1}}} \\{{{2}}}&{{{0}}}&{{{k-1}}}\end{matrix}\right|=-3(k+1), $$

所以当 k = -1 时，a, b, c 共面，也就是 P, A, B, C 四点共面.

§3.3 空间平面及其方程

1. 平面的点法式方程

与平面垂直的非零向量叫做该平面的法向量. 显然, 平面上任意一个向量都与其法向量垂直.

给定一点及一个非零向量，就可以确定唯一的一个过给定点且以给定向量为法向量的平面。反之，给定一个平面，我们可以在平面上任取一点及其一个法

向量, 则这个平面就是过取定点且垂直于所取向量的平面. 因此, 平面可用一点及一个法向量来确定. 下面在此条件下建立平面的方程.

设 $ P_0(x_0, y_0, z_0) $ 是平面 $ \pi $ 上一点, $ n = A i + B j + C k $ 为平面 $ \pi $ 的法向量. 易知, $ P(x, y, z) $ 在平面 $ \pi $ 上 (如图 3.5 所示) $ \Longleftrightarrow \overrightarrow{P_0P} \perp \boldsymbol{n} \Longleftrightarrow \overrightarrow{P_0P} \cdot \boldsymbol{n} = 0 $, 即

$$ A(x-x_{0})+B(y-y_{0})+C(z-z_{0})=0, $$

这个方程称为平面的点法式方程.

例题 3.1. 已知平面过点 $ P_{0}(x_{0}, y_{0}, z_{0}) $ 且平行于两个不共线的向量 $ a = a_{x}i + a_{y}j + a_{z}k $ 和 $ b = b_{x}i + b_{y}j + b_{z}k $，求此平面的方程.

解 因为所求的平面平行于向量 a 和 b，所以平面的法向量同时垂直于 a 和 b。因此，平面的法向量 n 可取为 $ a \times b $，即

$$ \boldsymbol{n}=\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}=\left|\begin{matrix}a_{y}&a_{z}\\ b_{y}&b_{z}\end{matrix}\right|\boldsymbol{i}+\left|\begin{matrix}a_{z}&a_{x}\\ b_{z}&b_{x}\end{matrix}\right|\boldsymbol{j}+\left|\begin{matrix}a_{x}&a_{y}\\ b_{x}&b_{y}\end{matrix}\right|\boldsymbol{k}. $$

由平面的点法式方程可得所求的平面方程为

$$ \begin{vmatrix}a_{y}&a_{z}\\ b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}(x-x_{0})+\begin{vmatrix}a_{z}&a_{x}\\ b_{z}&b_{x}\end{vmatrix}(y-y_{0})+\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}\\ b_{x}&b_{y}\end{vmatrix}(z-z_{0})=0. $$

为便于记忆，上面的平面方程可写成如下的行列式形式

$$ \begin{vmatrix}x-x_{0}&y-y_{0}&z-z_{0}\\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}=0. $$

2. 平面的一般式方程

将平面的点法式方程（3.1）整理得

$$ Ax+By+Cz+D=0, $$

其中 $ D = -(Ax_{0} + By_{0} + Cz_{0}) $. 这个方程称为平面的一般式方程.

由此可知，任何一个平面方程都可用一个三元一次方程来表示。反之，任意一个三元一次方程

$$ \boldsymbol{A}\boldsymbol{x}+\boldsymbol{B}\boldsymbol{y}+\boldsymbol{C}\boldsymbol{z}+\boldsymbol{D}=\boldsymbol{0}\quad( 其中 \boldsymbol{A},\boldsymbol{B},\boldsymbol{C} 不全为 0) $$

都表示一个平面. 下面说明原因.

不失一般性，设 $ C \neq 0 $，则上述方程可化为

$$ A(x-0)+B(y-0)+C\left(z-\left(-\frac{D}{C}\right)\right)=0, $$

这是一个过点 $ (0,0,-\frac{D}{C}) $ 且以 $ \boldsymbol{n}=(A,B,C) $ 为法向量的平面. 因此，任意一个三元一次方程都表示一个平面.

由上述分析的结果可知，平面与三元一次方程相对应，且以方程中变量的系数作为坐标的向量 $ \boldsymbol{n} = (A, B, C) $ 是平面的一个法向量.

对于一些特殊的三元一次方程，我们来研究它们对应的平面的特点.

(1) 当 D = 0 时，(3.2) 表示一个过原点的平面.

(2) 当 $ D \neq 0 $ 时，若 A, B, C 中只有一个为零，则平面平行于某个坐标轴。例如，当只有 C = 0 时，平面的法向量与 z 轴垂直，因此平面平行于 z 轴。

(3) 当 $ D \neq 0 $ 时，若 A, B, C 中只有一个不为零，则平面平行于某坐标面。例如，若只有 A $ \neq $ 0，则平面的法向量平行于 x 轴，因此平面平行于 yOz 面。

例题 3.2. 求过两点 $ P(1,0,0) $ 和 $ Q(0,0,1) $ 且平行于 y 轴的平面方程.

解 由于平面平行于 y 轴，所以平面方程可设为

$$ Ax+Cz+D=0. $$

易知 $ D \neq 0 $ 。又因为平面过 P 和 Q 两点，将其坐标代入方程得

$$ \{\begin{aligned}A+D&=0,\\ C+D&=0.\end{aligned}. $$

从而有 A = C = -D，故所求的平面方程为 $ x + z - 1 = 0 $.

3. 平面的截距式方程

一个不过原点的平面与 x 轴交点的横坐标、与 y 轴交点的纵坐标和与 z 轴交点的竖坐标分别称为该平面在 x 轴、y 轴和 z 轴上的截距，易知，该平面在 x 轴、y 轴和 z 轴上的截距为三个非零数.

显然，当 $ abc \neq 0 $ 时，平面 $ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1 $ 在 x 轴、y 轴和 z 轴上的截距分别为 a, b, c. 因此，我们将这种形式的平面方程称为平面的截距式方程.

用截距式方程比较容易画出平面的图形. 例如, 将平面方程

$$ 10x+5y+4z-20=0 $$

化成截距式方程为

$$ \frac{x}{2}+\frac{y}{4}+\frac{z}{5}=1. $$

按照三个坐标轴上的截距就可画出平面 (如图 3.6).

4. 平面的三点式方程

在几何上，可用不共线的三点确定唯一的一个平面。下面建立过不共线三点 $ P_{1}(x_{1},y_{1},z_{1}) $， $ P_{2}(x_{2},y_{2},z_{2}) $， $ P_{3}(x_{3},y_{3},z_{3}) $的平面方程。

设 $ P(x,y,z) $ 为平面上的任意一点，显然向量 $ \overrightarrow{P_{1}P} $， $ \overrightarrow{P_{1}P_{2}} $ 和 $ \overrightarrow{P_{1}P_{3}} $ 的坐标分别为 $ (x-x_{1},y-y_{1},z-z_{1}) $， $ (x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1},z_{2}-z_{1}) $ 和 $ (x_{3}-x_{1},y_{3}-y_{1},z_{3}-z_{1}) $。

由于这三个向量共面，所以它们的混合积为零。于是

$$ \begin{vmatrix}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\\ x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\ x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}&z_{3}-z_{1}\end{vmatrix}=0, $$

这就是由三点 $ P_{1}, P_{2} $ 和 $ P_{3} $ 所确定的平面方程，称为平面的三点式方程.

5. 两平面间的关系和平面束

两个平面之间有重合、平行和相交这三种关系. 下面通过简要分析给出其判别方法.

设有两个平面

$$ \begin{aligned}&\pi_{1}:A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0,\\&\pi_{2}:A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0.\end{aligned} $$

它们的法向量分别为 $ \boldsymbol{n}_{1}=(A_{1},B_{1},C_{1}) $ 和 $ \boldsymbol{n}_{2}=(A_{2},B_{2},C_{2}) $.

若 $ n_{1}//n_{2} $，则 $ \pi_{1} $ 与 $ \pi_{2} $ 或者重合，或者平行，二者必具其一。否则， $ \pi_{1} $ 与 $ \pi_{2} $ 相交。

若 $ n_{1}//n_{2} $，则存在数 $ \lambda \neq 0 $，使得 $ n_{1} = \lambda n_{2} $。于是 $ \pi_{1} $ 的方程可化为

$$ \lambda(A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z)+D_{1}=0. $$

若 $ \pi_{1} $ 与 $ \pi_{2} $ 重合，则由 $ \pi_{2} $ 的任意一点 $ P(x,y,z) $ 都在 $ \pi_{1} $ 上，易知 $ D_{1}-\lambda D_{2}=0 $，即 $ D_{1}=\lambda D_{2} $.

综上我们有下面的结论：

(1) 平面 $ \pi_{1} $ 与 $ \pi_{2} $ 重合 $ \Longleftrightarrow \frac{A_{1}}{A_{2}} = \frac{B_{1}}{B_{2}} = \frac{C_{1}}{C_{2}} = \frac{D_{1}}{D_{2}} $;

(2) 平面 $ \pi_{1} $ 与 $ \pi_{2} $ 平行 $ \Longleftrightarrow \frac{A_{1}}{A_{2}} = \frac{B_{1}}{B_{2}} = \frac{C_{1}}{C_{2}} \neq \frac{D_{1}}{D_{2}} $;

(3) 平面 $ \pi_{1} $ 与 $ \pi_{2} $ 相交 $ \Longleftrightarrow A_{1}:B_{1}:C_{1}\neq A_{2}:B_{2}:C_{2} $

例题 3.3. 求过点 $ P(1,1,-1) $ 且与平面

$$ \pi:3x+y+2z=1 $$

平行的平面方程.

解法一 因为所求的平面与 $ \pi $ 平行, 其方程可设为

$$ 3x+y+2z+D=0. $$

将点 P 的坐标代入该方程，得 D = -2。于是，所求的平面方程为

$$ 3x+y+2z-2=0. $$

解法二 由所求的平面与 $ \pi $ 平行可知，它的法向量可取为 $ \pi $ 的法向量 n = (3,1,2). 于是，所求的平面方程为

$$ 3(x-1)+(y-1)+2(z+1)=0, $$

即 $ 3x + y + 2z - 2 = 0 $.

当两个平面 $ \pi_{1} $ 与 $ \pi_{2} $ 相交时，它们显然交于一条直线，记为 l。由于交线上任一点的坐标都同时满足 $ \pi_{1} $ 和 $ \pi_{2} $ 的方程，所以平面 $ \pi_{1} $ 与 $ \pi_{2} $ 的交线 l 由方程组

$$ \{\begin{aligned}A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}&=0,\\ A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}&=0\end{aligned}. $$

所确定，而 $ \pi_{1} $ 和 $ \pi_{2} $ 是过这条直线 l 的两个平面.

显然，过一条直线的平面有无穷多个。经过同一条直线的所有平面的集合叫做同轴平面束。

设 $ \lambda_{1} $ 和 $ \lambda_{2} $ 是两个不同时为零的实参数，建立含有 $ \lambda_{1} $ 和 $ \lambda_{2} $ 的三元一次方程

$$ \lambda_{1}(A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1})+\lambda_{2}(A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2})=0, $$

显然，当 $ \lambda_{1} \neq 0 $ 且 $ \lambda_{2} = 0 $ 时，它是平面 $ \pi_{1} $；当 $ \lambda_{1} = 0 $ 且 $ \lambda_{2} \neq 0 $ 时，它是平面 $ \pi_{2} $.

直线 l 上任意一点的坐标都满足平面 $ \pi_{1} $ 和 $ \pi_{2} $ 的方程，当然也满足方程 (3.4). 因此，方程 (3.4) 表示的平面通过直线 l，再由 $ \lambda_{1} $ 和 $ \lambda_{2} $ 的任意性知，方程 (3.4) 是以直线 l 为轴的平面束方程.

用平面束方程处理某些问题有时比较方便.

例题 3.4. 求过点 $ P(-1,0,1) $ 且经过两个平面

$$ x+3y-z=0 $$

和

$$ x-y+z+1=0 $$

的交线的平面方程.

解 由于所求平面与两个已知平面均为同轴平面束中的平面，所以可设所求平面为

$$ \lambda_{1}(x+3y-z)+\lambda_{2}(x-y+z+1)=0. $$

将点 $ P(-1,0,1) $ 代入上面的方程，得 $ \lambda_{2}=2\lambda_{1} $ 。将其代入上面的方程，得所求的平面方程为

$$ 3x+y+z+2=0. $$

§3.4 空间直线及其方程

空间直线也是非常简单且重要的空间几何图形. 本节仍以向量为工具, 在空

间直角坐标系中根据确定直线的条件建立相应的直线方程，并讨论直线与直线、直线与平面间的相互关系及各种夹角和距离.

1. 直线的点向式方程

与直线平行的非零向量叫做直线的方向向量，它的三个坐标称为直线的方向数。显然，直线上的任意一个向量都与其方向向量平行。

在空间中，给定一点及一个非零向量，过给定点且平行于该向量可以确定唯一的一条直线。反之，给定一条直线，在其上任取两个相异的点 $ P_{1} $ 和 $ P_{2} $，则这条直线就是过点 $ P_{1} $ 且与向量 $ \overrightarrow{P_{1}P_{2}} $ 平行的直线。因此，直线可用一点和一个方向向量确定。下面根据此条件建立直线的方程。

设 $ P_{0}(x_{0},y_{0},z_{0}) $ 是直线 l 上一点, s = mi + nj + pk 为 l 的方向向量, 即方向数为 m, n 和 p.

易知，点 $ P(x,y,z) $ 在直线 $ l $ 上 $ \Longleftrightarrow \overrightarrow{P_0P}/s $，即

$$ \frac{x-x_{0}}{m}=\frac{y-y_{0}}{n}=\frac{z-z_{0}}{p}. $$

这种由一点和方向向量所确定的直线方程叫做直线的点向式方程。这种方程的结构对称，因此也叫做直线的对称式方程。

当方向数 m, n 和 p 中有的为零时，在形式上仍可用(4.1)来表示直线。例如

$$ \frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{0}=\frac{z-3}{-3} $$

表示一条过点 $ (1,2,3) $ 且以 $ \boldsymbol{s}=(2,0,-3) $ 为方向向量的直线。显然，它是与 xOz 平面平行的直线。

一般来说，若 m, n 和 p 中只有一个不为零，例如 $ m \neq 0 $，此时可把 (4.1) 理解为下列两个特殊平面的交线，即

$$ \{\begin{aligned}y&=y_{0},\\ z&=z_{0}.\end{aligned}. $$

例题 4.1. 求过两个相异点 $ P_{0}(x_{0}, y_{0}, z_{0}) $ 和 $ P_{1}(x_{1}, y_{1}, z_{1}) $ 的直线方程.

解 显然, 所求直线是过点 $ P_{0} $ 且以 $ \overrightarrow{P_{0}P_{1}} $ 为方向向量的直线. $ \overrightarrow{P_{0}P_{1}} $ 的坐标为 $ (x_{1}-x_{0},y_{1}-y_{0},z_{1}-z_{0}) $, 故所求直线方程为

$$ \frac{x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}=\frac{y-y_{0}}{y_{1}-y_{0}}=\frac{z-z_{0}}{z_{1}-z_{0}}. $$

这种由两点确定的直线方程叫做直线的两点式方程.

在方程（4.1）中，若令其比值为 t，则（4.1）表示的对称式方程就化为

$$ \{\begin{array}{l}{x=x_{0}+m t,}\\ {}\\ {y=y_{0}+n t,}\\ {}\\ {z=z_{0}+p t,}\end{array}. $$

上面的方程叫做直线的参数方程，其中 t 为参数。

例题 4.2. 求直线 $ \frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{0}=\frac{z-3}{-3} $ 与平面 2x-y+z=4 的交点 P.

解 显然，交点 P 的三个坐标是直线方程和平面方程的公共解．将直线 $ \frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{0}=\frac{z-3}{-3} $ 写成参数方程

$$ \{\begin{array}{l}x=1+2t,\\ \\ y=2,\\ \\ z=3-3t,\end{array}. $$

将其代入平面方程 2x - y + z = 4 可得 t = 1 。因此，所求的交点为 $ P(3,2,0) $ 。

2. 直线的一般式方程

由上节知，两个相交的平面

$$ \pi_{1}:A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0 $$

和

$$ \pi_{2}:A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0 $$

的交线 l 可以由方程组

$$ \{\begin{aligned}A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}&=0,\\ A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}&=0\end{aligned}. $$

所确定. 当 $ A_1:B_1:C_1 \neq A_2:B_2:C_2 $ 时, 上面的方程组叫做直线的一般式方程.

给定两个相交的平面，它们所交的直线就唯一确定。反之，给定一条直线，由于过该直线的平面有无穷多个，将其中任何两个平面方程联立得到的方程组都可以表示这条直线。因此，直线的一般式方程不唯一。

上述几种形式的直线方程对于处理不同的问题各有所长，应熟悉它们之间的转化.

例题 4.3. 将直线的一般式方程

$$ \{\begin{aligned}x-y&+z=0,\\ x+y-2z&=2\end{aligned}. $$

化为对称式方程.

解 先求直线上一点. 令 z=0, 由

$$ \{\begin{aligned}x-y&=0,\\ x+y&=2\end{aligned}. $$

求得 x = y = 1 。因此，点 (1,1,0) 是直线上的一点。

再求直线的方向向量 s. 由于这条直线是法向量分别为 $ \boldsymbol{n}_{1}=(1,-1,1) $ 和 $ \boldsymbol{n}_{2}=(1,1,-2) $ 的两个平面的交线，所以 $ s \perp \boldsymbol{n}_{1} $ 且 $ s \perp \boldsymbol{n}_{2} $. 取

$$ \boldsymbol{s}=\boldsymbol{n}_{1}\times\boldsymbol{n}_{2}=\left|\begin{array}{c c c}{i}&{j}&{k}\\ {1}&{-1}&{1}\\ {1}&{1}&{-2}\end{array}\right|=i+3j+2k. $$

因此，该直线的对称式方程为

$$ \frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{3}=\frac{z}{2}. $$

3. 直线与平面间的关系

上一节的同轴平面束表明了直线与多个平面的一种关系. 下面以向量为工具讨论一条直线 l 与一个平面 $ \pi $ 之间的关系. 设

$$ \begin{aligned}l:\frac{x-x_{0}}{m}&=\frac{y-y_{0}}{n}=\frac{z-z_{0}}{p},\\\pi:A x&+B y+C z+D=0.\end{aligned} $$

它们的方向向量和法向量分别为 $ \boldsymbol{s}=(m,n,p) $ 和 $ \boldsymbol{n}=(A,B,C) $.

(1) l 在 $ \pi $ 上 $ \Longleftrightarrow $ $ s \perp n $ (即 $ s \cdot n = 0 $) 且点 $ (x_0, y_0, z_0) $ 满足 $ \pi $ 的方程 $ \Longleftrightarrow mA + nB + pC = 0 $ 且 $ Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D = 0 $.

(2) l 与 $ \pi $ 平行 $ \Longleftrightarrow s \perp n $ 且点 $ (x_{0}, y_{0}, z_{0}) $ 不满足 $ \pi $ 的方程 $ \Longleftrightarrow mA + nB + pC = 0 $ 且 $ Ax_{0} + By_{0} + Cz_{0} + D \neq 0 $.

(3) l 与 $ \pi $ 相交 $ \Longleftrightarrow s $ 与 n 不垂直 $ \Longleftrightarrow mA + nB + pC \neq 0 $.

(4) $ l $ 与 $ \pi $ 垂直 $ \Longleftrightarrow s//n $ (即 $ s \times n = 0 $) $ \Longleftrightarrow \frac{A}{m} = \frac{B}{n} = \frac{C}{p} $.

4. 两直线间的关系

设有两条空间直线

$$ l_{1}:\frac{x-x_{1}}{m_{1}}=\frac{y-y_{1}}{n_{1}}=\frac{z-z_{1}}{p_{1}}, $$

$$ l_{2}:\frac{x-x_{2}}{m_{2}}=\frac{y-y_{2}}{n_{2}}=\frac{z-z_{2}}{p_{2}}. $$

显然， $ l_{1} $ 过点 $ P_{1}(x_{1},y_{1},z_{1}) $ 且方向向量为 $ \boldsymbol{s}_{1}=(m_{1},n_{1},p_{1});l_{2} $ 过点 $ P_{2}(x_{2},y_{2},z_{2}) $ 且方向向量为 $ \boldsymbol{s}_{2}=(m_{2},n_{2},p_{2}) $ 。向量 $ \overrightarrow{P_{1}P_{2}} $ 的坐标为 $ (x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1},z_{2}-z_{1}) $

直线 $ l_{1} $ 与 $ l_{2} $ 不是共面就是异面，判别方法如下：

直线 $ l_{1} $ 与 $ l_{2} $ 共面 $ \Leftrightarrow $ 三个向量 $ s_{1}, s_{2}, \overrightarrow{P_{1}P_{2}} $ 共面 $ \Leftrightarrow (s_{1}, s_{2}, \overrightarrow{P_{1}P_{2}}) = 0 $，即

$$ \begin{aligned}\left|\begin{matrix}m_{1}&m_{2}&x_{2}-x_{1}\\n_{1}&n_{2}&y_{2}-y_{1}\\p_{1}&p_{2}&z_{2}-z_{1}\end{matrix}\right|&=0.\end{aligned} $$

当 $ l_{1} $ 与 $ l_{2} $ 共面时，它们之间有重合、平行和相交三种情况，判别方法如下：

(1) $ l_1 $ 与 $ l_2 $ 重合 $ \Leftrightarrow \boldsymbol{s}_1 // \boldsymbol{s}_2 $ // $ \overrightarrow{P_1P_2} \iff m_1 : n_1 : p_1 = m_2 : n_2 : p_2 = (x_2 - x_1) : (y_2 - y_1) : (z_2 - z_1) $;

(2) $ l_1 $ 与 $ l_2 $ 平行 $ \Longleftrightarrow \boldsymbol{s}_1 // \boldsymbol{s}_2 $ 且不平行于 $ \overrightarrow{P_1P_2'} \Longleftrightarrow m_1 : n_1 : p_1 = m_2 : n_2 : p_2 \neq (x_2 - x_1) : (y_2 - y_1) : (z_2 - z_1) $;

(3) $ l_1 $ 与 $ l_2 $ 交于一点 $ \Leftrightarrow s_1, s_2, \overrightarrow{P_1P_2} $ 共面且 $ s_1 $ 与 $ s_2 $ 不平行 $ \Leftrightarrow (4.4) $ 成立且 $ m_1:n_1:p_1 \neq m_2:n_2:p_2 $.

若(4.4)不满足，则直线 $ l_{1} $与 $ l_{2} $异面.

例题 4.4. 设两条直线分别为

$$ \begin{aligned}l_{1}:\frac{x-1}{-1}&=\frac{y+2}{2}=\frac{z-1}{1},\\l_{2}:\frac{x-r}{2}&=\frac{y-2}{t}=\frac{z+1}{-2}.\end{aligned} $$

对 r 和 t 加以讨论, 分析 $ l_{1} $ 与 $ l_{2} $ 的相对位置.

解 显然， $ l_{1} $ 过点 $ P_{1}(1,-2,1) $ 且方向向量为 $ \boldsymbol{s}_{1}=(-1,2,1) $， $ l_{2} $ 过点 $ P_{2}(r,2,-1) $ 且方向向量为 $ \boldsymbol{s}_{2}=(2,t,-2) $。 $ \overrightarrow{P_{1}P_{2}} $ 的坐标为 $ (r-1,4,-2) $，并且

$$ (\boldsymbol{s}_{1},\boldsymbol{s}_{2},\overrightarrow{P_{1}P_{2}})=\left|\begin{array}{r r r}{-1}&{2}&{r-1}\\ {2}&{t}&{4}\\ {1}&{-2}&{-2}\end{array}\right|=-(r-3)(t+4). $$

由此可得

(1) 当 $ r \neq 3 $ 且 $ t \neq -4 $ 时， $ (s_1, s_2, \overrightarrow{P_1P_2}) \neq 0 $. 因此， $ l_1 $ 与 $ l_2 $ 异面.

(2) 当 $ t = -4 $ 时，对任意 $ r \in \mathbb{R} $，都有

$$ (-1):2:1=2:(-4):(-2)\neq(r-1):4:(-2), $$

因此 $ l_{1} $ 与 $ l_{2} $ 平行.

(3) 当 $ t \neq -4 $ 且 r = 3 时，由 $ (s_1, s_2, \overrightarrow{P_1P_2}) = 0 $ 且 $ (-1):2:1 \neq 2:t:(-2) $ 知 $ l_1 $ 和 $ l_2 $ 相交.

(4) 当 t=2 时， $ s_{1}\cdot s_{2}=0 $。因此， $ l_{1} $ 与 $ l_{2} $ 垂直（当 r=3 时为共面垂直相交，当 $ r\neq3 $ 时为异面垂直）。

5. 两直线、两平面、直线和平面的夹角

现在我们用向量的夹角定义直线与直线、平面与平面，以及直线与平面的夹角.

设直线 $ l_{1} $ 和 $ l_{2} $ 的方向向量分别为 $ s_{1} $ 和 $ s_{2} $，平面 $ \pi_{1} $ 和 $ \pi_{2} $ 的法向量分别为 $ n_{1} $ 和 $ n_{2} $.

(1) 设 $ s_1 $ 和 $ s_2 $ 的夹角为 $ \theta $，把 $ \varphi = \min\{\theta, \pi - \theta\} $ 称为直线 $ l_1 $ 与 $ l_2 $ 的夹角。显然

$$ \cos\varphi=\frac{|\boldsymbol{s}_{1}\cdot\boldsymbol{s}_{2}|}{|\boldsymbol{s}_{1}||\boldsymbol{s}_{2}|}. $$

(2) 设 $ n_{1} $ 与 $ n_{2} $ 的夹角为 $ \theta $，把 $ \varphi = \min\{\theta, \pi - \theta\} $ 称为平面 $ \pi_{1} $ 与 $ \pi_{2} $ 的夹角. 显然

$$ \cos\varphi=\frac{|\boldsymbol{n}_{1}\cdot\boldsymbol{n}_{2}|}{|\boldsymbol{n}_{1}||\boldsymbol{n}_{2}|}. $$

(3) 设 $ s_{1} $ 和 $ n_{1} $ 的夹角为 $ \theta $，把

$$ \varphi=\frac{\pi}{2}-\min\{\theta,\pi-\theta\} $$

称为直线 $ l_{1} $ 与平面 $ \pi_{1} $ 的夹角 (如图 3.7 所示). 显然

$$ \sin\varphi=\cos(\min\{\theta,\pi-\theta\})=\frac{|\boldsymbol{s}_{1}\cdot\boldsymbol{n}_{1}|}{|\boldsymbol{s}_{1}||\boldsymbol{n}_{1}|}. $$

注意, 上述三种夹角都不大于 $ \frac{\pi}{2} $, 这与向量的夹角有所不同.

例题 4.5. 求直线 $ l: \frac{x-1}{-1} = \frac{y+2}{2} = \frac{z-1}{1} $ 与平面 $ \pi: x + y + 2z = 3 $ 的夹角 $ \varphi $.

解 l 的方向向量为 $ \boldsymbol{s}=(-1,2,1) $， $ \pi $ 的法向量为 $ \boldsymbol{n}=(1,1,2) $。由

$$ \boldsymbol{s}\cdot\boldsymbol{n}=(-1)\times1+2\times1+1\times2=3, $$

$$ \left|s\right|=\sqrt{(-1)^{2}+2^{2}+1^{2}}=\sqrt{6}, $$

$$ \left|n\right|=\sqrt{(1)^{2}+1^{2}+2^{2}}=\sqrt{6} $$

得

$$ \sin\varphi=\frac{|\boldsymbol{s}\cdot\boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{s}||\boldsymbol{n}|}=\frac{1}{2}, $$

因此， $ \varphi=\frac{\pi}{6} $

6. 距离

我们知道两点的距离可由连接这两点的向量的长度来确定。下面仍以向量为工具研究点到直线及点到平面的距离。利用这两种距离容易求出两条平行直线、两个平行平面及直线与平行于该直线的平面之间的距离。这些距离均指垂直距离。

(1) 点到直线的距离

设 $ P_{0}(x_{0},y_{0},z_{0}) $ 为空间一定点，过点 $ P_{1}(x_{1},y_{1},z_{1}) $ 且方向向量为 s 的直线用 $ l(P_{1},s) $ 表示。点 $ P_{0} $ 到直线 l 的距离用 $ d(P_{0},l) $ 表示（如图 3.8 所示）。

显然， $ d(P_0, l) = |\overrightarrow{P_1P_0}| \sin \theta $ (其中 $ \theta $ 为 $ s $ 与 $ \overrightarrow{P_1P_0} $ 的夹角). 由

$$ |\pmb{s}\times\overrightarrow{P_{1}P_{0}}|=|\pmb{s}||\overrightarrow{P_{1}P_{0}}|\sin\theta $$

可得

$$ d(P_{0},l)=\frac{|\pmb{s}\times\overrightarrow{P_{1}P_{0}}|}{|\pmb{s}|}. $$

由此可知，两条平行直线的距离就是其中一条直线上的一点到另一条直线的距离.

例题 4.6. 求两条平行直线 $ l_{1} $ 和 $ l_{2} $ 的距离 $ d(l_{1}, l_{2}) $，其中

$$ l_{1}:\frac{x}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-1}{2}, $$

$$ l_{2}:\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{4}=\frac{z-2}{4}. $$

解 $ l_{1} $ 的方向向量为 $ \boldsymbol{s}_{1}=(1,2,2) $， $ l_{2} $ 的方向向量为 $ \boldsymbol{s}_{2}=(2,4,4) $。在 $ l_{1} $ 上取一点 $ P_{1}(0,2,1) $，在 $ l_{2} $ 上取一点 $ P_{2}(1,2,2) $，则 $ d(l_{1},l_{2})=d(P_{2},l_{1}) $。由 $ \overrightarrow{P_{1}P_{2}}=i+k $ 可得

$$ \begin{aligned}{\mathbf{s}_{1}\times\overrightarrow{P_{1}P_{2}}}&{{}=\left|\begin{matrix}{i}&{j}&{k}\\ {1}&{2}&{2}\\ {1}&{0}&{1}\\ \end{matrix}\right|=2i+j-2k.}\\ \end{aligned} $$

再由 $ |\boldsymbol{s}_{1}\times\overrightarrow{P_{1}P_{2}}|=3 $ 及 $ |\boldsymbol{s}_{1}|=3 $ 可得

$$ d(P_{2},l_{1})=\frac{|\boldsymbol{s}_{1}\times\overrightarrow{P_{1}P_{2}}|}{|\boldsymbol{s}_{1}|}=\frac{3}{3}=1. $$

因此， $ d(l_{1},l_{2})=1 $

(2) 点到平面的距离

设 $ P_{0}(x_{0},y_{0},z_{0}) $ 为空间一定点，过点 $ P_{1}(x_{1},y_{1},z_{1}) $ 且法向量为 n 的平面用 $ \pi(P_{1},n) $ 表示，点 $ P_{0} $ 到平面 $ \pi $ 的距离用 $ d(P_{0},\pi) $ 表示，过 $ P_{0} $ 作平面 $ \pi $ 的垂线交 $ \pi $ 于 $ Q_{0} $ (如图 3.9 所示).

显然， $ d(P_0, \pi) = |\overrightarrow{Q_0P_0}| = |\overrightarrow{P_1P_0}||\cos\theta| $ (其中 $ \theta $ 为 $ n $ 与 $ \overrightarrow{P_1P_0} $ 的夹角). 由

$$ |\pmb{n}\cdot\overrightarrow{P_{1}P_{0}}|=|\pmb{n}||\overrightarrow{P_{1}P_{0}}||\cos\theta| $$

可得

$$ d(P_{0},\pi)=\frac{|\mathbf{n}\cdot\overrightarrow{P_{1}P_{0}}|}{|\mathbf{n}|}. $$

设平面 $ \pi $ 的一般式方程为 Ax + By + Cz + D = 0. 由 $ \overrightarrow{P_{1}P_{0}} = (x_{0} - x_{1}, y_{0} - y_{1}, z_{0} - z_{1}) $ 知，

$$ d(P_{0},\pi)=\frac{|\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{P_{1}P_{0}}|}{|\boldsymbol{n}|}=\frac{|A(x_{0}-x_{1})+B(y_{0}-y_{1})+C(z_{0}-z_{1})|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}. $$

再由 $ P_{1} $ 在平面 $ \pi $ 上可知

$$ Ax_{1}+By_{1}+Cz_{1}+D=0, $$

即

$$ -A x_{1}-B y_{1}-C z_{1}=D. $$

因此，点 $ P_{0} $ 到平面 $ \pi $ 的距离为

$$ d(P_{0},\pi)=\frac{|Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}+D|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}. $$

由此可得出以下两个结论.

(1) 与平面 $ \pi $ 平行的直线 l 到 $ \pi $ 的距离为 l 上的任意一点到 $ \pi $ 的距离.

(2) 两个平行平面的距离为其中一个平面上的任意一点到另一个平面的距离.

例题 4.7. 求下列两平行平面 $ \pi_{1} $ 和 $ \pi_{2} $ 之间的距离 $ d(\pi_{1},\pi_{2}) $，其中

$$ \pi_{1}:x+2y-2z+3=0, $$

$$ \pi_{2}:2x+4y-4z-3=0. $$

解 在 $ \pi_{1} $ 上取一点 $ P(-3,0,0) $，则

$$ d(\pi_{1},\pi_{2})=d(P,\pi_{2})=\frac{|2\times(-3)+4\times0-4\times0-3|}{\sqrt{2^{2}+4^{2}+(-4)^{2}}}=\frac{3}{2}. $$

习题三

1. 判别下列等式何时成立：

(1) $ |a + b| = |a - b| $;

(2) $ |a + b| = |a| + |b| $.

1. 设 M 是线段 AB 的中点, O 是空间任意点, 证明

$$ \overrightarrow{O M}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}). $$

1. 在同一个空间直角坐标系中标出点 $ A(2,4,-1) $ 和点 $ B(-2,4,1) $，并求点 A 关于 xOy 平面的对称点的坐标及点 B 关于 y 轴对称点的坐标.

1. 已知向量 $ \boldsymbol{a} = 3i + 5j + 4k $, $ \boldsymbol{b} = -6i + j + 2k $, $ c = 4i - 3j - 4k $. 求 $ 2\boldsymbol{a} + 3\boldsymbol{b} + 4\boldsymbol{c} $.

1. 求向量 $ a = i + 2j - 2k $ 的长度和方向余弦.

1. 对于下列向量 a 和 b，求 a 和 b 的内积：

(1) $ \left|a\right|=8,\left|b\right|=5, $ a与b夹角 $ \theta=\frac{\pi}{3}; $

(2) $ |a|=3,|b|=2,a $ 与 b 反向.

1. 若 a, b 和 c 是互相垂直的三个非零单位向量，求 $ r = na + lb + mc $ 的长度.

1. 在空间直角坐标系中， $ \boldsymbol{a}=3\boldsymbol{i}-6\boldsymbol{k},\boldsymbol{b}=2\boldsymbol{i}-4\boldsymbol{j} $，求 $ \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} $ 及 $ \boldsymbol{a} $ 与 $ \boldsymbol{b} $ 的夹角.

1. 化简下列向量表达式：

(1) $ (a + b) \times (a - 2b) $;

(2) $ (2a+b)\times(3a-2b) $

1. 已知 $ \overrightarrow{AB} = \boldsymbol{a} - 2\boldsymbol{b} $, $ \overrightarrow{AD} = \boldsymbol{a} - 3\boldsymbol{b} $，其中 $ |\boldsymbol{a}| = 5 $, $ |\boldsymbol{b}| = 3 $， $ \boldsymbol{a} $ 与 $ \boldsymbol{b} $ 的夹角为 $ \frac{\pi}{6} $，求平行四边形 ABCD 的面积.

1. 设向量 x 与 a = 2i + 3j + k 和 b = i - j + 3k 都垂直，而与 c = 2i + 2k 的内积为 -10，求 x.

1. 设 a = i - j + 2k 和 b = i + j, c = i + 2j + k, 求 $ (a, b, c) $.

1. 判断下列 A, B, C 三点是否共线：

(1) $ A(1,2,3) $, $ B(0,3,7) $, $ C(3,5,11) $;

(2) $ A(0,1,2) $, $ B(1,3,1) $, $ C(3,7,-1) $.

1. 利用向量的混合积证明 $ A(1,0,1) $, $ B(2,4,6) $, $ C(3,-1,2) $ 和 $ D(6,2,8) $ 四点共面.

1. 求下列平面的法向量：

$$ )3x-2y+5z-1=0; $$

(2) x - y = 0.

1. 求过点 $ M_{0}(2,9,-6) $ 且与连接坐标原点 O 及点 $ M_{0} $ 的线段 $ OM_{0} $ 垂直的平面方程.

1. 求过三点 $ (1,1,-1) $、 $ (-2,-2,2) $ 和 $ (1,-1,2) $ 的平面方程.

1. 求过点 $ (3,0,-1) $ 且与平面 $ 3x-7y+5z-12=0 $ 平行的平面方程.

1. 求过点 $ (1,0,-1) $ 且平行于向量 a=2i+j+k 和 b=i-j 的平面方程.

1. 求过点 $ (4,0,-2) $ 和点 $ (5,1,7) $ 且平行于 x 轴的平面方程.

1. 求过点 $ (1,2,1) $ 及 z 轴的平面方程.

1. 已知两平面

$$ x-2y+3z+D=0 $$

和

$$ -2x+4y+Cz+6=0. $$

问：当 C 和 D 为何值时，(1) 两平面平行？(2) 两平面重合？

1. 求过点 $ (1,1,1) $ 且垂直于平面

$$ x-y+z=7 $$

和

$$ 3x+2y-12z+5=0 $$

的平面方程.

1. 证明：不在同一条直线上的三点 $ (x_{1}, y_{1}, z_{1}) $, $ (x_{2}, y_{2}, z_{2}) $ 和 $ (x_{3}, y_{3}, z_{3}) $ 所确定的平面方程为

$$ \begin{aligned}\left|\begin{matrix}1&x&y&z\\1&x_{1}&y_{1}&z_{1}\\1&x_{2}&y_{2}&z_{2}\\1&x_{3}&y_{3}&z_{3}\end{matrix}\right|&=0.\end{aligned} $$

1. 求下列直线的对称式方程：

(1) 平行于 $ \pmb{a} = 3i + j + 2k $，经过点 $ P(1,0,-2) $;

(2) 经过点 $ A(1,0,-1) $ 和点 $ B(1,1,3) $;

(3) 经过点 $ A(2,3,-5) $ 且与直线 $ \frac{x-1}{-1}=\frac{y}{3}=\frac{z+1}{4} $ 平行;

(4) 经过点 $ P_{0}(3,1,2) $ 且平行于平面 $ x+y+z+3=0 $ 和 $ y-z+1=0 $.

1. 判断下列直线与平面的位置关系，若有交点求出交点坐标：

(1) $ \frac{x-5}{2}=\frac{y+3}{-2}=\frac{z-1}{3} $和 $ x+2y-5z-11=0; $

(2) $ \frac{x-13}{8}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-4}{3} $和 $ x+2y-4z+1=0 $.

1. 求下列平面的方程：

(1) 过直线 $ \{\begin{array}{l}x=2+3t,\\y=2+t,\\z=1+2t\end{array}. $ 和点 $ (1,2,-1) $;

(2) 过点 (1,1,1) 且与直线 $ \{\begin{array}{l}2x+y+z=3,\\2x+3y-z=1\end{array}. $ 垂直；

(3) 过直线 $ \{\begin{array}{l}x+3y-z=0,\\x-y+z+1=0\end{array}. $ 且与平面 $ x+2z=1 $ 垂直.

1. 证明下列两条直线 $ l_{1} $ 和 $ l_{2} $ 共面，并求它们所在的平面的方程.

$$ l_{1}:\frac{x-7}{3}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-1}{-2},\quad l_{2}:\{\begin{aligned}x&=1+2\ell,\\ y&=-2-3\ell,\\ z&=5+4\ell.\end{aligned}. $$

1. 求直线 $ \{\begin{array}{l}x+y+3z=0,\\x-y-z=0\end{array}. $ 与平面 x-y-z+1=0 的夹角.

1. 求点（1，2，1）到平面 $ x+2y+2z=10 $ 的距离.

1. 求下列平行平面间的距离：

(1) $ \pi_1 : x - 2y - 2z = 12 $, $ \pi_2 : x - 2y - 2z = 6 $

(2) $ \pi_1: 6x - 18y - 9z = 28 $, $ \pi_2: 4x - 12y - 6z = 7 $.

1. 求平行于平面 $ x + 2y - 2z = 1 $ 且与其距离为 2 的平面方程.

第三章 自测题