第二篇 机械振动与机械波 · 第6章 机械振动

第二篇 机械振动 机械波

振动是自然界中最常见的运动形式之一。除机械振动外，分子的热运动、振荡电路电流变化、电磁场变化、晶体中原子的运动等都属于振动。它们的振动过程都具有共同的物理特征，即物理量（位置矢量、电流、电压、电场强度、磁感应强度等）在某个定值附近反复变化。

振动有简单振动和复杂振动，最简单和最基本的是简谐振动，一切复杂振动均可以认为是许多简谐振动的合成。振动是声学、地震学、建筑力学，光学、电学、无线电技术及原子物理学等所必需的物理基础。

波是振动这种形式在空间的传播。自然界中的波动现象有很多种，诸如水波、声波、地震波、电磁波、孤立波、德布罗意波等。尽管波的种类繁多，但从宏观上看可以分成两类：机械波和电磁波。它们在产生的条件和方法上有所不同，与物质相互作用的规律也不同，但它们遵守共同的传播规律，在波动过程中都伴随有能量的传播，都能产生反射和折射现象，都会产生干涉和衍射现象。最简单最基本的波是简谐波。

振动与波动这两种不同的运动形式之间有着极其密切的联系；无论是在基础理论研究中，还是在实际的应用中，它们都占有很重要的地位。

本篇将在第6章对机械振动作比较详细的讨论，在第7章对机械波的基本规律和多普勒效应(包括声波)作比较细致的阐述。

>> 第6章

机械振动

振动(vibration)是一种很普遍的运动形式。所谓机械振动(mechanical vibration)，就是物体在某一中心位置附近来回往复的运动。如钟摆的摆动就是一种机械振动。除机械振动外，自然界中还广泛存在着各种各样的振动现象。例如，交流电压和电流在其平均值附近反复变化；光波、无线电波传播时，空间各点的电场强度和磁场强度随时间做周期性变化。一般来说，任何一个物理量(物体的位置、电流、电场或磁场的强度等)在某一个定值附近的反复变化都可以称为振动。这些振动虽然有各种不同的形式，但却具有同样的规律性，这种规律性可以用统一的数学形式来表示，所不同的只是数学公式中各物理量所代表的具体意义不同。因此，本章主要讨论力学中的机械振动(主要是简谐振动)，但其基本规律也适用于电磁学、光学、原于物理学中其他形式的振动。

6.1 简谐振动

简谐振动（simple harmonic motion）是一种最简单、最基本的振动。力学中的弹

簧振子、单摆和复摆就是简谐振动的例子，下面我们从它们的受力情况出发，给出其动力学方程和运动方程，进而概括出简谐振动的基本特征。

6.1.1 弹簧振子

一根质量可以忽略不计的轻弹簧，一端固定，另一端系有物体 m，这样的系统称为弹簧振子，如图6-1所示。设 m 被限制在光滑的水平面上沿 x 轴运动。当物体 m 处于 O 点时，弹簧呈松弛状态，物体所受合外力为零，这点称为平衡位置 [图6-1(a)]。假设在开始时，将物体 m 向右拉到 B 点静止，然后松手 [图6-1(b)]，这时弹簧由于被拉长，物体 m 将受到向左的弹簧弹力 F 的作用，朝平衡位置做加速运动。到达平衡位置 O 点时，弹簧弹力 F 消失，但由于惯性作用，它将继续向左运动 [图6-1(c)]。这以后，物体 m 受到与速度 v 反向的弹簧弹力 F 作用，做减速运动，直至到达 C 点 [图6-1(d)]。接着物体 m 又在弹力作用下返回向右做加速运动，回到平衡位置 O 点 [图6-1(e)]。此时物体 m 又不再受力，但仍具有向右的速度 v，惯性使它继续向右运动。此后，又在与速度 v 反向的弹簧弹力 F 作用下做减速运动，到 B 点停止 [图6-1(f)]。然后又在弹力作用下开始向左运动，重复前

面的过程。如此，物体将在其平衡位置 O 点附近做往复运动，即做机械振动。

从上述分析中可知，弹簧的弹性力 F 和惯性是决定弹簧振子做机械振动的两个基本因素。

在图6-1中，设物体的平衡位置为坐标原点，水平向右为Ox轴的正方向，物体的质量为m，弹簧的质量忽略不计。则物体在某一时刻位于离平衡位置为x的位置上，作用在物体上弹性力F为

$$ F=-kx $$

式中，k 是弹簧的劲度系数，负号表示弹性力 F 的方向始终指向平衡位置 O。因弹簧的弹性力 F 与物体的位移 x 成正比，方向与位移的方向相反，并始终指向平衡位置 O，我们常称其为回复力。

根据牛顿第二定律 $ F = m a = m \frac{d^{2} x}{dt^{2}} $，可得

$$ m\frac{\mathrm{d}^{2}x}{\mathrm{d}t^{2}}=-kx $$

令 $ \frac{k}{m}\equiv\omega^{2} $，由此我们可得弹簧振子的动力学方程为

$$ \frac{\mathrm{d}^{2}x}{\mathrm{d}t^{2}}+\omega^{2}x=0 $$

6.1.2 单摆 复摆

一可看作质点的小球系于不可伸长、质量可忽略的细绳的下端，绳的上端固定，这样的系统叫作单摆（simple pendulum），如图6-2所示。当绳处于竖直位置时，作用在小球上的合外力为零，小球处于平衡位置。令小球在水平面上做匀速直线运动，小球在水平面上做匀加速直线运动，小球在水平面上做匀加速直线运动。小球在水平面上做匀加速直线运动，小球在水平面上做匀加速直线运动。

小球就会在重力 mg 和绳子的拉力 $ F_{T} $ 作用下在竖直平面内沿一弧线以平衡位置为中心往复摆动起来。将重力 mg 沿绳子的拉力 $ F_{T} $ 方向分解，其值为 $ mg\cos\theta $，方向与 $ F_{T} $ 相反；再沿着小球的运动方向分解，其值为 $ mg\sin\theta $，方向指向小球的平衡位置。则前一分力与绳的拉力合成后，由于其方向与小球运动方向垂直，它只改变小球的运动方向，对小球的切向运动无影响；后一部分则将直接影响小球做切向运动。若只考虑小球的切向运动，以 $ \theta $ 作为描写单摆位置的变量，并且规定单摆在平衡位置右方时 $ \theta $ 为正，在左方时 $ \theta $ 为负，则

$$ ma_{t}=ml\frac{\mathrm{d}^{2}\theta}{\mathrm{d}t^{2}}=-mg\sin\theta $$

当偏离角很小（小于 $ 5^{\circ} $）， $ \sin\theta\approx\theta $ ，上式可写为 $ ml\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}=-mg\theta $ ，整理后得

$$ \frac{\mathrm{d}^{2}\theta}{\mathrm{d}t^{2}}+\frac{g}{l}\theta=0 $$

令 $ \frac{g}{l} \equiv \omega^{2} $，可得单摆的动力学方程为

$$ \frac{\mathrm{d}^{2}\theta}{\mathrm{d}t^{2}}+\omega^{2}\theta=0 $$

如图6-3所示，一个可绕固定轴O摆动的刚体称为复摆（complex pendulum），

复摆的重心为 C。平衡时，摆的重心 C 在轴的正下方，OC 为一竖直线，如图 6-3 中虚线所示，此即为复摆的平衡位置。若将刚体拉开后释放，复摆将在平衡位置附近往复摆动起来。设 OC 线与竖直线的夹角为 $ \theta $，并规定线 OC 在平衡位置右方时 $ \theta $ 为正，在左方时 $ \theta $ 为负。复摆的质量为 m，它对于固定轴 O 的转动惯量为 J，其重心 C 至固定轴 O 的距离为 l。此时复摆受到重力对 O 轴的力矩 M 作用，力矩 M 的方向垂直纸面向内，大小为

$$ M=-m g l\sin\theta $$

式中负号表示此时力矩 M 的方向和 $ \theta $ 规定的正方向或角速度 $ \omega $ 方向相反。

根据刚体绕定轴转动定理，有 $ J\frac{\mathrm{d}^{2}\theta}{\mathrm{d}t^{2}}=-mg\sin\theta $ 。当 $ \theta $ 很小时， $ \sin\theta\approx\theta $ ，上式变为

$$ J\frac{\mathrm{d}^{2}\theta}{\mathrm{d}t^{2}}=-mgl\theta $$

或写成

$$ \frac{\mathrm{d}^{2}\theta}{\mathrm{d}t^{2}}+\frac{mgl\theta}{J}=0 $$

令 $ \frac{mgl}{J} \equiv \omega^{2} $，可得复摆的动力学方程为

$$ \frac{\mathrm{d}^{2}\theta}{\mathrm{d}t^{2}}+\omega^{2}\theta=0 $$

由上述分析可知，单摆（或复摆）和弹簧振子振动都属于简谐运动。单摆（或复摆）的振动是由重力的分力（或重力对O轴的力矩M）引起的，而此分力（或力矩）的性质和弹簧振子所受的弹性力相似，其大小都与描写物体位置的变量（位移x或角位移 $ \theta $）成正比，方向与位移x或角位移 $ \theta $相反，且始终指向平衡位置。

其次，弹簧振子以及单摆（或复摆）的振动都满足相同的动力学方程，即

$$ \frac{\mathrm{d}^{2}x}{\mathrm{d}t^{2}}+\omega^{2}x=0 $$

只不过对于弹簧振子，式中变量 x 为物体的线位移， $ \omega=\sqrt{\frac{k}{m}} $；而对于单摆（或复摆），变量 x 应为物体的角位移 $ \theta $， $ \omega=\sqrt{\frac{g}{l}} $（或 $ \omega=\sqrt{\frac{mgl}{J}} $）。

6.1.3 简谐振动的运动方程

根据微分方程的理论，式(6-10)的解为

$$ x=A\cos\left(\omega t+\varphi\right) $$

式中，A 和 $ \varphi $ 是积分常量，由初始条件决定。具体到单摆（或复摆），其解为

$$ \theta=\theta_{0}\cos\left(\omega t+\varphi\right) $$

式(6-11)或式(6-12)称为简谐振动的运动方程。因此，形如式(6-10)的微分方程描述的动力学过程一定是简谐振动。

6.1.4 简谐振动的能量

我们以图6-1的弹簧振子为例，研究做简谐振动的系统所具有的能量（energy of simple harmonic motion）。设在某一时刻t，振动物体的位移为 $ x=A\cos(\omega t+\varphi) $，则其速度为

$$ v=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=-\omega A\sin\left(\omega t+\varphi\right) $$

加速度为

$$ a=\frac{\mathrm{d}^{2}x}{\mathrm{d}t^{2}}=-\omega^{2}A\cos\left(\omega t+\varphi\right) $$

由式 $ （6-13） $可得做简谐振动的系统所具有的动能为

$$ E_{k}=\frac{1}{2}mv^{2}=\frac{1}{2}mA^{2}\omega^{2}\sin^{2}(\omega t+\varphi) $$

此外，由于物体在弹性力作用下运动，系统还应具有弹性势能。此势能就是外力克服弹性力所做的功。由于物体在平衡位置时弹性力为零，其弹性势能也为零，则物体在位移 $ x = A \cos(\omega t + \varphi) $ 处，其弹性势能为

$$ E_{p}=\frac{1}{2}kx^{2}=\frac{1}{2}kA^{2}\cos^{2}(\omega t+\varphi) $$

利用关系式 $ \omega^{2}=\frac{k}{m} $，得 $ k=m\omega^{2} $，则

$$ E_{p}=\frac{1}{2}m\omega^{2}A^{2}\cos^{2}(\omega t+\varphi) $$

而系统的总能量为

$$ \begin{aligned}E=&E_{\mathrm{k}}+E_{\mathrm{p}}\\=&\frac{1}{2}m\omega^{2}A^{2}=\frac{1}{2}k A^{2}\end{aligned} $$

式(6-18)表明，弹簧振子的总能量与振幅A（下节介绍）的平方成正比。在不计摩擦和阻尼的情况下，弹簧振子是一个孤立系统，且弹性力是一保守内力，因而系统的机械能守恒，即总能量不变。图6-4是弹簧振子系统的动能 $ E_{k} $、势能 $ E_{p} $和总能量E随时间变化曲线图，由图可见，总能量中的动能和势能均随时间做周期性变化，动能大时势能就小，动能小时势能就大，但总能量是保持不变的。要说明的是：对于其他的振动系统（例如单摆），其势能不一定是弹性势能，在某些情况下甚至没有明确的弹性势能概念，但只要物体做简谐振动，就一定存在回复力，这一回复力的负功与物体的振动动能之和应保持为常量，且与振幅A的平方成正比。

6.2 描述简谐振动的三个物理量——振幅、周期、初相

振幅、周期和初相是描述简谐振动需要的三个物理量。下面我们从简谐振动运动方程出发，讨论它们的物理意义。

6.2.1 振幅

振幅（amplitude）是振动物体离开平衡位置的最大位移。从式(6-11)和图6-1可看出，做简谐振动的物体，其振动的范围总限制在A和-A之内，A为离开平衡位置的最大位移。所以式(6-11)中A就是振幅。

6.2.2 周期、频率、角频率

周期(period)是做简谐振动的物体完成一次全振动所需要的时间,用 T 表示,单位是 s。根据周期定义,在式(6-11)中,当时间由 t 增加到 $ t+T $ 时,应有

$$ \begin{array}{l}A\cos\left(\omega t+\varphi\right)=A\cos\left[\omega\left(t+T\right)+\varphi\right]=A\cos\left(\omega t+\varphi+\omega T\right)\end{array} $$

显然上式只有当 $ \omega T = 2\pi $ 时才成立，所以周期 T 和 $ \omega $ 的关系为

$$ T=\frac{2\pi}{\omega} $$

对于弹簧振子， $ \omega=\sqrt{\frac{k}{m}} $，其周期为

$$ T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} $$

而对于单摆（或复摆）， $ \omega=\sqrt{\frac{g}{l}} $（或 $ \omega=\sqrt{\frac{mgl}{J}} $），周期为

$$ T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\quad( 或 T=2\pi\sqrt{\frac{J}{mgl}}) $$

频率(frequency) 是单位时间内完成的全振动次数, 用 $ \nu $ 表示, 它的单位是 Hz。显然, 频率与周期的关系为

$$ \nu=\frac{1}{T} $$

由式(6-19)和式(6-22)可得

$$ \omega=\frac{2\pi}{T}=2\pi\nu $$

即 $ \omega $ 等于频率 $ \nu $ 的 $ 2\pi $ 倍，或者说 $ \omega $ 是 $ 2\pi $ 时间内物体完成全振动的次数， $ \omega $ 叫作角频率（angular frequency）（或称圆频率），单位是 rad $ \cdot $ s $ ^{-1} $（弧度每秒）。

在中学物理中，我们常称简谐振动的周期（或频率）为固有周期（或固有频率）。这是因为 $ \omega $ 仅由振动系统本身性质所决定，周期 T 及频率 $ \nu $ 也应由振动系统本身的物理性质所决定。

6.2.3 相位

在力学中，物体在某一时刻的运动状态，用位矢和速度来表示。同理，做简谐振动的物体，其运动状态也是用离开平衡位置的位移 $ x = A \cos(\omega t + \phi) $ 和速度 $ v = \frac{dx}{dt} = -\omega A \sin(\omega t + \phi) $ 来表示。显然，当振幅 $ A $ 和角频率 $ \omega $ 一定时，位移 $ x $ 和速度 $ v $ 完全由 $ \omega t + \phi $ 决定。换句话说，简谐振动物体的运动状态 $ (x, v) $ 是由 $ \omega t + \phi $ 这一物理量来决定的。例如，当 $ \omega t + \phi = 0 $ 时，对应于物体位于 $ x $ 正向最大，速度为零的运动状态；当 $ \omega t + \phi = \frac{\pi}{2} $ 时，对应于物体在平衡位置，并以速度 $ v = \omega A $ 向 $ x $ 负向运动的状态；当 $ \omega t + \phi = \frac{3\pi}{2} $ 时，对应于物体位于平衡位置，并以速度 $ v = \omega A $ 向 $ x $ 正向运动的状态；当 $ \omega t + \phi = 2\pi $ 时，对应于物体的运动状态和 $ \omega t + \phi = 0 $ 时相同，此时振动物体完成了一个

全振动。因此 $ \omega t + \varphi $ 是一个重要的物理量，用其描述物体的运动状态 $ (x, v) $，可以充分体现出简谐振动的周期性。 $ \omega t + \varphi $ 叫作简谐振动的相位 (phase)。t = 0 时刻，相位 $ \omega t + \varphi = \varphi $，故 $ \varphi $ 叫作初相位 (initial phase) 或叫初相。它是决定初始时刻振动物体运动状态的物理量。

6.2.4 初相 $ \varphi $ 和振幅 A 的确定

由初始条件，即 t=0 时刻物体相对平衡位置的位移 $ x_{0} $ 和速度 $ v_{0} $，可以确定初相 $ \varphi $ 和振幅 A。当 t=0 时，由式(6-11)和式(6-13)可得

$$ \begin{aligned}x_{0}&=A\cos\varphi\\v_{0}&=-\omega A\sin\varphi\end{aligned} $$

由上两式可得初相 $ \varphi $和振幅A为

$$ A=\sqrt{x_{0}^{2}+\frac{v_{0}^{2}}{\omega^{2}}} $$

$$ \tan\varphi=\frac{-v_{0}}{\omega x_{0}} $$

其中 $ \varphi $ 所在的象限由位移 $ x_{0} $ 和速度 $ v_{0} $ 的正负号来确定。

【例 6-1】在一轻弹簧下端悬挂 $ m_0 = 100 $ g 砝码时，弹簧伸长 8 cm。现在这根弹簧下端悬挂 $ m = 250 $ g 的物体，构成弹簧振子。将物体从平衡位置向下拉动 4 cm，并给以向上的 $ 21 $ cm·s $ ^{-1} $ 的初速度（令这时 $ t = 0 $）。选 x 轴向下为正，求振动方程的表达式。

解

$$ k=\frac{m_{0}g}{\Delta l}=\frac{0.1\times9.8}{0.08}\ N\cdot m^{-1}=12.25\ N\cdot m^{-1} $$

$$ \omega=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{12.25}{0.25}}\ s^{-1}=7\ s^{-1} $$

$$ A=\sqrt{x_{0}^{2}+\frac{v_{0}^{2}}{\omega^{2}}}=\sqrt{4^{2}+\left(\frac{21}{7}\right)^{2}}\ \mathrm{cm}=5\ \mathrm{cm} $$

$$ \begin{aligned}&\tan\phi=\frac{-v_{0}}{x_{0}\omega}=\frac{-(-21)}{4\times7}=\frac{3}{4},\phi=0.64rad\\ &x=0.05\cos(7t+0.64)\quad(SI 单位 )\\ \end{aligned} $$

6.3 简谐振动的旋转矢量表示

为了更加直观地领会描述简谐振动的三个物理量 $ A $、 $ \omega $ 和 $ \varphi $ 的物理意义，并为下面讨论简谐振动合成提供简捷的方法，下面介绍描述简谐振动的旋转矢量 (rotating vector) 法。

如图6-5所示，一弹簧振子在x轴上做简谐振动，原点O为振子振动的平衡位置，振动方程为 $ x=A\cos(\omega t+\varphi) $。我们设想：振子位置为一绕原点O逆时针旋转的旋转矢量A在x轴上的投影点，该旋转矢量长度等于振幅A，旋转角速度为 $ \omega $，t=0时矢量A与Ox轴的夹角等于初相位 $ \varphi $，则矢量A在旋转过程中其矢端形成一参考圆（图中虚线所示）。t=0时，矢量A的矢端位于参考圆上 $ M_{0} $处，它在Ox轴上的投影点 $ x=A\cos\alpha $正是弹簧振子在t=0时刻开始振动的位置。在t时刻，矢量A逆时针旋转了角度 $ \omega t $，其矢端位于参考圆上M处，它与Ox轴的夹角等于 $ \omega t+\varphi $，它在Ox轴上的投影点为 $ x=A\cos(\omega t+\varphi) $，正是振子在该时刻相对原点的位置。可见，旋转矢量A逆时针以匀角速度 $ \omega $旋转时，其矢端M在Ox轴上的投影点在Ox轴上做简谐振动。

利用旋转矢量法还可以确定弹簧振子的速度。如图6-6所示，在旋转圆上M点沿切线作速度矢量，其大小为 $ v_{m}=\omega A $，方向和Ox轴夹角为 $ \left(\frac{\pi}{2}+\omega t+\varphi\right) $，它在Ox轴上的投影为 $ v=v_{m}\cos\left(\frac{\pi}{2}+\omega t+\varphi\right)=-\omega A\sin\left(\omega t+\varphi\right) $。这正是式(6-13)给出的弹簧振子做简谐运动的速度公式。

由上述可见，用旋转矢量表示简谐振动可把简谐振动的三个物理量振幅、初相、角频率非常直观地在参考圆上表示出来。简谐振动的角频率对应于矢量A的旋转角速度大小；简谐振动的相位对应于矢量A与Ox轴的夹角；简谐振动的初相位对应于t=0时刻矢量A与Ox轴的夹角。但要注意：旋转矢量A的运动并不是简谐振动，只是旋转矢量A的端点M在x轴上的投影点的运动才是简谐振动。

在中学物理中，我们知道简谐振动可用正弦或余弦曲线来表示。图6-7是一简谐振动 $ x=A\cos(t+2\pi/3) $ 的振动曲线，对应的旋转矢量图画在其左侧。图6-7表示在一个周期内旋转矢量A旋转 $ 2\pi $角度，其端点在x轴上的投影完成了一次全振动。

利用旋转矢量法还可直观地比较两个同频率简谐振动的相位差（phase difference） $ \Delta\varphi $。

设有两个振动，其振动表达式分别为

$$ x_{1}=A\cos\left(\omega t+\varphi_{1}\right) $$

$$ x_{2}=A\cos\left(\omega t+\varphi_{2}\right) $$

则这两个振动的相位差

$$ \Delta\varphi=(\omega t+\varphi_{2})-(\omega t+\varphi_{1})=\varphi_{2}-\varphi_{1} $$

这说明两振动在任一时刻 t 的相位差等于初相差。在旋转矢量图 6-8 上，从原点 O 分别作出两矢量 $ A_{1} $ 和 $ A_{2} $， $ A_{1} $ 代表振动 $ x_{1} $， $ A_{2} $ 代表振动 $ x_{2} $。它们和 Ox 轴的夹角分别为 $ \varphi_{1} $ 和 $ \varphi_{2} $， $ A_{1} $ 和 $ A_{2} $ 之间的夹角就是两振动相位差 $ \Delta\varphi $。

如果 $ \Delta\varphi>0 $，则称振动 $ x_{2} $ 超前振动 $ x_{1} $ 一个相位 $ \Delta\varphi $；反之，若 $ \Delta\varphi<0 $，则称振动 $ x_{2} $ 滞后振动 $ x_{1} $ 一个相位 $ \Delta\varphi $；若 $ \Delta\varphi=0 $，则称两振动是同相的（即步调一致）；若 $ \Delta\varphi=\pi $ 则称两振动是反相的（即步调相反）。

值得说明的是：由于相位差的周期是 $ 2\pi $，我们总是把 $ \left|\Delta\varphi\right| $ 值限制在 $ \pi $ 以内。例如当 $ \Delta\varphi=\frac{3}{2}\pi $ 时，我们常不说振动 $ x_{2} $ 超前振动 $ x_{1}\frac{3}{2}\pi $，而改写成 $ \Delta\varphi=\frac{3}{2}\pi-2\pi=-\frac{1}{2}\pi $，即振动 $ x_{2} $ 比振动 $ x_{1} $ 落后 $ \frac{1}{2}\pi $，或振动 $ x_{1} $ 比振动 $ x_{2} $ 超前 $ \frac{1}{2}\pi $。如图 6-9 所示。

【例 6-2】如图 6-1 所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹簧的劲度系数 k=0.72 N·m^{-1}，物体的质量 m=20 g。

（1）把物体从平衡位置向右拉到 x=0.05 m 处停下后再释放，求简谐运动方程；

(2) 求物体从初位置运动到第一次经过 $ \frac{A}{2} $ 处时的速度；

（3）如果物体在 x=0.05 m 处时速度不等于零，而是具有向右的初速度 $ v_{0}=0.30\ m\cdot s^{-1} $，求其运动方程。

解 （1）为求得物体的简谐运动方程，需要确定角频率 $ \omega $ 、振幅 A 和初相 $ \varphi $ 三个物理量。

角频率

$$ \omega=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{0.72}{0.02}}\mathrm{s}^{-1}=6.0\mathrm{~s}^{-1} $$

振幅和初相由初始条件 $ x_{0} $ 及 $ v_{0} $ 决定，已知 $ x_{0}=0.05\ m $, $ v_{0}=0 $，则

振幅

$$ A=\sqrt{x_{0}^{2}+\frac{v_{0}^{2}}{\omega^{2}}}=x_{0}=0.05m $$

初相

$$ \tan\varphi=\frac{-v_{0}}{\omega x_{0}}=0 $$

解得 $ \varphi=0 $ 或 $ \pi $

由初始条件 $ x_0 = 0.05 \, m, v_0 = 0 $ 可知相应的旋转矢量 $ A $ 的初始时刻位置如图6-10所示，由图得 $ \varphi = 0 $。将 $ \omega, A $ 和 $ \varphi $ 代入简谐运动方程 $ x = A \cos(\omega t + \varphi) $ 中，可得

$$ x=0.05\cos6.0t(m) $$

（2）欲求 $ x=\frac{A}{2} $ 处的速度，需先求出物体从初位置运动到第一次抵达 $ \frac{A}{2} $ 处的相位。因 $ \varphi=0 $，所以， $ x=A\cos\omega t $，则 $ \cos\omega t=\frac{x}{A}=\frac{1}{2} $，解得 $ \omega t=\frac{\pi}{3} $ 或 $ \omega t=\frac{5\pi}{3} $。根据物体由初位置 $ x=+A $ 第一次运动到 $ x=\frac{A}{2} $ 可作旋转

矢量如图6-11所示，则 $ \omega t = \frac{\pi}{3} $ 。将A， $ \omega $ 和 $ \omega t $ 的值代入速度公式(6-13)，可得

$$ v=-A\omega\sin\omega t=-0.26\ m\cdot s^{-1} $$

负号表示速度的方向沿 Ox 轴负方向。

（3）因 $ x_{0}=0.05\ m, v_{0}=0.30\ m\cdot s^{-1} $，故振幅和初相分别为

$$ A^{\prime}=\sqrt{x_{0}^{2}+\frac{v_{0}^{2}}{\omega^{2}}}=0.0707m $$

$$ \tan\varphi^{\prime}=\frac{-v_{0}}{\omega x_{0}}=-1 $$

得 $ \varphi' = -\frac{1}{4}\pi $ 或 $ \frac{3}{4}\pi $

由题意作出旋转矢量图 6-12。从图可知 $ \varphi' = -\frac{1}{4}\pi $。则简谐运动方程为

$$ x=0.0707\cos\left(6.0t-\frac{\pi}{4}\right) $$

【例6-3】如图6-13所示，两根相同弹簧（劲性系数为k，自然长度为 $ l_{0} $）与小球m连接后，放在光滑水平面上做振幅为 $ A_{0} $的简谐振动（两弹簧另一端各固定在相距为 $ 2l_{0} $的墙上）。当m运动到两墙的中点时，突然将一质量为 $ m_{0} $的质点轻轻粘在m上（设粘上前 $ m_{0} $的速度为零）。求粘上后振动系统的周期和振幅。

解 弹簧振子的角频率（或周期）决定于弹簧的弹性系数和振子的质量。本题两个弹簧的等效

弹簧的劲度系数为 2k（请读者自己加以论证），因此 $ m_{0} $ 粘上前系统的角频率 $ \omega_{0} = \sqrt{\frac{2k}{m}} $，粘上 $ m_{0} $ 后，振动系统的质量为 $ m_{0} + m $，因此 $ m_{0} $ 粘上后系统的角频率为 $ \omega = \sqrt{\frac{2k}{m_{0} + m}} $，振动系统的周期

$$ T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{m_{0}+m}{2k}} $$

设粘上 $ m_{0} $ 后，振动系统的振幅为 A。取粘上 $ m_{0} $ 的瞬间为 t=0，则系统的初始位移 $ x_{0}=0 $，对于 $ m_{0} $ 和 m 这一系统来说，其水平方向上动量守恒，因此有

$$ m v_{0}=\left(m_{0}+m\right)v $$

这里 $ v_{0} $ 是 $ m_{0} $ 粘上前物体 m 的速度，由简谐振动速度公式知， $ v_{0}=A_{0}\omega_{0} $，v 是 $ m_{0} $ 粘上后的速度，因此

$$ v=\frac{mv_{0}}{m+m_{0}}=\frac{mA_{0}\omega_{0}}{m+m_{0}} $$

由式(6-24)得

$$ A=\sqrt{x_{0}+\frac{v^{2}}{\omega^{2}}}=\frac{v}{\omega}=\frac{mA_{0}}{m+m_{0}}\times\frac{\omega_{0}}{\omega}=\frac{mA_{0}}{m+m_{0}}\sqrt{\frac{m+m_{0}}{m}}=\sqrt{\frac{m}{m+m_{0}}}A_{0} $$

【例 6-4】一物体质量为 0.25 kg, 在弹性力作用下做简谐振动, 弹簧的劲度系数 $ k = 25 \, N \cdot m^{-1} $, 如果起始振动时具有势能 0.06 J 和动能 0.02 J, 求

（1）振幅；

（2）动能恰等于势能时的位移；

（3）经过平衡位置时物体的速度。

解（1）

$$ E=E_{\mathrm{k}}+E_{\mathrm{p}}=\frac{1}{2}k A^{2} $$

$$ A=\left[\frac{2(E_{\mathrm{k}}+E_{\mathrm{p}})}{k}\right]^{\frac{1}{2}}=0.08\mathrm{~m} $$

(2)

$$ \frac{1}{2}kx^{2}=\frac{1}{2}mv^{2} $$

$$ m\omega^{2}x^{2}=m\omega^{2}A^{2}\sin^{2}(\omega t+\varphi) $$

$$ x^{2}=A^{2}\sin^{2}(\omega t+\varphi)=A^{2}\left[1-\cos^{2}(\omega t+\varphi)\right]=A^{2}-x^{2} $$

$$ x=\frac{\pm A}{\sqrt{2}}=\pm0.0566m $$

（3）过平衡点时，x=0，此时动能等于总能量

$$ E=E_{\mathrm{k}}+E_{\mathrm{p}}=\frac{1}{2}m v^{2} $$

$$ v=\left[\frac{2(E_{\mathrm{k}}+E_{\mathrm{p}})}{m}\right]^{\frac{1}{2}}=\pm0.8\mathrm{~m}\cdot\mathrm{s}^{-1} $$

6.4 简谐振动的合成

在实际问题中，常会遇到一个质点同时参与几个振动的情况。例如当两个声波同时传到某一点时，该点处的空气质点就同时参与两个振动；轮船中悬挂的钟摆在船体破浪行驶时，摆就同时参与多种振动，即摆的运动是多个振动的合成的运动。一般的振动合成是比较复杂的，下面仅讨论几种特殊情况下的简谐振动的合成（combination of simple harmonic motions）问题。

6.4.1 两个同方向、同频率的简谐振动的合成

设一质点在一直线上同时参与两个独立的同频率（along a straight line with same frequency）（亦即角频率相同）的简谐振动。如果取这一直线为 x 轴，质点的平衡位置为坐标原点，则两简谐振动的振动方程分别可写为

$$ x_{1}=A_{1}\cos\left(\omega t+\varphi_{1}\right) $$

和

$$ x_{2}=A_{2}\cos\left(\omega t+\varphi_{2}\right) $$

式中， $ A_{1} $， $ A_{2} $ 和 $ \varphi_{1} $， $ \varphi_{2} $ 分别表示两个简谐振动的振幅和初相。既然 $ x_{1} $ 和 $ x_{2} $ 都是在同一直线上，离开同一平衡位置的位移，所以合位移 x 也在同一直线上，因此有

$$ x=x_{1}+x_{2}=A_{1}\cos\left(\omega t+\varphi_{1}\right)+A_{2}\cos\left(\omega t+\varphi_{2}\right) $$

应用简单的三角恒等式，上式可以化成

$$ x=x_{1}+x_{2}=A\cos\left(\omega t+\varphi\right) $$

式中，A 和 $ \varphi $ 的值分别为

$$ A=\sqrt{A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2A_{1}A_{2}\cos\left(\varphi_{2}-\varphi_{1}\right)} $$

$$ \tan\varphi=\frac{A_{1}\sin\varphi_{1}+A_{2}\sin\varphi_{2}}{A_{1}\cos\varphi_{1}+A_{2}\cos\varphi_{2}} $$

两个简谐振动的合成也可用旋转矢量表示法来研究。如图6-14所示，两振动

$ x_{1} $ 和 $ x_{2} $ 分别用旋转矢量 $ A_{1} $ 和 $ A_{2} $ 表示，由于矢量 $ A_{1} $ 和 $ A_{2} $ 的长度一定，不因转动而改变，且它们以相同的角速度 $ \omega $ 匀速转动，它们的夹角 $ \varphi_{2}-\varphi_{1} $ 在旋转过程中保持不变，所以合矢量 A 的长度也将保持不变，而且以同一角速度 $ \omega $ 旋转。这说明合矢量 A 代表的合振动仍是简谐振动，其振动频率与原来两个振动相同，运动方程可从合矢量 A 在 x 轴上的投影写出，即

$$ x=A\cos\left(\omega t+\varphi\right) $$

这正是合位移 $ x=x_{1}+x_{2} $ 。这说明合矢量 A 即为两振动的合振动所对应的旋转矢量，合矢量 A 的长度即为合振幅 A，合矢量 A 与 x 轴之间的夹角即为合振动的初相位 $ \varphi $ 。对图中三角形 $ OAA_{1} $ 运用余弦定律，即可求得式 (6-29) 。又从图中直角三角形 $ OAx $，根据 $ \tan\varphi=\frac{Ax}{Ox} $，即可求得式 (6-30) 。

由式(6-29)可知，合振幅A的大小除了与分振动振幅 $ A_{1} $和 $ A_{2} $有关外，还取决于两个分振动的相位差 $ \varphi_{1}-\varphi_{2} $。下面讨论两个特例，这两个特例在讨论机械波和光波干涉问题时经常要用到。

（1）两分振动同相位，即相位差 $ \varphi_{2}-\varphi_{1}=2k\pi,k $ 为零或任意整数。这时 $ \cos(\varphi_{2}-\varphi_{1})=1 $ ，由式(6-29)得

$$ A=\sqrt{A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2A_{1}A_{2}}=A_{1}+A_{2} $$

即两分振动同相时，此时合振幅等于两分振动的振幅之和，这种情况下合振幅为最大。

（2）两分振动反相位，即相位差 $ \varphi_{2}-\varphi_{1}=(2k+1)\pi $，k 为零或任意整数。这时 $ \cos(\varphi_{2}-\varphi_{1})=-1 $，由式(6-29)得

$$ A=\sqrt{A_{1}^{2}+A_{2}^{2}-2A_{1}A_{2}}=|A_{1}-A_{2}| $$

即两分振动反相时，合振动的振幅等于两分振动的振幅之差，此时的振幅最小，合成结果使振动减弱。特别当 $ A_{1}=A_{2} $时，合振幅A=0，即合成的结果使质点处于静止状态，当相位差等于其他值时，合振幅的值将在 $ A_{1}+A_{2} $和 $ \left|A_{1}-A_{2}\right| $之间。

下面我们讨论多个同方向同频率简谐振动的合成问题。

设有 N 个简谐振动，其振幅都为 $ A_{0} $，角频率为 $ \omega $，第一个振动的初相位为零，相邻两个振动初相差为 $ \Delta\varphi $，则 N 个简谐振动的振动方程分别为

$$ \begin{aligned}&x_{1}=A_{0}\cos\omega t\\&x_{2}=A_{0}\cos(\omega t+\Delta\varphi)\\&x_{3}=A_{0}\cos(\omega t+2\Delta\varphi)\\&\cdots\cdots\cdots\cdots\\&x_{N}=A_{0}\cos[\omega t+(N-1)\Delta\varphi]\\ \end{aligned} $$

由前面讨论可知，这N个简谐振动的合振动仍为简谐振动，设其表达式为

$$ x=A\cos\left(\omega t+\varphi\right) $$

如图6-15所示，N个旋转矢量依次相连，由始端O点指向末端Q点的矢量A就是合矢量。 $ PO=PB=\cdots=PQ=R $，R为N个旋转矢量依次相连

组成非闭合多边形的外接圆半径，P点为外接圆圆心。 $ \angle OPB = \Delta \varphi $。过P点作 $ A_{1} $

$ A_{2} $的垂线，则此两垂线对P点的张角为 $ \Delta\varphi $，合矢量A对P点的张角为 $ \angle OPQ=N\Delta\varphi $。根据几何关系可得

$$ A=2R\sin\left(\frac{N}{2}\Delta\varphi\right) $$

$$ A_{0}=A_{1}=2R\sin\left(\frac{\Delta\varphi}{2}\right) $$

由以上两式可得

$$ A=A_{0}\frac{\sin\left(\frac{N\Delta\varphi}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\Delta\varphi}{2}\right)} $$

由三角形 $ POQ $ 和三角形 $ POB $ 可得 $ \angle POQ = \frac{1}{2} (\pi - N\Delta\varphi) $ 和 $ \angle POB = \frac{1}{2} (\pi - \Delta\varphi) $，则合振动的初相为

$$ \varphi=\angle POB-\angle POQ=\frac{1}{2}(N-1)\Delta\varphi $$

公式(6-33)有两种情况在机械波和光波干涉问题时经常要用到：

（1） $ \Delta\varphi=2k\pi,(k=0,\pm1,\pm2,\pm3\cdots) $，即N个同相位简谐振动的合成，合振幅A为最大值，即

$$ A=A_{0}\frac{\sin\left(\frac{N\Delta\varphi}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\Delta\varphi}{2}\right)}=N A_{0} $$

这种情况在矢量图中，各个分矢量都沿同一方向，合振幅为各分振幅的和，如图6-16所示。

(2) $ N\Delta\varphi = 2k'\pi $, $ (k' = \pm1, \pm2, \cdots $, 但 $ k' \neq Nk) $, 这种情况在矢量图中, 各个分矢量组成一个或几个闭合多边形, 如图 6-17 所示, 因此合振幅为零, 即

$$ A=A_{0}\frac{\sin\left(\frac{N\Delta\varphi}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\Delta\varphi}{2}\right)}=0 $$

6.4.2 两个同方向、不同频率的简谐振动的合成

如果两个同方向的简谐振动的频率不相同，它们的相位差随时间改变，合振动一般不再是简谐振动，情况比较复杂。但当两个频率相差很小时，就会形成合振幅随时间发生周期性变化的拍（beat）现象。例如，我们可以取两个频率相同的音叉，将其中一个音叉加上一小物体，以便它们的频率有所差别。若两者频率相差较多时，尚能听到高低不同的两种音调，若两者频率相差很小，则分辨不出两种音调，只听到“嗡”“嗡”“嗡”之声，这就是拍的现象。

拍现象特征如图6-18所示，图中两个简谐振动的圆频率很接近，设分别为 $ \omega_{1} $ 和 $ \omega_{2} $，且 $ \omega_{1}<\omega_{2} $， $ A_{1}>A_{2} $，它们的振动方程分别为

$$ \begin{aligned}&x_{1}=A_{1}\cos\left(\omega_{1}t+\varphi_{1}\right)\\&x_{2}=A_{2}\cos\left(\omega_{2}t+\varphi_{2}\right)\\ \end{aligned} $$

由于 $ \omega_{1} $ 和 $ \omega_{2} $ 不相同但很接近，两振动旋转矢量 $ A_{1} $ 和 $ A_{2} $ 的旋转速度就不相同，图 6-18(a) 表示的 $ x_{1} $ 振动曲线和 (b) 表示的 $ x_{2} $ 振动曲线频率就不相同，这时图 (c) 描述的合振动虽还是简谐振动，但它的振幅时大时小，随时间做周期性缓慢变化，这就是拍。

现在我们来说明拍的频率（beat frequency）。为方便起见，令两振动振幅相同，即 $ A_{1}=A_{2}=A' $，初相位相同，即 $ \varphi_{1}=\varphi_{2}=\varphi $ 此时

合振动 $ x=x_{1}+x_{2}=A^{\prime}\left[\cos\left(\omega_{1}t+\varphi_{1}\right)+\cos\left(\omega_{2}t+\varphi_{2}\right)\right] $，应用三角形的和差化积公式，可得

$$ x=x_{1}+x_{2}=2A^{\prime}\cos\left(\frac{\omega_{2}-\omega_{1}}{2}t\right)\cos\left(\frac{\omega_{1}+\omega_{2}}{2}t+\varphi\right) $$

注意:式(6-37)中 $ \frac{\omega_{1}+\omega_{2}}{2} $是合振动的圆频率,而 $ 2A'\cos\left(\frac{\omega_{2}-\omega_{1}}{2}t\right) $可视为合振动的振幅A,当 $ \omega_{1} $和 $ \omega_{2} $相差很小时,由于 $ \omega_{2}-\omega_{1} $相比 $ \omega_{1} $或 $ \omega_{2} $为一小量,因而合振幅A是一随时间缓慢地做周期性变化的量,其变化频率为 $ \frac{1}{2\pi}\left(\frac{\omega_{2}-\omega_{1}}{2}\right) $。但振幅是绝对值,只能为正,即

$$ \boldsymbol{A}=\left|2\boldsymbol{A}^{\prime}\cos\left(\frac{\omega_{2}-\omega_{1}}{2}t\right)\right| $$

因此，合振幅 A 的变化频率应为 $ 2 \times \frac{1}{2\pi} \left( \frac{\omega_2 - \omega_1}{2} \right) = \frac{\omega_2 - \omega_1}{2\pi} $，即拍的频率应为

$$ \nu=\frac{\omega_{2}-\omega_{1}}{2\pi}=\nu_{2}-\nu_{1} $$

$ \nu $ 称为拍频。由于 $ \nu_{1}<\nu_{2} $，式（6-38）表示单位时间内第二振动比第一振动多振了 $ (\nu_{2}-\nu_{1}) $ 次。如果建立一个和 $ A_{1} $ 旋转速度相同的旋转参考系，则在此参考系中， $ A_{1} $ 视为不动， $ A_{2} $ 以角速度 $ \omega_{2}-\omega_{1} $ 旋转，如图 6-19 所示。在任一时间 $ t, A_{2} $ 和 $ A_{1} $ 的合成矢量为 A，显然， $ A_{2} $ 相对 $ A_{1} $ 每转一周，矢量 A 与矢量 $ A_{1} $ 方向相同或反向各一次，相同时合振幅 A 最大，相反时合振幅 A 最小（为零）。而在单位的时间内；合振幅 A 最大或最小的次数为 $ \nu_{2}-\nu_{1} $ 次，这就是拍现象。即拍频 $ \nu=\frac{\omega_{1}-\omega_{2}}{2\pi} $ 就是矢量 $ A_{2} $ 与 $ A_{1} $ 方向相同或相反的次数。

拍的现象、在声振动、电磁振荡和无线电技术中是经常遇到的。拍频振动有很多实际应用，例如管乐器中的双簧管就是利用两个簧片振动频率的

微小差别产生颤动的拍音，超外差式收音机中的振荡电路、汽车速度监视器等也都利用了拍的原理。

6.4.3 两个互相垂直的同频率简谐振动的合成

上面讨论了两个同方向简谐振动的合成问题，另外也存在同频率、振动方向互相垂直的简谐振动的合成问题。这类问题在电学、光学中有重要的应用。

设质点同时参与两个在互相垂直方向上进行的简谐振动，一个沿 x 轴方向，另一个沿 y 轴方向，并且两者频率相同。以质点的平衡位置为坐标原点，这两个振动的运动方程为

$$ \begin{aligned}&x=A_{1}\cos\left(\omega t+\varphi_{1}\right)\\&y=A_{2}\cos\left(\omega t+\varphi_{2}\right)\\ \end{aligned} $$

从以上两式中消去 t，即得合振动的轨迹方程：

$$ \frac{x^{2}}{A_{1}^{2}}+\frac{y^{2}}{A_{2}^{2}}-\frac{2xy}{A_{1}A_{2}}\cos(\varphi_{2}-\varphi_{1})=\sin^{2}(\varphi_{2}-\varphi_{1}) $$

这是一个椭圆方程。因而质点所做的合运动的轨迹通常为一椭圆（elliptically），椭圆的形状和方位在 $ A_{1} $ 和 $ A_{2} $ 已定的条件下，由相位差 $ \varphi_{2}-\varphi_{1} $ 来决定。下面我们通过对式(6-39)分析和借助旋转矢量图6-20得到的合振动轨迹，讨论多种 $ \varphi_{2}-\varphi_{1} $ 情况下的轨迹特点。

图6-20中，上方的旋转圆表示x方向振动，左侧的旋转圆表示y方向振动。注意它们都是逆时针方向旋转，且振幅 $ A_{1}=A_{2} $。它们在任意时刻分别沿着x,y方向投影的交点就是合振动物体的状态位置。

（1） $ \varphi_{1}-\varphi_{2}=0 $，即两个分振动的相位相同。在这种情况下，由式（6-39）可得

$$ y=\frac{A_{2}}{A_{1}}x $$

即合振动轨迹是通过原点且在第一、第三象限内的直线，直线的斜率为两分振动的

振幅之比 $ \frac{A_{2}}{A_{1}} $。如图6-20(a)所示。

(2）$\varphi_{1}-\varphi_{2}=\pi$ ，即两个分振动的相位相反，其中一个达到最大时，另一个达到负最大，此时式(6-39)变为

$$ y=-\frac{A_{2}}{A_{1}}x $$

即合振动轨迹为通过原点且在第二、第四象限内的直线。如图6-20(b)所示。

(3) $ \varphi_{1}-\varphi_{2}=\frac{\pi}{4} $，即 x 方向的分振动比 y 方向的分振动超前 $ \frac{\pi}{4} $，此时式(6-39)变为

$$ \frac{x^{2}}{A_{1}^{2}}+\frac{y^{2}}{A_{2}^{2}}-\frac{\sqrt{2}xy}{A_{1}A_{2}}=\frac{1}{2} $$

即合振动轨迹是以 x 轴和 y 轴为轴线的椭圆。注意椭圆方程所表示的椭圆轨迹是沿着逆时针方向运动。如图 6-20(c) 所示。这是因为 x 方向的分振动比 y 方向的分振动超前 $ \frac{\pi}{4} $，同时代表 x, y 方向的旋转矢量都要逆时针方向旋转。

(4) $ \varphi_{1}-\varphi_{2}=\frac{5\pi}{4} $，即 x 方向的分振动比 y 方向的分振动超前 $ \frac{5\pi}{4} $，此时式 (6-39) 仍变为

$$ \frac{x^{2}}{A_{1}^{2}}+\frac{y^{2}}{A_{2}^{2}}-\frac{\sqrt{2}xy}{A_{1}A_{2}}=\frac{1}{2} $$

即合振动轨迹是以 x 轴和 y 轴为轴线的椭圆。但要注意椭圆方程所表示的椭圆轨

迹是沿着顺时针方向运动如图6-20(d)所示。

(5) $ \varphi_{1}-\varphi_{2}=\frac{\pi}{2} $，即 x 方向的分振动比 y 方向的分振动超前 $ \frac{\pi}{2} $，此时式 (6-39) 变为

$$ \frac{x^{2}}{A_{1}^{2}}+\frac{y^{2}}{A_{2}^{2}}=1 $$

即合振动轨迹是以 x 轴和 y 轴为轴线的椭圆。当 $ A_{1}=A_{2} $ 时，上式变为圆方程。注意圆方程所表示的圆轨迹是沿着逆时针方向运动。如图 6-20(e) 所示。

(6) $ \varphi_{1}-\varphi_{2}=\frac{3\pi}{2} $，即 x 方向的分振动比 y 方向的分振动超前 $ \frac{3\pi}{2} $，此时其合振动轨迹仍为以 x 轴和 y 轴为轴线的椭圆。当 $ A_{1}=A_{2} $ 时，合运动的轨迹变为圆，但质点的运动方向是沿着顺时针方向运动。如图 6-20(f) 所示。

(7) $ \varphi_{1}-\varphi_{2}=\frac{3\pi}{4} $，即 x 方向的分振动比 y 方向的分振动超前 $ \frac{3\pi}{4} $，此时合振动轨迹是和 $ \varphi_{1}-\varphi_{2}=\frac{5\pi}{4} $ 相似的椭圆，但质点的运动方向和 $ \varphi_{1}-\varphi_{2}=\frac{5\pi}{4} $ 的椭圆相反，即沿逆时针方向运动。如图 6-20(g) 所示。同理， $ \varphi_{1}-\varphi_{2}=\frac{7\pi}{4} $ 和 $ \varphi_{1}-\varphi_{2}=\frac{\pi}{4} $ 的椭圆相似，但质点的运动方向不同。

总之，两个振动方向互相垂直、频率相同的简谐振动，其合振动轨迹为一直线、圆或椭圆，轨迹的形状、方位和运动方向由分振动的振幅和相位差决定。在电子示波器中，若令互相垂直的正弦变化的电学量频率相同，即可以在荧光屏上观察到图6-20的轨迹。

6.4.4 两个互相垂直的、不同频率简谐振动的合成

一般来说，两个互相垂直、不同频率的简谐振动，由于相位差不是定值，其合振动的轨迹不能形成稳定的图案。如果两个分振动的频率相差很小，则合成振动的轨迹将不断地按图6-21所示连续过渡地重复变化。如果两个分振动的频率（或周期）成整数比，则合成振动的轨迹为一封闭的稳定的曲线，曲线的形状与分振动的周期比以及初相位有关，得出的图形叫作李萨如图（Lissajous figures）。图6-21表示沿x轴和y轴分振动的周期比 $ T_{1}:T_{2} $分别为1:1、1:2、1:3、2:3时几种不同初相位差时的李萨如图。在电子示波器中，若令互相垂直的正弦变化的电学量的频率成不同的整数比，即可在荧光屏上看到各种不同的李萨如图形。

由于图形花样与分振动的频率比有关，因此可以通过李萨如图形的花样判断两分振动的频率比，进而由一个振动的已知频率求得另一振动的未知频率，这是无线电技术中常用的测定未知频率的方法之一。

6.5 阻尼振动 受迫振动 共振

6.5.1 阻尼振动

前面我们所讨论的是假定物体在运动过程中不受任何阻力的理想条件下的振动，因此物体一经扰动将永远振动下去，而且振幅保持不变。实际上，任何振动系统总要受到阻力的作用，由于克服阻力做功，振动系统的能量将不断减少；同时由于在振动的传播过程中，伴随着能量的传递，也会使振动系统的能量不断减少。随着能量不断减少，振幅也逐渐减少。这种振幅随时间而减小的振动叫作阻尼振动（damped vibration）。

振动系统的阻尼(damping)通常分为两种，一种是由于摩擦阻力使系统能量逐渐变为热能，这称为摩擦阻尼。另一种是由于振动系统引起邻近质点的振动，振动系统的能量逐渐向四周辐射出去，转变为波动的能量，这称为辐射阻尼。例如音叉振动时，一方面因受空气阻力而消耗能量，同时也因辐射声波而导致能量的减少。

实验指出，当物体以不太大的速率在黏性介质中运动时，物体受到的阻力与物体运动速率成正比。即

$$ F_{r}=-\gamma v $$

$ \gamma $ 称为阻力系数。根据牛顿第二定律，振子运动方程沿 x 轴的分量式为

$$ -kx-\gamma\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=m\frac{\mathrm{d}^{2}x}{\mathrm{d}t^{2}} $$

式中 $ k, \gamma $ 都是常量。令 $ \frac{k}{m} = \omega_{0}, \frac{\gamma}{m} = 2\beta $，方程简化为

$$ \frac{\mathrm{d}^{2}x}{\mathrm{d}t^{2}}+2\beta\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+\omega_{0}^{2}x=0 $$

$ \beta $ 表征阻尼的强弱，称为阻尼常量，它与系统本身的质量和介质的阻力系数有关。 $ \beta $ 值越大，阻力影响就越大。 $ \omega_{0} $ 为系统的固有角频率，它由系统本身的性质决定。理论研究表明，当阻尼较小，即 $ \beta<\omega_{0} $ 时，系统做阻尼振动，这时式（6-41）解为

$$ x(t)=A\mathrm{e}^{-\beta t}\cos\left(\sqrt{\omega_{0}^{2}-\beta^{2}}t+\varphi\right) $$

式中 $ A $ 和 $ \varphi $ 是由初始条件所决定的积分常量。式(6-42)的位移 $ x $ 与时间 $ t $ 的关系曲线如图6-22所示。从图可看出：随着时间 $ t $ 增大，阻尼振动的振幅 $ Ae^{-\beta t} $ 不断衰减。 $ \beta $ 越大，振幅衰减越快。在 $ t=0 $ 时，振幅为 $ A $；在 $ t \to \infty $ 时，振幅为零，即振动停止。所以，阻尼振动不是简谐振动，但在阻尼不大时，可以近似看作是一种振幅逐渐减少的简谐振动。它的角频率 $ \omega = \sqrt{\omega_0^2 - \beta^2} $，周期为

$$ T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{\sqrt{\omega_{0}^{2}-\beta^{2}}} $$

若阻尼过大，即 $ \beta > \omega_{0} $ 时，式(6-42)不再是微分方程式(6-41)的解。此时物体将缓慢地回到平衡位置，以后便不再运动，这种情况称为过阻尼。若阻尼作用满足 $ \beta = \omega_{0} $ 时，对应的是欠阻尼与过阻尼之间的临界情况，和过阻尼相比，物体从运动到静止在平衡位置所经历的时间最短，故称临界阻尼。图6-23反映了三种不同阻尼情况下的位移时间曲线。

6.5.2 受迫振动

当振动系统做无阻尼振动时，它有一定的周期，这就是系统本身的固有周期，阻尼振动要消耗能量，振动会逐渐停止。要维持等振幅振动，需要输入能量，即需要力不断地对系统做功。

下面讨论在一简谐驱动力—— $ F = F_{0} \cos \omega t $ 的作用下的受迫振动，这里 $ \omega $ 为简谐驱动力的频率。现在，物体除受弹性力和阻力外，还受简谐驱动力，则物体的运动方程为

$$ m\frac{\mathrm{d}^{2}x}{\mathrm{d}t^{2}}=-kx-\gamma\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+F_{0}\cos\omega t $$

一般情况下，上面方程的解应具有如下形式：

$$ x=A\mathrm{e}^{-\beta t}\cos\left(\sqrt{\omega_{0}^{2}-\beta^{2}}t+\varphi\right)+B\cos\left(\omega t+\varphi\right) $$

上式第一项为简谐驱动力不存在的物体的阻尼振动，这在上一节中已作过讨论。由于它随时间逐渐衰减，当时间适当长后，就不起作用，故称此项为暂态响应，它与驱动力无关。第二项则为驱动力存在时系统出现的响应，它不随时间衰减，称为稳态响应。此项中的

$$ B=\frac{F_{0}}{\sqrt{\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)^{2}+\left(2\beta\omega\right)^{2}}} $$

$$ F_{0}=\frac{F}{m} $$

$$ \phi=\arctan\left(\frac{2\beta\omega}{\omega^{2}-\omega_{0}^{2}}\right) $$

由 $ \frac{dB}{d\omega}=0 $可求得当 $ \omega=\sqrt{\omega_{0}^{2}-2\beta^{2}} $时，振幅B有极大值。这时系统发生共振。

必须指出的是：受迫振动(forced vibration)的角频率不是振动的固有角频率，而是驱动力(driving force)的角频率； $ B $（稳态受迫振动的振幅）和 $ \phi $（稳态受迫振动与驱动力的相位差）均与初始条件无关，而与驱动力的频率有关。这与靠“第一推动”而起振的简谐振动有所不同，受迫振动时系统受到周期性驱动力的持续作用，因而振动状态与驱动力的性质密切相关。

6.5.3 共振

下面我们来讨论共振(resonance)现象。由式(6-44)可知，稳态受迫振动的位移振幅随驱动力的频率而改变，其变化情况如图6-24所示。当驱动力的频率为某一特定值时，振幅达到极大值。由式(6-44)利用求极值的方法可得振幅达到极大值时对应的角频率为

$$ \omega=\sqrt{\omega_{0}^{2}-2\beta^{2}} $$

此时振幅B有极大值。振幅为

$$ B_{max}=\frac{F_{0}}{2\beta\sqrt{\omega_{0}^{2}-\beta^{2}}} $$

视频：塔卡玛桥

可见，在阻尼很小 $ \beta \ll \omega_{0} $ 的情况下，若驱动力的频率近似等于振动系统的固有频率，位移振幅将达到最大值。我们把这种现象称为位移共振。

生活中有许多共振的现象：载重车驶过时，玻璃窗抖动；风吹高压电线发出的尖啸声……共振有很重要的用处，如果没有共振收音机不会播放声音，电视机屏幕显示不出图像，只有接收器与电磁波发生共振，才接收到美妙的音乐、生动的画面。

当然，共振也有害处，全世界的桥梁工程师都不会忘记1940年11月7日。这一天，世界上第一座吊索桥——塔卡玛桥在风中因发生共振而坍塌了，如图6-25所示。

习题

6-1 一轻弹簧，上端固定，下端挂有质量为 m 的重物，其自由振动的周期为 T。今已知振子离开平衡位置为 x 时，其振动速度为 v，加速度为 a。则下列计算该振子劲度系数的公式中，错误的是（）。

A. $ k=mv_{\max}^{2}/x_{\max}^{2} $ B. $ k=mg/x $ C. $ k=4\pi^{2}m/T^{2} $ D. $ k=ma/x $

6-2 把单摆摆球从平衡位置向位移正方向拉开，使摆线与竖直方向成一微小角度 $ \theta $，然后由静止放手任其振动，从放手时开始计时。若用余弦函数表示其运动方程，则该单摆振动的初相为( )。

A. $ \pi $ B. $ \pi/2 $ C. 0 D. $ \theta $

6-3 两个同周期简谐振动曲线如题6-3图所示。 $ x_{1} $的相位比 $ x_{2} $的相位()。

A. 落后 $ \pi/2 $

B. 超前 $ \pi/2 $

C. 落后 $ \pi $

D. 超前 $ \pi $

6-4 已知一质点沿 y 轴做简谐振动。其振动

方程为 $ y = A\cos(\omega t + 3\pi/4) $。在题6-4图中，与之对应的振动曲线是()。

6-5 一弹簧振子做简谐振动，总能量为 $ E_{1} $，如果简谐振动振幅增加为原来的两倍，重物的质量增为原来的四倍，则它的总能量 $ E_{2} $ 变为（）。

A. $ E_{1}/4 $ B. $ E_{1}/2 $ C. $ 2E_{1} $ D. $ 4E_{1} $

6-6 题 6-6 图中所画的是两个简谐振动的振动曲线。若这两个简谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相为( )。

A. $ \frac{3}{2}\pi $ B. $ \pi $ C. $ \frac{1}{2}\pi $ D. 0

6-7 将质量为 0.2 kg 的物体系于劲度系数 k

=19 N\cdot m^{-1} 的竖直悬挂的弹簧的下端。假定在弹簧不变形的位置将物体由静止释放，然后物体做简谐振动，则振动频率为___，振幅为___。

6-8 题 6-8 图中用旋转矢量法表示了一个简谐振动。

旋转矢量的长度为0.04 m，旋转角速度 $ \omega=4\pi $ rad $ \cdot $ s $ ^{-1} $。此简谐振动以余弦函数表示的振动方程为 x= ___ (SI单位)。

6-9 分别敲击某待测音叉和标准音叉，使它们同时发音，听到时强时弱的拍音。若测得在 $ 20 \, s $ 内拍的次数为 180 次，标准音叉的频率为 $ 300 \, Hz $，则待测音叉的频率为 ___。

6-10 题 6-10 图中所示为两个简谐振动的振动曲线。若以余弦函数表示这两个振动的合成结果，则合振动的方程为 $ x=x_{1}+x_{2}= $ ___ (SI 单位)。

6-11 一质点同时参与两个互相垂直的同频率的简谐振动，其合成运动的轨迹及旋转方向如题6-11图所示，旋转周期为2 s。t=0时质点位于图中x轴上的B点。两个分振动的数值表达式分别为x=___（SI单位），y=___（SI单位）。

6-12 在示波器上观察到两个互相垂直的简谐振动合成的轨迹如题 6-12 图所示，则两简谐振动的频率之比 $ \nu_{y} : \nu_{x} = $ ___。

6-13 一质点按如下规律沿 x 轴做简谐振动：

$$ x=0.1\cos\left(8\pi t+\frac{2}{3}\pi\right) $$

(SI 单位)

求此振动的周期、振幅、初相、速度最大值和加速度最大值。

6-14 一单摆的角振幅 $ \theta_{0}=0.1\pi $，周期 T=0.5 s，求：

（1）最大的摆动角速度 $ (\mathrm{d}\theta/\mathrm{d}t)_{\max} $;

（2）当角位移是角振幅的一半时的角速度(dθ/dt)的大小。

6-15 质量 $ m=10 \, g $ 的小球与轻弹簧组成的振动系统按 $ x=0.5 \cos\left(8\pi t+\frac{1}{3}\pi\right) $ 的规律做自由振动，式中 t 以 s 为单位，x 以 cm 为单位，求

（1）振动的角频率、周期、振幅和初相；

（2）振动的速度、加速度的数值表达式；

（3）振动的能量E；

（4）平均动能和平均势能。

6-16 倾角为 $ \theta $ 的固定斜面上放一质量为 m 的物体，用细绳跨过滑轮把物体与一轻弹簧相连接，弹簧另一端固定于地面，如题 6-16 图所示。弹簧的劲度系数为 k，滑轮可视为半径为 R、质量为 $ m_{0} $ 的圆盘，设绳与滑轮间不打滑，物体与斜面间