第7章 机械波

以及滑轮转轴处摩擦不计。设在弹簧不伸长，绳子也不松弛的情况下，使 m 由静止释放并以此时作为计时起点，可以证明 m 的振动是简谐振动，求 m 的振动方程。

(滑轮的转动惯量 $ J = \frac{1}{2} m_0 R^2 $，本题中沿斜面向下取为 x 轴正方向。)

6-17 假想沿地球的南北极直径开凿一条贯通地球的隧道，且将地球当作一密度 $ \rho=5.5\ g\cdot cm^{-3} $ 的均匀球体，若不计阻力，一物体自静止由地面落入此隧道后的运动可以证明为简谐振动。

（1）求物体振动的角频率；

(2) 求此物体由地球表面落至地心的时间 t。

（引力常量 $ G=6.67\times10^{-11}\ N \cdot m^{2} \cdot kg^{-2} $）

6-18 一简谐振动的振动曲线如题6-18图所示，求振动方程。

6-19 一质点在 x 轴上做简谐振动，如题 6-19 图所示。选取该质点向右运动通过 A 点时作为计时起点 (t=0)，经过 2 s 后质点第一次经过 B 点，再经过 2 s 后质点第二次经过 B 点，若已知该质点在 A, B 两点具有相同的速率，且 AB=10 cm 求：

（1）质点的振动方程；

（2）质点在A点处的速率。

6-20 一质点沿 x 轴做简谐振动，其角频率 $ \omega = 10 \, rad \cdot s^{-1} $。试分别写出以下两种初始状态下的振动方程：

（1）其初始位移 $ x_0 = 7.5 \, cm $，初始速度 $ v_0 = 75.0 \, cm \cdot s^{-1} $；

（2）其初始位移 $ x_0 = 7.5 \, \text{cm} $，初始速度 $ v_0 = -75.0 \, \text{cm} \cdot \text{s}^{-1} $。

6-21 如题 6-21 图所示，有一水平弹簧振子，弹簧的劲度系数 $ k=24\ N \cdot m^{-1} $

重物的质量 m=6 kg，重物静止在平衡位置上。设以一水平恒力 F=10 N 向左作用于物体（不计摩擦），使之由平衡位置向左运动了 0.05 m 时撤去力 F。当重物运动到左方最远位置时开始计时，求物体的运动方程。

6-22 一物体质量为 0.25 kg，在弹性力作用

下做简谐振动，弹簧的劲度系数 $ k=25\ N \cdot m^{-1} $，如果起始振动时具有势能 0.06 J 和动能 0.02 J，求

（1）振幅；

（2）动能恰等于势能时的位移；

（3）经过平衡位置时物体的速度。

6-23 一弹簧振子在光滑水平面上做简谐振动，如题6-23图所示，已知物块的质量 $ m_{1}=0.1\ kg $，弹簧的劲度系数 $ k=4\ N\cdot m^{-1} $，质量 $ m_{1}=0.1\ kg $，弹簧的劲度系数 $ k=4\ N\cdot m^{-1} $，振幅 $ A_{1}=0.05\ m $。

（1）若当 $ m_{1} $ 经过平衡位置时，质量为 $ m_{2}=0.1\ kg $ 的油泥块竖直落下并粘在物块 $ m_{1} $ 上，求简谐振动系统新的周期 $ T_{2} $ 、振幅 $ A_{2} $ 和能量损失 $ \Delta E $;

（2）若当物块 $ m_{1} $ 在最大位移处时，油泥块 $ m_{2} $ 竖直落在物块 $ m_{1} $ 上，求简谐振动系统新的周期 $ T_{3} $ 、振幅 $ A_{3} $ 和能量损失 $ \Delta E $。

6-24 一物体同时参与两个同方向的简谐振动：

$$ x_{1}=0.04\mathrm{cos}\left(2\pi t+\frac{1}{2}\pi\right)\quad(SI 单位 ),\quad x_{2}=0.03\mathrm{cos}\left(2\pi t+\pi\right) $$

求此物体的振动方程。

6-25 质量为 $ m = 0.1 \, kg $ 的物体和劲度系数为 $ k = 10 \, N \cdot m^{-1} $ 的轻弹簧构成弹簧振子。物体在弹性力和外加驱动力 $ F = H \cos \omega t $（其中 $ \omega = 10 \, s^{-1} $）及阻力 $ F_f = -\gamma v $ 的共同作用下做受迫振动。若阻力系数 $ \gamma $ 增加为原来的 2 倍，其他条件不变，物体的振幅将变为原来的多少倍？

6-26 一质点同时参与两个互相垂直的简谐振动，其表达式分别为：

$$ \begin{aligned}x&=A\cos\left(\omega t+\varphi\right)\\y&=2A\cos\left(2\omega t+2\varphi\right)\end{aligned} $$

其中 $ A,\omega,\varphi $ 都是常量。试求出轨迹方程。

>> 第7章

机械波

自然界中的振动系统并不是孤立存在的。当某个系统振动时，它将带动其周围与其有一定联系的物质随之一起振动，于是该系统的振动就被周围的物质传播开去，形成波动过程。因此波动就是振动的传播过程。

波动是一种重要的运动形式。放声高歌，在空气中激荡着声波；投石于静水，在水面上激起水波。声波、水波都是机械振动在介质中的传播，统称为机械波（mechanical wave）。人们能通过收音机或电视机收听收看各种节目，是由于接收到电台发出的电磁波。我们能看到周围的世界，是由于光波作用于眼睛引起的视觉效果。光波也是电磁波。由此可见，在物理学的力学、电磁学、光学等领域内都存在波动这种运动形式。在近代物理学的发展中，波的概念取得了更为重要的地位。实验表明，静止质量不为零的粒子如电子、原子等也具有波动性。

本章仅讨论机械波，并着重讨论在弹性介质中传播的弹性波。由此引入的有关波的一些基本概念和规律，对其他波动过程也是适用的。它们是讨论各种波动过程的基础。

7.1 机械波的几个概念

7.1.1 机械波的形成

振动状态在空间的传播称为波动，它是物质的一种特殊的运动形式。机械振动在弹性介质（固体、液体和气体）内传播就形成了机械波。如我们向盛水的盆中撤一些漂浮物，如木屑、羽毛等，然后用筷子向水面点一下，你就会看到一团起伏不平的圆圈向外扩展，每点一下，就有一个圆圈，不断地点，就会连续不断产生逐渐扩大的圆圈。注意观察水面上的漂浮物，每当圆圈通过时，它们都会在原处发生上下振动。虽然圆圈不断扩大，但漂浮物并没有沿圆圈扩大的方向运动，只是在沿圆圈的半径方向上，各个漂浮物的振动有先后，也即振动的步调并不完全一致。

这一现象告诉我们，机械波是机械振动在介质中的传递过程，介质并没有发生定向迁移，它与麦浪的形成相似。产生机械波必须具备两个条件。第一要有波源（振源），第二要有传播振动的介质。

7.1.2 横波和纵波

按照质点振动方向和波的传播方向的关系，机械波可分为横波（transverse wave）与纵波（longitudinal wave）。这是波动的两种最基本的形式。

如图7-1(a)所示，用手握住一根绷紧的长绳，当手上下抖动时，绳子上各部分质点就依次上下振动起来，这种质点振动方向与波的传播方向相垂直的波称为横波。对于横波，我们可以在绳子上看到交替出现凸起的波峰（wave crest）和凹下的波谷（wave loop），并且它们以一定的速度沿绳传播，这就是横波的外形特征。

将一根水平放置的长弹簧的一端固定，用手去拍打另一端，各部分弹簧就依次

左右振动起来，如图7-1(b)所示。这种质点的振动方向与波的传播方向相互平行的波称为纵波。纵波的外形特征是弹簧出现交替的“稀疏”和“稠密”区域，并且它们以一定的速度传播出去。从图7-1还可以看出，无论是横波还是纵波，它们都只是振动状态（即振动相位）的传播，弹性介质中各质点仅在它们各自的平衡位置附近振动，并没有随振动的传播而流走。

要注意：在弹性介质中可形成横波，是由于弹性介质内部可发生剪切形变，并产生使质元恢复原状的剪切弹性力。横波可在固体中传播，因为固体会产生切变，产生一层介质相对于另一层介质的横向平移。液体内部和气体内部不具备剪切弹性，不能产生张力，所以不能传播横波。由于液体表面张力和重力作用，液体传播的是一种比较复杂的波，这种波使得液体表面质点并不沿着直线振动而是沿着椭圆轨道运动，因此它既非纯粹的横波，也非纯粹的纵波。

纵波可以在固体、液体和气体中传播。因为纵波在弹性介质中传播时，介质要发生压缩或拉伸，即发生体变（也称容变），而固体、液体和气体都能产生体变。

要注意:任何复杂形式的波动,都可以看成是横波和纵波的叠加。因而,本课程主要研究波动的共性和基本规律。

7.1.3 波长、频率、波速之间的基本关系式

波长、波的频率(或周期)和波速是描述波动的三个基本物理量。在同一波线上两个振动相位差为 $ 2\pi $ 的质点间的距离，即一个完整波形的长度，叫作波长，用 $ \lambda $ 表示。显然横波上相邻的两个波峰之间的距离或相邻两个波谷之间的距离就是一个波长。纵波上相邻两个密部或相邻两个疏部对应点之间的距离，也是一个波长。这样，我们就可以说，波长是指沿波的传播方向上相邻的振动步调一致的两质点（两相邻同相点）间的距离。

波的周期是波向前推进一个波长的距离所需要的时间，用 T 表示。周期的倒

数叫作波的频率，用 $ \nu $ 表示，即 $ \nu=\frac{1}{T} $。因此频率 $ \nu $ 是单位时间内波动向前传播的完整波的数目。由波动形成的过程可知，经过一个周期，质点做一次完全振动，沿波线传出一个完整的波形。所以波的周期大小（或频率）等于波源振动的周期大小（或频率）。这就是说，波的周期（或频率）与传播介质性质无关，与波源的振动周期相同。

在波动过程中，单位时间内振动（任一振动状态）所传播的距离叫作波速，用 u 表示。由于振动状态是由相位确定的，所以振动状态的传播即是相位的传播，这一波速也称为相速。

由于在一个周期内，振动状态传播的距离是一个波长，因此，u, $ \lambda $,T有如下的关系式

$$ u=\frac{\lambda}{T}=\lambda\nu $$

式(7-1)说明：波速等于波长与周期之比，或者说波速等于波长和频率的乘积。波的周期 $ T $（或频率 $ \nu $）反映了波在时间上的周期性，波长 $ \lambda $ 则反映了波在空间上的周期性，而式(7-1)则把这两种周期性联系起来。

7.1.4 波面与波线

为了形象地描绘波在空间的传播情况，自振源沿各传播方向画一些带箭头的线表示波的传播途径和方向，这些带箭头的线叫波线。波在传播过程中，所有振动相位相同的点组成的面叫作波面（wave surface）。一般使相邻两个波面之间的距离等于一个波长（wavelength），如图7-2和图7-3所示。离波源最远亦即“最前方”的波面叫作波前（wave front）。注意，在任意一时刻，波面可以有许多多个，但波前只有一个。

波面可以有各种形状。一点波源在均匀、各向同性介质中激起的波，其波面是一系列同心球面，称为球面波。图7-2显示的是球面波（spherical wave）。在离点振源足够远处，如果观察范围不大，波面几乎成一平面，称为平面波，平面波的波线是互相平行的直线，如图7-3所示。平面波和球面波都是真实波动的理想近似。例如太阳发出的光波可以看成是球面波，而地球上某一区域内接收的太阳波是球

面波的一部分，则可当作平面波处理。在均匀、各向同性的介质中，不管是球面波或平面波，波线与波面都互相垂直。

【例 7-1】某一时刻绳上横波的波形曲线如图 7-4(a) 所示，水平箭头表示波的传播方向。试求 P 处质点在该时刻的相位，分别用箭头表明图中 A, B, C, D, E, F, G, H, I 各质点在该时刻的运动方向，并画出经过 1/4 周期后的波形曲线。

解 根据图7-4(a)中波的传播方向可知P点比A点先振动。由于 $ AP=\frac{\lambda}{3} $，所以P点的相位比A点相位超前 $ \frac{2\pi}{\lambda}\times\frac{\lambda}{3}=\frac{2\pi}{3} $，即

$$ \varphi_{P}(t)-\varphi_{A}(t)=\frac{2\pi}{3} $$

由图还知，B 点和 A 点开始振动的时刻总是落后于 C 点，而 D, E, F, G, H, J 开始振动的时刻都超前于 C 点。在 C 点到达正最大位移时，B 点和 A 点都向着各自的正的最大位移方向运动；至于 D, E, F 各点则都已经过了各自的正的最大位移而向负方向运动了；而 I, H 两点不仅已经过了各自的正的最大位移，而且还经过了负的最大位移，向正方向运动了；G 点则处于负的最大位移处。它们的运动方向如图 7-4(b) 所示，即 A, B, H, I 各点向上运动，而 D, E, F 各点向下运动，C, G 两点的速度为零。经过 $ \frac{1}{4} $ 周期，其波形曲线如图 7-4(c) 所示。

7.2 平面简谐波波函数

7.2.1 平面简谐波波函数

由波的形成过程可知，介质中各质元都在振动，但是各个质元的振动状态是不同的。波函数（wave function）就是一个既能反映介质中各质元的振动规律，又能反映振动状态在向前传播的函数式。如果波是沿路径 x 方向传播的，则波函数应反映 x 处的质点在任意时刻 t 的位移 y，即波函数应是 $ y = f(x, t) $。

对于平面波(plane wave)来说，只要给出其中一条波线上各质元的振动规律，也就确定了空间中各质元的振动规律。因为平面波的波面是平面，而同一波面上各质元的运动状态是相同的，因此可以将平面波简化为一条直线上的波动来研究。如图7-5所示，设原点O处(即x=0处)质点在做简谐振动，它将带动x轴上的其他各个介质点由近及远将依次做振幅相等的简谐振动(设介质是均匀和无吸收的)，如此形成平面简谐波(simple harmonic wave)。设原点O处质点的振动方程为

$$ y_{0}=A\cos\left(\omega t+\varphi\right) $$

式中 $ y_{0} $ 是原点 O 处在 t 时刻相对平衡位置的位移，A 是振幅， $ \omega $ 是角频率。为了找出 x 轴上所有其他质点振动方程，我们任意考察 13 号点，设该点距 O 点的距离为 x，由于振动是从 O 点传过来的，因而 13 号点将以相同的振幅和频率重复 O 点的振动。但振动传播到 13 号点需要时间 $ \tau = \frac{x}{u} $（u 为波速），因此若原点 O 处质点振动了时间 t，13 号质点比原点 O 处质点的振动时间少 $ \frac{x}{u} $。所以当原点 O 处质点的振动相位为 $ \omega t + \varphi $ 时，13 号质点的相位为 $ \omega \left( t - \frac{x}{u} \right) + \varphi $。于是，13 号质点在 t 时刻的位移为

$$ y=A\cos\left[\omega\left(t-\frac{x}{u}\right)+\varphi\right] $$

由于13号点是任意选取的，因而式(7-3)反映的是x轴上任一位置质点的振动。即式(7-3)就是沿x轴正方向传播的平面简谐波的波函数，或称平面简谐波的波动方程。

利用关系式

$$ \omega=\frac{2\pi}{T}=2\pi\nu\;,\quad\lambda=u T $$

式 $ （7-3） $也可写成

$$ y=A\cos\left(\frac{2\pi}{T}t-\frac{2\pi x}{\lambda}+\varphi\right)=A\cos\left(\omega t-\frac{2\pi x}{\lambda}+\varphi\right) $$

如果波沿 x 轴负向传播，则 13 号质点比原点 O 处质点振动时间早 $ \frac{x}{u} $。因此，若原点 O 处质点振动了 t 时间，13 号质点要比原点 O 处质点多振动 $ \frac{x}{u} $ 时间，即 13 号质点振动了 $ t + \frac{x}{u} $ 时间。所以当原点 O 处质点的振动相位为 $ \omega t + \varphi $ 时，13 号质点的相位为 $ \omega\left(t + \frac{x}{u}\right) + \varphi $。于是，13 号质点在 t 时刻的位移为

$$ y=A\cos\left[\omega\left(t+\frac{x}{u}\right)+\varphi\right] $$

这就是沿 x 轴负方向传播的平面简谐波的波函数，并且有下列形式

$$ y=A\cos\left(\frac{2\pi}{T}t+\frac{2\pi x}{\lambda}+\varphi\right)=A\cos\left(\omega t+\frac{2\pi x}{\lambda}+\varphi\right) $$

设以上所说的参考点不在原点 O 处质点，而是在距原点 O 处为 $ x_{0} $ 的点上，其振动方程为

$$ y_{x0}=A\cos\left(\omega t+\varphi\right) $$

则相应的波函数为

$$ y=A\cos\left[\omega\left(t\mp\frac{x-x_{0}}{u}\right)+\varphi\right] $$

式中，减号对应波沿 x 轴正方向传播，加号对应波沿 x 轴负方向传播。

应当注意的是，无论是横波还是纵波，皆可用上述波函数表示。对于横波，质点离开平衡位置的位移 y 与波的传播方向 x 轴垂直；而对于纵波，位移 y 沿 x 轴方向。

7.2.2 波函数的物理意义

为了进一步说明平面简谐波函数的意义，下面将对其作进一步的分析。在波函数中有两个自变量，即时间 t 和描述不同质元平衡位置的坐标 x。如果 x 给定，即 $ x = x_{0} $，如图 7-6 所示，那么位移 y 仅是时间 t 的函数，这时波函数就转化为 $ x_{0} $ 处质点的振动方程。若波是沿 x 轴正向传播，则由式 (7-3) 可知该质元的振动方程为

$$ y=A\cos\left(\omega t-\frac{\omega x_{0}}{u}+\varphi\right) $$

式中 $ -\frac{\omega x_{0}}{u}+\varphi $为质元 $ x_{0} $处振动的初相。

如果 t 给定，即 $ t=t_{0} $，那么位移 y 只是 x 的函数，这时波函数变为

$$ y=A\cos\left(\omega t_{0}-\frac{2\pi x}{\lambda}+\varphi\right) $$

它表示波线上各质点在同一时刻 $ t_{0} $ 的位移分布，即 $ t_{0} $ 时刻的波形。若以 y 为纵坐标，x 为横坐标，将得到“波长”为 $ \lambda $ 的余弦曲线，如图 7-7 所示。

如果 x 和 t 都在变化，这时波函数就表示波线上不同质点在不同时刻的位移，形象地说，此时波函数反映了波形的传播。下面用波形图来加以说明。

如图7-8所示，设 $ t_{1} $时刻的波形图如虚线所示， $ t_{1}+\Delta t $时刻的波形图为实线所示。当 $ t=t_{1} $时，各质点的位移为

$$ y\left(x,t_{1}\right)=A\cos\left[\omega\left(t_{1}-\frac{x}{u}\right)+\varphi\right] $$

在 $ t_{1}+\Delta t $时刻各质元的位移为

$$ y\left(x,t_{1}+\Delta t\right)=A\cos\left[\omega\left(t_{1}+\Delta t-\frac{x}{u}\right)+\varphi\right] $$

以上两式表明：在不同时刻 $ t_{1} $ 和 $ t_{1} + \Delta t $，同一 x 处质元的位移是不相同的。但 $ t_{1} $ 时刻的 x 点和 $ t_{1} + \Delta t $ 时刻的 $ x + u\Delta t $ 点位移相等，这是因为

$$ \begin{aligned}y(x,t_{1})&=A\cos\left[\omega\left(t_{1}-\frac{x}{u}\right)+\varphi\right]\\&=A\cos\left[\omega\left(t_{1}+\Delta t-\frac{x+u\Delta t}{u}\right)+\varphi\right]\\&=y\left(x+u\Delta t,t_{1}+\Delta t\right)\\ \end{aligned} $$

亦即在 $ \Delta t $ 时间内，整个波形沿波的传播方向移动了 $ u\Delta t $ 距离，波形向前传播的速度为 u，因此波的传播速度 u 也是整个波形向前传播的速度。

必须指出，波的传播速度 u 和介质中各质元的振动速度 v 的意义是不同的。波速的大小由介质的性质决定，一旦介质一定，其波速 u 是一常量；而介质中各质元的振动速度

$$ v=\frac{\partial y}{\partial t}=-A\omega\sin\left[\omega\left(t-\frac{x}{u}\right)+\varphi\right] $$

则是随时间而变的，它的大小由振源和介质的性质共同决定。

【例 7-2】已知波动方程 $ y=1.2\times10^{-3}\cos\left(10^{5}\pi t-220x\right) $，式中 x, y 以 m 计，t 以 s 计。求：(1) 该波的振幅、频率、波速与波长；(2) 距原点 8.00 m 处的质点在 $ \Delta t=10^{-5} $ s 时间间隔内的相位差；(3) 在波传播方向上相位差为 $ \frac{\pi}{3} $ 的两点间的距离。

解 (1) 把波动方程改写为

$$ y=1.2\times10^{-3}\cos\left(\frac{2\pi}{2\times10^{-5}}t-\frac{2\pi x}{\frac{\pi}{110}}\right) $$

与式(7-4)相比较，可得波源的振幅 $ A=1.2\times10^{-3} $ m，波的周期 $ T=2\times10^{-5} $ s， $ \lambda=\frac{\pi}{110}=2.85\times10^{-2} $ m，所以

$$ \nu=\frac{1}{T}=\frac{\omega}{2\pi}=5\times10^{4}Hz $$

$$ u=\lambda v=2.85\times10^{-2}\times5\times10^{4}m\cdot s^{-1}=1.43\times10^{3}m\cdot s^{-1} $$

（2）距波源 8.00 m 处质元在 $ \Delta t = 10^{-5} $ s 时间内的相位差

$$ \Delta\varphi=\frac{2\pi}{T}\Delta t=\pi $$

(3) 在波的传播方向上相位差为 $ \frac{\pi}{3} $的两点之间距离 $ \Delta x $ 满足

$$ \Delta\varphi=\frac{2\pi}{\lambda}\cdot\Delta x=\frac{2\pi}{\frac{\pi}{110}}\Delta x=\frac{\pi}{3} $$

故

$$ \Delta x=\frac{\pi}{660}=4.75\times10^{-3}m $$

【例 7-3】一平面波在介质中以速度 $ u = 20 \, \text{m} \cdot \text{s}^{-1} $ 沿直线传播，如图 7-9 所示。已知在传播路径上某点 $ A $ 的振动方程为 $ y_A = 3 \cos 4\pi t $。

（1）以 A 点为坐标原点，写出波函数，求出 C,D 两点的振动方程；

（2）以 B 点为坐标原点，写出波函数，并求出 C,D 两点的振动方程。

解 （1）已知 $ u=20\ m\cdot s^{-1} $， $ \omega=4\pi $， $ T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{1}{2}\ s $，因此

$$ \lambda=u T=20\times\frac{1}{2}m=10m $$

若以 A 点为坐标原点，则原点的振动方程为

$$ y_{0}=y_{A}=3\cos4\pi t $$

所以，波函数为

$$ y(x,t)=3\cos4\pi\left(t-\frac{x}{20}\right)=3\cos\left(4\pi t-\frac{\pi x}{5}\right) $$

C点 $ x_{C}=-13 $ m的振动方程为

$$ y_{c}(t)=y_{x=-13}=3\cos\left(4\pi t+\frac{13\pi}{5}\right) $$

D 点 $ x_{D} = -9 \, m $ 的振动方程为

$$ y_{D}(t)=y_{x=9}=3\cos\left(4\pi t-\frac{9\pi}{5}\right) $$

（2）若以 B 点为坐标原点 $ x_{B}=0 $，此时 $ y_{0}=y_{B} $。由于波由左向右传播，因此 B 点振动比 A 点超前一段时间

$$ \tau=\frac{5}{20}s=0.25s $$

因此，B 点在 t 时刻的振动

$$ y_{0}=y_{B}=3\cos4\pi\left(t+\frac{1}{4}\right)=3\cos\left(4\pi t+\pi\right) $$

则波函数为

$$ y\left(x,t\right)=3\cos\left[4\pi\left(t-\frac{x}{20}\right)+\pi\right]=3\cos\left(4\pi t-\frac{\pi x}{5}+\pi\right) $$

C 点 $ x_{C} = -8 $ m 的振动方程为

$$ y_{c}=y_{x=-8}=3\cos\left(4\pi t-\frac{-8}{5}\pi+\pi\right)=3\cos\left(4\pi t+\frac{13}{5}\pi\right) $$

D 点 $ x_{D}=14\ m $ 的振动方程为

$$ y_{D}=y_{x=14}=3\cos\left(4\pi t-\frac{9}{5}\pi\right) $$

由本例可以看出，坐标原点选取不同，波函数的形式也就不同，但每个质元的振动方程却是相同的，这是因为每个质元的振动规律是确定的，它与坐标原点的选取无关。

【例 7-4】有一平面简谐波沿 x 轴正方向传播，已知振幅 $ A = 2 \, m $，周期 $ T = 2 \, s $，波长 $ \lambda = 2 \, m $。在 t = 0 时，坐标原点处的质点位于平衡位置沿 y 轴的正方向运动。求：

（1）波动方程；

（2）t=1 s 时各质点的位移分布，并画出该时刻的波形图；

(3) x=0.5 m 处质点的振动规律，并画出该质点的位移与时间的关系曲线。

解（1）按所给条件，取波动方程为如下形式：

$$ y=A\cos\left[2\pi\left(\frac{t}{T}-\frac{x}{\lambda}\right)+\varphi\right) $$

根据题意很容易求得 $ \varphi = -\frac{\pi}{2} $，代入所给数据，得波动方程

$$ y=2\cos\left[2\pi\left(\frac{1}{2}t-\frac{x}{2}\right)-\frac{\pi}{2}\right] $$

(2) 将 $ t=1 \, s $ 代入 $ y=2\cos\left[2\pi\left(\frac{1}{2}t-\frac{x}{2}\right)-\frac{\pi}{2}\right] $，得此时刻各质点的位移分布为

$$ \begin{aligned}y&=2\cos\left[2\pi\left(\frac{1}{2}\times1-\frac{x}{2}\right)-\frac{\pi}{2}\right]\\&=2\cos\left(\frac{\pi}{2}-\pi x\right)\\&=2\sin\left(\pi x\right)\\ \end{aligned} $$

根据上式，可画出 t=1 s 时的波形图，如图7-10所示。

（3）将 $ x=0.5 \, m $ 代入 $ y=2\cos\left[2\pi\left(\frac{1}{2}t-\frac{x}{2}\right)-\frac{\pi}{2}\right] $，得该处质点的振动规律为

$$ \begin{aligned}y&=2\cos\left[2\pi\left(\frac{1}{2}t-\frac{0.5}{2}\right)-\frac{\pi}{2}\right]\\&=2\cos\left(\pi t-\pi\right)\end{aligned} $$

由上式可知,该质点的初相为 $ -\pi $,由此作出其位移与时间的关系曲线,如图7-11所示。

【例7-5】图7-12(a)表示t=0时刻的波形图，图7-12(b)表示原点x=0处质元的振动曲线，试求此波的波函数，并画出x=2m处质元的振动曲线。

解 由图7-12(a)可以看出 $ \lambda=4\ m $，由图7-12(b)可以看出每个质元振动的周期 $ T=2\ s $，因而波的周期也为2 s。于是波速

$$ u=\frac{\lambda}{T}=\frac{4}{2}m\cdot s^{-1}=2m\cdot s^{-1} $$

由图7-12(b)中，可以看出x=0处质元振动的振幅 $ A=2\ cm,t=0 $时，该质元位移 $ y_{0}=0,v_{0}>0 $，因而该质元的初相位

$$ \varphi=-\frac{\pi}{2} $$

所以 x=0 处的质元的振动方程为

$$ y_{0}=2\cos\left(\frac{2\pi}{T}t+\varphi\right)=2\cos\left(\pi t-\frac{\pi}{2}\right) $$

此外，从图7-12(a)中可以判断波是沿x轴负向传播的。这是因为如果波沿x轴正向传播，那么t=0时刻处于x=0处质元将向y轴的负向运动，这与由图7-12(b)中得到的t=0时刻，处于x=0处质元内y轴正向运动相矛盾，因此波必定是向x轴负向传播，因此该波的波函数为

$$ y=2\cos\left[\pi\left(t+\frac{x}{2}\right)-\frac{\pi}{2}\right] $$

$$ \begin{array}{r} 21 \\ \times \quad 5 \end{array} $$

x=2 m 处质元的振动方程为

$$ y_{2}=y_{x=2}=2\cos\left[\pi(t+1)-\frac{1}{2}\pi\right]=2\cos\left[\pi t+\frac{1}{2}\pi\right] $$

其振动曲线如图7-12(c)所示。

7.3 机械波的能量

机械波是机械振动在弹性介质中的传播过程，当介质中有波传播时；介质中各质元要发生振动，同时介质要产生形变，因此各质元不仅具有动能，而且还有势能。因为在波动中，传播的并不是实物质点，而是这些质点的运动状态，这些运动状态的传播实质上就是能量的传播，波源的振动通过弹性介质逐层地传播开去，能量也就逐层地传播出去。因此，波动过程不仅是振动状态的传播过程，同时也是能量的传播过程，能量流动的方向就是波的传播方向。下面以平面简谐横波在紧绷绳索上的传播为例，研究其中某一体元的动能、弹性势能以及总能量的变化规律。

7.3.1 弹性体的形变规律

任何物体在外力的作用下总要发生或多或少的形变。如果物体所受的外力撤去后，在外力的作用下发生的形状和体积的变化能够消失，这种形变称为弹性形变，这种物体叫作弹性体。如果在弹性体内，各点弹性相同，且每点的弹性方向任意，则该物体叫作均匀、各向同性弹性体。下面仅讨论均匀各向同性弹性体形变的基本规律。

1. 弹性体的拉伸或压缩形变

设有一长为 l，横截面为 S 的固体，在外力作用下，伸长 $ \Delta l $，此时在固体内部将产生一个恢复原状的弹性力 F，F 的方向沿着横截面 S 的法线方向，如图 7-13 所示。则正应力为 $ \sigma = \frac{F}{S} $，线应变为 $ \varepsilon = \frac{\Delta l}{l} $。实验表明，若变形不超过一定限度，物体的线

应变 $ \varepsilon $与正应力 $ \sigma $成正比，即

$$ \frac{F}{S}=E\frac{\Delta l}{l} $$

式中，比例系数 E 称为杨氏模量。由于 $ \frac{\Delta l}{l} $ 是一纯数，故杨氏模量 E 和正应力 $ \frac{F}{S} $ 具有相同的单位，杨氏模量是描述材料本身弹性的物理量，反映材料对于拉伸或压缩变形的抵抗能力。

2. 弹性体的剪切形变

当物体受到一对大小相等、方向相反，不在一直线上的力，使物体某一截面和

另一与它平行的截面产生平行于截面相对移动时，物体的形变叫作剪切形变。如图7-14所示，设有一长方体，两端底面受到切向力F作用，这时产生一切应变。切应变的量值可用 $ \gamma $角（以弧度为单位）表示，剪切应力以 $ \tau=\frac{F}{S} $表示，S为柱体底面的面积。

实验表明，若形变在一定的限度内，切应变与剪切应力成正比，即

$$ \frac{F}{S}=G\gamma $$

式中，比例系数 G 称为切变模量，它决定于材料的弹性，反映材料抵抗剪切形变的能力。

对于液体和气体，虽然可以发生形状和大小的变化，但它们不具备抵抗形状改变的弹性，仅具备容积的压缩弹性，即只能发生容积形变，因此只有容变弹性模量。

3. 弹性体的容积形变

设想在弹性体内部划出一个小立方体（图7-15中实线），容积为 $ V_{0} $，当其受到来自各个方向的正压力（内力）时，容积变为V（图7-15中虚线），设立方体的受力面积为S，则量值 $ p=\frac{r}{S} $叫作正应力。在应力p的作用下，立方体的容积从 $ V_{0} $变为V，通常用 $ \Delta V=V-V_{0} $表示容积的增量（这里 $ \Delta V $实际上为负值），把 $ \theta=\frac{\Delta V}{V_{0}} $叫作体应变。

实验表明,若形变在一定限度内,则容积应变与正应力成正比,即

$$ \frac{F}{S}=-K\frac{\Delta V}{V_{0}} $$

式中，比例系数 K 称为体积模量，它的大小决定于材料的弹性。

可以证明，对于微小振动的传播，波速 u 仅决定于介质的性质和状态，即决定于介质的弹性模量和密度。具体关系如下。

在均匀、各向同性的固体介质中，横波的波速为

$$ u_{ 横 }=\sqrt{\frac{G}{\rho}} $$

纵波的波速为

$$ u_{ 纵 }=\sqrt{\frac{E}{\rho}} $$

式中，G 和 E 分别为介质的切变模量和杨氏模量， $ \rho $ 为介质的密度。

液体和气体只有容变弹性，因此只能传播与容变有关的弹性纵波。理论证明，在液体和气体中，纵波的传播速度为

$$ u_{ 纵 }=\sqrt{\frac{K}{\rho}} $$

式中，K为介质的体积模量。若将气体视为理想气体，则根据分子物理学和热力学，可推出气体中的声速为

$$ u_{ 声 }=\sqrt{\frac{\gamma R T}{M}} $$

式中, $ \gamma $为气体的比热容比,M为气体的摩尔质量,R为普适气体常量,T为热力学温度。

此外，在紧绷的柔软绳中，横波的波速为

$$ u_{ 线 }=\sqrt{\frac{F_{T}}{\rho_{l}}} $$

式中， $ F_{T} $ 表示绳的张力， $ \rho_{l} $ 表示绳的单位长度质量（质量线密度）。

7.3.2 机械波的能量和能量密度

如图7-16所示，设在紧绷绳索（张力为 $ F_{T} $）上有平面简谐横波沿x轴正向传播，其波函数为

$$ y=A\cos\omega\left(t-\frac{x}{u}\right) $$

在绳索上任取坐标为 x 到 $ x + dx $ 的一小段质量元 dx，根据波函数可求出其速度

$$ v=\frac{\partial y}{\partial t}=-A\omega\sin\omega\left(t-\frac{x}{u}\right) $$

设绳索的线密度为 $ \rho_{l} $，则该质量元的动能为

$$ \mathrm{d}E_{k}=\frac{1}{2}\left(\rho_{l}\mathrm{d}x\right)\left(\frac{\partial y}{\partial t}\right)^{2}=\frac{1}{2}\rho_{l}\mathrm{d}xA^{2}\omega^{2}\sin^{2}\omega\left(t-\frac{x}{u}\right) $$

下面计算该质量元的弹性势能。

若取绳索上无波扰动时的势能为零点，当有波扰动时，绳索被拉伸，则此质量元的势能等于张力在此小段绳索被拉伸过程中所做的功。从图7-16可以看出，质量元的原长为 dx，现伸长为 $ \frac{dx}{\cos\theta} $，所以质量元的势能为

$$ \mathrm{d}E_{\mathrm{p}}=F_{\mathrm{T}}\left(\frac{\mathrm{d}x}{\cos\theta}-\mathrm{d}x\right)=F_{\mathrm{T}}\frac{1-\cos\theta}{\cos\theta}\mathrm{d}x $$

注意当波扰动很小时，有 $ \theta\ll1 $，当 $ \theta\ll1 $时，有

$$ \begin{aligned}\frac{1-\cos\theta}{\cos\theta}=&\frac{1}{\cos\theta}\bigg(2\sin^{2}\frac{\theta}{2}\bigg)\approx2\cdot\left(\frac{\theta}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}\theta^{2}\\\theta\approx\tan\theta=&\frac{\partial y}{\partial x}=A\frac{\omega}{u}\sin\omega\bigg(t-\frac{x}{u}\bigg)\end{aligned} $$

于是得势能为

$$ \begin{align*}\mathrm{d}E_{\mathrm{p}}&=F_{\mathrm{T}}\frac{1}{2}\theta^{2}\mathrm{d}x=F_{\mathrm{T}}\frac{1}{2}\left[A\frac{\omega}{u}\sin\left(\omega t-\frac{\omega x}{u}\right)\right]^{2}\mathrm{d}x\\&=\frac{1}{2}A^{2}\frac{\omega^{2}}{u^{2}}\mathrm{d}x\sin^{2}\omega\left(t-\frac{x}{u}\right)F_{\mathrm{T}}\end{align*} $$

根据式(7-15)， $ \frac{F_{T}}{u^{2}}=\rho_{1} $，故上式又可写为

$$ \mathrm{d}E_{p}=\frac{1}{2}\rho_{l}\mathrm{d}x A^{2}\omega^{2}\sin^{2}\left(\omega t-\frac{\omega x}{u}\right)=\mathrm{d}E_{k} $$

而该质量元的总机械能 dE 为

$$ \mathrm{d}E=\mathrm{d}E_{\mathrm{p}}+\mathrm{d}E_{\mathrm{k}}=\rho_{l}A^{2}\omega^{2}\mathrm{d}x\sin^{2}\omega\left(t-\frac{x}{u}\right) $$

于是绳索单位长度中的能量，即能量密度

$$ w=\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}x}=\rho_{l} A^{2}\omega^{2}\sin^{2}\omega\left(t-\frac{x}{u}\right) $$

式(7-18)表示的能量传播特征对于平面简谐纵波也是成立的，如图7-17所示，设一平面简谐纵波在一沿x轴放置的细长棒中，以波速u沿x轴正方向传播，波函数为 $ y=A\cos\omega\left(t-\frac{x}{u}\right) $，细长棒的质量密度为 $ \rho $，横截面积为S，杨氏模量为 $ E_{\circ} $。在细长棒中坐标为x处取一原长为dx的质元，其质量为 $ \mathrm{d}m=\rho\mathrm{d}V $，体积为 $ \mathrm{d}V=\mathrm{S}d x $。

当波传播到该质元时，质元发生振动，其振动速度为

$$ v=\frac{\partial y}{\partial t}=-A\omega\sin\omega\left(t-\frac{x}{u}\right) $$

因而该质元的振动动能为

$$ \mathrm{d}E_{k}=\frac{1}{2}(\mathrm{~d}m)v^{2}=\frac{1}{2}\rho\mathrm{d}V A^{2}\omega^{2}\sin^{2}\omega\left(t-\frac{x}{u}\right) $$

此时，该质元的左端面离开其平衡位置 x 处的位移为 y，右端面离开其平衡位置 $ x + dx $ 处的位移为 $ y + dy $，则该质元的实际伸长量，即形变为 dy，质

元的相对形变,即线应变为 $ \frac{dy}{dx}\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right) $。设引起质元发生形变dy的弹性力为F,则质

元单位横截面积所受的力，即正应力为 $ \frac{F}{S} $。由杨氏模量的定义式(7-8)

$$ E=\frac{F/S}{dy/dx} $$

和胡克定律

$$ F=k\mathrm{d}y $$

得

$$ k=\frac{ES}{dx} $$

因而该质元的弹性势能为

$$ \mathrm{d}E_{\mathrm{p}}=\frac{1}{2}k\left(\mathrm{d}y\right)^{2}=\frac{1}{2}ES\mathrm{d}x\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)^{2}=\frac{1}{2}E\mathrm{d}V\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^{2} $$

而由式(7-12)得 $ E=\rho u^{2} $，且 $ \frac{\partial y}{\partial x}=A\frac{\omega}{u}\sin\omega\left(t-\frac{x}{u}\right) $

$$ \mathrm{d}E_{p}=\frac{1}{2}\rho\mathrm{d}V A^{2}\frac{\omega^{2}}{u^{2}}\sin^{2}\omega\left(t-\frac{x}{u}\right)=\mathrm{d}E_{k} $$

因而

结论和式 $ （7-18） $是相同的,因而质元的总能量为

$$ \mathrm{d}E=\mathrm{d}E_{\mathrm{p}}+\mathrm{d}E_{\mathrm{k}}=\rho\mathrm{d}V A^{2}\omega^{2}\sin^{2}\omega\left(t-\frac{x}{u}\right) $$

由此可见，在波的传播过程中，波传播路径上任一小段质量元 dx 的动能、势能和总能量都随时间 t 做周期性变化，并且质量元的动能和势能与时间关系式是相同的，两者不仅同相，而且大小总是相等的。即两者同时达到最大值，又同时变为零。这与孤立的做简谐运动的弹簧振子的能量情况是截然不同的，后者动能最大时，势能为最小；势能最大时，动能为最小。产生这种不同的原因是在波动中与势能相联系的是质点的相对位移（质量元的形变 $ \frac{dy}{dx} $）。如图 7-18 所示，对于 B 点的质量元，

振动速度为零，动能最小，同时 $ \frac{dy}{dx} $有最小值，因而弹性势能也是最小；而在 $ B' $处的质

重九，振动速度最大，动能最大，同时因以外波形

曲线最陡, $ \frac{dy}{dx} $也有最大值,所以弹性势能也最大。

此外，还可以看到，质量元的总机械能也随时间而变化，它在零和最大值之间周期性变化着。对于某一给定点来说，总能量随t做周期性变化。这说明沿着波传播的方向，每一体积元先从后面体

积元处获得能量，使自己的能量逐渐增大，又逐渐地把自身的能量传递给前面的体积元。形象地说，就是任一体积元都在不断地接受或放出能量，这就是波动传播能量的机理。

由于波的能量密度 w 随时间 t 做周期性变化，因此我们把能量密度在一个周期内的平均值叫作平均能量密度，用 $ \overline{w} $ 表示，即

$$ \overline{w}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}w\mathrm{d}t=\frac{1}{2}\rho_{l}A^{2}\omega^{2} $$

由上式可知，各点能量密度对时间的平均值也是相同的；而且与振幅的平方及圆频率的平方成正比。上述结论对于所有弹性波都是适用的。

7.3.3 能流和能流密度

通过前面的分析可知，波的传播过程必然伴随着能量的传播或能量的流动。为了进一步描述这种能量的传递，人们引入了能流（energy flux）的概念。单位时间内垂直通过某一面积的能量叫作通过该面积的能流。如图7-19所示，设在介质中垂直于波速u的方向上取一面积S，则在单位时间内，通过S面的能量等于体积us中的能量即能流为

$$ P=w u S $$

这能量是随时间周期性变化的，通常取其平均值，即平均能流为

$$ \overline{P}=\overline{w}u S $$

由此可见，能量密度和能流均随时间作周期性变化。能流的单位为 W（瓦特），因此，波的能流也称为波的功率。

垂直通过单位面积的平均能流叫作能流密度（energy flux density），也称为波强，用 I 表示。

$$ I=\overline{w}u=\frac{1}{2}\rho A^{2}\omega^{2}u $$

注意图7-19中介质是体密度分布，所以上式中密度是体密度 $ \rho $。式（7-22）说明波强正比于介质的密度、波速、频率的平方及振幅的平方。

在推导平面简谐波的波函数时，我们曾假定在波动传播过程中振幅A保持不变，现在我们从能量观点来说明其振幅不变的原因。设一平面波以波速u在均匀介质中传播，在垂直于波传播方向上取两个面积都为S的平面，若介质不吸收能量，那么通过这两平面的能量相等，即

$$ \overline{P}_{1}=\overline{P}_{2} $$

因为

$$ \overline{P}_{1}=\overline{w}uS=\frac{1}{2}\rho A_{1}{}^{2}\omega^{2}uS $$

$$ \overline{P}_{2}=\frac{1}{2}\rho A_{2}^{2}\omega^{2}u S $$

和

所以

$$ A_{1}=A_{2} $$

这就是平面简谐波在传播时振幅保持不变的原因。

对于球面波在均匀介质中传播，设在离波源为 $ r_{1} $ 和 $ r_{2} $ 处取两个球面，面积分别为 $ S_{1}=4\pi r_{1}^{2} $ 和 $ S_{2}=4\pi r_{2}^{2} $。在介质不吸收波的能量的条件下，通过这两个球面的能量应相等，即

$$ \overline{P}_{1}=\overline{P}_{2} $$

或

$$ \frac{1}{2}\rho A_{1}^{2}\omega^{2}u4\pi r_{1}^{2}=\frac{1}{2}\rho A_{2}^{2}\omega^{2}u4\pi r_{2}^{2} $$

式中， $ A_{1} $ 和 $ A_{2} $ 分别为在两个球面处的振幅。由上式可得

$$ \frac{A_{1}}{A_{2}}=\frac{r_{2}}{r_{1}} $$

即球面谐波各质元处的振幅和该点到波源的距离成反比。

若已知某一波面上的振幅为 $ A_{0} $ 。波面半径为 $ r_{0} $，任一波面上的振幅为 A，波面半径为 r，则根据上式可知

$$ A=\frac{r_{0}A_{0}}{r} $$

因此球面简谐波的波函数可表示成下面的形式：

$$ y=A\cos\left[\omega\left(t-\frac{r}{u}\right)+\varphi\right]=\frac{r_{0}A_{0}}{r}\cos\left[\omega\left(t-\frac{r}{u}\right)+\varphi\right] $$

【例 7-6】一平面简谐波的频率为 $ \nu = 500 $ Hz，在空气中以 $ u = 340 $ m·s $ ^{-1} $ 的速度传播。已知空气的密度 $ \rho = 1.38 $ kg·m $ ^{-3} $，此波到达人耳时的振幅 $ A = 10^{-6} $ m，试求人耳中的平均能量密度和能流密度。

解 由平均能量密度公式可得

$$ \overline{w}=\frac{1}{2}\rho A^{2}\omega^{2}=\frac{1}{2}\rho A^{2}(2\pi\nu)^{2}=6.41\times10^{-6}J\cdot m^{-3} $$

其能流密度为

$$ I=\overline{w}u=6.41\times10^{-6}\times340\mathrm{~W}\cdot\mathrm{m}^{-2}\approx2.18\times10^{-3}\mathrm{~W}\cdot\mathrm{m}^{-2} $$

7.4 惠更斯原理 波的衍射、反射和折射

7.4.1 惠更斯原理

前面讲过，波动的起源是波源的振动，波的传播是由于介质中质点之间的相互作用。介质中任一点的振动将引起邻近质点的振动，因而在波的传播过程中，介质中任何一点都可以看作新的波源。例如，水面上有一波传播（图7-20），在前进中遇到障碍物AB，AB上有一小孔，小孔的孔径a比波长 $ \lambda $小。这样，我们就可看到，穿过小孔的波是半圆形的，与原来波的形状无关，这说明小孔可看作新波源。

惠更斯(Huygens)总结了上述现象，于1690年提出了解释波的传播规律的基本原理，即惠更斯原理(Huygens principle)：在波的传播过程中，波阵面（波前）上的每一点都可看作是发射子波的波源，在其后的任一时刻，这些子波的包络面就成为新的波阵面。

惠更斯原理对任何波动过程都是适用的，不论是机械波还是电磁波，不论这些波动经过的介质是均匀的或非均匀的，只要知道某一时刻的波阵面，就可以根据这一原理用几何方法来决定下一时刻的波阵面，因而在广泛的范围内解决了波的传播问题。

惠更斯原理可以很容易地说明球面波和平面波在均匀介质中的传播特征。点波源O在均匀各向同性介质中发出球面波，以速度u向各个方向传播。在某一时刻t，波阵面是半径为 $ R_{1} $的球面 $ S_{1} $。根据惠更斯原理， $ S_{1} $上各点都可看作是发射子波的新波源，这些子波源都发出球面波，以 $ S_{1} $上的各点为中心，以 $ r=u\Delta t $为半径画出许多半球形的子波。这些子波的包络面 $ S_{2} $就是 $ t+\Delta t $刻的波阵面。显然， $ S_{2} $是以

O 为中心，以 $ R_{1} + u\Delta t $ 为半径的球面，如图 7-21 所示。

若已知平面波在某时该的波阵面 $ S_{1} $，根据惠更斯原理，用同样的方法可以求得下一时刻的波阵面 $ S_{2} $。如图7-22所示。从图7-21和图7-22看出，当波在均匀的、各向同性的介质中传播时，波阵面的几何形状是不变的，即波线方向是不变的。

在上述作图法中，将子波波阵面画成半球面，这只有在介质是各向同性的均匀介质的情况下才成立。在各向异性介质中，由于沿不同方向的波速不同，子波波阵面将不再是半球面（如光在双折射晶体中传播时出现的椭球面），但同样可以应用惠更斯原理求出波阵面。

7.4.2 波的衍射

所谓波的衍射（wave diffraction），就是指波在传播过程中可以改变传播方向甚至绕过障碍物的现象。在日常生活中，经常可以碰到衍射的现象。在高墙的两侧，可以听到对方的讲话，这说明声波可以绕过高墙传播。水面波前进的过程中遇到带孔的障碍物，波可以穿过小孔继续传播。

利用惠更斯原理也可以说明衍射现象。如图7-23所示，一束平面波传播到一宽为d的缝时，则将缝上的每一点视作波源，作出子波的波前，然后再作出子波的包络面，这样就可以得到通过缝后的波形。显然，在缝中部的波前保持平面，即波线保持原有的方向，而缝两边的波前则弯曲，波线也绕到障碍物的后面。

值得注意的是，当缝宽远大于波长时，中间保持原来传播方向的部分也较大，衍射现象不明显；当缝宽减小时，保持原来方向的那部分将减

小，当缝宽与波长相接近，甚至小于波长，则根本谈不上定向传播，衍射现象显著。当然，对于一定的缝宽，波长越长的波，衍射就越明显。我们平时讲话声音

的波长以米计，所以它可以绕过高墙；而可见光的波长是几千埃，所以日常生活中很少见到光的衍射。在工程技术中，凡需要定向传送的，则利用波长较短的波，因为它的衍射不明显，定向性较好。例如，常用超声来探测物体内部的缺陷和不均匀性。而广播电台发射的信号需要向四面八方传送，有时甚至要绕过高山，因此无线电波所用电磁波的波长可以很长，有几百米长（中波），以便于它更好地穿过障碍物。

7.4.3 波的折射定律

当波从一种均匀介质进入到另一种均匀介质时，由于在两种介质中波速不同，波在两种介质的分界面上要发生折射现象。设 $ u_{1} $ 表示波在第一种介质中的波速， $ u_{2} $ 表示波在第二种介质中的波速，MN 为两种介质的分界面，如图 7-24 所示。当 $ t=t_{0} $ 时，入射波的波前到达 AB 位置，入射线与两介质分界面的法线的夹角 i 叫作入射角，A 点先与分界面相遇。此后，波面上 $ A_{1}, A_{2}, \cdots $ 点，先后到达分界面上 $ E_{1}, E_{2}, \cdots $ 直到 $ t=t_{1} $ 时，B 点到达 C 点。设 $ AA_{1}=A_{1}A_{2}=A_{2}B $ ，则从 A, $ E_{1}, E_{2} $ 各点发出的子波传播的时间分别为 $ (t_{1}-t_{0}) $, $ \frac{2}{3}(t_{1}-t_{0}) $, $ \frac{1}{3}(t_{1}-t_{0}) $，相应的各子波的半径分别为 $ u_{2}(t_{1}-t_{0}) $, $ \frac{2}{3}u_{2}(t_{1}-t_{0}) $, $ \frac{1}{3}u_{2}(t_{1}-t_{0}) $。这些子波的波前的包络就是 $ t=t_{1} $ 时刻折射波的波前，它是通过 CD 并与图面垂直的平面。折射波的波线（折射线）与分界面的法线的夹角 $ \gamma $ 即为折射角（refraction angle）。由图 7-24 可知

$$ BC=u_{1}(t_{1}-t_{0})=AC\sin i $$

$$ AD=u_{2}(t_{1}-t_{0})=AC\sin\gamma $$

两式相除得

$$ \frac{\sin i}{\sin\gamma}=\frac{u_{1}}{u_{2}} $$

记 $ \frac{u_{1}}{u_{2}}=n_{21},n_{21} $称为第二种介质对于第一种介质的相对折射率。则

$$ \frac{\sin i}{\sin\gamma}=n_{21}=\frac{n_{2}}{n_{1}} $$

这就是波的折射定律(wave refraction law)。

借助于惠更斯原理亦可通过作图法解释反射现象，此处不再赘述。

7.5 波的干涉

7.5.1 波的叠加原理

当几列波在介质中传播时，无论是否相遇，每列波都保持自己原有的振动特性（如频率、波长、振动方向等），并按自己原来的传播方向继续前进，不受其他波的影响。即各波可在同一介质中独立的传播；而当几列波在介质中某点相遇时，相遇处质点的振动将是各列波所引起的分振动的合成，或者说，相遇处质点振动的位移是各列波单独存在时在该点引起的位移的矢量和，上述规律称为波的叠加原理。

波的叠加原理可从许多现象中观察到，例如乐队演奏，其中不同乐器产生不同频率的声波同时传到人的耳膜，引起耳膜的振动。尽管乐器种类很多，我们还是可以辨别出各种乐器的声音。绝对不会说，某个乐器声因受其他乐器声的干扰而无法辨别。再如用两根杆的端部打击水面，形成两列水面波，它们在空间相遇处叠加，形成较强烈的起伏，然后两者继续按自己原来方向传播，好像不曾相遇一样。这些现象均是波的叠加原理的生动实例。

波的叠加原理只有当波的强度较小时才是正确的，当波的强度较大时，它并不成立。因为当波的强度较大时，波相互之间有明显的影响。

7.5.2 波的干涉

波的叠加中最重要的情形是当各波源频率相同、振动方向相同及相位差恒定时波的叠加。这样的波源叫相干波源，它们发出的波称为相干波（coherent wave）。这时，在波的相干叠加区域中，不同的点有着不同的相位差。因而在空间某些点处，振动始终加强；而在另一些点处，振动始终减弱或完全抵消，这种现象称为波干涉现象。

下面我们具体分析两列相干波相遇时的情况。

如图 7-25 所示，设有两相干波源 $ S_{1} $ 和 $ S_{2} $，其振动方程分别为

$$ \begin{aligned}&y_{10}=A_{1}\cos\left(\omega t+\varphi_{1}\right)\\&y_{20}=A_{2}\cos\left(\omega t+\varphi_{2}\right)\\ \end{aligned} $$

式中， $ \omega $ 为角频率， $ A_{1} $， $ A_{2} $ 为波源的振幅， $ \varphi_{1} $， $ \varphi_{2} $ 为波源的初相。若这两波源发出的波在同一介质中传播，它们的波长均为 $ \lambda $，且讨论时不考虑介质的能量吸收。设波源 $ S_{1} $ 和 $ S_{2} $ 发出的波分别通过路程 $ r_{1} $， $ r_{2} $ 在介质中的 P 点处相遇，这两列波在 P 点引起的振动方程分别为

$$ y_{1}=A_{1}\cos\left(\omega t-\frac{2\pi r_{1}}{\lambda}+\varphi_{1}\right) $$

$$ y_{2}=A_{2}\cos\left(\omega t-\frac{2\pi r_{2}}{\lambda}+\varphi_{2}\right) $$

根据波的叠加原理可知，P点同时参与两个同方向、同频率谐振动的合成，其合振动亦为简谐振动。即

$$ y=y_{1}+y_{2}=A\cos\left(\omega t+\varphi\right) $$

式中 $ \varphi $ 为合振动的初相位。由式(6-30)可知

$$ \tan\varphi=\frac{A_{1}\sin\left(\varphi_{1}-\frac{2\pi r_{1}}{\lambda}\right)+A_{2}\sin\left(\varphi_{2}-\frac{2\pi r_{2}}{\lambda}\right)}{A_{1}\cos\left(\varphi_{1}-\frac{2\pi r_{1}}{\lambda}\right)+A_{2}\cos\left(\varphi_{2}-\frac{2\pi r_{2}}{\lambda}\right)} $$

而 $ A=\sqrt{A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2A_{1}A_{2}\cos\Delta\varphi} $，其中 $ \Delta\varphi $ 应为两列波到达 P 点时的相位差

$$ \Delta\varphi=\frac{2\pi}{\lambda}(r_{2}-r_{1})+(\varphi_{1}-\varphi_{2}) $$

因为 $ \varphi_{1}-\varphi_{2} $ 是一恒量，所以 $ \Delta\varphi $ 与时间无关，而仅与 P 点的位置相关，因此对于空间中确定的位置 P，其合振动的振幅恒定，或者说，这时干涉区域内的质元振幅呈现出与时间 t 无关的稳定强弱分布。

当 $ \Delta\varphi $为 $ 2\pi $的整数倍时，即

$$ \Delta\varphi=\frac{2\pi}{\lambda}(r_{2}-r_{1})+(\varphi_{1}-\varphi_{2})=\pm2k\pi\quad k=0,1,2,\cdots $$

合成振动的振幅最大， $ A=A_{max}=A_{1}+A_{2} $，两分振动相互加强，称为干涉相长。

若 $ \Delta\varphi $ 为 $ \pi $ 的奇数倍时，即

$$ \Delta\varphi=\frac{2\pi}{\lambda}(r_{2}-r_{1})+(\varphi_{1}-\varphi_{2})=\pm(2k+1)\pi\quad k=0,1,2,\cdots $$

合成振动的振幅最小， $ A=A_{\min}=\left|A_{1}-A_{2}\right| $，两分振动相互减弱，称为干涉相消。

特别地，当 $ \varphi_{1}=\varphi_{2} $时，即对于初相相同的两相干波源，上述条件可简化为：当

$$ r_{2}-r_{1}=\pm k\lambda $$

时，合振幅A最大，干涉相长；当

$$ r_{2}-r_{1}=\pm(2k+1)\frac{\lambda}{2} $$

时，合振幅最小，干涉相消。这里 $ r_{2}-r_{1} $ 称为波程差，表示从波源 $ S_{2} $ 和 $ S_{1} $ 发出的两列波到达 P 点时所经路程之差。在其他情况下，合振动的振幅数值在最大值 $ A_{1}+A_{2} $ 和最小值 $ \left|A_{1}-A_{2}\right| $ 之间。

应当指出，干涉现象是波动形式独有的重要特征之一，只有波的叠加，才能产生干涉现象。干涉现象在光学、声学中非常重要，并且有着广泛的实际应用，例如大礼堂、影剧院等的设计就必须考虑到声波的干涉（wave interference），以避免某些区域声音过强，而某些区域声音又过弱，在噪声太强的地方还可以利用干涉原理来达到消声的目的。图7-26显示空间相干波的干涉图样。在 $ S_{2} $和 $ S_{1} $发出的两个相干波相互重叠的区域内出现干涉现象。图中实线表示波峰，虚线表示波谷。在波峰与波峰，或波谷与波谷的相交处，两个波到达这里是同相相位的，因而在这些点

上，振动相互加强；一个波的波峰和另一波的波谷同时到达的那些地方，两个波到达这里的相位是相反的，振动相互抵消。这样就看到了一幅振动强度不同的稳定的干涉图样。

【例 7-7】图 7-27 所示为声音干涉仪，用以演示声波的干涉。声波从入口 E 进入仪器，分 B，C 两路在管中传播，至喇叭口 A 会合传出。弯管 C 可以伸缩，当它渐渐伸长时，从喇叭口发出的声音周期性地增强或减弱。设 C 管每伸长 8 cm 声音减弱一次，求此声波的频率（空气中声速为 $ 340 \, m \cdot s^{-1} $）。

解 DCA 与 DBA 两路声波干涉减弱条件，必须满足波程差

$$ \delta=r_{2}-r_{1}=\pm(2k+1)\frac{\lambda}{2} $$

当 C 管伸长 x = 8 cm 时，再次出现减弱时；波程差应为

$$ \delta^{\prime}=\delta+2x=r_{2}-r_{1}+2x=\left[2(k+1)+1\right]\frac{\lambda}{2} $$

显然 $ \lambda = 2x $。已知声速 $ u = 340 \, \text{m} \cdot \text{s}^{-1} $，于是可得此声波的频率为

$$ \nu=\frac{u}{\lambda}=\frac{340}{2\times0.08}Hz=2125Hz $$

【例 7-8】如图 7-28 所示，A，B 两点为同一介质中两相干波源，其振幅皆为 5 cm，频率为 100 Hz，当点 A 为波峰时，点 B 恰为波谷。设波速为 $ 10 \, m \cdot s^{-1} $，试写出 A，B 发出的两列波传到 P 点时的结果。

解 由图可知, AP = 15 m, AB = 20 m, 故 BP = $ \sqrt{AP^{2} + AB^{2}} = \sqrt{20^{2} + 15^{2}} $ m = 25 m

又已知 $ \nu=100 $ Hz、 $ u=10 $ m·s $ ^{-1} $，因此

$$ \lambda=\frac{u}{\nu}=\frac{10}{100}m=0.10m $$

所以

$$ \begin{aligned}\Delta\varphi&=2\pi\frac{BP-AP}{\lambda}+(\varphi_{A}-\varphi_{B})\\&=2\pi\frac{25\ m-15\ m}{0.1\ m}+\pi=-201\ \pi\end{aligned} $$

这样的 $ \Delta\varphi $ 值符合公式(7-26)所指出的合振幅最小的条件，如果介质不吸收波的能量，则两列波振幅相同，因而合振幅 $ A=\left|A_{1}-A_{2}\right|=0 $ 。故在点 P 处，因两列波干涉相消而不发生振动。

7.6 驻波

7.6.1 驻波的产生

两列振幅相同的相干波相向传播时叠加而成的波，叫作驻波（standing wave）。驻波是波干涉的一种特殊情况，在声学和光学中有着重要的应用。在有限大小介质内向前传播的波，垂直入射到两种介质的分界面时，波会发生反射，反射回来的

波和原来向前传播的入射波合成，就会形成驻波。图7-29是用弦线形成驻波的实验示意图。弦线一端A系于音叉，另一端通过滑轮系上砝码，使弦线中有一定的张力，B处是一支点，振动在绳的B点将被阻止。打击音叉，引起绳中自A点向右传播的入射波，入射波传到B点发生反射，形成自左向右的反射波。入射波和反射波的频率、振幅和振动方向都是相同的，只是传播方向相反。两列波叠加后，将见不到波的传播，只见到绳的分段振动，每段两端的点固定不动，而每段中的各质点则做振幅不同、相位相同的独立振动，中间的点，振幅最大，越靠近两端的点，振幅越小。实验中还发现，相邻两段的振动方向是相反的。此时绳上的各点，只有段与段之间的相位突变，而没有振动状态或相位逐点传播。这时既看不到波形的传播，

也没有能量的传播。严格地说，驻波并不是振动的传播，而是某一有限区域的介质中各质元做稳定的振动，因此它与我们前面所说的向前传播振动状态或能量的所谓行波不同，所以称之为驻波。

7.6.2 驻波的方程

下面对图7-29中弦线上形成的驻波作定量分析。图中形成驻波的两列波，一列沿x轴正向传播，另一列沿x轴负向传播（即反射波）。这两列波振幅相同、频率相同，如设初相相同，则这两列波的波函数分别为

$$ \begin{aligned}y_{1}(x,t)&=A\cos\left(\omega t-\frac{2\pi x}{\lambda}\right)\\y_{2}(x,t)&=A\cos\left(\omega t+\frac{2\pi x}{\lambda}\right)\end{aligned} $$

应用三角函数关系，可得出在两列波相遇处，合振动方程为

$$ y(x,t)=y_{1}+y_{2}=\left(2A\cos\frac{2\pi x}{\lambda}\right)\cos\omega t $$

式(7-29)便是驻波的波函数,或常称为驻波方程。式中 $ 2A\cos\frac{2\pi x}{\lambda} $ 是各点的振幅,它只与 x 有关,即各点的振幅随着其与原点的距离 x 的不同而异。式(7-29)表明,当形成驻波时,弦线上的各点做振幅为 $ \left|2A\cos\frac{2\pi x}{\lambda}\right| $、角频率为 $ \omega $ 的简谐振动。

下面对驻波作进一步的讨论。

（1） 波节和波腹

弦线上的各点做振幅为 $ \left|2A\cos\frac{2\pi x}{\lambda}\right| $，角频率为 $ \omega $ 的简谐振动。若 $ \frac{2\pi x}{\lambda}=\pm k\pi $，即

$$ x=\pm k\frac{\lambda}{2} $$

点时，振幅等于2A为最大。我们称这些点为驻波的波腹点。

若 $ \frac{2\pi x}{\lambda}=\pm(2k+1)\frac{\pi}{2} $，即

$$ x=\pm(2k+1)\frac{\lambda}{4} $$

时，振幅等于零为最小，即静止不动，我们称这些点为驻波的波节点。由式(7-30)和式(7-31)可知，相邻两波腹或相邻两波节之间的距离为1/2波长，而相邻波节和波腹之间的距离为1/4个波长。图7-30显示向右和向左传播的两列振动方向相同、频率相同、相位差恒定的平面简谐波，分别在 $ t=0, t=\frac{T}{8}, t=\frac{T}{4}, t=\frac{3T}{8} $和 $ t=\frac{T}{4} $时刻叠加形成的驻波图形。图中，×表示驻波波腹点，而°表示驻波波节点。驻波在一周期内各时刻的波形如图7-31所示。

（2）各点的相位

考察某一时刻 t，在 x=0 处左右两波节之间点，即

$$ -\frac{\lambda}{4}\leqslant x\leqslant\frac{\lambda}{4} $$

之间的点，由于 $ \cos\frac{2\pi}{\lambda}x>0 $ 目根据式(7-29)，这一分段（把两个相邻波节之间的所有各点，叫作一个分段）中所有各点的驻波函数为 $ y=2A\cos2\pi\frac{x}{\lambda}\cos\omega t $，其振动相位都是 $ 2\pi\nu t $。而在同一时刻 t，对于在右方第一波节到第二波节之间点，即 $ \frac{\lambda}{4}

$$ \cos\frac{2\pi}{\lambda}x<0 $$

其驻波波函数可写成 $ y=2A\left|\cos2\pi\frac{x}{\lambda}\right|\cos(\omega t+\pi) $，则这一分段内所有各点的振动相位为 $ \omega t+\pi $。

由此可见，在驻波中，同一分段上的各点的振动同相，而相邻两分段中的各点的振动反相，如图7-32所示。

7.6.3 半波损失

在如图7-29所示的驻波实验中，反射点处的绳索是固定不动的，所以形成波节。这说明入射波与反射被在此处的相位正好时时相反，即反射波在B点的相位较之入射波跃变了 $ \pi $，相当于波在反射时突然损失（或增加）了半个波长的波程。这种现象称为半波损失。若波在自由端反射，在反射点会形成波腹，即无半波损失。

一般情况下，波在两种介质的分界处反射时，反射波是否存在在半波损失，与波的种类、两种介质的性质、入射角等因素有关。对机械波而言，当入射波垂直入射时，它由介质的密度 $ \rho $ 和波速 u 所决定。我们将 $ \rho u $ 较大的介质称为波密介质， $ \rho u $ 较小的介质称为波疏介质。当波从波疏介质垂直入射到波密介质，而在分界面处反射时，反射波有相位的突变，即有半波损失，分界面处形成驻波的波节；反之，当波从波密介质垂直入射到波疏介质时，无半波损失，分界面处形成驻波的波腹。

【例 7-9】如图 7-33，一角频率为 $ \omega $，振幅为 A 的平面简谐波沿 x 轴正方向传播，设在 t=0 时该波在原点 O 处引起的振动使介质元由平衡位置向 y 轴的负方向运动。M 是垂直于 x 轴的波密介质反射面。已知 $ OO' = 7\lambda/4 $， $ PO' = \lambda/4 $ ( $ \lambda $ 为该波波长)，设反射波不衰减，求：

（1）入射波与反射波的表达式：

（2）P点的振动方程。

解（1）设原点 O 处振动方程为

$$ y_{0}=A\cos\left(\omega t+\varphi\right) $$

当t=0时, $ y_{0}=0 $, $ v_{0}<0 $,所以

$$ \varphi=\frac{1}{2}\pi,y_{0}=A\cos\left(\omega t+\frac{1}{2}\pi\right) $$

故入射波表达式为

$$ y=A\cos\left(\omega t+\frac{\pi}{2}-\frac{2\pi}{\lambda}x\right) $$

在 O'处入射波引起的振动方程为

$$ y_{1}=A\cos\left(\omega t+\frac{\pi}{2}-\frac{2\pi}{\lambda}\cdot\frac{7}{4}\lambda\right)=A\cos(\omega t-\pi) $$

由于 M 是波密介质反射面，所以 $ O' $ 处反射波振动有一个相位的突变 $ \pi $，故

$$ y_{1}^{\prime}=A\cos\left(\omega t-\pi+\pi\right)=A\cos\omega t $$

反射波表达式为

$$ \begin{aligned}y^{\prime}&=A\cos\left[\omega t-\frac{2\pi}{\lambda}(\overline{OO^{\prime}}-x)\right]\\&=A\cos\left[\omega t-\frac{2\pi}{\lambda}\left(\frac{7}{4}\lambda-x\right)\right]\\&=A\cos\left(\omega t+\frac{2\pi}{\lambda}x+\frac{\pi}{2}\right)\\ \end{aligned} $$

（2）合成波为 $ y''=y+y'=A\cos\left(\omega t-\frac{2\pi}{\lambda}x+\frac{\pi}{2}\right)+A\cos\left(\omega t+\frac{2\pi}{\lambda}x+\frac{\pi}{2}\right) $

$ =2A\cos\frac{2\pi}{\lambda}x\cos\left(\omega t+\frac{\pi}{2}\right) $

将 P 点坐标 $ x = \frac{7}{4}\lambda - \frac{1}{4}\lambda = \frac{3}{2}\lambda $ 代入上述方程得 P 点的振动方程

$$ y^{\prime \prime}=-2A\cos\left(\omega t+\frac{\pi}{2}\right) $$

7.6.4 弦线振动的简正模式

在一根长度为 L、两端固定的弦线上，若要获得驻波，波长 $ \lambda_{n} $ 与弦长 L 之间必须满足下列条件：

$$ L=n\frac{\lambda_{n}}{2},\quad n=1,2,3\cdots $$

因为弦线的两个固定端必须是波节，而相邻波节的间距是 $ \lambda_{n}/2 $，所以上式不难理解。这就是说，并不是任意波长的波都能在两端固定的弦线上形成驻波，满足条件的波长只能取一组分立的数值。利用关系式 $ \nu = u/\lambda $，可写出弦上驻波的可能频率为

$$ \nu=n\frac{u}{2L},\quad n=1,2,3\cdots $$

上式中的频率称为弦振动的本征频率。本征频率对应的振动方式称为弦线振动的简正模式。每一频率对应于一种可能的振动方式。

图7-34 所示的弦线振动的三个模式，其中最低本征频率 $ \nu_{1} $ 称为基频，而其他较高的本征频率 $ \nu_{2}, \nu_{3} $ …都是基频的整数倍，常被称为二次、三次……谐频。在图7-29所示的驻波实验中，可调节AB之间的距离以满足式(7-32)。若是通过改变砝码 m 的重量来调节波长，便可观察到两端固定弦线的各种简正模式。

7.7 多普勒效应

我们在前面讨论中，都是假定波源和观察者相对于介质都是静止的。但是在日常生活和科学技术中，经常会遇到波源或观察者，尤其是这两者同时相对于介质

运动的现象。例如当一列火车迎面急驰开来时鸣笛，我们会听到火车汽笛的音调变高，这说明人耳接收到的声波的频率变高；当火车离我们而去时，听到的汽笛声音调会变低，这说明此时人耳接收到的频率变低。实际上火车鸣笛的音调并未改变（即波源的频率不变），可是入耳接收到的频率却发生了变化。上述事实说明：当波源与观察者有相对运动时，观察者所接收到的频率与波源的振动频率不同，这种现象称为多普勒效应（Doppler effect）。

7.7.1 声波的多普勒效应

现以声波为例讨论并计算机械波的多普勒效应。为简单起见，假定波源、观察者的运动发生在两者的连线上，并设波源相对于介质的运动速度为 $ v_{s} $，观察者相对于介质的运动速度为 $ v_{b} $， $ v_{s} $ 和 $ v_{b} $ 恒取正值。以 u 表示声波在介质中的传播速度，且波速 u 恒为正值， $ \nu_{0} $ 表示波源频率，则周期 $ T=\frac{1}{\nu_{0}} $，观察者接收到的频率是观察者在单位时间内接收到的完整波形的数目。下面分三种情况讨论。

1. 波源不动，观察者以 $ v_{b} $ 相对于介质运动 $ (v_{s}=0, v_{b}\neq0) $

如图 7-35 所示，观察者 P 向波源运动，在这种情况下，观察者在单位时间内所接收到的完整波形的数目比他在静止时要多。这是因为在单位时间内原来位于观察者 P 处的波阵面向右传播距离 u，同时观察者自己又向左运动了距离 $ s_{b} $ 到达 $ P' $，这就相当于波在单位时间内通过观察者的距离为 u + v 。因而在单位时间内观察者接收到的完整波形的数目为

$$ \nu_{1}=\frac{u+v_{\mathrm{b}}}{\lambda}=\frac{u+v_{\mathrm{b}}}{uT}=\left(1+\frac{v_{\mathrm{b}}}{u}\right)\nu_{0} $$

这就是说: 观察者迎波而行时, 所接收到的频率为原来的 $ \left(1+\frac{v_{\mathrm{b}}}{u}\right) $倍。

当观察者远离波源运动时，式(7-34)仍可适用，只要把 $ v_{b} $取为负值，那时观察者所接收到的频率就要减少。特别当 $ v_{b}=u $时， $ \nu_{1}=0 $。这相当于观察者跟原来的波阵面一起运动，当然就接收不到振动了。

2. 观察者不动，波源以速度 $ v_{s} $ 相对于介质运动 $ (v_{s} \neq 0, v_{b} = 0) $

先讨论波源向观察者运动的情况。我们知道，波速仅决定于介质的性质，与波源的运动与否无关。以一维简谐波为例，如图7-36所示，设波源在 $ S_{1} $点时开始发出一个波，一个周期后，“波前”到达A点。若波源不动，波形如图中虚线所示。但当波源向观察者运动一个周期后，波源前进了距离 $ S_{1}S_{2}=v_{s}T $，波源本身已到达 $ S_{2} $，于是整个波形被挤压在 $ S_{2}A $之间，波形如图7-36中实线所示。由于波源做匀速运动，所以挤压均匀，波形并无渐变，只是波长变短，其值为

$$ \lambda^{\prime}=S_{2}A=\lambda-v_{s}T=\left(u-v_{s}\right)T $$

注意波相对于观察者(观察者相对于介质静止)的速度仍为 u,于是观察者接收到的频率

$$ \nu_{2}=\frac{u}{\lambda^{^{\prime}}}=\frac{u}{\left(u-v_{s}\right)T}=\left(\frac{u}{u-v_{s}}\right)\nu_{0} $$

为原来的 $ \frac{u}{u-v_{s}} $倍。

如果波源背离观察者运动，只要将式（7-35）中“-”变为“+”即可，此时 $ v_{2}

由式(7-34)和式(7-35)可以看到，观察者的运动和波源的运动所引起的结果是不同的。即使 $ v_{b}=v_{s} $，它们所引起的频率改变也是不相同的，即 $ \nu_{2}\neq\nu_{1} $。

3. 观察者和波源同时相对于介质运动 $ (v_{s}\neq0, v_{b}\neq0) $

综合式(7-34)和式(7-35)的结果，由于观察者以 $ v_{b} $运动，相当于波对观察者的速度变为 $ u\pm v_{b} $；由于波源以 $ v_{s} $运动，相应波长变为 $ (u\mp v_{s})T $，结果观察者所接收到的频率

$$ u_{3}=\frac{u\pm v_{\mathrm{b}}}{\left(u\mp v_{\mathrm{s}}\right)T}=\frac{u\pm v_{\mathrm{b}}}{\left(u\mp v_{\mathrm{s}}\right)}\nu_{0} $$

式(7-36)包括了以上所讨论的各种情况，使用时应注意上述对公式中“±”的规定。若波源趋近观察者， $ v_{s} $ 前取“-”；若波源背离观察者， $ v_{s} $ 前取“+”。若观察者趋近波源， $ v_{b} $ 前取“+”；反之， $ v_{b} $ 前取“-”。若 $ v_{b} $ 和 $ v_{s} $ 不在波源与观察者的连线上，则将速度在连线上的分量作为 $ v_{b} $ 和 $ v_{s} $ 的值代入式(7-36)就可以了。

【例 7-10】如图 7-37 所示，A，B 为两个汽笛，其频率为 500 Hz，A 是静止的，B 以 $ 60 \, m \cdot s^{-1} $ 的速率向右运动，在两个汽笛之间有一观测者 O，以 $ 30 \, m \cdot s^{-1} $ 的速度也向右运动。已知空气中的声速为 $ 330 \, m \cdot s^{-1} $，求：

（1）测者听到来自 A 的频率；

（2）观测者听到来自 B 的频率；

（3）观测者听到的拍频。

解 （1）由于观测者远离波源 A 运动，故观测者听到来自 A 的频率为

$$ \nu^{\prime}=\frac{u-v_{0}}{u}\nu=\frac{330-30}{330}\times500Hz=454.5Hz $$

（2）观测者向着波源 B 运动，而波源 B 远离观测者运动，故观测者听到来自 B 的频率为

$$ \nu^{\prime \prime}=\frac{u+v_{0}}{u+v_{sB}}=\frac{330+30}{330+60}\times500Hz=461.5Hz $$

(3) 拍频 $ \Delta\nu = |\nu' - \nu''| = 7 $ Hz

【例 7-11】一警报器发射频率为 $ \nu = 1000 $ Hz 的声波，并以 $ 70 \, \text{m} \cdot \text{s}^{-1} $ 的速度向某方向运动，一人骑摩托车以 $ 20 \, \text{m} \cdot \text{s}^{-1} $ 的速度跟踪其后，求该人听到的警报器发出的频率以及警报器后方和前方空气中声波的波长。（设空气中的声速 $ u = 330 \, \text{m} \cdot \text{s}^{-1} $）

解 由于人相对于介质以 $ v_{b}=20\ m\cdot s^{-1} $ 速度迎波而行，这相当于波对观察者的速度为 $ u+v_{b} $。由于波源以 $ v_{s}=70\ m\cdot s^{-1} $ 运动，于是在前方声波的波长变小

$$ \lambda_{ 前 }=(\left.u-v_{s}\right)T=\frac{(\left.u-v_{s}\right)}{\nu}=\frac{330-70}{1\ 000}m=0.26m $$

在后方的声波波长变大

$$ \lambda_{ 后 }=\left(u+v_{s}\right)T=\frac{\left(u+v_{s}\right)}{\nu}=\frac{330+70}{1\ 000}\ m=0.4\ m $$

于是人接收到的频率为

$$ \nu_{ 人 }=\frac{(u+v_{b})}{(u+v_{s})}\nu=\frac{330+20}{330+70}\times1\ 000\ Hz=875\ Hz $$

而警报器后方空气中声波的频率

$$ \nu^{\prime}=\frac{u}{\left(u+v_{s}\right)}\nu=\frac{330}{330+70}\times1\ 000\ Hz=825\ Hz $$

7.7.2 电磁波的多普勒效应

多普勒效应是波动过程的共同特征。不仅机械波有多普勒效应，电磁波（包括光波）也有多普勒效应。因为电磁波的传播不依赖介质，所以波源和观测者之间的相对运动速度决定了接收到的频率。电磁波以光速c传播，在涉及相对运动时必须考虑相对论时空变换关系。计算证明，当波源和观测者在同一直线上运动时

$$ \nu_{ 接近 }=\sqrt{\frac{1+v/c}{1-v/c}}\nu_{s} $$

和

$$ \nu_{ 远离 }=\sqrt{\frac{1-v/c}{1+v/c}}\nu_{s} $$

式中 $ v_{s} $ 为光源的频率，c 为电磁波的速率，v 为观察者与波源之间的相对速率。

由此可见，当光源远离接收器而运动时，接收到的频率变小，波长变长，这种现象叫作“红移”，即移向光谱中的红色一侧。天文学家将来自星球的光谱与地球相同元素的光谱进行比较，发现星球光谱中几乎都发生红移，这说明星体都在远离地球而运动，这一结果被宇宙“大爆炸”理论的倡导者视为重要的证据之一。

多普勒效应在科学技术上有着广泛的应用。例如，利用光的多普勒效应，可以研究星体运动，根据人造卫星发的电磁波的频率变化，可以判断卫星的运行情况。利用超声波（supersonic wave）的多普勒效应，在医学上可对心脏跳动情况进行分析诊断。当波在一个运动着的表面反射时，相对于入射波的波长来说，反射波的波长将发生多普勒变化，雷达就是利用这一原理来测定空中目标的速度。

7.7.3 冲击波

当波源运动的速度超过波的速度时，式(7-36)的计算结果将没有意义。此时任一时刻波源本身将超过它此前发出的波的波前，在波源前方不可能有任何波动产生。如图7-38所示，波源在O位置时发出的波，在其后t时刻的波阵面为半径等于ut球面，但此时刻波源已前进了 $ v_{s}t $的距离到达 $ O' $位置，在整个t时间内，波源发出的波的各波前的切面形成一个圆锥面。容易看出这锥形的顶角满足

$$ \sin\alpha=\frac{ut}{v_{s}t}=\frac{u}{v_{s}} $$

随着时间的推移，各波前不断扩展，锥面也不断扩展，这种以点波源为顶点的圆锥形的波称为冲击波。 $ \frac{v_{s}}{u} $通常称为马赫数。这个圆锥面叫作马赫锥。锥面就是受扰动的介质与未受扰动的介质的分界面，在两侧有着压强、密度和温度的突变。注意在这个圆锥面上波的能量高度集中，容易造成巨大的破坏。

当飞机、炮弹等以超音速飞行时，或火药爆炸、核爆炸时，都会在空中激起冲击波。冲击波到达的地方，空气压强突然增大，足以损伤耳膜和内脏，打碎玻璃，甚至摧毁建筑物，这种现象称为声爆或声震。

视频：冲击波

视频：声呐

7.8 声波与超声技术

我们生活在声音的世界里，声音无所不在。声音与我们的生活和工作紧密相关。它是人类社会信息交往的工具，又在现代工业生产、电子技术、建筑部门以及医学、航海、测量、通信等方面有着重要的应用。声音对人类社会是极为重要的。

7.8.1 声波

机械振动在空气中的传播形成声波(sound wave)。一切振动物体，能引起空气的振动，就产生声波。声波就是机械振动在空气中的传播过程。在这里，所有振动物体都是声源。如振动的音叉，鼓面，各种乐器，人的声带等，都是声源。在弹性介质内，声波的频率范围在20~20 000 Hz，低于20 Hz直到 $ 10^{-4} $ Hz的波叫作次声波，高于20 000 Hz直到 $ 5\times10^{11} $ Hz的波叫作超声波。

摆钟在空气中摆动时，我们能听到清脆的“滴答”声，但如果把它放在密闭的透明容器中，在空气被抽出前，我们仍然能听到它的声音，但当逐渐抽去容器内的空气时，就会发现“滴答”声逐渐减弱，以致最后完全听不到了，尽管容器内的摆钟仍然在摆动。

这一事实清楚地表明，声波是以空气作为传播介质的，且声波在流体中都是以纵波形式传播的。下面我们以一个振动的膜来分析声波产生的过程。

在图 7-39 中，S 是一个绷紧的薄膜面，当它发生左右振动时，薄膜的两个表面就与左右两侧同它接触的空气分子发生碰撞作用。当 S 向右振动时，就将右侧的空气压缩，空气分子因受到碰撞而向右振动，使 S 右侧表面附近的空气薄层的密

度增大；当 S 向左振动时，S 右侧表面附近的空气薄层密度减小。如此简而复始，引起薄膜两侧空气的振动。这种振动，类似螺旋弹簧中的疏密波的形式向外传递，形成空气中的疏密波——声波。因此，声波是一种纵波。

以上分析的虽然是薄膜两侧的空气振动情况，但实际上膜的周围空气都在发生振动。也就是声波是一种球面波。这一点，我们很容易通过实验来说明：无论什么样的薄膜发生振动，只要有适当的频率，位于膜周围任何一个位置都能听到来自薄膜发出的声音。

7.8.2 声压与声强

当介质传递声波时，在声波到达处，介质密度将发生周期性的大小变化，因而其压强也随之发生变化。同时，声波作为传递机械能的一种方式，其所到之处必有能量的抵达。反映上述两个问题的物理量分别用声压与声强（sound intensity）来表示。

1. 声压

介质中有声波传播时的压强与没有声波传播时的静压强大小上是不同的，这一压强差称为声压。设介质中没有声波时的静压强为 $ p_{0} $，有声波时各处的实际压强为 $ p' $，则 $ \Delta p = p' - p_{0} $ 就是声压，它是由声波而引起的压强。声压的成因如下：声波是纵波，在稀疏区域，实际压强小于静压强，其声压 $ \Delta p $ 为负值；在稠密区域，实际压强大于原来的静压强，其声压 $ \Delta p $ 是正值。因为在声波的传播过程中， $ p_{0} $ 是不变的，而介质中的声振动做周期性的变化，所以声压也做周期性的变化。

设在密度为 $ \rho $ 的流体中，有一平面简谐声波 $ y = A \cos\left[\omega\left(t - \frac{x}{u}\right) + \varphi\right] $ 沿 x 轴正方向传播，我们在流体中取一截面积为 S，长度为 $ \Delta x $ 的柱形体积元，其体积为 $ S \Delta x $，当声波传播时，这段流体柱两端的位移分别为 y 和 $ y + \Delta y $，体积增量为 $ \Delta V = S \Delta y $。

根据公式 $ (7-10) $， $ \frac{F}{S} = -K \frac{\Delta V}{V} $，K为体积模量，则

$$ \begin{aligned}&\frac{F}{S}=\Delta p=-K\frac{\Delta V}{V}\\ &\\ &\Delta p=-K\frac{S\Delta y}{S\Delta x}=-K\frac{\Delta y}{\Delta x}\\ \end{aligned} $$

即

当 $ \Delta x \to 0 $，即流体柱无限小时，上式为

$$ \Delta p=-K\frac{\partial y}{\partial x} $$

由于 $ \frac{\partial y}{\partial x}=-A\frac{\omega}{u}\sin\left[\omega\left(t-\frac{x}{u}\right)+\varphi\right] $，所以压强为

$$ \Delta p=-K A\frac{\omega}{u}\sin\left[\omega\left(t-\frac{x}{u}\right)+\varphi\right] $$

由式(7-13), $ u = \sqrt{\frac{K}{\rho}} $

$$ \Delta p=-\rho u A\omega\sin\left[\omega\left(t-\frac{x}{u}\right)+\varphi\right] $$

令

$$ p_{max}=\rho u A\omega $$

$ p_{max} $ 为声压的振幅。上式表明：当空气中有波传递时，空气压强的最大变化与波速成正比，与振幅成正比。

【例7-12】人耳能够忍受声音强弱中的最大声压变化 $ p_{\max} $的大小为 $ 28\ N\cdot m^{-2} $。若在空气中，一声波的频率为1000 Hz，空气的平均密度为 $ 1.22\ mg\cdot m^{-3} $，声速为 $ 331\ m\cdot s^{-1} $，试求该声波的最大振幅。

解 由公式 $ (7-43) $，可得

$$ A=\frac{p_{\max}}{\omega\rho u} $$

由 $ \omega = 2\pi\nu $ 得

$$ A=\frac{P_{\max}}{2\pi\nu\rho u}=1.1\times10^{-5}m $$

可见，对人耳而言，最强的声波的振幅不过 $ 1.1 \times 10^{-5} $ m，这是一个很小的数值。

【例 7-13】对于上述密度的空气，如果人耳对 $ 1\ 000\ Hz $ 的声波可以听到的最弱声音的压强为 $ 2.0 \times 10^{-5}\ Pa $ ( $ 1\ Pa = 1N \cdot m^{-2} $)，则相应声波的最大振幅为多少？

解 类似上例的解法，由

$$ A=\frac{p_{\min}}{2\pi\nu\rho u}\approx10^{-11}m $$

这里如此小的振幅实际上表示分子相对于热运动“振幅”的变化量。

2. 声强

声强就是单位时间内通过垂直于声波传播方向的单位面积的声波能量，即声波的能流密度。由式(7-22)，声强 I 为

$$ I=\frac{1}{2}\rho u A^{2}\omega^{2} $$

或

$$ I=\frac{p_{\max}^{2}}{2\rho u} $$

从式(7-43)和式(7-44)可知，频率越高越容易获得较大的声压(sound pressure)和声强。例如，在例7-12中，人耳能忍受的最大声压变化 $ p_{\max} $的大小为28 Pa，则相应的声强平均为

$$ \frac{p_{\min}^{2}}{2\rho u}=\frac{28^{2}}{2\times1.22\times331}\ W\cdot m^{-2}=0.97\ W\cdot m^{-2} $$

同样，人耳能听到的最弱声强约为 $ 10^{-12} \, W \cdot m^{-2} $，可见，人的听觉还是灵敏的。

3. 声强级和响度

引起听觉的声波，不仅有频率范围，而且有声强范围。对于每个给定的可闻频率，声强都有上下两个限位，低于下限的声强不能引起听觉，能引起听觉的最低声强称为听觉阀。高于上限的声强也不能引起听觉，而太高只能引起痛觉。这一声强的上限值称为痛觉阀。声强的上下限值随频率而异。频率在 20 Hz 以下和 20 000Hz 以上时，就无所谓上下限值，因为在这频率范围内的任何大小的声强都不再引起听觉。在 1 000 Hz 时，一般正常人听觉的最高声强力 $ 1\ W \cdot m^{-2} $，最低声强为 $ 10^{-12}\ W \cdot m^{-2} $。通常把这一最低声强作为测定声强的标准，用 $ I_0 $ 表示。由于声强的数量级相差悬殊（达 $ 10^{12} $ 倍），所以常用对数标度作为声强级（sound intensity level）（以 $ L_I $ 表示）的量度，声强级为

$$ L_{I}=\lg\frac{I}{I_{0}} $$

单位为贝尔(B)。实际上，嫌这一单位太大，常采用分贝(dB)。此时声强级的公式为

$$ L_{I}=10\lg\frac{I}{I_{0}} $$

声强级与声强的关系如表7-1所示。

顺便指出，平时人们习惯于用“响度”来形容声音的强弱。这种“响度”是人们

对声强的主观感觉。一般说，声强级在0~20 dB范围内，人们感觉到的是“极轻”的声音，20~40 dB为轻声，40~60 dB为正常声。60~80 dB为响声，感觉不舒服，80~100 dB为极响声，已难忍受，100~120 dB为震耳响声，已经不能忍受，超过180 dB，就有生命危险。

7.8.3 乐音

根据人的感觉，人们将悦耳动听的声音叫作乐音，而将嘈杂刺耳的声音叫作噪声。乐音的波动图像是一种周期性曲线，如图7-40所示。而噪声的波动图像是一种非常复杂的非周期性曲线，如图7-41所示。下面介绍几个关于乐音的基本概念。

视频：盲人的视觉

1. 基音、泛音、音品

乐器的振动，总是同时包含着各种频率。这是因为乐器发声时，乐器上各个不同部分同时在振动，而这些不同部分的固有频率并不相同。因而发出的声波就要包含多种频率，例如胡琴的振动就包括弦、皮膜、筒、筒内的空气柱等部分的振动。

例如，钢琴的基音是100 Hz，强度也最大。其泛音约有15个，频率分别是基音频率的2,3,4, $ \cdots $倍，且泛音的强度各不相同。

其中，我们将频率最低、振幅最大的声音叫作基音，其余的叫作泛音。实验表明，泛音的频率总是基音频准的整数值。

如果两个乐器的基音与泛音的频率、数量都相同，但强度分布不同，人们仍然能将两者区分开来。至于基音与泛音不同的乐器声听起来就更容易区分了。这种听觉区分不同乐器的声音的依据叫作乐器的音品或音色（musical quality）。

音品是由泛音的多少、泛音的频率和强度决定的。决定音品的另一个重要因素，是一个音在开始和结束时的特性。例如钢琴的音以一击开始，然后逐渐减弱以至消失，而与之频率完全相同的电子（钢）琴，却无法模仿这一特性，即使它们的基音，泛音的频率、强度分布完全相同，我们也能将两者区别开来。其他乐器也有完全类似的特性。演奏者使用乐器时，往往使用高超的技巧来控制和发挥乐器的这种特性，使之发出的声合更加悦耳动听，歌唱家的发声更是在这方面与众不同。

因此，音品或音色，是区别不同发声体声音特性的依据之一。

2. 音调

人们对声音频率高低的主观感觉，叫作音调（pitch）。当频率增大时，音调升高，反之降低。但是，音调与频率并不存在一一对应的关系。对于恒定强度的纯音来说，频率增大音调变高；但对频率恒定的纯音，其音调却因声强级的增大而变低。

人耳对音调的主观感觉十分奇特。有时，虽然乐音中的基音并不一定存在，但

在适当条件下，人耳会“补充”这些“低频基音”！例如，现代小型立体声收录机的耳机，实际上很难发出频率在20 Hz以下的低音，但人听起来，仍然会感到有非常丰富的“低音”。这就是由于人耳对来自耳机的各种谐音（互成倍数的音频）的一种“补充”而形成的主观感觉。所以，音调与声音的响度一样，完全是一种主观量，无法用仪器来测定。

3. 音程和音阶

人对乐音的感觉，除响度、音调之外，还有其他一些特征。例如人对不同频率、不同音调的区分，并不是连续的。所以在乐音学说中，人们通常用 Do(1)、Re(2)、Mi(3)、Fa(4)、Sol(5)、La(6)、Ti(7)、Do'(1)、Re'(2)……来表示。其中每一个叫作音律，它们的基音频率近似成整数比关系，从低到高排列成音价。

例如，钢琴的中央 C 和高八度 C' 的基音频率之比是 1:2，弹奏 C、E、G 就得到另一组音，这些音构成“大三和弦”，它们的基频之比近似为 4:5:6。在表 7-2 中，列出了钢琴的中央 C 开始，向右的八个白键中的三个大三和弦（C、E、G，F、A、C'，G、B、D'）。一旦选定这些律音中的任意一个的频率，就可以计算所有律音的频率。根据国际协议，规定中央 C 上面的 A 频率为 440 Hz。由表 7-1 中第五行列出的所有律音的频率是 C 调的纯正自然音阶的频率，相邻律音的频率之比满足 9/8，10/9 或 16/15。其中，频率比为 9/8 或 10/9 的两个律音之间的音程称为全音，频率比为 16/15 的两个律音之间的音程称为半音。人们通常称 4(Fa)、7(Ti) 为半音，或者说，4 比 3(Mi) 高半度，7 比 1(Do') 低半度，都是这个意思。

表中第5行给出的是C调的自然音阶，是最适合人耳的音阶。但是，若由D开始，建立一个大的全音阶，要满足一个完全的自然音阶就需要带给四个新的律音，以此类推，所需附加律音将非常多。为了避免这种非常复杂的情况，表7-2中第7行给出了“等程音阶”，其中全音的两个相邻音律频率之比为 $ \sqrt[6]{2} $，半音的相邻音律频率之比为 $ \sqrt[8]{2}=1.05946 $。这种设计，几乎适合所有音调乐曲的演奏。

视频：猫的耳朵-超声波

7.8.4 超声波与次声波

我们知道：声波频率低于20 Hz或高于20 000 Hz时，人耳就听不到了。“听不见的声波”可分为两大类。低于20 Hz的声波叫作次声波（infrasonic wave），而高于20 000 Hz的声波叫作超声波。通常超声波的频率范围在 $ 2\times10^{4}\sim5\times10^{8} $ Hz之间。

次声波与超声波同正常的可闻声波相比，又具有各自不同的特点，其应用也不同。

1. 超声波的产生

超声波频率比通常的声音高很多，因而它的产生方法与可闻声波不同，一般都要通过电磁振动与机械振动的相互转换来实现。最常见的是利用压电效应或磁致伸缩效应来实现。将高频振荡电压加到特殊的晶体上（如压电陶瓷、石英晶体等），或让铁磁物质（纯镍、铝铁合金、铁钴钒合金、铁钴合全等以及铁氧体陶瓷）处于交变电磁场中，利用压电晶体的电致伸缩效应和铁磁物质的磁致伸缩效应就能产生超生波。有些动物也能产生超声波，如蝙蝠、蟋蟀、纺织娘等动物都能发出超声波。

2. 超声波的基本性质

（1）功率大，穿透力强。由式（7-22）可知声波的能流密度与频率的平方成正比。频率为 $ 10^{9} Hz $ 的超声波，与振幅相同的、频率为 $ 1000 Hz $ 的可闻声波的平均功率相比较，前者是后者的 $ 10^{6} $ 倍，这么大的功率决定了超声波具有很强的穿透力，能够穿透人体及数十米厚的金属等物体。

（2）能产生强大的声压。普通人讲话的声压振幅约为 $ 0.1 \, Pa $，相当于 $ 10^{-6} $ 大气压。而超声波可以产生大于 $ 3 \times 10^{5} \, Pa $ 以上的声压，后者相当于前者的 100 万倍以上。如此强大的声压可以产生相当强的力学效应。

（3）具有很强的方向性。因为超声波频率高，波长就短，衍射不严重，因此超声波具有良好的定向性。超声波的这些特点，使它在技术上有广泛的应用。

3. 超声波的应用

利用超声波的定向发射性质，可以探测水中物体，如探测鱼群、潜艇等，也可测量海深。如图7-42所示，在舱上装置一个发射与接收超声波的仪器，垂直地向海底发射超声波，再接收来自海底的反射波，用电子学方法准确地测出来回所需时间，由声波在海水中的传播速度就可算出海的深度，用这种方法可测几千米的海底深度。超声波在军事上更有着十分重要的用途。由于海水的

导电性良好，电磁波在海水中吸收非常严重，电磁雷达无法使用。利用“声波雷达”（称为声呐）所发射的超声波在船体上的反射，可以探测出敌潜艇的方位与距离。

在工业上，超声波可用来探测工件内部的缺陷（例如气泡、裂缝等），其原理也是利用超声波在缺陷表面的反射。

由于超声波能量大而集中，所以可用来切削，焊接，钻孔，清洗机件，还可用来处理植物种子和促进化学反应等。

利用介质的声学量(声速、衰减、声阻抗、声阻尼等)与介质的某些特性(如浓度、比重、黏度、强度、化学成分等)或状态参量(如温度、压力、流速等)的关系，可以用测量声学量的办法来间接测得其他量，这种方法叫作非声量声测法。非声量声测法具有测量精度高、速度快等优点，它广泛应用于石油、化工等工业部门中。

由于超声波频率与一般无线电波的频率相近，因此可利用超声元件来代替某些电子元件。超声波延迟线就是其中一例。在电子线路（如彩色电视线路）中，有时为了使两个信号同步，必须让一个信号延迟一段时间再使之与另一信号相遇。一般都采用延迟线，让信号通过一段延迟线以延迟一段时间。由于电磁被的传播速度很大（ $ 3\times10^{8}\ \mathrm{m\cdot s^{-1}} $），如果需要延迟的时间较长（例如几个以至几十个微秒），线的长度将达几十千米。而超声波在一般介质中的传播速度比电磁波小得多（约每秒几千米），用超声波来延迟时间就方便得多。用在彩色电视机中的超声波延迟线，它的大小只有几厘米。图7-43是它的内部构造示意图，主要部件是一块磨制良好的玻璃。高频电信号自输入端输入，经换能器（锆钛酸铅薄片）转为超声振动（振动方向垂直纸面），超声波在玻璃内沿图中所示路径行进到输出端的换能器上，又转换为电信号，但这个信号比原来的信号已落后了一段时间。上述超声波延迟线的延迟时间为63.943 $ \mu $s。

4. 次声波

次声波是由振动频率低于20 Hz的振动物体产生的。自然界中，能产生次声波的声源是很多的。比如人类心音波只有1~2 Hz，大风暴掀起的巨浪以

延迟线结构示意图

及地震、某些核爆炸产生的声波都包含有次声波。人们对次声波的研究主要是基于核试验以及对地震的研究。

（1） 老渔民的千里耳

我国沿海的一些有经验的渔民，早就利用次声波来为自己服务了，只不过人们

不知其道理而已。

在过去通信、天气预报都不发达的时代，渔民出海作业时，对风暴何时来临是无法知道的。有经验的渔民，采用特殊的方法，就可以“听到”千里之外的风暴声。

他们采用的方法是，将特制的皮膜做成的大鼓（后来用充气球），放在海边，出海前将耳朵紧贴在皮膜上“听”，如感到耳膜疼痛，那就说明远处有风暴或有巨浪，渔船不能出海。

为何会这样呢？原来，当有风暴或巨浪出现时，就会伴随有次声波，而次声波又能传得很远，且声强很大。当次声波传到皮鼓或气球时，在适当条件下引起共鸣，这种共鸣声虽不能为人类直接“听”到，但由于其声压较大，会使人的耳膜发生较大幅度的低频振动，从而引起疼痛的感觉。从前人们不知道这一道理，往往给这种疼痛的感觉蒙上迷信的色彩。今天，科学技术发达，人们已不大采用这种方法了。但它却说明了我国古代劳动人民的聪明才智。

（2） 次声波的神奇特点

次声波由于其频率低、波长长，振幅可以很大，使它具有与其他声波不同的神奇特点。

a. 容易发生衍射 次声波的波长都在 20 m 以上，最长可达数百米甚至数千米。根据波的衍射规律，凡障碍物的几何尺寸与波长可比拟时，波即能绕过它而发生衍射。因此，次声波在空间传播时，可以绕过城市、高山而“无阻挡”地向前传播。据研究，由强烈地震产生的次声波可以绕行地球好几圈。

b. 声压大传得远 次声波在空气中传播时，空气对其吸收较小。其他介质对次声波的吸收系数也很小，因而次声波能沿地面传得很远。另外，人类对1 000 Hz 的声波能忍受的最大的声强约为1 W·m⁻²，相当了120 dB。而一个频率为16 Hz，振幅为0.2 m的强振源可产生的次声波声强级达147.7 dB。如此强烈的声强级，任何人都无法忍受。所以，有的战争狂人早就想到利用次声波作为杀人的秘密武器就不无道理。

当地球上某一点发生强烈地震，或发生海啸而掀起巨浪时，所产生的次声波，能传到几千公里之外。由于某些动物能够听到次声波，所以，在人类还没有发现时，它们早已显得不安或深藏远匿。人类利用某些动物的反常行为预报地震或海啸等自然灾害，正是因为这些动物对次声波的反应异常。例如，在我国沿海地区，人们发现，夏季里，每当台风来到之前，许多可恶的蚊子、老鼠总是躲藏起来。每当这时，人们总感到蚊子、老鼠少了许多。这是生物对次声波反应的一个极好例子。

习题

7-1 机械波的表达式为 $ y=0.03\cos6\pi(t+0.01x) $ (SI 单位)，则()。

A. 其振幅为 3 m

B. 其周期为 $ \frac{1}{3} $ s

C. 其波速为 $ 10 \, m \cdot s^{-1} $

D. 波沿 x 轴正向传播

7-2 一沿 x 轴负方向传播的平面简谐波在 t=2 s 时的波形曲线如题 7-2 图所示，则原点 O 的振动方程为（）。

7-2 一沿 x 轴负方向传播的平面简谐

示，则原点 O 的振动方程为（）。

A. $ y=0.50\cos\left(\pi t+\frac{1}{2}\pi\right) $ (SI 单位)

B. $ y=0.50\cos\left(\frac{1}{2}\pi t-\frac{1}{2}\pi\right) $ (SI 单位)

C. $ y=0.50\cos\left(\frac{1}{2}\pi t+\frac{1}{2}\pi\right) $ (SI 单位)

D. $ y=0.50\cos\left(\frac{1}{4}\pi t+\frac{1}{2}\pi\right) $ (SI 单位)

7-3 如题7-3图所示，一平面简谐波沿x轴正向传播，已知P点的振动方程为 $ y=A\cos(\omega t+\phi_0) $，则波的表达式为( )。

A. $ y=A\cos\{\omega[t-(x-l)/u]+\phi_0\} $

B. $ y=A\cos\{\omega[t-(x/u)]+\phi_0\} $

C. $ y=A\cos\omega(t-x/u) $

D. $ y=A\cos\{\omega[t+(x-l)/u]+\phi_0\} $

7-4 一平面简谐波在弹性介质中传播，在介质质元从最大位移处回到平衡位置的过程中( )。

A. 它的势能转化为动能

B. 它的动能转化为势能

C. 它从相邻的一段介质质元获得能量，其能量逐渐增加

D. 它把自己的能量传给相邻的一段介质质元，其能量逐渐减小

7-5 在弦线上有一简谐波，其表达式是

$$ y_{1}=2.0\times10^{-2}\cos\left[2\pi\left(\frac{t}{0.02}-\frac{x}{20}\right)+\frac{\pi}{3}\right]\quad(SI单位) $$

为了在此弦线上形成驻波，并且在 x=0 处为一波节，此弦线上还应有一简谐波，其表达式为( )。

A. $ y_2=2.0\times10^{-2}\cos\left[2\pi\left(\frac{t}{0.02}+\frac{x}{20}\right)+\frac{\pi}{3}\right] $ (SI 单位)

B. $ y_2=2.0\times10^{-2}\cos\left[2\pi\left(\frac{t}{0.02}+\frac{x}{20}\right)+\frac{2\pi}{3}\right] $ (SI 单位)

C. $ y_2=2.0\times10^{-2}\cos\left[2\pi\left(\frac{t}{0.02}+\frac{x}{20}\right)+\frac{4\pi}{3}\right] $ (SI 单位)

D. $ y_2=2.0\times10^{-2}\cos\left[2\pi\left(\frac{t}{0.02}+\frac{x}{20}\right)-\frac{\pi}{3}\right] $ (SI 单位)

7-6 在截面积为 S 的圆管中，有一列平面简谐波在传播，其波的表达式为 $ y = A\cos[\omega t - 2\pi(x/\lambda)] $，管中波的平均能量密度是 $ \overline{w} $，则通过截面积 S 的平均能流

是___。

7-7 设沿弦线传播的一入射波的表达式为

$$ y_{1}=A\cos\left[2\pi\left(\frac{t}{T}-\frac{x}{\lambda}\right)+\varphi\right] $$

波在 x=L 处(B 点)发生反射，反射点为固定端（如题 7-7 图所示）。设波在传播和反射过程中振幅不变，则反射波的表达式为 $ y_{2}= $ ___。

7-8 题 7-8 图所示为一简谐波在 t=0 时刻与 t=T/4 时刻 (T 为周期) 的波形图，则 $ x_{1} $ 处质点的振动方程为 ___。

7-9 两个相干点波源 $ S_{1} $ 和 $ S_{2} $，它们的振动方程分别是 $ y_{1}=A\cos\left(\omega t+\frac{1}{2}\pi\right) $ 和 $ y_{2}=A\cos\left(\omega t-\frac{1}{2}\pi\right) $。波从 $ S_{1} $ 传到 P 点经过的路程等于 $ 2\lambda $，波从 $ S_{2} $ 传到 P 点的路程等于 $ 7\lambda/2 $。设两波波速相同，在传播过程中振幅不衰减，则两波传到 P 点的振动的合振幅为 ___。

7-10 两相干波源 $ S_{1} $ 和 $ S_{2} $ 的振动方程分别是 $ y_{1} = A \cos \omega t $ 和 $ y_{2} = A \cos \left( \omega t + \frac{1}{2} \pi \right) $。 $ S_{1} $ 距 P 点 $ 3\lambda $， $ S_{2} $ 距 P 点 $ 21\lambda/4 $。两波在 P 点引起的两个振动的相位差是 ___。

7-11 设反射波的表达式是 $ y_{2}=0.15\cos\left[100\pi\left(t-\frac{x}{200}\right)+\frac{1}{2}\pi\right] $ (SI 单位)。波在 x=0 处发生反射，反射点为自由端，则形成的驻波的表达式 ___。

7-12 一横波沿绳子传播，其波的表达式为

$$ y=0.05cos\left(100\pi t-2\pi x\right)\quad(SI 单位 ) $$

（1）求此波的振幅、波速、频率和波长。

（2）求绳子上各质点的最大振动速度和最大振动加速度。

（3）求 $ x_{1}=0.2\ m $ 处和 $ x_{2}=0.7\ m $ 处二质点振动的相位差。

7-13 一列平面简谐波在介质中以波速 $ u = 5 \, \text{m} \cdot \text{s}^{-1} $ 沿 x 轴正向传播，原点 O 处质元的振动曲线如题 7-13 图所示。

（1）求解并画出 x=25m 处质元的振动曲线.

（2）求解并画出 t=3s 时的波形曲线.

7-14 一平面简谐波沿 x 轴正向传播，其振幅为 A，频率为 $ \nu $，波速为 u。设 $ t = t' $ 时刻的波形曲线如题 7-14 图所示。求：

（1）x=0处质点振动方程；

(2) 该波的表达式。

7-15 如题 7-15 图所示为一平面简谐波在 t=0 时刻的波形图，设此简谐波的频率为 250 Hz，且此时质点 P 的运动方向向下。求

（1）该波的表达式：

（2）在距原点 O 为 $ 100 \, m $ 处质点的振动方程与振动速度表达式。

7-16 题 7-16 图所示为一平面简谐波在 t=0 时刻与 t=2s 时刻的波形图。已知波速为 u，求：

（1）坐标原点处介质质点的振动方程；

(2) 该波的波动表达式。

7-17 如题 7-17 图所示，一平面简谐波沿 Ox 轴正向传播，波速大小为 u，若 P 处质点的振动方程为 $ y_{p} = A \cos(\omega t + \phi) $，求：

（1）O处质点的振动方程；

(2) 该波的波动表达式：

（3）与P处质点振动状态相同的那些质点的位置。

7-18 一平面简谐波沿 x 轴正向传播，其振幅和角频率分别为 A 和 $ \omega $，波速为 u，设 t=0 时的波形曲线如题 7-18 图所示。

（1）写出此波的表达式。

（2）求距 O 点分别为 $ \lambda/8 $ 和 $ 3\lambda/8 $ 两处质点的振动方程。

（3）求距 O 点分别为 $ \lambda/8 $ 和 $ 3\lambda/8 $ 两处质点在 t=0 时的振动速度。

7-19 一平面简谐波在介质中以速度 $ u = 20 \, m \cdot s^{-1} $ 自左向右传播。已知在传播路径上的某点 A 的振动方程为 $ y = 0.3 \cos(4\pi t - \pi) $ (SI 单位)，另一点 D 在 A 点右方 9 m 处。

（1）若取 x 轴方向向左，并以 A 为坐标原点，

如题7-19图(a)所示，试写出波的表达式，并求出

D 点的振动方程。

(2) 若取 x 轴方向向右，以 A 点左方 5 m 处的 O 点为 x 轴原点，如题 7-19 图(b) 所示，再写出波的表达式及 D 点的振动方程。

7-20 一平面简谐波,频率为 300 Hz,波速为

340 m·s $ ^{-1} $，在截面面积为 $ 3.00 \times 10^{-2} $ m $ ^{2} $ 的管内空气中传播，若在 10 s 内通过截面的能量为 $ 2.70 \times 10^{-2} $ J，求：

（1）通过截面的平均能流；

（2）波的平均能流密度；

（3）波的平均能量密度。

7-21 如题7-21图所示，原点O是波源，振动方向垂直于纸面，波长是 $ \lambda $。AB为波的反射平面，反射时无相位突变。O点位于A点的正上方， $ \overrightarrow{AO}=h $，Ox轴平行于AB。求Ox轴上干涉加强点的坐标（限于 $ x\geqslant0 $）。

7-22 相干波源 $ S_{1} $ 和 $ S_{1} $ 相距 11 m, $ S_{1} $ 的相位比 $ S_{2} $ 超前 $ \left(1/2\right)\pi $。这两个相干波在 $ S_{1}, S_{2} $ 连线和延长线上传播时可看成两等幅的平面余弦波，它们的频率都等于 100 Hz，波速都等于 400 m·s $ ^{-1} $。试求在 $ S_{1} $、 $ S_{2} $ 的连线上及延长线上，因干涉而静止不动的各点位置。

7-23 在均匀介质中，有两列余弦波沿 Ox 轴传播，波动表达式分别为 $ y_{1} = A\cos\left[2\pi\left(vt - \frac{x}{\lambda}\right)\right] $ 与 $ y_{2} = 2A\cos\left[2\pi\left(vt + \frac{x}{\lambda}\right)\right] $，试求 Ox 轴上合振幅最大与合振幅最小的那些点的位置。

7-24 在绳上传播的入射波表达式为 $ y_{1}=A\cos\left(\omega t+2\pi\frac{x}{\lambda}\right) $，入射波在 x=0 处反射，反射端为固定端。设反射波不衰减，求驻波表达式。

7-25 一列横波在绳索上传播，其表达式为

$$ y_{1}=0.05\mathrm{cos}\left[2\pi\left(\frac{t}{0.05}-\frac{x}{4}\right)\right]\quad(SI 单位 ) $$

（1）现有另一列横波（振幅也是0.05 m）与上述已知横波在绳索上形成驻波。设这一横波在 x=0 处与已知横波同相位，写出该波的表达式。

（2）写出绳索上的驻波表达式；求出各波节的位置坐标；并写出离原点最近的四个波节的坐标数值。

7-26 由振动频率为 400 Hz 的音叉在两端固定拉紧的弦线上建立驻波。这个驻波共有三个波腹，其振幅为 0.30 cm。波在弦上的速度为 $ 320 \, \mathrm{m \cdot s^{-1}} $。

（1）求此弦线的长度；

（2）若以弦线中点为坐标原点，试写出弦线上驻波的表达式。

7-27 有 A 和 B 两个汽笛，其频率均为 404 Hz。A 是静止的，B 以 $ 3.3 \, m \cdot s^{-1} $ 的速度远离 A。在两个汽笛之间有一位静止的观察者，他听到的声音的拍频是（已知空气中的声速为 $ 330 \, m \cdot s^{-1} $）___。

7-28 一声源 S 的振动频率为 $ \nu_{s}=1\ 000\ Hz $，相对于空气以 $ v_{s}=30\ m\cdot s^{-1} $ 的速度向右运动，如题 7-28 图所示。在其运动方向的前方有一反射面 M，它相对于空气以 $ v=60\ m\cdot s^{-1} $ 的速度向左运动。假设声波在空气中的传播速度为 $ u=330\ m\cdot s^{-1} $，求：

（1）在声源 S 右方空气中 S 发射的声波的波长；

（2）每秒钟到达反射面的波的数目；

（3）反射波的波长。

7-29 甲火车以 $ 43.2 \, km \cdot h^{-1} $ 速度行驶，其上一乘客听到对面驶来的乙火车鸣笛声的频率为 $ 512 \, Hz $；当这一火车过后，听到其鸣笛声的频率为 $ 428 \, Hz $。求乙火车上的乘客听到乙火车鸣笛的频率和乙火车对于地面的速度（设空气中声波的速度为 $ 340 \, m \cdot s^{-1} $）。

7-30 如题7-30图所示，图中振动频率为510 Hz 的声源 S 以速度 u 向墙壁 P 接近，站在 A 点的观察者听到的拍音频率为 3 Hz。求振源的移动速度 u（已知空气中的声速为 $ v_{air}=340 \, m \cdot s^{-1} $，且 $ u \ll v_{air} $）。

7-31 一个频率为 1 000 Hz 的声波源 S 以 $ v = 55 \, \text{m} \cdot \text{s}^{-1} $ 的速度向右运动。在声波源的右方，有一个光滑的大反射平面 $ A $ 以 $ v' = 27.5 \, \text{m} \cdot \text{s}^{-1} $ 的速度向左运动（设空气中的声速为 $ v_{\text{air}} = 330 \, \text{m} \cdot \text{s}^{-1} $）。求：

（1）在声波源 S 与大反射面 A 之间的空气中入射声波的波长是多少？

（2）在 $ 0.01 \, s $ 内，反射面接收到多少次完整的振动？

（3）反射波的波长是多少？

$ ^{1} $ 2000年1月1日，中国国家博物馆博物馆藏的《大观园》藏于北京故宫博物院博物馆，面积约 $ 1000 $平方米，建筑面积