第一篇 力学 · 第1章 质点运动学

在物理学中， $ E=mc^{2} $ 是一个著名的公式，它描述了能量 $ E $ 与质量 $ m $ 之间的关系，其中 $ c $ 是光速。这个公式揭示了质量和能量可以相互转化的事实。

第一篇 力学

物换星移，寒暑交替，生老病死，世间万物都在运动变化。在千姿百态的运动形态中，物体位置的变化最为常见。物体相对位置的改变称为机械运动。

力学研究物体的机械运动，它的概念、方法和原理深刻地影响了其他物理学分支的建立和发展。以电压和电势能为例，这是下册第五篇电磁学中学习的内容，读者一定会注意到，如果没有力学中功和能的概念，人们并不十分了解生活中这些习惯用语的确切意义。

通常将力学分为运动学、动力学和静力学三个部分。运动学定量描述物体的位置和状态随时间如何变化，动力学研究物体运动状态改变的原因，静力学则集中考虑物体的平衡问题。

力学成为一门科学理论始于17世纪伽利略（Galileo Galilei，1564—1642）的研究，开普勒（Johannes Kepler，1571—1630）的行星运动三定律为牛顿（Issac Newton，1643—1727）建立完整的力学理论提供了坚实的基础。在随后的两个多世纪里，人们一直致力于在牛顿力学的基础上建立关于物质世界的普遍理论。然而，从数学和逻辑的角度看来，包罗万象的牛顿力学并非无懈可击。从1900年开始，牛顿力学的局限性逐步显现出来，在接近光速的高速运动领域中必须推广为相对论，描写微观领域中原子和电子的运动需要创建量子力学。读者在学习第六篇近代物理的时候应当留意，相对论和量子力学是在经典力学的基础上发展起来的；如果不深入学习经典力学的概念、原理和方法，就不可能真正理解量子力学和相对论。不仅如此，在许多技术领域，如土木建筑、机械制造、交通运输等，甚至在航空航天这样一些高新技术领域里，牛顿力学仍然是强有力的主要工具，应用广泛。

值得指出的是，从20世纪70年代开始，力学的世界观还受到内部的巨大冲击，那就是混沌性问题。在许多重要的非线性系统中，运动演化过程敏感地依赖于它的初始状态，微小的偏差将随时间推移越来越大，牛顿定律描述的决定论系统包含了某种不确定性。混沌运动的不可预测性已经在理论和实际应用中受到广泛关注。

本篇主要介绍力学的一些基础知识，包括质点（质点系）力学、刚体力学和流体力学，力图阐明动量、能量和角动量等重要概念及相应的守恒定律，并从时空对称性的角度揭示守恒定律的物理根源。

>> 第1章

质点运动学

运动学是定量描述物体运动状态和过程的数学理论，尚未涉及运动状态变化的原因。中学物理已经初步介绍了本章的某些内容，我们将采用矢量和微积分等高等数学工具对它们作更准确的定义，并推广到更普遍的形式。对于位置矢量、速度和加速度等物理量则强调它们的瞬时性、相对性和矢量性。关于曲线运动，我们还讨论切向和法向加速度。

各种形式的机械运动中最简单的是质点的运动。忽略大小和形状的物体就是一个质点。本章将集中讨论如何定量描述质点的位置及其变化过程。

1.1 参考系和坐标系 时间

物体的机械运动总是相对于其他某些物体而言的，这些参照物（或物体系）称为参考系（reference system）。例如，研究交通车辆的运动时，选用固定在地面上的一些物体（如车站、路碑、地标等）作为参考系，称为地面参考系。在物理实验中，常常选用固定于实验室的物体作为参考系，称为实验室参考系。

运动是物质的根本属性，但物体的运动在不同的参考系中可以表现出完全不同的形式。例如，在匀速运动的火车车厢的天花板上悬挂一个小球，将悬线剪断，火车上的乘客看到小球沿直线自由下落，但月台上的人却看到小球做平抛运动，这是因为乘客选火车为参考系而月台上的人选地面为参考系，这种现象称为运动的相对性（relativity）。因此，我们描写物体运动时，必须标明所用的参考系。

为了定量地描述物体相对于参考系的位置，还需要在参考系上建立坐标系（coordinates）。最常用的坐标系是如图1-1所示的直角坐标系，质点P的位置可由直角坐标 $ (x,y,z) $确定。为了方便起见，分析问题时还可采用极坐标系、球坐标系和自然坐标系等其他坐标系。

描述物体运动的快慢还要涉及时间的概念。运动学中的时间有时是指某时刻，用 t 表示；有时是指一段时间间隔，用 $ \Delta t $ 表示，它是该时间段的终点时刻 $ t_{2} $ 和初始时刻 $ t_{1} $ 之差，即 $ \Delta t = t_{2} - t_{1} $。

时间还包含复杂的物理意义。第六篇近代物理将介绍狭义相对论，对时间测量的相对性的深入分析。

1.2 位置矢量 位移 速度

1.2.1 位置矢量

如图1-1所示，质点P的位置可由直角坐标的三个分量 $ (x,y,z) $确定，也可以用不依赖具体坐标系统的矢量表示。我们可以由坐标原点O向P点作有向直线段 $ \overrightarrow{OP} $，并记作r。r就是定量描写质点所在空间位置的位置矢量（position vector），简称

位矢。参考本书附录 A，请读者验证，位置矢量满足线性代数定义的矢量性质。

位矢 r 与它在坐标轴上的分量 $ (x, y, z) $ 是一一对应的，分量又称投影量。如图 1-1 所示，以 i, j, k 分别表示 x, y, z 轴方向上的单位矢量，则

$$ r=xi+yj+zk $$

矢量 r 的大小与分量的关系为

$$ r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} $$

位矢与各坐标轴 x, y, z 的夹角 $ \alpha $, $ \beta $, $ \gamma $ 可以完全确定位矢的方向。位矢的三个分量决定它的方向角余弦，即

$$ \cos\alpha=\frac{x}{r},\quad\cos\beta=\frac{y}{r},\quad\cos\gamma=\frac{z}{r} $$

当质点在空间运动时，位置矢量或者它的直角坐标分量 $ (x,y,z) $都是时间t的函数，即

$$ x=x(t),\quad y=y(t),\quad z=z(t) $$

或者

$$ \boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(\text{t}) $$

公式(1-4)和公式(1-5)都称为质点的运动方程，前者是运动方程的分量形式，后者为矢量形式。显然，质点运动方程的分量形式和矢量形式等效地描述质点的位置随时间改变的过程和具体方式。

质点在空间中连续经过的各点连成的曲线称为质点运动的轨迹，表示质点运动轨迹的方程称为轨迹方程。运动轨迹不涉及时间，如果消除方程(1-4)中的时间参量t，就得到质点的轨迹方程，即

$$ f(x,y,z)=0 $$

例如，在太阳参考系中，地球的运动轨迹近似为一个椭圆。读者可以尝试以太阳为坐标原点建立直角坐标系，写出地球运动的轨迹方程。

1.2.2 位移

在一段时间内质点位矢的增量(我们规定增量是末量减去初量)称为它在该段时间内的位移(displacement)。两个矢量加减运算的结果仍然是一个矢量，所以位移也常常称为位移矢量。如图1-2所

示，在某时刻 t，质点位于 A 点，其位矢为 $ \boldsymbol{r}_{A} $；在 $ t+\Delta t $ 时刻，质点移动到了 B 点，其位矢记为 $ \boldsymbol{r}_{B} $。则质点在 $ \Delta t $ 时间内的位移为

$$ \Delta\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}_{B}-\boldsymbol{r}_{A} $$

$ \Delta r $ 是由 A 点指向 B 点的矢量。在直角坐标系中

$$ \Delta\boldsymbol{r}=\left(x_{B}-x_{A}\right)\boldsymbol{i}+\left(y_{B}-y_{A}\right)\boldsymbol{j}+\left(z_{B}-z_{A}\right)\boldsymbol{k} $$

其中各分量的增量分别为

$$ \Delta x=x_{B}-x_{A},\quad\Delta y=y_{B}-y_{A},\quad\Delta z=z_{B}-z_{A} $$

图1-2中AB连线的长度表示位移的大小， $ \left|\Delta r\right|=\sqrt{\left(\Delta x\right)^{2}+\left(\Delta y\right)^{2}+\left(\Delta z\right)^{2}} $

1.2.3 速率和速度

在日常生活中，人们习惯用“速度”(velocity)的大小来描述物体运动的快慢；但严格说来，这并不是物理学中定义的速度矢量，而是速率(speed)。质点运动经历的路程 $ \Delta s $ 与耗费的时间 $ \Delta t $ 的比值就是它在该时段内的平均速率，用 $ \bar{v} $ 表示，即

$$ \overline{v}=\frac{\Delta s}{\Delta t} $$

平均速率还不足以描述质点每时每刻运动的快慢。按照微积分的思想，上式中 $ \Delta t $ 趋近于零时 $ \bar{v} $ 的极限值定义为质点在该时刻 t 的瞬时速率（简称速率），即

$$ v(t)=\lim_{\Delta t\to0}\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} $$

质点运动的路程 $ \Delta s $ 和它的速率都未说明质点运动的方向。为了更完整地描述质点的运动状态，我们把质点位移 $ \Delta r $ 与时间间隔 $ \Delta t $ 的比值称为质点在这段时间内的平均速度，以 $ \bar{v} $ 表示，即

$$ \overline{v}=\frac{\Delta r}{\Delta t} $$

显然，平均速度 $ \bar{v} $也是矢量，它的方向就是位移的方向。

在质点运动快慢和方向不断改变的情况下，平均速度还不能描述质点运动的细致的特征。为此我们需要考虑时间间隔 $ \Delta t \to 0 $ 时平均速度的极限值，它称为 t 时刻质点的瞬时速度（简称为速度）

视频：速度

$$ v(t)=\lim_{\Delta t\to0}\frac{\Delta r}{\Delta t}=\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t} $$

即速度是位矢对时间的一阶导数。速度是矢量，其方向就是 $ \Delta t $ 趋近于零时 $ \Delta r $ 的方向。如图1-2所示，通过A点时的速度的方向就是质点运动轨迹在该点的切线

方向。

将式(1-1)代入式(1-13)，由于i,j,k为常矢量，可得

$$ v(t)=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}i+\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}j+\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}k $$

质点速度沿 x, y, z 坐标轴的三个分量都是代数量，且

$$ v_{x}=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t},\quad v_{y}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t},\quad v_{z}=\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} $$

则速度的大小可表示为

$$ v=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}=\sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)^{2}+\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)^{2}+\left(\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\right)^{2}} $$

如果长度和时间分别以 m(米) 和 s(秒) 为单位，则速率和速度的单位都是 $ m \cdot s^{-1} $

必须指出，位移矢量 $ \Delta r $ 的大小 $ |\Delta r| $ 不能写成 $ \Delta r $，我们定义 $ \Delta r = r(t + \Delta t) - r(t) $。

它是位矢的模的增量。因而一般来讲， $ v \neq \mathrm{dr}/\mathrm{dt} $。如图1-3所示，地球绕太阳做椭圆运动， $ t $时刻位于 $ A $点， $ t + \Delta t $时刻运动至 $ B $点，则 $ \widehat{AB} $为路程 $ \Delta s $， $ |AB| $为位移大小，而以太阳为圆心，以 $ |r(t)| $为半径画圆弧交 $ OB $于 $ C $点，则 $ |CB| $为位矢的模的增量 $ \Delta r $。在图1-3中， $ \Delta s > |\Delta r| > \Delta r $。

另外，请读者自行证明：虽然平均速度的大小通常都小于同一运动过程的平均速率，但是速度的大小却严格等于该时刻的速率。

最后，表1-1给出了一些实际运动过程速度大小的典型值，建议读者自己补充这些数据，以加深对运动世界的直觉认识。

单位： $ m \cdot s^{-1} $

186

1.3 加速度

1.3.1 加速度

质点运动速度的方向和大小随时间改变的快慢是质点运动的重要特征，以加速度（acceleration）定量描写。如图1-4所示，设t和 $ t+\Delta t $时刻质点运动的速度分别是 $ v(t) $和 $ v(t+\Delta t) $，速度增量为 $ \Delta v=v(t+\Delta t)-v(t) $，则

这段时间内质点运动的平均加速度定义为

$$ \overline{a}=\frac{\Delta v}{\Delta t} $$

进一步取极限 $ \Delta t \to 0 $，平均加速度将过渡为 t 时刻质点运动的瞬时加速度，简称加速度，以 a 表示，即

$$ a=\lim_{\Delta t\to0}\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} $$

速度大小或方向的改变都是加速过程,可以给

出非零的加速度，参见下一节中式(1-25)。利用速度的定义式(1-13)，加速度还可表示为位置矢量随时间变化的二阶导数，即

$$ a=\frac{\mathrm{d}^{2}r}{\mathrm{d}t^{2}} $$

由式(1-14)和式(1-19)还可得到直角坐标系中加速度的表达式，即

$$ a=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}v_{x}}{\mathrm{d}t}i+\frac{\mathrm{d}v_{y}}{\mathrm{d}t}j+\frac{\mathrm{d}v_{z}}{\mathrm{d}t}k=\frac{\mathrm{d}^{2}x}{\mathrm{d}t^{2}}i+\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}t^{2}}j+\frac{\mathrm{d}^{2}z}{\mathrm{d}t^{2}}k $$

结合在直角坐标系中加速度 a 的矢量表达式

$$ a=a_{x}i+a_{y}j+a_{z}k $$

则它的三个分量可分别表示为

$$ a_{x}=\frac{\mathrm{d}v_{x}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}^{2}x}{\mathrm{d}t^{2}},\quad a_{y}=\frac{\mathrm{d}v_{y}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}t^{2}},\quad a_{z}=\frac{\mathrm{d}v_{z}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}^{2}z}{\mathrm{d}t^{2}} $$

加速度的大小与三个分量的关系为

$$ a=\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}} $$

在国际单位制(见2.3单位制和量纲)中，加速度单位是 $ \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-2} $。表1-2给出了一些典型运动过程的加速度，供读者参考。

单位： $ m \cdot s^{-2} $

【例1-1】已知质点在Oxy平面内运动，其运动方程是 $ x=R\cos\omega t $， $ y=R\sin\omega t $。式中 $ R,\omega $均为正常量。求：(1)质点的轨迹方程；(2)质点在任意时刻的位矢、速度

和加速度；(3) 质点在 $ t_{1}=0 $ 到 $ t_{2}=3\pi/2\omega $ 时间内的位移。

解 （1）由运动方程消去时间参量 t，可得质点轨迹方程

$$ x^{2}+y^{2}=R^{2} $$

对比式(1-5)，可知此运动过程的轨迹函数为

$$ f(x,y)=x^{2}+y^{2}-R^{2}=0 $$

质点的运动轨迹是如图1-5所示的一个半径为R的圆。

(2) 任意 t 时刻质点位矢为

$$ \boldsymbol{r}=\boldsymbol{x}\boldsymbol{i}+\boldsymbol{y}\boldsymbol{j}=R\cos\omega t\boldsymbol{i}+R\sin\omega t\boldsymbol{j} $$

质点的速度矢量为

$$ v=\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}=-R\omega\sin\omega t i+R\omega\cos\omega t j $$

速度大小 $ v = |v| = R\omega $ 为常量，质点做匀速圆周运动。

质点加速度为

$$ a=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=-R\omega^{2}\cos\omega t i-R\omega^{2}\sin\omega t j $$

并且 $ v \cdot r = 0, a = -\omega^2 r $，表示质点运动速度 $ v $的方向始终垂直于位置矢量 $ r $，加速度 $ a $的方向与 $ r $方向相反，指向圆心。沿固定圆周匀速运动的物体（质点）的加速度始终指向圆心，又称为向心加速度。

（3）根据题中给出的运动方程，可以得到在 $ t_{1}=0 $ 和 $ t_{2}=\frac{5\pi}{2\omega} $，质点的位置矢量分别为 $ \boldsymbol{r}_{1}=R\boldsymbol{i} $ 和 $ \boldsymbol{r}_{2}=-R\boldsymbol{j} $，即质点分别处于图1-5中的 $ P_{1} $ 和 $ P_{2} $ 点，所以位移矢量为

$$ \Delta\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}_{2}-\boldsymbol{r}_{1}=-R\boldsymbol{i}-R\boldsymbol{j} $$

就是由 $ P_1 $ 指向 $ P_2 $ 的有向线段 $ \overrightarrow{P_1P_2} $。位移 $ \Delta r $ 的大小 $ |\Delta r| = \sqrt{2}R $，位移矢量与 $ x $ 轴正向的夹角 $ \alpha = 5\pi/4 $。

1.3.2 切向加速度与法向加速度

例1-1详细地研究了一个质点在给定平面内做匀速圆周运动的过程。在此基础上，我们可以推广研究质点在给定平面内的一般运动过程，统称为质点平面曲线运动问题。

如图1-6所示，如果质点沿任意轨道做平面曲线运动，则其速度方向总是沿轨道切线方向 $ e_{t} $。在质点运动的轨迹上任选O点作为参考原点，此时t=0，用s表示此后质点运动经过的路程。我们在运动轨道上任一点建立正交坐标系，其一坐标轴沿轨道切线方向 $ e_{t} $，以运动的前进方向为正方向，即与质点速度方向相同；而另一坐标轴沿轨道法线方向 $ e_{n} $，正方向指向轨道凹的一侧。 $ e_{t} $和 $ e_{n} $分别代表切线和法线方向的单位矢量，并且随质点所在位置不同而改变。这种沿质点轨迹建立的坐标系，称为自然坐标系（natural coordinates）。

这样，自然坐标系中质点的速度可以普遍地表示为

$$ \boldsymbol{v}=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\boldsymbol{e}_{t}=\boldsymbol{v}\boldsymbol{e}_{t} $$

式中 $ v=\frac{ds}{dt} $ 正是质点的速率，且 $ v\geqslant0 $。再根据式(1-18)可以得到自然坐标系中质点运动加速度的一般表达式

$$ a=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}e_{t}+v\frac{\mathrm{d}e_{t}}{\mathrm{d}t} $$

注意到

$$ e_{1}\cdot\frac{\mathrm{d}e_{1}}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}(e_{1}\cdot e_{1})}{\mathrm{d}t}=0 $$

式(1-25)右边两项总是互相垂直。第一项的大小为速率随时间的变化率，与瞬时速度方向相同，沿切线方向，称为切向加速度(tangential acceleration)，即

$$ a_{t}=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}e_{t}=\frac{\mathrm{d}^{2}s}{\mathrm{d}t^{2}}e_{t} $$

式(1-25)右边第二项是切线方向单位矢量 $ e_t $ 随时间的变化率与速率的乘积，始终指向平面曲线的凹侧法向 $ e_n $，称为法向加速度（normal acceleration），记为 $ a_n $。根据高等数学知识，任意曲线轨迹总可以分解为一系列不同半径的小圆弧，因而曲线运动总可以看成是一系列不同半径的圆周运动。为不失一般性，可以假设质点在 $ P_1 $ 点做半径为 $ \rho $ 的圆周运动。如图1-7(a)所示，若在 $ P_1 $ 和 $ P_2 $ 处的切向单位矢量分别记为 $ e_{t1} $ 和 $ e_{t2} $，则 $ \Delta e_t = e_{t2} - e_{t1} $。由于 $ |e_t| = 1 $，所以 $ e_{t1} $ 和 $ e_{t2} $ 与 $ \Delta e_t $ 组成如图1-7(b)所示的等腰三角形。注意到法线方向与切线方向的角度改变始终保持一致，所以 $ \Delta e_t $ 的大小 $ |\Delta e_t| = |e_t \Delta \theta| = \Delta \theta = \mathrm{d}s/\rho $，当 $ P_2 $ 点无限趋近于 $ P_1 $ 点时， $ \Delta e_t $ 的方向趋近于与 $ e_{t1} $ 垂直，即为 $ e_n $ 的方向，并且

$$ \mathrm{d}e_{t}=\mathrm{d}\theta e_{n}=\frac{\mathrm{d}s}{\rho}e_{n} $$

所以法向加速度可以一般地表示为

$$ \boldsymbol{a}_{n}=v\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{e}_{t}}{\mathrm{d}t}=v\frac{\mathrm{d}s\boldsymbol{e}_{n}}{\rho\mathrm{d}t}=\frac{v^{2}}{\rho}\boldsymbol{e}_{n} $$

在自然坐标系中,做平面曲线运动的质点的加速度a可以一般地表示为

$$ \boldsymbol{a}=\boldsymbol{a}_{t}+\boldsymbol{a}_{n}=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\boldsymbol{e}_{t}+\frac{v^{2}}{\rho}\boldsymbol{e}_{n} $$

其中切向加速度和法向加速度分别反映质点运动速率和速度方向的改变。如果质点沿直线运动，显然只有切向加速度，而法向加速度为零，此时运动轨迹的曲率半

径 $ \rho=\infty $，由式(1-28)的第二项给出同样的结果。如果质点做匀速圆周运动，则切向加速度为零，此时运动轨迹的曲率半径就是圆周的半径，即 $ \rho=R $，根据式(1-28)的第二项给出读者在中学物理中已经了解的结果，也就是例1-1已经推导得到的向心加速度 $ a_{n}=\frac{v^{2}}{R}e_{n} $。

根据式(1-28)还可以计算出做平面曲线运动的质点加速度的大小

$$ a=\sqrt{a_{t}^{2}+a_{n}^{2}}=\sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\right)^{2}+\left(\frac{v^{2}}{\rho}\right)^{2}} $$

以及加速度方向与切向的夹角

$$ \theta=\arctan\frac{a_{n}}{a_{t}} $$

如图1-8所示。

【例1-2】汽车在半径 $ R=300.0\ m $的轨道上加速运动，在 $ 0\leq t\leq\frac{100}{3}\ s $内，其路程与时间的关系为 $ s=5.0t^{2}-0.1t^{3} $。求 $ t=1.0\ s $时，汽车的加速度大小。

解 观察汽车车身上的某一点，汽车运动问题简化为质点的圆周运动。在任意时刻 t，质点运动的速率为

$$ v=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=10t-0.3t^{2} $$

所以它的切向加速度和法向加速度的大小分别为

$$ a_{t}=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=10-0.6t\quad 和 \quad a_{n}=\frac{v^{2}}{R}=\frac{\left(10t-0.3t^{2}\right)^{2}}{300} $$

因而总加速度矢量为

$$ a=(10-0.6t)e_{t}+\frac{(10t-0.3t^{2})^{2}}{300}e_{n} $$

代入 $ t=1.0 \, s $，计算可得加速度为

$$ a=(9.4e_{t}+0.314e_{n})\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-2} $$

由此可以计算出 t=1.0 s 时，汽车的加速度大小为

$$ a=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{n}^{2}}=9.41\mathrm{~m}\cdot\mathrm{s}^{-2} $$

1.3.3 圆周运动中的角量和线量

圆周运动是一般平面曲线运动的简单特例。它的质点的运动轨迹为一圆周，运动曲线上各处曲率半径相同。

设质点被限制在半径为 R 的圆周上运动。建立如图 1-9 所示的 Oxy 平面坐标

系，以 $ \theta $表示质点位矢与x轴正向的夹角，称为角位置，以 $ \Delta\theta $表示位矢转过的角度，称为角位移（angular displacement）。圆心角 $ \theta $对应的弧长为

$$ s=\theta R $$

（建议读者思考这样的处理与自然坐标系的异同。）

根据式(1-11)，质点的速率为

$$ v=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=R\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} $$

也称为质点做圆周运动的线速度(linear velocity)，相应的角速度(angular velocity)大小为

$$ \omega=\lim_{\Delta t\to0}\frac{\Delta\theta}{\Delta t}=\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} $$

如果角度的大小和时间分别以 $ \text{rad} $（弧度）和 $ \text{s} $（秒）来度量，则角速度的单位为 $ \text{rad} \cdot \text{s}^{-1} $。角速度是一个矢量，它的大小由式（1-32）决定，它的方向沿转轴（图 1-9 中，转轴过 O 点，垂直于 Oxy 平面），由右手螺旋定则确定：右手四指握住转轴，沿质点转动方向，拇指的指向即为角速度矢量 $ \omega $ 的方向。在图 1-9 中，角速度矢量 $ \omega $ 的方向垂直于纸面向外。

质点做圆周运动的位置可以采用线量 s 和角量 $ \theta $ 等效描述。以式(1-30)为基础，能够推导出两者之间全部一一对应关系。式(1-31)给出的线速度与角速度两者之间的关系可以明确为

$$ v=R\omega $$

质点角速度对时间的导数定义为角加速度（angular acceleration），即

$$ \alpha=\frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}^{2}\theta}{\mathrm{d}t^{2}} $$

它的单位是 rad · s^{-2}。质点做圆周运动时切向加速度和法向加速度的大小分别为

$$ a_{t}=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(R\omega)=R\alpha $$

不难验证，质点做匀速圆周运动的角加速度和切向加速度都为零；根据需要，它的法向加速度可以表示为线速度 v 或角速度 $ \omega $ 的形式。如果角加速度为常量，即质点做匀加速圆周运动，我们还可以得出一组有用的公式

$$ \left.\begin{array}{l}\omega=\omega_{0}+\alpha t\\ \theta=\theta_{0}+\omega_{0}t+\frac{1}{2}\alpha t^{2}\\ \omega^{2}=\omega_{0}^{2}+2\alpha\left(\theta-\theta_{0}\right)\end{array}\right\} $$

其中 $ \omega_{0} $ 和 $ \theta_{0} $ 分别表示 t=0 初始时刻的角速度和角位置。式(1-37)中的三个公式与中学时大家熟知的质点做匀加速直线运动的公式在形式上类似。

1.4 时间和空间的测量

物理学是一门实验科学，必须对各种物理量进行测量。测量的结果包括所得的数值及所用的单位（unit）两部分。例如，我们说某人的身高为1.85米，这里“米”就是计量的单位，“1.85”则是以米为单位测量此人的身高所得的“数值”。为了定量确定质点的位置和运动快慢，长度和时间是两个基本的物理量。

1.4.1 时间的测量及时标

时间是用来确定一系列事件发生前后关系的物理量。在实际生活中，确定时间的单位有年月日等。在物理学中，常常以“秒(second)”为单位来测量时间。过去曾规定平均太阳日的1/86400为1秒，这是以地球自转周期作为时间计量基准。由于地球自转逐渐变慢，平均太阳日逐渐增长。为了提高测量精度，1967年重新定义时间计量基准是：1秒的长度等于铯-133原子基态的两个超精细能级之间跃迁所对应的辐射的9192631770个周期的持续时间。宇宙间各种物理过程的时标跨越了43~44个数量级，见表1-3。

1.4.2 长度的测量及尺度

长度用于确定空间中两点之间的距离。公里、尺和米等都是我们在实际生活中常用的长度单位。在物理学研究中，我们常常采用“米(meter)”为长度的单位。

历史上“米”曾被定义为通过巴黎的子午线从北极到赤道之间长度的千万分之一。后来将保存在巴黎国际计量局中的铂铱合金棒在 $ 0^{\circ} $C时两条刻线间的距离规定为1m。1983年国际计量大会通过了更加精确可靠的标准：光在真空中（1/299 792 458）s时间间隔内所经路径的长度。目前，在物理学研究的领域中，空间尺度跨越了42个数量级，见表1-4。

单位：m

1.5 质点运动学中的两类基本问题

运动学要解决两类基本问题，一类是已知质点的运动方程，求质点任意时刻的速度和加速度；另一类是已知质点的加速度和初值条件（即质点在某一初始时刻 $ t_{0} $的位置和速度），求质点在任意时刻的速度和运动方程。求解第一类问题就是由质点位置坐标函数对时间t求导数；与此相反，求解第二类问题是由质点运动的加速度和速度函数对时间t求积分。从数学的观点看，第二类问题是第一类问题的逆问题，即

$$ 第一类问题 :r\xrightarrow{ 求导 }v\xrightarrow{ 求导 }a $$

$$ 第二类问题 :\boldsymbol{r}\xleftarrow[ 积分 ]{}\boldsymbol{v}\xleftarrow[ 积分 ]{}\boldsymbol{a} $$

本节通过几个特例帮助读者了解求解运动学问题的基本方法和技巧。

1.5.1 第一类基本问题举例

【例 1-3】如图 1-10 所示，在离水面高度为 h 的岸边，绞车以匀速率 $ v_{0} $ 收绳拉船，求船离岸边 x 远处时的速度。

解 建立坐标系 Ox 如图 1-10 所示，连接船与绞车的绳长 r 与船的位置坐标 x 的关系为

$$ x=\left(r^{2}-h^{2}\right)^{1/2} $$

故船速为

$$ v_{x}=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\frac{r}{\sqrt{r^{2}-h^{2}}}\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}=\frac{\sqrt{h^{2}+x^{2}}}{x}\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t} $$

根据题中给定的条件绳长 r 随时间变短，并且

$$ \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}=-v_{0} $$

所以

$$ v_{x}=-\frac{\sqrt{h^{2}+x^{2}}}{x}v_{0} $$

式中负号表示船速度方向与 x 轴方向相反。该结果也可以写成矢量形式

$$ v=-\frac{\sqrt{h^{2}+x^{2}}}{x}v_{0}i $$

请读者自己进一步求出船的加速度表达式

$$ a_{x}=-\frac{v_{0}^{2}h^{2}}{x^{3}} $$

由以上计算结果可以看出，如果船已经抵达岸边，即 x=0，船的速度和加速度都趋于无穷大。请读者讨论应该如何理解这样反常的结果。

1.5.2 第二类基本问题举例

【例1-4】抛体运动。如图1-11所示，以速度 $ v_{0} $、抛射角 $ \theta $（抛掷方向与水平方向的夹角）抛出一物体。忽略空气阻力及风的作用，确定物体的运动方程。

解 物体在由初速度方向和竖直线所确定的平面内运动做平面曲线运动。建立如图1-11所示的Oxy坐标系。以质点模型来描述该物体，它的加速度始终为重力加速度 $ g\approx9.8\ m\cdot s^{-2} $，并且

$$ a_{x}=0,\quad a_{y}=-g $$

或者

$$ a=-g j $$

质点的初始位置设为坐标原点 O，则 $ x_{0}=0, y_{0}=0 $。质点的初始速度为 $ v_{0} $，即

$$ v_{x0}=v_{0}\cos\theta,\quad v_{y0}=v_{0}\sin\theta $$

$$ v_{0}=v_{0}\cos\theta\,i+v_{0}\sin\theta\,j $$

这是一个标准的匀加速运动问题。对加速度方程

$$ \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=-g\boldsymbol{j} $$

分离变量，可得 $ \mathrm{d}v = -gj\mathrm{d}t $，积分 $ \int_{v_0}^{v} \mathrm{d}v = \int_{0}^{t} -gj\mathrm{d}t $，可得

$$ v=v_{0}\cos\theta i+(v_{0}\sin\theta-gt)j $$

上式可以改写为

$$ \mathrm{d}\boldsymbol{r}=\left[v_{0}\cos\theta\boldsymbol{i}+(v_{0}\sin\theta-g t)\boldsymbol{j}\right]\mathrm{d}t $$

$$ \boldsymbol{r}(t)=v_{0}t\cos\theta\boldsymbol{i}+\left(v_{0}t\sin\theta-\frac{1}{2}gt^{2}\right)\boldsymbol{j} $$

对上式积分，可得运动方程

上式也可以写成分量形式，即

$$ x=v_{0}t\cos\theta,\quad y=v_{0}t\sin\theta-\frac{1}{2}gt^{2} $$

我们可以看到，质点在两个互相垂直的方向上的运动互相独立，在 x 方向和 y 方向分别做匀速运动和竖直上抛运动。

讨论：

（1）如果 $ \theta=90^{\circ}, v_{x0}=0 $ ，则物体做竖直上抛运动， $ x(t)=0 $ ，且

$$ y=v_{0}t-\frac{1}{2}gt^{2} $$

上式也可以改写为

$$ y=\frac{v_{0}^{2}}{2g}-\frac{g}{2}\left(t-\frac{v_{0}}{g}\right)^{2} $$

容易看出物体竖直上抛能够达到的最大高度为

$$ y_{\max}=\frac{v_{0}^{2}}{2g} $$

（2）如果 $ \theta=0,v_{y0}=0 $，则物体做平抛运动，并且

$$ x=v_{0}t,\quad y=-\frac{1}{2}gt^{2} $$

（3）如果 $ v_{x0}\neq0 $，即 $ \theta\neq90^{\circ} $，我们可以得到抛体运动的轨迹方程为

$$ y=(\tan\theta)x-\frac{1}{2}\left(\frac{g}{v_{0}^{2}\cos^{2}\theta}\right)x^{2} $$

这是一条通过原点的二次曲线，数学上也称此类曲线为抛物线。

建议读者自行证明，质点飞行能达到的最大高度 $ y_{max} $ 和射程 $ x_{max} $ [质点落到与抛出点同样高度 (y=0) 时所通过的水平距离] 分别为

$$ y_{\max}=\frac{v_{0}^{2}\sin^{2}\theta}{2g},\quad x_{\max}=\frac{v_{0}^{2}\sin2\theta}{g} $$

上式表明，当初速度大小一定时，以 $ 45^{\circ} $抛出物体的射程最大。

应当指出，由于空气阻力等因素的影响，实际物体在空中飞行的规律与上述公式有较大差别。例如以 $ 550 \, m \cdot s^{-1} $ 初速沿 $ 45^{\circ} $ 抛射角射出的子弹，按上述公式计算，射程为 $ 30 \, km $，但实际射程不过 $ 8 \, km $ 多一些。在球场上我们甚至还可能观察到足球运动的轨道发生侧向弯曲，这都不是我们的质点模型可以说明的问题。

1.5.3 一维运动

质点做一维直线运动，我们只需用位矢、速度、加速度在 x 轴的分量 x, $ v_{x} $, $ a_{x} $ 来

描写，并略去 $ v_{x}, a_{x} $ 的下标 x，即用 x, v, a 描写质点的运动，这里 x, v, a 是可以为负值的投影量，且 $ v = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} $， $ a = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}^{2}x}{\mathrm{d}t^{2}} $。

【例1-5】考虑空气阻力对物体竖直上抛过程的影响。设物体竖直上抛的初速度为 $ v_{0} $，空气阻力产生的加速度为 $ -kv $，其中k为常量，负号表示阻力产生的加速度与物体的运动方向相反。求物体上升过程中的速度。

解 在竖直上抛过程中,物体始终受到重力和空气阻力的作用,速度随时间变化的方程为

$$ \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=-g-kv $$

采用分离变量的方法，上式可以改写为

$$ \frac{\mathrm{d}v}{g+kv}=-\mathrm{d}t $$

两边积分

$$ \int_{v_{0}}^{v}\frac{\mathrm{d}v}{g+kv}=-\int_{0}^{t}\mathrm{d}t $$

可得

$$ v(t)=\left(v_{0}+\frac{g}{k}\right)\mathrm{e}^{-kt}-\frac{g}{k} $$

如果以抛出点的为 y 轴的原点，我们还可以得到抛体的运动方程为

$$ y=\left(\frac{v_{0}}{k}+\frac{g}{k^{2}}\right)(1-\mathrm{e}^{-kt})-\frac{gt}{k} $$

请读者作为练习自己证明这一结果。

1.6 伽利略变换 相对运动

在 1.1 节我们已经强调，只有指明确定的参照物或参考系，才能够描述物体的运动。在日常生活中，人们很少刻意强调某个特定的参考系。大多数情况下，我们都习惯选用地面为参考系，所以地面参考系又称为基本参考系。但有时为了方便也选用其他参考系，如在行驶的火车上的乘客选用车厢作为参考系。

选择适当的参考系，可以极大地简化物体的运动图像。例如，选择地球参考系，行星和太阳的运动显得非常复杂而诡异；如果选择太阳参考系，则各大行星和地球的轨道都非常接近于简单的椭圆。从力学和天文学的角度来看，哥白尼（Nicolaus Copernicus，1473—1543）“日心说”与托勒密（C. Ptolemy，约90—168）“地心说”

文档：哥白尼

的差别不过是以太阳参考系取代地球参考系。

在实际中可以自由选择不同的参考系描述一个物体或质点的运动，从一个参考系到另一个参考系的变换也不难实现，即确定同一质点的位置矢量、速度和加速度在不同参考系中的观察值之间的对应关系，即伽利略变换关系。

1.6.1 伽利略变换

只要选定了参考系，就可以确定和研究一个物体或质点的运动过程，也就是说，完全可以自由地选择不同的参考系来描述物体或质点的运动。不失一般性，我们将两个不同的参考系分别称为 S 和 S'。

为了定量地研究空间某点 P 处质点（或粒子）的运动状态，我们需要确定它什么时间处于哪个位置。为此，在参考系 S 中需要定义一个时空坐标系统，例如 Oxyz 直角坐标系和公共的时间 t；类似地，在参考系 S' 中也需要定义一个时空坐标系统，即如图 1-12 所示的 $ O^{\prime}x^{\prime}y^{\prime}z^{\prime} $ 直角坐标系和公共的时间 $ t^{\prime} $。

质点于某时刻处于空间某点 P，这一物理事件在两个不同的时空坐标系统中关于时间和位置矢量各有自己的测量结果，在参考系 S 和 S' 中分别记为 t 和 $ t' $，以及 $ \pmb{r}_{PO} $ 和 $ \pmb{r}_{PO'} $，它们存在简单关系

$$ \begin{array}{r}{\pmb{r}_{P0}=\pmb{r}_{P0^{\prime}}+\pmb{r}_{O^{\prime}O}}\end{array} $$

其中 $ r_{0'0} $表示S'系的原点O'相对于S系的原点O的位置矢量。时间零点的选取也不必相同，即

$$ t^{\prime}=\dot{t}-t_{0} $$

以上两式(1-39)和(1-38)简单明了，反映了人们关于空间和时间的基本认识，称为伽利略时间和空间坐标变换。没有特别的理由，读者不会怀疑它们的正确性。

当然，在考虑两个参考系相互做匀速直线运动的简单情况时，我们常常以 S 和 S' 坐标系原点重合的时刻为共同的时间零点，两个直角坐标系的对应坐标轴互相平行，当 S' 系沿 S 系 x 轴的正向以匀速 v 运动时，伽利略时间和空间坐标变换关系常常简单写作

$$ \left.\begin{array}{l}x^{\prime}=x - v t\\ y^{\prime}=y \\ z^{\prime}=z \\ t^{\prime}=t\end{array}\right\} $$

在第六篇近代物理第21章关于狭义相对论的章节中，还会讨论高速运动情形下如何修正我们关于空间和时间基本性质的认识，并以更普遍有效的洛伦兹（Hendrik Antoon Lorentz，1853—1928）变换关系取代这里的伽利略变换关系。

1.6.2 相对运动

物体或质点在给定的参考系中的速度和加速度等物理量都必须要用该参考系的时间和空间坐标来度量。例如，在 S' 和 S 中的速度和加速度矢量分别定义为

$$ \boldsymbol{v}_{PO^{\prime}}=\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}_{PO^{\prime}}}{\mathrm{d}t^{\prime}},\quad\boldsymbol{v}_{PO}=\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}_{PO}}{\mathrm{d}t} $$

和

$$ \boldsymbol{a}_{PO^{\prime}}=\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{v}_{PO^{\prime}}}{\mathrm{d}t^{\prime}},\quad\boldsymbol{a}_{PO}=\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{v}_{PO}}{\mathrm{d}t} $$

利用式(1-38)和式(1-39)可得

$$ \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}_{PO}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}_{PO^{\prime}}}{\mathrm{d}t^{\prime}}+\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}_{O^{\prime}O}}{\mathrm{d}t} $$

即

$$ \pmb{v}_{P0}=\pmb{v}_{P0^{\prime}}+\pmb{v}_{0^{\prime}0} $$

其中右边第二项是参考系 S' 的原点 O' 相对于参考系 S 的速度

$$ v_{0^{\prime}0}=\frac{\mathrm{d}r_{0^{\prime}0}}{\mathrm{d}t} $$

所以等式(1-44)给出了同一物体或质点在两个相对运动的参考系中的速度变换关系，也称为伽利略速度变换关系。

再对等式(1-44)两边时间求导数，可以给出不同参考系中加速度之间的变换关系

$$ \boldsymbol{a}_{P0}=\boldsymbol{a}_{P0^{\prime}}+\boldsymbol{a}_{0^{\prime}0} $$

如果 $ v_{0'0} $为常量，则 $ a_{0'0}=0 $，并且

$$ \boldsymbol{a}_{PO}=\boldsymbol{a}_{PO^{\prime}} $$

所以，在两个相对做加速运动的参考系中，同一物体运动的加速度取不同的值，而在相对做匀速直线运动的参考系中，同一物体都具有相同的加速度。这一简单结论在第3章关于质点运动的动力学理论中将起重要作用。

【例1-6】 在一条东流水速为 $ 2.0 \, \text{km} \cdot \text{h}^{-1} $ 的河中，轮渡相对于水面以 $ 3.6 \, \text{km} \cdot \text{h}^{-1} $ 的时速向正北方向航行，求：（1）轮渡相对岸边的速度；（2）若轮渡相对水面的速率不变，轮渡要相对岸向正北航行，求轮渡相对水的速度方向及相对岸的速度。

解 这是一道典型的相对运动题目。分别以河岸和流水建立两个参考系 S 和 S'，以正东为 x 轴和 x' 轴的正向，以正北为 y 和 y' 轴的正方向，则 S' 相对于 S 的速度为

$$ v_{水岸}=2.0i\mathrm{~km}\cdot\mathrm{h}^{-1} $$

（1）根据速度变换关系

$$ \begin{aligned}\boldsymbol{v}_{ 轮水 }=\boldsymbol{v}_{ 轮岸 }-\boldsymbol{v}_{ 水岸 }\end{aligned} $$

其中 $ v_{轮水}=3.4j\ km\cdot h^{-1} $，所以轮渡相对于河岸地面参考系的速度大小为

$$ v_{ 轮岸 }=\sqrt{v_{ 轮水 }^{2}+v_{ 水岸 }^{2}}=\sqrt{3.6^{2}+2.0^{2}}\ m\cdot h^{-1}=4.1\ m\cdot h^{-1} $$

方向如图1-13(a)所示，为北偏东：

$$ \alpha=\arctan\frac{v_{水岸}}{v_{轮水}}=\arctan\frac{2.0}{3.6}=29.05^{\circ} $$

（2）还是根据速度变化关系，若要轮渡相对河岸地面参考系沿正北航行，即若要求

$$ v_{ 轮岸 x}=0 $$

则如图1-13(b)所示，轮渡相对水面的速度方向必须适当北偏西，且

$$ v_{ 轮水 x}=-v_{ 水岸 x} $$

所以轮渡航向北偏西角度为

$$ \theta=\arcsin\frac{v_{ 水岸 }}{v_{ 轮水 }}=\arcsin\frac{2.0}{3.6}=33.7^{\circ} $$

此时轮渡相对河岸沿正北方向航行的速度大小为

$$ v_{ 轮岸 }=\sqrt{v_{ 轮水 }^{2}-v_{ 水岸 }^{2}}=\sqrt{3.6^{2}-2.0^{2}}\ m\cdot h^{-1}=3.0\ m\cdot h^{-1} $$

习题

1-1 下面几种说法

（1）物体具有恒定的速率，但仍有变化的速度。

（2）物体具有恒定的速度，但仍有变化的速率。

（3）物体具有加速度，但其速度为零。

其中哪些说法是可能的？( )

A. 只有(1)是可能的，(2)、(3)不可能

B. 只有(3)是可能的，(1)、(2)不可能

C. 只有(1)、(3)是可能的，(2)不可能

D. 只有(1)、(2)是可能的，(3)不可能

1-2 下面几种说法

（1）运动物体的加速度越大，物体的速度也越大。

（2）物体在直线上运动时，若物体向前的加速度减小了，则物体前进的速度也随之减小。

（3）物体的加速度的值很大，但物体速度的值可以不变，这是不可能的。其中哪些说法是正确的？（）

A. 只有(1)是正确的，(2)、(3)不正确

B. 只有(2)是正确的，(1)、(3)不正确

C. (1)、(2)、(3)都是正确的

D. (1)、(2)、(3)都是错误的

1-3 设质点的运动方程为 $ x = x(t) $, $ y = y(t) $，在计算质点的速度与加速度的大小时，有人先求出 $ r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $，然后根据 $ v = \frac{dr}{dt} $ 及 $ a = \frac{d^{2}r}{dt^{2}} $ 求得结果；又有人先计算质点的速度与加速度的分量，再合成求得结果，即

$$ v=\sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)^{2}+\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)^{2}}\quad a=\sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}^{2}x}{\mathrm{d}t^{2}}\right)^{2}+\left(\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}t^{2}}\right)^{2}} $$

那么()。

A. 第一种方法正确，第二种方法错误

B. 第二种方法正确，第一种方法错误

C. 两种方法都正确

D. 两种方法都错误

1-4 物体在某一时刻开始运动，在 $ \Delta t $ 时间后，经任一路径回到出发点，此时速度的大小与开始时相同，但方向不同。那么在 $ \Delta t $ 时间内()。

A. 平均速度为零，平均加速度为零

B. 平均速度不为零，平均加速度为零

C. 平均速度为零，平均加速度不为零

D. 平均速度不为零，平均加速度不为零

1-5 质点做曲线运动，若 r 表示位置矢量，s 表示路程，v 表示速度，v 表示速率，a 表示加速度大小， $ a_{t} $ 表示切向加速度大小，则下列表达式中正确的是（）。

A. $ \frac{dv}{dt}=a $, $ \frac{d|r|}{dt}=v $ B. $ \frac{d|v|}{dt}=a_{t} $, $ \left|\frac{dr}{dt}\right|=v $ C. $ \frac{ds}{dt}=v $, $ \left|\frac{dv}{dt}\right|=a_{t} $ D. $ \frac{dr}{dt}=v $, $ \frac{d|v|}{dt}=a $

1-6 一质点沿直线运动，其速度为 $ v=v_{0}e^{-kt} $ （式中 k, $ v_{0} $ 为常量），当 t=0 时，质点的坐标为 x=0，则此质点的运动方程为（）。

A. $ x = \frac{v_{0}}{k} e^{-kt} $ B. $ x = -\frac{v_{0}}{k} e^{-kt} $ C. $ x = \frac{v_{0}}{k} (1 - e^{-kt}) $ D. $ x = -\frac{v_{0}}{k} (1 - e^{-kt}) $

1-7 如题1-7图所示，路灯距地面高度为H，行人身高为h，若人以匀速v背

向路灯行走，则人头的影子移动的速度大小 $ v^{\prime} $等于()。

A. $ \frac{H-h}{H}v $ B. $ \frac{H}{H-h}v $ C. $ \frac{h}{H}v $ D. $ \frac{H}{h}v $

1-8 在相对地面静止的坐标系内，A，B两船都以 $ 2 \, m \cdot s^{-1} $ 的速率匀速行驶，A 船沿 x 轴正向，B 船沿 y 轴正向。今在 A 船上设置与该坐标系方向相同的坐标系 $ (x, y $ 方向的单位矢量为 $ (i, j) $，那么在 A 船上的坐标系中，B 船的速度（以 $ m \cdot s^{-1} $ 为单位）为()。

A. $ 2i+2j $ B. $ -2i+2j $ C. $ -2i-2j $ D. $ 2i-2j $

1-9 一质点在 Oxy 平面内运动，其运动学方程为 $ r=2ti+(19-2t^{2})j $ (SI 单位)。当 t= ___ s 时，质点的位置矢量与速度刚好垂直；当 t= ___ s 时，质点离原点最近；质点的轨迹方程是 ___。

1-10 已知质点的运动方程为 $ x = \omega R t - R \sin \omega t $, $ y = R - R \cos \omega t $, 则 $ t = \frac{\pi}{\omega} $ 时刻质点的位置矢量 $ r = $ ___，速度 $ v = $ ___，加速度 $ a = $ ___。

1-11 一质点沿半径为 R 的圆周运动，在 t=0 时经过 P 点，此后它的速率 v 按 $ v=A+Bt(A,B $ 为常量 $ 变化，则质点沿圆周运动一周再经过 P 点时的切向加速度大小 $ a_{t}= $ ___，法向加速度 $ a_{n}= $ ___。$

1-12 一质点在 Oxy 平面内的运动方程 x=6t, $ y=4t^{2}-8 $ (SI 单位)，则 t=1 s 时，质点的切向加速度 $ a_{t}= $ ___，法向加速度 $ a_{n}= $ ___。

1-13 一质点沿 y 轴做直线运动，其运动学方程是 $ y=4.5t^{2}-2t^{3} $ (SI 单位)，试求：

（1） $ t=1\sim2 $ s, $ t=1\sim1.01 $ s 内质点的位移和平均速度；

（2）t=1 s 和 t=2 s 的瞬时速度和瞬时加速度；

（3） $ t=1\sim2 $ s 内质点所通过的路程；

（4） $ t=1\sim2 $ s 内质点的平均加速度。

1-14 已知质点的运动方程为 $ r = R \cos \omega t + R \sin \omega t j $, $ \omega $ 为一常量，求：

（1）质点的轨迹方程及速度v;

（2）质点的速率 v，并分析质点的旋转方向；