第10章 光的偏振

（2）瞳孔到视网膜的距离为23mm，视网膜上星体的像的直径d多大？

（3）视网膜中央小凹（直径0.25 mm）中的柱状感光细胞约 $ 1.5\times10^{5} $个/mm $ ^{2} $，星体照亮了几个这样的细胞？

9-16 可见光（设波长范围 400~760 nm）垂直照射于一个每厘米刻有 4000 条缝的光栅，问：

（1）利用这个光栅可以产生多少级完整的可见光光谱？

（2）有几级光谱不发生重叠？

9-17 波长为 $ \lambda=600 \, nm $ 的单色光垂直入射在一光栅上，其第二级和第三级明条纹分别出现在 $ \sin\theta_{2}=0.20 $ 与 $ \sin\theta_{3}=0.30 $ 方向上，而第四级缺级。试问：

（1）光栅常量为多大？

（2）光栅上狭缝可能的最小宽度为多大？

（3）按上述选定的a,b值，在屏上呈现多少条明条纹？

9-18 如题9-18图所示，液体槽中的超声波在液体中形成驻波，从而产生周期性的疏密间隔，波腹处的液体密度变化小，光易透过，相当于光栅的透光部分；波节处密度变化大，光不易透过，相当于光栅的不透光部分，因而这样的液体槽可看作是一个透射平

面光栅。若已知超声波的频率为 $ \nu $，光源的波长为 $ \lambda $，透镜 $ L_{2} $ 的焦距为 f，屏位于 $ L_{2} $ 的焦平面上，在屏上相邻两主极大明纹间的距离为 $ \Delta x $，试求超声波在液体中的传播速度和该装置的等效光栅常量。

9-19 题 9-19 图中所示的入射 X 射线束不是单色的，而是含有 0.095~0.130 nm 这一范围内的各种波长。晶体的晶格常量 d=0.275 nm，求出对图示的晶面能产生强反射的各种波长。

$ ^{9-20} $ 一个每毫米均匀刻有200条刻线的光栅，用白光照射，在光栅后放一焦距为 $ f=50\ cm $的透镜，在透镜的焦平面处有一个屏幕，如果在屏幕上开一个 $ \Delta x=1\ mm $宽的细缝，缝的内侧边缘离中央极大中心O为5.0 cm，如题9-20图所示。试求什么波长范围的可见光可通过细缝？（设 $ \theta_{1} $和 $ \theta_{2} $都很小。）

\

在物理学中， $ E=mc^{2} $ 是一个著名的公式，它描述了能量 $ E $ 与质量 $ m $ 之间的关系，其中 $ m $ 是质量， $ c $ 是光速。这个公式揭示了质量和能量可以相互转化的事实。

在物理学中，能量守恒定律是一个基本原理。它表明在一个封闭系统中，能量既不能被创造也不能被消灭，只能从一种形式转化为另一种形式。例如，在一个理想弹簧振子系统中，动能和势能之间的转换遵循这一规律。当物体位于平衡位置时，其动能达到最大值，而势能为零；当物体到达最大位移处时，动能达到最小值，势能则达到最大值。这一过程不仅体现了能量守恒定律，也体现了能量守恒定律的应用。

2023年1月1日，我们共同创建的AI平台正式上线。

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$ S_{1}S_{2}S_{3}S_{4}S_{5}S_{6}S_{7}S_{8}S_{9}S_{10}S_{11}S_{12}S_{13}S_{14}S_{15}S_{16}S_{17}S_{18}S_{19}S_{20}S_{21}S_{22}S_{23}S_{24}S_{25}S_{26}S_{27}S_{28}S_{29}S_{30}S_{31}S_{32}S_{33}S_{34}S_{35}S_{36}S_{37}S_{38}S_{39}S_{40}S_{41}S_{42}S_{43}S_{44}S_{45}S_{46}S_{47}S_{48}S_{49}S_{50}S_{51}S_{52}S_{53}S_{54}S_{55}S_{56}S_{57}S_{58}S_{59}S_{60}S_{61}S_{62}S_{63}S_{64}S_{65}S_{66}S_{67}S_{68}S_{69}S_{70}S_{71}S_{72}S_{73}S_{74}S_{75}S_{76}S_{77}S_{78}S_{79}S_{80}S_{81}S_{82}S_{83}S_{84}S_{85}S_{86}S_{87}S_{88}S_{89}S_{90}S_{91}S_{92}S_{93}S_{94}S_{95}S_{96}S_{97}S_{98}S_{99}S_{100}S_{101}S_{102}S_{103}S_{104}S_{105}S_{106}S_{107}S_{108}S_{109}S_{110}S_{111}S_{112}S_{113}S_{114}S_{115}S_{116}S_{117}S_{118}S_{119}S_{120}S_{121}S_{122}S_{123}S_{124}S_{125}S_{126}S_{127}S_{128}S_{129}S_{130}S_{131}S_{132}S_{133}S_{134}S_{135}S_{136}S_{137}S_{138}S_{139}S_{140}S_{141}S_{142}S_{143}S_{144}S_{145}S_{146}S_{147}S_{148}S_{149}S_{150}S_{151}S_{152}S_{153}S_{154}S_{155}S_{156}S_{157}S_{158}S_{159}S_{160}S_{161}S_{162}S_{163}S_{164}S_{165}S_{166}S_{167}S_{168}S_{169}S_{170}S_{171}S_{172}S_{173}S_{174}S_{175}S_{176}S_{177}S_{178}S_{179}S_{180}S_{181}S_{182}S_{183}S_{184}S_{185}S_{186}S_{187}S_{188}S_{189}S_{190}S_{191}S_{192}S_{193}S_{194}S_{195}S_{196}S_{197}S_{198}S_{199}S_{200}S_{201}S_{202}S_{203}S_{204}S_{205}S_{206}S_{207}S_{208}S_{209}S_{210}S_{211}S_{212}S_{213}S_{214}S_{215}S_{216}S_{217}S_{218}S_{219}S_{220}S_{221}S_{222}S_{223}S_{224}S_{225}S_{226}S_{227}S_{228}S_{229}S_{230}S_{231}S_{232}S_{233}S_{234}S_{235}S_{236}S_{237}S_{238}S_{239}S_{240}S_{241}S_{242}S_{243}S_{244}S_{245}S_{246}S_{247}S_{248}S_{249}S_{250}S_{251}S_{252}S_{253}S_{254}S_{255}S_{256}S_{257}S_{258}S_{259}S_{260}S_{261}S_{262}S_{263}S_{264}S_{265}S_{266}S_{267}S_{268}S_{269}S_{270}S_{271}S_{272}S_{273}S_{274}S_{275}S_{276}S_{277}S_{278}S_{279}S_{280}S_{281}S_{282}S_{283}S_{284}S_{285}S_{286}S_{287}S_{288}S_{289}S_{290}S_{291}S_{292}S_{293}S_{294}S_{295}S_{296}S_{297}S_{298}S_{299}S_{300}S_{301}S_{302}S_{303}S_{304}S_{305}S_{306}S_{307}S_{308}S_{309}S_{310}S_{311}S_{312}S_{313}S_{314}S_{315}S_{316}S_{317}S_{318}S_{319}S_{320}S_{321}S_{322}S_{323}S_{324}S_{325}S_{326}S_{327}S_{328}S_{329}S_{330}S_{331}S_{332}S_{333}S_{334}S_{335}S_{336}S_{337}S_{338}S_{339}S_{340}S_{341}S_{342}S_{343}S_{344}S_{345}S_{346}S_{347}S_{348}S_{349}S_{350}S_{351}S_{352}S_{353}S_{354}S_{355}S_{356}S_{357}S_{358}S_{359}S_{360}S_{361}S_{362}S_{363}S_{364}S_{365}S_{366}S_{367}S_{368}S_{369}S_{370}S_{371}S_{372}S_{373}S_{374}S_{375}S_{376}S_{377}S_{378}S_{379}S_{380}S_{381}S_{382}S_{383}S_{384}S_{385}S_{386}S_{387}S_{388}S_{389}S_{390}S_{391}S_{392}S_{393}S_{394}S_{395}S_{396}S_{397}S_{398}S_{399}S_{400}S_{401}S_{402}S_{403}S_{404}S_{405}S_{406}S_{407}S_{408}S_{409}S_{410}S_{411}S_{412}S_{413}S_{414}S_{415}S_{416}S_{417}S_{418}S_{419}S_{420}S_{421}S_{422}S_{423}S_{424}S_{425}S_{426}S_{427}S_{428}S_{429}S_{430}S_{431}S_{432}S_{433}S_{434}S_{435}S_{436}S_{437}S_{438}S_{439}S_{440}S_{441}S_{442}S_{443}S_{444}S_{445}S_{446}S_{447}S_{448}S_{449}S_{450}S_{451}S_{452}S_{453}S_{454}S_{455}S_{456}S_{457}S_{458}S_{459}S_{460}S_{461}S_{462}S_{463}S_{464}S_{465}S_{466}S_{467}S_{468}S_{469}S_{470}S_{471}S_{472}S_{473}S_{474}S_{475}S_{476}S_{477}S_{478}S_{479}S_{480}S_{481}S_{482}S_{483}S_{484}S_{485}S_{486}S_{487}S_{488}S_{489}S_{490}S_{491}S_{492}S_{493}S_{494}S_{495}S_{496}S_{497}S_{498}S_{499}S_{500}S_{501}S_{502}S_{503}S_{504}S_{505}S_{506}S_{507}S_{508}S_{509}S_{510}S_{511}S_{512}S_{513}S_{514}S_{515}S_{516}S_{517}S_{518}S_{519}S_{520}S_{521}S_{522}S_{523}S_{524}S_{525}S_{526}S_{527}S_{528}S_{529}S_{530}S_{531}S_{532}S_{533}S_{534}S_{535}S_{536}S_{537}S_{538}S_{539}S_{540}S_{541}S_{542}S_{543}S_{544}S_{545}S_{546}S_{547}S_{548}S_{549}S_{550}S_{551}S_{552}S_{553}S_{554}S_{555}S_{556}S_{557}S_{558}S_{559}S_{560}S_{561}S_{562}S_{563}S_{564}S_{565}S_{566}S_{567}S_{568}S_{569}S_{570}S_{571}S_{572}S_{573}S_{574}S_{575}S_{576}S_{577}S_{578}S_{579}S_{580}S_{581}S_{582}S_{583}S_{584}S_{585}S_{586}S_{587}S_{588}S_{589}S_{590}S_{591}S_{592}S_{593}S_{594}S_{595}S_{596}S_{597}S_{598}S_{599}S_{600}S_{601}S_{602}S_{603}S_{604}S_{605}S_{606}S_{607}S_{608}S_{609}S_{610}S_{611}S_{612}S_{613}S_{614}S_{615}S_{616}S_{617}S_{618}S_{619}S_{620}S_{621}S_{622}S_{623}S_{624}S_{625}S_{626}S_{627}S_{628}S_{629}S_{630}S_{631}S_{632}S_{633}S_{634}S_{635}S_{636}S_{637}S_{638}S_{639}S_{640}S_{641}S_{642}S_{643}S_{644}S_{645}S_{646}S_{647}S_{648}S_{649}S_{650}S_{651}S_{652}S_{653}S_{654}S_{655}S_{656}S_{657}S_{658}S_{659}S_{660}S_{661}S_{662}S_{663}S_{664}S_{665}S_{666}S_{667}S_{668}S_{669}S_{670}S_{671}S_{672}S_{673}S_{674}S_{675}S_{676}S_{677}S_{678}S_{679}S_{680}S_{681}S_{682}S_{683}S_{684}S_{685}S_{686}S_{687}S_{688}S_{689}S_{690}S_{691}S_{692}S_{693}S_{694}S_{695}S_{696}S_{697}S_{698}S_{699}S_{70}$

设为 $ x_{1} $， $ x_{2} $， $ \cdots $， $ x_{n} $，则 $ x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}=x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots+x_{n} $

设为 $ x_{0} $， $ x_{1} $， $ \cdots $， $ x_{n} $，则 $ x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+\cdots+x_{n}=x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6}+x_{7}+x_{8}+x_{9}+x_{10}+x_{11}+x_{12}+x_{13}+x_{14}+x_{15}+x_{16}+x_{17}+x_{18}+x_{19}+x_{20}+x_{21}+x_{22}+x_{23}+x_{24}+x_{25}+x_{26}+x_{27}+x_{28}+x_{29}+x_{30}+x_{31}+x_{32}+x_{33}+x_{34}+x_{35}+x_{36}+x_{37}+x_{38}+x_{39}+x_{40}+x_{41}+x_{42}+x_{43}+x_{44}+x_{45}+x_{46}+x_{47}+x_{48}+x_{49}+x_{50}+x_{51}+x_{52}+x_{53}+x_{54}+x_{55}+x_{56}+x_{57}+x_{58}+x_{59}+x_{60}+x_{61}+x_{62}+x_{63}+x_{64}+x_{65}+x_{66}+x_{67}+x_{68}+x_{69}+x_{70}+x_{71}+x_{72}+x_{73}+x_{74}+x_{75}+x_{76}+x_{77}+x_{78}+x_{79}+x_{80}+x_{81}+x_{82}+x_{83}+x_{84}+x_{85}+x_{86}+x_{87}+x_{88}+x_{89}+x_{90}+x_{91}+x_{92}+x_{93}+x_{94}+x_{95}+x_{96}+x_{97}+x_{98}+x_{99}+x_{100}+x_{101}+x_{102}+x_{103}+x_{104}+x_{105}+x_{106}+x_{107}+x_{108}+x_{109}+x_{110}+x_{111}+x_{112}+x_{113}+x_{114}+x_{115}+x_{116}+x_{117}+x_{118}+x_{119}+x_{120}+x_{121}+x_{122}+x_{123}+x_{124}+x_{125}+x_{126}+x_{127}+x_{128}+x_{129}+x_{130}+x_{131}+x_{132}+x_{133}+x_{134}+x_{135}+x_{136}+x_{137}+x_{138}+x_{139}+x_{140}+x_{141}+x_{142}+x_{143}+x_{144}+x_{145}+x_{146}+x_{147}+x_{148}+x_{149}+x_{150}+x_{151}+x_{152}+x_{153}+x_{154}+x_{155}+x_{156}+x_{157}+x_{158}+x_{159}+x_{160}+x_{161}+x_{162}+x_{163}+x_{164}+x_{165}+x_{166}+x_{167}+x_{168}+x_{169}+x_{170}+x_{171}+x_{172}+x_{173}+x_{174}+x_{175}+x_{176}+x_{177}+x_{178}+x_{179}+x_{180}+x_{181}+x_{182}+x_{183}+x_{184}+x_{185}+x_{186}+x_{187}+x_{188}+x_{189}+x_{190}+x_{191}+x_{192}+x_{193}+x_{194}+x_{195}+x_{196}+x_{197}+x_{198}+x_{199}+x_{200}+x_{201}+x_{202}+x_{203}+x_{204}+x_{205}+x_{206}+x_{207}+x_{208}+x_{209}+x_{210}+x_{211}+x_{212}+x_{213}+x_{214}+x_{215}+x_{216}+x_{217}+x_{218}+x_{219}+x_{220}+x_{221}+x_{222}+x_{223}+x_{224}+x_{225}+x_{226}+x_{227}+x_{228}+x_{229}+x_{230}+x_{231}+x_{232}+x_{233}+x_{234}+x_{235}+x_{236}+x_{237}+x_{238}+x_{239}+x_{240}+x_{241}+x_{242}+x_{243}+x_{244}+x_{245}+x_{246}+x_{247}+x_{248}+x_{249}+x_{250}+x_{251}+x_{252}+x_{253}+x_{254}+x_{255}+x_{256}+x_{257}+x_{258}+x_{259}+x_{260}+x_{261}+x_{262}+x_{263}+x_{264}+x_{265}+x_{266}+x_{267}+x_{268}+x_{269}+x_{270}+x_{271}+x_{272}+x_{273}+x_{274}+x_{275}+x_{276}+x_{277}+x_{278}+x_{279}+x_{280}+x_{281}+x_{282}+x_{283}+x_{284}+x_{285}+x_{286}+x_{287}+x_{288}+x_{289}+x_{290}+x_{291}+x_{292}+x_{293}+x_{294}+x_{295}+x_{296}+x_{297}+x_{298}+x_{299}+x_{300}+x_{301}+x_{302}+x_{303}+x_{304}+x_{305}+x_{306}+x_{307}+x_{308}+x_{309}+x_{310}+x_{311}+x_{312}+x_{313}+x_{314}+x_{315}+x_{316}+x_{317}+x_{318}+x_{319}+x_{320}+x_{321}+x_{322}+x_{323}+x_{324}+x_{325}+x_{326}+x_{327}+x_{328}+x_{329}+x_{330}+x_{331}+x_{332}+x_{333}+x_{334}+x_{335}+x_{336}+x_{337}+x_{338}+x_{339}+x_{340}+x_{341}+x_{342}+x_{343}+x_{344}+x_{345}+x_{346}+x_{347}+x_{348}+x_{349}+x_{350}+x_{351}+x_{352}+x_{353}+x_{354}+x_{355}+x_{356}+x_{357}+x_{358}+x_{359}+x_{360}+x_{361}+x_{362}+x_{363}+x_{364}+x_{365}+x_{366}+x_{367}+x_{368}+x_{369}+x_{370}+x_{371}+x_{372}+x_{373}+x_{374}+x_{375}+x_{376}+x_{377}+x_{378}+x_{379}+x_{380}+x_{381}+x_{382}+x_{383}+x_{384}+x_{385}+x_{386}+x_{387}+x_{388}+x_{389}+x_{390}+x_{391}+x_{392}+x_{393}+x_{394}+x_{395}+x_{396}+x_{397}+x_{398}+x_{399}+x_{400}+x_{401}+x_{402}+x_{403}+x_{404}+x_{405}+x_{406}+x_{407}+x_{408}+x_{409}+x_{410}+x_{411}+x_{412}+x_{413}+x_{414}+x_{415}+x_{416}+x_{417}+x_{418}+x_{419}+x_{420}+x_{421}+x_{422}+x_{423}+x_{424}+x_{425}+x_{426}+x_{427}+x_{428}+x_{429}+x_{430}+x_{431}+x_{432}+x_{433}+x_{434}+x_{435}+x_{436}+x_{437}+x_{438}+x_{439}+x_{440}+x_{441}+x_{442}+x_{443}+x_{444}+x_{445}+x_{446}+x_{447}+x_{448}+x_{449}+x_{450}+x_{451}+x_{452}+x_{453}+x_{454}+x_{455}+x_{456}+x_{457}+x_{458}+x_{459}+x_{460}+x_{461}+x_{462}+x_{463}+x_{464}+x_{465}+x_{466}+x_{467}+x_{468}+x_{469}+x_{470}+x_{471}+x_{472}+x_{473}+x_{474}+x_{475}+x_{476}+x_{477}+x_{478}+x_{479}+x_{480}+x_{481}+x_{482}+x_{483}+x_{484}+x_{485}+x_{486}+x_{487}+x_{488}+x_{489}+x_{490}+x_{491}+x_{492}+x_{493}+x_{494}+x_{495}+x_{496}+x_{497}+x_{498}+x_{499}+x_{500}+x_{501}+x_{502}+x_{503}+x_{504}+x_{505}+x_{506}+x_{507}+x_{508}+x_{509}+x_{510}+x_{511}+x_{512}+x_{513}+x_{514}+x_{515}+x_{516}+x_{517}+x_{518}+x_{519}+x_{520}+x_{521}+x_{522}+x_{523}+x_{524}+x_{525}+x_{526}+x_{527}+x_{528}+x_{529}+x_{530}+x_{531}+x_{532}+x_{533}+x_{534}+x_{535}+x_{536}+x_{537}+x_{538}+x_{539}+x_{540}+x_{541}+x_{542}+x_{543}+x_{544}+x_{545}+x_{546}+x_{547}+x_{548}+x_{549}+x_{550}+x_{551}+x_{552}+x_{553}+x_{554}+x_{555}+x_{556}+x_{557}+x_{558}+x_{559}+x_{560}+x_{561}+x_{562}+x_{563}+x_{564}+x_{565}+x_{566}+x_{567}+x_{568}+x_{569}+x_{570}+x_{571}+x_{572}+x_{573}+x_{574}+x_{575}+x_{576}+x_{577}+x_{578}+x_{579}+x_{580}+x_{581}+x_{582}+x_{583}+x_{584}+x_{585}+x_{586}+x_{587}+x_{588}+x_{589}+x_{590}+x_{591}+x_{592}+x_{593}+x_{594}+x_{595}+x_{596}+x_{597}+x_{598}+x_{599}+x_{600}+x_{601}+x_{602}+x_{603}+x_{604}+x_{605}+x_{606}+x_{607}+x_{608}+x_{609}+x_{610}+x_{611}+x_{612}+x_{613}+x_{614}+x_{615}+x_{616}+x_{617}+x_{618}+x_{619}+x_{620}+x_{621}+x_{622}+x_{623}+x_{624}+x_{625}+x_{626}+x_{627}+x_{628}+x_{629}+x_{630}+x_{631}+x_{632}+x_{633}+x_{634}+x_{635}+x_{636}+x_{637}+x_{638}+x_{639}+x_{640}+x_{641}+x_{642}+x_{643}+x_{644}+x_{645}+x_{646}+x_{647}+x_{648}+x_{649}+x_{650}+x_{651}+x_{652}+x_{653}+x_{654}+x_{655}+x_{656}+x_{657}+x_{658}+x_{659}+x_{660}+x_{661}+x_{662}+x_{663}+x_{664}+x_{665}+x_{666}+x_{667}+x_{668}+x_{669}+x_{670}+x_{671}+x_{672}+x_{673}+x_{674}+x_{675}+x_{676}+x_{677}+x_{678}+x_{679}+x_{680}+x_{681}+x_{682}+x$

$ \begin{array}{l} 14.0\ {μm} = ( \quad ) {cm}^5 \\ 1.0\ in = ( \quad ) {cm}^3 \\ 1.0\ in = ( \quad ) m \end{array} $

$ \begin{array}{l} 1.2\ {ft}^3 = ( \quad ) {cm}^3 \\ 1.2\ in = ( \quad ) m^3 \\ 1.2\ in = ( \quad ) m^3 \end{array} $

2

在前面的两章中，我们分别从光的干涉和衍射现象讨论了光的波动性。但干涉和衍射是所有波动的基本特征，我们并不能以此来说明光波是横波还是纵波。而横波与纵波之间有一个最显著的区别，这就是横波具有偏振性，纵波却没有。所以波的偏振性是鉴别横波与纵波的最重要标志。电磁理论曾预言光波是横波，而这一预言的正确性为光的偏振现象所证实。偏振光在实际中有着十分重要和广泛的应用，本章将对光的偏振特性作基本的介绍。

10.1 自然光和偏振光

光波的横波性说明在自由空间中光矢量的振动方向总是与光的传播方向相互垂直。但是在垂直于光传播方向的平面内，光矢量还具有特殊的取向方式或振动状态。对于单色平面光波，其光矢量始终沿着同一个取向，或者说在光传播过程中的不同时刻，光振动矢量始终处于同一个平面内。因此，相对于光的传播方向而言，光振动矢量的取向是不对称的，这种不对称性就称为光的偏振（polarization of light）。但是，下面将会看到，普通光源所发的光不具有偏振性，即光矢量相对于光的传播方向是对称的，这种光称为自然光（natural light）。除自然光外，在垂直于光传播方向的平面内，不同方向光矢量的不同叠加还可以产生其他不同的振动状态。按照这些不同的振动状态，通常将光分为自然光、线偏振（linear polarization）光、部分偏振（partial polarization）光、椭圆偏振（elliptic polarization）光和圆偏振（circular polarization）光。

10.1.1 线偏振光

光矢量始终沿着某一固定方向振动的光称为线偏振光。在光波的传播过程中，线偏振光的光矢量始终处于同一个平面内，如图10-1所示，这个平面就是光矢量的振动方向与光的传播方向所构成的平面，称为振动面（plane of vibration）。因

此，线偏振光又称为平面偏振（plane polarization）光。线偏振光通常用图10-2所示的图示法来表示，其中分别用短线和点来代表光振动矢量平行和垂直于纸面的线偏振光。在图10-2（a）中，光的振动面平行于纸面，而在图10-2（b）中，光的振动面垂直于纸面。

10.1.2 自然光

普通光源中单个原子在一次发光过程中发出的一个波列都是具偏振性的近似单色偏振光波。但由于大量原子发光的随机性，在任一给定方向上传播的光都是由无数个互不相干的线偏振光波列所组成，这些波列的振动面在环绕光波传播的方向上作无规则的、等概率的随机取向，使光矢量形成了环绕传播方向的对称性，如图10-3(a)所示，这种对称性使光的偏振性消失，从而掩盖了光波真正的偏振特性。这种光称为自然光。

根据矢量的分解与叠加原理，我们可以把自然光中的每一个光矢量都投影在任意两个相互垂直的方向上（比如 x 方向和 y 方向），于是，在这两个正交方向上都将得到无穷多个互不相干的光振动分矢量。同一方向的所有分矢量的叠加是非相干叠加，叠加之后得到的两个正交方向的光振动之间也是不相干的，但它们的振幅彼此相等。设自然光的总强度为 $ I_{0} $，则

$$ I_{x}=I_{y}=\frac{1}{2}I_{0} $$

所以可以将自然光用两个振幅相等、振动方向相互垂直但又互不相干的光振动来表示，如图10-3(b)所示。自然光的图示法如图10-3(c)所示，其中点和短线的数量是相同的，表示两正交方向的光振幅相等。

10.1.3 部分偏振光

如果在垂直于光传播方向的平面内，光振动沿不同方向的振幅或者说强度不

相等，这种光称为部分偏振光，如图10-4(a)所示。部分偏振光也是由各个方向的互不相干的光振动叠加而成，但与自然光不同的是，部分偏振光中两垂直分量的强度不等，即 $ I_{x}\neq I_{y} $，而且若 $ I_{x}=I_{max} $，则 $ I_{y}=I_{min} $。部分偏振光的图示法如图10-4(b)所示。

光矢量

矢量投影

平行于纸面的振动较强

部分偏振光中一个方向的光振动比与其垂直方向的更占优势，因而称为“部分偏振”。可引入偏振度（degree of polarization）的概念来描述部分偏振光中两垂直分量光强之间的悬殊，定义偏振度 P 为

$$ P=\frac{I_{max}-I_{min}}{I_{max}+I_{min}} $$

式中， $ I_{max} $ 和 $ I_{min} $ 分别是光强最强方向和最弱方向（相互垂直）的光强，即部分偏振光的总光强为 $ I_{0}=I_{max}+I_{min} $ （非相干叠加）。

P 的值介于 0~1 之间。 $ I_{max} $ 与 $ I_{min} $ 的差值越大，说明两正交方向的光强相差越大，偏振度就越高。例如对于线偏振光， $ I_{min}=0, P=1 $；对于自然光， $ I_{max}=I_{min}, P=0 $。即线偏振光的偏振度最高，为完全偏振，而自然光的偏振度为零，不具偏振性。

10.1.4 圆偏振光和椭圆偏振光

在简谐振动的合成一节中曾讨论过，两个频率相同、相位差 $ \delta $恒定、相互垂直的简谐振动的合振动轨迹通常为一个椭圆 $ \left(\delta=k\pi\right. $时，椭圆退化为直线 $ ) $。光振动也一样，当满足上述条件的沿同一方向传播的两列线偏振光波叠加后，在垂直于光波传播方向的平面内，光振动矢量以一定的频率旋转，其端点的运动轨迹通常也是一个椭圆，这种合成光波称为椭圆偏振光。当两列线偏光的振幅相等，即 $ A_{x}=A_{y} $，且 $ \delta=\left(2k+1\right)\pi/2 $时，轨迹由椭圆变为圆，这种合成光称为圆偏振光；当 $ \delta=k\pi $时，光振动轨迹变为直线，成为线偏振光。可见，线偏振光和圆偏振光都是椭圆偏振光的特例。圆偏振光和椭圆偏振光分别如图10-5(a)、(b)所示。对于圆偏振光和椭圆偏振光，迎着光的传播方向看时，光矢量是顺时针方向旋转的，则称为右旋偏振光；若沿逆时针方向旋转，则称左旋偏振光。

10.2 偏振片 马吕斯定律

10.2.1 偏振片 起偏和检偏

普通光源发出的光是自然光，所以要获得偏振光就需采取一些特殊的方法和措施。偏振片(polaroid)就是能把自然光变为偏振光的一种光学器件。偏振片大多是利用二向色性（即对沿某一方向振动的光矢量有强烈的吸收作用而对垂直于该方向的光矢量吸收很少）物质来制成的。当自然光射入偏振片时，只有沿着某一特定方向的光矢量可以透过，而与之垂直的振动分量则被偏振片吸收，所以自然光通过偏振片后变为沿特定方向偏振的线偏振光。偏振片的透光方向称为偏振片的偏振化方向或透光轴，用记号“↑”表示。

偏振片既可用来从自然光中获取偏振光，又可以用来检验一束光是否为偏振光。用偏振片来获得偏振光的过程叫作起偏，用于起偏的偏振片叫作起偏器（polarizer）。在图10-6中，自然光通过 $ P_{1} $后成为线偏振光， $ P_{1} $的作用就是起偏，称为起偏器；而 $ P_{2} $的作用是检偏，称为检偏器（analyzer）。如图10-6(a)所示，因为由 $ P_{1} $获得的线偏光的振动方向平行于 $ P_{1} $的透光轴，所以当 $ P_{2} $与 $ P_{1} $的透光轴相互平行时，由 $ P_{1} $出射的线偏光能够全部透过 $ P_{2} $，这时在 $ P_{2} $后方屏上的光强最强；如图10-6(b)所示，若将 $ P_{2} $旋转 $ 90^{\circ} $，使 $ P_{2} $与 $ P_{1} $的透光轴相互垂直，则由 $ P_{1} $射出的线偏光全部被 $ P_{2} $吸收，最后没有光从 $ P_{2} $透出，屏上全暗。由此可知，如果射向某偏振片的光是线偏振光，则当以光的传播方向为轴旋转该偏振片时，可看到观察屏上的光在最亮与全暗之间交替变化；但如果入射的是自然光，则不能观察到光强的明暗变化，比如去掉图10-6中的 $ P_{1} $，再旋转 $ P_{2} $时，屏上就不可能观察到光强的变化。

如果入射于检偏器的光是部分偏振光，则因 $ I_{\min}\neq0 $，所以旋转检偏器时虽然仍

可以观察到光的强弱变化，但找不到完全变暗[即消光（extinction）]的位置。

10.2.2 马吕斯定律

在图10-6中，当偏振片 $ P_{1} $和 $ P_{2} $的透光轴之间的夹角为任意角 $ \alpha $时，由图10-7的关系可算出透过第二块偏振片 $ P_{2} $的光强。设由 $ P_{1} $透出的光振幅为 $ A_{0} $，则透过 $ P_{2} $的光振幅为A= $ A_{0}\cos\alpha $。因光强正比于振幅的平方，即 $ \frac{I}{I_{0}}=\frac{A^{2}}{A_{0}^{2}} $，所以

$$ I=I_{0}\cos^{2}\alpha $$

式(10-2)称为马吕斯定律(Malus law, 1808)。其中 $ I_{0} $ 和 I 分别为射入和透过检偏器 $ P_{2} $ 的光强， $ \alpha $ 为入射到检偏器 $ P_{2} $ 上的线偏光的偏振方向与 $ P_{2} $ 的偏振化方向之间的夹角。注意式(10-2)是一束线偏振光通过某偏振片之前和之后的光强关系。

【例10-1】如图10-8(a)所示，在两块偏振化方向相互垂直的正交偏振片 $ P_{1} $和 $ P_{3} $之间插入另一块偏振片 $ P_{2} $。光强为 $ I_{0} $的自然光垂直入射于偏振片 $ P_{1} $，求转动 $ P_{2} $时透过 $ P_{3} $的光强与转角之间的关系。

解 设任一时刻 $ P_{1} $ 和 $ P_{2} $ 的偏振化方向间的夹角为 $ \alpha $，该时刻透过各偏振片的光振幅矢量如图 10-8(b) 所示。由于各偏振片只允许和自己的偏振化方向相同的偏振光透过，所以透过各偏振片的光振幅的关系为

$$ A_{2}=A_{1}\cos\alpha,\quad A_{3}=A_{2}\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right) $$

因此

$$ A_{3}=A_{1}\cos\alpha\cdot\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=A_{1}\cos\alpha\cdot\sin\alpha=\frac{1}{2}A_{1}\sin2\alpha $$

所以 $ I_{3}=\frac{1}{4}I_{1}\sin^{2}2\alpha $ 。又由于 $ I_{1}=\frac{1}{2}I_{0} $，所以

$$ I_{3}=\frac{1}{8}I_{0}\sin^{2}2\alpha $$

由此可见，当不断旋转 $ P_{2} $ 时，透过 $ P_{3} $ 的光强 $ I_{3} $ 将在最强 $ I_{0}/8 $ 与零之间做周期性变化。

10.3 反射和折射光的偏振 布儒斯特定律

一些天然的条件也能使自然光成为部分或者完全偏振光。研究发现，当自然光在两种透明的各向同性均匀介质分界面上发生反射和折射时，反射光和折射光都将变为部分偏振光，其偏振程度与光的入射角和两种介质的折射率有关。通常反射光中垂直于入射面的振动分量大于平行于入射面的振动分量，而折射光中平行于入射面的振动分量大于垂直于入射面的振动分量，如图10-9所示。

1812年，布儒斯特（David Brewster，1781—1868）研究发现，如果光从折射率为 $ n_{1} $的介质入射于折射率为 $ n_{2} $的介质，当入射角i为某一特定值 $ i_{0} $时，反射光成为光矢量垂直于入射面的完全偏振光，如图10-10所示。这一特定角 $ i_{0} $称为起偏振角（polarizing angle）或布儒斯特角（Brewster angle）。实验发现，当入射角为起偏角 $ i_{0} $时，入射角与折射角互补，即 $ i_{0}+r=90^{\circ} $。因而由图中不难看出，当入射角为起偏角时，反射光与折射光相互垂直。于是根据折射定律得

$$ n_{1}\sin i_{0}=n_{2}\sin r=n_{2}\cos i_{0} $$

即

$$ \tan i_{0}=\frac{n_{2}}{n_{1}}=n_{21} $$

式中 $ n_{21}=n_{2}/n_{1} $ 是介质2相对于介质1的相对折射率。式(10-3)称为布儒斯特定律(Brewster's law,1815)。

当自然光以起偏角入射时，虽然反射光为光矢量垂直于入射面的完全偏振光，但对于一般的透明介质而言，一次反射的光能量仅占总入射光能的很小一部分，所

以被反射的垂直振动分量仅占入射光中总垂直振动分量的一小部分，因而折射光包含了入射光中的全部平行振动分量和大部分的垂直振动分量。所以当以起偏角入射时，尽管反射光为完全偏振光，但折射光仍然是部分偏振光。为了增强反射偏振光的光强和提高折射光的偏振度，可以利用多

块玻璃片重叠成玻璃堆来实现，如图 10-11 所示。经玻璃堆中所有玻璃片的多次反射和折射后，能使绝大部分垂直振动分量的光被反射，同时使折射光也近似成为只有平行振动分量的线偏振光。不过玻璃片的数目也并非越多越好，因为玻璃片数目的增多会增加对光的吸收，从而损耗光能，使光强减弱。

【例 10-2】一束自然光入射到折射率分别为 $ n_{1} $ 和 $ n_{2} $ 的两种介质的交界面上，发生反射和折射。已知反射光是完全偏振光，求折射角 r 的值。

解 按布儒斯特定律有

$$ i_{0}=\arctan\frac{n_{2}}{n_{1}} $$

同时根据起偏角的性质可知 $ i_{0}+r=\frac{\pi}{2} $。所以

$$ r=\frac{\pi}{2}-\arctan\frac{n_{2}}{n_{1}} $$

$ ^{10.4} $ 双折射现象

偏振光除了可以通过上述途径获得外，还可以利用另外一些光学各向异性物质来获得。例如当一束自然光射入某些各向异性晶体后会分为两束线偏振光，即产生所谓的双折射现象。

10.4.1 光的双折射现象

一束光在两种各向同性介质的表面处发生折射时，只产生一束折射光。但若光从各向同性介质入射于某些光学各向异性介质如某些晶体时，除了晶体中个别特殊的方向外，一束入射光会产生两束折射光，如图10-12所示。这种现象称为双折射（birefringence）。实验发现，由双折射产生的两束光都是线偏振光，但它们的光矢量的振动方向各不相同。当改变入射角i时，两束折射光线之一遵守通常的折射定律，这束光称为寻常光（ordinary light），用符号“o”表示，简称为“o光”；另一束光线不遵守通常意义上的折射定律，具体地说，比值 $ \frac{\sin i}{\sin r} $不再是一个常量，而是随着入

射角 i 的变化而变化，这束光称为非常光（extraordinary light），用符号“e”表示，简称为“e光”。寻常光和非常光如图 10-13 所示。

在图10-13(b)中可看到，当光垂直入射时，o光仍沿入射光方向传播，符合折射定律，而e光则偏离了原方向，不满足折射定律。这时若以入射线为轴旋转晶体，将发现o光不动而e光却随之绕轴旋转，如图10-13(c)所示。

在晶体内至少存在一个特定的方向，当光沿这个方向传播时将不产生双折射现象，这个特殊的方向称为晶体的光轴（optical axis）。应当明确，光轴指的是晶体内的一个特定方向，并不限于某一条确定的直线，凡是沿此方向的任意一条直线都叫光轴。只具有一个光轴方向的晶体称为单轴晶体（uniaxial crystal），如方解石、石英、红宝石等；具有两个不同的光轴方向的晶体称为双轴晶体（biaxial crystal），如云母、硫黄、蓝宝石等。由于双轴晶体的问题更为复杂，下面我们主要对单轴晶体中光波的一些规律作简要介绍。

在晶体中，o光的速率在各个方向上是相同的，而e光在不同方向上的传播速率不同，但o光、e光在光轴方向的速率相等，而在垂直于光轴的方向上，两光的速率相差最大。如果有一点光源在单轴晶体中，那么o光的波阵面为一球面，而e光的波阵面为一旋转椭球面，同一时刻它们的子波波面在光轴方向相切，如图10-14所示。

分别用 $ v_o $ 和 $ v_e $ 表示垂直于光轴方向上 o 光和 e 光的传播速度，对于某些晶体， $ v_o > v_e $，则球面包围椭球面，如图 10-14(a) 所示，这类晶体称为正晶体（positive crystal），如石英、冰等；对另外一些晶体， $ v_o < v_e $，则椭球面包围球面，如图 10-14(b) 所示，这类晶体称为负晶体（negative crystal），如方解石、电石气等。由此可见，晶体中 o 光的折射率 $ n_o $ 是一个常量，而 e 光的折射率却随方向而变化。将 e 光在垂直于光轴方向上的折射率称为 e 光的主折射率（principal refractive index），用 $ n_e $ 表示，则 o、e 两光的折射率在光轴方向相同，而在垂直于光轴方向相差最大。对于正晶体， $ n_o < n_e $，对于负晶体， $ n_o > n_e $。

晶体中任一给定光线与晶体光轴所构成的平面，称为该光线的主平面（principal plane of crystal）；而晶体的光轴与晶面法线所构成的平面叫晶体的主截面（principal section of crystal）。o光和e光各有属于自己的主平面。实验表明，o光的光振动方向垂直于它的主平面，而e光的光振动方向平行于它的主平面。一般情况下，由双折射产生的o光和e光的主平面不平行，所以o光和e光的偏振方向也不相互垂直。但当入射光线在主截面内，或者说入射面与晶体的主截面平行时，o光和e光的主平面相互重合，而且都在晶体的主截面内，此时o光和e的光振动方向相互垂直。

10.4.2 惠更斯原理对双折射现象的解释

产生双折射现象的根本原因是由于晶体的光学各向异性，这类晶体会对不同取向的光振动产生不同的效应。当自然光以一定角度入射于各向异性晶体时，寻常光o光在晶体中的传播速率相同和折射率与方向无关，遵守折射定律；而非常光e光的传播速率和折射率将随方向而改变，不遵守通常的折射定律。下面利用惠更斯原理对双折射现象做出解释。

如图10-15(a)所示，设一束平行光入射于方解石晶体（负晶体）上，入射面即为图面，光轴位于入射面内。当平行光的波前到达AC位置时，A点作为一个子波源开始向晶体内发射子波。当波面上C点传播到B点时，A点的子波已经在晶体中传播了一段距离。以A点为中心作寻常光与非常光的波面，它们在光轴方向相切。从B点出发分别作球形波面与椭球形波面的切线，这两条线就是晶面AB上所有各点所发出的子波波面的包络线，分别表示晶体中o光和e光的波面。从A点分别向切点引直线，可得o光和e光的传播方向。

采用同样的方法可得图10-15(b)、(c)、(d)。值得一提的是，在图10-15(c)中，光轴平行于晶体的表面且垂直入射时，尽管o光和e光的传播方向相同，但它们的传播速率并不相等，入射的自然光仍被晶体分成了偏振方向相互垂直的两束线偏振光，当通过一定厚度的晶体后，这两束偏振光之间已产生了一定的相位差；在图10-15(d)中，光沿光轴方向垂直晶面入射，自然光不会成为偏振光。这是由于沿着光轴方向传播时，所有不同偏振方向的光都有相同的传播速率，所以光轴方向是晶体中唯一的非偏振化方向，因此当自然光沿晶体光轴传播时，不会成为偏振光。

还需说明一点，所谓“o光”和“e光”都是相对于某一具体的晶体而言的。只有在晶体内部，才能说明哪一束光是该晶体中的o光，哪一束又是e光。而一旦离开了晶体，“o光”和“e光”就只是两束普遍意义下的线偏振光。

10.4.3 尼科耳棱镜

尼科耳棱镜(Nicol prism)是尼科耳于1823年发明的一种著名的晶体偏振光学器件。如图10-16(a)所示，取长宽比约为3:1的方解石(CaCO_{3})，将其两端的晶面按一定的角度进行研磨，然后把晶体沿AMDN面剖开，再用加拿大树胶将剖面粘合起来即成为尼科耳棱镜。如图10-16(b)所示，光线由端面ABCG入射，在晶体中沿AFDC面传播，此时主截面AFDC与主平面重合，o、e两光的偏振方向相互垂直。

当自然光以一确定的入射角射入尼科耳棱镜而分成 o 光和 e 光后，o 光以 $ 76^{\circ} $ 的入射角射向加拿大树胶层。已知加拿大树胶的折射率为 n=1.550，方解石对 o 光的折射率 $ n_{o}=1.658 $，所以 o 光是由光密介质射向光疏介质，且入射角大于临界角（约为 $ 70^{\circ} $），因而 o 光在加拿大树胶边界发生全反射并被涂黑的 CDEG 面所吸收；对于 e 光来说，方解石对该方向的 e 光的折射率为 $ n_{e}=1.486 $，小于加拿大树胶的折射率，因此 e 光不会发生全反射，因而能穿过第二块棱镜射出。由于 e 光的偏振方向在尼科耳棱镜的主截面内，所以射出棱镜的线偏振光的振动方向如图 10-16(c) 所示。

10.5 椭圆偏振光和圆偏振光 波片

10.5.1 椭圆偏振光和圆偏振光

如前所述，振动方向相互垂直、频率相同、相位差恒定且沿同一方向传播的两列光波通常合成为椭圆偏振光，即光矢量末端的运动轨迹为椭圆。当两光的振幅相等，且相位差为 $ \pm\pi/2 $时，成为圆偏光；而当相位差为0或 $ k\pi $时，椭圆偏振光退化为线偏光。根据双折射的知识可知，当一束单色平面偏振光垂直入射于光轴平行于其表面的平行平面晶体薄片后，出射光就成为传播方向相同、频率相同但振动方向相互垂直的两束线偏振光（分别对应于晶体中o光和e光）。因为在晶体中的o光、e光传播速率不同，当它们通过同样厚度的晶片后，彼此之间将形成一定相位差，因而这两束偏振光的叠加将形成椭圆偏振光或圆偏振光。

10.5.2 1/4 波片和 1/2 波片

如图 10-17 所示，自然光通过起偏器 P 后成为一束线偏振光。该线偏光垂直入射于晶片 C 上，C 的光轴平行于晶体的表面。在这种情况下，o 光、e 光的主平面与晶体的主截面重合，两光光矢量的振动方向相互垂直，其中 e 光的振动方向平行于光轴，而 o 光的振动方向垂直于光轴。由于两光沿着垂直于光轴的方向传播，因而具有相同的传播方向，但它们的传播速率或者说折射率不同。而当两光从晶体射出后，传播速度又恢复相同。设晶片的厚度为 d，则两光从晶片射出时的光程差为

$$ \delta=\left(n_{\mathrm{o}}-n_{\mathrm{e}}\right)d $$

相应的相位差

$$ \Delta\varphi=\frac{2\pi}{\lambda}\delta=\frac{2\pi}{\lambda}(n_{o}-n_{e})d $$

即两光之间的相位差由晶片的厚度 d 决定。若选择适当的厚度 d，使

$$ \delta=\left(n_{\mathrm{o}}-n_{\mathrm{e}}\right)d=\pm\frac{\lambda}{4} $$

则两光间的相位差

$$ \Delta\varphi=\frac{2\pi}{\lambda}(n_{o}-n_{e})d=\pm\frac{\pi}{2} $$

则合成光为一个正的椭圆偏振光。若再使偏振片 P 的透光轴方向与晶片 C 的光轴

方向之间的夹角 $ \alpha=45^{\circ} $，则 $ A_{0}=A_{e} $，由晶片出射的光将成为圆偏振光。

厚度满足式(10-4)的晶片，也就是能使 o、e 两光产生 $ \lambda/4 $ 的光程差的晶片称为 1/4 波片(quarter-wave plate)。由于式(10-4)给出的晶片厚度极薄，很难制作，实际中制作的 1/4 波片的厚度都是 (10-4) 的奇数倍，即

$$ (n_{o}-n_{e})d=\pm(2k+1)\frac{\lambda}{4},\quad k=0,1,2,\cdots $$

一束线偏振光经过1/4波片后会成为圆或椭圆偏振光，反之，当圆偏振光通过1/4波片后将变成线偏振光。但是对于椭圆偏振光，情况就较为复杂，只有当1/4波片的光轴与椭圆偏振光的椭圆主轴（长或短半轴）平行时，才能获得线偏振光。在其他一般情况下，椭圆偏振光经1/4波片后出射光仍为椭圆偏振光。

注意，自然光入射于1/4波片后仍为自然光，而不可能成为圆偏振光。这是因为自然光中不同方向的光矢量之间无确定的相位关系，当其通过1/4波片后，所形成的振动方向相互垂直的两光之间也无确定的相位关系。但是当入射光为线偏振光时，在晶体中形成的振动方向相互垂直的o光、e光是由同一光矢量分解出来的，因而它们在传播方向上的任何一点都具有固定的相位关系。

如果晶片的厚度 d 使 o 光、e 光之间的光程差为

$$ \delta=\left(n_{\mathrm{o}}-n_{\mathrm{e}}\right)d=\pm(2k+1)\frac{\lambda}{2},\quad k=0,1,2,\cdots $$

即相位差为

$$ \Delta\varphi=\frac{2\pi}{\lambda}\left(n_{o}-n_{e}\right)d=\pm\left(2k+1\right)\pi,\quad k=0,1,2,\cdots $$

则 o、e 两光通过晶片后附加了 $ \pi $ 及其奇数倍的相位差。称厚度满足式(10-5)的晶片为 1/2 波片，也称为半波片（half-wave plate）。可见，1/2 波片不会改变光的偏振状态，但线偏振光通过 1/2 波片后，出射的线偏光的振动面较入射光的振动面旋转了 $ 2\alpha $ 的角度；而椭圆偏振光或圆偏振光通过 1/2 波片后其旋转方向发生逆转，即左旋光变为右旋光，而右旋光变为左旋光。

上述讨论说明，波片的作用可以使通过它的光波发生相位上的改变，因此波片又被称为相位延迟器。波片在偏振光的分析中有着独特的作用。

10.5.3 不同偏振光的鉴别方法

（1）利用偏振片区分自然光、线偏振光和部分偏振光。当旋转偏振片时，光强无变化的是自然光；光强变化但无消光位置的是部分偏振光；光强变化且有消光位置的是线偏振光。

（2）利用偏振片与1/4波片的组合来区分自然光与圆偏振光、部分偏振光与椭圆偏振光。

仅仅利用偏振片是无法将自然光与圆偏振光区分开来的，因为旋转偏振片时这两种情况的光强均不变。同样地，以此也不能区分部分偏振光与椭圆偏振光，因为这两种情况下透过检偏器的光强变化相似。根据自然光与圆偏光、部分偏振光与椭圆偏振光的不同性质和合成方式，可以利用偏振片与1/4波片的组合来区分它们。在偏振片的前面加一个1/4波片，则圆偏光通过1/4波片后即成为线偏光，再旋转检偏器时就可看到光强由最大到零的变化。而自然光通过1/4波片后仍然是自然光，转动检偏器时仍不会有光强的变化。对于椭圆偏振光，将1/4波片的光轴与经检偏器检出的光强最大或最小方向一致，则椭圆偏振光经波片后成为线偏光，再旋转检偏器时将有消光位置；而部分偏振光无消光位置，由此便可区分部分偏振光与椭圆偏振光。

$ ^{10.6} $ 偏振光的干涉

如图10-18所示，当两偏振片 $ P_{1} $和 $ P_{2} $的透光轴方向相互垂直时，没有光透过第二块偏振片 $ P_{2} $。但在这两块偏振片之间插入一晶片C，其光轴平行于晶面，则观察到有光从 $ P_{2} $透出。若晶片为楔形，则有明暗相间的干涉条纹出现。加入晶片后所观察到的这种现象称为平面偏振光的干涉。

如图10-19所示， $ P_{1} $为起偏器，设经 $ P_{1} $出射的线偏光的振幅为A，该光投射到晶片C上，在C内分解为o光和e光。o光的振动垂直于光轴，振幅为 $ A_{o} $；e光的振动平行于光轴，振幅为 $ A_{e} $。o光和e光由晶片出射后再进入第二块偏振片 $ P_{2} $时，只有沿 $ P_{2} $的透光轴方向的光才能透过，即晶片C中的o光以振幅 $ A_{o}^{\prime} $，e光以振幅 $ A_{e}^{\prime} $由 $ P_{2} $透出。从图中的几何关系可求得

$$ \begin{aligned}A^{\prime}_{o}&=A_{o}\cos\alpha=A\sin\alpha\cos\alpha\\A^{\prime}_{e}&=A_{e}\sin\alpha=A\cos\alpha\sin\alpha\end{aligned} $$

可见，当 $ P_{1} $ 和 $ P_{2} $ 正交时， $ A_{o}^{\prime}=A_{e}^{\prime} $，并且 $ A_{o} $ 和 $ A_{e} $ 沿偏振片 $ P_{2} $ 的投影 $ A_{o}^{\prime} $ 和 $ A_{e}^{\prime} $ 是反方向的。即不同偏振方向的两偏振光 $ A_{o} $ 和 $ A_{e} $ 经过同一偏振片 $ P_{2} $ 后成为振动方向

平行的两相干光 $ A_{0}^{\prime} $ 和 $ A_{e}^{\prime} $，但同时又被 $ P_{2} $ 附加了 $ \pi $ 的相位差。所以由 $ P_{2} $ 射出的两束偏振光之间的总相位差为

$$ \Delta\varphi=\frac{2\pi}{\lambda}(n_{\mathrm{o}}-n_{\mathrm{e}})d+\pi $$

式中的第一项是通过晶片 C 时产生的，而第二项是通过 $ P_2 $ 的投影所产生的附加相位差。由于两光是相干光，所以当满足条件 $ \Delta\varphi = 2k\pi, k = 1, 2, 3, \cdots $ 即

$$ \left(n_{0}-n_{e}\right)d=\left(2k-1\right)\frac{\lambda}{2},\quad k=1,2,3,\cdots $$

时则产生相长干涉；而当 $ \Delta\varphi=(2k+1)\pi,k=1,2,3,\cdots $ 即

$$ (n_{o}-n_{e})d=k\lambda,\quad k=1,2,3,\cdots $$

时则产生相消干涉。

可见，偏振光的干涉与差值 $ n_{0}-n_{e} $、晶片厚度 d 及入射波长 $ \lambda $ 有关。如果晶片厚度是均匀的，则由式（10-6）可知，在偏振片 $ P_{2} $ 后方的视场中，单色光在各点的相位差都是相同的，各点的干涉情况完全一样。此时，当满足干涉相长条件时， $ P_{2} $ 后方的视场为一片均匀的亮区，各点的光强都为干涉极大；而当满足相消干涉条件时，视场为一片均匀的暗区，说明晶片厚度均匀时不会出现干涉条纹。当晶片厚度不均匀时，在视场中的各点，两光的相位差因 d 的不同而不同，则视场中将出现等厚干涉条纹。若晶片是楔形的，则将出现劈尖干涉条纹，即平行等间距的明暗条纹。

现在简单地讨论一下色偏振(chromatic polarization)的问题。如图10-20(b)所示，当偏振片 $ P_{1} $和 $ P_{2} $的透振方向平行时，o、e两光的振幅 $ A_{e} $和 $ A_{e} $沿 $ P_{2} $的偏振化方向的投影是同方向的，即这时经 $ P_{2} $出射的两光之间的光程差仅仅是在晶片C中产生的，即

$$ \delta_{//}=\left(n_{\mathrm{o}}-n_{\mathrm{e}}\right)d $$

相应的相位差

$$ \Delta\varphi_{//}=\frac{2\pi}{\lambda}\delta_{//}=\frac{2\pi}{\lambda}(n_{\mathrm{o}}-n_{\mathrm{e}})d $$

此时经 $ P_{2} $ 出射的两光矢量的振幅分别为

$$ A_{o}^{\prime}=A\sin\alpha\sin\alpha,\quad A_{e}^{\prime}=A\cos\alpha\cos\alpha $$

式(10-7)与式(10-6)比较可发现，两偏振片平行时两偏振光之间干涉相长和相消的条件恰好与两偏振片垂直时的相反。这意味着，若某一波长的光在两偏振片垂直的情况下满足干涉相长条件，则当两偏振片由相互垂直的位置旋转到相互平行的位置时，该单色光将产生干涉相消（为了保证干涉相消的光强为零，须令 $ \alpha = 45^\circ $，以使两偏振光振幅相等）。因此若用复色光如白光照射，则可能有某些波长的光在 $ P_1 \parallel P_2 $ 的情况下产生干涉极大，而另一些波长的光却是在 $ P_1 \perp P_2 $ 的情况下产生干涉极大。所以在旋转 $ P_2 $ 的过程中，将观察到视场中各种色彩的变换，这种现象称为色偏振。当晶片厚度不均匀时，视场中将出现按波长分散开来的彩色干涉条纹，此时若旋转偏振片 $ P_2 $，也将观察到干涉条纹颜色的改变，而且颜色总是转变为其对应的互补色。例如，若 $ P_1 \perp P_2 $ 时显示出的条纹为红色，则当 $ P_2 $ 转到 $ P_1 \parallel P_2 $ 的位置时，该条纹就显示出红色的互补色（绿色），变为绿色条纹。这是因为当白光中缺少某种颜色时，则将显示出这种颜色的互补色（complementary colors），而如前所述，若某色光在 $ P_1 \perp P_2 $ 时干涉相长，则 $ P_1 \parallel P_2 $ 时必是干涉相消，反之也一样。

10.7 人为双折射现象

除了利用天然的各向异性介质外，还可以通过人为的方法，如通过外力（机械力、电场力、磁场力等）的作用而使某些各向同性介质变成各向异性介质，从而产生双折射现象。下面介绍常见的两种。

1. 光弹性效应

光弹性效应(photoelastic effect)是由机械变形而产生的人为双折射现象，又称为机械双折射或应力双折射。一些各向同性的非晶体物质，如玻璃、赛璐珞等，在机械力的作用下变形时失去了各向同性的特征而具有各向异性的性质，此时受到挤压或拉伸的方向就成为介质中的光轴方向。在物质内部，形变（因而应力）越大的地方各向异性的性质也越显著，所以光弹性效应是研究机械结构内部应力分布的有力工具。例如在设计桥梁、水坝或一些大型机械时需要对它们在以后实际运用时可能出现的各种应力情况加以分析，这时可用透明塑料板制作出它们的模型，并根据实际工作状况加上相应比例的应力，然后用光测弹性仪显示出其中的应力分布来。

一般用差值 $ n_{0}-n_{e} $ 来衡量双折射效应。实验指出：双折射效应与应力成正比。设 P 为应力，则

$$ n_{\mathrm{o}}-n_{\mathrm{e}}=e P $$

式中 e 为介质的材料系数或称为光弹系数，与介质的性质有关。各种玻璃的光弹系数介于 $ 10^{-17} \sim 10^{-11} \, \text{m}^2 \cdot \text{N}^{-1} $ 之间，而赛璐珞之类的塑料则介于 $ 10^{-11} \sim 10^{-10} \, \text{m}^2 \cdot \text{N}^{-1} $ 之间。当在这种应力材料中产生的两偏振光在该材料中经历厚度为 d 的路程后，相互间的相位差为

$$ \Delta\varphi=\frac{2\pi}{\lambda}d(n_{\mathrm{o}}-n_{\mathrm{e}})=\frac{2\pi}{\lambda}d\cdot eP $$

式中 $ \lambda $ 是光在真空中的波长。

将受力作用的材料放在两块正交的偏振片之间就可观察到干涉条纹，如图10-21所示，由条纹的分布就可解或计算应力的分布情况。光测弹性仪就是根据这个原理制成的。

2. 克尔效应

克尔效应(Kerr effect)是一种电光效应(electrooptical effect)。电光效应是指在电场作用下，使一些各向同性透明固体介质或液体中的分子作定向排列而显现各向异性特征，从而产生双折射现象。这一现象由克尔所发现，故称为克尔效应。如图10-22所示，B是贮有非晶体或液体的容器，称为克尔盒(Kerr cell)，C是电容器。两偏振片 $ P_{1} $和 $ P_{2} $的透光轴方向相互垂直，电场方向垂直于光的传播方向，并与 $ P_{1} $和 $ P_{2} $的透光轴方向成均成45°角。电源未接通时视场是暗的，电源接通后视场变亮，说明在电场作用下非晶体变成双折射体，从而使入射于克尔盒的线偏振光转变为椭圆偏振光(一般情况)。实验证明，电场E的方向相当于光轴， $ n_{0} $与 $ n_{e} $之差与所加电场的平方成正比，即

$$ n_{\mathrm{o}}-n_{\mathrm{e}}=k\lambda E^{2} $$

式中 k 称为克尔常量，由克耳盒内材料的性质决定，其单位为 $ m \cdot V^{-2} $

当光通过厚度为 d 的克尔材料时，o、e 两光间的相位差为

$$ \Delta\varphi=\frac{2\pi}{\lambda}d(n_{o}-n_{e})=\frac{2\pi}{\lambda}d\cdot k\lambda E^{2}=\frac{2\pi}{\lambda}d\cdot k\lambda\frac{U^{2}}{l^{2}} $$

式中，U=El 是电场两极之间的电压，l 是两极间的距离。可见，当改变电容器两极间的电压 U 时，透射的两光之间的相位差随之改变，从而使透射光强随电压 U 而变化。因此，利用克尔盒可对偏振光进行调制，或制成光开关。

10.8 旋光现象

1. 旋光现象 晶体和液体的旋光性

在晶体的双折射部分已了解到，当光在晶体内沿着光轴方向传播时其偏振性不会改变，也就是说自然光仍然是自然光，偏振光仍然是偏振光。但在1811年阿拉果发现，当单色平面偏振光垂直地入射到光轴垂直于其表面的石英平行平面薄片时，透射出来的光虽然仍是平面偏振光，但它的振动面相对于原入射光的振动面旋转了一个角度，这种现象称为旋光现象。

观察旋光性的实验如图10-23所示。偏振片 $ P_{1} $与 $ P_{2} $的透光轴方向正交，所以当以单色光入射时不会有光透过 $ P_{2} $，即 $ P_{2} $后方的视场是全暗的。但此时若在 $ P_{1} $与 $ P_{2} $之间插入一块具旋光性的平行平面晶片，且其光轴与表面垂直，结果发现视场变亮了，再将 $ P_{2} $转过一定的角度后，视场又变暗。这说明光通过晶片后仍为平面偏振光，但其振动面较其射入晶片时发生了一定的旋转。

能使平面偏振光的振动面发生旋转的物质叫作旋光性（optical activity）物质。事实表明，许多晶体都具有旋光性，此外，一些液体物质也具有旋光性。

当迎着光传播的方向观察时，若光的振动面沿顺时针方向旋转，称为右旋（right-handed rotation）；若沿逆时针方向旋转，则称为左旋（left-handed rotation）。对于自然旋光物质，其旋光方向只与物质本身的结构有关，而与光的传播方向无关，所以线偏振光往返两次通过旋光物质后，振动面的方位又将复原。

当光不沿光轴方向传播时仍可产生旋光现象，但此时由于还存在双折射，而且旋光现象常被双折射所掩盖，所以难以观察。此外，一些具有双折射性质的晶体，如立方晶系，也具有旋光性，并且这些晶体的旋光度与光在晶体中传播的方向无关。

实验表明，在旋光性物质中，平面偏振光振动面旋转的角度取决于旋光性物质的性质、厚度或浓度以及入射光的波长等。

对于旋光晶体，其使振动面旋转的角度与晶片厚度成正比，即

$$ \varphi=\alpha d $$

其中比例系数 $ \alpha $ 称为晶体的旋光率 (specific rotation)，它与入射光的波长有关。例如对于石英晶体，当 $ \lambda = 589 $ nm 时， $ \alpha = 21.749 $ ( $ ^{\circ} $) $ \cdot $ mm $ ^{-1} $; $ \lambda = 760.4 $ nm 时， $ \alpha = $

12.668 $ ^{\circ} $ $ \cdot $ mm $ ^{-1} $，等等。

许多有机液体或溶液（如食糖水溶液）也具有旋光性。偏振光通过液体的旋光性物质时所旋转的角度为

$$ \varphi=\beta\rho d $$

其中 $ \beta $ 称为比旋光率 (specific rotatory power)，它与物质的性质、入射光波长、温度等有关，d 为旋光物质的厚度， $ \rho $ 为液体浓度。例如在 $ 20^{\circ} $C 时，蔗糖水溶液对于钠黄光的比旋光率为 $ \beta = 6.65 $ ( $ ^{\circ} $) $ \cdot $ $ [cm \cdot (g \cdot cm^{3})]^{-1} $。在制糖、制药等工业中，常利用旋光现象来测定溶液的浓度。

2. 磁致旋光

当线偏振光通过处于磁场中的某些透明介质时，也会产生旋光现象。这种由磁场引起的旋光现象称为磁致旋光（magnetic opticity），也称为法拉第旋转（Faraday rotation）效应。1846年，法拉第发现了该效应，这是人们第一次从实验中观察到的光与电磁之间的内在联系。

在磁致旋光效应中，偏振光的振动面旋转过的角度 $ \varphi $ 同时正比于光在磁致旋光物质中所走过的路程 l 和其中的磁感应强度 B，即

$$ \varphi=VBl $$

式中 V 是比例系数，称为韦尔代常量 (Verdet constant)，V 的值一般都很小，一些物质的韦尔代常量如表 10-1 所示。

在磁致旋光中，旋光方向（即左旋或右旋）与光的传播方向有关。例如，当线偏振光沿着磁场方向通过磁致旋光物质时为右旋，则其反射光逆着磁场通过时便成为左旋。所以当线偏振光往返两次通过磁致旋光物质后，振动面将转过 $ 2\phi $ 角度。利用此特性可制成光隔离器，也就是只允许光从一个方向通过，而不能从反方向通过的光阀门。

习题

10-1 两个偏振片分别作为起偏器和检偏器，当它们的透光轴方向成 $ 30^{\circ} $ 角时

观察第一个自然光源，当成 $ 60^{\circ} $角时观察第二个自然光源，若两次所得的光强相等，则这两个自然光源的相对光强 $ I_{1}/I_{2} $为()。

A. $ \frac{1}{2} $ B. $ \frac{1}{3} $ C. $ \frac{3}{4} $ D. 1

10-2 一光线由空气射向玻璃，没有检测到反射光，那么入射光()。(设 $ i_{0} $为起偏角)

A. $ i \neq i_{0} $，线偏振光 B. $ i = i_{0} $，自然光

C. $ i \neq i_{0} $，部分偏振光 D. $ i = i_{0} $，线偏振光

E. 无法确定

10-3 如题10-3图所示，自然光从空气连续射入介质A和B中，当入射角为

$ i_{0}=60^{\circ} $ 时，得到的反射光 $ R_{1} $ 和 $ R_{2} $ 都是完全偏振光。由此可知，介质 A 和 B 的折射率之比 $ n_{A}/n_{B} $ 为()。

A. $ \frac{1}{\sqrt{3}} $

B. $ \sqrt{3} $

C. $ \frac{1}{2} $

D.2

10-4 在真空中传播的单色自然光以布儒斯特角 $ i_{B}=57^{\circ} $ 入射到平玻璃板上。下列哪一种叙述是不正确的？（）

A. 入射角的正切等于玻璃的折射率 B. 反射线和折射线的夹角为 $ \pi/2 $

C. 折射光为部分偏振光 D. 反射光为平面偏振光

E. 反射光的光矢量的振动面平行于入射面

10-5 一单色光通过偏振片 P 投射到屏上形成亮点，若将 P 以入射光线为轴旋转一周，发现在转动过程中屏上亮点的亮度不变；再将一块 1/4 波片置于 P 前，然后再转动 P，发现屏上亮点产生明暗交替的变化，由此可判定入射光是( )。

A. 线偏振光

B. 圆偏振光

C. 部分偏振光

D. 自然光

10-6 (1) 如题 10-6 图(a) 所示，一束自然光入射在方解石晶体的表面上，入射光线与光轴成一定角度。这时将有 ___ 条光线从方解石透射出来；

（2）如果把方解石切割成等厚的 A、B 两块并平行地移开很短一段距离，如题 10-6 图(b) 所示，此时光线通过这两块方解石后将有___条光线射出来；

（3）在题10-6(b)图中，如把B块绕光线转过一个角度，此时将有___条光线从B块射出来。

10-7 一束线偏振平行光在真空中波长为 589 nm，垂直入射到方解石晶体上，晶体的光轴与表面平行，且光矢量的振动方向与晶体光轴有一夹角。已知方解石主折射率 $ n_{o}=1.658, n_{e}=1.486 $，则对应的波长 $ \lambda_{o}= $ ___ nm， $ \lambda_{e}= $ ___ nm。

10-8 某种双折射材料对600 nm的寻常光的折射率是1.71,对非常光的主折射率是1.74,则用这种材料做成1/4波片所需的最小厚度是___ mm。

10-9 将自然光入射到两个主截面互成 $ 60^{\circ} $角的尼科耳棱镜上可得到一偏振光。若在两个尼科耳棱镜之间再放入一块偏振片，使其偏振化方向和两尼科耳棱镜的主截面各成 $ 30^{\circ} $角，则放入偏振片前入射光强与出射光强之比是___；放入偏振片前与放入偏振片后两次出射光强之比是___。

10-10 三块偏振片平行放置，以一束自然光垂直入射。若开始时三块偏振片的透光轴方向一致：

（1）现将中间一块偏振片的透光轴方向转过 $ 30^{\circ} $，求经第三块偏振片出射的光强与入射光强之比；

（2）如果是将第三块偏振片的透光轴方向转过 $ 30^{\circ} $，结果又如何？

10-11 要使一束线偏振光的光振动方向旋转 $ 90^{\circ} $，则：

（1）总共至少需要几块偏振片？

（2）这些偏振片要如何放置才能使透射光强最大？

10-12 在两个平行放置的正交偏振片 $ \mathrm{P}_{1}, \mathrm{P}_{3} $ 之间平行放置另一个以恒定角速度 $ \omega $ 绕光传播方向旋转的偏振片 $ \mathrm{P}_{2} $，如题 10-12 图 (a) 所示。现有光强为 $ I_{0} $ 的自然光垂直于 $ \mathrm{P}_{1} $ 入射，t=0 时 $ \mathrm{P}_{2} $ 的偏振化方向与 $ \mathrm{P}_{1} $ 的偏振化方向平行。试求当自然光通过该系统后，透射光强度如何变化？

10-13 一束自然光和线偏振光组成的混合光垂直入射于偏振片。当旋转偏振片时，发现透射光强的最大值为最小值的7倍。试求入射光中两种光的光强各占总入射光强的比例。

10–14 如果起偏器和检偏器的偏振化方向之间的夹角为 $ 30^{\circ} $:

（1）假定偏振片是理想的，则非偏振光通过起偏器和检偏器后，其出射光强与原来光强之比是多少？

（2）如果起偏器和检偏器分别吸收了10%的可通过光线，则出射光强与原来光强之比是多少？

10-15 如题10-15图所示，一块折射率为n=1.50的平面玻璃浸在水中。已知一束自然光入射到水面上时反射光是完全偏振光。现要使玻璃表面的反射光也是完全偏振光，试问玻璃表面与水平面的夹角 $ \theta $应为多大？（设水的折射率 $ n_{2}=1.33 $）

10-16 线偏振光垂直入射于光轴与表面平行的石英晶片上，若入射光的振动方向与晶片的主截面成 $ 60^{\circ} $角，试计算透过晶片的e光和o光的光强之比。