第三篇 波动光学 · 第8章 光的干涉

第三篇 波动光学

光学(optics)是物理学的一个重要分支，主要研究光的本性、光的传播和光与物质相互作用的基本规律。根据适用范围的不同，光学又划分为几何光学(geometrical optics)、波动光学(wave optics)、量子光学(quantum optics)和现代光学(modern optics)等几大部分。

在研究光的传播和成像等问题时，我们通常采用光的直线传播定律、光的独立传播定律、光的反射定律和折射定律确定光线的传播轨迹，有关研究构成几何光学的主要内容。按照电磁理论，光是具有特殊频率和波长的电磁波，以此为基础，波动光学研究光的干涉、衍射和偏振，以及光在介质中传播时的色散、吸收和散射等现象。量子光学考虑光的粒子性和微观世界遵循的量子力学规律，着重研究光与原子、分子的相互作用过程。现代光学是指近几十年发展起来的新兴光学，主要包括激光、信息光学（傅里叶变换光学）、光通信、非线性光学、集成光学等内容，在现代科学技术中起着十分重要的作用。

光学的应用非常广泛。它不仅在科学研究中起着重要作用，而且也与人类日常生活息息相关。例如，从早期光学望远镜的设计到现代各种光学仪器的研制，都涉及几何光学，可以说几何光学就是为设计各种光学仪器而发展起来的专门学科。利用光的干涉原理制成的各种干涉仪器是各种精密测量的主要工具，衍射光栅是许多重要的分光仪器的核心器件。光谱分析不仅用于认识原子、分子和各种材料的微观结构，也是人类探测遥远天体的重要手段。激光的发明和现代光学的迅速发展已经将人类带入了神奇的信息化高科技时代。

本篇主要介绍波动光学的内容。有关光的量子性问题将在近代物理中讨论，但在讨论光的性质时也会涉及有关的问题。几何光学的内容将不在本书中介绍。

本篇共分三章，即第8至第10章。第8章首先简要介绍光的本性以及相干性，接下来重点讨论光的干涉问题，第9章讨论光的衍射，第10章讨论光的偏振特性等。

到19世纪中叶，光的干涉、衍射等实验现象无可辩驳地证明了光是一种波。然而，人们对于光波的本质的认识，则是到19世纪末叶，依赖于物理学的另一重要分支学科——电磁学的发展才进一步得出。光的电磁理论指出：光是一种具有极高频率的电磁波，以极快的速度传播，在其传播过程中产生的各种现象，如干涉、衍射、偏振等，都可以按照光的电磁理论获得正确的解释。光的电磁说揭示了光的电磁本性，把表面上看似不同的光现象和电磁现象本质地联系起来，也使人们认识到电磁波与机械波在本质上的不同。

虽然电磁波与机械波是两类不同性质的波，但它们都具有波动所特有的若干共性和特征。例如，波动的特征都由波长、频率、波速、振幅和相位等物理量来描述，而能产生干涉和衍射则是所有波动的共性，对于横波，还具有独特的偏振特性。

本章简要介绍光学理论的发展、光的电磁本性、光的相干性，以杨氏双缝干涉、薄膜干涉为重点讨论光的干涉问题，通过对光的干涉现象的研究来了解光的波动性以及光的干涉的应用，解释自然界中存在的一些光的干涉现象。

文档：惠更新

8.1 光的本性

8.1.1 微粒说与波动说

光是一种自然现象，也是人们获取信息的主要途径。人们对光一直保持极大的兴趣和好奇心。据记载，早在公元前四五百年，人们就开始了对于光的专门研究。然而人们对光的认识却经历了漫长而曲折的过程，直到17世纪后半叶，牛顿和惠更斯等人的研究工作才标志着光学开始步入真正发展的道路。

然而，牛顿和惠更斯却对光的本性持有两种不同的观点。牛顿依据光的直线传播特性提出了光的微粒说(corpuscular theory)。他认为光是从光源飞出的一种粒子流，这些微粒在均匀物质中按照惯性定律做匀速直线运动。微粒说可以说明光的反射和折射现象，但是为了解释折射定律，微粒说将得出光在密度大的介质中的传播速率大于光在密度小的介质中的传播速率，例如得出水中的光速大于空气中的光速这样的错误结论。并且，微粒说也难以说明薄膜的颜色和牛顿环等实验现象。

惠更斯反对光的微粒说，提出了光的波动说（undulatory theory）理论。惠更斯波动说中最有价值的思想就是我们现在所熟悉的惠更斯原理（Huygens principle）。该原理推导出反射定律和折射定律。然而，光的波动说将光波类比于机械波，并假设了一种充满整个宇宙空间的特殊弹性介质——“以太（aether）”，而光就是在这种特殊介质中传播的机械波。惠更斯还认为光波是纵波，其理论不仅无法解释光的偏振现象，也没有顾及光的干涉和衍射问题。

由于经典力学的辉煌成就，当时的人们深信物质世界由遵循牛顿力学规律的

质点组成，牛顿的个人声望也妨碍人们对他的思想和观点进行反思和研究，何况牛顿关于光在介质中传播速度的错误结论当时还不能为实验所检验。因此在17、18世纪，光的微粒说理论一直占据统治地位，而光的波动理论几乎无人问津。更重要的是，惠更斯的理论虽然包含了“光是波动”这一重要认识，但尚不完善，甚至没有考虑到波动性必将导致的干涉和衍射效应。

19世纪初，托马斯·杨(Thomas Young，1773—1829)利用波动论的观点圆满地解释了薄膜颜色的形成，又成功地进行了双缝干涉实验，从而确立了光的波动理论的优越性。杨氏又根据光的偏振现象进一步提出了光波是横波的重要概念。虽然如此，杨氏的研究成果在当时并未受到学术界的重视。1815年，菲涅耳(Augustin-Jean Fresnel，1788—1827)完成了关于光的波动性的系统理论。菲涅耳采纳了惠更斯关于次级子波的概念，并用杨氏干涉理论来补充惠更斯原理，形成了波动光学中的一个重要原理——惠更斯-菲涅耳原理，并利用这一原理同时成功地解释了光的直线传播和光的衍射现象。由菲涅耳的光衍射理论可以预言，光经小圆盘衍射后，在其后面的几何阴影区存在一个亮点。1818年，人们通过实验证实了这一微粒说完全无法解释的结果。1819年，菲涅耳与阿拉果(Dominique Francois Jean Arago，1786—1853)又用实验证实了光的横波性。从此，光的波动说开始占据统治地位。

8.1.2 光的电磁本性

随着对光波性质的深入研究，人们逐渐认识到，光的波动理论所假设的弹性介质“以太”似乎必须具有一系列令人费解的力学性质，例如，密度无限小（可存在于真空、固体微粒的间隙中，且不阻碍任何物体运动），而弹性超强（因光速巨大，且为横波）。光的弹性机械波理论也存在不可克服的困难。

19世纪后半叶，麦克斯韦(James Clerk Maxwell，1831—1879)总结法拉第(Michael Faraday，1791—1867)等人的实验结果和理论假设，建立了电磁波理论。按照麦克斯韦电磁波理论，真空中电磁波的传播速率 $ \frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} $与从实验中测得的光速c相等，麦克斯韦据此得出了光是一种电磁波的结论。1888年，赫兹(Heinrich Rudolf Hertz，1857—1894)通过实验证实了电磁波的存在和光的电磁本性。这一结论不仅使人们对光的本性有了全新的认识，而且也使人们得以从电磁波的研究入手来了解光的基本特性和规律。光的电磁理论的建立是光学发展的一个重要里程碑，由此摆脱了光的机械波观点。

电磁波是变化的电磁场在空间的传播，它实质上就是变化的电磁场的一种存在形式。由于电磁场本身就是一种物质，所以电磁波的传播不需要借助于任何其他介质，电磁波可以在真空中传播。电磁波包含各种频率的电磁辐射，不同频率（波长）的电磁波具有不同的特性并能产生不同的效应。将各种频率的电磁波按频率的高低或者说波长的长短排列起来就得到一个分布范围极广的电磁波谱，如图8-1所示。光波通常就是指引起人的生理视觉效应的那一波段范围内的电磁波，即所谓的可见光（visible light），其波长分布范围为400~760 nm，相应

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斯韦

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的频率范围为 $ 7.5 \times 10^{14} \sim 3.9 \times 10^{14} $ Hz，其中人眼最为敏感的波长约为 555 nm（黄绿光）。其中，辐射频率高于紫外线的波段由各种射线组成，而频率比可见光低的电磁波则分布于从红外、微波到无线电波等的波谱范围，而可见光只占整个电磁波谱中的很小一段。电磁波谱中的不同波段在科技和生产、生活实际中有着各种不同的运用。

在可见光谱中，波长与颜色之间的关系大致如表8-1所示。

还应明确，通常我们所说的光波波长 $ \lambda $，是指光波在真空中的波长。在介质中，光的频率不变，但波长变短，即 $ \lambda_{n} = \lambda / n, n $ 为介质的折射率。在折射率为 n 的均匀各向同性介质中，光的传播速率为 $ v = \frac{c}{n} $，或者说介质折射率的定义就是真空中的光速与该介质中的光速之比： $ n = \frac{c}{v} $。

自由空间中的平面光波是一种横电磁波，因而具有横波所特有的偏振特性，即光的电场矢量 E 和磁场矢量 H 都与光波的传播方向垂直，并且 E 和 H 都有各自确定的、彼此相互垂直的振动方向。

实验发现，在光波场的电场强度矢量E和磁场强度矢量H中，产生光的观测效应（即对光的检测装置或感光物质起主要作用）的都是电场矢量E，引起人的视觉效应的也主要是E矢量。所以，通常所说的光矢量（photo vector）都是指光波场中的电场强度矢量E。

但是，最初的电磁理论仍然为电磁波的传播假设了特殊的载体介质——光以太，由此得到推论，电磁理论预言的真空中的光速 c 是光相对于“以太参考系”的速度，而在其他相对于光以太运动的参考系中，真空中的光速将取不同数值。所以，通过测量光速应该能观测到物体相对于以太参考系的运动，从而通过电磁学的方

法确定物体的绝对运动。值得强调的是，按照力学相对性原理，任何力学实验都不能确定物体的绝对运动速度。

为了寻找“光以太”，历史上人们进行了种种努力和尝试，设计出各种类型的实验，企图测出地球相对于光以太的运动速率。例如迈克耳孙（Albert Abraham Michelson，1852—1931）-莫雷（Edward Morley，1838—1923）实验就是其中最具代表性的实验之一。然而各种实验都未能测出地球相对于光以太的“漂移速度”。面对这一事实，人们又做出了其他种种假设，例如“运动物体‘曳引’以太一起运动”“光速与光源的运动有关”“在以太中运动的物体将沿运动方向发生收缩”等。然而，前两个假说分别被光行差实验和双星实验所否定，而其他的种种假说即便可以解释迈克耳孙-莫雷实验或别的“以太漂移”实验的零结果，却又与这样或那样的物理事实不符，或者存在许多自相矛盾之处。

虽然彭加勒（Jules Henri Poincaré，1854—1912）、洛伦兹（Hendrik Antoon Lorentz，1853—1928）等人为解决这些矛盾做出了巨大努力，但直到1905年爱因斯坦（Albert Einstein，1879—1955）建立狭义相对论才从根本上解决相关问题。爱因斯坦完全抛弃了“以太”的概念，认为电磁场和其他有重物质一样，本身就是独立的实体，并不需要依附在任何载体之上，因而无需假设存在电磁以太，从而否定了一个特殊的、绝对静止的参考系的存在。

8.1.3 光的波粒二象性

20世纪初，人们又从另一个方面认识到了光的另一个属性——波粒二象性。当人们试图用光的波动理论处理光与物质相互作用，例如光的发射和吸收、光电效应、康普顿效应以及色散等问题时又遇到了新的困难。1900年，普朗克（Max Planck，1858—1947）提出了能量量子化假说，成功地解释了热辐射问题。受这一启示，爱因斯坦进一步提出了光量子假说，即把光看成是一束具有确定动量和能量的粒子流，由此成功地解释了光电效应和康普顿散射等实验现象。其他的实验验证以及量子力学的创立，使光的粒子性得到了进一步的证实。值得强调的是，量子论中关于光的粒子性的认识已经完全不同于牛顿的微粒说。牛顿假设的光粒子遵从机械运动的规律，而光量子理论认为光子具有波粒二象性。

光的干涉、衍射、偏振等现象反映了光的波动性；热辐射的实验、光电效应和康普顿效应等又证明了光的粒子性。那么光到底是粒子还是波？

“粒子”和“波”都是人们在研究宏观系统的过程中逐步建立起来的物理概念，不能直接推广应用到光和其他微观粒子。从光所表现的性质和规律来看，它在某些场合表现出波动性，而在另一些场合又表现出粒子性。通常，光在空间传播等过程中表现出它的波动性，如产生干涉、衍射和偏振等现象，而在与物质如微观粒子相互作用时，又表现出它的粒子性，如具有确定的动量、能量和质量，但是不可能在任何特定的场合或实验过程中同时表现出经典“粒子”和“波”的特性。这就是光的所谓波粒二象性。

光的波粒二象性是光的本性的全面体现,建立在量子理论基础上的电磁理论,

即量子电动力学能够系统地阐明光的波粒二象性。量子电动力学认为光波和物质波都是概率波。简单地说，光的衍射条纹可解释为光子在空间不同区域出现的不同概率。在特定条件下，光子经衍射后在屏上某处出现的可能性遵从一定的统计规律，在某些地方光子出现的概率大，表现为亮条纹，而在另一些地方光子出现的概率小，则表现为暗条纹，从而形成确定的光强分布，即明暗相间的衍射花样。

8.2 光的相干性

8.2.1 普通光源的发光机理

任何会发光的物体都可叫作光源(light source)。光源从主体上划分为两大类，即普通光源和激光光源。除激光以外的各种光源都称为普通光源(ordinary light source)，如太阳、各种照明灯、霓虹灯、炽热的冶炼炉、发光的萤火虫等等。激光则是在1960年才研制出来的性质与普通光源完全不同的一种新型光源。本节主要讨论普通光源，有关激光的知识将在以后的章节中介绍。

1. 普通光源

光是一种电磁辐射，所以发光体需要不断获得能量补充来维持发光。通常按照外界供给能量方式的不同将普通光源分为热光源和冷光源两大类。

热光源实质上就是热辐射体。通过加热使物体维持足够高的一定的温度时，该物体就会发出可见光波段的电磁辐射。物体处在热平衡状态下的这种辐射称为热辐射(heat radiation)。热辐射的特点是光波的波长(因而颜色)与光源的温度相关：温度越低波长越长（颜色越接近红色端），而温度增加时波长变短（颜色向紫色端移动）。热辐射中，当温度更高时将产生紫外线，而温度更低时则辐射红外线。白炽灯、太阳等都属于热光源。

冷光源是除热辐射之外通过其他形式的能量激发而产生的光辐射，其中又分为电致发光、光致发光、化学发光等。电致发光是依靠电场补充能量来实现发光的过程，如各种气体放电管（水银灯、日光灯等）的发光，这些过程首先是通过电场激发使气体电离。光致发光是指在各种射线、可见光或不可见光的激发下发出可见光的过程。例如荧光灯的发光过程，就是首先借助紫外线照射灯管内壁的荧光物，荧光物受激发而发出可见光。化学发光是由物质间的化学反应而产生的发光过程，如磷在空气中缓慢氧化时的发光。此外，一些生物体如萤火虫、磷虾等的发光过程（生物发光）也属于特殊类型的化学发光。

在实际中，同一光源的发光常常包含着不同类型的能量激发方式，而且由于能量的相互转化，所以有时很难按上述分类来区分发光过程。

2. 普通光源的发光机理及发光特点

光是一定频率范围内的电磁波。光源的发光就是其中大量原子、分子辐射电

磁波的过程。在通常状态，即平衡态下，发光体中处于最低能量状态（基态）的粒子（原子、分子）数目最多，而越高的能级（激发态）上粒子数目越少。但当受到一定形式的能量激发时，处于基态的粒子就会吸收能量而跃迁到较高能级的激发态。激发态是极不稳定的状态，在平衡状态下，处于激发态的粒子将自发地向下跃迁而返回低能态，而在它们从激发态返回低能态的过程中，就会辐射出电磁波，释放出相应的能量。因这种电磁辐射是激发态的粒子自动向下跃迁所形成的，所以称之为自发辐射（spontaneous radiation）。普通光源的发光主要就是自发辐射的过程。原子在一次能级跃迁过程中所经历的时间也就是它一次发光所持续的时间，约为 $ 10^{-8} $s。当原子、分子受到新的激发后又将重新发出辐射。所以原子、分子的发光是间歇的，一个原子或分子在发出一列光波后，总要间隔一段时间才发出另一列光波。对于单个原子、分子的一次发光来讲，其次跃迁时所发出的是长度有限的，具有一定频率、一定振动方向、振幅不变或缓慢变化的光波列。但在自发辐射中，因各个原子、分子的激发和辐射参差不齐，它们从各自不同的激发态向下跃迁，而且彼此之间又互不相关，因而在同一时刻不同的原子、分子所发出的光波的频率、振动方向和相位也各不相同。由此可见，以自发辐射形式发光的普通光源，其中由不同粒子所发出的光波，或者说不同的光子之间是互不相干的。

3. 普通光源的相干性

同所有的波一样，光波也具有波动的一般特征，如能产生干涉、衍射等现象。但在波动学中已经认识到，波的干涉只有当两波之间满足一定的条件即相干条件（coherent condition）时才能实现。这就是说，要实现两光之间的干涉，这两列光波必须同频率、同振动方向、在叠加点具有恒定的相位差。但根据上述普通光源的发光特点可知，来自普通光源中不同原子的两列光，或者是同一原子在不同时刻发出的两列光都不满足相干条件。这就意味着，来自不同光源的两列光，或者来自同一光源不同部分的两列光，以及同一光源同一部分先后发出的两列光相遇时都不可能产生光的干涉现象，即一般普通光源发出的光都是非相干光，因而在通常情况下很难观察到光的干涉叠加现象。

8.2.2 从普通光源获得相干光

由于普通光源是非相干光源，所以要利用普通光源来研究光的干涉现象就必须采取特殊措施以首先获得相干光。设想把从光源上同一点同一时刻发出的光波一分为二，则这两列光波就可以是出自于同一原子的同一波列，因而这两列光波是相干的。若再采取一定的方法令这两列光波经历不同的光程之后再重新相遇，这时就会产生光的干涉现象。在实际中，一般采用分波阵面和分振幅两种方法来获得相干光。此外，还可利用光的偏振特性采用分振动面的方法来获得相干光。下面只介绍分波阵面法和分振幅法。

1. 分波阵面法

如图8-2所示，利用小孔S可以获得自光源上一点发出的一个球面波，即小孔S可视为一个点波源。由S发出的球面波再经过前方的双孔 $ S_{1} $和 $ S_{2} $后，又得到两

个新的球面子波，因为这两列子波都是来自于同一点波源S所发出的同一球面波，它们必然满足相干条件。于是这两个子波在双缝后面它们相遇的空间将产生相干叠加。由于这种方法是从同一波面上来获取两列相干波，所以称其为分波阵面干涉（wavefront-splitting interference）。杨氏双缝实验就是比较典型的分波阵面法干涉实验。

2. 分振幅法

如图8-3所示，同一个波列a射向透明介质薄膜时，一部分被上表面反射，一部分折入介质经下表面反射后再折射出上表面（还有一部分将透射出下表面）。显然，经上、下表面反射的两列光 $ b_{1} $和 $ b_{2} $来自于同一个波列a，因而满足相干条件，若再将这两列光会聚于同一点，则它们将产生干涉现象。在这里入射光分别部分地由上下两表面反射，即反射的两列相干光各占入射光总能量或者说总光强的一部分。根据光强与振幅平方的正比关系，相当于将入射光的振幅分为两部分来获取相干光，所以称这种方法为分振幅干涉（amplitude-splitting interference）。薄膜干涉即属于此类干涉。

文档：托马斯杨

8.3 杨氏双缝干涉实验

8.3.1 杨氏双缝干涉实验

干涉和衍射是波动的特征性质，所以光的干涉现象就是光的波动性的最直接证据。历史上为了验证光的波动性，人们首先把注意力集中在了光的干涉实验上。1801年，托马斯·杨第一次成功地完成了光的干涉实验，并由此首次测定了光的波长，从而为光的波动性提供了重要的实验依据。杨氏最初的实验为双孔实验，为了得到更加清晰明亮的干涉图样，后来的实验改用双缝来代替双孔。从实验所得的双孔和双缝干涉条纹分别如图8-4和图8-5所示。

下面以双缝干涉为例来分析光强分布规律。

杨氏双缝干涉实验的原理如图8-2所示。平行光垂直入射到单缝S上，再经后方屏上的双缝 $ S_{1} $和 $ S_{2} $射出而成为两束相干光。这里，利用在双缝之前加一小缝S的方法来保证从普通光源获得相干光，这正是杨氏当年设计该实验的巧妙和成功的关键之处。但现在一般都是采用相干性很好的激光来做此类实验，这样就完全不需要前面的小缝S，而是将一束激光直接照射在双缝上，即可获得很好的干涉图样。

杨氏双缝干涉实验的平面光路图如图8-6所示。为简化问题，这里假设两缝相对于S对称等距，因而 $ S_{1} $和 $ S_{2} $为两个同相位的相干子波源。经 $ S_{1} $和 $ S_{2} $出射的两列光波在空间相遇的区域将发生相干叠加（coherent addition），在右边的屏E上即可观察到周期性变化的干涉光强分布，即一组

明暗相间的干涉条纹。下面来具体地分析屏E上任一点P的干涉光强。因 $ S_{1} $和 $ S_{2} $为两个初相位相同的相干光源，所以由它们同时发出的两个光波到达P点时的相位差就由 $ S_{1} $和 $ S_{2} $到达该点的波程差 $ \delta $决定（设为真空中）。因 $ \delta=r_{2}-r_{1} $，所以两光到达P点的相位差为

$$ \Delta\varphi=\frac{2\pi}{\lambda}\delta=\frac{2\pi}{\lambda}(r_{2}-r_{1}) $$

根据波的干涉相长和相消的条件，当

$$ \Delta\varphi=\frac{2\pi}{\lambda}(r_{2}-r_{1})=\pm2k\pi,\quad k=0,1,2,\cdots $$

或

$$ \delta=r_{2}-r_{1}=\pm k\lambda,\quad k=0,1,2,\cdots $$

则 P 点干涉相长，在该位置处出现明条纹（亮纹中心）。式中，k 称为干涉级次（order of interference），代表第 k 级干涉条纹（interference fringe）。在中心点 O, $ \delta=0 $

（对应 k=0），称为中央明纹。

当

$$ \Delta\varphi=\frac{2\pi}{\lambda}(r_{2}-r_{1})=\pm(2k+1)\pi,\quad k=0,1,2,\cdots $$

或

$$ \delta=r_{2}-r_{1}=\pm(2k+1)\frac{\lambda}{2},\quad k=0,1,2,\cdots $$

则 P 点干涉相消，相应处出现暗条纹（暗纹中心）。

设双缝之间中心位置与 P 点的连线相对于入射光方向（即水平方向）之间的夹角为 $ \theta $，如图 8-6 所示，因 $ d \ll D $，所以

$$ \delta=r_{2}-r_{1}\approx d\sin\theta $$

因 $ \theta $一般都很小，所以

$$ \sin\theta\approx\tan\theta=\frac{x}{D} $$

所以

$$ \delta=d\sin\theta=\frac{d}{D}x $$

$ \delta $ 也可由图 8-6 中几何关系得出

$$ r_{1}^{2}=D^{2}+\left(x-\frac{d}{2}\right)^{2} $$

$$ r_{2}^{2}=D^{2}+\left(x+\frac{d}{2}\right)^{2} $$

所以

$$ \boldsymbol{r}_{2}^{2}-\boldsymbol{r}_{1}^{2}=\left(\boldsymbol{r}_{2}-\boldsymbol{r}_{1}\right)\left(\boldsymbol{r}_{2}+\boldsymbol{r}_{1}\right)=2d x $$

由于 $ D \gg d, D \gg x $，所以 $ r_{1} + r_{2} \approx 2D $，由此上式同样得出式（8-8）。

现将式(8-8)分别代入式(8-3)和式(8-5)，得到干涉相长、相消条件。

干涉相长条件：

$$ \frac{d}{D}x=\pm k\lambda\;,\quad k=0,1,2,\cdots $$

或者说屏 E 上明纹中心的位置为

$$ x=\pm k\frac{D}{d}\lambda,\quad k=0,1,2,\cdots $$

干涉相消条件：

$$ \frac{d}{D}x=\pm(2k+1)\frac{\lambda}{2},\quad k=0,1,2,\cdots $$

即屏 E 上暗纹中心的位置为

$$ x=\pm(2k+1)\frac{D}{d}\frac{\lambda}{2},\quad k=0,1,2,\cdots $$

式（8-10）和式（8-12）反映了双缝干涉条纹的基本特征，可将其归纳为：

（1）在屏中央 x=0 处为中央（零级）明纹，对应级次 k=0；

（2）在中央亮纹两则，对称而交替地分布着各级明纹和暗纹；

（3）任意两条相邻的明纹或暗纹之间的间距 $ \Delta x $ 相等，均为

$$ \Delta x=x_{k+1}-x_{k}=\frac{D}{d}\lambda $$

即杨氏双缝干涉图样是由一组等间距的明暗相间的条纹构成，如图8-5所示；

（4）由式（8-13）可见，干涉条纹宽度正比于缝到屏的距离D和入射光的波长 $ \lambda $，而反比于双缝之间的距离d。当波长 $ \lambda $一定时，双缝间距d越小则条纹越宽（设D固定）；而当双缝间距d确定时，条纹宽度则正比于入射光的波长 $ \lambda $。

根据式(8-13)，若用不同波长的单色光做双缝实验，则将得到具有不同条纹间隔的干涉图样。所以当用白光照射双缝时，就会得到以中央明纹（仍为白色）为对称中心，两边按波长增长的顺序排列的若干条彩色条纹。但在较高级次上，因不同波长的不同级次条纹之间的重叠而使干涉条纹模糊直至消失。

【例 8-1】在杨氏双缝实验中，用白光（波长范围 400~760 nm）垂直入射双缝，两缝间距为 0.2 mm，观察屏与缝之间的距离为 $ D=1.5 \, m $，求：

（1）第 k 级光谱宽度 $ \Delta x_{k} $ 的计算公式：

(2) 第一级光谱的宽度为多少?

（3）第一级光谱与第二级光谱是否会重叠？

解 （1）对波长为 $ \lambda $ 的单色光，其第 k 级明纹位置 $ x_{k}=k\frac{D}{d}\lambda $ 。在白光中，

$$ \lambda_{min}=\lambda_{v}=400nm,\lambda_{max}=\lambda_{r}=760nm $$

所以，白光的第 k 级光谱宽度为

$$ \Delta x_{k}=x_{rk}-x_{vk}=k\frac{D}{d}(\lambda_{r}-\lambda_{v}) $$

(2) k=1, 所以

$$ \Delta x_{1}=\frac{D}{d}\left(\lambda_{r}-\lambda_{v}\right)=\frac{1.5\times10^{3}}{0.2}\left(760-400\right)\times10^{-6}mm=2.7mm $$

(3) k=1,

$$ x_{r1}=\frac{D}{d}\lambda_{r}=\frac{1.5\times10^{3}}{0.2}\times760\times10^{-6}mm=5.7mm $$

k=2,

$$ x_{v2}=2\cdot\frac{D}{d}\lambda_{v}=2\times\frac{1.5\times10^{3}}{0.2}\times400\times10^{-6}mm=6mm $$

$ x_{v2}>x_{r1} $，所以第一级和第二级光谱不会发生重叠。

8.3.2 双缝干涉的光强分布

设在双缝实验中，发自双缝 $ S_{1} $ 和 $ S_{2} $ 的光矢量在屏上某点 P 的振幅分别为 $ E_{1} $ 和 $ E_{2} $，则如图 8-7 所示，根据振动的叠加原理，P 点的合成振幅为

$$ E^{2}=E_{1}^{2}+E_{2}^{2}+2E_{1}E_{2}\cos\Delta\varphi $$

式中 $ \Delta\varphi $ 为两光振动在 P 点的相位差。

已知光强(intensity of light)正比于光矢量振幅的平方，即 $ I \propto E^{2} $，或 $ I = \alpha E^{2} $。比例系数 $ \alpha $ 在同一种介质中是一个常量。所以如果只是在同一种介质中比较不同位置处的相对光强，这时就可以不考虑比例系数而直接用振幅平方来表示某点的光强（但当涉及不同介质中的光强时，因比例系数与介质的折射率 n 有关而不能去掉）。由于人眼或探测仪对光的响应时间远大于光振动的周期 $ \tau $，所以实际上我们观察到的都只能是一定时间或者说若干个周期内的平均光强，即

$$ I=\frac{1}{n\tau}\int_{0}^{n\tau}E^{2}\mathrm{d}t=\frac{1}{\tau}\int_{0}^{\tau}E^{2}\mathrm{d}t $$

由此得出任意点 P 的合成光强

$$ I=I_{1}+I_{2}+2\sqrt{I_{1}I_{2}}\cdot\frac{1}{\tau}\int_{0}^{\tau}\cos\Delta\varphi\cdot\mathrm{d}t $$

式中 $ I_{1} $， $ I_{2} $ 分别是两光单独在 P 点的光强。式 (8-16) 中的第三项称为相干项（interference term）。由于相干项的存在，对于相干光和非相干光，式 (8-16) 将给出不同的结果。

1. 非相干光(incoherent light)

因在 $ \tau $ 内 $ \Delta\varphi $ 历经 $ 0\sim2\pi $ 的所有值，所以

$$ \int_{0}^{\tau}\cos\Delta\varphi\mathrm{d}t=0 $$

则由式(8-16)得出非相干光的合成光强 $ I=I_{1}+I_{2} $。即各点光强均为两光的非相干叠加，在屏上只能得到一片均匀的光强分布，如图8-8所示。

2. 相干光(coherent light)

因两光之间的相位差 $ \Delta\varphi $ 为常量，则由式(8-16)得

$$ I=I_{1}+I_{2}+2\sqrt{I_{1}I_{2}}\cos\Delta\varphi $$

由上式可见，当 $ \Delta\varphi=\pm2k\pi,k=0,1,2,\cdots $时，光强为最大值 $ I_{max} $；而当 $ \Delta\varphi=\pm(2k+1)\pi,k=0,1,2,\cdots $时，光强为最小值 $ I_{min} $。由于

$$ \Delta\varphi=\frac{2\pi}{\lambda}d\sin\theta=\frac{2\pi}{\lambda}\cdot\frac{d}{D}x $$

即相位差 $ \Delta\varphi $ 随着 $ \theta $ 的增大呈周期性变化。这说明屏上的光强分布随着离开中心 $ (x=0) $ 的距离而呈周期性变化，明、暗纹中心则分别对应于干涉光强的最大值和最小值：

$$ I_{max}=I_{1}+I_{2}+2\sqrt{I_{1}I_{2}},\quad I_{min}=I_{1}+I_{2}-2\sqrt{I_{1}I_{2}} $$

在其他位置，光强为介于最大与最小之间的某一值。

若两光强度相等，即 $ I_{1}=I_{2} $，则由式(8-17)得出

$$ I=2I_{1}(1+\cos\Delta\varphi)=4I_{1}\cos^{2}\frac{\Delta\varphi}{2} $$

此时 $ I_{max}=4I_{1}, I_{min}=0 $ ，而光场中的平均光强为 $ I_{1}+I_{2}=2I_{1} $ 。这说明光的干涉结果起光强（光的能量）在空间的重新分布。

现在引入可见度(visibility)的概念来描述干涉条纹的清晰程度,定义干涉条纹可见度 V 为

$$ V=\frac{I_{max}-I_{min}}{I_{max}+I_{min}} $$

对于单色光，其双缝干涉条纹的清晰度与 $ I_{1} $ 和 $ I_{2} $ 的相对大小有关。当 $ I_{1}=I_{2} $ 时， $ I_{\max}=4I_{1}, I_{\min}=0, V=1 $，条纹可见度最高，条纹的明暗对比最明显，干涉条纹最清晰，如图8-9所示；而 $ I_{1} \neq I_{2} $ 时， $ I_{\min}=I_{1}+I_{2}-2\sqrt{I_{1}I_{2}} \neq 0, V<1 $，此时光强分布的明暗对比度下降，干涉条纹变模糊，如图8-10所示。

8.4 分波阵面干涉法的其他实验

在杨氏完成干涉实验之后，菲涅耳等人又陆续设计出以分波阵面法产生干涉的若干其他实验，进一步验证了光的波动性。下面介绍其中具有代表性的三个。

1. 菲涅耳双棱镜实验

如图8-11所示，N是由上下两个底边相接的小角棱镜所构成的双棱镜，其棱脊平行于狭缝（线光源）S。经S发出的光波射入该双棱镜时，一部分经其上半部偏折后投射于屏E上的 $ P_{1}P_{1}^{\prime} $区域，另一部分经下半部偏折而投射于屏上的 $ P_{2}P_{2}^{\prime} $区域。经双棱镜的上下两半部折射而形成的两波阵面可看作分别自虚光源S和S_{2}发出，由于它们是相干光，在两光波重叠的区域 $ P_{1}P_{2} $内将产生干涉。与杨氏双缝实验对比可知，将S与S_{2}之间的距离d和虚光源到屏E的距离D分别代入式(8-10)和式(8-12)，即可分别求出屏上明、暗条纹中心的位置。

2. 菲涅耳双面镜实验

如图8-12所示，菲涅耳双面镜由两个交角 $ \alpha $很小的平面镜 $ M_{1} $和 $ M_{2} $组成。自

S 发出的光分别经两平面镜反射后成为传播方向不同的两部分，它们可看作分别由虚光源 $ S_{1} $ 和 $ S_{2} $ (S 的虚像) 发出的。在两列光波的重叠区域 $ P_{1}P_{2} $ 内产生干涉。条纹的计算方法与菲涅耳双棱镜类似，可根据图中对应的参量按杨氏双缝干涉的计算方法来确定。

3. 劳埃德镜实验

如图8-13所示，M为一平面镜。由S发出的光一部分直接照射到屏E上，另一部分经平面镜反射后再照射于屏上。经反射的那一列光可看成是从虚光源S'所发出的，由S和S'发出的这两列光在屏上的相遇区域产生干涉叠加。在劳埃德镜实验中有一个值得注意的现象：如果将屏E移至M的端点即图中虚线所示位置时，从几何路径看，SO=S'O，但在E'上的O点，实际观察到的是一条暗纹。这说明由S和S'发出的两光在O点是反相位的。这是由于虚光源S'代表经平面镜M反射的光，存在半波损失的缘故。这一问题以后将作进一步讨论。

$ ^{8.5} $ 光源宽度对干涉条纹对比度的影响 空间相干性

由于来自普通光源上不同部分之间的光是不相干的，所以在双缝干涉实验中，必须利用小孔或狭缝，采用点或线光源才能获得相干光。但在实际的实验中，点或狭缝总是存在一定的宽度，因而在屏上各点光的叠加就不会是完全的干涉叠加，这就给干涉条纹的对比度带来一定的影响。

如图8-14所示，设光源不是狭缝，而是具有宽度为 $ SS'=\Delta S $的面光源。这时可

将光源看成由一系列平行且连续排列的狭缝光源所构成。根据光的相干性知，这些平行狭缝之间的光是不相干的，所以在屏上观测到的干涉条纹就是这一系列狭缝各自产生的干涉条纹的非相干叠加。现设光源 SS' 相对于双缝 $ S_{1} $， $ S_{2} $ 对称，则光源的下边缘 S 处发出的光经双缝 $ S_{1} $， $ S_{2} $ 出射后，所得的两相干光在屏 E 上某点 P 处的波程差为

$$ \delta=\left(r_{2}+R_{2}\right)-\left(r_{1}+R_{1}\right)=\left(R_{2}-R_{1}\right)+\left(r_{2}-r_{1}\right) $$

由图中的几何关系可得

$$ \begin{aligned}&r_{1}^{2}=b^{2}+\left(\frac{d}{2}+\frac{\Delta S}{2}\right)^{2}\\&r_{2}^{2}=b^{2}+\left(\frac{d}{2}-\frac{\Delta S}{2}\right)^{2}\\ \end{aligned} $$

$$ r_{2}^{2}-r_{1}^{2}=-d\Delta S $$

所以

因实际上 $ \Delta S \ll b, d \ll b $（图中未能按比例画），所以

$$ \boldsymbol{r}_{2}^{2}-\boldsymbol{r}_{1}^{2}=\left(\boldsymbol{r}_{2}+\boldsymbol{r}_{1}\right)\left(\boldsymbol{r}_{2}-\boldsymbol{r}_{1}\right) $$

$$ \approx2b\left(r_{2}-r_{1}\right)=-d\Delta S $$

所以

$$ (r_{2}-r_{1})=-\frac{d\Delta S}{2b} $$

再根据第8.3节杨氏双缝干涉一节的计算知

$$ (R_{2}-R_{1})=\frac{d}{D}l $$

式中 l=OP。将以上两式代入式(8-22)得

$$ \delta=\frac{d}{D}\bigg(l-\frac{D\Delta S}{2b}\bigg) $$

据此即可由下式确定发自下边缘 S 处的光经双缝后在屏上形成的中央明纹的位置 l:

$$ \Delta\varphi=\frac{2\pi}{\lambda}\delta=\frac{2\pi}{\lambda}\frac{d}{D}\left(l-\frac{D\Delta S}{2b}\right)=0 $$

即

$$ l=\frac{D\Delta S}{2b} $$

同理可求得光源 SS'的上边缘 S'所发光波经双缝后形成的中央明纹的位置

$$ l^{\prime}=-\frac{D\Delta S}{2b} $$

式中的负号表明 $ l' $位于屏中央O点的下方。

所以，宽度为 $ \Delta S $ 的面光源 SS' 在屏上的中央明纹已扩展成宽度为 $ \Delta l $ 的亮带，而

$$ \Delta l=l-l^{\prime}=\frac{D\Delta S}{b} $$

由于在 S 与 S' 之间平行排列的所有线光源分别产生的干涉条纹都是等间距的，因此这些干涉条纹彼此错开，其明纹中心均匀地分布在屏 E 上的上述 $ \Delta l $ 宽度内，其他各级明纹的分布情况也与中央明纹类似。由于这些平行排列的线光源互不相干，所以它们在屏上形成非相干叠加，其结果是使干涉条纹变得模糊不清。

由式(8-27)可知，扩展光源的宽度 $ \Delta S $ 越大，同一级亮纹的展宽 $ \Delta l $ 也越大。如图8-15所示，当光源的上、下端的同一级亮纹宽度 $ \Delta l $ 小于干涉条纹间距 $ \Delta x $ $ \left(\Delta x = \frac{D}{d} \lambda\right) $ 时，同一级干涉条纹在 $ \Delta l $ 宽度内的非相干叠加使整个干涉条纹的可见度下降 [图8-15(a)]；当 $ \Delta l $ 恰为干涉条纹的间距 $ \Delta x $，即 $ \Delta l = \Delta x $ 时，由扩展光源形

成的干涉条纹将均匀地分布于整个屏上，即此时总光强均匀分布，干涉条纹可见度为零，条纹消失[图8-15(b)]。图中， $ I_{i} $ 表示扩展光源 SS' 上的某一条等效线光源在屏上的干涉条纹的光强，I 为屏上的总光强。

因此能观测到干涉条纹的必要条件是 $ \Delta l < \Delta x $，即

$$ \Delta S<\frac{b}{d}\lambda $$

当光源宽度一定时，双缝的间距必须满足 $ d<\frac{b}{\Delta S}\lambda $ 才能观测到干涉条纹。当光源宽度 $ \Delta S\geqslant\frac{b}{d}\lambda $ 时，不可能再观测到干涉条纹。

上述所讨论的与光源的宽度相关的相干性问题称为光的空间相干性（spatial coherence）。它反映出光源上能产生干涉的两点之间的极限空间距离。双缝间距的极限值 $ d=\frac{b}{\Delta S}\lambda $ 称为相干间隔，它决定了光的空间相干性。

以上对光源宽度的限制是对普通光源而言的。而对于激光，由于其发光面上各点发出的光都是相干的，所以用激光作为光源时无需限制光源宽度，将激光直接投射到双缝上就能得到极为清晰的干涉条纹。

8.6 光程 薄透镜的等光程性

8.6.1 光程与光程差

在前面的讨论中已看到，相位差是研究光的波动性，如干涉、衍射等问题最重要的物理量。但前面只考虑了光在真空中传播时的叠加问题。在这种简单的情形下，经过一定时间后，一束光的相位改变只由它在其间行进的几何距离决定，而两光之间的相位差也仅由它们经由的空间距离差决定。但是，如果一束光是在某种（或几种）介质中传播，则它最终的相位改变并不仅仅是由它所经历的几何路径来

决定，还与介质的折射率有关。同理，若两束光分别在不同的介质中传播后相遇，则决定它们之间相位差的也不是它们所经历的空间距离差。这就需要引进光程和光程差的概念。

设光在折射率为 n 的介质中传播时，其波长为 $ \lambda_{n} $，则

$$ \lambda_{n}=vT=\frac{c}{n}T=\frac{\lambda}{n} $$

式中，v 是光在介质 n 中的速率，c 和 $ \lambda $ 分别是光在真空中传播时的速率和波长。T 是光波的周期，它仅由光源决定，在不同的介质中光的周期或者频率不变。

若光在介质 n 中走过的几何路程为 r，则其相位改变为

$$ \Delta\varphi=\frac{2\pi}{\lambda_{n}}r=\frac{2\pi}{\lambda}nr $$

若令 L=nr，则有

$$ \Delta\varphi=\frac{2\pi}{\lambda_{n}}r=\frac{2\pi}{\lambda}L $$

$ \frac{2\pi}{\lambda_{n}}r $ 表示光在折射率为 n 的介质中走过几何路程为 r 时引起的相位变化, $ \frac{2\pi}{\lambda}L $ 表示光在真空中走过几何路程为 L 时引起的相位变化。上式表明: 光在折射率为 n 的介质中通过 r 的几何路径时发生的相位改变与光在真空中通过 L=nr 的几何路径时所发生的相位改变相同。

据此引入光程(optical path)的概念。定义：光程 L 等于光在介质中走过的几何路程 r 与介质折射率 n 的乘积，即光程 L = nr。一般地，当光经历若干种不同的介质后，其总光程为

$$ L=\sum_{i}n_{i}r_{i} $$

式中 $ r_{i} $ 代表光在折射率为 $ n_{i} $ 的介质中所走过的几何路程。

光程的概念也可以这样来理解：设波在介质 n 中传播几何路程 r 时所用的时间为 t，则

$$ t=\frac{r}{v}=\frac{nr}{c}=\frac{L}{c} $$

上式说明：光在介质中传播几何路程 r 所用的时间与在真空中传播 nr 路程所用的时间相同。即光程 L 等于在相同的时间内光在真空中所传播的距离。

利用光程的概念，我们就可以把光在不同介质中通过一定的几何路径后引起的相位改变统一折算到真空中来进行比较，从而能够简便而有效地处理光在不同介质中传播时的相位差问题。

设从同一点光源发出的两相干光，分别在介质 $ n_{1} $ 和 $ n_{2} $ 中走过几何路程 $ r_{1} $ 和 $ r_{2} $ 后，它们之间由此而引起的相位差为

$$ \Delta\varphi=\frac{2\pi}{\lambda}n_{2}r_{2}-\frac{2\pi}{\lambda}n_{1}r_{1}=\frac{2\pi}{\lambda}(n_{2}r_{2}-n_{1}r_{1})=\frac{2\pi}{\lambda}\delta $$

式中， $ \lambda $ 为真空中的波长， $ \delta=n_{2}r_{2}-n_{1}r_{1} $ 为两光之间的光程差（optical path difference）。即

$$ 相位差 =\frac{2\pi}{\lambda}\times 光程差 $$

例如，在图8-16中，由 $ S_{1} $射出的光经过厚度为d，折射率为n的介质，这时由 $ S_{1} $到P点的光程为 $ L_{S_{1}P}=(r_{1}-d)+nd $，而由 $ S_{2} $到P点的光程为 $ L_{S_{2}P}=r_{2} $。所以两光在P点的光程差为

$$ \delta=L_{S_{2}P}-L_{S_{1}P}=r_{2}-\left[\left(r_{1}-d\right)+nd\right]=\left(r_{2}-r_{1}\right)-\left(n-1\right)d $$

因而两光的相位差为

$$ \Delta\varphi=\frac{2\pi}{\lambda}\delta=\frac{2\pi}{\lambda}\left[\left(r_{2}-r_{1}\right)-\left(n-1\right)d\right] $$

当

$$ \Delta\varphi=\frac{2\pi}{\lambda}\delta=\{\begin{aligned}&\pm2k\pi&k=0,1,2,\cdots& 相长 \\ &\pm(2k+1)\pi&k=0,1,2,\cdots& 相消 \end{aligned}. $$

或

$$ \delta=(r_{2}-r_{1})-(n-1)d=\{\begin{aligned}&\pm k\lambda&k=0,1,2,\cdots& 相长 \\ &\pm(2k+1)\frac{\lambda}{2}&k=0,1,2,\cdots& 相消 \end{aligned}. $$

根据上述讨论可知，当两束相干光通过不同的介质后在空间相遇产生干涉时，其干涉光强的分布规律应由两束光的光程差 $ \delta $ 而不是几何路程差决定

【例 8-2】如图 8-17 所示，用 n=1.58 的薄云母片覆盖杨氏双缝干涉装置的下面一条缝，这时接收屏中心 O 被第五级明条纹占据。

（1）若光源波长为 $ 550 \, nm $，求云母片的厚度 t;

（2）若双缝相距为0.60 mm，屏与狭缝的距离为2.5 m，求中央明纹中心所在的位置 $ O' $。

解 （1）在中央（零级）明纹处，两光的光程差为零，而在第 k 级明纹处，两光的光程差为 $ k\lambda $。由于云母片盖住一缝后，中央明纹处被第5级亮纹占

据，所以 O 处的光程差由 0 变为 $ 5\lambda $。而在下面光路中插入厚度为 t 的透明介质片时引起该光路中光程差的变化为 $ (n-1)t $，所以此时两光在屏中央 O 的光程差

$$ \delta=\left(n-1\right)t=5\lambda $$

$$ t=\frac{5\lambda}{n-1}=\frac{5\times550}{1.58-1}nm=4741nm $$

（2）如图所示，设中央明纹现移到了距中央 O 为 x 的 $ O' $ 点，则该点应满足 $ \delta' = 0 $，即

$$ \begin{aligned}\delta^{\prime}&=\left(r_{2}-t+nt\right)-r_{1}=\left(r_{2}-r_{1}\right)+\left(n-1\right)t\\&=\frac{d}{D}x+\left(n-1\right)t=\frac{d}{D}x+5\lambda=0\end{aligned} $$

$$ x=-\frac{D}{d}\times5\lambda=-\frac{2.5\times10^{3}}{0.6}\times5\times550\times10^{-6}mm=-11.46mm $$

式中负号说明中央明纹现位于O点下方。

问题(2)的另一解法：

相邻两明纹的间距为

$$ \Delta x=\frac{D\lambda}{d}=\frac{2.5\times10^{3}\times550\times10^{-6}}{0.60}mm=2.29mm $$

中央明纹在屏幕上的位置（即距中心O的距离）为条纹间距的5倍，即

$$ x_{5}=5\Delta x=11.46mm $$

又因下面光路的光程增加，所以整个条纹下移，中央明纹移到 O 点下方距 O 点 11.46 mm 处。

8.6.2 薄透镜的等光程性

透镜是光学系统中的重要元件，在光的干涉和衍射装置中也常用到，所以透镜本身对于光的各种影响是人们关注的问题。下面仅对薄透镜的等光程性作一讨论。

从物点 S 发出的光经透镜 L 后能会聚成一个明亮的像点 S'，如图 8-18(a) 所示。根据光的干涉原理，明亮的像点是由于经透镜后的光发生干涉相长的结果，这说明经物点 S 发出的同相位的光经透镜后到达会聚点 S' 时仍是同相位的，因而物点 S 与其像点 S' 之间的各条光线一定是等光程的。而平行光通过透镜后也能会聚于焦平面上形成一亮点，如图 8-18(b) 所示。处在同一波阵面 P'P 上各点的相位相同，到达焦平面后相位仍然相同，因而干涉相长形成亮点。这就意味着从波阵面 P'P 上各点发出平行光线，经薄透镜到达 O 点时光程相等。虽然通过透镜中部的光其几何路径最短，但它却通过透镜最厚的地方；而边缘的光其几何路径较长，但它却通过透镜较薄的地方。中部透镜中较长的光程补偿了该光路在透镜外较短的光程。

由此可见，使用薄透镜只能改变光波的传播方向，但通过薄透镜的光线具有等光程性，或者说薄透镜不会对光产生附加的光程差。

8.6.3 反射光的相位突变和附加光程差

当光在两种介质的界面上发生反射时，在某些情况下，反射光的相位与入射光的相位相反，即光在反射时发生了相位 $ \pi $ 的突变。因为 $ \pi $ 的相位变化相应于 $ \lambda/2 $ 的光程差，所以光在反射时相位 $ \pi $ 的突变又称为半波损失（half-wave loss）。一般来讲，反射光的相位突变问题较为复杂，它与光的入射角、偏振态以及物质的性质都有关。但在透明介质中，只要光是从光疏介质（optically thinner medium）进入光密介质（optically denser medium），并且是正入射和接近正入射（ $ i\sim0 $），或者是掠入射（ $ i=90^{\circ} $），则反射波一定有半波损失。在其他入射角的情况下，反射波有无半波损失要由具体的情况来定。

通常当我们只讨论光在透明介质薄膜表面接近于正入射(i=0或i~0)的情况时，可按如下几种情况来确定半波损失的问题。

（1）透明介质薄膜浸于另一种均匀介质中，如图8-19所示，此时经薄膜上下表面反射的两列光波中，只有一列有半波损失，所以两光之间一定存在 $ \frac{\lambda}{2} $的额外光程差。研究表明，在这一情况下，当入射光以较小的角度斜入射时，则上述结论也是正确的。所以对于小角度入射的问题也可以据此判断。

（2）在图8-20中，当 $ n_{1}n_{3} $或 $ n_{1}>n_{2}

（3）在图8-20中，当 $ n_{1}n_{2}>n_{3} $时，上下表面均没有半波损失。因此在这两种情况下经薄膜上下表面反射的两光之间无附加光程差。

8.7 薄膜干涉

在前面的讨论中我们看到，当以普通光源用分波阵面法做干涉实验时，条件是较苛刻的，必须采用点光源或线光源。但在现实中人们有时也可以很容易地观察到自然条件下的干涉现象，例如肥皂泡或水面上的油膜在日光照射下形成的彩色。这类干涉属于薄膜干涉，它们实际上是由扩展光源（即具有一定宽度的光源）所产生的。薄膜干涉中的两列相干光是由一列入射光分别被薄膜的上下表面反射而形成的。这相当于将入射光能量或者说光振幅分为两部分而获得相干光，所以，薄膜干涉（film interference）是分振幅干涉的典型例子。

8.7.1 薄膜干涉公式

如图8-21所示，设自光源某点发出的一列光波a从折射率为 $ n_{1} $的透明介质以

入射角 i 入射于折射率为 $ n_{2} $（设 $ n_{2} > n_{1} $）、厚度为 d 的透明平行平面薄膜上，一部分光经薄膜上表面反射成为 $ b_{1} $ 光，折射入薄膜的光中有一部分经下表面反射后再折射出上表面成为 $ b_{2} $ 光。显然 $ b_{1} $ 和 $ b_{2} $ 是相互平行的两相干光，利用透镜即可在焦平面上观察到它们的干涉图样（interference pattern）。

现在来计算 $ b_{1} $ 与 $ b_{2} $ 之间的光程差。由图中可知，由于BD（等相面）垂直于两反射光的传播方向，

因此 B,D 两点的光到达会聚点是等光程的,所以薄膜的上下表面反射的两光之间的光程差为

$$ \delta=n_{2}(AC+CB)-n_{1}AD+\frac{\lambda}{2} $$

注意：当薄膜上下两侧不是同一种介质时，要重新考虑公式中最后一项的附加光程差 $ \frac{\lambda}{2} $是否存在，而且当入射角i较大时，半波损失的问题也要具体分析。

因

$$ \begin{aligned}AC&=CB=\frac{d}{\cos r}\\AD&=AB\sin i=2d\tan r\cdot\sin i\end{aligned} $$

再利用折射定律 $ n_{2}\sin r=n_{1}\sin i $ 可得

$$ \begin{aligned}n_{1}AD=2d\tan r\cdot n_{2}\sin r&=2n_{2}d\frac{\sin^{2}r}{\cos r}\\\delta=2n_{2}d\cos r+\frac{\lambda}{2}\end{aligned} $$

则

利用关系式 $ n_{2}\cos r=\sqrt{n_{2}^{2}-n_{2}^{2}\sin^{2}r}=\sqrt{n_{2}^{2}-n_{1}^{2}\sin^{2}i} $，整理后得

$$ \delta=2d\sqrt{n_{2}^{2}-n_{1}^{2}\sin^{2}i}+\frac{\lambda}{2} $$

由此得到薄膜反射光的干涉相长和相消条件为

$$ 2d\sqrt{n_{2}^{2}-n_{1}^{2}\sin^{2}i}+\frac{\lambda}{2}=\{\begin{aligned}&k\lambda&k=1,2,\cdots& 相长 \\ &(2k+1)\frac{\lambda}{2}&k=0,1,2,\cdots& 相消 \end{aligned}. $$

下面讨论一下透射光的干涉问题。当光入射于薄膜时，除了被上下表面反射并折回入射介质中的反射光外，其余部分的光将从薄膜下表面折射出去，成为透射光。如图8-21所示，在透射光中，一部分直接经C点折射出去，另一部分则经下表面(C点)和上表面(B点)依次反射之后再折射出去。因此透射光也能产生干涉现象，但此时两光之间不存在附加的光程差（仍需具体情况具体分体），即透射光的光程差为

$$ \delta^{\prime}=2d\sqrt{n_{2}^{2}-n_{1}^{2}\sin i} $$

因而透射光的干涉相长和相消条件为

$$ 2d\sqrt{n_{2}^{2}-n_{1}^{2}\sin^{2}i}=\{\begin{aligned}&k\lambda&k=1,2,\cdots& 相长 \\ &(2k+1)\frac{\lambda}{2}&k=0,1,2,\cdots& 相消 \end{aligned}. $$

式(8-39)和式(8-40)说明反射光的光程差和透射光的光程差相差 $ \frac{\lambda}{2} $，两种光的干涉现象是互补的，即当反射光的干涉相长时，透射光的干涉正好相消，反之亦然。这实际上也是能量守恒的必然结果。

8.7.2 等厚干涉 劈尖与牛顿环

1. 等厚干涉

在式(8-39)中，若令光的入射角 i 不变，则薄膜干涉就仅由薄膜厚度 d 的非均匀性所决定。实际中常采用光垂直入射的方式，即令 i=0，则由式(8-39)得干涉明、暗纹条件为

$$ 2n d+\frac{\lambda}{2}=\{\begin{aligned}&k\lambda&k=1,2,\cdots& 明纹 \\ &(2k+1)\frac{\lambda}{2}&k=0,1,2,\cdots& 暗纹 \end{aligned}. $$

其中 $ n=n_{2} $ 为透明介质薄膜的折射率， $ \lambda $ 为真空中的波长。上式表明，垂直入射（或入射角固定）时，干涉图样中每一级次的明纹或暗纹都与某一确定的膜厚 d 相

对应，或者说薄膜上具有同一厚度的所有点反射时引起的光程差都相等，因而形成同一级次的干涉条纹。此时干涉条纹的形状取决于薄膜上厚度相同的点的轨迹，也就是干涉条纹分布与薄膜的等厚线一致，因此称这种干涉称为等厚干涉。如果薄膜的等厚线为直线，则等厚干涉条纹（equal thickness fringes）就为直线，例如劈尖的干涉；若等厚线为圆环，则干涉条纹也为圆环，如牛顿环。

2. 劈尖

劈尖(wedge film)或劈形膜是等厚干涉的典型例子。如图8-22所示，当光垂

直照射于劈尖上时（一般劈尖角 $ \alpha $ 非常小，因此可以近似认为光线既垂直于劈尖的上表面，又垂直于下表面），上下表面反射光在劈尖表面处相遇并相干叠加，其形成的干涉图样由式（8-41）决定。由于劈尖的等厚线是平行于棱边的直线，所以其干涉条纹也是一组与棱边平行的明暗相间的直条纹。

在棱边处， $ d=0,\delta=\frac{\lambda}{2} $。即由于半波损失的存在，使棱边处为暗纹。由式（8-41）可推出第k级明纹和暗纹所对应的膜厚分别为

$$ d=\frac{2k-1}{4n}\lambda\ ,\quad k=1,2,\cdots\quad 明纹 $$

$$ d=\frac{k}{2n}\lambda\ ,\quad k=0,1,2,\cdots\quad 暗纹 $$

由以上两式可见，劈尖干涉条纹的干涉级次在棱边处最低（k=0，零级暗纹），离棱边越远干涉级次 k 越高。相邻两条明纹或暗纹中心之间所对应的薄膜厚度差为

$$ \Delta d=d_{k+1}-d_{k}=\frac{\lambda}{2n} $$

由图8-22，可算出相邻两条明纹或暗纹中心的间距，即条纹宽度l为

$$ l=\frac{\Delta d}{\sin\alpha}=\frac{\lambda}{2n\sin\alpha} $$

因 $ \alpha $ 一般都很小，所以 $ \sin\alpha\approx\alpha $，则上式可写为

$$ l=\frac{\lambda}{2n\alpha} $$

上式表明：劈尖干涉条纹是等间距的，条纹宽度与光的波长 $ \lambda $成正比，与劈尖角 $ \alpha $成反比，但与干涉级次无关。所以当 $ \lambda $一定时，劈尖角 $ \alpha $越大，条纹就越密；当 $ \alpha $大于某一极限值时，干涉条纹将无法分辨直至消失。

当用复色光照射劈尖时，不同波长的同一级干涉条纹的宽度不同，从而在薄膜

表面上形成若干条彩色光谱带。

【例 8-3】在白光正面照射下，从垂直方向观察置于空气中的折射率 n=1.5 的透明介质薄膜，发现 $ \lambda_{1}=600 $ nm 的波长出现干涉极大， $ \lambda_{2}=450 $ nm 的波长出现干涉极小，且在 500~700 nm 之间不出现干涉极小。试求此薄膜的厚度（设膜厚小于 2 $ \mu $m）。解 设薄膜厚度为 d，则依题意并根据式（8-41），有

明纹：

$$ 2nd+\frac{\lambda_{1}}{2}=k_{1}\lambda_{1} $$

$$ 2nd+\frac{\lambda_{2}}{2}=\left(2k_{2}+1\right)\frac{\lambda_{2}}{2} $$

暗纹：

由两式得 $ k_{1}\lambda_{1}-\frac{\lambda_{1}}{2}=k_{2}\lambda_{2} $。将 $ \lambda_{1}=600\ nm $， $ \lambda_{2}=450\ nm $ 代入得

$$ k_{2}=\frac{4k_{1}-2}{3} $$

显然， $ k_{1} $ 只有取某些整数值时才能保证上式中的 $ k_{2} $ 也同时为整数。再考虑到 $ d < 2\ \mu m $ 的要求，得到可能满足条件的3组解为

$$ k_{1}=2,k_{2}=2;k_{1}=5,k_{2}=6;k_{1}=8,k_{2}=10 $$

将 $ k_{2}=2 $代入上面暗纹公式得

$$ d=\frac{k_{2}\lambda_{2}}{2n}=\frac{2\times450}{2\times1.5}=300nm $$

将 $ k_{2}=6 $代入得

$$ d^{\prime}=\frac{6\times450}{3}=900nm $$

再将 $ k_{2}=10 $ 代入得

$$ d^{\prime \prime}=\frac{10\times450}{3}=1\ 500\ nm $$

但 d' 和 d"不符合题意：

将 $ d'=900 $ nm 代入暗纹公式，得

$$ \lambda_{2}^{\prime}=\frac{2nd^{\prime}}{k_{2}^{\prime}}=\frac{3\times900}{k_{2}^{\prime}}=\frac{2700}{k_{2}^{\prime}}nm $$

当 $ k'_2 = 4 $ 和 5 时， $ \lambda'_2 $ 分别等于 675 nm 和 540 nm，这与在 500~700 nm 之间不出现干涉极小的题设相矛盾。

同样可算出，当 $ d'' = 1500 \, \text{nm} $，则当 $ k_2'' = 7,8,9 $ 时，干涉极小的波长将分别为 $ \lambda_2'' = 643 \, \text{nm}, 562 \, \text{nm}, 500 \, \text{nm} $，同样与题意不符。

因此，所求薄膜厚度为 $ d=300\ nm=0.3\ \mu m $。所对应的明纹和暗纹的干涉级次 $ k_{1}=2, k_{2}=2 $。

8.7.3 等厚干涉的应用

在许多精密测量中，光的干涉法是无可替代的重要方法。在这些场合检测的精度已达光波波长的数量级，唯有利用光的干涉原理制成各种干涉检测仪方能进行相应的测量。

1. 测量细丝直径

如图8-23所示，将直径为d的待测细丝放于两平板玻璃的一端，则两板之间形成一空气劈形膜，细丝与棱边之间的距离为D。用波长为 $ \lambda $光垂直照射，在其表面形成干涉条纹。用测微显微镜测出视场中N条干涉明条纹数之间的总宽度为L，则相邻条纹间距为 $ l=\frac{L}{N-1} $。利用式(8-46)，得 $ \alpha=\frac{\lambda}{2l}=\frac{d}{D} $，由此算出细丝直径 $ d=\frac{D\lambda}{2l}=\frac{D\lambda}{2L}(N-1) $。

2. 测量微小长度的改变

由式(8-46)知，干涉条纹宽度与膜厚无关。所以当劈尖角 $ \alpha $ 不变而膜厚 d 改变时，条纹宽度 l 不变，但将发生条纹的移动。根据式(8-44)，若薄膜厚度增加 $ \frac{\lambda}{2n} $，则原来第 k 级条纹处的厚度现在变为第 $ k+1 $ 级的厚度，第 k 级干涉条纹就要向下位移到原来第 k-1 级条纹的位置处，因此整个干涉图样就在薄膜表面向棱边方向移动了一个条纹宽度的距离。类似地，当膜的厚度减小 $ \frac{\lambda}{2n} $，则整个干涉图样将向相反的方向移动一个条纹的距离。所以通过测量干涉条纹的移动可算出薄膜厚度的微小改变。

用于测定固体热膨胀系数的干涉膨胀仪就是利用上述原理制成的。如图8-24

所示，两平板玻璃 A 和 B 之间放一膨胀系数很小的环形柱 C，待测样品 W 的上表面与 A 的下表面形成一楔形空气薄膜，当以单色光垂直照射时将得到等厚干涉条纹。设温度为 $ t_{0} $ 时样品长为 $ L_{0} $，温度为 t 时其长度为 L。若在热膨胀过程中干涉条纹总共移动了 N 条，因为样品的增长量 $ \Delta L $ 就等于膜厚的减小量，所以

$$ \Delta L=L-L_{0}=N\frac{\lambda}{2} $$

由此即可按定义计算出热膨胀系数

$$ \beta=\frac{L-L_{0}}{L_{0}}\frac{1}{t-t_{0}}=\frac{N\lambda}{2L_{0}(t-t_{0})} $$

3. 检查表面质量

对一些平整精度要求非常高的表面，其上极其微小的不平或纹路只能用干涉法来检测。如图8-25(a)所示，A是标准平板玻璃，B是待检验品，两者之间形成一空气楔。若B是高精度平的，则干涉条纹应是平行直线，否则在有凸凹的纹路处干涉条纹将发生弯曲。根据干涉条纹的弯曲方向可以说明纹路是凸的还是凹的。如图8-25(b)所示，条纹向劈尖方向弯曲，说明对应点空气膜变厚，所以纹路是凹的。

现在来计算纹路的深度 H。由图知，相邻两暗纹间的距离为 b，条纹移动距离为 a。因膜的厚度每改变 $ \frac{\lambda}{2} $，干涉图样将移动一个条纹的间距 b，故对应的厚度改变，也就是纹路的深度 H 满足

$$ H=\frac{a}{b}\frac{\lambda}{2} $$

8.7.4 牛顿环

牛顿环(Newton ring)是薄膜干涉的另一典型例子。如图8-26(a)所示，在平面玻璃B上放一曲率半径R很大的平凸透镜A，于是在A与B之间便形成一环形的楔形空气薄层。该空气层的等厚线是以接触点(中点O)为中心的圆周，所以当以单色光沿一定方向入射时，在其表面上将呈现出如图8-26(b)所示的同心环状干涉条纹。因为牛顿在早期曾亲自做过这个实验，故将这种干涉圆环称为牛顿环。

光垂直入射时，根据薄膜干涉公式，牛顿环的第 k 级明环和暗环所对应的空气膜厚度 d 所满足的关系分别为

$$ 2d+\frac{\lambda}{2}=k\lambda\ ,\quad k=1,2,\cdots\quad 明环 $$

$$ 2d+\frac{\lambda}{2}=(2k+1)\frac{\lambda}{2},\quad k=0,1,2,\cdots\quad 暗环 $$

在中心处, d=0, $ \delta=\frac{\lambda}{2} $, 所以牛顿环的中心为一暗点。

根据图8-27中的几何关系可算出距透镜中心为r处所对应的空气膜厚度d为

$$ \begin{aligned}d&=R-\sqrt{R^{2}-r^{2}}\\&r^{2}=2Rd-d^{2}\end{aligned} $$

因此

又因 $ d^{2}\ll2Rd $，所以

$$ d\approx\frac{r^{2}}{2R} $$

将式(8-49)代入式(8-47)和式(8-48)，即可分别求出第 k 级明环和暗环对应的半径，即

$$ r=\sqrt{\frac{(2k-1)R\lambda}{2}},\quad k=1,2,3,\cdots $$

$$ r=\sqrt{kR\lambda},\quad k=0,1,2,\cdots\quad 暗环 $$

以上两式说明，k值随干涉环的半径增大而增大。即越靠近中心的条纹其干涉级次越低，而离中心越远的条纹其干涉级次越高。

由式(8-51)知, $ r_{k}^{2}=kR\lambda,r_{k+1}^{2}=(k+1)R\lambda $，则相邻两级暗纹的间距为

$$ \Delta r_{k}=r_{k+1}-r_{k}=\frac{R\lambda}{r_{k+1}+r_{k}} $$

由此可以看出，离中心越远，条纹间距越小，干涉条纹越密。所以，牛顿环的干涉条纹是内疏外密、非等间距的。

若观察透射光，也可看到干涉圆环，但透射光的牛顿环与反射光的牛顿环互补，中点为一亮点。

在实验室中，常用牛顿环测定光波的波长或平凸透镜的曲率半径。在工业上则利用牛顿环检查透镜的质量。

【例8-4】在如图8-26(a)所示的牛顿环实验装置中，可以通过调节边缘的螺钉来改变A，B之间的空气层的厚度。现用单色光照射时在反射光中观察到牛顿环由中心向外冒出，问：

（1）空气层厚度是增加还是减小？

（2）若观察到有10个环从中心冒出，则膜厚变化了多少？

解（1）由牛顿环反射光干涉明纹的条件

$$ 2d+\frac{\lambda}{2}=k\lambda,\quad k=1,2,\cdots $$

可知，干涉级次 k 随膜厚度而增加。设第 k 级干涉条纹对应于固定的膜厚 $ d_{k} $，当膜层厚度减小时，原来的第 k 级条纹只得向外移动到对应的厚度处，于是可观察到牛顿环从中心向外冒出；反之，当膜层厚度增加时，干涉环将从外向中心收缩。由此可见，题意表明空气层厚度在减小。

(2) $ \Delta d_{k}=\frac{\lambda}{2} $，即每当膜厚减小 $ \frac{\lambda}{2} $就会冒出一个环。所以冒出10个环时膜厚的减小量为

$$ \Delta d=10\cdot\Delta d_{k}=10\times\frac{\lambda}{2}=5\lambda $$

8.7.5 增透膜 增反膜

由前面的讨论已知，经薄膜两表面反射和透射的光波能量是互补的（不考虑薄膜的吸收），即反射光能量最强时，透射光能量最弱；而反射光最弱时则透射光最强。因此应用薄膜干涉原理，可以减少光因在光学元件上的反射或透射而带来的能量损失。

1. 增透膜

生活中，当我们拿出相机，打开镜盖会发现镜头总是呈蓝紫色，并且略带一点红，这是为什么呢？原来，在照相机的镜头上镀了一层薄膜，称为增透膜，以增加镜头的透光量。增透膜是利用反射光干涉相消的原理来减少光由于反射而造成的能量损失，从而增强透射光能量。如图8-28所示， $ n_{2} $为薄膜， $ n_{3} $为光学元件，薄膜的折射率 $ n_{2} $满足 $ n_{1}

$$ 2n_{2}d=\left(2k+1\right)\frac{\lambda}{2},\quad k=0,1,2,\cdots $$

则经该膜反射的两光干涉相消，从而透射光加强。由上式可得出增透膜的最小厚度为

$$ d=\frac{\lambda}{4n_{2}} $$

从上两式可见，对于不同波长的光，增透膜的厚度是不同的。如果要对复色光起到减反的作用，则需采用镀不同厚度的多层介质膜的方法。

2. 增反膜

增反膜(high reflecting film)的作用恰好与增透膜相反，即通过干涉效应来增加反射光强度而削弱透射作用。在光学元件表面镀上适当厚度和折射率的介质薄膜，使反射光产生干涉极大而增加反射光强。由于一般透明介质的反射性能都较弱，所以实际上是采用多层反射膜，使射入薄膜的光经多次反射并逐一产生干涉相长，最终使绝大部分光能被反射出去而只有极少部分透射。

除此之外，还有若干其他用途的光学薄膜，如干涉滤色片（只让特定波长的单色光透过）、分光膜（让一部分光反射，一部分光透射）等也都可用类似的方法制成。

$ ^{*} $8.7.6 等倾干涉

如前所述，在薄膜干涉公式（8-39）中，若薄膜的上下表面相互平行，即固定薄膜的厚度 d 不变，则干涉图样仅由光的入射角 i 决定。凡是以相同倾角 i 入射，经薄膜上下表面反射而形成的相干光，其光程差都相等，因而由它们构成同一级干涉条纹，而不同入射角的光则形成不同级次的干涉条纹。由于这种干涉条纹是由以相同倾角入射的光所形成的，所以称其为等倾干涉，如图8-29所示。

等倾干涉明暗纹条件仍由式（8-39）确定，即

$$ 2d\sqrt{n_{2}^{2}-n_{1}^{2}\sin^{2}i}+\frac{\lambda}{2}=\{\begin{aligned}&k\lambda&k=1,2,\cdots& 亮纹 \\ &(2k+1)\frac{\lambda}{2}&k=0,1,2,\cdots& 暗纹 \end{aligned}. $$

因公式中 d 为定值，故每一级次 k 的干涉条纹都与一个特定的入射角 $ i_{k} $ 相对应。

观察等倾干涉的实验装置如图8-30(a)所示。由面光源上任一点S以一定倾角发出的一束光，经半反射镜(分光镜)M反射后射向折射率为n的平行平面介质薄膜P，经P的上下表面反射形成的相干光再从M透过后经透镜L汇聚在透镜焦平面处的屏E上。由于具有相同入射角的光分布于一个圆锥面上，而这些光经薄膜P反射后也形成一个圆锥面，最后投射到透镜焦平面E上而形成一个干涉圆环（或部分圆弧），如图8-30(b)所示。当光的入射角i不同时，将得到不同半径的圆环（或部分圆弧），且由图中不难看出，入射倾角越大的光束所形成的干涉环的半径越大，而半径越小的干涉环，其所对应的入射角越小。

等倾干涉图样是一组同心圆环，圆环间距为内疏外密（这与牛顿环情况相同），但是半径越大（亦即入射角越大）的干涉环所对应的干涉级次越低，故中心处的干涉级次k最高（这恰与牛顿环情况相反）。另外等倾干涉中，无论点光源在何处，只要它们以相同的倾角入射，所形成的干涉环就重合。所以采用扩展光源时，光源不同部分所产生的同一干涉环的非相干叠加使干涉图样强度增加，明暗对比更为明显。

$ ^{*} $8.8 迈克耳孙干涉仪

干涉仪是一种精密的光学仪器，是根据光的干涉原理制成的。在现实生活和科技活动中，干涉仪有着广泛而重要的应用。干涉仪的种类很多，这里只介绍一种最基本的干涉仪，即迈克耳孙干涉仪（Michelson interferometer），它是一种采用分振幅法来产生双光束干涉的仪器。

迈克耳孙干涉仪的构造如图8-31所示， $ M_{1} $ 和 $ M_{2} $ 是两面精密磨光的平面反射镜，其中 $ M_{1} $ 固定， $ M_{2} $ 用螺栓控制，可沿臂轴方向作微小移动。 $ G_{1} $ 和 $ G_{2} $ 是两块折射率和厚度都相等的平行平面玻璃板。在 $ G_{1} $ 的下表面镀有半透明的薄银膜，使射在 $ G_{1} $ 上的光一半反射，一半透射，所以 $ G_{1} $ 又称为分光板（beam splitter）。 $ G_{1} $ 和 $ G_{2} $ 相互平行且与 $ M_{1} $， $ M_{2} $ 的倾角均为 $ 45^{\circ} $。

由面光源 S 发出的光射向分光板 $ G_{1} $ 后，透过的光经 $ G_{2} $ 射向 $ M_{1} $，经 $ M_{1} $ 反射后再透过 $ G_{2} $，并经 $ G_{1} $ 下表面反射到达视场 E 处；由 S 发出后直接被 $ G_{1} $ 反射的另一部分光射向 $ M_{2} $，并经 $ M_{2} $ 反射后再透过 $ G_{1} $ 而到达视场 E 处。因为被 $ M_{1} $ 和 $ M_{2} $ 反射的这两部分光为相干光，所以在视场 E 中将观察到它们的干涉图样。由于经光路 2 的光在 $ G_{1} $ 板中一共通过 3 次，为使经 $ M_{1} $ 和 $ M_{2} $ 反射而到达 E 的两光不致产生太大的光程差，所以在光路 1 中加入 $ G_{2} $，使经 $ M_{1} $ 反射的光在 $ G_{1} $， $ G_{2} $ 中总共也通过 3 次，因此 $ G_{2} $ 称为补偿板（compensating plate）。因 $ M_{1} $ 通过 $ G_{1} $ 成像为 $ M'_{1} $，所以经 $ M_{1} $ 反射的光可视为从其虚像 $ M'_{1} $ 处的反射光，因而到达 E 的两相干光可看成是经 $ M'_{1} $ 与 $ M_{2} $ 之间的空气膜反射而形成的。当 $ M_{1} $ 与 $ M_{2} $ 严格垂直时，则 $ M'_{1} $ 与 $ M_{2} $ 严格平行，这时两光的干涉为等倾干涉；若 $ M_{1} $ 与 $ M_{2} $ 不严格垂直，则 $ M'_{1} $ 与 $ M_{2} $ 之间形成一空气劈尖，这时在视场中将观察到等厚干涉条纹。调节 $ M_{2} $ 可改变 $ M'_{1} $ 与 $ M_{2} $ 之间的空气

膜厚度，这时可看到干涉条纹的移动。当 $ M_{2} $ 平移 $ \frac{\lambda}{2} $ 的距离，视场中将有一个条纹移动。所以若总共观察到 N 个条纹的移动，则可知 $ M_{2} $ 移动的距离为

$$ \Delta d=N\frac{\lambda}{2} $$

由此可见，通过移动反射镜或在光路中加入其他介质来改变光程差，就可进行长度、折射率、波长等的测量，也可检查光学元件的质量。迈克耳孙曾用他最早设计的干涉仪来测量“光以太”的漂移速度。在改进和提高仪器的精度后，迈克耳孙和莫雷两人于1881年再次利用干涉仪做了历史上著名的迈克耳孙-莫雷实验。该实验以及后来若干类似实验的零结果共同宣告了寻找“以太风”的失败，从而为相对论的建立奠定了实验基础。

【例8-5】在迈克耳孙干涉仪中，因 $ M_{1} $ 与 $ M_{2} $ 不严格垂直而产生等厚干涉条纹。设视场宽度为 $ L=3\ cm $，以 $ \lambda=600\ nm $ 的单色光照射时，视场中共呈现24条明条纹，问 $ M_{1} $ 与 $ M_{2} $ 两平面与严格垂直的偏离程度。

解 设 $ M_{1} $ 的像 $ M_{1}^{\prime} $ 与 $ M_{2} $ 之间的夹角为 $ \alpha $, $ M_{1}^{\prime} $ 与 $ M_{2} $ 之间空气膜两端的厚度差为 $ \Delta d $。因相邻明条纹对应 $ \lambda/2 $ 的厚度差，所以

$$ \Delta d=N\times\frac{\lambda}{2} $$

$$ \alpha\approx\tan\alpha=\frac{\Delta d}{L}=\frac{N}{L}\cdot\frac{\lambda}{2}=\frac{24}{3\times10^{-2}}\times300\times10^{-9}\text{rad}=2.4\times10^{-4}\text{rad} $$

这也就是 $ M_{1} $ 和 $ M_{2} $ 之间与严格垂直位置所偏离的角度。

8.9 光的单色性对干涉条纹的影响 时间相干性

在如图8-31所示的迈克耳孙干涉仪中，当调节 $ M_{2} $使两光的光程差不断增加时，视场中干涉条纹会逐渐模糊，当 $ M_{2} $到达某一位置而使 $ M_{2} $与 $ M_{1}^{\prime} $时之间的距离足够大时，干涉条纹将消失。事实上，在我们通常所能观察到的各种薄膜干涉现象中，相应的薄膜都是很薄的。当薄膜较厚时，薄膜干涉现象可能会消失，这实际上是由普通光源的发光机理所制约的。

前面讲过，原子的发光是间歇的，其所辐射的光波是一列一列具有有限长度的光波列，而且前后两列光波之间又无恒定的相位关系。所以，只有从同一波列上分出的两列波在重新相遇后才会产生干涉。如图8-32所示，设原子先后发出的相邻两列波为a和b，波列a射向介质膜时经上下两表面反射后

分别成为 $ a_1 $ 和 $ a_2 $ 光。由于两光经历不同的光程，到达探测器时存在一个时间差。若这一差值太大，以至于波列 $ a_1 $ 与 $ a_2 $ 不可能相遇，而是 $ a_2 $ 与后一列（波列 b）经上表面反射的 $ b_1 $ 波相遇，这时就不可能发生干涉。从光程上来看，不难明白，若要发生干涉，则 $ a_1 $ 与 $ a_2 $ 之间的光程差就不能大于波列（wave train）的长度。设原子一次发光的持续时间为 $ \tau $，光速为 $ c $，则波列长度为 $ l_c = \tau c $。因此， $ l_c $ 就是经薄膜上下表面反射的两光能发生干涉的极限光程差，而 $ \tau $ 就是这两束光分开后还能相遇而产生干涉的极限时间差。 $ l_c $ 称为相干长度（coherent length）， $ \tau $ 为相干时间（coherent time）。显然，光的相干长度或者说相干时间越长，被薄膜反射的两光发生干涉的可能性就越大，光的相干性就越好。

上述由于普通光源的发光过程在时间上的断续性而对光的干涉性质的影响，称为光的时间相干性(temporal coherence)。

光的相干长度与光的单色性之间有着密切的联系。事实上，任意一个长度有限的波列，它实际上都是由许多不同频率的波组成的。所以对于自然光，即使是所谓的单色光源，其实也不会发出严格单一波长的光，而只能是包含有一定波长范围的准单色光。波长中心为 $ \lambda $ 的准单色光可用如图 8-33 所示的 $ I-\lambda $ 曲线表示。强度等于最大强度的一半的波长范围 $ \Delta\lambda $ 称为谱线宽度。由图中可看到， $ \Delta\lambda $ 越小则单色性越好。谱线宽度与光的相干长度之间的关系为

$$ l_{c}=\frac{\lambda^{2}}{\Delta\lambda} $$

这表明谱线宽度 $ \Delta\lambda $ 越小，相干长度就越长，产生干涉所允许的光程差也就越大。

现在来具体分析光的单色性对干涉条纹的影响。当具有谱线宽度 $ \Delta\lambda $ 的光产生干涉时，干涉图样实际上是这些不同波长的光所产生的干涉条纹之间的非相干叠加。由于不同波长的干涉条纹间距不同，叠加的结果如图8-34所示，除零级外，其他不同波长的同级次干涉条纹彼此错开，并发生不同级次的条纹重叠，形成非相干叠加。随着距离 x 的增加，条纹变模糊。当 x 增加到某一值时，干涉条纹消失。若光的谱线宽度为 $ \Delta\lambda $，则干涉条纹消失的位置对应于 $ \lambda $ 的第 $ k+1 $ 级明纹与 $ \lambda+\Delta\lambda $ 的第 k 级明纹相重合的位置。由于此两波长的光在该位置上有相同的光程差，于是，由光程差与明纹级次的关系可得干涉条纹消失前所对应的最大光程差为

$$ \delta=\left(k+1\right)\lambda=k\left(\lambda+\Delta\lambda\right) $$

由上式后两项得 $ k=\frac{\lambda}{\Delta\lambda} $，所以

$$ \delta=\left(k+1\right)\lambda=\frac{\lambda+\Delta\lambda}{\Delta\lambda}\lambda $$

因 $ \Delta\lambda\ll\lambda $，所以

$$ \delta=\frac{\lambda^{2}}{\Delta\lambda} $$

由于上式表示干涉条纹消失前所对应的最大光程差，也就是产生干涉所允许的最大光程差，因此它实际上也就是光的相干长度 $ l_{c} $，说明光的单色性越好，其相干性也越好。

普通的单色光源，如钠光灯、镉灯、水银灯等，其谱线宽度在 0.001~0.1 nm 之间，所以相干长度在 10 cm~1 mm 之间，而激光如氦氖激光器的谱线宽度只有 $ 10^{-7} $ nm，其相干长度可达数百千米。

习题

8-1 来自一狭缝的波长为 $ 510 \, nm $ 的绿光垂直射入一双狭缝，若在距双缝 $ 3 \, m $ 远处的屏上相对于中央为同侧的连续 10 个条纹间的距离共为 $ 3 \, cm $，则双缝的距离为（）。

A. 0.051 mm B. 0.51 mm C. 5.1 mm D. 51 mm

8-2 单色平行光垂直照射在薄膜上，经上下表面反射的两束光发生干涉，如题8-2图所示。若薄膜的厚度为d，且 $ n_{1}n_{3} $， $ \lambda_{1} $为入射光在 $ n_{1} $中的波长，则两束反射光的光程差为（）。

A. $ 2n_{2}d $ B. $ 2n_{2}d+\frac{\lambda_{1}}{2n_{1}} $ C. $ 2n_{2}d+\frac{n_{1}\lambda_{1}}{2} $ D. $ 2n_{2}d+\frac{n_{2}\lambda_{1}}{2} $

8-3 两个直径相差甚微的圆柱夹在两块平板玻璃之间构成空气劈尖，如题8-3图所示。单色光垂直照射，可看到等厚干涉条纹，如果将两圆柱之间的距离L增大，则L范围内的干涉条纹()。

A. 数目增加，间距不变

B. 数目增加，间距变小

C. 数目不变，间距变大

D. 数目减小，间距变大

8-4 用劈尖干涉检测工件的表面，当以波长为 $ \lambda $ 的单色光垂直入射时，观察到的干涉条纹如题8-4图所示，每一条纹弯曲部分的顶点恰与左邻的直线部分的连线相切，由图上的条纹可知，工件表面()。

A. 有一凸梗，高为 $ \lambda/2 $ B. 有一凸梗，高为 $ \lambda/4 $ C. 有一凹梗，高为 $ \lambda/4 $ D. 有一凹梗，高为 $ \lambda/2 $

8-5 一平板玻璃（n=1.60）置于空气中，板上有一滴油（n=1.35），展成中央稍高的很扁的圆锥形薄膜，如题8-5图所示。设锥高为1μm，当用λ=600nm的单色光垂直照射时，则在反射方向看到的干涉条纹将是（）。

A. 边缘为明纹，中央为暗纹

B. 边缘为暗纹，中央为明纹

C. 边缘为暗纹，中央为暗纹

D. 边缘为明纹，中央为明纹

8-6 将牛顿环装置中的平凸透镜缓慢向上平移时，空气膜厚度逐渐加大，可以看到环状干涉条纹()。

A. 静止不动 B. 向左平移 C. 向外扩张 D. 向中心收缩 E. 向右平移

8-7 单色平行光垂直入射到相距为 $ d_{1} $ 的双缝上，设在屏上某点 P 处出现第四级明纹。若使双缝间的距离变为 $ d_{2} $，此时 P 点出现第三级明纹，则比值 $ d_{1}/d_{2} $ 为 ___。

8-8 波长 $ \lambda = 6 \times 10^{-4} $ mm 的单色光垂直照射到尖角 $ \alpha $ 很小、折射率 n = 1.5 的玻璃劈尖上。在长度 l = 1 cm 内可观察到 10 条干涉条纹，则玻璃尖劈的尖角 $ \alpha $ 为 ___ rad。

8-9 借助于玻璃表面上所涂的折射率为 $ n_1 = 1.38 $ 的 $ \mathrm{MgF}_2 $ 透明薄膜，可以减少折射率为 $ n_2 = 1.60 $ 的玻璃表面的反射。若波长为 500 nm 的单色光垂直入射时，为了实现最小的反射，试问此透明薄膜的厚度至少为 ___ nm。

8-10 当牛顿环装置中的透镜与玻璃之间充以液体时，则第10个亮环的直径由原来的1.40 cm变为1.27 cm，则这种液体的折射率为___。

8-11 折射率为 n，厚度为 d 的薄玻璃片放在迈克耳孙干涉仪的一臂上，则两光路光程差的改变量为 $ \delta= $___；设玻璃折射率 n=1.5，放入薄片后当用 $ \lambda=640 $ nm 的光照射迈克耳孙干涉仪时，在视场中心有 10 个条纹移过，则玻璃薄片厚度为 d=___ $ \mu $m。

8-12 用波长 $ \lambda = 500 \, nm $ 的单色光做双缝干涉实验。如题 8-12 图所示，当用厚度 $ t = 6.0 \times 10^{-4} \, cm $ 、折射率 n = 1.5 的透明薄膜遮住上方的缝时，则视场中干涉条

纹将向上方还是下方移动？一共移动了多少条条纹？

8-13 在杨氏双缝实验中，用波长为 589 nm 的单色光照射狭缝 S，在屏上观察到零级明纹在 O 点处，如题 8-13 图所示。若将 S 缝向上平行移至 S' 位置，则零级明纹向下方移动四个明纹间隔的距离。欲使零级明纹重新回到 O 点，应在哪一条缝 $ (S_{1} $ 或 $ S_{2}) $ 的右面放一透明云母片？此云母片的厚度应为多少？（设云母片的折射率 n=1.58。）

8-14 单色平行光垂直入射到一缝距 d 为 1.1297 mm 的双缝上，在缝后距其为 $ D(D \gg d) $ 处的屏上测得两相邻干涉亮纹间的距离 $ \Delta x $ 为 0.5362 mm，若将屏移远 50.00 cm 后，屏上相邻亮纹间的距离 $ \Delta x' $ 为 0.8043 mm，求：(1) 原来缝与屏的距离 D；(2) 光波波长。

8-15 用白光垂直入射到间距为 d=0.20 mm 的双缝上，在缝后 1.5 m 远处放置观察屏。求第二级干涉条纹中，紫光和红光亮纹中心的间距（白光波长范围为 400~760 nm）。

$ ^{*} $8-16 杨氏双缝干涉实验中，双缝间距为 d，双缝到光屏的距离为 D=1 m，入射单色光的波长为 $ \lambda $。若在紧靠双缝处放置一折射率 n=1.5 的光楔，如题 8-16 图所示，测得干涉条纹较放光楔前移动了 $ \Delta x=3 $ mm。试求光楔的楔角 $ \alpha $。

8-17 如题8-17图所示，一射电望远镜的天线设在湖岸上，距湖面高度为h，对岸地平线上方有一恒星正在升起，恒星发出波长为 $ \lambda $的电磁波。试求当天线测得第一级干涉极大时恒星所在的角位置 $ \theta $。

8-18 如题 8-18 图所示，两块玻璃板的一端相接，另一端用一圆柱形细金属