第9章 光的衍射

丝填入两板之间，使两板间形成一空气劈尖。当用波长为546.1 nm的单色光垂直照射板面时，板面上显出明暗条纹各74条，试求金属丝的直径。

波长为500 nm的单色平行光照射劈尖上表面。

（1）求从棱算起的第10条暗纹处空气膜的厚度；

（2）使膜的上表面向上平移 $ \Delta d $，条纹如何变化？

若 $ \Delta d = 2.0\ \mu m $，原来第10条暗纹处现在是第几

级，为第几条明或暗纹？

8-20 白光垂直照射在空气中厚度为 0.40 μm 的玻璃片上，玻璃的折射率为 1.50。试问在可见光范围内（波长 400~700 nm），（1）哪些波长的光在反射中增强？（2）哪些波长的光在透射中增强？

8-21 白光垂直照射到空气中一厚度为 380 nm 的肥皂水膜上。试问水膜表面呈什么颜色？（设肥皂水膜的折射率为 1.33。）

8-22 一片玻璃表面附有一层厚度均匀的薄油膜，今用一波长连续可调的单色平行光垂直照射油面。当波长为 $ 485 \, nm $ 时，反射光干涉相消；当波长增为 $ 679 \, nm $ 时，反射光再次干涉相消。设油膜的折射率为 1.32，玻璃的折射率为 1.50，求油膜的厚度。

8-23 题 8-23 图是瑞利干涉仪的基本原理示意图。 $ T_{1}, T_{2} $ 是并排的两个长度皆为 l 的气室。光源 S 放在透镜 $ L_{1} $ 的焦点处。经双缝 $ S_{1}, S_{2} $ 出来的两路光分别通过 $ T_{1} $ 和 $ T_{2} $。用目镜 E 观察在透镜 $ L_{2} $ 焦平面 C 上过 $ T_{1} $ 和 $ T_{2} $，用目镜 E 观察在透镜 $ L_{2} $ 焦平面 C 上的干涉条纹。

（1）设一支管内是大气压下的空气（n=1.0003），另一支管内预先抽成真空。现缓慢地让空气充进管内直到两管空气压强相同。设管长l=10 cm，波长 $ \lambda=600 $ nm，问充气过程中有多少干涉条纹移过视场？

（2）针对上一问题，设两管都充满空气，然后一支管内的空气逐渐被一种折射率较大的气体所替换。此过程中有40个条纹移过视场中心，则这种气体的折射率是多大？

8-24 一平凸透镜放在平板玻璃上，以钠黄光( $ \lambda=589.3\ nm $)垂直入射，观察反射光产生的牛顿环。测得某一亮环的直径为3.00 mm，在它外面第5个亮环的直径为4.60 mm。求平凸透镜球面的半径。

8-25 （1）由曲率半径 $ R=19\ cm $ 的透镜和平板玻璃组成牛顿环干涉装置，用不同的光进行实验，观察到用 $ \lambda_{1}=600\ nm $ 的第 $ k $ 级暗环与用 $ \lambda_{2}=450\ nm $ 时的第 $ k+1 $ 级暗环重合。求用 $ \lambda_{1} $ 时第 $ k $ 级暗环的半径。（2）又如波长为 $ \lambda_{3}=500\ nm $ 的第 5 级明环与波长为 $ \lambda_{4} $ 时的第 6 级明环重合，求波长 $ \lambda_{4} $。

选图为 $ F(x,y) $ 的点 $ F(x,y) $， $ F(x,y) $， $ F'(x,y) $， $ F''(x,y) $， $ F'''(x,y) $， $ F''''(x,y) $， $ F''''(x,y) $， $ F''''(x,y) $， $ F''''(x,y) $， $ $

$ x_{1}=2x_{2}=1 $

$ x_{3}=2x_{4}=1 $

$ x_{5}=2x_{6}=1 $

$ x_{7}=2x_{8}=1 $

$ x_{9}=2x_{10}=1 $

$ x_{11}=2x_{12}=1 $

$ x_{13}=2x_{14}=1 $

$ x_{15}=2x_{16}=1 $

$ x_{17}=2x_{18}=1 $

$ x_{19}=2x_{20}=1 $

$ x_{21}=2x_{22}=1 $

$ x_{23}=2x_{24}=1 $

$ x_{25}=2x_{26}=1 $

$ x_{27}=2x_{28}=1 $

$ x_{29}=2x_{30}=1 $

$ x_{31}=2x_{32}=1 $

$ x_{33}=2x_{34}=1 $

$ x_{35}=2x_{36}=1 $

$ x_{37}=2x_{38}=1 $

$ x_{39}=2x_{40}=1 $

$ x_{41}=2x_{42}=1 $

$ x_{43}=2x_{44}=1 $

$ x_{45}=2x_{46}=1 $

$ x_{47}=2x_{48}=1 $

$ x_{49}=2x_{50}=1 $

$ x_{51}=2x_{52}=1 $

$ x_{53}=2x_{54}=1 $

$ x_{55}=2x_{56}=1 $

$ x_{57}=2x_{58}=1 $

$ x_{59}=2x_{60}=1 $

$ x_{61}=2x_{62}=1 $

$ x_{63}=2x_{64}=1 $

$ x_{65}=2x_{66}=1 $

$ x_{67}=2x_{68}=1 $

$ x_{69}=2x_{70}=1 $

$ x_{71}=2x_{72}=1 $

$ x_{73}=2x_{74}=1 $

$ x_{75}=2x_{76}=1 $

$ x_{77}=2x_{78}=1 $

$ x_{79}=2x_{80}=1 $

$ x_{81}=2x_{82}=1 $

$ x_{83}=2x_{84}=1 $

$ x_{85}=2x_{86}=1 $

$ x_{87}=2x_{88}=1 $

$ x_{89}=2x_{90}=1 $

$ x_{91}=2x_{92}=1 $

$ x_{93}=2x_{94}=1 $

$ x_{95}=2x_{96}=1 $

$ x_{97}=2x_{98}=1 $

$ x_{99}=2x_{100}=1 $

$ x_{101}=2x_{102}=1 $

$ x_{103}=2x_{104}=1 $

$ x_{105}=2x_{106}=1 $

$ x_{107}=2x_{108}=1 $

$ x_{109}=2x_{110}=1 $

$ x_{111}=2x_{112}=1 $

$ x_{113}=2x_{114}=1 $

$ x_{115}=2x_{116}=1 $

$ x_{117}=2x_{118}=1 $

$ x_{119}=2x_{120}=1 $

$ x_{121}=2x_{122}=1 $

$ x_{123}=2x_{124}=1 $

$ x_{125}=2x_{126}=1 $

$ x_{127}=2x_{128}=1 $

$ x_{129}=2x_{130}=1 $

$ x_{131}=2x_{132}=1 $

$ x_{133}=2x_{134}=1 $

$ x_{135}=2x_{136}=1 $

$ x_{137}=2x_{138}=1 $

$ x_{139}=2x_{140}=1 $

$ x_{141}=2x_{142}=1 $

$ x_{143}=2x_{144}=1 $

$ x_{145}=2x_{146}=1 $

$ x_{147}=2x_{148}=1 $

$ x_{149}=2x_{150}=1 $

$ x_{151}=2x_{152}=1 $

$ x_{153}=2x_{154}=1 $

$ x_{155}=2x_{156}=1 $

$ x_{157}=2x_{158}=1 $

$ x_{159}=2x_{160}=1 $

$ x_{161}=2x_{162}=1 $

$ x_{163}=2x_{164}=1 $

$ x_{165}=2x_{166}=1 $

$ x_{167}=2x_{168}=1 $

$ x_{169}=2x_{170}=1 $

$ x_{171}=2x_{172}=1 $

$ x_{173}=2x_{174}=1 $

$ x_{175}=2x_{176}=1 $

$ x_{177}=2x_{178}=1 $

$ x_{179}=2x_{180}=1 $

$ x_{181}=2x_{182}=1 $

$ x_{183}=2x_{184}=1 $

$ x_{185}=2x_{186}=1 $

$ x_{187}=2x_{188}=1 $

$ x_{189}=2x_{190}=1 $

$ x_{191}=2x_{192}=1 $

$ x_{193}=2x_{194}=1 $

$ x_{195}=2x_{196}=1 $

$ x_{197}=2x_{198}=1 $

$ x_{199}=2x_{200}=1 $

$ x_{201}=2x_{202}=1 $

$ x_{203}=2x_{204}=1 $

$ x_{205}=2x_{206}=1 $

$ x_{207}=2x_{208}=1 $

$ x_{209}=2x_{210}=1 $

$ x_{211}=2x_{212}=1 $

$ x_{213}=2x_{214}=1 $

$ x_{215}=2x_{216}=1 $

$ x_{217}=2x_{218}=1 $

$ x_{219}=2x_{220}=1 $

$ x_{221}=2x_{222}=1 $

$ x_{223}=2x_{224}=1 $

$ x_{225}=2x_{226}=1 $

$ x_{227}=2x_{228}=1 $

$ x_{229}=2x_{230}=1 $

$ x_{231}=2x_{232}=1 $

$ x_{233}=2x_{234}=1 $

$ x_{235}=2x_{236}=1 $

$ x_{237}=2x_{238}=1 $

$ x_{239}=2x_{240}=1 $

$ x_{241}=2x_{242}=1 $

$ x_{243}=2x_{244}=1 $

$ x_{245}=2x_{246}=1 $

$ x_{247}=2x_{248}=1 $

$ x_{249}=2x_{250}=1 $

$ x_{251}=2x_{252}=1 $

$ x_{253}=2x_{254}=1 $

$ x_{255}=2x_{256}=1 $

$ x_{257}=2x_{258}=1 $

$ x_{259}=2x_{260}=1 $

$ x_{261}=2x_{262}=1 $

$ x_{263}=2x_{264}=1 $

$ x_{265}=2x_{266}=1 $

$ x_{267}=2x_{268}=1 $

$ x_{269}=2x_{270}=1 $

$ x_{271}=2x_{272}=1 $

$ x_{273}=2x_{274}=1 $

$ x_{275}=2x_{276}=1 $

$ x_{277}=2x_{278}=1 $

$ x_{279}=2x_{280}=1 $

$ x_{281}=2x_{282}=1 $

$ x_{283}=2x_{284}=1 $

$ x_{285}=2x_{286}=1 $

$ x_{287}=2x_{288}=1 $

$ x_{289}=2x_{290}=1 $

$ x_{291}=2x_{292}=1 $

$ x_{293}=2x_{294}=1 $

$ x_{295}=2x_{296}=1 $

$ x_{297}=2x_{298}=1 $

$ x_{299}=2x_{300}=1 $

$ x_{301}=2x_{302}=1 $

$ x_{303}=2x_{304}=1 $

$ x_{305}=2x_{306}=1 $

$ x_{307}=2x_{308}=1 $

$ x_{309}=2x_{310}=1 $

$ x_{311}=2x_{312}=1 $

$ x_{313}=2x_{314}=1 $

$ x_{315}=2x_{316}=1 $

$ x_{317}=2x_{318}=1 $

$ x_{319}=2x_{320}=1 $

$ x_{321}=2x_{322}=1 $

$ x_{323}=2x_{324}=1 $

$ x_{325}=2x_{326}=1 $

$ x_{327}=2x_{328}=1 $

$ x_{329}=2x_{330}=1 $

$ x_{331}=2x_{332}=1 $

$ x_{333}=2x_{334}=1 $

$ x_{335}=2x_{336}=1 $

$ x_{337}=2x_{338}=1 $

$ x_{339}=2x_{340}=1 $

$ x_{341}=2x_{342}=1 $

$ x_{343}=2x_{344}=1 $

$ x_{345}=2x_{346}=1 $

$ x_{347}=2x_{348}=1 $

$ x_{349}=2x_{350}=1 $

$ x_{351}=2x_{352}=1 $

$ x_{353}=2x_{354}=1 $

$ x_{355}=2x_{356}=1 $

$ x_{357}=2x_{358}=1 $

$ x_{359}=2x_{360}=1 $

$ x_{361}=2x_{362}=1 $

$ x_{363}=2x_{364}=1 $

$ x_{365}=2x_{366}=1 $

$ x_{367}=2x_{368}=1 $

$ x_{369}=2x_{370}=1 $

$ x_{371}=2x_{372}=1 $

$ x_{373}=2x_{374}=1 $

$ x_{375}=2x_{376}=1 $

$ x_{377}=2x_{378}=1 $

$ x_{379}=2x_{380}=1 $

$ x_{381}=2x_{382}=1 $

$ x_{383}=2x_{384}=1 $

$ x_{385}=2x_{386}=1 $

$ x_{387}=2x_{388}=1 $

$ x_{389}=2x_{390}=1 $

$ x_{391}=2x_{392}=1 $

$ x_{393}=2x_{394}=1 $

$ x_{395}=2x_{396}=1 $

$ x_{397}=2x_{398}=1 $

$ x_{399}=2x_{310}=1 $

$ x_{401}=2x_{402}=1 $

$ x_{403}=2x_{404}=1 $

$ x_{405}=2x_{406}=1 $

$ x_{407}=2x_{408}=1 $

$ x_{409}=2x_{410}=1 $

$ x_{411}=2x_{412}=1 $

$ x_{413}=2x_{414}=1 $

$ x_{415}=2x_{416}=1 $

$ x_{417}=2x_{418}=1 $

$ x_{419}=2x_{420}=1 $

$ x_{421}=2x_{422}=1 $

$ x_{423}=2x_{424}=1 $

$ x_{425}=2x_{426}=1 $

$ x_{427}=2x_{428}=1 $

$ x_{429}=2x_{430}=1 $

$ x_{431}=2x_{432}=1 $

$ x_{433}=2x_{434}=1 $

$ x_{435}=2x_{436}=1 $

$ x_{437}=2x_{438}=1 $

$ x_{439}=2x_{440}=1 $

$ x_{441}=2x_{442}=1 $

$ x_{443}=2x_{444}=1 $

$ x_{445}=2x_{446}=1 $

$ x_{447}=2x_{448}=1 $

$ x_{449}=2x_{450}=1 $

$ x_{451}=2x_{452}=1 $

$ x_{453}=2x_{454}=1 $

$ x_{455}=2x_{456}=1 $

$ x_{457}=2x_{458}=1 $

$ x_{459}=2x_{460}=1 $

$ x_{461}=2x_{462}=1 $

$ x_{463}=2x_{464}=1 $

$ x_{465}=2x_{466}=1 $

$ x_{467}=2x_{}$

$ x^{2}+y^{2}=r^{2} $ $ x+y=r^{2} $ $ x+y=r^{2} $ $ y+x=r^{2} $ $ y+y=r^{2} $ $ x+y=r^{2} $ $ y+y=r^{2} $ $ x+y=r^{2} $ $ y+y=r^{2} $ $ x+y=r^{2} $ $ y+y=r^{2} $ $ x+y=r^{2} $ $ y+y=r^{2} $ $ x+y=r^{2} $ $ y+y=r^{2} $ $ x+y=r^{2} $ $ y+y=r^{2} $ $ x+y=r^{2} $ $ x+y=r^{2} $ $ y$

$ ^{8} $ 1. 1. 1. 1

$ x_{1}=2x_{2}=4 $

$ x_{1}=2x_{2}+4 $

$ x_{3}=2x_{4}+3 $

$ x_{5}=2x_{6}+1 $

$ x_{7}=2x_{8}+1 $

$ x_{9}=2x_{10}+1 $

$ x_{11}=2x_{12}+1 $

$ x_{13}=2x_{14}+1 $

$ x_{15}=2x_{16}+1 $

$ x_{17}=2x_{18}+1 $

$ x_{19}=2x_{20}+1 $

$ x_{21}=2x_{22}+1 $

$ x_{23}=2x_{24}+1 $

$ x_{25}=2x_{26}+1 $

$ x_{27}=2x_{28}+1 $

$ x_{29}=2x_{30}+1 $

$ x_{31}=2x_{32}+1 $

$ x_{33}=2x_{34}+1 $

$ x_{35}=2x_{36}+1 $

$ x_{37}=2x_{38}+1 $

$ x_{39}=2x_{40}+1 $

$ x_{41}=2x_{42}+1 $

$ x_{43}=2x_{44}+1 $

$ x_{45}=2x_{46}+1 $

$ x_{47}=2x_{48}+1 $

$ x_{49}=2x_{50}+1 $

$ x_{51}=2x_{52}+1 $

$ x_{53}=2x_{54}+1 $

$ x_{55}=2x_{56}+1 $

$ x_{57}=2x_{58}+1 $

$ x_{59}=2x_{60}+1 $

$ x_{61}=2x_{62}+1 $

$ x_{63}=2x_{64}+1 $

$ x_{65}=2x_{66}+1 $

$ x_{67}=2x_{68}+1 $

$ x_{69}=2x_{70}+1 $

$ x_{71}=2x_{72}+1 $

$ x_{73}=2x_{74}+1 $

$ x_{75}=2x_{76}+1 $

$ x_{77}=2x_{78}+1 $

$ x_{79}=2x_{80}+1 $

$ x_{81}=2x_{82}+1 $

$ x_{83}=2x_{84}+1 $

$ x_{85}=2x_{86}+1 $

$ x_{87}=2x_{88}+1 $

$ x_{89}=2x_{90}+1 $

$ x_{91}=2x_{92}+1 $

$ x_{93}=2x_{94}+1 $

$ x_{95}=2x_{96}+1 $

$ x_{97}=2x_{98}+1 $

$ x_{99}=2x_{100}+1 $

$ x_{101}=2x_{102}+1 $

$ x_{103}=2x_{104}+1 $

$ x_{105}=2x_{106}+1 $

$ x_{107}=2x_{108}+1 $

$ x_{109}=2x_{110}+1 $

$ x_{111}=2x_{112}+1 $

$ x_{113}=2x_{114}+1 $

$ x_{115}=2x_{116}+1 $

$ x_{117}=2x_{118}+1 $

$ x_{119}=2x_{120}+1 $

$ x_{121}=2x_{122}+1 $

$ x_{123}=2x_{124}+1 $

$ x_{125}=2x_{126}+1 $

$ x_{127}=2x_{128}+1 $

$ x_{129}=2x_{130}+1 $

$ x_{131}=2x_{132}+1 $

$ x_{133}=2x_{134}+1 $

$ x_{135}=2x_{136}+1 $

$ x_{137}=2x_{138}+1 $

$ x_{139}=2x_{140}+1 $

$ x_{141}=2x_{142}+1 $

$ x_{143}=2x_{144}+1 $

$ x_{145}=2x_{146}+1 $

$ x_{147}=2x_{148}+1 $

$ x_{149}=2x_{150}+1 $

$ x_{151}=2x_{152}+1 $

$ x_{153}=2x_{154}+1 $

$ x_{155}=2x_{156}+1 $

$ x_{157}=2x_{158}+1 $

$ x_{159}=2x_{160}+1 $

$ x_{161}=2x_{162}+1 $

$ x_{163}=2x_{164}+1 $

$ x_{165}=2x_{166}+1 $

$ x_{167}=2x_{168}+1 $

$ x_{169}=2x_{170}+1 $

$ x_{171}=2x_{172}+1 $

$ x_{173}=2x_{174}+1 $

$ x_{175}=2x_{176}+1 $

$ x_{177}=2x_{178}+1 $

$ x_{179}=2x_{180}+1 $

$ x_{181}=2x_{182}+1 $

$ x_{183}=2x_{184}+1 $

$ x_{185}=2x_{186}+1 $

$ x_{187}=2x_{188}+1 $

$ x_{189}=2x_{190}+1 $

$ x_{191}=2x_{192}+1 $

$ x_{193}=2x_{194}+1 $

$ x_{195}=2x_{196}+1 $

$ x_{197}=2x_{198}+1 $

$ x_{199}=2x_{200}+1 $

$ x_{201}=2x_{202}+1 $

$ x_{203}=2x_{204}+1 $

$ x_{205}=2x_{206}+1 $

$ x_{207}=2x_{208}+1 $

$ x_{209}=2x_{210}+1 $

$ x_{211}=2x_{212}+1 $

$ x_{213}=2x_{214}+1 $

$ x_{215}=2x_{216}+1 $

$ x_{217}=2x_{218}+1 $

$ x_{219}=2x_{220}+1 $

$ x_{221}=2x_{222}+1 $

$ x_{223}=2x_{224}+1 $

$ x_{225}=2x_{226}+1 $

$ x_{227}=2x_{228}+1 $

$ x_{229}=2x_{230}+1 $

$ x_{231}=2x_{232}+1 $

$ x_{233}=2x_{234}+1 $

$ x_{235}=2x_{236}+1 $

$ x_{237}=2x_{238}+1 $

$ x_{239}=2x_{240}+1 $

$ x_{241}=2x_{242}+1 $

$ x_{243}=2x_{244}+1 $

$ x_{245}=2x_{246}+1 $

$ x_{247}=2x_{248}+1 $

$ x_{249}=2x_{250}+1 $

$ x_{251}=2x_{252}+1 $

$ x_{253}=2x_{254}+1 $

$ x_{255}=2x_{256}+1 $

$ x_{257}=2x_{258}+1 $

$ x_{259}=2x_{260}+1 $

$ x_{261}=2x_{262}+1 $

$ x_{263}=2x_{264}+1 $

$ x_{265}=2x_{266}+1 $

$ x_{267}=2x_{268}+1 $

$ x_{269}=2x_{270}+1 $

$ x_{271}=2x_{272}+1 $

$ x_{273}=2x_{274}+1 $

$ x_{275}=2x_{276}+1 $

$ x_{277}=2x_{278}+1 $

$ x_{279}=2x_{280}+1 $

$ x_{281}=2x_{282}+1 $

$ x_{283}=2x_{284}+1 $

$ x_{285}=2x_{286}+1 $

$ x_{287}=2x_{288}+1 $

$ x_{289}=2x_{290}+1 $

$ x_{291}=2x_{292}+1 $

$ x_{293}=2x_{294}+1 $

$ x_{295}=2x_{296}+1 $

$ x_{297}=2x_{298}+1 $

$ x_{299}=2x_{300}+1 $

$ x_{301}=2x_{302}+1 $

$ x_{303}=2x_{304}+1 $

$ x_{305}=2x_{306}+1 $

$ x_{307}=2x_{308}+1 $

$ x_{309}=2x_{310}+1 $

$ x_{311}=2x_{312}+1 $

$ x_{313}=2x_{314}+1 $

$ x_{315}=2x_{316}+1 $

$ x_{317}=2x_{318}+1 $

$ x_{319}=2x_{320}+1 $

$ x_{321}=2x_{322}+1 $

$ x_{323}=2x_{324}+1 $

$ x_{325}=2x_{326}+1 $

$ x_{327}=2x_{328}+1 $

$ x_{329}=2x_{330}+1 $

$ x_{331}=2x_{332}+1 $

$ x_{333}=2x_{334}+1 $

$ x_{335}=2x_{336}+1 $

$ x_{337}=2x_{338}+1 $

$ x_{339}=2x_{340}+1 $

$ x_{341}=2x_{342}+1 $

$ x_{343}=2x_{344}+1 $

$ x_{345}=2x_{346}+1 $

$ x_{347}=2x_{348}+1 $

$ x_{349}=2x_{350}+1 $

$ x_{351}=2x_{352}+1 $

$ x_{353}=2x_{354}+1 $

$ x_{355}=2x_{356}+1 $

$ x_{357}=2x_{358}+1 $

$ x_{359}=2x_{360}+1 $

$ x_{361}=2x_{362}+1 $

$ x_{363}=2x_{364}+1 $

$ x_{365}=2x_{366}+1 $

$ x_{367}=2x_{368}+1 $

$ x_{369}=2x_{370}+1 $

$ x_{371}=2x_{372}+1 $

$ x_{373}=2x_{374}+1 $

$ x_{375}=2x_{376}+1 $

$ x_{377}=2x_{378}+1 $

$ x_{379}=2x_{380}+1 $

$ x_{381}=2x_{382}+1 $

$ x_{383}=2x_{384}+1 $

$ x_{385}=2x_{386}+1 $

$ x_{387}=2x_{388}+1 $

$ x_{389}=2x_{390}+1 $

$ x_{391}=2x_{392}+1 $

$ x_{393}=2x_{394}+1 $

$ x_{395}=2x_{396}+1 $

$ x_{397}=2x_{398}+1 $

$ x_{399}=2x_{310}+1 $

$ x_{401}=2x_{402}+1 $

$ x_{403}=2x_{404}+1 $

$ x_{405}=2x_{406}+1 $

$ x_{407}=2x_{408}+1 $

$ x_{409}=2x_{410}+1 $

$ x_{411}=2x_{412}+1 $

$ x_{413}=2x_{414}+1 $

$ x_{415}=2x_{416}+1 $

$ x_{417}=2x_{418}+1 $

$ x_{419}=2x_{420}+1 $

$ x_{421}=2x_{422}+1 $

$ x_{423}=2x_{424}+1 $

$ x_{425}=2x_{426}+1 $

$ x_{427}=2x_{428}+1 $

$ x_{429}=2x_{430}+1 $

$ x_{431}=2x_{432}+1 $

$ x_{433}=2x_{434}+1 $

$ x_{435}=2x_{436}+1 $

$ x_{437}=2x_{438}+1 $

$ x_{439}=2x_{440}+1 $

$ x_{441}=2x_{442}+1 $

$ x_{443}=2x_{444}+1 $

$ x_{445}=2x_{446}+1 $

$ x_{447}=2x_{448}+1 $

$ x_{449}=2x_{450}+1 $

$ x_{451}=2x_{452}+1 $

$ x_{453}=2x_{454}+1 $

$ x_{455}=2x_{456}+1 $

$ x_{457}=2x_{458}+1 $

$ x_{459}=2x_{460}+1 $

$ x_{461}=2x_{462}+1 $

$ x_{463}=2x_{464}+1 $

$ x_{465}=2x_{466}+1 $

$ x_{467}=2x_{}$

\begin{array}{l} \displaystyle \Delta \left( \frac{t}{w} \right) =\frac{v - \Delta o}{j} \times \frac{q}{i} \div \frac{b}{i} = \frac{z}{x} \div \frac{c}{x} \div \frac{c}{x} \div \frac{z}{x} \div \frac{b}{x} \div \frac{c}{x} \div \frac{c}{x} \div \frac{x}{c} = \frac{x}{y} \div \frac{z}{y} \div \frac{c}{y} \div \frac{x}{y} \div \frac{x}{y} \div \frac{x}{y} \div \frac{x}{y} \div \frac{x}{y} \\ \displaystyle \qquad = \frac{t}{w} \div \frac{c}{z} \div \frac{z}{

$ \begin{array}{l} \displaystyle \Delta \frac{t}{b} = \frac{b}{a} + \frac{b}{d} = \frac{b - b}{d} = \frac{b}{a} + \frac{b}{d} = \frac{b + b}{d} = \frac{b + b}{d} = \frac{b + b}{d} = \frac{b + b}{d} = \frac{b + b}{d} = \frac{b + b}{d} = \frac{b + b}{d} \end{array} $

$ 2024 $ 2025年1月1日 2025年1月1日 2025年1月1日 2025年1月1日

$ f(x,y)=\frac{1}{2}f(x,y)-\frac{1}{2}f(x,y)=f(x,y)^{2}+f^{\prime}(x,y)f^{\prime}(x,y)-f^{\prime}(x,y) $

$ f(x,y)=f(x,y)\cos x+\frac{1}{2}f^{\prime}(x,y)\sin x-f^{\prime}(x,y)\cos x-f^{\prime}(x,y)\sin x $

$ f(x,y)=f(x,y)\cos x-f^{\prime}(x,y)\sin x-f^{\prime}(x,y)\cos x-f^{\prime}(x,y)\sin x $

>> 第9章

光的衍射

在第7章(机械波)中我们讨论过，当水波、声波等在遇到障碍物时能绕过障碍物边缘，偏离原方向而传播，这种现象称为波的衍射。同波的干涉一样，波的衍射也是波动的基本特征现象，因而也是判断一个物理过程是否具有波动性的基本依据。光是一种电磁波，因此光也能产生衍射现象。在历史上，光的衍射现象曾经是光的波动性的最有力判定，由于菲涅耳的衍射理论所预言的衍射光强的分布规律被实验所证实，至此人们才普遍接受了杨氏在之前十多年就以双缝干涉实验为依据提出的光的波动论观点，从而也使人们在对于光的本质的认识方面向前迈进了一大步。

本章讨论光的衍射现象，主要介绍单缝、圆孔等简单衍射的光强分布规律以及圆孔衍射与光学仪器分辨率的关系，并详细介绍作为重要光衍射元件的光栅的基本特性。

9.1 光的衍射现象 惠更斯-菲涅耳原理

9.1.1 光的衍射现象

当光在通过小孔、狭缝或遇到小圆盘、细丝等障碍物时能够绕过障碍物的边缘，偏离直线传播的现象就叫作光的衍射（diffraction）。

声波、水波等的衍射现象很容易在自然条件下产生，但在日常生活中并不容易观察到光的衍射现象，这主要是因为光的波长很短，而且一般光源的相干性很差，不容易满足光的衍射条件。通过有目的的实验能够方便地观察到光的衍射现象。

如图9-1所示，经过透镜 $ L_{1} $形成的平行光通过挡光板（衍射屏diffraction screen）G上的小孔 $ \Sigma $射到观察屏（receiving screen）E上。当小孔 $ \Sigma $足够小时，在屏E上形成比小孔 $ \Sigma $的几何尺寸大很多的亮斑，并且其周围还有若干个明暗相间的同心圆环，如图9-2（a）所示。在上述实验中，如果用一个不透光的小圆盘来代替开有小圆孔的衍射屏，同样得到与圆孔衍射类似的明暗相间的同心圆环，而且不论是平行光还是点光源发出的球面光波（非平行光），经不透明圆盘衍射之后，在圆盘衍射图样的中心（圆盘的几何阴影中心）始终都是一个亮点，如图9-2（b）所示。（注：对于非平行光的圆孔衍射，衍射图样中心可以是亮斑，也可以是暗斑，这取决于圆孔的大小以及孔到屏的距离等。）

如果将图9-1中衍射屏G上的圆孔 $ \Sigma $换成一条细狭缝，则将得到如图9-3(a)所示的衍射图样；此时若再将点光源改为线光源，如图9-4所示，则在后方的观察屏E上可观察到一组平行的明暗相间的条纹，其衍射图样见图9-3(b)。

从实验中归纳出光的衍射现象的主要特点为：第一，光束遇到障碍物时在什么方位受到限制，则接收屏上的衍射图样就沿这个方向扩展。所以当衍射屏为狭缝时，光在与缝长垂直的方向受阻，因而衍射光就沿着与缝长垂直的方向扩展（图9-4）；而当衍射屏为圆孔时，光在各个方向均匀受阻，因而点光源的圆孔衍射图样为以圆孔为中心的同心圆环（图9-1）。第二，衍射物的透光孔线度越小，对光束的限制越厉害，则衍射图样越扩展，即衍射效应越强。

9.1.2 惠更斯-菲涅耳原理

干涉和衍射本质上都是波的相干叠加。惠更斯原理强调了子波和子波波前包络的概念，可以方便地说明衍射光如何绕过障碍物边缘而偏离直线传播方向，但是并没有涉及衍射光强的非均匀分布问题。菲涅耳采纳了惠更斯关于次级子波的概念，并将杨氏关于光的干涉理论应用于次级子波，指出：同一波阵面上各点发出的各次级子波相干叠加给出下一个波面上各点的振动情况，因而衍射光的光强分布

文档：菲涅耳

就是由这些次级子波在相遇点的相干叠加所决定。这一原理称为惠更斯-菲涅耳原理(Huygens-Fresnel Principle)。

按照惠更斯-菲涅耳原理的基本思想，已知某一时刻光波的波阵面（波前）S，则根据波的传播规律和子波相干叠加原理即可算出下一时刻光波传至某点P时的合成光振动。如图9-5所示，从波阵面S发出的光波经一定时间传达到P点，则P点的振动是S面上所有子波源发出的子波在P点的相干叠加。菲涅耳指出：由Q点处的小面元dS所发射的子波在P点产生的振动的振幅与面元dS成正比，与Q到P点的距离r成反比（点波源发出的波为球面波），并且随r和dS的法线方向 $ e_{n} $之间的夹角 $ \theta $增大而减少。设t=0时波阵面S上各点发出的子波初相为零，dS面上各点均做简谐振动，则子波源dS在P点引起的光振动为

$$ \mathrm{d}E_{P}=C\frac{K(\theta)}{r}\cos\left(\omega t-\frac{2\pi r}{\lambda}\right)\mathrm{d}S $$

而 P 点处总的合成光振动为整个波面 S 上所有子波的贡献，即

$$ E_{p}=C\int_{s}\frac{K(\theta)}{r}\mathrm{c o s}\Big(\omega t-\frac{2\pi r}{\lambda}\Big)\mathrm{d}S $$

式中，C 是比例常量， $ K(\theta) $ 是随 $ \theta $ 的增大而缓慢减小的函数，称为倾斜因子。当 $ \theta\to0 $， $ K(\theta)\to1 $。

式(9-2)就是惠更斯-菲涅耳原理的数学表达式，又称为菲涅耳衍射积分公式。虽然从理论上讲，从菲涅耳衍射积分公式出发可以计算任意情况下的衍射光强分布，但实际上除少数特殊情况外，上述积分都是很复杂的。

9.1.3 菲涅耳衍射和夫琅禾费衍射

按光源、障碍物及接收屏三者之间的相对位置，实际的衍射问题可以分为菲涅耳衍射（Fresnel diffraction）和夫琅禾费衍射（Fraunhofer diffraction）两大类。如图9-6(a)所示，光源与障碍物之间和障碍物与接收屏之间的距离均为有限远，或其中之一为有限远，这种衍射称为菲涅耳衍射或近场衍射。如图9-6(b)所示，光源和接收屏与障碍物均相距为无限远，即认为相对于障碍物的入射光和出射光都是平行光，这种衍射称为夫琅禾费衍射或远场衍射。在障碍物两侧分别加透镜的方法，可以在实验室中方便地获得入射平行光，并能在有限远处观察平行光的衍射，如图9-6(c)所示。夫琅禾费衍射较为简单，理论分析更容易，在此我们主要讨论夫琅禾费衍射。

9.2 单缝的夫琅禾费衍射

单缝的夫琅禾费衍射装置如图9-7所示，线光源S位于透镜 $ L_{1} $的焦平面上，因此由S发出的光经 $ L_{1} $后成为平行光。平行光射入开有狭缝的衍射屏G上时因受阻而发生衍射，衍射光经透镜 $ L_{2} $会聚于其焦平面上，于是在焦平面处的观察屏E上得到狭缝的衍射图样（diffraction pattern），如图9-3（b）所示。衍射图样中，中央明条纹较宽，且比较明亮；两侧有明暗相间的条纹分布，但相对强度明显较弱，且递减很快。下面根据惠更斯-菲涅耳原理，运用菲涅耳半波带法来研究单缝衍射的图样。

文档：夫琅

禾费

9.2.1 菲涅耳半波带法

菲涅耳半波带法是一种确定单缝衍射(single-slit diffraction)明暗条纹位置的简便方法。但该法仅能得出明、暗纹中心的位置，而不能给出整个衍射光强的空间分布的全部信息，并且由此得出的亮纹中心位置也只是近似的。但尽管如此，由于易于推导和理解，在只对单缝衍射问题作粗略讨论时不失为一种有用的方法。

如图9-8所示，平行光垂直入射于宽度为a的狭缝AB。如前所述，狭缝处波面上每一点都作为新的子波波源向各个方向发射子波。具有确定衍射角 $ \theta $（即衍射光方向与狭缝

面法线方向之间的夹角）的一组平行光经薄透镜 $ L_{2} $ 会聚于观察屏 E 上同一点 P，在 P 点产生相干叠加。衍射角决定这些平行光线的相位差，因而在屏上不同的方位将有不同的叠加光强。

以如图9-8所示垂直入射于狭缝AB的平行光方向为参考。通过A点作衍射角为 $ \theta $的一组光线的垂线AC。根据薄透镜的等光程性，这一沿 $ \theta $角方向衍射的光束中经缝的上边缘A和下边缘B衍射的两光之间的光程差为

$$ \delta=BC=a\sin\theta $$

AC 为垂直于各条光线的一个平面。现假设用若干个平行于 AC 的平面来等分 BC，且相邻的两个平面间的距离恰好均为 $ \lambda/2 $，则

$$ BC=a\sin\theta=N\cdot\frac{\lambda}{2} $$

这一等分过程实际上也同时将狭缝处的波面 AB 等分成了面积相等的 N 个窄长条，其中的每一个长条称为一个半波带（half-period zone）。由式（9-4）不难看出：当 $ a, \lambda $ 确定时，AB 能够被分成多少个半波带，或者能否被分成整数个半波带就完全取决于光的衍射方向 $ \theta $。下面对半波带法的结果作详细讨论。

（1）在图9-8中，当 $ \theta=0 $，即沿着入射光方向的衍射，则各衍射光会聚于中点O，其光程差为零。所以O点为衍射光强极大的位置，确切地说是零级亮纹或者说中央亮纹（由光程差为零的相干光形成）的中心位置。

（2）在式(9-4)中，当N=1时，有

$$ BC=a\sin\theta=\frac{\lambda}{2} $$

即 AB 被分成一个半波带，则衍射光分布在中心轴附近很小的 $ \theta $ 范围。因此时波带上任意两点发出的光在屏上相遇处的光程差都小于 $ \lambda/2 $，即任意两光都不是反相的，但它们又不完全同相，因而在零级明纹中心 ( $ \theta=0 $) 附近，叠加光强既不完全相长也不完全相消。实际上这一区域仍属于中央亮纹的范围，即中央亮纹的光强分布是不均匀的。

（3）当式（9-4）中 N=2 时，如图9-9(a) 所示，则 AB 被分成两个半波带。由于这两个半波带上的任意两个对应点（例如图中 AD 带上的 A 点和 DB 带上的 D 点）所发出的光波在叠加处的光程差都是 $ \lambda/2 $，或者说是反相的，结果产生相消干涉。类似地，当 N=2k, k=1,2,\cdots，则因任何两个相邻半波带所发出的光波在 P 点都将完全相消，最终使 P 处成为暗纹中心。

（4）当式(9-4)中 N=3，如图9-9(b)所示，则其中任意相邻两个半波带的光干涉相消后，还剩有一个半波带的光强未被抵消，所以P处是亮纹。同样，当 N=2k+1,k=1,2，⋯时也会得到同样的结果。

归纳上述分析结果即可得出单缝衍射的明、暗条纹条件：

$$ a\sin\theta=\pm(2k+1)\frac{\lambda}{2},\quad k=1,2,3,\cdots\quad 明纹 $$

$$ a\sin\theta=\pm k\lambda\ ,\quad k=1,2,3,\cdots\quad 暗纹 $$

（5）在其他不满足式(9-5)或式(9-6)的 $ \theta $方向（即AB不能被分成整数个半波带的方向），就是偏离各级亮纹中心或暗纹中心的方向，屏上对应处的亮度介于最明与最暗之间。

【例 9-1】一单缝宽 $ a=0.6\ mm $，在缝后放一焦距为 $ f=40\ cm $ 的汇聚透镜，用平行光垂直照射单缝，则通过透镜在屏幕上形成衍射条纹。若第四级明纹距中央明纹中心为 $ 1.4\ mm $，则入射光的波长是多少？对应于第四级明纹，在狭缝处的波阵面可以分成几个半波带？

解 按菲涅耳半波带法，单缝衍射的明纹满足式（9-5），即

$$ a\sin\theta=\pm(2k+1)\frac{\lambda}{2},\quad k=1,2,3,\cdots $$

因一般情况下 $ \theta $很小，有

$$ \sin\theta\approx\tan\theta=\frac{x}{f} $$

所以

$$ \lambda=\frac{2a}{(2k+1)}\sin\theta=\frac{2a}{(2k+1)}\cdot\frac{x}{f} $$

其中 x 为第 k 级明纹在屏幕上相对于中心 O 的距离。对第四级明纹，有

$$ \lambda=\frac{2a}{(2k+1)}\cdot\frac{x}{f}=\frac{2\times0.6\times10^{-3}}{2\times4+1}\cdot\frac{1.4\times10^{-3}}{40\times10^{-2}}m=467nm $$

对应于第四级明纹的衍射方向 $ \theta_{4} $，狭缝处的波面被分成半波带的数目为

$$ a\sin\theta_{4}=(2k+1)\frac{\lambda}{2}=(2\times4+1)\frac{\lambda}{2}=9\cdot\frac{\lambda}{2} $$

即波面可分为9个半波带。

$ ^{9.2.2} $ 单缝衍射光强的振幅矢量叠加法

振幅矢量叠加法是求解光的某些较简单干涉叠加问题的有效方法。由于该法对波面进行无限分割达到积分的效果，所以对所处理的问题能够给出精确解。在本章后面的光栅衍射一节中还会再次用此法推导光强分布。

类似于半波带的等分法，在图9-8中把狭缝a的波面AB等分成m个面积相等的长条形光带（但不是半波带，此处每一光带的宽度可以无限窄），每一条光带的宽度为 $ \Delta x $。设光带足够窄，即 $ \Delta x $足够小，则由同一条光带上所有各点到P点的光程基本相同，因而来自该光带上所有的光到达P点时相位相同。但发自相邻两条光带的光在P点具有一定的光程差

$$ \delta_{i}=\Delta x\sin\theta $$

因而任意相邻的两条光带发出的光波在 P 点的相位差为

$$ \Delta\varphi_{i}=\frac{2\pi}{\lambda}\delta_{i}=\frac{2\pi}{\lambda}\Delta x\sin\theta $$

当衍射角 $ \theta $ 不太大时，从各光带发出的光在 P 点产生的光振动的振幅 $ E_{i} $ 可看作是相等的。根据振动的矢量叠加原理，并按照矢量叠加法，即可得出 P 点处合成光矢量 $ E_{P} $ 与每一条光带的光矢量 $ E_{i} $ 之间的关系。

如图9-10所示，其中 $ E_{p} $就是沿 $ \theta $方向衍射的光在光屏上对应点P的合成振动矢量，它是由上述m条光带的光振动矢量依次转过相同的角度 $ \Delta\varphi_{i} $（相位差）叠加而得的。 $ \Delta\varphi $为狭缝的上、下两边缘A和B处的光在P点的相位差，即

$$ \Delta\varphi=\sum_{i}\Delta\varphi_{i}=\frac{2\pi}{\lambda}\left(\sum\Delta x\right)\sin\theta=\frac{2\pi}{\lambda}a\sin\theta $$

$ E_{0} $则代表光屏中心点 O 处的合成振动矢量，因其对应于衍射角 $ \theta=0 $，所以各条小光带上的光振动之间的相位差 $ \Delta\varphi_{i}=0 $，即 $ \Delta\varphi=0 $，所以， $ E_{0}=mE_{i} $， $ E_{0}=mE_{i} $。

若狭缝 AB 被分割的条数 $ m \to \infty $，则每条光带的宽度 $ \Delta x \to 0 $，则图中 AB 之间各光矢量形成的折线变成圆弧，弧长 $ \widehat{AB} = E_{0} $。设圆心在 Q 点，半径为 R，则由其几何关系得到

$$ \begin{aligned}R&=\frac{\widehat{AB}}{2\alpha}=\frac{E_{0}}{2\alpha}\\E_{P}&=AB=2R\sin\alpha=E_{0}\frac{\sin\alpha}{\alpha}\end{aligned} $$

其中 $ \alpha=\frac{\Delta\varphi}{2}=\frac{\pi}{\lambda}a\sin\theta $。

根据光强与振幅的关系 $ I=kE^{2}(k $ 为比例系数 $ ) $ 得 $ \theta $ 方向的衍射光强为

$$ I_{P}=I_{0}\left(\frac{\sin\alpha}{\alpha}\right)^{2} $$

其中， $ I_{0}=kE_{0}^{2} $ 为中央亮纹中心的光强（衍射角 $ \theta=0 $）。

9.2.3 单缝衍射光强分布

由式(9-10)得出的单缝衍射的光强分布如图9-11所示。由图可见，中央亮纹强度最大，占入射光能的90%以上，其余各级明纹的光强相对很小，并且随着衍射级次k的增大而迅速减弱。从式(9-5)结合半波带法也可以定性解释这一现象：当 $ a,\lambda $一定时， $ \theta $越大k越大，被分割成的半波带数

目就越多，每个半波带的面积也就越小，因而被抵消的光强也越多，剩余的未被抵消的光强就越弱。

所以离中心 O 越远，干涉级次 k 越高，对应明纹的亮度越弱。

下面对单缝衍射的明、暗纹分布作具体讨论。

（1） 衍射极小

由式(9-10)知，当 $ \alpha = k\pi, k = \pm1, \pm2, \pm3, \cdots $ 时，I=0，对应暗纹。又 $ \alpha = \frac{\pi}{\lambda} a \sin \theta $，故衍射暗纹满足

$$ a\sin\theta=k\lambda,\quad k=\pm1,\pm2,\pm3\cdots $$

注意到该式与用菲涅耳半波带法得出的结果式(9-6)是完全一致的。

（2） 各次级衍射极大

除中央亮纹之外的各级衍射极大称为次极大。次极大的位置可由式(9-10)求极值得到。令 $ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}\left(\frac{\sin^{2}\alpha}{\alpha^{2}}\right)=0 $，得

$$ \tan\alpha=\alpha $$

满足上式的方向即为各级次极大的方向。上式为超越方程，一般不能给出解析，但利用图解法求解可求出：

$$ \begin{aligned}\alpha&=\pm1.43\pi,\pm2.46\pi,\pm3.47\pi,\cdots\\a\sin\theta&=\pm1.43\lambda,\pm2.46\lambda,\pm3.47\lambda,\cdots\end{aligned} $$

可见上式的结果与半波带法得出的式(9-5)存在一定差别，不过为了计算简便，今后我们一般还是利用公式(9-5)。

（3） 中央明纹

各级明纹都有一定的宽度，把相邻暗纹中心间的距离称为明纹宽度，相邻暗纹中心对应的衍射角之差称为明纹的角宽度。两个第一级暗纹中心之间的区域称为中央明条纹区域，则两个第一级暗纹中心之间的角距离称为中央明纹的角宽度。

显然，中央明纹的半角宽度就是第一级暗纹的衍射角 $ \theta_{1} $

由式(9-6)可知，在衍射角 $ \theta $很小的情况下，第一级衍射暗纹对应的衍射角即中央明纹的半角宽度

$$ \theta_{1}\approx\sin\theta_{1}=\frac{\lambda}{a} $$

中央明纹的角宽度 $ \Delta\theta_{0} $ 等于 $ \theta_{1} $ 的两倍，即

$$ \Delta\theta_{0}=2\theta_{1}\approx2\frac{\lambda}{a} $$

设透镜 $ L_{2} $ 的焦距为 f，则中央明纹在焦面处的屏 E 上的线宽度为

$$ \Delta x_{0}=2f\cdot\tan\theta_{1}\approx2f\cdot\theta_{1}=f\Delta\theta_{0}=2f\frac{\lambda}{a} $$

同理可以求得其他各级明纹的宽度，它们均等于中央明纹宽度的一半。

式(9-15)说明，当缝宽a一定时， $ \lambda $越大中央明纹的角宽度 $ \Delta\theta_{0} $也越大，衍射现象就越明显；反之 $ \lambda $越小则衍射现象就越弱，当 $ \lambda\to0 $，则 $ \Delta\theta_{0}\to0 $，衍射现象消失。

而当入射波长 $ \lambda $ 一定时，经狭缝衍射的光强分布与缝宽 a 有密切联系，缝宽 a 越小则中央亮纹的角宽度就愈大，其他任意级次的衍射角也是如此，所以除中央亮纹变宽外，两侧各级条纹也都向外扩展。这意味着，狭缝线度越小，光束受限制越厉害，衍射范围就越扩展，即衍射现象越显著。下面给出几个特定情况下缝宽与光强分布之间关系，如图 9-12 所示。

可以看出，当 $ a=\lambda $ 时，则由式(9-6)给出 $ \theta_{1}=90^{\circ} $，这意味着中央亮纹刚好占据了整个屏幕，表明在我们通常观察的范围内光强几乎是均匀分布的。随着 a 越来越大，中央明纹的角宽度越来越小。当 $ a=100\lambda $ 时，可看出其衍射图样已很接近于狭缝的几何像。当 $ a\gg\lambda $ 时，衍射图样退化为中心处的一条亮线，即狭缝的几何像。说明此时光的传播服从几何光学的规律。

由此可见：当光波的波长满足 $ \lambda \ll a $，或者说 $ \frac{\lambda}{a} \rightarrow 0 $ 的极限下，光的波动性可忽略，光的传播表现为直进性，说明几何光学是波动光学在 $ \frac{\lambda}{a} \rightarrow 0 $ 时的极限情况（即短波近似）。

以上的讨论是针对单色光而言的。对于复色光，当缝宽a一定，各级明纹的衍射角随 $ \lambda $的增大而增大（但中央亮纹与波长无关）。所以当用白光

作光源时，除中央亮纹仍为白色外，其余各级亮纹均按波长的增加而分散开，形成由紫到红的彩色条纹。

9.3 圆孔衍射 光学仪器的分辨本领

因光学仪器中大部分透镜和光阑都是圆形的，它们的边缘和孔径在光路中常引起衍射而影响仪器的成像质量，所以对圆孔衍射的研究具有重要意义。

9.3.1 圆孔的夫琅禾费衍射

圆孔衍射的实验装置如图9-1所示，圆孔（circular aperture）的夫琅禾费衍射图样如图9-2(a)所示的。衍射图样由中央亮斑和一组明暗相间的同心圆环组成。中央亮斑称为艾里斑（Airy disk），它的光能约占整个入射光能的84%。圆孔的夫琅禾费衍射光强分布如图9-13所示。

中央亮斑，即艾里斑的大小定义为从其

中点到第一级暗环所围的范围，所以艾里斑

的半角宽度就是第一级暗环所对应的衍射

角。若入射光波长为 $ \lambda $，圆孔直径为 D，则由

理论计算可得，在衍射角很小的近似条件下

艾里斑的半角宽度为

$$ \theta_{1}=1.22\frac{\lambda}{D} $$

若衍射孔(或屏)后方透镜 $ L_{2} $ 的焦距为 f，则艾里斑在 $ L_{2} $ 的焦平面处的屏 E 上的半径为

$$ R_{0}=f\cdot\theta_{1}=1.22\frac{f\lambda}{D} $$

通常在圆孔衍射中起重要作用的就是中央亮斑，所以我们最关心的还是艾里斑的特点。由式(9-17)可见，单缝和圆孔衍射的半角宽度除了相差一个常量因子1.22外，其他特点都是相似的，即中央亮斑的角宽度与波长成正比，与衍射孔径成反比。说明圆孔的孔径D越小，或入射光波长 $ \lambda $越大，则衍射现象越显著。而当 $ D\gg\lambda $时，衍射现象消失。

可见要使成像清晰，就要使艾里斑尽量减小。在入射波长确定的情况下，就必须使光学仪器的孔径尽可能大；而在仪器孔径不变的情况下，则应设法使用短波光源。

9.3.2 光学仪器的分辨本领 瑞利判据

放在光路中的光学仪器对光起障碍物的作用，经仪器边缘产生衍射效应。所

以，实际的光学系统对于一个点物来说，即使消除了所有的像差也不可能得到一个真正的点像，实际的点像变成了一个艾里斑。所以当由若干个物点构成的景物通过光学仪器后将形成若干个不同的艾里斑，这些艾里斑的非相干叠加将使景物的细节模糊不清，影响观测效果。例如我们用望远镜观察太空中的一对双星，这两个远处的“物点”经过望远镜而形成两个对应的艾里斑。当这两个圆斑足够小或者离得足够远时，我们就能够分辨出这是两颗星；但当这两个圆斑靠得太近，其绝大部分相互重叠时，我们就看不出这是两个圆斑，因而也无法辨认这是一对双星。图9-14给出了两个物点对光学仪器（衍射物）的张角 $ \delta\theta $改变时，对应的两个衍射图样光强的重叠情况。

研究发现，当一个物点的衍射图样的中央亮斑中心恰好与另一物点的衍射图样的第一极小重合时，这两个物点刚好能被该光学仪器所分辨。这一准则首先由瑞利（原名 John William Strutt，1842—1919）提出，称为瑞利判据（Rayleigh criterion）。当两个物点恰能被光学仪器分辨时，它们对该仪器中心的张角称为最小分辨角（angle of minimum resolution），用 $ \delta\theta_{0} $ 表示。以透镜的衍射为例，由图 9-15 可看出，最小分辨角就等于艾里斑的半角宽度 $ \theta_{1} $，即

$$ \delta\theta_{0}=\theta_{1}=1.22\frac{\lambda}{D} $$

瑞利判据给出了两个物点能够被光学仪器所分辨的最小角距离，即只有当两个物点对光学仪器的张角大于该光学仪器对物点衍射的艾里斑的半角宽度时，两物点才能被分辨。

从式(9-19)可以看出， $ \delta\theta_{0} $ 越小，说明能被该光学仪器区分开来的两个物点之间的最小距离就越近，该光学仪器的分辨本领也就越高。所以，通常将光学仪器最小分辨角的倒数定义为仪器的分辨本领（resolving power）或角分辨率（angular resolution），用 R 表示，即

$$ R=\frac{1}{\delta\theta_{0}}=\frac{D}{1.22\lambda} $$

可见，若仪器的孔径越大，或采用的波长越短，则分辨本领越高。对于望远镜（telescope），一般都通过增大物镜口径来提高其分辨率。使用大型望远镜不仅减小了艾里斑的尺寸，使能量聚集在较小的衍射圆斑上，而且透镜越大，聚集的光愈多，像也愈明亮，从而使遥远的暗淡天体也能被看见。对于显微镜（microscope），其仪器结构和工作原理与望远镜有所不同，显微镜的分辨本领的定义与式（9-20）也不一样，但其分辨本领与波长之间的反比关系仍然相同，所以显微镜仍可以通过采用短波工作来降低衍射效应，例如用紫外线进行工作就比用可见光观察得更精细。但要大幅度提高显微能力，还需采用以高能电子波（其波长极短）来工作的电子显微镜。例如在电子显微镜中电子波束的有效波长约为 $ 4 \times 10^{-3} $ nm，仅为可见光波长 $ (5 \times 10^{2} $ nm) $ 的 $ 10^{-5} $ 倍，因而其分辨率比光学显微镜提高了 $ 10^{5} $ 倍。这就使我们对病毒大小的物体也能够进行细致的检验，而如果在光学显微镜下，病毒的结构就会为衍射所掩蔽，什么也看不见。一般来讲，电子显微镜的放大率可达几万至几百万倍，而光学显微镜的放大率最高也只有一千倍左右。$

【例9-2】在通常亮度下人眼瞳孔的直径约为3 mm，瞳孔到视网膜的焦距可取为 $ f\approx20\ mm $。

（1）试估算人眼瞳孔在视网膜上所形成的艾里斑的大小；

（2）人眼能够分辨的20 m远处的最小线距离是多少？设 $ \lambda=550\ nm $

解（1）由式 $ （9-17） $可算出瞳孔形成的艾里斑半角宽度为

$$ \theta_{1}=1.22\frac{\lambda}{D}=\frac{1.22\times550\times10^{-9}}{3\times10^{-3}}\mathrm{rad}=2.23\times10^{-4}\mathrm{rad} $$

在视网膜上艾里斑的半径为

$$ R=f\theta_{1}=20\times10^{-3}\times2.23\times10^{-4}m=4.46\times10^{-6}m=4.46\mu m $$

（2）设 $ L=20 \, m $ 远处的两点间的线距离为 l，则它们对瞳孔所张角度 $ \delta\theta \approx \frac{l}{L} $ 。根据瑞利判据，只有当满足

$$ \delta\theta=\frac{l}{L}\geqslant\delta\theta_{0}=\theta_{1} $$

时，此两点才可被人眼分辨开，式中 $ \delta\theta_{0} $ 为最小分辨角。所以

$$ l\geqslant L\delta\theta_{0}=L\theta_{1} $$

因此，20 m 远处能被人眼分开的最小线距离为

$$ l_{min}=L\theta_{1}=20\times2.23\times10^{-4}m=4.5mm $$

9.4 双缝的干涉和衍射

在杨氏双缝干涉一节中，我们讨论由双缝射出的两光之间的干涉问题时并未考虑经每条狭缝出射的光本身存在的衍射（即单缝衍射）效应，从而表现出缝与缝之间的纯干涉问题。然而，双缝之间纯粹的干涉只不过是一种理想化的情况，实际中出自两条狭缝的光波的有效光强由该缝的衍射光强确定，而双缝之间的两列衍射波又是相干波，在其相遇处将发生干涉叠加。所以，双缝衍射图样是在单缝衍射光强调制之下的双缝干涉光强分布。

上述的双缝问题将干涉和衍射的作用联系起来了。那么干涉和衍射到底有什么区别和联系呢？从本质上来讲，干涉和衍射并没有区别，它们都属于光波之间的相干叠加，例如双缝干涉和单缝衍射的光强分布都是光波之间干涉叠加的结果。因此在分析方法上干涉和衍射的光强分布都可用菲涅耳衍射积分公式来计算。但是由于干涉和衍射是在不同的实验条件或环境下形成的，从而造成了它们的叠加机制有所不同。在光的干涉中，参与叠加的各束相干光不是出自一个连续的波面，而是来自被仪器等装置分开的若干个分离的光束，或者说是有限个不同波源的相干光之间的叠加。例如双缝中分别来自两条狭缝光源的光波间的相干叠加，而衍射则是来自同一个连续的波面上各个无限小的部分的无穷多个子波源的光波之间的相干叠加，例如来自同一条狭缝的连续波面上各个子波之间的相干叠加。所以，处理光的干涉问题一般也较光的衍射问题简单。但从物理角度来看，干涉和衍射之间也存在着明显的区别。尽管干涉和衍射均能在空间一定区域形成特殊的光强分布即明暗相间的干涉条纹，但在光的纯干涉问题中不涉及光偏离直线传播的问题，或者说在纯干涉现象中，参与干涉叠加的各个光波都是按照几何光学的规律传播的。例如在双缝或多缝之间的纯干涉问题中，是考虑沿直线传播的两束或多束相干光在空间某点相遇时的干涉叠加，而在讨论光的衍射问题时，一般都涉及与几何光学规律有偏离和差异的现象，例如一束平面光波在通过单狭缝时因波面受阻而改变了原来的传播特性，使缝后的光波不再沿同一个方向传播而是向各个方向扩展开来，因而光屏上得到的并不是一条细亮线（狭缝的像），而是在一定范围内的光强分布（设 $ a\ll\lambda $），这就是明显的衍射效应。总之，干涉和衍射是本质上统一、但在形成条件（包括实验的和自然的）、分布规律从而在数学处理方法上略有不同而

又紧密关联的同一类现象。

再次强调，在实际问题中，干涉和衍射通常都是同时存在的，例如前面讲过的双缝干涉以及下面即将介绍的光栅衍射，其中都涉及干涉和衍射的双重效应。而原因则在于纯干涉的条件是难以满足的。

9.5 光栅衍射

光栅的分光色散作用十分优秀，是一般的分光装置如棱镜等无法企及的。由于光栅衍射条纹具有亮、细、疏等显著特点，能够很好地将复色光中的不同频率成分分离开来，或者说将混合光谱转变为分离的单色光谱，所以光栅是研究光谱的最普遍而有力的工具，常被用于分析光谱、测定光的波长、研究物质结构等。光栅在化学、天文学上也有着非常广泛的应用，例如对遥远天体的各种性质，如天体的大小、质量、年龄、化学成分、速度、温度等的认识都来自对天体光谱的分析。

任何能起等宽而又等间隔地分割波阵面作用的装置都可叫作光栅(grating)，或者说光栅就是能在空间上周期性地阻挡光波的光学元件。最典型的光栅是由平行、等宽而又等间隔的多狭缝形成的衍射光栅。利用透射光进行衍射的称为透射光栅，利用反射光进行衍射的称为反射光栅。例如用金刚石刀尖在玻璃面上刻出许多平行细槽，如图9-16(a)所示，刻槽的部分因散射而不透光，未刻划的部分则能像狭缝一样透光，这样就制成了透射光栅(transmission grating)。如图9-16(b)所示，在金属表面上刻出若干完全相同的很光滑的锯齿状槽，则光在齿面上作规则的反射，成为反射光栅(reflection grating)。此外，在空间上作周期性排列的晶体晶格，如NaCl中的原子排列，也可看作对于短波如X射线的三维衍射光栅(three dimensional grating)。

光栅衍射是单缝衍射与多缝干涉效应的综合结果。光栅衍射图样（光栅光谱grating spectrum）具有明显的特点，单色光透过光栅时产生明亮尖锐的亮纹，如图9-17所示。一般光栅在1 mm内有几十至上千条狭缝，用于可见光和紫外线区的光栅大多是每毫米有600条至1200条刻痕。

9.5.1 光栅方程

光栅衍射的光强分布是单缝衍射和多缝干涉的共同结果。如图9-18所示，当平行光照射到光栅G上时，经过其中每一条狭缝的光都成为单缝衍射光，遵从单缝衍射的光强分布规律。而这些由不同狭缝射出的光又是相干光，它们相遇时还将产生多缝干涉。

设光栅的每一条透光部分宽度为 a，不透光部分宽度为 b，则定义光栅常量 (grating constant) 为 $ d = (a + b) $。设平面单色光垂直入射于光栅表面上，则在同一个衍射角 $ \theta $ 方向上，任意两条相邻狭缝发出的光到达 P 点的光程差都相等，均为

$$ \delta^{\prime}=(a+b)\sin\theta=d\sin\theta $$

当 $ \theta $满足

$$ (a+b)\sin\theta=\pm k\lambda,\quad k=0,1,2,\cdots $$

时，光栅上所有相邻的两缝发出的光到达P点的光程差都是波长的整数倍，因而它们将相互干涉加强而在屏上形成明条纹。此时P点的合振幅应该是每个单缝的光振动到达P点时的振幅的代数和，因此，与单缝衍射相比，光栅的多缝干涉所形成的明纹的亮度要大得多。我们把这些明条纹称为主极大，把决定主极大条件的式(9-21)称为光栅方程。

9.5.2 缺级公式

当衍射角 $ \theta $ 满足式(9-21) 光栅方程时应产生主极大明条纹，但如果衍射角 $ \theta $ 又恰好同时满足单缝衍射的暗纹条件

$$ a\sin\theta=\pm k^{\prime}\lambda,\quad k^{\prime}=1,2,3,\cdots $$

时，由于经每一条单缝衍射的光波在该方向的光强已全部为零，在该方向上缝与缝之间的多缝干涉自然也就不可能发生了。所以在这种特殊的 $ \theta $方向，虽然式(9-21)预期将产生干涉主极大，但实际上这一级明条纹已不可能出现，这种现象称为谱线的缺级（missing order）现象。因此，光栅方程只是多光束干涉加强而产生明条纹的必要条件。

将式(9-21)和式(9-22)相除即可得出缺级公式：

$$ k=\frac{a+b}{a}k^{\prime},\quad k^{\prime}=1,2,3,\cdots $$

即光栅中满足上式的第 k 级主极大将发生缺级。其中 $ k' $ 为某一级单缝衍射极小所对应的级次。例如，当 b=2a 时， $ k=3k' $，这时 $ k=\pm3,\pm6,\cdots $ 极的主极大将不会出现，如图 9-19 所示。

$ ^{*} $9.5.3 光栅衍射光强的振幅矢量叠加法

下面采用光栅衍射光强的振幅矢量叠加法来导出式（9-21）光栅方程和

式(9-23)缺级公式。

设沿 $ \theta $ 方向衍射的光经透镜 L 会聚在焦面处的屏上 P 点，则 P 点总的光振动等于每条狭缝沿该方向的衍射光在该点引起的光振动的相干叠加。这些衍射光振动在 P 点的振幅相同，均由式(9-9)决定，即

$$ E_{iP}=E_{0}\frac{\sin\alpha}{\alpha} $$

式中， $ E_{0} $ 是每一个单缝在屏中心 O 点的衍射光振幅， $ \alpha=\frac{\pi}{\lambda}a\sin\theta $。

现在采用与计算单缝衍射光强类似的矢量叠加法来计算 P 点的合成振幅 $ E_{P} $。因每一狭缝的衍射光在 P 点的振幅都是 $ E_{iP} $，且相邻两狭缝间的光程差均为 $ \delta' $，对应相位差为 $ \Delta\varphi' $，其中 $ \Delta\varphi'=\frac{2\pi}{\lambda}\delta'=\frac{2\pi}{\lambda}d\sin\theta $，依此可画出光栅的 N 条狭缝在 P 点的光振幅矢量叠加图，如图 9-20 所示。由图中等腰三角形 MBC 可得

$$ \frac{1}{2}E_{iP}=R\sin\frac{\Delta\varphi^{\prime}}{2} $$

所以

$$ R=\frac{E_{iP}/2}{\sin(\Delta\varphi^{\prime}/2)} $$

又因$\triangle BMD$为等腰三角形，且$\angle BMD=N\Delta\varphi'$，所以

$$ \frac{1}{2}E_{P}=R\sin\frac{N\Delta\varphi^{\prime}}{2} $$

令 $ \beta = \Delta \varphi' / 2 $，将式 (9-24) 和式 (9-25) 代入上式得

$$ E_{P}=E_{0}\frac{\sin\alpha}{\alpha}\frac{\sin N\beta}{\sin\beta} $$

再由 $ \frac{I_{P}}{I_{0}}=\frac{E_{P}^{2}}{E_{0}^{2}} $，得出光栅衍射的光强公式：

$$ I_{P}=I_{0}\left(\frac{\sin\alpha}{\alpha}\right)^{2}\left(\frac{\sin N\beta}{\sin\beta}\right)^{2} $$

式中, $ \alpha=\frac{\pi a}{\lambda}\sin\theta,\beta=\frac{\pi d}{\lambda}\sin\theta $

在式(9-26)中， $ \left(\frac{\sin\alpha}{\alpha}\right)^{2} $ 称为单缝衍射因子，它代表由每条狭缝出射的光强分布。由于衍射作用，在不同的 $ \theta $ 方向光强不同； $ \left(\frac{\sin N\beta}{\sin\beta}\right)^{2} $ 称为多缝干涉因子，它代表经不同狭缝出射的光波之间相干叠加的光强分布。因此，光栅的夫琅禾费衍射图样是在单缝衍射光强调制之下的多缝干涉图样。图9-19画出了 N=5 时的光栅衍射光强分布曲线，其中图9-19(a)和图9-19(b)分别是式(9-26)中的单缝衍射因子项和多缝干涉项的贡献，图9-19(c)是合成结果。

概括地讲，光栅衍射图样的特点是衍射条纹明亮、细锐、稀疏。在衍射角不大的情况下，条纹还是等间距的。下面就此作具体分析。

（1） 光栅方程

由光栅衍射光强公式(9-26)式可知，在满足 $ \beta=\frac{\pi d}{\lambda}\sin\theta=k\pi $的衍射方向，多缝干涉光强为极大值，对应于光栅衍射图样中各级主极大明条纹。则得到光栅方程： $ \delta\sin\theta=(a+b)\sin\theta=k $ $ k=0,1,2,\ldots $ (9-27)

$$ d\sin\theta=\left(a+b\right)\sin\theta=\pm k\lambda\;,\quad k=0,1,2,\cdots $$

可以看出，式(9-27)与式(9-21)完全相同。

当 $ \beta=k\pi $时, $ \sin\beta=0,\sin N\beta=0 $,而 $ \frac{\sin N\beta}{\sin\beta}=N $。因而由式(9-26)得到

$$ I_{P\max}=I_{0}\left(\frac{\sin\alpha}{\alpha}\right)^{2}\cdot N^{2} $$

这说明光栅衍射中各主极大的光强为（对应方向的）单缝衍射光强的 $ N^{2} $倍。由于N

通常都很大，所以光栅衍射的明纹相当明亮。

当 $ \theta $ 很小时，由光栅方程式 (9-27) 可知，相邻两级明纹之间的角距离 $ \Delta\theta \approx \lambda/d $，所以光栅常量 d 越小，明纹之间的距离就越大。式 (9-27) 还说明，光栅衍射的明纹位置与狭缝数目 N 无关。

（2） 缺级公式

因光栅的光强由单缝衍射和多缝干涉因子的乘积决定，即 $ I_{P}=I_{0}\left(\frac{\sin\alpha}{\alpha}\right)^{2} $ $ \left(\frac{\sin N\beta}{\sin\beta}\right)^{2} $，注意到 $ \left(\frac{\sin\alpha}{\alpha}\right)^{2} $ 称为单缝衍射因子，所以若某一衍射角 $ \theta $ 方向既满足光栅方程式（9-27），又同时满足 $ \alpha=\frac{\pi a}{\lambda}\sin\theta=k'\pi(k'\neq0) $ （意味着单缝衍射光强为零），即

$$ a\sin\theta=\pm k^{\prime}\lambda,\quad k^{\prime}=1,2,3,\cdots $$

则由前面分析可知出现缺级现象。将式(9-27)和式(9-28)相除即可得出缺级公式：

$$ k=\frac{a+b}{a}k^{\prime},\quad k^{\prime}=1,2,3,\cdots $$

可以看出，式(9-29)与式(9-23)完全相同。

（3） 衍射极小及暗区

由光栅光强公式(9-26)可知，当 $ \sin\beta\neq0 $ 但 $ \sin N\beta=0 $，则对应方向的总光强 $ I_{P}=0 $，此时 $ N\beta=m\pi $。

将 $ \beta=\frac{\pi d}{\lambda}\sin\theta $代入上式，得

$$ (a+b)\sin\theta=\pm\frac{m}{N}\lambda,\quad m=1,2,\cdots,N-1,N+1,\cdots $$

上式所确定的方向就是光栅衍射光强极小（为零）的方向，此时多缝干涉相消，出现暗纹。注意为保证 $ \sin\beta\neq0 $，上式中m不能为0或N的整数倍。当m为0或N的整数倍时，式（9-30）就成为确定明纹的光栅方程式（9-27）了。

因第一级明纹对应的衍射角为 $ \sin\theta_{1}=\lambda/(a+b) $，而第 m 级暗纹对应的衍射角为

$$ \sin\theta_{m}=\frac{m}{N}\frac{\lambda}{a+b}=\frac{m}{N}\sin\theta_{1} $$

所以，只要是 $ m

间共有N-2个次极大，它们的光强远比主极大的小，而且暗纹又密，所以次极大明纹实际上是观察不到的，因而光栅的衍射总体上形成一条条明亮狭窄且稀疏的亮条纹。

9.5.4 光栅光谱

由光栅公式 $ d\sin\theta=\pm k\lambda $ 可知，当光栅常量 d 给定时，某一级亮纹的衍射角 $ \theta $ 与入射光的波长 $ \lambda $ 有关， $ \lambda $ 越大则衍射角也越大。因此，当不同波长的复色光经光栅衍射后，除中央处零级亮纹重合外，不同波长单色光的同一级主极大将在不同的衍射角出现，形成不同颜色的同级明纹按波长顺序分散排列的光栅光谱。因此，光栅具有色散作用。由于各级谱线的宽度随光谱级次的增加而增加，致使高级次的光谱发生不同级次之间的重叠，如图 9-21 所示。

【例 9-3】用波长 $ \lambda = 546.1 \, nm $ 的绿光垂直照射于每厘米有 3000 条刻线的光栅上，该光栅的刻痕宽度（不透光部分）与透光缝宽度相等。问：能看到多少条光谱线？各谱线的衍射角有多大？

解 依题意，光栅常量 $ d=a+b=\frac{1}{3\,000}\text{cm} $，根据光栅方程知，第 k 级光谱线的衍射角 $ \theta_k $ 满足下式：

$$ \sin\theta_{k}=\frac{\pm k\lambda}{a+b}=\frac{\pm k\times546.1\times10^{-9}m}{(1/3000)\times10^{-2}m}=\pm0.1638k $$

因 $ \left|\sin\theta_{k}\right|\leqslant1 $ ,所以 $ \left|k\right|\leqslant\frac{1}{0.1638}=6.1 $ 。取整数，得

$$ k_{\max}\mid=6 $$

说明最多能看到6级谱线。再根据题中条件a=b知，谱线在如下级次发生缺级：

$$ k=\frac{a+b}{a}k^{\prime}=2k^{\prime}=\pm2,\pm4,\pm6,\cdots $$

所以，只看到 $ k=0,\pm1,\pm3,\pm5 $ ，共7条谱线。这些谱线对应的衍射角分别为

中央明纹

$$ \theta_{0}=0； $$

一级明纹

$$ \theta_{1}=\arcsin\left(\pm0.1638\right)=\pm9^{\circ}26^{\prime}; $$

三级明纹

$$ \theta_{3}=\arcsin\left(\pm0.1638\times3\right)=\pm29^{\circ}26^{\prime}; $$

五级明纹

$$ \theta_{5}=\arcsin\left(\pm0.1638\times5\right)=\pm54^{\circ}59^{\prime} $$

9.6 晶体的 X 射线衍射 布拉格公式

1895 年，伦琴（Wilhelm Röntgen，1845—1923）在研究阴极射线的实验中意外地发现了一种特殊的射线。这种射线人眼看不见，但具有很强的穿透力，能透过许多可见光不能透过的物质，能使包裹在黑纸里的照相底片感光，并能使许多物质产生荧光等等。伦琴将这种当时未知的射线称为 X 射线（X-ray）。后来人们也将 X 射线称为伦琴射线。

当被加速的高速电子撞击到金属靶上时，就产生出X射线。X射线是一种电磁辐射。其产生的机理是：当高速电子撞击到靶上，受靶中原子核的库仑场的作用而速度骤减时，即产生高能电磁辐射。由此产生的辐射称韧致辐射，所得的X射线谱为连续X射线谱。由于X射线的波长极短，约 $ 10^{-3}\sim1 $ nm，用一般的光学光栅无法获得它的衍射图像。所以在伦琴发现X射线之后的若干年，人们也无法从实验上来证实X射线的波动性。1912年，晶体结构研究的发展给予劳厄（Max Theodor Felix von Laue，1879—1960）新的启示，他想到若晶体（crystal）内的原子是周期性有规则排列的，且晶体晶格粒子（晶胞）之间的距离又与X射线波长的数量级相当，则晶体中每一个晶格粒子可看作X射线的衍射（散射）中心，其作用相当于一维光栅中的狭缝，而晶格粒子之间的距离可看作一维光栅中的缝间距离d，从而晶体可当作对X射线的三维衍射光栅（空间光栅）。劳厄的设想为实验所证实，当用X射线照射晶体后成功地获得了X射线的衍射光斑。这一实验的成功既证明了X射线的波动性，同时也验证了晶体内部原子有规律的周期性排列结构。

劳厄的 X 射线晶体衍射实验如图 9-22(a) 所示，一束 X 射线穿过铅板 P 上的小孔后照射在晶体 C 上，经 C 衍射后在胶片 E 上形成具有某种对称性分布的若干衍射斑点，称为劳厄斑（Laue spots）。如图 9-22(b) 所示。

对劳厄斑分布的定量研究涉及空间光栅的衍射理论，较为复杂。英国的布拉格父子（Sir William Henry Bragg，1862—1942；Sir William Lawrence Bragg，1890—1971）对X射线的晶体衍射提出了一种简明的解释：如图9-23所示，晶体由一系列

视频：X 射线摄影

平行平面(晶面)所组成，沿着同一个方向各晶面之间的距离相等，设为 d，d 称为晶格常量(lattice constant)或晶面间距(interplanar spacing)(注意沿不同方向 d 值不同)。当一束平行相干的 X 射线以掠射角 $ \theta $ 射到晶体上时，一部分将被表面层的原子所衍射(散射)，其余的被内部各层晶面所散射。可以证明，在同一层晶面上的衍射中，若将晶面视为一个反射面，则只有在满足反射定律的方向上衍射的 X 射线的相干叠加才最强，而在其他方向的衍射强度都是相当微弱的。因此，可以按照光波的反射定律来确定经某一层晶面衍射的 X 射线的方向，从而确定由不同晶面层衍射的 X 射线之间的波程差。如图 9-23 所示，经相邻两晶面层衍射的两束 X 射线之间的波程差为

$$ \delta=AC+CB=2d\sin\theta $$

根据波的干涉叠加规律可知，当 $ \delta $符合条件

$$ \delta=2d\sin\theta=k\lambda\;,\quad k=1,2,3,\cdots, $$

则由两晶面反射的 X 射线干涉加强，在感光屏上对应方位形成亮点。上式称为布拉格条件或布拉格公式。

因晶体是三维的，所以在不同的取向将得到具有不同晶面间距的平行晶面簇，如图9-24所示。当X射线以确定的方向射到晶体表面上时，对于不同的晶面簇，掠射角 $ \theta $不同，晶面间距d也不同，但只要是满足式（9-31）的X射线都能在相应的衍射方向得到加强。但应注意的是，在一维光栅中，对于一定的波长 $ \lambda $，总有一些衍射角满足光栅公式；而对于三维晶体光栅，当入射方向和晶体取向确定之后，对晶体中所有的晶面簇来讲，布拉格条件中的d和 $ \theta $都已限定，这时对于一个确定波长的X射线，往往很难满足布拉格公式，也许只有几个取向的晶面簇能够满足，甚至完全不满足。因此通常在固定晶体取向的情况下，用各种不同波长的X射线入射，以使具有不同晶面间距d的不同晶面簇都能找到相对应的波长 $ \lambda $来满足式（9-31），从而获得一系列具某种对称规律分布的劳厄斑点，这种分布称为劳厄相，如图9-22（b）所示。若固定X射线波长，而以大量不同取向的晶体微粒为衍射物，或沿一定方向旋转晶体，这样也就为满足布拉格条件提供了充分的可能性。由此方法将得到与劳厄相有所不同的衍射图样，称为德拜相，如图9-25所示。

由于晶体的晶格粒子就是X射线的衍射中心，所以晶体对X射线的衍射规律取决于晶格粒子的结构。而晶格粒子又是晶体周期性结构的基本单元，所以可通过已知波长的X射线衍射来分析晶体结构，研究材料性能等；反之，当晶体结构已知时，可用晶体的X射线衍射来测定X射线的波长，进行X射线的谱线分析。

习题

9-1 波长为 $ 500 \, nm $ 的单色光垂直入射到宽为 $ 0.25 \, mm $ 的单缝上，单缝后面放置一凸透镜，凸透镜的焦平面上放置一光屏用以观测衍射条纹。今测得中央明条纹一侧第三个暗条纹与另一侧第三个暗条纹之间的距离为 $ 12 \, mm $，则凸透镜的焦距 f 为()。

A. 2 m B. 1 m C. 0.5 m D. 0.2 m

9-2 用一架出射孔径为 D 的凹形抛物反射面镜将波长为 $ \lambda $ 的单色激光束射向月球表面，由于圆孔衍射，可以近似认为光束的全部能量平均地分布在月球表面形成的艾里斑上，在艾里斑区域内有一直径为 d 的平面全反射镜。已知地球表面到月球表面的距离为 L，则平面镜接收（反射）的能量与原发射束的能量之比为（）。(略去地球大气的吸收损耗。)

A. $ \frac{D^{2}d^{2}}{5.95L^{2}\lambda^{2}} $ B. $ \frac{D^{2}L^{2}}{5.95\lambda^{2}d^{2}} $ C. $ \frac{L^{2}\lambda^{2}}{5.95D^{2}d^{2}} $ D. $ \frac{D^{2}\lambda^{2}}{5.95L^{2}d^{2}} $ E. $ \frac{L^{2}d^{2}}{5.95\lambda^{2}D^{2}} $

9-3 波长为 $ \lambda $ 的单色光垂直入射到一衍射光栅上，当光栅常量为 d 时，第一级衍射明纹对应的衍射角为 $ \theta $；当换成光栅常量为 $ d/\sqrt{3} $ 的光栅时，第一级衍射明纹对应的衍射角为 $ 2\theta $，则 $ \lambda/d $ 为（）。

A. $ \frac{\sqrt{3}}{2} $ B. $ \sqrt{3} $ C. $ \frac{1}{2} $ D. 2

9-4 某元素的特征光谱中含有波长分别为 $ \lambda_{1}=450 $ nm 和 $ \lambda_{2}=750 $ nm 的光谱线。在光栅光谱中，这两种波长的谱线有重叠现象，则重叠处 $ \lambda_{2} $ 的谱线的级数将是( )。

A. 2,3,4,5, $ \cdots $ B. 2,5,8,11, $ \cdots $ C. 2,4,6,8, $ \cdots $ D. 3,6,9,12, $ \cdots $

9-5 用波长 400~760 nm 的白光照射光栅，在它的衍射光谱中，第二级和第三级发生重叠，如题 9-5 图所示。第二级光谱被重叠部分的光谱范围是( )。

A. 400~506.7 nm

B. 600~760 nm

C. 506.7~600 nm

D. 506.7~760 nm

9-6 X 射线投射到间距为 d 的平行晶格平面的晶体中，这时发生布拉格晶体衍射的最大波长为( )。

A. d/4 B. d/2 C. d D. 2d E. 4d

9-7 抽制细丝时可用激光监控其粗细，激光束越过细丝时所产生的衍射条纹和它通过遮光板上一条同样宽度的单缝时所产生的一样。设激光器所发激光波长为 632.8 nm，衍射图样承接在 $ D=2.65\ m $ 远的屏上。如果细丝直径要求 1.37 mm，则屏上两侧的两个第 10 级极小之间的距离为 $ \Delta x= $ ___ m。

9-8 用波长 $ \lambda=632.8 $ nm 的红光垂直照射单缝，已知缝宽 $ a=0.2 $ mm，会聚透镜焦距 $ f=100 $ cm，则当缝边缘的两条光线到屏上 P 点的相位差为 $ \pi/2 $ 时，P 点在屏上的位置 x=___ mm。

9-9 在迎面驶来的汽车上，两盏前灯相距 1.2 m。假设夜间人眼瞳孔直径为 5.0 mm，而入射光波长 $ \lambda=550 $ nm，则汽车离人的距离 L 应小于 ___ km 时，眼睛才可以分辨这两盏前灯？（设这个距离只取决于眼睛的圆形瞳孔处的衍射效应）

9-10 以波长为 $ 0.11 \, nm $ 的 X 射线照射某晶面，在掠射角为 $ 11^{\circ}15' $ 时获得第一级极大的反射光，则晶面间距为 d= ___ nm；又以一束待测 X 射线照射该晶面，测得第一级极大反射光相应的掠射角为 $ 17^{\circ}30' $，则待测 X 射线的波长应是 $ \lambda' = $ ___ nm。

9-11 用波长 $ \lambda_{1}=400 $ nm 和 $ \lambda_{2}=700 $ nm 的混合光垂直照射单缝，在衍射图样中， $ \lambda_{1} $ 的第 $ k_{1} $ 级明纹中心位置恰与 $ \lambda_{2} $ 的第 $ k_{2} $ 级暗纹中心位置重合，求 $ k_{1} $ 和 $ k_{2} $。（取最小值）

9-12 在单缝的夫琅禾费衍射实验中，与观察屏上第三级暗纹方向相应的单缝处波面可划分为几个半波带？若将缝宽缩小一半，原来第三级暗纹处将是第几级明纹或暗纹？

9-13 如题 9-13 图所示，在宽度为 0.6 mm 的单缝后有一薄透镜，其焦距为

40 cm。在焦平面处有一个与狭缝平行的屏，以平行光垂直入射，在屏上形成衍射条纹。如果在距中心 O 点为 1.4 mm 的 P 点看到的是亮纹，求：

(1) 入射光的波长；

（2）P 点条纹的级次；

（3）从 P 点看，对该光波而言，狭缝处的波面可分成的半波带的数目。

9-14 一双缝缝距 d=0.4 mm, 两缝宽度都是 a=0.08 mm, 用波长 $ \lambda=480 $ nm 的单色平行光垂直照射, 在双缝后放一焦距 f=1.0 m 的透镜, 求:

（1）在透镜焦平面处的屏上，双缝干涉条纹的间距 $ \Delta x $;

（2）在单缝衍射中央亮纹范围内的双缝干涉亮纹的数目。

9-15 用肉眼观察星体时，星光通过瞳孔的衍射在视网膜上形成一个小亮斑。

（1）若瞳孔最大直径为7.0 mm，入射光波长为550 nm，星体在视网膜上的像的角宽度 $ \varphi $ 为多大?