附录 A 矢量简介

$ T_{1}=300K $，经过不同过程到达末态C，AC为等温线，AD为绝热线。试分别由三条路径计算熵变 $ \Delta S=S_{c}-S_{A} $，并对结果进行分析。

>> 附录A

矢量（向量）简介

A.1 矢量（向量）及其表示

在大学物理中，我们经常遇到两类物理量，一类在选定单位后仅需用数值来表示，如质量、温度、体积等，这类物理量称为标量；另一类物理量不仅有大小和单位，还有方向，这类物理量称为矢量(vector)(数学中称为向量)，如位移、速度、加速度、物体受力、电场强度等。

矢量通常用带有箭头的字母（如 $ \vec{a} $）来表示；印刷中也可以用黑体字（如 a）来表示；在作图时常用有向线段来表示，有向线段的长度正比于矢量的大小，箭头的指向表示矢量的方向（见图 A-1）。A 为矢量 a 的始点，B 为终点。

长度等于一个单位长度的矢量称为单位矢量，如图 A-1 中 $ e_{a} $ 表示 a 方向的单位矢量，因此，矢量 a 又可以表示为

$$ \boldsymbol{a}=a\boldsymbol{e}_{a} $$

这里 a 是矢量的大小，也称为矢量的模，记为 $ a = |a| $，单位矢量 $ e_a $ 表示 a 的方向。

在平面上取直角坐标系 xOy，如图 A-2 所示，将

矢量 a 的始点置于原点 O，矢量 a 与 x 轴的夹角为 α，

矢量 a 的终点坐标则为

$$ \begin{aligned}&a_{x}=a\cos\alpha\\&a_{y}=a\sin\alpha\\ \end{aligned} $$

$ a_{x} $， $ a_{y} $ 又分别称为矢量 a 在 x, y 轴上的分量，也称为矢量 a 在 x, y 轴上的投影量。 $ a_{x} $， $ a_{y} $ 是代数量，可以为负值。

分别沿坐标轴 x 轴和 y 轴取单位矢量 i 和 j，矢量 a 可以表示为

$$ \boldsymbol{a}=\boldsymbol{a}_{x}\boldsymbol{i}+\boldsymbol{a}_{y}\boldsymbol{j} $$

这样，矢量a的大小（模）为

$$ a=\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}} $$

矢量 $ a $ 与 $ x $ 轴的夹角 $ \alpha $ 满足下面的关系

$$ \tan\alpha=\frac{a_{y}}{a_{x}} $$

$ \alpha $ 所在的象限取决于 $ a_{x} $ 和 $ a_{y} $ 的正负。

一般来讲，在三维直角坐标系中，矢量 $ \boldsymbol{a} $ 与 x, y, z 轴的夹角分别为 $ \alpha, \beta, \gamma $，如图 A-3 所示，则矢量 $ \boldsymbol{a} $ 的分量为

$$ \left.\begin{aligned}a_{x}&=a\cos\alpha\\ a_{y}&=a\cos\beta\\ a_{z}&=a\cos\gamma\end{aligned}\right\} $$

式中 $ \cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma $ 称为矢量 a 的方向余弦，且满足下面的关系：

$$ \cos^{2}\alpha+\cos^{2}\beta+\cos^{2}\gamma=1 $$

以 i, j, k 分别表示 x, y, z 轴上的单位矢量，则矢量 a 可表示为

$$ \boldsymbol{a}=\boldsymbol{a}_{x}\boldsymbol{i}+\boldsymbol{a}_{y}\boldsymbol{j}+\boldsymbol{a}_{z}\boldsymbol{k} $$

矢量a的大小(模)为

$$ a=\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}} $$

反过来，由矢量的分量可确定矢量与x,y,z轴的夹角：

$$ \begin{aligned}&\cos\alpha=\frac{a_{x}}{a}=\frac{a_{x}}{\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}}\\ &\cos\beta=\frac{a_{y}}{a}=\frac{a_{y}}{\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}}\\ &\cos\gamma=\frac{a_{z}}{a}=\frac{a_{z}}{\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}}\\ \end{aligned} $$

A.2 矢量的加减

如图 A-4 所示,已知矢量 a,b,平移矢量 b,使矢量 b 的始点与矢量 a 的终点(箭头端)重合,由矢量 a 的始点画到矢量 b 的终点的矢量 c 定义为矢量 a 与矢量 b 的和,记为 $ a+b $,即

$$ c=a+b $$

上述矢量相加的三角形法则与矢量相加的平行四边形法则完全等价。设 $ a = a_x i + a_y j + a_z k $, $ b = b_x i + b_y j + b_z k $, $ c = c_x i + c_y j + c_z k $, 则有

$$ c_{x}=a_{x}+b_{x},\quad c_{y}=a_{y}+b_{y},\quad c_{z}=a_{z}+b_{z} $$

矢量的加法满足交换律与结合律。

a-b 可理解为矢量 a 与矢量 -b 的和，a-b 称为矢量 a 减去矢量 b。如图 A-5，设两矢量之差 a-b 为 $ c' $，即 $ c'=a-b $，则 $ a=b+c' $，那么，根据矢量的加法，将两矢量 a、b 的始点重合，则两矢量之差 a-b 可由矢量 b 的终点画向矢量 a 终点的有向线段 $ c' $ 来表示。

A.3 矢量的标积

设两矢量 $ \boldsymbol{a} $ 和 $ \boldsymbol{b} $ 正向之间的夹角为 $ \theta $ ( $ 0 \leq \theta \leq \pi $)，我们把数量 $ ab\cos\theta $ 称为 $ \boldsymbol{a} $ 与 $ \boldsymbol{b} $ 的标积（在数学中更多称为数量积，也称为点乘、点积），记作 $ \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} $（这里两矢量中的点不可省略，这也是把其称为点乘、点积的原因），即

$$ \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=a b\cos\theta $$

当a与b同向时, $ \theta=0,a\cdot b=ab $;当a与b反向时, $ \theta=\pi,a\cdot b=-ab $;当a与b垂直时, $ \theta=\frac{\pi}{2},a\cdot b=0 $。一般来讲, $ 0\leq\theta<\frac{\pi}{2},a\cdot b>0,\frac{\pi}{2}<\theta\leq\pi,a\cdot b<0 $。

由图 A-6 可见， $ \alpha \cdot b $ 也相当于 a 的大小 a 与 b

沿a方向的分量 $ b\cos\theta $的乘积。矢量的标积满足交换率与分配率。

由上述定义，可得直角坐标系中三个单位矢量满足下面的关系：

$$ i\cdot i=1,\quad j\cdot j=1,\quad k\cdot k=1 $$

$$ i\cdot j=0,\quad i\cdot k=0,\quad j\cdot k=0 $$

这样有

$$ \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=(\boldsymbol{a}_{x}\boldsymbol{i}+\boldsymbol{a}_{y}\boldsymbol{j}+\boldsymbol{a}_{z}\boldsymbol{k})\cdot(\boldsymbol{b}_{x}\boldsymbol{i}+\boldsymbol{b}_{y}\boldsymbol{j}+\boldsymbol{b}_{z}\boldsymbol{k})=\boldsymbol{a}_{x}\boldsymbol{b}_{x}+\boldsymbol{a}_{y}\boldsymbol{b}_{y}+\boldsymbol{a}_{z}\boldsymbol{b}_{z} $$

(11-1)

A.4 矢量的矢积

设两矢量 $ a $ 和 $ b $ 正向之间的夹角为 $ \theta $ ( $ 0 \leq \theta \leq \pi $), $ a $ 与 $ b $ 的矢积 (又称为矢量的叉乘、叉积) 定义为另一矢量 $ c $, 记为 $ a \times b $ (这里两矢量中的 $ \times $ 号不可省略, 这也是把

其称为叉乘、叉积的原因）。这样有

$$ c=a\times b $$

其中，c 的大小为

$$ c=ab\sin\theta $$

c 的方向垂直于 a, b 矢量组成的平面，其指向由右手螺旋法则确定，如图 A-7 所示，当右手四指从 a 经小于 $ \pi $ 的角转向 b 时，右手拇指的指向就为 c 的方向。

很容易证明，直角坐标系（右手系）中的单位矢量 i，j，k 满足以下关系：

$$ \begin{aligned}&i\times j=k,\quad j\times k=i,\quad k\times i=j\\&i\times i=0,\quad j\times j=0,\quad k\times k=0\\ \end{aligned} $$

这样，我们得到

$$ \begin{aligned}\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}&=(\boldsymbol{a}_{x}\boldsymbol{i}+\boldsymbol{a}_{y}\boldsymbol{j}+\boldsymbol{a}_{z}\boldsymbol{k})\times(\boldsymbol{b}_{x}\boldsymbol{i}+\boldsymbol{b}_{y}\boldsymbol{j}+\boldsymbol{b}_{z}\boldsymbol{k})\\&=(\boldsymbol{a}_{y}\boldsymbol{b}_{z}-\boldsymbol{b}_{y}\boldsymbol{a}_{z})\boldsymbol{i}+(\boldsymbol{a}_{z}\boldsymbol{b}_{x}-\boldsymbol{a}_{x}\boldsymbol{b}_{z})\boldsymbol{j}+(\boldsymbol{a}_{x}\boldsymbol{b}_{y}-\boldsymbol{a}_{y}\boldsymbol{b}_{x})\boldsymbol{k}\end{aligned} $$

根据矢积的定义，可得矢积的性质：

（1）由于 $ a \times b $ 与 $ b \times a $ 大小相等，但方向相反，所以有

$$ a\times b=-b\times a $$

矢积满足反交换律。

$$ c\times(a+b)=c\times a+c\times b（顺序不可交换） $$

（2）可以证明，矢积遵守分配律，即

(3)

$$ \boldsymbol{a}\times\boldsymbol{a}=\boldsymbol{0}。 $$

A.5 矢量的导数与积分

A.5.1 矢量的导数

如图 A-8 所示，在直角坐标系中有一矢量 $ \boldsymbol{a} $，它是时间 t 的函数，它的大小和方向都可能随时间 t 改变。设在时刻 $ t_{1} $，该矢量为 $ \boldsymbol{a}_{1} $，在时刻 $ t_{2} $，该矢量为 $ \boldsymbol{a}_{2} $，那么在 $ \Delta t = t_{2} - t_{1} $ 时间间隔内，矢量的增量为

$$ \Delta a=a_{2}-a_{1} $$

当 $ \Delta t \to 0 $ 时， $ \Delta a / \Delta t $ 的极限值为

$$ \lim_{\Delta t\to0}\frac{\Delta a}{\Delta t}=\frac{\mathrm{d}a}{\mathrm{d}t} $$

上式称为矢量 $ \boldsymbol{a} $ 对时间 t 的导数。设 $ \boldsymbol{a} = \boldsymbol{a}_x \boldsymbol{i} + \boldsymbol{a}_y \boldsymbol{j} + \boldsymbol{a}_z \boldsymbol{k} $，由于 $ \boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k} $ 为常矢量，有

$$ \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}=0,\quad\frac{\mathrm{d}j}{\mathrm{d}t}=0,\quad\frac{\mathrm{d}k}{\mathrm{d}t}=0 $$

那么

$$ \frac{\mathrm{d}a}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}a_{x}}{\mathrm{d}t}i+\frac{\mathrm{d}a_{y}}{\mathrm{d}t}j+\frac{\mathrm{d}a_{z}}{\mathrm{d}t}k $$

另一方面，由于

$$ \boldsymbol{a}=a\boldsymbol{e}_{a} $$

a 矢量的导数也可以写为

$$ \frac{\mathrm{d}a}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}a}{\mathrm{d}t}e_{a}+a\frac{\mathrm{d}e_{a}}{\mathrm{d}t} $$

由于 a 的方向可能随时间变化，因此，一般来讲，单位矢量 $ e_{a} $ 不为常矢量，单位矢量 $ e_{a} $ 对时间的导数 $ \frac{de_{a}}{dt} $ 一般并不等于零。

利用矢量的导数的公式可以证明下面的公式：

$$ \left(1\right)\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{c}}{\mathrm{d}t}=0\quad\left(\boldsymbol{c} 为常矢量 \right) $$

$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})=\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{a}}{\mathrm{d}t}+\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{b}}{\mathrm{d}t} $$

$$ (3)\ \frac{\mathrm{d}\left(c\boldsymbol{a}\right)}{\mathrm{d}t}=c\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{a}}{\mathrm{d}t}\quad(c 为常量 ) $$

$$ \mathrm{(4)}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})=\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{a}}{\mathrm{d}t}\cdot\boldsymbol{b}+a\cdot\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{b}}{\mathrm{d}t}\quad( 标积顺序可以交换 ) $$

$$ (5)\quad\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(a\times b)=\frac{\mathrm{d}a}{\mathrm{d}t}\times b+a\times\frac{\mathrm{d}b}{\mathrm{d}t}\quad( 矢积顺序不可交换 ) $$

A.5.2 矢量的积分

设a,b仅为时间t的函数，且 $ \frac{db}{dt}=a $，当 $ t=t_{0} $时， $ b=b_{0} $，求t时刻的矢量b。

由 $ \frac{db}{dt}=a $，得 $ db=a\mathrm{d}t $，两边进行定积分，得

$$ \int_{b_{0}}^{b}\mathrm{d}\boldsymbol{b}=\int_{t_{0}}^{t}\boldsymbol{a}\mathrm{d}t $$