第2章 质点动力学基础

(3) 质点的加速度 a 与位矢 r 的关系。

1-15 一正在行驶的汽船，发动机关闭后，得到一个与船速方向相反、大小与船速平方成正比的加速度，并设关闭发动机时船的速度为 $ v_{0} $，经10 s后船速度为 $ v_{0}/2 $。

（1）试证明在发动机关闭后，船在t时刻的速度大小v满足 $ \frac{1}{v}=\frac{1}{v_{0}}+\frac{1}{10v_{0}}t $;

(2) 试证明在时间 t 内船行驶的距离为 $ x = 10v_{0}\ln\left(\frac{1}{10}t+1\right) $;

（3）试证明船在行驶距离 x 后的速度大小为 $ v=v_{0}e^{-\frac{x}{10v_{0}}} $

1-16 一质点从静止开始做直线运动，开始加速度为 $ a_{0} $，此后加速度随时间均匀增加，经过时间 $ \tau $ 后，加速度为 $ 2a_{0} $，经过时间 $ 2\tau $ 后，加速度为 $ 3a_{0} $。求经过时间 $ n\tau $ 后，该质点的速度和走过的距离。

1-17 一子弹以水平速度 $ v_{0} $ 射出，忽略空气阻力。试求子弹在任意时刻的切向加速度、法向加速度及总加速度的大小。

1-18 一升降机以加速度 $ 1.22 \, \text{m} \cdot \text{s}^{-2} $ 上升，当上升速度为 $ 2.44 \, \text{m} \cdot \text{s}^{-1} $ 时，有一螺帽自升降机的天花板松落，天花板与升降机的底面相距 $ 2.74 \, \text{m} $，计算：

（1）螺帽从天花板落到底面所需的时间；

（2）螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离。

1-19 一质点从静止出发沿半径为 $ R=3 \, m $ 的圆周运动，切向加速度 $ a_{t}=3 \, m \cdot s^{-2} $

（1）经过多少时间它的加速度 a 恰好与半径为 $ 45^{\circ} $ 角？

（2）在上述时间内，质点所经过的路程和角位移各为多少？

1-20 如题1-20图所示，飞轮绕固定轴O转动，其轮沿上任一点的加速度与轮半径的交角恒为 $ 60^{\circ} $。当运动开始时，其转角 $ \varphi_{0}=0 $，角速度为 $ \omega_{0} $。求飞轮的转动方程，以及角速度 $ \omega $和转角 $ \varphi $间的关系。

>>》第2章

质点动力学基础

在第1章我们已经学习了定量描述质点运动过程的一般数学方法。运动学中关注和研究的质点可以是真实物体上一个没有大小和形状的点，符合几何学关于“点”的抽象定义。如果我们要进一步研究质点运动状态改变的原因和具体方式，即质点动力学，就还需要考虑质量。动力学中的质点模型是大小和形状可以忽略但是具有一定质量的粒子。牛顿三大运动定律为质点动力学提供了完备的基本原理，由此还将定义力、质量、动量和能量等一系列重要物理概念。

读者可能在中学物理课程中已经接触过牛顿运动定律，并且能够运用所学的理论分析一些简单的运动过程。但是由于缺乏必要的数学工具，几乎不能真正理解和完整解决任何感兴趣的实际问题。在本章以及随后几章的学习中，读者要特别关注这方面的内容，即着重了解中学课程的局限性和大学物理阐述及应用牛顿三大运动定律的新方式。

视频：重力

在牛顿运动定律的基础上，采用微积分和矢量代数等数学工具，原则上我们可以描述和预测一个或多个质点组成的力学系统的状态和演化过程。

视频：过山车

2.1 生活中常见的力和基本自然力

顾名思义，“力学”是关于“力”的科学。

牛顿力学始建于17世纪，而“力”这一术语可能跟人类历史一样悠久；牛顿力学关于“力”的概念有严格的定义，即力是质点（或物体）运动状态改变的原因。但是未曾受过教育的人也频繁地使用“力”来描述自己的许多经验。许多人在对牛顿运动定律有所了解之后反而常常抱怨“力”的概念不确定，这是因为忘记了科学源于经验，物理学的概念不过是日常生活术语的提炼和精确化，而物理学规律是关于不同经验的内在联系，而不是有关抽象概念的单纯逻辑。所以在介绍牛顿三定律之前，我们对力的有关知识作简单回顾。

2.1.1 生活中常见的力

我们生活在地球上，日常生活离不开重力(gravity)、弹力(elastic force)、地面的支撑力、摩擦力和空气阻力等各种类型的力。

1. 重力

树上的苹果熟了就会掉到地面，地面上的物体不会无缘无故地飞到天上去。这样一种普遍存在的将物体束缚在地球表面的作用力就是重力，物体的重量是重力的体现。可能有些读者已经了解，重力使地球表面附近的一切物体都将获得相同的加速度，也就是所谓的重力加速度，即 $ g \approx 9.8 \, \text{m/s}^2 $。物体所受重力大小等于物体的质量 m 与重力加速度 g 的乘积，即

$$ W=m g $$

重力的方向和重力加速度的方向相同，两者均竖直向下指向地心。

2. 弹力

发生形变的物体有恢复原状的趋势，对与其接触的物体会产生力的作用，这种力称为弹性力，简称弹力。许多物体（如弹簧）具有良好的弹性，在一定限度内，弹力遵从胡克定律，即弹力的大小与形变成正比，方向指向平衡位置。如图2-1所示，若x和F分别描述物体的形变和由此产生的弹力，则胡克定律可以表述为

$$ F=-kx $$

式中 k 称为弹性体（例如弹簧）的劲度系数（过去曾称为倔强系数或弹性常量）。

物体在外力的作用下或多或少会发生一定的形变。例如将重物放在桌面上，桌面和物体都会发生形变（一般来讲，这种形变很小，难以察觉），因而两者都会产生施加于对方的弹力。根据力的作用效果的不同，重物施加于桌面的弹力称为正压力，而桌面施加于重物的弹力称为支撑力，力的方向均垂直于接触面，即沿接触面的法线方向。

发生拉伸形变的绳索，其内部也会产生使绳索收缩的弹力，称为弹性张力（tension）。我们以图2-2来解释发生拉伸形变的绳索内部某点P处的张力 $ F_{T} $的物理意义。过P点作假想平面将绳索分为左右两个部分，左端绳索施予右段绳索一个拉力，反之亦然。这是一对作用力与反作用力，大小相等均为 $ F_{T} $，方向相反。

3. 摩擦力

当相互接触的两个物体做相对运动或有相对运动的趋势时，彼此都会感受到额外的阻力，称为摩擦力（friction force）。这里我们只介绍静摩擦力（static friction force）和滑动摩擦力（sliding friction force 或 kinetic friction force）。

（1） 静摩擦力

尝试推动置于水平桌面的物体。如果推力不够大，物体仍然静止，此时物体受到桌面的阻力称为静摩擦力。我们可以通过如图2-3所示的装置来定量研究静摩擦力。将物体 $ m_{0} $置于水平桌面，右端连接一根轻绳，绳线跨过桌边的滑轮后悬挂一个小盘，盘中可以根据需要添置砝码，改变施加于重物的拉力的大小。若砝码不够重，虽然绳线中的张力 $ F_{T}^{\prime} $作用于物体，但物体 $ m_{0} $仍静止不动，表明桌面给它施加了与拉力 $ F_{T}^{\prime} $大小相等方向相反的静摩擦力 $ F_{s} $。逐渐添加砝码，拉力也随着增加，但木块可能仍然静止

不动，说明静摩擦力随外力增加而增加；可见，静摩擦力是一种依赖于外推力的被动力。直到砝码增加到一定数量，张力增大到某一最大值，木块即将开始滑动。此时的静摩擦力达到最大值，称为最大静摩擦力。实验表明：最大静摩擦力 $ F_{s} $的大小与物体对桌面的正压力 $ F_{N} $成正比，即

$$ \boldsymbol{F}_{\mathrm{s}}=\boldsymbol{\mu}_{\mathrm{s}}\boldsymbol{F}_{\mathrm{N}} $$

其中 $ \mu_{s} $ 为静摩擦因数，取决于接触面的材料性质和表面状况（例如粗糙程度和干湿程度）。表2-1中列举了某些静摩擦因数的典型值。

（2） 滑动摩擦力

若重物在桌面上滑动，桌面施加给它的摩擦阻力不同于静摩擦力，称为滑动摩擦力。滑动摩擦力的大小除了与物体材料、表面情况及正压力有关外，还依赖于互相摩擦的两个物体的相对速度。如图2-4所示，若滑动速度v较小，则滑动摩擦阻力F小于最大静摩擦力；随滑动速度v增大，滑动摩擦力先是减小，随后又变大。实验证明，滑动摩擦力的大小也与法向支撑力成正比，即

$$ \boldsymbol{F}_{\mathrm{k}}=\boldsymbol{\mu}_{\mathrm{k}}\boldsymbol{F}_{\mathrm{N}} $$

其中 $ \mu_{k} $ 为动摩擦因数，它不仅依赖于接触面的材料性质和表面状况，还与相对滑动速度有关。表2-1也给出了在速度较小时的某些典型的动摩擦因数值，它们都是一些粗略的数值。实验研究还表明，摩擦力的大小基本上与两物体接触面积的大小无关。

4. 流体阻力

物体在气体或液体中运动时也会感受到摩擦力，这种摩擦力称为流体阻力。流体阻力的大小依赖于物体的大小、形状、相对速率以及流体本身的密度和黏性等多种因素。在相对速率比较小的时候，流体阻力 $ F_{v} $ 与相对速度 v 成正比，即

$$ F_{v}=-\gamma v $$

式中 $ \gamma $ 称为阻力系数，与物体的大小、形状以及流体的性质有关。以在黏性流体中运动的半径为 r 的小球为例，阻力系数为

$$ \gamma=6\pi\eta r $$

其中 $ \eta $ 称为黏度，描述流体的黏性。公式（2-5）和公式（2-6）也合称为斯托克斯（George Gabriel Stokes，1819—1903）黏滞公式。

若物体在流体中运动的速率足够大，则黏性力将造成流体运动状态的改变，例如形成漩涡，使物体前后压力不同而产生压差阻力，压差阻力正比于速率的平方。此时常用的流体阻力大小可表示为

$$ F_{v}=\frac{1}{2}\rho S C_{d}v^{2} $$

式中 $ \rho $ 是流体的质量密度，S 表示物体运动方向的横截面积， $ C_{d} $ 依赖于流体的黏性，称为曳引系数。

以空气中下落的物体为例，空气阻力会随物体下落速率的增大而增大。当空气阻力与重力大小相等时，物体速率不再增加而匀速下落。这一最大速率又称下落过程的终极速率，参见本章2.4节的例2-5。雨滴在空气中下落的终极速率为 $ 7\sim8\ m\cdot s^{-1} $，跳伞者落地的速率通常为 $ 5\ m\cdot s^{-1} $左右。

2.1.2 基本自然力

日常生活中的力可以表现为重力、弹力、绳中的张力、地面的支撑力、摩擦力、和空气阻力等多种形式，在微观世界还存在这样或那样的力，如原子核内质子之间还存在一种比库仑力更强的自然力。现代物理学研究已经证明，所有这些力本质上都归结为四种基本相互作用力，即万有引力、电磁力、弱相互作用力和强相互作用力。

1. 万有引力

万有引力是普遍存在于任何两个物体(质点)之间的吸引力。自然界任何两个物体或质点之间都存在一种依赖于它们的质量和相对距离的吸引力。若两个质点的质量分别为 $ m_{1} $ 和 $ m_{2} $，则这一万有引力的力的大小 F 与它们质量的乘积成正比，与两者之间距离 r 的平方成反比，引力的方向沿两质点的连线，即

$$ F=G\frac{m_{1}m_{2}}{r^{2}} $$

式中 G 称为引力常量，经过不断完善的测量目前的数值为

$$ G=6.67408 \times 10^{-11}m^{3}\cdot kg^{-1}\cdot s^{-2} $$

重力可以主要归结为地球对地面附近物体的万有引力。将地球模型化为一个质量均匀分布的球状物体，半径和总质量分别为 $ R_{\oplus} \approx 6.37 \times 10^{6} $ m, $ m_{\oplus} \approx 5.98 \times 10^{24} $ kg。一个质量为 m 的物体在地面附近受到的万有引力为

$$ W=G\frac{m m_{\oplus}}{R_{\oplus}^{2}}\approx9.8m(N) $$

这里 N 是力的单位“牛顿”，本章的 2.2.2 节还会再次讨论它的定义。读者可能已经看出，这一结果与自由落体的重力加速度 $ g \approx 9.8 \, \text{m} \cdot \text{s}^{-2} $ 的观测值基本吻合。

2. 电磁力

在本书下册第五篇电磁学中我们将进一步学习关于电磁力的知识。带电粒子（例如电子和质子）的存在会改变空间的性质，即在空间激发产生电磁场；反之，进入电磁场中的带电粒子也会感受到一种特殊的作用力。这种类型的力称为电磁力，或电磁相互作用。

原子中的核外电子就是在原子核的电磁力作用下才形成了稳定的原子。弹力、绳的张力、摩擦力、地面支撑力和空气阻力等本质上都是电磁力。在日常生活中遭遇到的各种各样的力，除重力起源于万有引力外，几乎都是电磁力的宏观表现。

3. 强相互作用力

如果自然界只有万有引力和电磁力，质子和中子就无法形成稳定的原子核。原子核的尺寸非常小（约为 $ 10^{-15} $ m），原子核内的质子相互之间存在巨大的电磁排斥力。能够克服这种排斥力而将核子（即质子和中子）紧紧地束缚在一起形成稳定的原子核就依靠第三种基本的自然力，称为强相互作用力（strong interaction）。强相互作用是一种短程力；只有当两个核子靠得很近，相互之间的距离小到 $ 10^{-15} $ m 量级时才产生可观的效果。质子之间的强相互作用力的典型值为 $ 10^4 $ N。

4. 弱相互作用力

核子之间还存在另一种弱相互作用(weak interaction)，简称弱力。弱力也是一种短程力，它的力程比强力还要短，两个相邻质子之间的弱力大小的典型值大约为 $ 10^{-2} $ N，比强相互作用小了大约6个数量级。弱相互作用虽然很微弱，却能导致像 $ \beta $衰变这样的物理效应。

2.2 牛顿三大运动定律

文档：牛顿

惯性定律、加速度定律以及作用力与反作用定律合称为牛顿三大运动定律。这三大基本运动定律提供了牛顿力学理论体系的基本原理。如果读者对欧几里得几何的公理化体系有所了解，就会看到这三大运动定律是牛顿力学数学体系中的公理。

2.2.1 牛顿第一定律和惯性

经验和观察是物理学的基础，但是缺乏理性思维的直接观察却经常被假象所欺骗，导致错误的结论。在日常生活中，经验使人相信，石头比同时下落的羽毛更快掉到地面，好像是因为石头比羽毛更重；要使一个物体运动，必须对它提、拉或推，也就是给它施加力的作用，一旦撤去外力，物体就静止下来。因此，古希腊学者亚里士多德（Aristotle，前384—前322）指出：力是维持物体运动状态的原因。直到17世纪，伽利略靠科学推理搞清楚了这个复杂的基本运动问题，意识到自然界的一切物体都具有保持自己的运动状态或速度不变的特性，外部作用的效果是改变物体的运动状态或速度。牛顿将伽利略的这一重要发现总结为第一条基本的运动定律，也称为牛顿第一定律（Newton's first law，1632），即

任何物体都将保持静止或匀速直线运动状态，直到它受到其他物体对它的作用被迫改变这种状态为止。

牛顿第一定律指出，任何物体都具有保持其原有运动状态不变的特性，称为物体的惯性。惯性是自然界中一切物体的共同性质，因此牛顿第一定律也称为惯性定律(law of inertia)。

在第1章我们反复强调过，运动是相对的，必须事先指定某一个参照物或参考系，才能确定一个物体的运动状态。例如，匀速行进中的火车上的行李相对于火车是静止的，这些行李相对于地面却在高速飞奔。车厢里的乘客与地面上的观察者分别看到行李保持静止与匀速直线运动状态不变。如果突然遇到意外，火车紧急刹车，他们观察结果就大为不同了：乘客将惊慌失措地发现行李突然飞向前方，牛顿第一定律不成立了！立于地面的观察者却看不到什么异常现象：火车受刹车外力的作用减速停下了，但是没有受到外力作用的行李依然保持匀速直线运动飞奔前行，符合牛顿第一定律！

所以牛顿第一定律只在一部分参考系中才成立，这样的参考系称为惯性参考系。显然全部惯性参考系相互之间都做匀速直线运动；严格说来，相对于惯性系加速度不为零的参考系都不是惯性参考系，也称为非惯性系。在实际工作中，我们常常以地面参考系近似为惯性系；在要求更高的情况下，我们将以太阳参考系近似为惯性参考系。在前面的例子中，匀速行驶的火车像地面一样都是不错的惯性系，但一旦紧急刹车就产生了巨大的加速度，严重偏离了惯性系。

2.2.2 牛顿第二定律和力

在质点运动学中我们已经介绍了定量描述质点运动过程的数学方法，但没有讨论质点运动状态改变的原因。按照牛顿第一定律，这一原因就是外部作用，或者称为力或外力。牛顿第二定律（Newton's second law，1687）进一步给出了物体的加速度a和所受外力F之间的正比关系，即

$$ \boldsymbol{F}=m\boldsymbol{a} $$

其中的比例系数 m 反映物体所含物质的多少,称为质量(mass),常用单位为 kg(千克)。在给定外力作用下,物体获得的加速度与质量成反比,质量较大的物体加速度小,运动状态难以改变,因而其惯性大,故物体的质量是其惯性大小的量度。力的单位是 N(牛顿),换句话说,若质量为 1 kg 的物体在外力的推动下刚好产生了 $ 1 \mathrm{~m} \cdot \mathrm{s}^{-2} $ 的加速度,这个力的大小就定义为 1 N。

牛顿第二定律也常常表述为另一种形式，即

$$ \mathbf{F}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t} $$

其中 p 表示为物体的动量 (momentum)，定义为

$$ p=mv $$

像位置矢量和速度矢量一样，动量矢量也是表述物体运动状态的一个物理量。如果物体的惯性质量 m 为不变的常量，两种表示形式 (2-11) 和 (2-12) 并无不同，因为此时 $ \mathrm{d}p/\mathrm{d}t=m\mathrm{d}v/\mathrm{d}t $；但近代物理研究表明，物体的质量并不是一个严格不变的恒量，随物体速度增加到接近光速，物体的惯性质量会显著增加。这一点本书下册在第六篇近代物理关于相对论的章节中还要详细讨论。所以式 (2-12) 是牛顿第二定律更普遍的形式。

需要指出的是，牛顿第二定律只适用于质点的运动，因此式(2-11)又称为描述质点运动的动力学方程。另外，当几个力同时作用在一个质点上时，式(2-11)中的力F应理解为合外力，且合外力所产生的加速度等于每个力单独作用时产生的加速度的矢量叠加。这一结论称为力的叠加原理或力的独立性原理。

在解决具体问题的时候,常常用到矢量方程的分量形式。在直角坐标系中,式(2-11)的分量形式为

$$ \begin{aligned}&F_{x}=ma_{x}=m\frac{\mathrm{d}v_{x}}{\mathrm{d}t}=m\frac{\mathrm{d}^{2}x}{\mathrm{d}t^{2}}\\&F_{y}=ma_{y}=m\frac{\mathrm{d}v_{y}}{\mathrm{d}t}=m\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}t^{2}}\\&F_{z}=ma_{z}=m\frac{\mathrm{d}v_{z}}{\mathrm{d}t}=m\frac{\mathrm{d}^{2}z}{\mathrm{d}t^{2}}\\ \end{aligned} $$

在自然坐标系研究平面曲线运动，式（2-11）将改写为切向与法向分量形式，即

$$ \left.\begin{array}{l}F_{\mathrm{t}}=m a_{\mathrm{t}}=m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\\F_{\mathrm{n}}=m a_{\mathrm{n}}=m\frac{v^{2}}{\rho}\end{array}\right\} $$

在中学物理课程中讨论关于匀速圆周运动的时候，读者应该已经了解了方程

(2-15)中的第二个等式。

2.2.3 牛顿第三定律

力是物体之间的相互作用。若物体 A 施加一个作用力 $ F_{AB} $ 于物体 B，物体 B 必定因此施加一个反作用力 $ F_{BA} $ 于物体 A，自然界不存在孤立的力。牛顿第三定律（Newton's third law, 1687）指出：

两个物体之间的作用力与反作用力总是成对出现，且大小相等，方向相反。

牛顿第三定律又称为作用与反作用定律，其数学表示式为

$$ \boldsymbol{F}_{BA}=-\boldsymbol{F}_{AB} $$

值得指出的是，作用力与反作用力的矢量和虽然为零，但它们分别作用于不同的物体，并不是一对平衡力。读者以后还会了解到，牛顿第三定律与动量守恒定律具有深刻的内在联系。在第五篇电磁学中我们还将了解到，由于电磁相会作用是以电磁场为介质的，牛顿第三定律也不能直接应用于运动电荷之间的电磁相互作用。

$ ^{2} $3 单位制和量纲

前面我们已经反复强调过，任何物理量的测量结果都包括两个部分，即所得的数值和所用的单位。例如我们曾经分别以 $ s, m, kg, m \cdot s^{-1}, m \cdot s^{-2} $ 和 N 分别作为时间、长度、质量、速度、加速度和力的单位。不难想象，以 h, inch 和 t 分别作为时间、长度和质量的单位也不会造成原则性的错误，但有可能会在实际工作和学术交流中带来混乱和不必要的麻烦。为此，在科学研究和工程技术应用中有必要约定和采用一套通用的单位来度量各种各样的物理量。

2.3.1 国际单位制

国际单位制(Le Système International d'unité's,缩写为SI，注意这是法文)的基本内容包括：(1)选择长度、时间、质量、热力学温度、物质的量、电流强度、发光强度这7个物理量的单位为基本单位，并分别确定基本单位米(m)、秒(s)、千克(kg)、开尔文(K)、摩尔(mol)、安培(A)和坎德拉(cd)的计量标准；(2)根据可靠的物理定律推导出这7个物理量之外的其他物理量的单位，这些推导出的单位称为导出单位。例如速度、加速度和力的单位都是导出单位。另外还有2个辅助单位，即平面角单位弧度(rad)，立体角单位球面度(sr)。

在力学中只涉及长度、质量和时间等三个物理量的基本单位，即米(m)、千克(kg)和秒(s)，所以力学的国际单位制也称为MKS单位制。第1章的1.4节已经介绍过秒和米的定义，在此给出“千克”的严格定义。

1901年第三届国际计量大会规定：国际千克标准原器的质量为1 kg。千克标

准原器是用铂铱合金制造的一个金属圆柱体，保存在巴黎国际计量局。为了方便起见，许多国家都有它的精确的复制品。

表2-2给出了某些典型物质系统的质量，读者可以看到它们的数值相差悬殊。

单位：kg

由于物理量的大小数值可能跨越几十个数量级，单一的单位（如米、千克和秒）用起来也不方便。变通的做法是采用一些词头来代表一个单位的十进倍数或十进分数。如 k（千）是 $ 10^3 $， $ \mu $（微）是 $ 10^{-6} $，n（纳）是 $ 10^{-9} $。在国际单位制中，共有 20 个词头，见表 2-3，表内中文名词在方括号中的字可以省略。这些词头和各种物理量单位组合在一起，构成尺度相差悬殊的大小各种单位。例如 nm（纳米）表示 $ 10^{-9} $ m，fs（飞秒）表示 $ 10^{-15} $ s。

国际单位制中的其他4个基本单位K（开尔文）、mol（摩尔）、A（安培）和cd（坎德拉）的计量标准将在热学、光学和电磁学中逐一介绍，请读者参考有关章节。

2.3.2 量纲

为了定性给出导出量与基本量之间的关系，我们引入量纲的概念。不考虑数字因素，将一个导出量用若干基本量的乘方之积表示出来，这样的表示式称为物理量的量纲（dimension）。以 L，M，T 分别表示基本量长度、质量、时间的量纲，则对每个力学量 Q 可写出下列量纲式：

$$ [Q]=\mathrm{L}^{\alpha}\mathrm{M}^{\beta}\mathrm{T}^{\gamma} $$

式中[Q]表示Q的量纲, $ \alpha,\beta,\gamma $称为量纲指数。

借助量纲分析，我们可以得出方程中比例系数的量纲，从而定出该比例系数的单位。以读者在中学物理课程中已经学习过的万有引力定律为例

$$ F=G\frac{m_{1}m_{2}}{r^{2}} $$

式中 G 为引力常量，其量纲为

$$ \left[G\right]=\frac{\left[F\right]\mathrm{L}^{2}}{\mathrm{M}^{2}}=\frac{\mathrm{MLT}^{-2}\mathrm{L}^{2}}{\mathrm{M}^{2}}=\mathrm{L}^{3}\mathrm{M}^{-1}\mathrm{T}^{-2} $$

所以，在 SI 中，引力常量 G 的单位为 $ m^{3} \cdot kg^{-1} \cdot s^{-2} $。

量纲分析在物理学中有着广泛的应用。一个简单的例子是我们可以通过量纲分析迅速检验一个计算过程是否出错，因为只有量纲相同的项才可以加减或用等号相连。如果一个等式两边的量纲都不一致，可以肯定该结果一定是错误的。希望读者在解题或实际工作中能养成进行量纲分析的好习惯。

2.4 牛顿运动定律应用举例

应用牛顿运动定律解题一般包含如下6个基本步骤：

第1步 分析题意，画出草图，确定已知量和未知量。

第2步 选定合适的研究对象，将要研究的物体从周围的物体隔离出来。

第3步 对每一个隔离体进行受力分析。先找隔离体所受到的非接触力，如重力和电磁力等，然后在其他物体与隔离体接触的位置分析隔离体受的接触力，如张力、正压力和摩擦力等，把这些力画在隔离体上。

第4步 建立适当的坐标系，根据牛顿运动定律列出隔离体的运动方程。一般将力、加速度在直角坐标系中进行分解列出物体运动的分量式。还要通过约束条件确定有关物理量的相互关系，写出关联方程。

第5步 一般先进行代数运算，尽量化简后再代入具体数值。

第6步 分析和讨论计算结果的物理意义。

【例 2-1】如图 2-5(a) 所示，A，B 两个物体叠放在水平桌面上并用细绳跨过定滑轮连接在一起，以水平力 F 拉动物体 B 向右运动。(1) 分别画出物体 A，B 受力情况图。(2) 如果作用于 B 上拉力 F 的大小为 30 N，求两物体的加速度。设两物体的质量 $ m_{A}=m_{B}=1.0\ kg $，A 与 B 之间动摩擦因数为 $ \mu_{kA}=0.40 $，B 与桌面之间动摩擦因数为 $ \mu_{kB}=0.30 $；滑轮质量可以忽略不计，也不考虑绳与滑轮之间的摩擦力。

解 （1）分别隔离所研究的物体 A 和 B，它们的受力情况分别如图 2-5(b) 和 (c) 所示。

A 物体受力: 重力大小为 $ m_{A}g $，方向竖直向下，B 对 A 的支撑力 $ F_{NA} $，方向垂直向上，绳子的拉力 $ F_{TA} $，方向水平向左，B 对 A 的摩擦力 $ F_{kA} $，方向水平向右。

B 物体受力：重力大小为 $ m_{B}g $，A 对 B 的压力 $ F'_{NA} $，方向都竖直垂下；桌面对 B 的支撑力 $ F_{NB} $，方向竖直向上；拉力 F 水平向右，绳子施加的拉力 $ F_{TB} $，水平向左；A 对 B 的摩擦力 $ F'_{kA} $ 和桌面对 B 的摩擦力 $ F_{kB} $，方向都水平向左。

这里 $ F_{NA} $ 与 $ F'_{NA} $ 是一对作用与反作用力，因此大小相等， $ F_{NA}=F'_{NA} $，同理还有 $ F_{kA}=F'_{kA} $。但 $ F_{TA} $ 与 $ F_{TB} $ 并不一定是一对作用力与反作用力，但由于滑轮的作用， $ F_{TA} $ 与 $ F_{TB} $ 的方向相同，这里由于忽略了滑轮质量的质量，可以近似认为绳中张力处处大小相等，即 $ F_{TA}=F_{TB} $。

（2）以地面为参考系，并建立如图2-5所示的Oxy坐标系。根据牛顿第二定律，我们可以分别列出物体A和B沿x和y方向的运动方程。

对物体A，有

$$ x:\quad F_{\mathrm{kA}}-F_{\mathrm{TA}}=-m_{\mathrm{A}}a $$

$$ \begin{array}{l}y:\quad F_{\mathrm{N A}}-m_{\mathrm{A}}g=0\end{array} $$

对物体B，有

$$ \begin{aligned}&x\text{：}\quad F-F_{TB}-F^{\prime}_{kA}-F_{kB}=m_{B}a\\&y\text{：}\quad F_{NB}-F^{\prime}_{NA}-m_{B}g=0\end{aligned} $$

其中 a 表示物体运动加速度的大小。忽略绳子的长度变化，则两个物体加速度大小相等，且 $ a_{A} = -a, a_{B} = a $。

利用滑动摩擦力公式(2-4)，还可以得到A和B接触面之间的一对互为作用力与反作用力的摩擦力 $ F_{kA} $和 $ F'_{kA} $，大小为 $ F_{kA}=F'_{kA}=\mu_{kA}F_{NA} $，或者 $ F_{kA}=F'_{kB}=\mu_{kA}m_{A}g $；桌面施加于B的摩擦力大小为 $ F_{kB}=\mu_{kB}F_{NB}=\mu_{kB}(m_{A}+m_{B})g $。

由此可以得到 A, B 两个物体沿 x 方向的运动方程

$$ \begin{align*}\mathrm{A}:\quad&\mu_{\mathrm{kA}}m_{\mathrm{A}}g-F_{\mathrm{TA}}=-m_{\mathrm{A}}a\\\mathrm{B}:\quad&F-F_{\mathrm{TB}}-\mu_{\mathrm{kA}}m_{\mathrm{A}}g-\mu_{\mathrm{kB}}(m_{\mathrm{A}}+m_{\mathrm{B}})g=m_{\mathrm{B}}a\end{align*} $$

解以上两个联立方程可得

$$ a=\frac{F-2\mu_{\mathrm{kA}}m_{\mathrm{A}}g}{m_{\mathrm{A}}+m_{\mathrm{B}}}-\mu_{\mathrm{kB}}g $$

由题中给出的已知条件， $ F = 30 \, N, m_{A} = m_{B} = 1.0 \, kg, \mu_{kA} = 0.4, \mu_{kB} = 0.3 $，计算可得

$$ a=\frac{30-2\times0.4\times1.0\times9.8}{1.0+1.0}m\cdot s^{-2}-0.3\times9.8m\cdot s^{-2}\approx8.1m\cdot s^{-2} $$

即在此拉力的作用下，两个物体 A 和 B 产生大小相等的加速度，约为 $ 8.1 \, m \cdot s^{-2} $。这个结论看来还是合理的。读者不妨设想一下，如果外力太小，例如 $ F = 2.0 \, N $，按以上过程将得到 $ a \approx -5.86 \, m \cdot s^{-2} < 0 $，如何理解？

【例 2-2】如图 2-6(a) 所示，重物 B 以跨过定滑轮的细绳连接置于水平桌面上的物体 A。桌子及物体都放在升降机中。A 与桌面的动摩擦因数 $ \mu_{kA} = 0.25 $，A，B 的质量分别为 $ m_{A} = 2.0 \, kg $， $ m_{B} = 3.0 \, kg $。若忽略细绳与滑轮的质量，以及轴承处的摩擦。试求：(1) 当升降机匀速上升时，绳中的张力及物体 B 对升降机的加速度；(2) 当升降机以加速度 $ a_{0} = 2 \, m \cdot s^{-2} $ 加速上升时，绳中的张力及物体 B 对升降机的加速度。

解 （1）当升降机相对于地面匀速上升时，升降机或其中的桌面本身就是一个惯性参考系。

选隔离体 分别以物体 A 和 B 为两个隔离体。

受力分析 如图2-6(b)所示，物体A受重力 $ m_{A}g $，绳子拉力 $ F_{T} $，桌面支持力 $ F_{N} $和摩擦力 $ F_{kA} $。物体B受重力 $ m_{B}g $和绳子的拉力 $ F_{T}^{\prime} $。忽略绳子和滑轮的质量，绳子内部弹性形变产生的张力大小处处相等，所以 $ F_{T}=F_{T}^{\prime} $。重力加速度的近似值可取为 $ g\approx9.8\ m\cdot s^{-2} $。

运动情况分析 物体 A 以加速度 $ a_{A} $ 向右运动，物体 B 以加速度 $ a_{B} $ 向下运动，忽略绳子的拉伸变化，A 和 B 的速度和加速度大小保持一致，即 $ a_{A}=a_{B}=a $。

建立坐标系 在如图2-6(b) 所示的 Oxy 直角坐标系中，可以根据牛顿第二定律分别列出 A 和 B 两个物体沿 x 和 y 方向的运动方程，即对物体 A，有

$$ \begin{aligned}&x\text{：}\quad F_{T}-F_{kA}=m_{A}a\\&y\text{：}\quad m_{A}g-F_{N}=0\\ \end{aligned} $$

对物体B，有

$$ y:\ m_{\mathrm{B}}g-F_{\mathrm{T}}=m_{\mathrm{B}}a $$

且滑动摩擦力的大小正比于桌面对 A 的支撑力，即

$$ F_{\mathrm{kA}}=\mu_{\mathrm{kA}}F_{\mathrm{N}} $$

求解上述联立方程，得

$$ F_{\mathrm{T}}=(1+\mu_{\mathrm{k A}})\frac{m_{\mathrm{A}}m_{\mathrm{B}}}{m_{\mathrm{A}}+m_{\mathrm{B}}}g $$

$$ a=\frac{m_{\mathrm{B}}-\mu_{\mathrm{kA}}m_{\mathrm{A}}}{m_{\mathrm{A}}+m_{\mathrm{B}}}g $$

以上讨论的前提是 A 物体在桌面上向右端加速滑动, 即要求 a>0, 也就是 $ m_{B}>\mu_{kA}m_{A} $。按题中给定的已知条件, 计算可得

$$ F_{T}=14.7\ N,\quad a=4.9\ m\cdot s^{-2} $$

（2）当升降机以加速度 $ a_{0}=2\ m \cdot s^{-2} $ 加速上升时，升降机是非惯性系。

选隔离体 同(1)。

受力分析 同(1)。

运动情况分析 以地面为惯性参考系，物体 A 和 B 相对升降机的加速度分别为 $ \boldsymbol{a}_{A}^{\prime} $ 和 $ \boldsymbol{a}_{B}^{\prime} $，大小相等 $ \boldsymbol{a}_{A}^{\prime} = \boldsymbol{a}_{B}^{\prime} = \boldsymbol{a}^{\prime} $。根据式(1-46)，物体 A 和 B 相对地面的加速度分别为 $ \boldsymbol{a}_{A} = \boldsymbol{a}_{A}^{\prime} + \boldsymbol{a}_{0} $ 和 $ \boldsymbol{a}_{B} = \boldsymbol{a}_{B}^{\prime} + \boldsymbol{a}_{0} $，如图 2-6(c) 所示。

建立坐标系 在如图2-6(c)所示的 Oxy 直角坐标系中，A 和 B 两个物体沿 x 和 y 方向的运动方程可分别列为

$$ \begin{aligned}&x：\quad m_{\mathrm{A}}g-F_{\mathrm{N}}=-m_{\mathrm{A}}a_{0}\\&y：\quad F_{\mathrm{T}}-F_{\mathrm{kA}}=m_{\mathrm{A}}a^{\prime}\\ \end{aligned} $$

和

$$ x:m_{B}g-F_{T}=m_{B}(a^{\prime}-a_{0}) $$

滑动摩擦力公式 $ F_{kA} = \mu_{kA} F_{N} $ 不变。求解以上联立方程组，可得

$$ F_{\mathrm{T}}=\left(1+\mu_{\mathrm{k A}}\right)\frac{m_{\mathrm{A}}m_{\mathrm{B}}}{m_{\mathrm{A}}+m_{\mathrm{B}}}g^{\prime} $$

$$ a^{\prime}=\frac{m_{\mathrm{B}}-m_{\mathrm{A}}\mu_{\mathrm{A}}}{m_{\mathrm{A}}+m_{\mathrm{B}}}g^{\prime} $$

其中 $ g' = g + a_{0} $，与升降机匀速运动情况下的唯一差别是，表观重力加速度 $ g' $ 取代了真实的重力加速度 g。代入具体数值，计算可得

$$ F_{T}=17.7\ N,\quad a^{\prime}=5.9\ m\cdot s^{-2} $$

讨论：在处理升降机匀加速上升的情况时，我们仍然选取了地面惯性参考系。如果以升降机为参考系，则需额外考虑分别作用在物体 A 和 B 上的惯性力（参见2.5节的有关讨论），它们方向向下，大小分别为 $ m_{A}a_{0} $ 和 $ m_{B}a_{0} $。这也就是以考虑惯性力的表观重力 $ m_{A}g' $ 和 $ m_{B}g' $ 取代 A 和 B 两个物体的真实重力。或者更简单地表述为：在匀加速上升的升降机非惯性参考系中，物体的自由落体加速度为 $ g' $，而不是 $ g $。基于这一认识，无需重复情况（1）的详细计算，直接就可以得到正确的结果。

【例2-3】如图2-7(a)所示，质量为 $ m_{2} $的木块放在质量为 $ m_{1} $的楔形木块的斜面上，斜面的倾角为 $ \alpha $。假设两个木块的表面和地面都非常光滑，可以忽略摩擦力。当水平力推力F多大时，恰好可以维持小木块静止在斜面上不动？

解 如图2-7(b)所示，分隔木块 $ m_{1} $和 $ m_{2} $，并画出它们各自所受外力。在图中建立的直角坐标系中，可以分别列出木块 $ m_{1} $和 $ m_{2} $的运动方程

$$ x:m_{1}a_{1x}=F-F_{N2}\sin\alpha $$

$$ \begin{array}{r l}{y:}&{{}m_{1}a_{1y}=F_{\mathrm{N1}}-F_{\mathrm{N2}}\cos\alpha-m_{1}g}\end{array} $$

和

$$ x:m_{2}a_{2x}=F^{\prime}_{N2}\sin\alpha $$

$$ y:\quad m_{2}a_{2y}=F^{\prime}_{N2}\cos\alpha-m_{2}g $$

其中， $ F_{N2}=F'_{N2} $，又因两个木块相对静止，所以 $ a_{1}=a_{2} $，即 $ a_{1x}=a_{2x}=a_{0} $， $ a_{1y}=a_{2y}=0 $。解以上简单的联立方程组，可得

$$ F_{\mathrm{N}2}=\frac{m_{2}g}{\cos\alpha},\quad F_{\mathrm{N}1}=\left(m_{1}+m_{2}\right)g,\quad a_{0}=g\tan\alpha $$

所需要的外推力大小为

$$ F=\left(m_{1}+m_{2}\right)g\tan\alpha $$

方向水平向左。

【例 2-4】如图 2-8 所示，水平转盘可绕其中心轴转动。一个小铁块静止置于转盘上离中心距离 $ r = 20 \, cm $ 处，铁块与转盘间的静摩擦因数 $ \mu_{s} = 0.4 $。若要求铁块在圆盘上静止不动，问圆盘的转速最大为多少？

解 对铁块进行分析。它在转盘上静止不动时，相对于地面惯性系做匀速圆周运动，半径为 r，具有法向加速度 $ a_{n}=r\omega^{2} $，方向指向圆盘中心。

按牛顿第二定律，转盘必须能够提供相应的静摩擦力。而静摩擦力是一个被动力，它的最大值取决于铁块的重量和静摩擦因数，即 $ F_{s}=\mu_{s}mg $。所以，若要铁块保持在圆盘上静止不动，它随圆盘转动所需要的法向作用力必须小于转盘能够提供的最大静摩擦力，即

$$ m r\omega^{2}\leqslant\mu_{s}m g $$

也就是

$$ \omega\leqslant\sqrt{\frac{\mu_{\mathrm{s}}g}{r}}=\sqrt{\frac{0.4\times9.8}{0.2}}\ \mathrm{rad}\cdot\mathrm{s}^{-1}=4.43\ \mathrm{rad}\cdot\mathrm{s}^{-1} $$

因此圆盘的转速必须小于 $ 4.43 \, rad \cdot s^{-1} $，也就是 42.3 圈/min。

【例 2-5】研究一个半径为 $ R $ 的球体在液体中竖直下沉的过程。设球体质量均匀分布，密度为 $ \rho $，流体的黏度为 $ \eta $，密度为 $ \rho_0 $。试求球体下沉的速度与时间的函数关系。根据斯托克斯公式 (2-5) 和 (2-6)，球体在黏度为 $ \eta $ 的液体中以速度 $ v $ 下沉，黏性阻力为 $ F_v = -6\pi\eta r v $（式中负号表示阻力的方向与物体运动的方向相反）。

解 球体在液体中下沉的过程中受到垂直向下的重力 W、向上的浮力 $ F_{b} $ 和黏性阻力 $ F_{v} $ 的共同作用，如图2-9(a)所示。重力的大小为

$$ W=\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho g $$

浮力 $ F_{b} $ 的大小等于物体所排除的流体的重量，即

$$ \mathbf{F}_{\mathrm{b}}=\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho_{0}g $$

黏性阻力为 $ F_{v} = -6\pi R\eta v $。以垂直向下为坐标轴的正方向，根据牛顿第二定律可以列出球体下沉过程的运动方程，即

$$ \frac{4}{3}\pi R^{3}\rho\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\frac{4}{3}\pi R^{3}(\rho-\rho_{0})-6\pi\eta Rv $$

引入记号

$$ A{\equiv}{\frac{(\rho-\rho_{0})g}{\rho}},\ B{\equiv}{\frac{9\eta}{2\rho R^{2}}} $$

运动方程可简化为

$$ \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=-B\left(v-\frac{A}{B}\right) $$

它的通解为

$$ v-\frac{A}{B}=\left(v_{0}-\frac{A}{B}\right)\mathrm{e}^{-B(t-t_{0})} $$

若在 $ t_{0}=0 $ 时刻，球体由静止释放，即 $ v_{0}=0 $，则球体下沉速度 v 随时间 t 变化的函数关系为

$$ v=\frac{A}{B}(1-\mathrm{e}^{-Bt}) $$

可以表示为如图2-9(b)所示的v-t曲线。

以上讨论的前提是球体在液体中下沉，它所受到的重力大于浮力。根据浮力定律，这也就是要求球体的（平均）密度大于液体的密度，即 $ \rho > \rho_{0} $。

从下沉速度随时间变化的函数关系或如图2-9(b)所示的曲线还可以看出，球体的下沉速度随时间不断增加，在 $ t\to\infty $的极限情况下，下沉速度能达到的最大值为

$$ v_{\mathrm{max}}=\frac{A}{B}=\frac{2(\rho-\rho_{0})gR^{2}}{9\eta} $$

建议读者以在水中下沉的玻璃球来完成有关实验。

$ ^{*} $2.5 伽利略相对性原理 非惯性参考系

2.5.1 伽利略相对性原理

牛顿三大运动定律提供了描述质点运动的基本原理。对一个给定的研究对象，它的受力情况和初始状态（即它的初始位置和速度矢量）是确定的，将以牛顿第

二定律规定的方式运动和演化。但通过不同坐标系物体运动加速度的变换关系式(1-46)不难看出，若两个参考系不是相对做匀速直线运动，则牛顿运动定律不可能在两个参考系都有效。牛顿运动定律只能应用于部分参考系，这些参考系统称为惯性系。所有的惯性参考系都相对做匀速直线运动，相对于惯性系做匀速直线运动的一切其他参考系也都是惯性参考系。

力学定律在所有的惯性系中都具有相同的形式，这一基本原理称为伽利略相对性原理（Galilean principle of relativity）或力学相对性原理。所以不可能利用在惯性系内部完成的任何力学实验来确定该系统做匀速直线运动的速度，速度是相对的，既不存在绝对的惯性参考系，也不存在绝对的速度。

当然，只有通过实验测量才能证明牛顿运动定律是描述质点运动的正确规律，也只有通过实验测量才能判断一个参考系是否惯性系。幸运的是，在地球参考系发生的运动过程都比较好地遵循牛顿运动定律，否则伽利略和牛顿都不会通过观测地面上物体的运动过程发现基本的力学定律。所以，地面参考系也称为基本参考系。

严格来讲，由于地球的自转，地面不是一个很好的惯性系。地心参考系也不够好，因为地球还绕太阳公转。日心参考系就比较好，但仍不是理想的惯性参考系，因为太阳绕银河系的中心旋转，虽然这种旋转角速度非常小。目前最好的实用惯性系是以选定的1535颗恒星平均静止位形作为基准的参考系——FK4参考系。当然，只要我们所讨论的问题不是像大气运动或海洋环流那样涉及太大的空间范围和太长的时间过程，在一般的工程技术问题中，以地面参考系为惯性参考系已经足够精确。

$ ^{2} $2.5.2 非惯性系和惯性力

虽然从动力学的观点来看不可以在非惯性系中运用牛顿三定律，但是在特定的非惯性系中观察和描述许多运动学问题反而更简单。作为一种有效的折中方案，可以在非惯性系中引入“虚构”的惯性力（inertial force）。如果考虑到惯性力的作用，我们可以在非惯性系中形式地应用牛顿运动定律。

以如图2-10所示的装置为例。设车厢中有一光滑的平台，台上放置一个小球。最初，车（平台）和球都相对于地面处于静止状态；若从某时刻开始车（平台）相对于地面以加速度 $ a_{0} $向右加速运动。在地面的观察者看来，小球所受外力（重力和桌面支撑力）的合力为零，小球仍然静止不动，牛顿第一定律成立。但在加速过程中，车上的观察者却会得出不同的结论：由于物体受力与参考系无关，小球所受合力为零，但却以加速度 $ -a_{0} $向车后运动，与牛顿第二定律不一致。换句话说，牛顿第二定律在相对地面参考系加速运动的系中不成立。

再看例2-4中提到的水平转盘。从地面参考系来看，铁块在转盘上受盘面施加的静摩擦力作用而产生法向加速度，并做匀速圆周运动，符合牛顿第二定律。但若以转动的转盘为参考系，转盘上的铁块虽然受到摩擦力的作用却静止不动，加速度为零，明显违背牛顿第二定律。也就是说，牛顿第二定律对相对地面匀速转动的参考系不成立。

凡是牛顿运动定律不能成立的参考系称非惯性系。因而，相对地面加速运动的水箱和相对地面匀速转动的转盘都是非惯性系。

力是物体或质点之间的相互作用，自然界不存在孤立的力，真实的作用力与反作用力总是成对出现。惯性力的“虚假”性主要表现在它有明确的受作用对象，却没有施力的主体。事实上，只要通过联系非惯性系与惯性系的加速度变换关系，就可以确定惯性力的具体形式。

1. 加速平动参考系中的惯性力

我们继续研究图2-10的实例。若车厢以加速度 $ a_{0} $相对于地面加速平动，小球相对于地面惯性参考系的加速度 $ a_{s} $，小球相对于车厢非惯性参考系的加速度 $ a_{s'} $，它们满足类似于式(1-46)的简单关系，即

$$ a_{\mathrm{s}}=a_{\mathrm{s}^{\prime}}+a_{0} $$

既然牛顿第二定律在地面惯性参考系中成立,我们可以得到小球运动加速度 $ a_{s} $和所受合外力F的关系,即

$$ \boldsymbol{F}=m\boldsymbol{a}_{\mathrm{s}} $$

代入式(2-20)，可以得到

$$ F-m a_{0}=m a_{S} $$

形式上看，方程(2-21)和(2-22)非常相似，特别地，如果我们定义一个虚构的惯性力

$$ F_{惯}=-m a_{0} $$

运动方程(2-22)可以改写为

$$ \boldsymbol{F}+\boldsymbol{F}_{ 惯 }=m\boldsymbol{a}_{s^{\prime}} $$

即在非惯性参考系中，“真实”的外力 F 加上“虚构”的惯性力 $ F_{惯} $ 的合力仍然正比于物体运动的加速度 $ a_{s} $，比例系数还是物体的质量 m。惯性力的本质是非惯性系的加速度的反映，它作用在非惯性系中一切物体上，方向与非惯性系的加速度方向相反，大小等于物体本身的质量与参考系加速度的乘积。如果你坚持要在惯性参考系中考察运动过程及其变化规律，则不必考虑惯性力的概念。

以例2-3为例，由于两个木块相对静止，在地面参考系中以加速度 $ a_{0} $做匀加速直线运动，故在以楔形木块 $ m_{1} $为非惯性系的参考系中分析方形木块 $ m_{2} $。

木块 $ m_{2} $ 静止在斜面上，它所受“合外力”为零。换句话说，垂直向下的重力 $ m_{2}g $ 与水平向右的惯性力 $ m_{2}a_{0} $ 的合力应该垂直于光滑斜面，即

$$ a_{0}=g\tan\alpha $$

所以，在地面惯性参考系中，我们观察到两个总质量为 $ m = m_{1} + m_{2} $ 的物体在外力 F 的作用下以加速度 $ a_{0} $ 向左运动。根据牛顿第二定律，这个外力的大小应该是 $ F = ma_{0} = (m_{1} + m_{2}) g \tan \alpha $，与例2-3计算结果相同。

2. 匀速转动参考系中的惯性离心力

如果非惯性参考系 S' 相对惯性参考系 S 不仅加速平动，具有非零的平动加速度 $ a_{0} $，而且还有转动，我们需要进一步考虑另外两种惯性力，即惯性离心力（inertial centrifugal force）和科里奥利力（Coriolis force）。与讨论加速平动参考系中的惯性力类似，这两种惯性力的具体形式也可以通过联系非惯性系与惯性系的加速度变换关系严格推导出来，我们在这里只作简单的说明。

再次考虑例题2-4。从地面惯性参考系来分析，铁块受静摩擦力 $ F_{s} $作用，它提供了铁块做匀速圆周运动所需要的法向加速度。牛顿第二定律给出

$$ \boldsymbol{F}_{\mathrm{s}}=m\boldsymbol{a}_{\mathrm{n}}=-m\omega^{2}\boldsymbol{r} $$

其中法向加速度 $ a_{n} = -\omega^{2}r $，指向圆盘的转动中心。运动方程 (2-25) 可以改写为

$$ \boldsymbol{F}_{\mathrm{s}}-m\boldsymbol{a}_{\mathrm{n}}=0 $$

从相对于地面转动的圆盘参考系来看，铁块是静止的，加速度 $ a'=0 $。如果我们虚构一个惯性离心力

$$ \boldsymbol{F}_{ 惯 }=-m\boldsymbol{a}_{n}=m\omega^{2}\boldsymbol{r} $$

在转动圆盘参考系中，铁块的运动方程可以写成牛顿第二定律要求的形式

$$ \boldsymbol{F}_{s}+\boldsymbol{F}_{ 惯 }=m\boldsymbol{a}^{\prime} $$

即对于静止在转动非惯性系中的物体，“真实”的外力加上“虚构”的惯性离心力的合力共同决定物体运动的加速度。

3. 科里奥利力

如果质量为 m 物体在以角速度 $ \omega $ 匀速转动的参考系中以速度 v 运动，那么除了式(2-27)定义的惯性离心力，还要虚构另一个依赖于它相对于转动的参考系运动速度矢量为 v 的惯性力

$$ F_{c}=2m v\times\omega $$

即科里奥利力，式中 $ \omega $ 是转动参考系的角速度矢量。有的读者或许知道，北半球上的河流冲刷右岸比较严重，北半球强热带风暴都逆时针旋转，这是因为地球由西向东绕南北方向的地轴自旋，科里奥利力对运动的河流和大气产生了额外的作用。细心的读者可能会注意到，这正是地面参考系不是严格惯性参考系的佐证。

根据式(2-29)，科里奥利力还显著地依赖于参考系的转动速度。几乎所有天象馆的大厅中都悬挂着一个三五十米长的重摆，称为傅科摆。1851年，傅科(Jean Bernard Leon Foucault，1819—1868)在法国巴黎以这样的重摆振动面的昼夜变化直观地证明地球的自转效应，成为当时轰动一时的新闻。

习题

2-1 用一外力 F 水平压在质量为 m 的物体上（如题 2-1 图所示），由于物体与墙之间有静摩擦力，物体保持静止，其静摩擦力为 $ F_{s} $; 若外力增加为 2F，则此时静摩擦力（）。

A. 增加为 $ 2F_{s} $

B. 没有办法求出

C. 仍然为 $ F_{s} $

2-2 以一定速率运动的物体，受到的作用力始终与其方向垂直，且力的大小逐渐增加，则()。

A. 物体做圆周运动，且曲率半径不变，速率变大

B. 物体做圆周运动，且曲率半径变小，速率不变

C. 物体做圆周运动，且曲率半径变大，速率不变

D. 物体做圆周运动，且曲率半径不变，速率不变

2-3 如题2-3图绳子通过两个定滑轮（忽略滑轮的质量及轴的摩擦），在绳的

两端分别挂着两个完全相同的物体，开始它们处于同一高度，然后给右边的物体一速度，使它在平衡位置来回摆动，则左边的物体()。

A. 将保持静止不动

B. 一直向上加速运动

C. 一直向下加速运动

D. 时而向上加速运动，时而向下加速运动，做周

期性的忽上忽下运动

2-4 如题2-4图所示，A，B两物体由弹簧连接，

竖直悬挂，开始静止。绳子刚被剪断时，A，B两物体的加速度分别为( )。

A. $ a_{A}=g $, $ a_{B}=g $ B. $ a_{A}=g $, $ a_{B}=2g $

C. $ a_{A}=2g, a_{B}=0 $ D. $ a_{A}=g, a_{B}=0 $

2-5 如题2-5图所示，一竖立的圆筒形转笼，其半径为R，绕中心轴 $ OO' $旋转；一物块A紧靠在圆筒的内壁上，物块与圆筒间的摩擦因数为 $ \mu $，要使A不下落，则圆筒旋转的角加速度 $ \omega $至少为()。

A. $ \sqrt{\frac{\mu g}{R}} $ B. $ \sqrt{\mu g} $ C. $ \sqrt{\frac{g}{\mu R}} $ D. $ \sqrt{\frac{g}{R}} $

2-6 沿半球型碗的光滑内面，质量为 m 的小球以角速度 $ \omega $ 在一水平面内做匀速圆周运动，碗的半径为 R，如题 2-6 图所示。则该小球做圆周运动的水平面离碗底的高度 H= ___。

2-7 在光滑的水平桌面上有一根质量均匀分布的细绳，质量为 m、长度为 L，其一端系一质量为 $ m_{0} $ 的物体，另一端施加一水平拉力 F，如题 2-7 图所示。试求：

(1) 细绳作用于物体上的力，

(2) 绳上距离左端点 x 处的张力 $ F_{T} $

2-8 桌上有一块质量 $ m' = 1 \, kg $ 的木板，板上放着一个质量 $ m = 2 \, kg $ 的物体。物体与板之间、板与桌面之间的动摩擦因数均为 $ \mu_{k} = 0.25 $，静摩擦因数均为 $ \mu_{s} = 0.30 $。

（1）现以水平力 F 拉板，物体与板一起以加速度 $ a=1 \, \text{m} \cdot \text{s}^{-2} $ 运动，试计算物体与板的相互作用力以及板和桌面的相互作用力。

（2）现在要使板从物体下抽出，需用的力 F 要加到多大？

2-9 如题2-9图所示，把质量 $ m=10\ kg $ 的物体放在倾角为 $ \alpha $ 的斜面上， $ \tan\alpha=0.1 $，物体与斜面的静摩擦因数为 $ \mu_{s}=0.4 $。求将物体往上拉动所需的最小拉