第3章 三大守恒定律

力 F 的大小与方向。(假设拉力与斜面的夹角为 $ \theta_{0} $)

2-10 质量为 m 的石块，以初速 $ v_{0} $ 垂直上抛，设空气阻力为 $ F_{r} = -kv $ (k 为比例常量)，试求石块上升到最高点所需的时间。

2-11 如图2-11所示，质量为m的小球在底光滑、壁毛糙的盆内绕壁做圆周运动，已知盆的半径为R，小球与壁的动摩擦因数为 $ \mu_{k} $，初始状态时小球位于A点，初速率为 $ v_{0} $，求：(1)t时刻小球的速率；(2)当小球速率从 $ v_{0} $减少到 $ \frac{1}{2}v_{0} $时，小球所经历的时间及经过的路程。

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三 大守恒定律

通过前面两章的学习，我们不仅掌握了描述质点运动的一般数学方法，而且建立了质点动力学的基本原理，即牛顿三大运动定律。在2.4节关于牛顿运动定律的应用举例中，我们还利用质点力学的规律研究了许多并非质点的块状物体的运动过程。虽然从中学物理课程开始，我们就已经习惯将某些物体当作质点来处理，但是从来没有深入讨论过这样做的理由和根据，也就无法确定它的局限性和近似程度。事实上，牛顿力学是以质点力学规律为基础的严格数学体系；任何物体都可以按照微积分的思想分析为大量质点的集合，或者简称质点系。将质点力学规律推广应用于质点系，我们可以描述任何物体的运动过程，获得许多重要的运动规律。

牛顿第二定律描述质点运动的加速度与它所受外力的瞬时关系。若考虑外力对质点或质点系作用的时间累积或空间累积效果，还可以获得力的冲量与物体动量的增量，或者外力做功与物体能量变化的重要关系。并且发现，在一定的条件下，系统的动量或能量将保持守恒。本章还将进一步讨论描写物体转动特征的角动量，以及其相应的角动量守恒定律。

必须强调的是，虽然可以从牛顿运动定律推导出动量、能量和角动量三大守恒定律，但是这三大守恒定律是比牛顿力学定律更普遍有效的自然规律。为此，本章还将从时空对称性阐明三大守恒定律的物理渊源。

3.1 冲量 质点和质点系的动量定理

3.1.1 冲量 质点的动量定理

根据牛顿第二定律，外力作用于质点将改变它的动量和速度。考虑一段时间中外力作用的时间累积效果，我们将式(2-12)改写为

$$ F\mathrm{d}t=\mathrm{d}\boldsymbol{p} $$

对等式两侧积分，可得动量定理，即

$$ I=p_{2}-p_{1} $$

其中 $ p_{2}=mv_{2} $ 和 $ p_{1}=mv_{1} $ 分别表示质点在 $ t_{2} $ 和 $ t_{1} $ 时刻质点的动量，冲量 (impulse) I 定义为力的时间积分，即

$$ \boldsymbol{I}=\int_{t_{1}}^{t_{2}}\boldsymbol{F}\mathrm{d}t $$

所以动量定理也可以表述为：在一段时间内质点动量的增量，等于该时间内质点所受合外力的冲量。

如果相互作用时间非常短暂，而物体的动量却发生了明显的变化，则相互作用力一定很大。这种量值很大且变化迅速但作用时间很短的力称为冲力（impulsive

force)。图3-1示意了冲力的大小F随时间t变化的典型方式，图中曲线下的面积正比于F的冲量。一般情况下，冲力随时间变化的具体细节无法追究也不必追究，需要的是以它的作用效果定义的平均作用力，即

$$ \overline{\boldsymbol{F}}=\frac{\int_{t_{1}}^{t_{2}}\boldsymbol{F}\mathrm{d}t}{t_{2}-t_{1}}=\frac{\boldsymbol{p}_{2}-\boldsymbol{p}_{1}}{t_{2}-t_{1}} $$

在工程技术和日常生活中，经常用到冲力。打桩机中，利用重锤从高处落下产生巨大的冲力将桩打进地里；在各种机车底部安装弹簧减振器，给商品加上软包装是为了延长作用时间，减小冲力，达到保护机器和商品的目的；有经验的篮球运动员，当接速度较大的篮球时，让手顺着篮球运动的方向适度移动，可增大作用时间，减少球对手的冲力。

动量定理式(3-2)中的三个矢量的关系可用图3-2来表示。质点受合外力的冲量 $ I $与质点初末动量 $ p_1, p_2 $构成一个封闭三角形。针对不同的具体问题，应用动量定理时可以直接用作图法求解，也可以用分量式求解。例如，在平面直角坐标系中动量定理式(3-2)的分量形式为

$$ \begin{aligned}&\boldsymbol{I}_{x}=\int_{t_{1}}^{t_{2}}\boldsymbol{F}_{x}\mathrm{d}t=m v_{2x}-m v_{1x}\\ &\boldsymbol{I}_{y}=\int_{t_{1}}^{t_{2}}\boldsymbol{F}_{y}\mathrm{d}t=m v_{2y}-m v_{1y}\\ \end{aligned} $$

即质点所受合外力的冲量在某一个方向上的分量等于质点的动量在该方向的分量的增量。

【例 3-1】质量 $ m=0.3\ kg $ 的垒球以 $ v_1=20\ m\cdot s^{-1} $ 的速度沿水平方向飞来，被棒打击后，又以 $ v_2=30\ m\cdot s^{-1} $ 的速度沿仰角 $ \theta=30^\circ $ 飞出，如图 3-3 所示。若球与棒的接触时间约为 $ 0.01\ s $，求棒击打垒球的平均冲力。

解 以垒球为研究对象，它同时受到棒对球的冲力 F 和重力 W。击球过程非常短暂，仅为 $ \Delta t \approx 0.01 $ s，因此重力的冲量可以忽略不计。

解法1：用分量式求解

建立如图3-3所示的直角坐标系，则垒球被击前后的速度矢量分别为

$$ v_{1}=20i\mathrm{~m}\cdot\mathrm{s}^{-1},\quad v_{2}=30(-\cos30^{\circ}i+\sin30^{\circ}j)\mathrm{~m}\cdot\mathrm{s}^{-1} $$

根据动量定理和平均冲力的定义,可得平均冲力为

$$ \overline{\mathbf{F}}=\frac{mv_{2}-mv_{1}}{\Delta t}=(-1380i+450j)N $$

如图3-4所示,平均冲力方向与垒球被击打前的运动方向(即x轴正向)的夹角 $ \alpha $满足

$$ \tan\alpha=\frac{\overline{F}_{y}}{\overline{F}_{x}} $$

并且 $ \alpha\approx162^{\circ} $

解法2：用矢量图解法求解

$$ I=F\Delta t,p_{1}=mv_{1},p_{2}=mv_{2} $$

如图3-4所示， $ I, p_{1}, p_{2} $构成闭合三角形，根据余弦定理：

$$ \left(\overline{F}\Delta t\right)^{2}=\left(mv_{1}\right)^{2}+\left(mv_{2}\right)^{2}-2m^{2}\cos\left(\pi-\theta\right)v_{1}v_{2} $$

由上式可得

$$ \overline{F}=\frac{(0.3)\sqrt{20^{2}+30^{2}-2\times20\times30\cos150^{\circ}}}{0.01}\ N=1\ 451\ N $$

再根据正弦定理

$$ \frac{mv_{2}}{\sin\varphi}=\frac{\bar{F}\Delta t}{\sin(\pi-\theta)} $$

得 $ \varphi=18^{\circ} $，即力的方向与 $ v_{1} $夹角为 $ 162^{\circ} $。

【例3-2】试用动量定理解释逆风行舟过程。

解 如图3-5(a)所示，船沿x方向前进，风速为 $ v_1 $，沿与航向成 $ \alpha $角（ $ \alpha $很小）的方向吹来，沿着光滑的风帆掠过，向x轴的负向以速度 $ v_2 $吹去。风速大小基本不变，即 $ v_1=v_2 $。取吹向风帆的一小团空气进行研究，以 $ \Delta m $表示这团空气的质量，则其动量增量为 $ \Delta p=\Delta m v_2-\Delta m v_1 $，如图3-5(b)所示， $ \Delta p $的方向偏向船的后方。根据动量定理，该小团空气必定受到风帆的作用力 $ F'_f $， $ F'_f $的方向与 $ \Delta p $方向相同。根据牛顿第三定律，风帆受到小团空气 $ \Delta m $的反作用力 $ F_f $， $ F_f $方向偏向船前进的方向。将 $ F_f $沿x，y进行分解，其垂直于船体的分量 $ F_{fy} $与水对船身侧面阻力相平衡，而与船航向的平行分量 $ F_{fx} $就是推动帆及整个船体前进的作用力。

据报道，现在已有万吨级巨轮装上了风帆，并对风帆的方位、升降实行电脑控制，从而可节省燃料30%左右。

【例3-3】如图3-6所示，质量m均为30kg的铁锤和电视机都从 $ h=1~m $高处静止下落，铁锤和电视机与锻件和地面碰撞后末速度都为0。

（1）若碰撞时间为 $ \Delta t = 0.001 \, s $，估计铁锤对锻件的平均冲力；

（2）加上软包装后的彩电与地面碰撞时间较长，大约为 $ \Delta t' = 1 \, s $，求彩电受到地面的平均冲力。解选向上为 z 轴正向，研究对象为铁锤和电视机。在碰撞过程中，两个物体都受到沿 z 的负方向的重力作用， $ W = mg $，它们还分别受到锻件和地面的向上冲力 $ F_{N} $ 和 $ F_{N}' $ 的作用。

在碰撞发生前，它们都是自由落体，接触锻件或地面前的瞬时速度均为 $ v_{1}=-\sqrt{2gh} $，碰撞后的瞬时速度为 $ v_{2}=0 $。根据动量定理，锻件或电视机在碰撞过程中受到的冲量都是

$$ I=m(v_{2}-v_{1})=m\sqrt{2gh} $$

所以受到的平均力分别为

$$ \overline{F}=\frac{I}{\Delta t}=\frac{m\sqrt{2gh}}{\Delta t},\quad\overline{F}^{\prime}=\frac{I}{\Delta t^{\prime}}=\frac{m\sqrt{2gh}}{\Delta t^{\prime}} $$

代入已知条件, $ m = 30 \, \text{kg} $, $ h = 1 \, \text{m} $, $ \Delta t = 0.001 \, \text{s} $, $ \Delta t' = 1 \, \text{s} $, 和重力加速度 $ g = 9.8 \, \text{m} \cdot \text{s}^{-2} $, 计算可得

$$ \overline{F}=1.33\times10^{5}\mathrm{~N},\quad\overline{F}^{\prime}=1.33\times10^{2}\mathrm{~N} $$

平均力包含重力和平均冲力两部分，所以锻件对铁锤的平均冲力为

$$ \overline{F}_{N}=\overline{F}+mg\approx1.33\times10^{5}N $$

而地面对电视机的冲力为

$$ \overline{F}_{N}^{\prime}=\overline{F}^{\prime}+m g\approx427N<<\overline{F}_{N} $$

由于软包装的保护作用延长了碰撞时间，大大减小了地面对电视机的冲力。

3.1.2 质点系的动量定理

多个质点组成的系统称为质点系。系统内质点间的相互作用和系统外的其他物体对系统内质点的作用力对质点系运动状态造成完全不同的影响，分别称为内力和外力。推广运用质点的动量定理，可以得到质点系总动量的变化与作用在质点系上的合外力的关系。

我们先考虑最简单的情形，质点系由两个质量分别为 $ m_{1} $ 和 $ m_{2} $ 的质点1和质点2组成，如图3-7所示。在系统内部，质点2作用于质点1的内力记为 $ F_{12} $，质点1作用于质点2的内力记为 $ F_{21} $，所考察的质点系之外的物体对它们的作用力分别记为 $ F_{1} $ 和 $ F_{2} $。

运用质点的牛顿第二定律, 可分别得到质点1和质点2的运动方程, 即

$$ \boldsymbol{F}_{1}+\boldsymbol{F}_{12}=\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{p}_{1}}{\mathrm{d}t} $$

$$ \boldsymbol{F}_{2}+\boldsymbol{F}_{21}=\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{p}_{2}}{\mathrm{d}t} $$

根据牛顿第三定律, $ F_{12}=-F_{21} $，所以式(3-6)和式(3-7)相加可得

$$ \mathbf{F}_{1}+\mathbf{F}_{2}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\boldsymbol{p}_{1}+\boldsymbol{p}_{2}) $$

如果系统包含 N 个质点，且 N>2，我们照样可以列出类似的 N 个运动方程，再将这 N 个方程两边相加，可得

$$ \sum_{n=1}^{N}F_{n}+\sum_{n,n^{\prime}=1}^{N}F_{nn^{\prime}}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\sum_{n=1}^{N}p_{n} $$

其中 $ F_{ex} = \sum_{n=1}^{N} F_{n} $ 为系统内所有质点所受外力的矢量和，称为质点系受到的合外力， $ p = \sum_{n=1}^{N} p_{n} $ 为系统内所有质点动量的矢量和，称为质点系的总动量， $ F_{nn'} $ 表示第 $ n' $ 个质点作用于第 n 个质点的内力。由于系统的内力作为作用力与反作用力总是成对出现，大小相等而方向相反，所以 $ \sum_{n,n' = 1}^{N} F_{nn'} = 0 $。因此式 (3-9) 可写成

$$ \boldsymbol{F}_{\mathrm{ex}}=\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{p}}{\mathrm{d}t} $$

该式可以表述为：系统的总动量随时间的变化率等于该系统所受的合外力。值得强调的是，虽然内力对系统的总动量没有影响，但可以导致动量在系统内各质点之间发生转移。

方程(3-10)可以改写为

$$ \boldsymbol{F}_{ex}\mathrm{d}t=\mathrm{d}\boldsymbol{p} $$

两边再对时间 t 积分，还可得到

$$ \int_{t_{1}}^{t_{2}}\boldsymbol{F}_{\mathrm{e x}}\mathrm{d}t=\Delta\boldsymbol{p} $$

其中合外力的冲量定义为各质点所受外力的冲量的矢量和，即

$$ \boldsymbol{I}\equiv\sum_{n=1}^{N}\boldsymbol{I}_{n}=\sum_{n=1}^{N}\int_{t_{1}}^{t_{2}}\boldsymbol{F}_{n}\mathrm{d}t=\int_{t_{1}}^{t_{2}}\boldsymbol{F}_{\mathrm{ex}}\mathrm{d}t $$

质点系的动量增量定义为各质点动量增量的矢量和，即

$$ \Delta p=\sum_{n=1}^{N}\Delta p_{n} $$

式(3-10)和式(3-13)分别是质点系的动量定理的微分形式与积分形式，它可以简单地表述为：系统所受的合外力的冲量等于系统总动量的增量。

由于质点系的动量定理与单个质点的牛顿第二定律和动量定理形式上完全相同，所以我们直接应用单个质点的力学定律研究铁锤、小船或木块等并非质点的物体的运动过程，碰巧也能得到正确的结果。严格说来，对于铁锤等物体，我们可以运用的应该是质点系的力学定律和定理。

3.2 动量守恒定律

3.2.1 动量守恒定律

如果物体或质点系所受合外力为零，即 $ F_{ex} = \sum_{n} F_{n} = 0 $，则由式(3-10)可得

$ dp/dt=0 $，即总动量随时间的变化率为零。所以，当物体或系统所受合外力为零时，它的总动量保持不变。这一结论称为动量守恒定律（law of conservation of momentum），它可以表示为

$$ \boldsymbol{p}=\sum_{n}\boldsymbol{p}_{n}=\sum_{n}m_{n}\boldsymbol{v}_{n}=\boldsymbol{p}_{0} $$

其中 $ p_{0} $为初始时刻物体或系统的总动量。

运用动量守恒定律分析、解决实际问题时，以下几点特别值得注意。

（1）质点和质点系的动量定理式（3-2）与式（3-12）都是矢量方程，它的任意分量都成立。也就是说，若以任意方向矢量 n 点乘式（3-2）或式（3-12）的两边，等式依然成立，即

$$ I_{n}=\Delta p_{n} $$

所以，若物体或系统仅仅某个特殊方向所受的合外力为零，在该方向动量也守恒。特别地，在 xy 平面内动量守恒定律的分量形式为

$$ \begin{aligned}\boldsymbol{p}_{x}&=\sum_{n}\boldsymbol{p}_{nx}=\sum_{n}m_{n}\boldsymbol{v}_{nx}=\boldsymbol{p}_{0x},\quad 若 \quad\boldsymbol{F}_{exx}=\sum_{n}\boldsymbol{F}_{nx}=0\\\boldsymbol{p}_{y}&=\sum_{n}\boldsymbol{p}_{ny}=\sum_{n}m_{n}\boldsymbol{v}_{ny}=\boldsymbol{p}_{0y},\quad 若 \quad\boldsymbol{F}_{exy}=\sum_{n}\boldsymbol{F}_{ny}=0\end{aligned} $$

（2）虽然系统动量守恒的条件是合外力为零，但在物体受到打击、碰撞或爆炸等持续时间非常短暂的剧烈过程中，系统内质点相互作用力很大，而重力、摩擦力等外力相对很小，可以忽略不计，仍然可以近似地认为满足动量守恒条件。

（3）虽然动量守恒定律可以从牛顿运动定律推导出来，但物理学理论和实验研究证明：动量守恒定律是自然界最普遍的基本规律，比牛顿运动定律具有更为广泛的适应性。迄今为止，人们没有发现违背动量守恒定律的任何事例；相反地，某些新物理现象刚被发现的时候似乎违背了动量守恒定律，但进一步的研究总是找到了某些被忽视的线索，最后还是符合动量守恒定律。 $ \beta $衰变就是这样一个著名的例子。在 $ \beta $衰变过程中，实验室中观察到某一个静止的不稳定原子核A辐射出一个电子 $ e^{-} $，并转化为另一个原子核B，但云室照片却显示二者的轨迹并不在一条直线上，似乎在此过程中动量不守恒了。相信动量守恒定律的普遍有效性，著名物理学家泡利（Wolfgang Ernst Pauli，1900—1958）于1930年提出了中微子假说，他认为还有一个未被探测到的中微子（或反中微子）参与了 $ \beta $衰变，吴健雄等研究人员于1956年首次通过实验直接证明了中微子的存在。

文档：泡利

【例 3-4】一放射性原子核 A 最初静止，由于辐射出一个电子 $ e^{-} $和一个反中微子 $ \bar{\nu} $ 而衰变为原子核 B。通过实验研究，已经测定了衰变后的原子核动量大小为 $ p_{r} = 1.4 \times 10^{-22} \, \text{kg} \cdot \text{m} \cdot \text{s}^{-1} $，电子动量大小为 $ p_{e} = 1.2 \times 10^{-22} \, \text{kg} \cdot \text{m} \cdot \text{s}^{-1} $，两者夹角为 $ 153^\circ $，试推断出反中微子的动量。

解 将电子、反中微子和原子核 B 三者都视为质点，衰变过程中可以忽略该系统与外界的相互作用，满足动量守恒的要求。由于原子核 A 最初静止，所以衰变后的原子核 B、电子和反中微子的动量的矢量和为零，即

$$ p_{\mathrm{r}}\mp p_{\mathrm{e}}\mp p_{\bar{\nu}}=0 $$

在电子和原子核 B 交叉运动轨迹确定的平面中，建立如图 3-8 所示的直角坐标系，将剩余原子核 B 的运动方向设为 x 轴的正方向。由于动量守恒，反中微子的运动轨迹必定局限在同一 xy 平面内。记反中微子沿 x 和 y 方向的动量分量分别为 $ p_{\bar{v}x} $ 和 $ p_{\bar{v}y} $，则动量守恒的分量形式为

$$ \begin{aligned}&x：\quad p_{r}+p_{e}\cos153^{\circ}+p_{\overline{v}x}=0\\&y：\quad-p_{e}\cos(153^{\circ}-90^{\circ})+p_{\overline{v}y}=0\\ \end{aligned} $$

计算可得

$$ p_{\bar{v}x}=-p_{r}-p_{e}\cos153^{\circ}=-3.3\times10^{-23}kg\cdot m\cdot s^{-1} $$

$$ p_{\bar{v}y}=p_{e}\cos63^{\circ}=5.44\times10^{-23}kg\cdot m\cdot s^{-1} $$

所以，反中微子动量的大小为

$$ p_{\overline{v}}=\sqrt{p_{\overline{v}x}^{2}+p_{\overline{v}y}^{2}}=6.4\times10^{-23}\ kg\cdot m\cdot s^{-1} $$

如图3-8所示，其运动方向与x轴正向的夹角为

$$ \theta=\arctan\left(\frac{P_{\overline{\nu}y}}{P_{\overline{\nu}x}}\right)=117^{\circ} $$

【例3-5】如图3-9所示，开始时质量分别为 $ m_{1} $和 $ m_{2} $的人和车静止在地面上。当人以大小为 $ v_{人车} $的速度在车上向右走动时，试确定车的运动速度。

解 考察由人和车组成的系统。依题意，忽略车与地面的摩擦，所以在地面参考系中，人和车组成的系统的总动量在水平方向的分量守恒，即

$$ m_{1}v_{ 人地 }+m_{2}v_{ 车地 }=0 $$

其中 $ v_{人地} $ 和 $ v_{车地} $ 分别表示人和车相对于地面的运动速度，它们实际上都只有 x 分量。题中所给的只有人相对于车的运动速度 $ v_{人车} $，所以还要利用相对运动的速度合成公式

$$ v_{ 人地 }=v_{ 人车 }+v_{ 车地 } $$

才可以确定车相对于地面的运动速度

$$ v_{车地}=-\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}v_{人车} $$

式中负号表示车向相反的方向运动。车的质量越大，反向运动越慢。

在此基础上，读者还可以确定求出人对地的速度。如果已知车的长度 L，也可以求出当人从车尾走到车头的时候，车相对地面移动的距离。

【例 3-6】如图 3-10 所示，炮车和炮弹的质量分别为 $ m_{1} $ 和 $ m_{2} $，设炮车以仰角 $ \alpha $ 发射一枚炮弹，炮弹相对炮口的速度大小为 $ v_{0} $。忽略地面摩擦，试确定炮车的反冲速度。

解 考虑炮车和炮弹组成的系统，忽略摩擦，水平方向合外力为零，水平方向的动量分量守恒，即

其中 v 为炮车相对于地面的速度（只有 x 分量）， $ v_{x}^{\prime} $ 表示炮弹相对于地面速度的 x 分量，且

$$ m_{2}v_{x}^{\prime}+m_{1}v=0 $$

$$ v_{x}^{\prime}=v_{0}\cos\alpha+v $$

解上述联立方程，可得

$$ v=-\left(\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\right)v_{0}\cos\alpha $$

视频：阿里亚纳火箭结构和事故原因

负号表示炮车反冲速度方向沿 x 轴的负方向。显然，炮车越重，反冲速度越小。

3.2.2 火箭飞行原理

火箭是发射各式各样的导弹、人造地球卫星、航天飞机和空间探测器的高速运载工具。制造和发射火箭涉及许多复杂的技术和工程问题，但是火箭飞行原理却很简单，主要是利用燃料燃烧后集中由尾部高速喷出产生的巨大反冲作用推动其向前运动，其核心就是质点系的动量守恒原理。

为简单起见，考察火箭在外太空的飞行过程，忽略重力和空气阻力的作用。如图3-11所示，设在某一时刻t，火箭的总质量为m，以速度v相对于地面参考系竖直向上运动。在随后dt的极短时间间隔里，由尾部向后喷射出质量为dm'的微量燃气，而火箭体的质量变为 $ m-dm' $，相对于地面参考系的速度变为 $ v+dv $。燃料燃烧后喷出火箭的速度与火箭的运行状况无关，主要取决于它的燃烧过程，设为常量u，也称为火箭的喷气速度。

根据动量守恒原理，可得

$$ (m-\mathrm{d}m^{\prime})(v+\mathrm{d}v)+\mathrm{d}m^{\prime}(v+\mathrm{d}v-u)=m v $$

由于喷出燃气导致火箭总质量的减少，所以 $ dm = -dm' $。式(3-18)整理可得

$$ m\mathrm{d}v=-u\mathrm{d}m $$

设某级火箭点火时质量为 $ m_{i} $，初速度为 $ v_{i} $，则随后的任意 t 时刻火箭的瞬时速度 v 与火箭的质量 m 的关系为

$$ v=v_{i}+u\ln\frac{m_{i}}{m} $$

若全部燃料燃烧完毕后火箭的质量为 $ m_{f} $，则火箭最后能够达到的速度为

$$ v_{f}=v_{i}+u\ln\frac{m_{i}}{m_{f}} $$

由此可见，火箭在燃料燃烧后增加的速度和喷气速度成正比，也与火箭始末质量比的对数成正比。近代高能推进剂如液氧加液氢的喷气速度可达 $ u = 4.1 \, \text{km} \cdot \text{s}^{-1} $，单级火箭质量比可做到 $ m_{\mathrm{f}} / m_{\mathrm{i}} \approx 15 $，所以理想情况下，单级火箭从静止开始可获得的最大速率达到 $ v_{\mathrm{f}} = 11 \, \text{km} \cdot \text{s}^{-1} $。当然，从地面发射的火箭在升空过程中还要受到重力和空气阻力等因素的影响，最大速度只可能达到 $ v_{\mathrm{f}}^{\prime} \approx 7 \, \text{km} \cdot \text{s}^{-1} $，小于第一宇宙速度，还不能将人造地球卫星或其他航天器送入轨道。现代卫星发射一般采用三级火箭。

3.3 质心运动定理

考察一组相互作用的质点的运动，可能令人眼花缭乱。如果我们抛出一根木棍，它不仅整体向前运动，还会在空中翻滚旋转。但是研究表明，与一个物体或质点组联系在一起的一个特殊的几何点却总是像单个质点一样在空中划过一道简单的抛物线。这个特殊的点称为物体或质点系的质心（centre of mass）。

3.3.1 质心

质心的位置依赖于质点系内各质点的质量和空间分布。如果质点系由 N 个质点组成，记第 i 个质点的质量和位置矢量分别为 $ m_{i} $ 和 $ r_{i} $，则质心的位置矢量为

$$ \boldsymbol{r}_{C}=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{N}m_{i}\boldsymbol{r}_{i} $$

式中 $ m=\sum_{i=1}^{N}m_{i} $ 表示系统的总质量。可以证明，虽然质心的位矢与坐标系的选取有

关，但质心相对于质点系内各质点的相对位置与坐标系的选取无关，质心是给定质点系本身的一个特定位置。一些几何对称的物体，如直棒、圆环、圆盘和球体等，若质量分布均匀，则它们的几何对称中心也就是质心。

对于一个质量连续分布的物体，我们可以将它划分为许多质量单元，每一个质量单元都是一个质点，记其质量和位矢分别为 $ \mathrm{d}m $ 和 $ \boldsymbol{r} $，则确定质心位置矢量的求和式可以转化为连续积分，即

$$ \boldsymbol{r}_{c}=\frac{1}{m}\int\boldsymbol{r}\mathrm{d}m $$

积分遍及整个物体。

力学上还常要用到重心(center of weight)的概念。重心是物体各部分所受重力的合力的等效作用点，在第4章讨论刚体转动问题的时候还要详细讨论。对于尺寸不太大的物体，其质心与重心重合。

3.3.2 质心运动定理

利用式(3-22)对质心位置矢量 $ r_{c} $求导，可得质心运动的速度公式

$$ \boldsymbol{v}_{c}\equiv\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}_{c}}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{N}m_{i}\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}_{i}}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{N}\left(m_{i}\boldsymbol{v}_{i}\right) $$

所以，质点系的总动量 $ p = \sum_{i=1}^{N} m_{i} v_{i} $ 也可以表示为它的总质量与质心速度的乘积，即

$$ \boldsymbol{p}=m\boldsymbol{v}_{c} $$

根据质点系的动量定理式(3-10)，还可以推导出质心运动定理(theorem of motion of centre-of-mass)，即

$$ \boldsymbol{F}_{\mathrm{ex}}=m\boldsymbol{a}_{c} $$

其中质心加速度定义为

$$ \boldsymbol{a}_{c}\equiv\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{v}_{c}}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{N}\left(m_{i}\boldsymbol{a}_{i}\right) $$

质心运动定理式(3-26)与单个质点的牛顿第二定律形式上完全一致。所以，一个物体或质点系的质心运动，与一个具有同样质量的质点在相同外力作用下的运动方式完全相同。

图3-12记录了抛出一把斧头的运动过程。斧头抛出去后，它一面翻转，一面前进，各点的运动情况相当复杂。但如果关注斧头的质心运动，以虚线表示的质心运动轨迹却是一条简单的抛物线。斧头在运动过程中保持形状和大小不变。一颗爆炸的炮弹分裂为许多向四面八方飞散出去的碎片，但全部碎片的质心仍继续按原来的弹道曲线运动，如图3-13所示。

3.4 功 动能和动能定理

前面三节根据牛顿第二定律讨论了外力作用于物体或质点系的时间积累效应，得到了动量定理。我们还可以讨论外力作用于质点或质点的空间积累效应，即外力对物体做功的问题，本节还将根据牛顿第二定律推导出动能定理。

3.4.1 功

1. 元功的定义

在中学物理课程中，读者应该已经掌握了如何计算大小和方向恒定的外力如何对直线运动的物体做功（work）。学习了微积分的知识后，可以方便地将恒力做功的概念推广运用到物体或质点的运动轨迹为任意曲线，而外力的大小和方向可以不断变化的更一般情况。但如果只考虑物体或质点一段无限小的位移 dr，则可以忽略这一微小位移过程中力的变化，可以继续使用恒力对直线运动物体做功的定义，即

$$ \mathrm{d}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{F}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r} $$

这是元过程做功的定义，也称为元功。它是力与物体位移矢量 $ \mathrm{d}r $ 的点乘（或标积），其结果是一可正可负的标量。元功的正负由力 $ F $ 与位移 $ \mathrm{d}r $ 的夹角 $ \alpha $ 决定。如图 3-14 所示，若 $ 0 \leq \alpha < \pi/2 $，则 $ \mathrm{d}A > 0 $， $ F $ 对物体做正功；若 $ \pi/2 < \alpha \leq \pi $，则 $ \mathrm{d}A < 0 $， $ F $ 对物体做负功，或者说物体克服力 $ F $ 对外做功；若 $ \alpha = \pi/2 $，则 $ \mathrm{d}A = 0 $， $ F $ 不对物体做功。

2. 有限路径上变力对物体做功

如果物体沿如图3-15所示的曲线由a点运动到b点，力F的大小和方向可能处处不同，我们可以将去掉这样一条有限路径分成许多小段，即元过程，在物体任

一元位移 dr 中，力对物体所做的元功可按式(3-28)计算得到，整个有限过程中力 F 对物体所做的功定义为每一个元过程的元功的代数和，也就是如下式所示的路径积分：

$$ A\equiv\int\mathrm{d}A=\int_{a}^{b}\boldsymbol{F}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r} $$

也就是说，力与元位移矢量的标积，或力沿元位移方向的分量与位移的乘积，沿物体或质点运动路径的线积分定义为力对物体所做的功。

对于图3-16所示的简单情况，物体在方向和大小不变的恒力F作用下沿直线移动一段距离s，F对物体做功

$$ A=F s\cos\alpha $$

这正是中学物理课程中恒力作用于直线运动物体做功的公式。

在国际单位制中，功的单位是焦耳，简称焦(J)，它表示一个大小为1 N的力推动物体沿力的方向移动1 m的直线距离时对物体所做的功，所以1 J = 1 N·m。在电磁学中，常用功的另一个单位电子伏(eV)，1 eV = 1.6×10⁻¹⁹ J。

为了计算方便,有时将力 F 和位移沿坐标轴进行分解。如在直角坐标系中,相应于式(3-28)和式(3-29)的元功和功的计算公式分别为

$$ \mathrm{d}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{F}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}=F_{x}\mathrm{d}x+F_{y}\mathrm{d}y+F_{z}\mathrm{d}z $$

$$ \boldsymbol{A}=\int_{a}^{b}\boldsymbol{F}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}=\int_{x_{a}}^{x_{b}}F_{x}\mathrm{d}x+\int_{y_{a}}^{y_{b}}F_{y}\mathrm{d}y+\int_{z_{a}}^{z_{b}}F_{z}\mathrm{d}z $$

在自然坐标系中, $ F=F_{t}e_{t}+F_{n}e_{n} $, $ \mathrm{d}r=\mathrm{d}se_{t} $,则

$$ \mathrm{d}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{F}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}=F_{t}\mathrm{d}s $$

3. 合力的功

若质点同时受到多个力的共同作用，则合力 $ F = F_{1} + F_{2} + \cdots + F_{N} $ 所做的功

$$ A=\int_{a}^{b}\boldsymbol{F}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}=\int_{a}^{b}(\boldsymbol{F}_{1}+\boldsymbol{F}_{2}+\cdots+\boldsymbol{F}_{N})\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r} $$

可以表示为

$$ \boldsymbol{A}=\int_{a}^{b}\boldsymbol{F}_{1}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}+\int_{a}^{b}\boldsymbol{F}_{2}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}+\cdots+\int_{a}^{b}\boldsymbol{F}_{N}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}=\boldsymbol{A}_{1}+\boldsymbol{A}_{2}+\cdots+\boldsymbol{A}_{N} $$

即合力做的功等于各分力所做的功的代数和。

4. 功率

功率(power)描述做功的快慢能力。若某个力F在 $ t_{1} $到 $ t_{2} $时间段 $ \Delta t=t_{2}-t_{1} $内对物体做功的量为 $ \Delta A $，则它在该时间段里的平均功率定义为

$$ \overline{P}=\frac{\Delta A}{\Delta t} $$

按微积分的思想取极限，可得瞬时功率

$$ P=\lim_{\Delta t\to0}\frac{\Delta A}{\Delta t}=\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t} $$

利用元功的定义式(3-28)，可得瞬时功率的另一个表示式，即

$$ \mathbf{P}=\mathbf{F}\cdot\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}=\mathbf{F}\cdot\mathbf{v} $$

可见一个力 F 的功率,不仅依赖于 F 的大小和方向,而且还与被推动的物体的运动速度密切相关。在国际单位制中,功率的单位是 W(瓦),若 1 s 中内做的功为 1 J,它的功率就是 1 W,即 $ 1\ W = 1\ J \cdot s^{-1} $。

【例 3-7】考察如图 3-17 所示的单摆。若以水平力 F 无限缓慢地将摆球从平衡位置推到摆线与竖直方向成 $ \theta_{0} $ 角的位置。求在此过程中，F 对摆球所做的功。

解 按照题意，摆球质量 m，摆长 l 和重力加速度都是给定的已知量。无限缓慢的运动过程意味着小球所受到的推力 F、竖直向下的重力 mg 和摆绳的张力 F 三个力的合力处处为零。若以 $ \theta $ 表示摆线与竖直方向的夹角，则沿水平方向和竖直方向可以分别列出力的平衡条件

$$ \begin{aligned}F-F_{T}\sin\theta&=0\\F_{T}\cos\theta-mg&=0\end{aligned} $$

由此可得，水平力 F 随 $ \theta $ 变化的函数关系为

$$ F=mg\tan\theta $$

如图3-17所示，摆球在以悬挂点为中心，半径为 $ l $的圆周上缓慢移动，力 $ F $与元位移 $ d\mathbf{r} $的夹角也是 $ \theta $。在夹角由 $ \theta $变到 $ \theta + d\theta $的元过程中，元位移的大小可以表示为圆弧的长度 $ d\mathbf{s} = l d\theta $，水平力做的元功为 $ d A = F \cos \theta d s $或 $ d A = m g l \sin \theta d\theta $。

所以在水平力 F 无限缓慢地将摆球从平衡位置推到摆线与竖直方向成 $ \theta_{0} $ 角的过程中，F 对摆球所做的功为

$$ A=\int_{0}^{\theta_{0}}m g l\sin\theta\mathrm{d}\theta=m g l(1-\cos\theta_{0}) $$

在此过程中, 摆球的位置升高 $ \Delta h = (1 - \cos \theta_{0}) l $, 所以 F 对摆球所做的功也可以表示为

$$ A=m g\Delta h $$

因此，F 对摆球所做的功取决于摆球的位置升高。

3.4.2 动能和动能定理

利用牛顿第二定律,可以进一步探讨合力 F 对质点做功与质点动能增量的关系。结合式(2-12)和式(3-29),可得

$$ A=\int_{a}^{b}m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\cdot\mathrm{d}r $$

上式表示质量为 m 的质点在合外力的作用下，由初态 a 变化到末态 b 的过程中，合力对质点所做的功。由于

$$ \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\cdot\mathrm{d}r=\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}\cdot\mathrm{d}v=v\cdot\mathrm{d}v=\frac{1}{2}\mathrm{d}(v\cdot v)=\frac{1}{2}\mathrm{d}v^{2} $$

我们可以对式(3-38)积分,得到

$$ A=\frac{1}{2}mv_{b}^{2}-\frac{1}{2}mv_{a}^{2} $$

即合外力对质点所做的功等于质点动能的增量，这一结论也称为质点的动能定理（theorem of kinetic energy）。质量为 m 的质点以速度 v 运动时的动能（kinetic energy）定义为

$$ E_{k}\equiv\frac{1}{2}mv^{2} $$

动能为标量，与速度的方向无关，其量纲单位与功相同。在国际单位制中，它的单位也是焦耳。动能定理式(3-39)也可写作

$$ A=E_{kb}-E_{ka} $$

表3-1中列出了某些运动物体动能的典型值。

3.4.3 质点系的动能定理

利用牛顿第三定律，可以将质点的动能定理推广到质点系的更一般情形。还是先考虑两个质点的简单质点系，它们的质量分别为 $ m_{1} $ 和 $ m_{2} $。质点所受合外力总可以分为质点系内部质点的相互作用力和来自质点系外的作用力两个部分，记质点1和质点2受到来自外部作用力分别为 $ F_{1} $ 和 $ F_{2} $，而质点2对质点1和质点1对质点2的内力分别记为 $ F_{12} $ 和 $ F_{21} $。若系统从初态 a 变化至末态 b，分别对质点1和质点2运用动能定理，可得

$$ \int_{a_{1}}^{b_{1}}\boldsymbol{F}_{1}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}_{1}+\int_{a_{1}}^{b_{1}}\boldsymbol{F}_{12}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}_{1}=E_{\mathrm{k}1b}-E_{\mathrm{k}1a} $$

和

$$ \int_{a_{2}}^{b_{2}}\boldsymbol{F}_{2}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}_{2}+\int_{a_{2}}^{b_{2}}\boldsymbol{F}_{21}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}_{2}=E_{\mathrm{k}2b}-E_{\mathrm{k}1b} $$

以上两式相加，可得

$$ \left(\int_{a_{1}}^{b_{1}}\boldsymbol{F}_{1}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}_{1}+\int_{a_{2}}^{b_{2}}\boldsymbol{F}_{2}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}_{2}\right)+\left(\int_{a_{1}}^{b_{1}}\boldsymbol{F}_{12}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}_{1}+\int_{a_{2}}^{b_{2}}\boldsymbol{F}_{21}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}_{2}\right)=\boldsymbol{E}_{\mathrm{kb}}-\boldsymbol{E}_{\mathrm{ka}} $$

等式右端正是质点系总动能的增量，其中质点系总动能定义为所有质点动能的总和，即

$$ E_{\mathrm{k}}\equiv E_{\mathrm{k}1}+E_{\mathrm{k}2}=\frac{1}{2}m_{1}v_{1}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}v_{2}^{2} $$

若分别以

$$ A_{ 外 }\equiv\int_{a_{1}}^{b_{1}}\boldsymbol{F}_{1}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}_{1}+\int_{a_{2}}^{b_{2}}\boldsymbol{F}_{2}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}_{2} $$

和

$$ A_{ 内 }\equiv\int_{a_{1}}^{b_{1}}\boldsymbol{F}_{12}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}_{1}+\int_{a_{2}}^{b_{2}}\boldsymbol{F}_{21}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}_{2} $$

标记来自质点系外的力对质点系所做的功和质点系内部质点之间的相互作用力所做的功，则式(3-44)可简记为

$$ A_{ 外 }+A_{ 内 }=E_{kb}-E_{ka} $$

即所有外力和内力对质点系内各质点所做的功之和等于质点系总动能的增量，这

一结论称为质点系的动能定理。该结论对于多质点体系仍然成立。

需要指出的是，虽然一对内力大小相等，方向相反，即 $ F_{21}=-F_{12} $，但系统内力做功之和可以不为零，这是因为一对内力做功之和取决于有相互作用的两个质点之间的相对位移。因此，内力虽不能改变系统的总动量，但可以改变系统的总动能。

3.5 势能 功能原理 机械能守恒

3.5.1 作用力与反作用力的功

由质点系的动能定理，我们曾经强调系统内力做功可以改变质点系的总动能。由于内力是成对出现的作用力与反作用力，讨论内力做功需要特别计算一对作用力与反作用力做的功。

考察如图3-18所示的两粒子系统，粒子1和粒子2的位置矢量分别记作 $ r_{1} $和 $ r_{2} $，粒子2对粒子1和粒子1对粒子2的相互作用内力分别记作 $ F_{12} $和 $ F_{21} $，在两个粒子的位置发生微小改变 $ dr_{1} $和 $ dr_{2} $的元过程中，这一对力所做的功为

$$ \mathrm{d}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{F}_{12}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}_{1}+\boldsymbol{F}_{21}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}_{2} $$

由于作用力与反作用力大小相等，方向相反，即 $ F_{12}=-F_{21} $，上式可以简化为

$$ \mathrm{d}A=\boldsymbol{F}_{21}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}_{21} $$

其中 $ r_{21} = r_2 - r_1 $ 表示粒子2相对于粒子1的相对位置。换句话说，两个粒子相互作用内力所做的元功之和等于其中一个质点所受的力和此质点相对于另一质点的元位移的标积。如果粒子2相对于粒子1的位置由a变到b，则在此有限过程中，相互作用力所做的总功为

$$ A=\int_{a}^{b}\boldsymbol{F}_{21}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}_{21} $$

这也就是说，两个粒子之间“一对作用力和反作用力”所做的功之和等于其中一个质点受的力沿着该质点相对于另一质点所移动的路径所做的功。所以，为了计算两个粒子相互作用力所做的功，可以在相对于其中一个粒子静止的参考系中，计算相互作用力对另一个粒子所做的功。例如，物体下落过程中重力所做的功与地球受物体引力所做的功两者之和等于在地面参考系中重力对物体所做的功；若一个物体在另一个物体表面滑动，摩擦力所做的总功也就等于其中一个力与两物体的相对位移的乘积。

3.5.2 保守力与非保守力

力 F 做功可以依赖于物体或质点移动的具体路径，也可以与具体路径无关而只依赖于质点的初始和末了位置。本节将研究几种常见力的做功方式，并引进保守力（conservative force）和非保守力（non-conservative force）的重要概念。

1. 几种常见力的功

我们将经常遇到重力、万有引力和弹力做功的问题，它们都涉及两个互相作用的物体或质点，但根据前面的讨论，我们实际上只需要计算力对其中一个物体做功。

（1） 重力做功

重力本质上就是地球对物体的万有引力。如果物体处在地球表面附近的局限区域，则可以忽略引力大小和方向的变化，近似认为物体受到是竖直向下大小恒定的引力，并称为重力。

如图3-19所示，设质量为m的物体或质点沿任意路径L由a点运动到b点，在地面参考系中计算重力对物体做功就可以得到物体或质点与地球这一对引力所做的总功。建立如图3-19所示的直角坐标系，置xy平面于水平面，z轴垂直向上。在物体发生微小位移dr的元过程中，重力 $ W = -mgk $所做的元功为

$$ \mathrm{d}\boldsymbol{A}=-m g\boldsymbol{k}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}=-m g\mathrm{d}z $$

若物体经由任何路径由高度为 $ h_{a} $ 的 a 点最后移动到了高度为 $ h_{b} $ 的 b 点，则重力所做的功为

$$ A=-\int_{h_{a}}^{h_{b}}m g\mathrm{d}h=-\,m g(h_{b}-h_{a}) $$

重力所做的功 A 只依赖于物体高度的变化，与物体移动的方式和路径无关。

（2） 万有引力做功

考虑一对质量分别为 m 和 $ m_{0} $ 的质点，我们的问题是要计算在质点相对移动过程中万有引力对两个质点所做的功。按照3.5.1节的一般讨论，我们可以等效地取 $ m_{0} $ 所在位置为原点而计算万有引力对质点 m 所做的功。

如图3-20所示，以质点 $ m_{0} $为参考系，质点m经任意路径由a点运动到b点。任意时刻，m相对于 $ m_{0} $的位置矢量为r，则质点m受到的万有引力F可以表述为

$$ \mathbf{F}=-G m m_{0}\frac{\mathbf{r}}{r^{3}} $$

在质点 m 的位矢由 r 改变为 $ r + dr $ 的元过程中，万有引力所做的元功为

$$ \mathrm{d}A=\boldsymbol{F}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}=-G m m_{0}\frac{\boldsymbol{r}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}}{r^{3}} $$

利用 $ \boldsymbol{r} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r} \left| \mathrm{d}\boldsymbol{r} \right| \cos \theta = \boldsymbol{r} \mathrm{d}\boldsymbol{r} $，元功又可以表示为

$$ \mathrm{d}A=-G m m_{0}\frac{\mathrm{d}r}{r^{2}} $$

所以，在质点 m 由初始位置 a 经历任意路径移动到末位置 b 的过程，万有引力所做的总功为

$$ A=-\left.G m m_{0}\right|_{r_{a}}\int_{r_{a}}^{r_{b}}\frac{\mathrm{d}r}{r^{2}}=\frac{G m m_{0}}{r_{b}}-\frac{G m m_{0}}{r_{a}} $$

万有引力所做的功 A 只依赖于两个质点起始和结束时的距离 $ r_{a} $ 和 $ r_{b} $，与质点移动的具体路径无关。

（3） 弹力做功

如图3-21所示，将劲度系数为k的轻弹簧一端固定，另一端与小球m相连，放置于光滑的水平面上。以弹簧无形变时小球所在位置为坐标原点O，小球运动的直线路径为x轴。在小球由坐标为x的位置移动到 $ x+dx $的元过程中，弹力 $ F=-kx $对小球所做的元功为

$$ \mathrm{d}A=-kx\mathrm{d}x $$

若小球的始末位置坐标分别为 $ x_{a} $ 和 $ x_{b} $，在小球以任意方式移动的过程，如由 $ x_{a} $ 到 B 再回到 $ x_{b} $，弹力做的功为

$$ \frac{1}{2}kx_{a}^{2}-\frac{1}{2}kx_{b}^{2} $$

读者还可以尝试证明，即使小球的运动轨迹不限制在光滑平面的给定直线上，若弹簧的弹性形变由 $ x_{a} $ 变到了 $ x_{b} $，弹力对小球做功仍然可以表示为式（3-58），与路径无关。

（4） 摩擦力的功

如图3-22所示，考察处于水平桌面上的物体在力F的推动下缓慢地由a点

沿曲线 $ \widehat{ab} $移动到b点的过程，桌面施加于物体的摩擦力 $ F_{k} $的方向与物体运动的方向相反，大小为 $ F_{k}=-\mu_{k}mg $， $ \mu_{k} $为动摩擦因数，由式(3-33)可以得到摩擦力所做的功

$$ A=-\int_{a}^{b}\mu_{\mathrm{k}}m g\mathrm{d}s=-\mu_{\mathrm{k}}m g s $$

其中 ds 为元过程的路程大小, s 表示物体运动的总路程, 摩擦力的功明显地依赖于物体运动的路径。

值得指出的是，摩擦力并不一定做负功。例如，物体在传送带上由一处运动到另一处的过程中，静摩擦力提供物体运动所需的动力，方向与物体运动方向一致，静摩擦力对物体做正功。又如汽车转弯时，地面摩擦力提供向心力，方向与汽车运动方向垂直，摩擦力做功为零。

2. 保守力和非保守力

通过前面的讨论我们看到，有些力例如重力、万有引力和弹力所做的功与物体运动的具体路径无关，只取决于物体运动的起点和终点的位置，这样的力统称为保守力。相反地，也有一些力所做的功依赖于物体运动的具体路径，称为非保守力。摩擦力就是一种典型的非保守力。

显然，若物体或质点沿闭合路径移动一周回到起点，保守力所做的功必为零。即

$$ \oint_{L}\boldsymbol{F}_{ 保 }\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}=0 $$

如果受到同一个外力 F 的作用，物体沿同一路径反向运动由终点回到起点，F 所做的功将大小相等，符号相反，即

$$ \int_{b}^{a}\boldsymbol{F}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}=-\int_{a}^{b}\boldsymbol{F}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r} $$

所以，式(3-60)是否对任意闭合路径都成立可以作为判断一个力是否为保守力的充分必要条件。

除了此处作为特例已经讨论过的重力、万有引力和弹力，以后我们还要证明电荷之间的静电相互作用即库仑力也是保守力。

3.5.3 势能

保守力与非保守力是对力的重要分类，读者在后续课程的学习中将逐步体会它的深远意义。

由于保守力做功只取决于物体或质点的运动路径的起点和终点的位置，与具体路径无关，我们可以定义一个只依赖于位置矢量 $ \boldsymbol{r} $ 的函数来方便地描述保守力做的功，称为势能函数，简称为势能（potential energy），记为 $ E_{p} $。

根据需要和处理问题的方便,我们可以选择空间中的某点 O 为势能零点,物体

位于空间中任意 b 点的势能可以定义为将位于 b 点的物体沿任意路径移动到势能零点 O 的过程中，保守力所做的功，即

$$ E_{p b}\equiv\int_{b}^{0}\boldsymbol{F}_{ 保 }\cdot d\boldsymbol{r} $$

由于保守力做功只依赖于质点运动的起点和终点的位置, 不涉及具体的路径, 所以势能是个位置函数, 即 r 点的势能可以写成函数的形式, 即

$$ \boldsymbol{E}_{\mathrm{p}}=U(\boldsymbol{r}) $$

所以，势能也称为位能。

反过来，如果已经确定了势能函数，我们就可以直接写出质点由 a 点移动到 b 点的过程中，保守力对质点所做的功，即

$$ \boldsymbol{A}_{ab}=\boldsymbol{U}(\boldsymbol{r}_{a})-\boldsymbol{U}(\boldsymbol{r}_{b}) $$

即势能增量的负值等于保守力所做的功。

在重力势场中，若选取了海平面为势能零点，则物体位于海拔高度 h 处的重力势能为

$$ E_{p 重 }=mgh $$

在万有引力场中，常选两个物体或质点相隔无穷远时的状态为势能零点，于是两个物体 m 与 $ m' $ 相距 r 时的引力势能为

$$ E_{p 引 }=-\frac{G m m^{\prime}}{r} $$

根据式(3-66)画出 $ E_{p引} $ 随 r 变化的曲线如图3-23(a)所示，称为引力势能曲线。

在弹簧问题中，选定弹簧无形变时小球所在位置即坐标原点 O 为弹性势能零点，则小球到达 x 处的势能为

$$ E_{p 弹 }=\frac{1}{2}kx^{2} $$

弹性势能与弹簧形变量 x 的关系也可以用一条函数曲线来表示，如图 3-23(b) 所示。

值得再次强调的是，选择不同位置的势能零点也将改变由式(3-62)定义的势能函数的取值，但空间中任意两点的势能差是恒定的，与势能零点的选择无关。

另外还应该注意，动能属于运动的质点，依赖于质点的运动速度，也就依赖于参考系的选取。势能依赖于物体之间的相互作用，所以它属于以保守内力相互作用的系统所有，势能是一种相互作用能。

3.5.4 由势能函数求保守力

我们已经根据保守力的路径积分式(3-62)和式(3-63)定义了势能函数，当然也可以反过来由势能函数确定相应的保守力。这在数学上是一个典型的逆问题，实际上就是求势能函数 $ U(r) $的空间导数。

考虑质点在保守力 $ F_{保} $ 的作用下移动了无限小的距离，位移矢量记为 $ \mathrm{d}\boldsymbol{r} $，势能函数的改变记为 $ \mathrm{d}U = U(\boldsymbol{r} + \mathrm{d}\boldsymbol{r}) - U(\boldsymbol{r}) $，正是在此元过程中保守力所做的元功的负值，即

$$ \mathrm{d}U=-\mathrm{d}A=-\boldsymbol{F}_{ 保 }\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r} $$

若将元位移矢量改写为 $ \mathrm{d}\boldsymbol{r}=(\mathrm{d}l)\boldsymbol{e}_{r} $，其中 $ \mathrm{d}l $ 表示元位移的大小， $ \boldsymbol{e}_{r} $ 表示元位移方向的单位矢量，则式(3-68)又可以改写为

$$ \left(\boldsymbol{F}_{ 保 }\cdot\boldsymbol{e}_{r}\right)\mathrm{d}l=-\mathrm{d}U $$

或者

$$ \boldsymbol{F}_{ 保 }\cdot\boldsymbol{e}_{r}=-\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{U}}{\mathrm{d}l} $$

即保守力沿某方向的分量等于相应的势能函数沿该方向的空间导数的负值。

在直角坐标系中，根据式(3-70)可以求出力的三个分量，即

$$ F_{ 保 x}=-\frac{\partial U}{\partial x},F_{ 保 y}=-\frac{\partial U}{\partial y},F_{ 保 z}=-\frac{\partial U}{\partial z} $$

采用梯度算符的定义 $ \nabla = \frac{\partial}{\partial x} i + \frac{\partial}{\partial y} j + \frac{\partial}{\partial z} k $，保守力正是相应的势能函数梯度的负值，即

$$ \mathbf{F}_{ 保 }=-\nabla U(\mathbf{r})=-\frac{\partial U}{\partial x}\mathbf{i}-\frac{\partial U}{\partial y}\mathbf{j}-\frac{\partial U}{\partial z}\mathbf{k} $$

在一维情况下，位置可用单一坐标变量 x 来标示，势能函数 $ U(x) $ 是 x 的单变量函数。例如根据式（3-67）弹性势能函数，可以反过来求出弹力与形变的关系

$$ F_{x}=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{1}{2}kx^{2}\right)=-kx $$

即胡克定律。

3.5.5 功能原理 机械能守恒

本章3.4.3 节质点系的动能定理,笼统地研究了外力和内力做功与系统总动能增量的关系,即式(3-48)

$$ \boldsymbol{A}_{ 外 }+\boldsymbol{A}_{ 内 }=\boldsymbol{E}_{kb}-\boldsymbol{E}_{ka} $$

而后我们又发现可以引入势能函数描述保守力的功，即

$$ A_{ 保 }=E_{pa}-E_{pb} $$

在此基础上，由动能定理可以推导出功能原理和机械能守恒定律。

1. 功能原理

质点系内的质点相互作用内力也可以分为保守内力和非保守内力两大类。若以 $ A_{保内} $ 和 $ A_{非保内} $ 分别表示保守内力和非保守内力所做的功，则动能定理又可以写作

$$ \boldsymbol{A}_{ 外 }+\boldsymbol{A}_{ 保内 }+\boldsymbol{A}_{ 非保内 }=\boldsymbol{E}_{kb}-\boldsymbol{E}_{ka} $$

其中保守内力做功等于势能增量的负值，即 $ A_{保内}=-\left(E_{pb}-E_{pa}\right) $，则式（3-75）还可以再改写为

$$ \begin{aligned}\boldsymbol{A}_{ 外 }+\boldsymbol{A}_{ 非保内 }=\boldsymbol{E}_{b}-\boldsymbol{E}_{a}\end{aligned} $$

其中 $ E_{a}=E_{ka}+E_{pa} $ 和 $ E_{b}=E_{kb}+E_{pb} $ 分别表示系统处于初态 a 和末态 b 时的机械能 (mechanical energy)。系统的机械能 E 定义为动能和势能之和，即

$$ E=E_{k}+E_{p} $$

式(3-76)称为质点系的功能原理，功能原理也可以陈述为：外力和系统非保守内力做功的总和等于质点系的机械能的增量。

【例3-8】如图3-24(a)所示，匀质链条全长为L，质量m，置放在桌面上。开始时下垂部分长为l，由静止下滑，链条与桌面动摩擦因数为 $ \mu_{k} $。求：(1)链条全部离开桌面的过程中，摩擦力做的功；(2)链条全部离开桌面时的速率。

解 (1) 如图 3-24(b) 所示，只有在水平桌面上滑动的一部分链条受到摩擦阻力的作用。当链条下垂部分长度为 x，留在桌面的那部分受到的摩擦力大小为

$$ F_{k}=\left(\frac{L-x}{L}\right)\mu_{k}mg $$

所以在链条下垂部分的长度由 l 变为 L 的过程中，摩擦力做的功为

$$ A=-\int_{l}^{L}F_{\mathrm{k}}\mathrm{d}x=-\int_{l}^{L}\mu_{\mathrm{k}}m g\left(\frac{L-x}{L}\right)\mathrm{d}x=-\frac{\mu_{\mathrm{k}}m g L}{2}\left(1-\frac{l}{L}\right)^{2} $$

负号反映了摩擦阻力的方向与链条滑动方向相反，对链条做负功。

（2）读者可以采用牛顿运动定律或者动能定理求链条全部离开桌面时的下落速度 v，但最简单的方法还是将功能原理直接应用于“链条+地球（桌子）”系统。

忽略地球的运动，只有链条的整体运动导致系统总动能和总势能的变化，并且

$$ \Delta E_{k}=\frac{1}{2}mv^{2} $$

若以桌面为重力势能零点，则只需要计算悬挂于桌面以下部分链条的势能。以桌子边缘为参考原点，位于 x 到 x+dx 之间的一小段链条的重力势能为

$$ \mathrm{d}E_{\mathrm{p}}=-\left(\frac{m\mathrm{d}x}{L}\right)g x $$

所以初始时刻链条的势能为

$$ E_{p a}=-\int_{0}^{l}\frac{m g}{L}x\mathrm{d}x=-\frac{m g}{2L}l^{2} $$

链条将要全部离开桌面时的势能为

$$ E_{p b}=-\int_{0}^{L}\frac{m g}{L}x\mathrm{d}x=-\frac{m g L}{2} $$

势能的增量为

$$ \Delta E_{\mathrm{p}}=-\frac{m g L}{2}\left[1-\left(\frac{l}{L}\right)^{2}\right] $$

利用(1)中已经得到的非保守内力做功的结果,根据功能原理可得

$$ -\frac{\mu_{\mathrm{k}}m g L}{2}\left(1-\frac{l}{L}\right)^{2}=\frac{1}{2}m v^{2}-\frac{m g L}{2}\left[1-\left(\frac{l}{L}\right)^{2}\right] $$

由此可得

$$ v=\sqrt{gL\left[1-\left(\frac{l}{L}\right)^{2}-\mu_{k}\left(1-\frac{l}{L}\right)^{2}\right]} $$

讨论：若开始时刻链条能够下滑，重力必须大于摩擦阻力，即

$$ \frac{m g l}{L}>\frac{m g \mu_{\mathrm{k}}(L-l)}{L} $$

也就是

$$ \frac{l}{L}>\frac{\mu_{k}}{\mu_{k}+1} $$

对比

$$ v^{2}=gL\left(1-\frac{l}{L}\right)\left[1+\left(\frac{l}{L}\right)-\mu_{k}\left(1-\frac{l}{L}\right)\right] $$

保证末速度有意义只需

$$ \frac{l}{L}>\frac{\mu_{k}-1}{\mu_{k}+1} $$

所以只要悬挂部分足够重，能保证链条开始下滑，我们的计算结果就是合理的。

2. 机械能守恒定律

由功能原理(3-76)式可以得到一个重要的推论，即如果没有外力和非保守内力做功，则系统的机械能保持不变。即如果 $ A_{外}=0,A_{非保内}=0 $，则

$$ E=E_{\mathrm{k}}+E_{\mathrm{p}}=E_{0} $$

这就是机械能守恒定律(law of conservation of mechanical energy)。值得注意的是，应该尽量避免在非惯性系中使用机械能守恒定律，因为惯性力的做功是一个超出了我们已讨论范围的复杂问题。

设某个系统的势能与质点位置曲线如图3-25所示，若系统的机械能守恒，则

系统的动能与势能之和为常量，我们可以利用势能曲线直观地看出物体运动范围和动能与势能之间的转化情况。

作高度代表总能量 $ E_{1} $ 和 $ E_{2} $ 的水平直线，按照式（3-77），直线在各点 x 处与对应点势能曲线间的距离，代表质点在该处的动能 $ E_{k} $。由于 $ E_{k} $ 不可能取负值，水平线低于势能曲线的区间是具有该能量的质点所不能达到的区域。在图3-25内所有位于这些区域的水平线都画作虚线。

势能曲线在局部范围内的最低点，如 A 点和 B 点，都是稳定的平衡点。总能量略高于 A，B 点的质点，只能在它们附近的小范围内活动，如 A'A"段和 B'B"段。

我们不妨以 A 点为例进一步分析质点在其附近运动的情况。在 $ A' $ 点， $ E_{2} $ 水平线与势能曲线相交，表示此处全部机械能都是势能，动能为零，但质点受到一个向右指向平衡点 A 的力。抵达 A 点之前，质点始终受到向右的作用力，质点加速前进，动能增加，势能减少。质点到达 A 点时，势能最低，动能最大。质点在 A 点不受力，其速度是向右的，它将依惯性前进。越过 A 点之后，它开始受到向左的力，质点减速，动能减少，势能增加，直到 A" 点。 $ A'' $ 点是 $ E_{2} $ 水平线与势能曲线的另一个交点，动能又全部转化为势能，动能为零，但质点仍受到向左的作用力。再后，质点将沿

着上面所述的逆过程，从 $ A'' $点经过A回到 $ A' $，完成一个周期。如此类推，质点的运动将一个周期接一个周期地持续下去，循环不已。可见，质点可能围绕势能曲线的任何极小值点做周期振动，总能量保持不变。

在势能曲线局部范围里的最高点，如 C 点，虽然作用于质点的力为零，也是平衡点，但它是不稳定平衡点。总能量略高于它们的质点，都会远离而去。

粒子不可能出现在总能量小于势能的区间，这是牛顿力学的决定论。但在微观领域量子力学理论得出不同的结论：如处于 $ A^{\prime}A^{\prime\prime} $区间能量为 $ E_{2} $的微观粒子，可以以一定的概率出现在 $ A^{\prime\prime}B^{\prime} $区间，甚至还可以以一定的概率出现在 $ B^{\prime}B^{\prime\prime} $区间。

【例 3-9】如图 3-26 所示，竖直悬挂的轻弹簧劲度系数 k，弹簧处于原长时，下端点位于 $ O' $ 点，下端悬挂质量为 m 的重物后下移到新的平衡点 O。如果在 O 点给重物一个向下的初速度 v。忽略空气摩擦阻力，从 O

点算起，求物体所能到达的最大距离 x。

解 运用机械能守恒定律要注意三点：（1）明确所研究的系统；（2）找出始末两状态；（3）注意势能零点的选取。

根据题意，作图3-26，记 $ O^{\prime}O $的距离为 $ x_{0} $。我们研究的对象是“物体+弹簧+地球”三者组成的系统。图3-26(c)为初始状态1，图3-26(d)为末了状态2。可以分别选取 $ O^{\prime} $为弹性势能零点，O为重力势能零点，则

状态1的机械能：

$$ E_{1}=\frac{1}{2}mv^{2}+\frac{1}{2}kx_{0}^{2} $$

状态2的机械能：

$$ E_{2}=\frac{1}{2}k(x+x_{0})^{2}-mgx $$

在系统由状态1运动到状态2的过程中，没有外力或非保守内力做功，系统的机械能守恒，即 $ E_{1}=E_{2} $，所以

$$ \frac{1}{2}mv^{2}+\frac{1}{2}kx_{0}^{2}=\frac{1}{2}k(x+x_{0})^{2}-mgx $$

图3-26(b)所示为弹簧悬挂重物的平衡状态,所以

$$ k x_{0}=m g $$

求解以上两个联立方程可得物体所能到达的最大距离为

$$ x=v\sqrt{\frac{m}{k}} $$

读者可以考虑另一种情况。若在 O 点给重物一个向上的初速度 v，从 O 点算起，求物体向上所能到达的最大距离 $ x' $。

【例 3-10】求第二宇宙速度，即从地面发射物体逃脱地球引力所需要的最小速度。

解 查阅有关数据, 可知地球质量 $ m_{E}=6.0\times10^{24} $ kg, 地球半径 $ R_{E}=6.4\times10^{3} $ km。

若我们在高处水平投掷物体，速度越大抛得越远。如果没有空气阻力，物体的速度达到一定的数值，它就会沿一个圆形轨道绕地球飞行，成为人造地球卫星。这样的速度 $ v_{1} $称为第一宇宙速度。物体受地球的引力提供它做圆周运动所需的向心力，所以

$$ G\frac{m_{\mathrm{e}}m}{R_{\mathrm{E}}^{2}}=\frac{mv_{1}^{2}}{R_{\mathrm{E}}} $$

其中 $ G=6.674\ 08\times10^{-11}\ m^{3}\cdot kg^{-1}\cdot s^{-2} $ 为引力常量，由此可得第一宇宙速度为

$$ v_{1}=\sqrt{\frac{G m_{E}}{R_{E}}}\approx7.9km\cdot s^{-1} $$

物体的发射速度必须更大才可能摆脱地球的引力而一去不返。换句话说，被发射的物体能够逃逸到无穷远处，必须具备足够的初始动能或速度，所需的这一最小发射速度 $ v_{2} $ 称为第二宇宙速度。

如果不对月球、太阳和其他天体的影响作正确估计，确定第二宇宙速度的问题好像非常复杂。事实上我们只需要考虑地球的主要影响，仅仅以地球和物体作为被研究的对象。进一步忽略空气阻力，若物体被从地球发射时的动能足以克服地球的引力势能，就能从地球的引力作用下逃逸出去。

运用机械能守恒定律，可得

$$ \frac{1}{2}mv_{2}^{2}-\frac{Gmm_{E}}{R_{E}}=0 $$

所以第二宇宙速度为

$$ v_{2}=\sqrt{\frac{2Gm_{E}}{R_{E}}}\approx11.2km\cdot s^{-1} $$

更一般地,我们可以计算物体从质量和半径分别为 $ m_{0} $ 和 R 的星球逃逸所需要的最小发射速度,即

$$ v_{ 逃逸 }=\sqrt{\frac{2Gm_{0}}{R}} $$

显然，对给定质量 $ m_{0} $ 的星球，半径 R 越小逃逸速度越大。人们设想，一旦逃逸速度达到或超过光速 c，即

$$ v_{ 逃 }=\sqrt{\frac{2G m_{0}}{R_{s}}}=c $$

也就是说，若星球的半径压缩到 $ R_{s}=2Gm_{0}/c^{2} $，则星球上任何物质（包括电磁波）都将无法逃离。这样确定的 $ R_{s} $ 也称为施瓦西半径（Schwarzschild radius）或引力半径。人们还设想，一旦星球的半径变得比 $ R_{s} $ 还小，该星球将与外界断绝一切物质与信息交流，甚至光都无法从它的表面发射出来，我们再也不能从宇宙的其他地方看到它，它存在的区域也称为黑洞（black hole）。

当然作为天体物理的重要研究对象，黑洞的性质没有这么简单。读者不妨利用已知的数据，估算一下地球和太阳的施瓦西半径，看看还可以得到什么有趣的结论。

3.5.6 能量守恒定律

通过前面的讨论，我们根据牛顿运动定律得到了机械能守恒定律。在一定条件下，系统的动能和势能可以互相转化，但是机械能的总量保持不变。读者自然会追问，若不具备相应的条件，系统增多的机械能来自何处？减少的机械能如何消失？

通过长期的实践和科学研究，人们发现自然界还存在许多其他形式的能量，如热能、电能、化学能、辐射能、生物能和核能。若考虑各种可能的能量形式，人们相信能量既不能创生，也不能消灭，它只能从一种形式转化为另一种形式，或从一个物体传递给另一个物体；各种形式的能量可以互相转化，并在转化过程中保持守恒，这一普遍结论是自然界最基本的物理规律，称为能量守恒定律（law of energy conservation）。例如，摩擦力是一种非保守力，摩擦力做功导致物体运动的机械能减少，但在此过程中物体与周围环境温度升高，机械能转化为热能；电流通过电阻时产生热量，电流通过灯丝发光，这是电能分别转化为热能和光能。鞭炮爆炸时，火药中的化学能转化为热能、声能、光能及鞭炮碎片的动能。物体从高处落下，势能转化为动能，当它与地面碰撞后最终静止于地面，动能又转化为热能。表3-2列举了一些典型的能量值。

视频：黑洞

3.6 角动量定理 角动量守恒定律

角动量是与动量和能量同样重要的物理量，角动量定理在物理学中有极其广泛的应用，角动量守恒定律也是物理学中最基本的定律。

3.6.1 质点的角动量

处于任何运动状态的质点都可以定义它的角动量。如图3-27(a)所示，若质量为m的质点或粒子相对于某参考系运动速度为v，相对于该参考系中的某参考点O的位置矢量为 $ \boldsymbol{r} $。2.2.2节曾定义该质点的动量为 $ p=mv $，而它相对于这一选定的参考点O的角动量(angular momentum)定义为

$$ L\equiv\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{p}=\boldsymbol{r}\times m\boldsymbol{v} $$

即角动量为质点位置矢量 $ \boldsymbol{r} $ 与动量矢量 $ \boldsymbol{p} $ 的矢量积（或叉乘）。显然，质点的角动量是一个矢量，角动量的方向垂直于 $ \boldsymbol{r} $ 与 $ \boldsymbol{p} $ 确定的平面，并遵守右手螺旋定则：即用右手四指从 $ \boldsymbol{r} $ 经小于 $ 180^{\circ} $ 的夹角转向 $ \boldsymbol{p} $，则拇指的指向为 L 的方向。它的大小为

$$ L=rmv\sin\varphi $$

其中 $ \varphi $是r与p小于 $ 180^{\circ} $的夹角。在国际单位制中，角动量的单位是 $ kg \cdot m^{2} \cdot s^{-1} $。

具有确定动量 p 的质点，它的角动量 L 相对于不同的参考点有不同的值。所以，在论及一个运动粒子的角动量时，必须指明参考点。

若一个质量为 m 的粒子在半径为 r 的圆周上以速度 v 运动，则它的动量为 p = mv，相对于圆心的位置矢量 $ \boldsymbol{r} $ 与粒子运动速度 v 互相垂直，即式 (3-82) 中的 $ \varphi = 90^{\circ} $，角动量大小为

$$ L=rmv=mr^{2}\omega $$

式中 $ \omega $ 是质点运动的角速度，这里我们利用了线速度与角速度的关系式 $ v = \omega r $ 。角动量的方向由右手螺旋定则判断，垂直于物体转动所在的平面，如图 3-27(b) 所示。

【例3-11】地球到太阳的距离 $ r=1.5\times10^{11} $ m, 地球绕太阳公转速度 $ v=3.0\times10^{4} $ m·s $ ^{-1} $, 地球的质量为 $ m_{E}=6.0\times10^{24} $ kg, 求地球对太阳中心的角动量。

解 首先，由于地球到太阳的距离远大于地球半径，因而在计算地球对太阳中心的角动量时可以近似地将地球处理为质点。其次，虽然地球实际上是在一个椭圆轨道上运动，题中所给条件不能确定式（3-82）中的角度 $ \varphi $，但是我们可以近似地认为地球围绕太阳做圆周运动，因而可以根据式（3-83）估算地球对太阳中心的角动量的大小为

$$ L=1.5\times10^{11}\times6.0\times10^{24}\times3.0\times10^{4}=2.7\times10^{40}kg\cdot m^{2}\cdot s^{-1} $$

【例 3-12】试证明，做匀速直线运动的物体对某一参考点的角动量为常矢量，与物体的位置无关。

证明 如图3-28所示，做匀速直线运动的物体处于位置矢量分别为 $ r_{1} $和 $ r_{2} $的任意两点时，位移矢量 $ r_{2}-r_{1} $的方向始终与它的运动速度v平行，所以， $ (r_{2}-r_{1})\times v=0 $，即

$$ \boldsymbol{r}_{2}\times m\boldsymbol{v}=\boldsymbol{r}_{1}\times m\boldsymbol{v} $$

而等式两端正是物体在任意两个不同位置时相对于任意参考点 O 的角动量

$$ L_{1}=r_{1}\times mv\quad 和 \quad L_{2}=r_{2}\times mv $$

所以总有 $ L_{2}=L_{1} $，即做匀速直线运动的物体对某一参考点的角动量保持不变，与物体的位置无关。读者还可以证明， $ L=r_{\perp}\times p $，即角动量实际上只依赖于参考点到粒子运动直线轨迹的垂直间隔 $ r_{\perp} $。

3.6.2 质点的角动量定理

利用牛顿第二定律，我们更可以确定角动量 L 随时间的变化规律。因为

$$ \frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\boldsymbol{r}\times m\boldsymbol{v})=\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t}\times m\boldsymbol{v}+\boldsymbol{r}\times\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{p}}{\mathrm{d}t} $$

而 $ F = dp / dt $, $ v = dr / dt $, 所以

$$ \frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t}=M $$

其中作用于质点的合外力 F 相对于同一参考点 O 的力矩 (moment of force) 定义为

$$ M=\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{F} $$

特别强调，r 是力的作用点对同一参考点 O 位置矢量。等式 (3-85) 常常改写为与牛顿第二定律式 (2-12) 相似的形式，即

$$ M=\frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t} $$

上式就是质点的角动量定理(theorem of angular momentum)，即质点所受到的合力的力矩决定它的角动量的时间变化率。

式(3-86)定义的力矩也是一个矢量，它的方向垂直于r和F确定的平面，遵循右手螺旋定则。如图3-29所示，若r和F的夹角为 $ \alpha $，则力矩的大小为

$$ M=r F\sin\alpha $$

在国际单位制中，力矩的单位是 N·m。

多个外力作用于同一个质点的合外力矩等于各力的力矩的矢量和，即如果

$$ \boldsymbol{F}=\boldsymbol{F}_{1}+\boldsymbol{F}_{2}+\cdots+\boldsymbol{F}_{N} $$

则质点受到的力矩为

$$ \boldsymbol{M}=\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{F}=\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{F}_{1}+\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{F}_{2}+\cdots+\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{F}_{N}=\boldsymbol{M}_{1}+\boldsymbol{M}_{2}+\cdots+\boldsymbol{M}_{N} $$

这一结论也常常给具体的讨论和运算带来方便。

3.6.3 质点的角动量守恒定律

根据角动量定理式(3-87)，若 M=0，则 $ \mathrm{d}L/\mathrm{d}t=0 $，亦即

$$ L=L_{0} $$

这一结论称为质点的角动量守恒定律(law of conservation of angular momentum):相对于某一选定的固定参考点，如果作用于质点的合外力矩为零，则质点对该点的角动量保持初值不变。

【例 3-13】如图 3-30 所示，光滑圆盘面上有一质量为 m 的小球，拴在一根穿过圆盘中心光滑小孔的绳子上。开始时，小球离圆心距离为 $ r_{1} $，以角速度 $ \omega_{1} $ 旋转，然后慢慢向下拉绳，求小球离圆心距离为 $ r_{2} $ 时，拉力对小球所做的功。

解 为简单起见，我们将小球近似处理为一个质量为 m 的质点。在光滑圆盘面上，小球受到垂直向下的重力和垂直向上的支撑力，但是只有绳子的拉力与小球在水平面上的运动有关。以小孔中心为固定参考点，则小球所受绳子拉力 $ F_{T} $ 始终与 r 方向相反，指向固定的参考点 O，外力矩 $ M = r \times F_{T} = 0 $，小

球运动的角动量守恒。

虽然小球运动的轨迹不是一个固定的圆周，但是速度指向参考点 O 的分量对角动量没有贡献，而另一个垂直分量的大小可以表示为 $ v = \omega r $，所以角动量的大小为

$$ L=m\omega r^{2} $$

由角动量守恒 $ mr_{1}^{2}\omega_{1}=mr_{2}^{2}\omega_{2} $，可得小球离圆心距离为 $ r_{2} $ 时的角速度

$$ \omega_{2}=\left(\frac{r_{1}}{r_{2}}\right)^{2}\omega_{1} $$

由于我们非常缓慢地拉动绳子，小球运动速度指向参考点的分量可以忽略不计，其动能可以表示为

$$ E_{k}=\frac{1}{2}m(r\omega)^{2} $$

根据动能定理，我们可以计算得到拉力对小球所做功为

$$ A=\frac{1}{2}mv_{2}^{2}-\frac{1}{2}mv_{1}^{2}=\frac{1}{2}mr_{1}^{2}\omega_{1}^{2}\left[\left(\frac{r_{1}}{r_{2}}\right)^{2}-1\right] $$

从以上计算结果会得到一个不合理的推论，即当 $ r_{2} \rightarrow 0 $ 的时候， $ \omega_{2} \rightarrow \infty $， $ A \rightarrow \infty $。请读者讨论。

【例 3-14】 证明行星对太阳的径矢在相等时间内扫过相等的面积，即证明关于行星运动的开普勒第二定律。

解 行星在太阳的引力作用下沿椭圆轨道运动。以太阳为参考点，引力方向与行星的位矢方向反平行，这意味着行星受到的引力对太阳的力矩为零，因而行星相对太阳的角动量守恒。

如图3-31所示，行星对太阳的角动量大小为

$$ L=m r v\sin\theta $$

式中 $ \theta $ 是位矢与速度 v 的夹角。角动量守恒给出

$$ \frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t}=r v\sin\theta $$

为不变量。而由图3-31可知，dS=rvsin $ \theta $dt正是行星与太阳的连线在dt微小时间段内扫过的阴影三角形面积的两倍。所以，行星对太阳的径矢在相等时间内扫过相等的面积，即开普勒第二定律是角动量守恒定律的简单推论。因此，行星在近日点必定比离太阳较远时运动得更快一些。

3.6.4 推广到质点系情形

利用牛顿第三定律，我们还可以将质点角动量定理推广到质点系的情况，得到质点系总角动量 L 的时间变化率与合外力矩 M 的简单关系，即质点系的角动量定理。

我们定义质点系对给定参考点的总角动量为系统内所有质点对选定参考点的角动量的矢量和，即

$$ L\equiv\sum_{i}L_{i}=\sum_{i}\boldsymbol{r}_{i}\times\boldsymbol{p}_{i} $$

对于标号为 i 的质点，它不仅受到来自系统外的作用力 $ F_{外i} $，而且还受到系统内其他质点的作用力

$$ \boldsymbol{F}_{ 内 i}=\sum_{j}\boldsymbol{F}_{ 内 ij} $$

其中 $ F_{内ij} $ 表示第 j 个质点对第 i 个质点的作用力。利用质点角动量定理

$$ \frac{\mathrm{d}L_{i}}{\mathrm{d}t}=\boldsymbol{r}_{i}\times\left(\boldsymbol{F}_{ 外 i}+\boldsymbol{F}_{ 内 i}\right) $$

可得

$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\sum_{i}L_{i}=\sum_{i}\boldsymbol{r}_{i}\times\left(\boldsymbol{F}_{ 外 i}+\boldsymbol{F}_{ 内 i}\right)=\sum_{i}\boldsymbol{r}_{i}\times\boldsymbol{F}_{ 外 i}+\sum_{i}\boldsymbol{r}_{i}\times\boldsymbol{F}_{ 内 i} $$

令

$$ \boldsymbol{M}_{ 外 }=\sum_{i}\boldsymbol{r}_{i}\times\boldsymbol{F}_{ 外 i} $$

$ M_{外} $ 称为质点系受的合外力矩，它定义为所有外力矩的矢量和。

$$ \boldsymbol{M}_{ 内 }=\sum_{i}\boldsymbol{r}_{i}\times\boldsymbol{F}_{ 内 i} $$

令

$ M_{内} $ 称为质点系受的合内力矩。由于内力总是成对出现的，故所有内力对同一参考

点的力矩的矢量和为零，即 $ M_{内}=0 $。

下面选取质点系内两个质点，作一简单证明。

对质点系中 A、B 两质点，其相互作用内力为 $ F_{AB} $ 与 $ F_{BA} $，且 $ F_{AB} = -F_{BA} $，相对于同一参考点的位置矢量为 $ r_{A} $ 与 $ r_{B} $，则

$$ \begin{aligned}M_{ 内 AB}+M_{ 内 BA}&=r_{A}\times F_{AB}+r_{B}\times F_{BA}\\&=\left(\boldsymbol{r}_{A}-\boldsymbol{r}_{B}\right)\times\boldsymbol{F}_{AB}\end{aligned} $$

由于 $ r_{A}-r_{B} $与 $ F_{AB} $处在一条直线上，故

$$ \boldsymbol{M}_{ 内 AB}+\boldsymbol{M}_{ 内 BA}=0 $$

以此类推，则 $ M_{内}=0 $

将式(3-92)和式(3-96)代入式(3-95)，可得

$$ M_{ 外 }=\frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t} $$

式(3-100)称为质点系的角动量定理：一个质点系所受合外力矩等于该质点系的角动量对时间的变化率。

值得强调的是，合外力矩不是先求合外力再求力矩，而是根据每个外力 $ F_{外i} $ 的作用点相对于固定参考点 O 的位置矢量 $ r_{i} $ 计算出力矩 $ M_{i}=r_{i}\times F_{外i} $，再求它们的矢量和。

如果作用于质点系的合外力矩为零，则质点系的总角动量保持不变，这称为质点系的角动量守恒定律。即如果 $ M_{外}=0 $，则

$$ L=\sum_{i}L_{i}=\sum_{i}\boldsymbol{r}_{i}\times\boldsymbol{p}_{i}=L_{0} $$

在许多重要的实际情况下，根本就没有外力，系统的总角动量当然守恒。

白云苍狗，沧海桑田，看起来宇宙是变化无常的，但在变幻莫测的宇宙中存在某些不变的成分。那些表面的变化，不过是自然界中不变的成分遵照一定的规律重新安排的结果。如果我们将太阳系近似看成一个与外界无作用的孤立系统，它将满足能量守恒、动量守恒和角动量守恒。

宇宙中存在各种层次的天体系统，它们都具有旋转的扁平的盘状结构（图3-32），并且系统中的天体基本上都朝同一个方向旋转。太阳系、银河系、众多的河外旋涡星系都如此。康德星云说指出：它们最初都是一团极大的弥漫的气云，由于自身引力而收缩，最后凝聚为一个个天体（行星、太阳等）。

但万有引力为什么不能将所有的天体吸引到一起，而是形成扁平的盘状呢？

拉普拉斯指出，这是因为角动量守恒。我们将天体系统看成不受外力的孤立系统，初始状态

视频：银河系

下原始气云具有一定的初始角动量 L，气云在万有引力的作用下逐渐收缩。粒子向心速度从小变大，由于角动量守恒，垂直于 L 的横向速度也会增大，这使得气体云难以进一步向转动轴收缩。但在平行于转动轴方向却不存在这个问题。因此，天体系统演化为朝一个方向旋转的盘状结构。

3.7 两体碰撞 质点力学定律的综合应用

3.7.1 两体碰撞

当两个质点或物体相向运动，在短暂的时间内发生强烈的相互作用，并导致两者的运动状态（即各自的动量、动能和角动量）发生显著的变化，这样的物理过程称为碰撞（collision）。经过碰撞，两个物体各自的动量、能量和角动量可以发生变化，两个物体也可能结合在一起。此外，当两个微观粒子发生碰撞时，还可能产生新的粒子。

在宏观现象中，碰撞意味着两物体相互接触。在剧烈而短暂的碰撞过程中，相对于两物体之间强烈的相互作用，通常外力可以忽略，例如重力和摩擦阻力的作用，因此我们常常运用守恒定律来研究碰撞过程。

若碰撞前后两物体或质点的总动能保持不变，这样的过程称为完全弹性碰撞（perfect elastic collision）。完全弹性碰撞过程必须同时满足动量守恒定律和机械能守恒定律，即

$$ m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=m_{1}v_{10}+m_{2}v_{20} $$

和

$$ \frac{1}{2}m_{1}v_{1}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}v_{2}^{2}=\frac{1}{2}m_{1}v_{10}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}v_{20}^{2} $$

一共四个独立的方程，还不能完全确定碰撞结束后两个质点的状态，即两个质点的速度 $ v_{1} $ 和 $ v_{2} $ 总共六个分量。希望读者结合后续章节的学习进一步研究这一问题。

如果我们考虑简单的特殊情况，才有可能完全求解。以两个粒子沿直线对心碰撞为例，设它们的质量分别为 $ m_{1} $ 和 $ m_{2} $，碰撞之前的初速度分别为 $ v_{10} $ 和 $ v_{20} $，发生完全弹性碰撞后速度分别为 $ v_{1} $ 和 $ v_{2} $，如图3-33所示。此时式(3-102)简化为

$$ m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=m_{1}v_{10}+m_{2}v_{20} $$

求解式(3-103)和式(3-104)两个联立方程，可以确定碰撞结束后两个粒子的末速度为

$$ v_{1}=\frac{m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}v_{10}+\frac{2m_{2}}{m_{1}+m_{2}}v_{20} $$

和

$$ v_{2}=\frac{m_{2}-m_{1}}{m_{1}+m_{2}}v_{20}+\frac{2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}v_{10} $$

若两粒子的质量相等，即 $ m_{1}=m_{2} $，则 $ v_{1}=v_{20} $， $ v_{2}=v_{10} $，表示碰撞结束后两球互相交换速度。

若质量小的粒子与静止的质量大的粒子发生完全弹性碰撞，即 $ m_{2} \gg m_{1} $，且 $ v_{20} = 0 $，则 $ v_{1} \approx -v_{10} $， $ v_{2} \approx 0 $，即碰撞后质量大粒子几乎不动而质量小的粒子以原来的速率返回。弹性球与墙壁或地面的弹性碰撞，气体分子与容器壁的碰撞就是这样的实例。

与完全弹性碰撞相反的另一个极端情况是完全非弹性碰撞（perfect inelastic collision），两物体碰撞后成为一体不再分离，以相同的末速度 $ v_{1}=v_{2} $ 运动。这样的过程导致物体的永久形变，伴随着能量耗散，机械能守恒不再成立。然而根据动量守恒式（3-102），我们足以确定碰撞后它们的共同速度，即

$$ v_{1}=v_{2}=\frac{m_{1}v_{10}+m_{2}v_{20}}{m_{1}+m_{2}} $$

实际的碰撞过程还依赖于许多细节，例如相互碰撞的两个物体的弹性。大量的对心碰撞实验结果表明：碰撞后两物体的分离速度 $ v_{2}-v_{1} $，与碰撞前两球的接近速度 $ v_{10}-v_{20} $ 成正比，即

$$ e=\frac{v_{2}-v_{1}}{v_{10}-v_{20}} $$

其比值 e 通常称为恢复系数 (coefficient of restitution)，取决于物体的材质。若 e=0，则为完全非弹性碰撞；若 e=1，则为 (完全) 弹性碰撞；在大多数实际情况下，0 < e < 1，称为非弹性碰撞。

近代物理学研究涉及大量的碰撞问题。通过观察和测量各种粒子相互碰撞之后运动状态的变化，例如所谓的散射截面和角分布，我们才可以了解微观世界粒子相互作用的规律和粒子的内部结构。一般来说，微观粒子的碰撞过程不仅满足动量守恒、能量守恒，还满足角动量守恒。例如， $ \alpha $ 粒子（二次电离的氦原子）通过铂的薄膜，受薄膜中的原子力的作用发生散射，满足能量守恒和角动量守恒。卢瑟福（Ernest Rutherford，1871—1937）对实验结果进行分析后，提出了原子结构的太阳系模型。

3.7.2 质点力学定律的综合应用

到目前为止，我们已经讨论了经典力学的主要内容，包括质点运动学、牛顿运

动定律、动量定理与动量守恒定律、动能定理与机械能守恒定律，以及角动量定理与角动量守恒定律。

一方面，牛顿运动定律是牛顿力学的基础，其他定理和定律在牛顿力学中均可以由牛顿三定律推导得到。另一方面，牛顿运动定律具有瞬时性，如果给定了系统的初始状态，又确切地知道力的具体形式，原则上就能解决任何质点或质点系的机械运动问题。但在解决实际问题的过程中，应用其他运动定理和守恒定律常常会更加方便和灵活。读者可以留意，如果执意要从质点动力学的基本规律出发解决问题，那么解题的过程必定无谓地不断重复我们推导这些运动定理和守恒定律的具体过程。

本节举例说明力学定律的综合应用。

【例 3-15】如图 3-34 所示，质量为 $ m_{0} $ 的沙箱与一劲度系数为 k 的轻弹簧相连。开始时沙箱静止，弹簧处于原长无形变。有一光滑斜面与水平面夹角为 $ \theta $，质量为 m 的静止物体由某一高度 h 处沿斜面滑入沙箱中，然后 m 与 $ m_{0} $ 以相同速度向右运动并压缩弹簧，弹簧被压缩最大距离为 l。若沙箱与地面动摩擦因数为 $ \mu_{k} $。试确定物体开始下滑时的高度 h。

解 全过程可分为三个阶段：第一阶段，m从h高处下滑至斜面底；第二阶段，m落入沙箱中，并与沙粒混为一体；第三阶段，m和 $ m_{0} $一起向右运动，并压缩弹簧直到最大距离l。

第一阶段，以地球为惯性参考系，下滑物体 m 和地球是我们的研究对象，忽略光滑斜面对物体的摩擦力，机械能守恒，重力势能全部转化为动能，即

$$ mgh=\frac{1}{2}mv^{2} $$

其中 v 是 m 在与 $ m_{0} $ 碰撞前的速率，且

$$ v=\sqrt{2gh} $$

第二阶段，m 与 $ m_{0} $ 发生完全非弹性碰撞，假设碰撞时间非常短暂，还没有明显地压缩弹簧，可忽略弹力的作用，水平方向动量守恒，即

$$ m v_{x}=\left(m+m_{0}\right)v^{\prime} $$

其中 $ v_{x}=v\cos\theta $ 是碰撞前 m 运动速度的水平分量， $ v^{\prime} $ 表示 m 与 $ m_{0} $ 碰撞后的共同速度。

第三阶段，研究 m 和 $ m_{0} $ (已经成为一体) 与弹簧组成的系统。地面滑动摩擦力 $ F_{fk}=\mu_{k}(m_{0}+m)g $ 对系统做功为 $ A_{外}=-\mu_{k}(m+M)gl $

应用功能原理，外力做功等于系统机械能的增量，即

$$ -\mu_{k}(m+m_{0})g l=\frac{1}{2}k l^{2}-\frac{1}{2}(m+m_{0})v^{\prime2} $$

解联立方程组，最后可以反推得到物体初始位置相对于沙面的高度

$$ h=\left[\frac{kl}{2mg}+\frac{\mu_{k}(m+m_{0})}{m}\right]\frac{(m+m_{0})l}{m\cos^{2}\theta} $$

建议读者特别讨论 $ \theta=0^{\circ},90^{\circ} $ 两种极端情况。

【例3-16】如图3-35(a)所示，在劲度系数为k的弹簧下端悬挂质量为 $ m_{0} $的托盘。一团质量为m的黏土由距盘底高h处自由落下，碰到盘底即粘在盘底上。求弹簧的最大形变量。

解 从黏土开始自由落下到弹簧达到最大伸长的全过程可分三个阶段：第一阶段为黏土 m 做自由落体运动；第二阶段为黏土与盘做完全非弹性碰撞；第三阶段为黏土和盘一起运动，直至达到最低点，弹簧具有最大形变量。

如图3-35所示，取弹簧未发生形变时下端点为坐标原点O，竖直向下为x轴正方向。

第一阶段：黏土在重力作用下做自由落体运动。在与盘底碰撞前的瞬间，它已经自由下落h，速度为

$$ v=\sqrt{2gh} $$

第二阶段：以黏土和托盘为研究对象。在黏土和托盘碰撞过程中，忽略重力和弹力的影响，近似地认为系统的动量守恒。碰撞前 m 的速度为 $ v, m_{0} $ 的速度为零，碰撞后它们以共同速度 $ v' $ 向下运动，所以

$$ mv=\left(m+m_{0}\right)v^{\prime} $$

第三阶段：以黏土、托盘、弹簧和地球为研究对象。系统所受唯一外力是悬点对弹簧的拉力，但这个力的作用点 O 固定不做功，系统内没有非保守力，因此系统机械能守恒。如图 3-35(a) 所示，弹簧原长时下端点 O 为弹性势能零点，弹簧挂上盘子达到平衡时，弹簧下端点到达新的位置 $ x_{1} $，且

$$ kx_{1}=m_{0}g $$

再设 m 与 $ m_{0} $ 碰撞瞬间所在处 $ x_{1} $ 为重力势能零点，当 m 和 $ m_{0} $ 到达最低点时，弹簧下端点到达 $ x_{2} $ 处，如图 3-35(c) 所示。由机械能守恒定律，可得

$$ \frac{1}{2}(m+m_{0})v^{2}+\frac{1}{2}kx_{1}^{2}-(m+m_{0})gx_{1}=\frac{1}{2}kx_{2}^{2}-(m+m_{0})gx_{2} $$

联立方程组并求解，最后可得

$$ x_{2}=\frac{\left(m+m_{0}\right)g}{k}+\frac{mg}{k\sqrt{1+\frac{2kh}{\left(m+m_{0}\right)g}}} $$

【例3-17】开普勒通过分析第谷·布拉赫（Tycho Brahe，1546—1601）等人关于天体运动多年的观测资料，于1609—1619年间先后归纳总结出行星在宇宙空间绕太阳公转所遵循的三大基本规律，统称为开普勒三定律，也叫行星运动定律。开普勒在1609年发表了关于行星运动的前两条定律，即开普勒第一定律：每一行星沿一个椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点上；以及开普勒第二定律：从太阳到行星所连接的直线在相等时间内扫过同等的面积。1618年，他又发表了第三条定律，即开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴a的三次方跟公转周期T的二次方的比值都相等。

事实上，在平方反比有心力作用下的任何一个质点的运动都应该遵循开普勒运动定律，这包括月亮或人造卫星绕地球的运动，氢原子中的核外电子围绕原子核的运动。试根据牛顿力学的基本规律证明这一普遍结论。

证明 参见例3-14中的图3-31，以有心力的中心位置为坐标原点，作用于位置矢量为 $ \boldsymbol{r} $的质点上的平方反比有心力可以普遍地表示为

$$ F=-\frac{h}{r^{2}}\cdot\frac{r}{r} $$

其中常量依赖于相互作用力的具体形式。在开普勒所分析的太阳作用于行星的例子中 $ h = G m_{s} m, m_{s} $ 和 m 分别表示太阳和行星的质量，参见第2章式(2.8)。

根据力矩的定义式(3-86)和质点的角动量定理式(3-87)，有心力作用于质点的力矩为零，质点的角动量守恒，即

$$ \boldsymbol{r}\times\boldsymbol{m}\boldsymbol{v}=\boldsymbol{L}_{0} $$

所以, $ r\cdot L_{0}=0,v\cdot L_{0}=0 $,质点始终在垂直于初始角动量 $ L_{0}=r_{0}\times mv_{0} $的平面内运动。

由角动量守恒还可以直接证明开普勒第二定律，参见例3-14。

因为

$$ \begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{L})=m\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{v}}{\mathrm{d}t}\times(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{v})\\ {\begin{array}{l} =-\frac{\boldsymbol{h}}{r^{2}}\cdot\frac{\boldsymbol{r}}{r}\times(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{v})}\\ {=-\frac{\boldsymbol{h}}{r^{3}}\left[\begin{array}{l}(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{v})\boldsymbol{r}-(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{r})\boldsymbol{v}\end{array}\right]}\\ \end{array}\\ {=h\left(\frac{1}{r}\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t}-\frac{\boldsymbol{r}\boldsymbol{v}_{r}}{r^{2}}\right)}\end{array} $$

再利用

$$ v_{r}=\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t} $$

可得

$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\Big(v\times\boldsymbol{L}-\frac{h\boldsymbol{r}}{r}\Big)=0 $$

即

$$ v\times L-\frac{h r}{r}=B $$

式中 B 又称为 Runge-Lenz 矢量，也是一个守恒量，依赖于质点初始运动状态的取值 $ B_{0} $。

因为 $ \boldsymbol{r} \cdot (\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{L}) = \boldsymbol{L} \cdot (\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{v}) = L_{0}^{2} / m $，所以

$$ \frac{L_{0}^{2}}{m}-hr=\boldsymbol{B}_{0}\cdot\boldsymbol{r} $$

注意到 $ L_{0}\cdot B_{0}=0 $，可知 $ B_{0} $也是位于质点运动平面内的一个常矢量。若以 $ \theta $标记质点位置矢量 $ \boldsymbol{r} $与 $ B_{0} $的夹角，则 $ \boldsymbol{r}\cdot B_{0}=B_{0}r\cos\theta $，质点在有心力作用下的轨迹方程为

$$ r=\frac{p}{1+\varepsilon\cos\ \theta} $$

其中 $ p=L_{0}^{2}/mh $, $ \varepsilon=B_{0}/h $, 它是圆锥曲线在平面极坐标系统 $ (r,\theta) $ 中的曲线方程。如果 e=0 ，质点做圆周运动；如果 e>1 ，质点的运动轨迹是一条双曲线；如果 e<1 ，质点的运动轨迹是一个椭圆。围绕太阳周期运动的行星的轨迹就是这样一些以太阳为焦点的椭圆。

开普勒第三定律的证明只涉及数学运算，留给读者作为练习。

$ ^{3.8} $ 对称性 守恒定律

虽然在牛顿力学中动量、能量和角动量三大守恒定律都可以从牛顿运动定律推导出来，但是现代物理学研究表明，即便在牛顿力学不再适用的微观世界和高速运动情况，这三大守恒定律依然成立。守恒定律具有更广泛的物理基础和更深刻的物理渊源，这就是时空对称性。

3.8.1 对称性与对称操作

对称性(symmetry)的概念来源于生活，最简单的对称性是物体大小形状的几何对称性。如图3-36所示，雪花常常具有六重旋转对称性。

物理学不仅关心物体或具体系统的对称性，而且更关心物理规律的对称性。这就必须推广几何对称性的概念，将系统的对称性与对系统的操作联系在一起。对一个系统或一条物理规律进行一次操作或变换，如果经此操作或变换后，该系统或物理规律保持不变，则称该系统对这一操作是对称的，或此物理规律具有该操作所要求的对称性，该操作也称为对称操作。这是有关对称性的普遍定义，对称性也被称为不变性。

一个系统的对称操作越多，则对称性越高。如图3-37(a)所示，一个圆具有很高的对称性，因为它绕中心轴旋转任意角度都能保持不变。如果在图上加上一个相互垂直的直径，如图3-37(b)所示，则对称旋转操作的转角必须是 $ 90^{\circ} $的整数倍，操作才是对称的。如图3-37(c)所示，如果在圆周某处添加一个黑点，这个系统的对称操作就更少了，转角必须是 $ 360^{\circ} $的整数倍，操作才是对称的。

下面介绍几种常见的对称性。

1. 空间反演与左右对称性

左右对称的物体或系统有一根中心线，见图3-38。如果将中心线设想为一个垂直图面的平面镜与图形的交线，则图的每一半都是另一半在平面内的镜像。因此，这种对称性又称镜像对称。从数学上来讲，任何一个偶函数 $ y=f(x) $的曲线图像都是关于y轴反演对称的，因为在经过 $ x\to-x $坐标变换后，都满足 $ f(x)=f(-x) $。所以，镜像对称性也称为空间反演对称。

2. 转动操作与轴对称性

如果物体或系统绕轴转动角度 $ \theta = 360^{\circ}/n $ 而不变，则该物体或系统具有 n 重旋转对称性或 n 重旋转对称轴。如图 3-36 所示的雪花，可以绕垂直于纸面的中心轴转动 $ 60^{\circ} $ 而图形不变，所以雪花具有 6 重旋转对称轴或 6 重旋转对称性。

如果物体或系统绕轴转动任意角度都保持不变，则简单地说该物体或系统具旋转对称性或轴对称性。

3. 空间平移对称性

将一个系统平行移动一段距离 a 而系统不变，该系统具有空间平移周期对称

性，且周期为 a。如理想晶体可沿某列离子方向移动一个晶格的距离而状态不变，因而具有空间平移周期对称性。

若系统对任何平行移动都保持不变，该系统是空间平移对称的。我们在运用牛顿运动定律解决力学问题的时候，必须首先确定参考系和坐标系，但对坐标原点的位置并无特殊的要求，这实际上体现了牛顿运动定律的空间平移对称性。

4. 时间平移对称性与时间反演

类似地，我们还可以讨论时间操作，即对物理过程或物理规律的时间平移变换和时间反演变化。

为了描述物体的运动过程，不仅需要建立坐标系，还要定义时间。在运用牛顿运动定律解决问题的时候，对时间零点的选择也没有特殊要求，这是牛顿运动定律时间平移对称性的体现。

将描写系统状态随时间 $ t $ 变化的方程中的时间参量 $ t $ 全部以 $ -t $ 取代，就是对运动规律作时间反演操作。若经过时间反演变换后，物理规律不变，它就具有时间反演不变性。描述弹簧周期振动的方程 $ \ddot{x} = -kx $ 具有时间反演对称性，但如果考虑阻尼的作用，方程 $ \ddot{x} = -kx - \gamma \dot{x} $ 却在时间反演操作下变换为 $ \ddot{x} = -kx + \gamma \dot{x} $，不再具备时间反演对称性。

3.8.2 对称性与守恒定律

现代物理研究特别关注物理定律的对称性，它是研究微观世界特别是高能物理的重要手段。数学上可以严格证明：每种对称性都对应着一个守恒定律，对应着一个守恒量与之对应。这就是著名的诺特(Emmy Noether，1882—1935)定理。

1. 空间平移对称性与动量守恒

给你看一个物理实验的录像，你不会特别关注这个实验究竟是在东京还是纽约完成的，因为描述相应物理过程的规律相同，具有空间平移对称性。

举例来说，考虑局限于 x 轴上运动的质点 1 和与质点 2 的运动过程，系统的相互作用势能为 $ U = U(x_{1}, x_{2}) $。若系统具有空间平移对称性，势能只能是两粒子间距 $ x = x_{2} - x_{1} $ 的函数，即

$$ U=U(x)=U(x_{2}-x_{1}), $$

根据3-5-4节的式(3-71)，两个质点的受力应分别为

$$ F_{12}=-\frac{\partial U}{\partial x_{1}}=-\frac{\partial U}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial x_{1}}=\frac{\partial U}{\partial x}, $$

和

$$ F_{21}=-\frac{\partial U}{\partial x_{2}}=-\frac{\partial U}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial x_{2}}=-\frac{\partial U}{\partial x}, $$

即两粒子的相互作用力和反作用力满足 $ F_{12}=-F_{21} $，系统的动量守恒。

2. 时间平移对称性与能量守恒

当我们看一个物理实验的录像时，并不会特别关注这个实验究竟是在星期一

上午还是星期四中午完成的，因为描述相应物理过程的规律相同，具有时间平移对称性。

可以用一个反例来说明时间平移不变性与能量守恒定律的关系。如果地面物体受到的重力自发地随时间变化，星期一比较弱而星期五比较强。我们就可以在重力较弱时将水抽运到蓄水池里，而等到重力变强时再将蓄水池中的水放出来发电，对外做较多的功。两相比较就会获得能量的盈余，自然界的能量不再守恒。当然时间平移对称性不允许发生这种情况，而能量守恒定律普遍成立。

3. 空间旋转对称性与角动量守恒

仍然考虑两个质点组成的系统，其位置矢量分别记为 $ r_1 $ 和 $ r_2 $。若描述系统的物理规律具有空间旋转对称性，即系统的相互作用势能 $ U(r_1, r_2) $ 不依赖于质点的相对位矢 $ r = r_2 - r_1 $ 的方向而只依赖于它们的距离 $ r = |r_2 - r_1| $，即 $ U = U(r) $。于是质点2对质点1的作用力的三个分量为

$$ F_{1x}=-\frac{\partial U}{\partial x_{1}}=\frac{x_{1}-x_{2}}{r}\cdot\frac{\partial U}{\partial r},\quad F_{1y}=\frac{y_{1}-y_{2}}{r}\cdot\frac{\partial U}{\partial r},\quad F_{1z}=\frac{z_{1}-z_{2}}{r}\cdot\frac{\partial U}{\partial r} $$

或简记为

$$ \boldsymbol{F}_{1}=-\frac{\partial U}{\partial r}\frac{\boldsymbol{r}}{r} $$

类似地，可求出质点1作用于质点2的力

$$ \boldsymbol{F}_{2}=\frac{\partial\boldsymbol{U}}{\partial r}\cdot\frac{\boldsymbol{r}}{r} $$

所以 $ F_{1} + F_{2} = 0 $ 。系统受到的合力矩为

$$ \boldsymbol{M}=\boldsymbol{M}_{1}+\boldsymbol{M}_{2}=\boldsymbol{r}_{1}\times\boldsymbol{F}_{1}+\boldsymbol{r}_{2}\times\boldsymbol{F}_{2}=\frac{1}{r}\frac{\partial U}{\partial r}\cdot(\boldsymbol{r}_{2}-\boldsymbol{r}_{1})\times\boldsymbol{r}=0 $$

系统的角动量守恒。

对称性与守恒定律的关系是一个十分重要而复杂的问题，在此我们只作了简单的介绍。群论是研究对称性和对称性的数学工具，在学习固体物理、量子力学等后续课程中读者将不断加深对该问题的了解。

习题

3-1 装满沙子的质量为 $ m_{0} $ 的平板车以速率 v 在水平方向滑行。质量为 m 的物体从高度 h 直落到车子里，两者合在一起后运动的速率为（）。

A. $ \frac{m_{0}v+m\sqrt{2gh}}{m+m_{0}} $ B. $ \frac{m_{0}v}{m+m_{0}} $ C. $ \frac{m\sqrt{2gh}}{m+m_{0}} $ D. v

3-2 空中有一质量为 $ m_{0} $ 的气球，下连质量不计的绳梯。梯上站有一质量为

m的人。开始气球与人均相对地面静止。当人相对绳梯以速度v向上爬时，气球的速度为（）。

A. $ \frac{-mv}{m+m_{0}} $ B. $ \frac{-m_{0}v}{m+m_{0}} $ C. $ \frac{-mv}{m_{0}} $ D. $ \frac{-(m+m_{0})v}{m} $ E. $ \frac{-(m+m_{0})v}{m_{0}} $

3-3 一弹簧原长为 $ 0.4 \, m $，劲度系数为 k，上端吊在天花板上，下端悬挂一盘时，长度为 $ l_{1}=0.6 \, m $，然后在盘中放一物体，伸长到 $ l_{2}=0.9 \, m $ 后，再回到长度为 $ l_{3}=0.8 \, m $，从在盘中放物体开始至长度 $ l_{3} $ 的过程中，弹力所做的功为（）。

A. $ A = \int_{0.6}^{0.8} k x \, dx $ B. $ A = -\int_{0.2}^{0.4} k x \, dx $ C. $ A = \int_{0.2}^{0.4} k x \, dx $ D. $ A = -\int_{0.2}^{0.3} k x \, dx $ E. $ A = -\int_{0.6}^{0.8} k x \, dx $ F. $ A = -\int_{0.4}^{0.9} k x \, dx $

3-4 质量为 m 的质点在外力的作用下，其运动方程为 $ r = C \cos \omega t + B \sin \omega t j $，式中 C, B, $ \omega $ 都是正的常量，则力在 $ t_{1}=0 $ 到 $ t_{2}=\frac{\pi}{2 \omega} $ 这段时间内外力所做的功为（）。

A. $ A=\frac{1}{2}m\omega^{2}(C^{2}+B^{2}) $ B. $ A=m\omega^{2}(C^{2}+B^{2}) $

C. $ A=\frac{1}{2}m\omega^{2}(C^{2}-B^{2}) $ D. $ A=\frac{1}{2}m\omega^{2}(B^{2}-C^{2}) $

3-5 如题3-5图所示，圆锥摆摆球质量为m，以匀速率v在水平面内做圆周运动，圆周半径为R，则此球环绕一周过程中张力的冲量大小为( )。

A. $ \frac{mg}{\tan\theta}\frac{2\pi R}{v} $

B. $ \frac{mg}{\sin\theta}\frac{2\pi R}{v} $

C. $ \frac{mg}{\cos\theta}\frac{2\pi R}{v} $

D. $ mg\frac{2\pi R}{v} $

3-6 人在磅秤上静止称重时的重量为 mg，当人在磅秤上突然下蹲到屈膝停止于磅秤上，磅秤的指针如何变化()。

A. 磅秤的读数先大于 mg，然后等于 mg

B. 磅秤的读数先小于 mg，然后等于 mg

C. 磅秤的读数先大于 mg，然后小于 mg

D. 磅秤的读数先小于 mg，然后大于 mg

3-7 如题3-7图，外力F通过刚性轻绳和一轻弹簧 $ (k=200\ N\cdot m^{-1}) $缓慢地拉地面上的物体，已知物体的质

量为 $ m_{0}=2~kg $，滑轮的质量和摩擦不计，刚开始时弹簧为原长。在绳子被拉下0.2 m 的过程中，外力 F 做的功为 $ (g $ 取 $ 10~m\cdot s^{-2}) $

A. 1 J B. 2 J C. 3 J D. 4 J

3-8 有一质量 m=0.5 kg 的质点，在 xy 平面内运动，其运动方程为 $ x=2t+2t^{2} $， $ y=3t $ (SI 单位)，在时间 t=1 s 至 t=3 s 这段时间内，外力对质点所做的功为（）。

A. 12 J B. 30 J C. 40 J D. 58 J

3-9 以速率 $ v_{0} $，仰角 $ \theta=30^{\circ} $ 抛出一质量为 m 的物体，落地时（落地点与抛出点位于同一水平面）速率仍为 $ v_{0} $，与水平面的夹角为 $ 30^{\circ} $，如题 3-9 图所示。不计摩擦，则物体在飞行过程中受到的重力冲量大小为 ___，物体的飞行时间为 ___。

3-10 如题3-10图所示，质量为m的小球，自距离斜面高度为h处自由下落到倾角为 $ 30^{\circ} $的光滑固定斜面上，设碰撞是完全弹性的，则小球对斜面的冲量的大小为___，方向为___。

3-11 如题3-11图所示，一人造地球卫星绕地球作椭圆运动，近地点为A，远地点为B。A，B两点距地心分别为 $ r_{1}, r_{2} $。设卫星质量为m，地球质量为 $ m_{地} $，引力常量为G。则卫星在A，B两点的万有引力势能之差 $ E_{pB} - E_{pA} = $ ___，卫星在A，B两点的动能之差 $ E_{kB} - E_{kA} = $ ___。

3-12 如题3-12图所示，质量为100 g的小球拴在劲度系数 $ k=1 \, N \cdot m^{-1} $ 的轻弹簧的一端，另一端固定，弹簧的原长 $ l_{0}=0.8 \, m $，起初弹簧在水平位置并处于原长状态，然后释放小球让它落下，当弹簧过竖直位置时被拉长至 $ l=1 \, m $，此时，小球的速度 v=___。

3-13 如题3-13图所示，一劲度系数为k的弹簧，一端固定在墙壁上，另一端连一质量为m的物体。在恒力F作用下，物体自平衡位置由静止向右移动，设物体与桌面的摩擦因数为 $ \mu $，则物体到达最远位置时系统的弹性势能 $ E_{p}= $___。

3-14 如题3-14图所示，桌面固定不动， $ m_{0} $ 与桌面间的摩擦因数为 $ \mu $，弹簧的劲度系数为k，m与 $ m_{0} $ 用一跨过滑轮的细绳相连。开始弹簧处于原长， $ m,m_{0} $ 静止，把m轻轻释放，使m与 $ m_{0} $一起运动。在m下降一段距离d的过程中，按功能原理分别写出下列不同物体系统的功能关系式（忽略细绳和滑轮的质量及它们间的摩擦）：（1）以 $ m,m_{0} $ 和细绳为系统，功能关系式为

（2）以 m、 $ m_{0} $、细绳和弹簧 k 为系统，功能关系式为 ___；

（3）以 m、 $ m_{0} $、细绳、弹簧 k 和地球为系统，功能关系式为 ___。

3-15 如题3-15图所示，用棒打击质量0.3 kg、速率20 m·s $ ^{-1} $的水平飞来的球，球飞到竖直上方10 m的高度。求棒给予球的冲量多大？设球与棒的接触时间为0.02 s，求球受到的平均冲力。

3-16 如题3-16图所示，水平光滑铁轨上有一小车，长度为l，质量为 $ m_{0} $。车的一端站有一人，质量为m，人和小车原来都静止不动。现设该人从车的一端走向另一端，问人和小车各移动了多少距离？

3-17 质量为 $ 1.5 \times 10^{-2} $ kg 的子弹，以 $ v_0 = 200 $ m·s $ ^{-1} $ 的速率射入一固定木块。若木块的阻力与子弹的射入深度成正比，即 $ F = -\beta x $（式中 $ x $ 为子弹进入木块的深度， $ \beta = 5.0 \times 10^3 $ N·m $ ^{-1} $）。求子弹射入木块的最大深度 $ d $。

3-18 一质量为 10 kg 的物体沿 x 轴无摩擦地运动, t=0 时, 物体位于原点, 速

度为 $ v_{0}=0 $ ，问

（1）设物体在力 $ F=3+4t $ (N) 的作用下移动了 3 s，它的速度和加速度为多大？

（2）设物体在力 $ F=3+4x $ (N) 的作用下移动了 3 m，它的速度和加速度为多大？

3-19 如题3-19图所示，质量为 $ m_{0} $的滑块沿光滑水平地面向右滑动，质量为m的小球水平向右飞行，以速度 $ v_{1} $（对地）与滑块斜面相碰，碰后竖直向上弹起，速度为 $ v_{2} $（对地），若碰撞时间为 $ \Delta t $，试计算过程中滑块对地的平均作用力和滑块速度增量的大小。

3-20 地球、金星、火星绕太阳的运动都可以近似地看作匀速圆周运动，已知地球到太阳中心的平均距离为 $ 1.496 \times 10^{11} $ m，称为一个天文单位 (1 AU)，金星、火星到太阳中心的距离分别为 0.723 AU 和 1.524 AU，地球、金星、火星绕太阳的公转速度分别为 $ 29.79 \times 10^3 $ m·s $ ^{-1} $、 $ 35.03 \times 10^3 $ m·s $ ^{-1} $、 $ 24.13 \times 10^3 $ m·s $ ^{-1} $，地球的质量为 $ 5.98 \times 10^{24} $ kg，金星、火星的质量分别为地球质量的 0.815 和 0.107。分别求它们对太阳中心的角动量大小。

3-21 根据玻尔假设，氢原子内电子绕核运动的角动量只可能是 $ \frac{h}{2\pi} $的整数倍，其中h是普朗克常量，它的大小为 $ 6.63\times10^{-34} $ kg·m $ ^{2} $·s $ ^{-1} $。已知电子圆形轨道的最小半径为 $ r=0.529\times10^{-10} $ m，求在此轨道上电子运动的频率 $ \nu $。

3-22 如题3-22图所示，质量均为m的两个小钢球固定在一个长为a的轻质硬杆的两端，杆可在水平面内的绕通过中点的轴自由转动，杆原来静止。另有一泥球质量为m，以水平速度 $ v_{0} $沿垂直于杆的方向与一个小钢球发生碰撞，碰后二者粘在一起。求碰撞后杆转动的角速度。

3-23 如题 3-23 图所示，测子弹速度的一种方法是把子弹水平射入一个固定在弹簧上的木块内，由弹簧压缩的距离就可以求出子弹的速度。已知子弹质量是 $ m=0.02\ kg $，木块质量是 $ m_{0}=8.98\ kg $，弹簧的劲度系数是 $ k=100\ N\cdot m^{-1} $，子弹射入木块后，弹簧被压缩 $ s=10\ cm $，求子弹的速度。设木块与平面的动摩擦因数为 $ \mu_{k}=0.2 $。