第5章 流体力学

4-16 一轻绳绕过一半径为 R，质量为 $ m_{0}/4 $ 的滑轮。质量为 $ m_{0} $ 的人抓住了绳的一端，而在绳的另一端系了一个质量为 $ m_{0}/2 $ 的重物，如题 4-16 图所示。求当人相对于绳匀速上爬时，重物上升的加速度是多少？

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前一章我们将刚体处理为质量连续分布的质点组，其主要特征是其中任何两个质元的相对距离保持不变。液体和气体是另一类连续体，它们的主要特征是各质元之间很容易发生相对运动，表现为液体和气体的流动性。流体力学主要研究液体和气体的力学规律。

研究流体的运动，首先关心的是流体中的压强分布和速度分布，所以我们从压强开始相关讨论。

5.1 流体中的压强

5.1.1 静止流体内任一点的压强

我们知道，容器的器壁总要受到盛在其中的流体所施加的作用力。同样流体各部分之间也存在相互作用力。过静止流体内任一点 O，取一个小面元 $ \Delta S $，如图 5-1 所示，若设想将 $ \Delta S $ 一侧的流体移去，则另一侧的流体不能保持平衡，必将流来填补，说明在静止的情况下，在 $ \Delta S $ 的这一侧的流体必有力 $ \Delta F $ 作用于另一侧的流

体，把它顶住。并且在静力平衡情况下，力 $ \Delta F $ 不可能具有和 $ \Delta S $ 平行的分力，否则将引起 $ \Delta S $ 两侧的流体相对滑移。换句话说，力 $ \Delta F $ 一定和 $ \Delta S $ 正交。即，在静止流体中，各部分之间的相互作用力表现为正压力。 $ \Delta F $ 作用在面积 $ \Delta S $ 上，平均每单位面积所受的压力的大小 $ \frac{\Delta F}{\Delta S} $ 称为平均压强；令 $ \Delta S $ 趋近于零的极限值，称为 O 点的压强，用 p 表示，即

$$ p=\lim_{\Delta S\to0}\frac{\Delta F}{\Delta S}=\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}S} $$

可以证明，这样定义的压强，和所取面元 $ \Delta S $的方位无关（见习题）。

应该指出，压强是一个只有大小、没有方向的量；如果面元取定，作用在该面元上的压力 $ p \cdot \Delta S $ 是有方向的量，它和面元正交，而且指向该面元。还可以证明，当流体流动时，如果作用在流体中任一面元上的力，只有垂直压力，没有切力（下面要讲的理想流体就满足这一条件），那么压强仍然保有与面元方位无关的性质。

在国际单位制中，压强的单位是 Pa（帕斯卡，简称帕）。

$$ 1\mathrm{~P a}=1\mathrm{~N}\cdot\mathrm{m}^{-2} $$

5.1.2 静止流体中的压强分布

1. 等高的地方压强相等

如图5-2(a)所示，在静止流体中有A，B两点等高，设这两点的压强各为 $ p_{A} $， $ p_{B} $，作以连线AB为轴、截面积为 $ \Delta S $的小柱体（截面积 $ \Delta S $极小）。该柱形流体水平方向的平衡条件为

即

$$ \begin{aligned}p_{A}\Delta S&=p_{B}\Delta S\\p_{A}&=p_{B}\end{aligned} $$

表示静止流体中同一水平面上各点的压强相等。

2. 高度相差 h 的两点间的压强差为 $ \rho gh $

在静止流体中同一竖直线上任取两点 B, C，如图5-2(b)所示，两点的高度差

为 h，设这两点的压强各为 $ p_{B}, p_{C} $ 。作以连线 BC 为轴、底面积为 $ \Delta S $ 的小柱形流体，设流体的密度为 $ \rho $，这个流体柱在竖直方向上受三个力作用而得平衡，得

$$ \begin{aligned}p_{C}\Delta S-p_{B}\Delta S&=\rho g h\Delta S\\p_{C}-p_{B}&=\rho g h\end{aligned} $$

或

此式对静止流体中不在同一竖直线上的两点（例 图5-2 静止流体内两点间的压强差如A,C）也成立。应用这两个关系，可以由已知静

止流体内任一点的压强（如已知液体表面的压强为大气压），求另一点的压强。在生产实际中，可用以计算水利工程中闸门、堤坝等所受的压力。流体流动时，式(5-2)和式(5-3)一般不再有效。

【例 5-1】1643 年意大利的托里拆利（Torricelli，1608—1647）用他发明的水银气压计测量了大气压。先将一端封闭的长玻璃管充满水银，然后倒放于盛水银的槽中，管内水银面下降到一定程度即停止，留下的空间除水银蒸气外没有其他气体。在常温下水银蒸气压可忽略，量得水银柱高 76 cm，求大气压。

解 如图 5-3 所示，在管内与槽内水银面等高的点 2 处压强为

$$ p_{2}= 大气压 p_{0} $$

而

$$ p_{2}-p_{1}=\rho gh $$

因管内水银蒸气的压强约等于 0, 水银的质量密度 $ \rho = 1.36 \times 10^{4} \, \text{kg} \cdot \text{m}^{-3} $, 故大气压

$$ \begin{aligned}p_{0}&=\rho gh\\&=1.36 \times 10^{4} \times 9.81 \times 0.76\ Pa\\&=1.014 \times 10^{5}\ Pa\end{aligned} $$

大气的压强随高度和天气而变，在科技中一标准大气压(1 atm)定义为101 325 Pa，这相当于水银柱的高度取760 mm、水银密度取0 ℃时的值 $ \rho=13\ 595.1\ kg\cdot m^{-3} $，重力加速度取 $ g=9.806\ 65\ m\cdot s^{-2} $。每毫米水银柱高的压强称为托(Torr)：

$$ 1Torr=\frac{101325}{760}Pa=133.32Pa $$

5.2 关于理想流体的几个基本概念

视频：揖翼

5.2.1 理想流体

在研究流体的流动之前，我们先从实际流体抽象出理想流体的模型。

实验表明，液体不容易被压缩，例如每增加一个大气压，水的体积只减小约二万分之一，这个数值十分微小，所以液体可足够准确地被看成是不可压缩的。气体虽然比较容易被压缩，但由于很容易流动，在若干问题中（例如气体在管中的流动），各处密度差异不大，仍然可以看成是不可压缩的。

流体流动时，各层间常有相对滑动发生，如水在河床上流动，表面层最快，中间各层，速度递减，底层几乎不动；在两邻层间一般有摩擦力作用，称为内摩擦力，这种力阻碍流体各部分间的相对滑动。流体的这种性质，称为黏性。若干液体，如水、酒精等，内摩擦力很小，气体的内摩擦力更小，初步研究时都可以忽略。

为了突出流体的主要性质——流动性，在上述条件下忽略它的次要性质——可压缩性和黏性，我们引入一个理想模型，称为理想流体，它是不可压缩的、没有黏性的流体。最重要的流体是水和空气，初步研究时，都可以把它们看作理想流体。对理想流体的流动，如前节所述，压强与面元 $ \Delta S $的方位无关。

5.2.2 定常流动

流体的流动，可看为组成流体的所有质点的运动的总和，任一时刻流过空间任一点（对一定参考系如地球而言）的流体质点，都有一个确定的速度矢量；在一般情况下，这个速度矢量是随着时间改变的。但也有一种最基本的流动，在这种流动中，空间的每一点都有不随时间而改变的速度矢量，换句话说，流过空间某定点的每一流体质点都具有同样的速度，这种流动，称为定常流动。在流速较低的情况下，定常流动的条件容易得到满足。水龙头流出的细流，水缓慢地流过堤坝，以及由大水池中放水时水面下降极慢的情况，都近似为定常流动。

5.2.3 流线和流管

为了一目了然地描述流体流动的情况，我们在流体流动的区域中绘制许多具有如下性质的曲线：某一时刻经过曲线上各点的流体质点，它们的速度矢量都和曲线相切，这些曲线称为流线（streamline）。对于定常流动，空间中各点的流速可以不同，但每一点的流速都不随时间而改变，因此，流线的形状和分布不随时间而改变。若将有色细流放入做定常流动的液体内，或在流体中撒布微尘（如铝粉），用强光照射后照相，可以形象地观察到流线。

在做定常流动的流体中取一个面元，过它的边界上的各点作流线，这些流线围成一根管子，称为流管(stream tube)。由于流线的性质，速度矢量切于流线，所以管

内流体不会流出管外，管外流体也流不进去。流管的形状一般是随时间改变的，只有定常流动的流管，才具有不随时间改变的形状。因为流动的流体可被划分为若干流管，我们只须典型地研究任一流管中的流动，就可以概括全局，这是研究流体力学的一个较好的方法。

由流管的上述性质和流体质量不会改变的性质,可以导出一个重要的原理—— $ \underline{\text{理想}} $流体的连续性原理。

5.3 理想流体的连续性原理

在做定常流动的流体中，取一根截面很小的流管，如图5-4所示，再任意取两个与流管垂直的横截面A，B，设截面积各为 $ S_{1}, S_{2} $；因截面很小，流体质点流经任一截面上各点的速度可看为相等，而且不随时间改变，设A，B两截面处的流速各为 $ v_{1}, v_{2} $。在很短的 $ \Delta t $时间内，通过截面A流进A，B之间的流体，应在以 $ S_{1} $为底、 $ v_{1}\Delta t $为高的柱体中，体积为 $ S_{1}v_{1}\Delta t $；同理，在同时间内通过截面B由A，B之间流出的流体体积为 $ S_{2}v_{2}\Delta t $。由于A，B间的流管内充满流体，质量恒定，因而同时间内流入、流出的流体质量应相等；对于不可压缩的流体，同时间内流入、流出的流体体积应相等。即

$$ S_{1}v_{1}\Delta t=S_{2}v_{2}\Delta t $$

两边除以 $ \Delta t $，得

$$ S_{1}v_{1}=S_{2}v_{2} $$

上式称为理想流体的连续性原理，它表明不可压缩的流体作稳定流动时，流管的任一横截面积与其处流速的乘积为一常量。它体现了流体在流动中的质量守恒。Sv 表示单位时间流过任一截面的体积流量，称为流量，式（5-4）表示“沿一流管，流量守恒”。当不可压缩的流体沿一根真实管子做稳定流动时，管子本身就是一根流管；由这个原理可知：管的截面积大处流速小，截面积小处流速大。

在上述诸概念及连续性原理的基础上，就可以导出流体动力学中最基本的规律。

5.4 伯努利方程式

伯努利方程是1738年首先由丹尼尔·伯努利(Daniel Bernoulli,1700—1782)提出的，这不是一个新的基本原理，而是把机械能守恒定律表述成适合于流体力学应用的形式。

如图5-5所示，在做定常流动的理想流体中取任一根流管，用截面 $ S_{1} $和 $ S_{2} $截出一段流体。在 $ S_{1} $和 $ S_{2} $处的流速分别为 $ v_{1}, v_{2} $，压强各为 $ p_{1}, p_{2} $，对于同一水平面，高度各为 $ h_{1}, h_{2} $。在时间间隔 $ \Delta t $内，左端的 $ S_{1} $从位置A移到 $ A' $，右端的 $ S_{2} $从位置B移到 $ B' $。令 $ AA' = \Delta l_{1} $， $ BB' = \Delta l_{2} $。下面我们推导伯努利方程。

5.4.1 压力所做的功

设 t 时刻在 AB 间的流体，在 $ t+\Delta t $ 时刻移到

A'B'之间。在这个运动过程中，这部分流体与地球所构成的系统，受到的外力有：两端面上的压力，平行于流线的侧面上受到的侧压力，以及四周流体对流管内流体的摩擦力。对于理想流体，黏性力可被忽略，摩擦力可不考虑，侧压力不做功，从而外力做功只有两端面上压力所做的功。

通过截面 A 作用在这部分流体上的外压力为 $ F_{1}=p_{1}S_{1} $，在 $ \Delta t $ 时间内，它的作用点在力的方向上移动了 $ \Delta l_{1}=v_{1}\Delta t $，对管内流体做功 $ F_{1}\Delta l_{1}=p_{1}S_{1}v_{1}\Delta t $；同理，通过截面 B 作用在这部分流体上的外压力为 $ F_{2}=p_{2}S_{2} $，在 $ \Delta t $ 时间内，它的作用点在力的方向上移动了 $ \Delta l_{2}=v_{2}\Delta t $，对管内流体做功 $ -F_{2}\Delta l_{2}=-p_{2}S_{2}v_{2}\Delta t $。所以在运动过程中外力所做的总功为

$$ \boldsymbol{W}_{ 外 }=\left(p_{1}S_{1}\boldsymbol{v}_{1}-p_{2}S_{2}\boldsymbol{v}_{2}\right)\Delta t $$

设 $ \Delta m $ 表示 $ \Delta t $ 时间内流过任一截面的流体的质量, $ \Delta m $ 也就是 $ AA' $、 $ BB' $ 间流体的质量。设 $ \rho $ 为流体的密度, 则根据连续性原理有

$$ \Delta m=\rho S_{1}v_{1}\Delta t=\rho S_{2}v_{2}\Delta t $$

则单位时间流过任一截面的流体体积为

$$ S_{1}v_{1}=S_{2}v_{2}=\frac{\Delta m}{\rho\Delta t} $$

将上式代入式(5-5)，得

$$ W_{ 外 }=(p_{1}-p_{2})\frac{\Delta m}{\rho} $$

5.4.2 机械能的增量

AA'间流体的机械能为 $ E_{1}=\frac{1}{2}\Delta m v_{1}^{2}+\Delta m g h_{1} $，BB'间流体的机械能为 $ E_{2}=\frac{1}{2}\Delta m v_{2}^{2}+\Delta m g h_{2} $，在A'B之间的流体虽然更换了，但由于流动是定常的，其运动状态没变，从而动能和势能都没有改变。所以考察能量的变化只需计算AA'之间流体的机械能与BB'之间流体的机械能之差，即所研究的流体在 $ \Delta t $时间内机械能的增量为

$$ \Delta E=E_{2}-E_{1}=\left(\frac{1}{2}\Delta m v_{2}^{2}+\Delta m g h_{2}\right)-\left(\frac{1}{2}\Delta m v_{1}^{2}+\Delta m g h_{1}\right) $$

5.4.3 伯努利方程式

由质点组的功能原理可知，这部分流体的机械能的增量，应等于它所受的外力及非保守内力所做的功；在本问题中这个功就是外压力所做的功。应有

$$ \boldsymbol{W}_{ 外 }=\Delta\boldsymbol{E} $$

将（5-8）、（5-9）两式一并代入上式，得

$$ (p_{1}-p_{2})\frac{\Delta m}{\rho}=\left(\frac{1}{2}\Delta m v_{2}^{2}+\Delta mgh_{2}\right)-\left(\frac{1}{2}\Delta m v_{1}^{2}+\Delta mgh_{1}\right) $$

上式中消去 $ \Delta m $并进行整理，可得

$$ p_{1}+\frac{1}{2}\rho v_{1}^{2}+\rho gh_{1}=p_{2}+\frac{1}{2}\rho v_{2}^{2}+\rho gh_{2} $$

由于 AB 是同一流管内的任意两点，上式也可表示沿任一流线上某点的流速、高度和压强的关系。

$$ p+\frac{1}{2}\rho v^{2}+\rho gh= 常量 $$

在工程上，习惯将伯努利方程写为

$$ \frac{1}{2g}v^{2}+h+\frac{p}{\rho g}= 常量 $$

式(5-12)或式(5-13)都称为伯努利方程，式(5-13)中左侧的每一项都具有长度的量纲，因此有时将三项依次称为速度头、水头、压力头，三项的和称为总头，于是式(5-13)说明“沿一流线，总头守恒”。

应用伯努利方程式时，必须同时满足三个条件：理想流体，定常流动，同一流线。在许多问题中，伯努利方程式常和连续性原理联合使用。

5.5 伯努利方程式的应用

5.5.1 水平管

如果流管是水平的,或在气体中高度差效应不显著的情况下,则式(5-12)变为

$$ p+\frac{1}{2}\rho v^{2}= 常量 $$

此式说明“速度大处压强小，速度小处压强大。这个结论和连续原理“截面小处速度大，截面大处速度小”联合使用，可定性说明许多问题。例如喷雾器，它的构造、作用示意图5-6所示。由于水平管中的活塞向右运动，管中产生气流，在截面大

的 A 处，速度小，压强近似等于大气压，在截面缩小的 B 处，速度增大，压强 p 应较大气压为小，结果储液器 C 中液面上的大气压，将液体压上，在 B 处混入气流，被吹散成雾，由喷嘴喷出。内燃机的挥发器、农药喷雾器等都利用了这个原理。

5.5.2 小孔流速

【例5-2】设在大容器的水面下h处的器壁上有一小孔，水由此处流出，如图5-7所示。求水流出的速度。

解 水可看作理想流体；因容器截面积 $ S_{1} $ 比小孔面积 $ S_{2} $ 大得多，水面下降极慢，在短时间内高差 h 几乎不发生改变，水的流动，可看成是稳定的；因而可以用伯努利方程式求解。取流线 AB。A 点在水面上，那里的压强可看作大气压 $ p_{0} $，速度可看为零，若取过 B 点的水平面作为参照面，A 点的高度为 h；B 点的压强近似为 $ p_{0} $，这里的高度为零，其速度就是要求的流速 $ v_{2} $。将这六个量代入式（5-13），得

$$ \frac{1}{2g}v_{2}^{2}=h\quad 或 \quad v_{2}=\sqrt{2gh} $$

这个结果，是在理想流体的假定下求出的，实际上，由于内摩擦的作用，流出的速度较 $ \sqrt{2gh} $要小1%~2%。小孔的流量为流速乘以小孔的面积，即 $ Q_{v}=v_{2}S $。实际上，水柱自小孔流出时截面有收缩，要用有效截面 $ S' $代替S求流速。实验结果表明有效截面积 $ S' \approx 0.61S $，故自小孔流出流量约为 $ Q_{v}=0.62v_{2}S $。这一结果可近似地用于实际问题，如水库放水。

5.5.3 流速计（皮托管）

这种仪器用来测定流体的流速或物体对流体的运动速度。流速计的结构和作

用示意如图5-8所示，由两个连在一起的同轴细管组成：内管更细，在A处开口；外管侧开有小孔B，两管分别与U形管的两臂相通。在U形管内盛有液体（如水银）。

使用时，将皮托管放在气流中，管轴与流速方向

一致，A 端迎着气流。气体由 B 进入外管。在点 A 气流的速率为零，小孔 B 外 C 处的流速 $ v_{B} $ 可认为是待测的流速。设压强计中液体的密度为 $ \rho' $，则有

$$ p_{A}=p_{B}+h\rho^{\prime}g $$

下面用伯努利方程式求解。流速计和流线的截面如图5-8所示，O、O'是远离流速计的相邻两点（为了便于作图，把它们画得靠近流速计了），O点和A点在同一根流线上，O'点和B外的邻近点C也在同一根流线上。所有点的高度都近似等于零。设气体的密度为 $ \rho $，比较流线OA上的O，A两点，因A点流速为零，由伯努利方程式得

$$ p_{A}=p_{o}+\frac{\rho v_{o}^{2}}{2} $$

比较流线 $ O^{\prime}C $ 上的 $ O^{\prime}, C $ 两点 (C 处的流速为 $ v_{B} $，压强为 $ p_{B} $)，由伯努利方程式得

$$ p_{B}+\frac{1}{2}\rho v_{B}^{2}=p_{O^{\prime}}+\frac{1}{2}\rho v_{O^{\prime}}^{2} $$

由于 O, O' 是既同高又相邻的两点, 根据运动的连续性, 可以认为 O, O' 有相同的流速和压强; 在这基础上合并以上二式, 得

$$ p_{A}=p_{B}+\frac{\rho v_{B}^{2}}{2} $$

比较式(5-16)和式(5-17)，得

$$ \frac{\rho v_{_{B}}^{^{2}}}{2}{=}\rho^{\prime}gh=\Delta p $$

所以

$$ v\approx v_{B}=\sqrt{\frac{2\rho^{\prime}gh}{\rho}}=\sqrt{\frac{2\Delta p}{\rho}} $$

这样，由压强计的两液面的高度差 h（或者 AB 两点的压强差 $ \Delta p $），可以算得流速。如果在皮托管上将 h 按 $ v_{B} $ 定标，则可直接读得 $ v_{B} $。

由于运动的相对性，流速计也可用以测量航速，所以又叫航计。

将两张纸平行放置，用口向它们中间吹气，两张纸就会贴在一起；将一个乒乓球放在倒置的漏斗中间，用口向漏斗嘴里吹气，乒乓球可以贴在漏斗上不坠落。这些都是气流通过狭窄通道时速度加快、压强减小的结果。由于同样的道理，两艘同向行驶的船靠近时，就有相撞的危险。由于两船之间的水流快、压强低，水面也比远处和外缘低，外缘水的巨大压力可以把两船挤压到一起。历史上这样的事故不止一次地发生。例如，20世纪初一支法国舰队在地中海演习，勃林奴斯号装甲旗舰召来一艘驱逐舰接受命令。驱逐舰高速开来，到了旗舰附近突然向它的船头急转

弯，结果撞到它的船头上，被劈成两半。1942年玛丽皇后号运兵船从美国开往英国，与之并行的一艘护航巡洋舰突然向左急转弯，撞在运兵船的船头上，被劈成两半。

习题

5-1 证明：静止流体内任一点的压强和所取面元 $ \Delta S $ 的方位无关。

5-2 三峡大坝上下游水位差 $ H=113 \, m $，设拦水部分长度为 $ L=1200 \, m $，坡度角 $ 85^{\circ} $，求水对坝身的总压力。