第20章 麦克斯韦方程组与电磁波

B, 如题 19-14 图所示。当金属框绕 ab 边以角速度 $ \omega $ 转动时，分别求出 ab 边、bc 边、ca 边的动生电动势，以及整个三角形回路的总电动势（设回路沿 abca 方向的电动势为正）。

19-15 在磁感应强度为 B 的匀强磁场中，有两根足够长的平行金属导轨，两导轨所在平面与磁场垂直。导轨上有两根质量均为 m、长度均为 l 的金属棒 ab，cd，可沿导轨平行滑动，两棒的电阻均为 R，如题 19-15 图所示。设开始时，ab 棒静止，cd 棒以初速度 $ v_{0} $ 向右运动，试求：（1）两棒向右运动的速度随时间 t 的变化关系；（2）两棒间距增量的上限。

19-16 如题 19-16 图所示，两个具有相同轴线的导线回路，小线圈在大线圈上方 x 处，已知大、小线圈半径分别为 R 和 r，且 $ x \gg R $，故当大线圈中有电流 I 按图示方向流动时，小线圈所围面积 $ (\pi r^{2}) $ 内的磁场可近似视为均匀的。设大、小线圈在同轴情况下其间距 x 以匀速 $ v = \frac{dx}{dt} $ 变化。试求：(1) 穿过小线圈的磁通 $ \Phi_{m} $ 和 x 之间的关系；(2) 当 x = NR 时 (N 为一正数)，小线圈内产生的感应电动势；(3) 若 $ v > 0 $，小线圈内感应电流的方向。

19-17 若习题 19-1 中线圈不动，而长导线中通有交变

电流 $ i = 5\sin 100\pi t $ (SI 单位)，线圈内的感应电动势为多大？

19-18 一种用小线圈测磁场的方法如下: 做一个小线圈, 匝数为 N, 面积为 S, 将它的两端与一测电荷量的冲击电流计相连。小线圈和电流计线路的总电阻为 R。先把它放到待测磁场处, 并使线圈平面与磁场方向垂直, 然后急速地把它移到磁场外面, 这时电流计给出通过的电荷量是 q。试用 N, S, R, q 表示待测磁场的大小。

19-19 一圆环形线圈 a 由 50 匝细线绕成，截面积为 $ 4.0 \, cm^{2} $，放在另一个匝数等于 100 匝，半径为 20.0 cm 的圆

环形线圈 b 的中心，两线圈同轴。求：(1) 两线圈的互感；(2) 当线圈 a 中的电流以 50 A/s 的变化率减少时，线圈 b 内磁通量的变化率；(3) 线圈 b 的感生电动势。

19-20 一根直径的 2 mm 铜导线，外包 0.2 mm 厚的绝缘介质层，再外即是一层很薄的导电层，构成同轴电缆，试从自感与磁能的关系求出此电缆单位长度的自感。

19-21 一根无限长直导线载有电流 I, I 均匀分布在它的横截面上，试求该导线内部单位长度的磁场能量。

>> 第20章

麦克斯韦方程组

与电磁波

文档 麦克

斯韦

麦克斯韦(James Clerk Maxwell, 1831—1879) 总结了库仑、安培及法拉第等人的电磁学说，并以此为基础提出了“有旋电场”和“位移电流”的假说，于 1865 年总结归纳出电磁场的基本方程—麦克斯韦方程组，建立了完整的电磁场理论体系。麦克斯韦的电磁场理论揭示了电场与磁场的内在联系，预言了电磁波的存在，并论证了光是一种电磁波。

本章将着重介绍麦克斯韦方程组，并对麦克斯韦电磁场理论中的一些基本概念加以说明。最后将对有关电磁波的一些基本知识作简要概述。

20.1 位移电流与全电流定理

20.1.1 位移电流

在恒定条件下，无论载流回路周围是真空还是有磁介质，安培环路定理都可以表述为

$$ \oint_{L}\boldsymbol{H}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}=\sum_{L}I $$

其中 $ \sum_{L}I $ 是穿过以闭合回路 L 为边界的任意曲面 S 的传导电流之代数和。在非恒定条件下，安培环路定理是否仍然适用呢？

如图 20-1 所示，电容器的充、放电过程是一个非恒定过程，导线中的电流 i 随时间改变。如果在极板 M 附近取一个闭合回路 L，以 L 为边界作两个曲面 $ S_{1}, S_{2} $，其中 $ S_{1} $ 与导线相交，而 $ S_{2} $ 穿过极板之间。对以 L 为边界的 $ S_{1} $ 曲面有

$$ \oint_{L(S_{1} 面 )}\boldsymbol{H}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}=i $$

而对以同一 L 为边界的 $ S_{2} $ 曲面有

$$ \oint_{L(S_{2} 面 )}\boldsymbol{H}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}=0 $$

显然这两个结果是相互矛盾的。为解决这一矛

盾，麦克斯韦观察和分析了实验事实，提出了“位移电流”假说。

如图20-2所示，设平行板电容器极板的面积为S，某一时刻极板上电荷面密度为 $ \sigma $，电荷量 $ q=\sigma S $，则在电容器两极板外侧的电路中有传导电流

$$ I=\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} $$

由于平行板电容器中 $ D=\sigma $，故穿过极板的电位移通量为

$$ \Psi=\int_{S}\boldsymbol{D}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}=\sigma\boldsymbol{S}=q $$

所以，无论是充电还是放电，电容器极板间电位移通量随时间的变化率在量值上都为

$$ \frac{\mathrm{d}\bar{\boldsymbol{\Psi}}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}(\boldsymbol{D}\boldsymbol{S})}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{S})}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{q}}{\mathrm{d}t} $$

比较式(20-1)与式(20-2)得

$$ I=\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\Psi}}{\mathrm{d}t}=S\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{D}}{\mathrm{d}t} $$

在方向上，充电时，极板间电场E增大， $ \frac{dD}{dt} $与电场E及导体中传导电流方向一致；放电时，极板间E减小， $ \frac{dD}{dt} $的方向与E的方向相反，但仍与导体中传导电流方向一致。为此，麦克斯韦把变化的电场视为电流，提出了“位移电流”（displacement current）假说：从产生磁场的角度来看，可以把变化的电场看作一种电流——位移电流。通过电场中某截面的位移电流等于该截面的电位移通量对时间的变化率，即

$$ I_{\mathrm{d}}=\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\Psi}}{\mathrm{d}t} $$

而电场中某点的位移电流密度等于该点的电位移矢量对时间的变化率，即

$$ j_{d}=\frac{\mathrm{d}\pmb{D}}{\mathrm{d}t} $$

20.1.2 全电流定理

由以上讨论可知，在电容器充、放电时，极板间中断了的传导电流 $ I $将由位移电流 $ I_{d} $延续下去，即位移电流把中断了的传导电流接通了，从而保持了回路中电流的连续性。

如果回路中某截面同时存在传导电流 I（包括运流电流）和位移电流 $ I_{d} $，则通过该截面的各种电流之和，称为通过该截面的全电流，即

$$ I_{ 全 }=I+I_{d}=I+\frac{d\Psi}{d t} $$

相应地，全电流的电流密度为

$$ \boldsymbol{j}_{ 全 }=\boldsymbol{j}+\boldsymbol{j}_{d}=\boldsymbol{j}+\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{D}}{\mathrm{d}t} $$

由位移电流假说及全电流定义不难看出，全电流在空间永远是连续的。

麦克斯韦认为：位移电流与传导电流在磁效应方面是完全相同的。位移电流与传导电流一样会在其周围产生磁场，并且满足

$$ \oint_{L}\boldsymbol{H}_{\mathrm{d}}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}=I_{\mathrm{d}}=\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\Psi}}{\mathrm{d}t}=\int_{S}\frac{\partial\boldsymbol{D}}{\partial t}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{s} $$

即在位移电流产生的磁场中，磁场强度 $ H_{d} $ 沿任意闭合回路 L 的线积分，等于穿过以该闭合回路为边界的任意曲面 S 的位移电流。

如果空间某点的磁场是由传导电流与位移电流共同产生，即由全电流产生的，安培环路定理可修正为

$$ \oint_{L}\boldsymbol{H}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}=I_{ 全 }=\sum_{L}I+I_{d}=\sum_{L}I+\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\psi}}{\mathrm{d}t} $$

这就是全电流定理。全电流定理说明：空间任意一点的磁场强度 H 沿任一闭合回路 L 的线积分，在数值上等于穿过该闭合回路的全电流。

虽然传导电流与位移电流在激发磁场方面是等效的，位移电流产生的有旋磁场方向与位移电流方向也满足右手螺旋关系，但是二者是两个不同性质的概念，在其他方面有着根本的不同。传导电流是自由电荷的定向运动形成的，而位移电流是随时间变化的电场导致的。传导电流通过导体时会产生焦耳热，而位移电流不会产生热效应。在高频电流的情况下，导体内的位移电流和传导电流都不能忽略。

【例 20-1】如图 20-3 所示，半径为 $ R = 10 \, cm $ 的两块圆板构成的平行板电容器，匀速充电使电容器两极板间电场的变化率为 $ \mathrm{d}E/\mathrm{d}t = 2 \times 10^{13} \, \mathrm{V} \cdot \mathrm{m}^{-1} \cdot \mathrm{s}^{-1} $。求（1）两极板间的位移电流；（2）两极板间距轴线距离为 $ r = 5 \, cm $ 处的磁感应强度。

解 （1）由式(20-3)得两极板间的位移电流为

$$ I_{\mathrm{d}}=\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\Psi}}{\mathrm{d}t}=S\frac{\mathrm{d}D}{\mathrm{d}t}=\pi R^{2}\varepsilon_{0}\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=5.56\mathrm{~A} $$

（2）因为两极板为同轴圆片，所以两极板之间位移电流产生的磁场对于两极板中心连线具有对称性。以两极板中心连线为轴，在平行于极板的平面内作半径为 r 的圆形回路，由全电流安培环路定理式（20-9）有

$$ \oint_{L}\boldsymbol{H}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}=\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\psi}}{\mathrm{d}t} $$

而

$$ \oint_{L}\boldsymbol{H}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}=H2\pi r $$

所以

$$ H=\frac{\varepsilon_{0}}{2}r\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t},\quad B=\frac{\mu_{0}\varepsilon_{0}}{2}r\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t} $$

当 $ r=5\ cm $时

$$ B=\mu_{0}H=\frac{\mu_{0}\varepsilon_{0}}{2}r\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=5.56\times10^{-6}T $$

【例20-2】若平板电容器的电容为C，电容器两极板间的电势差为U，试证明其中的位移电流 $ I_{d}=C\frac{dU}{dt} $。

证明 因为

$$ \boldsymbol{\Psi}=\boldsymbol{D}\cdot\boldsymbol{S}=\varepsilon E\boldsymbol{S}=\varepsilon\frac{\boldsymbol{U}}{d}\boldsymbol{S} $$

又

$$ C=\frac{\varepsilon S}{d} $$

所以

$$ \Psi=C U $$

故

$$ I_{\mathrm{d}}=\frac{\mathrm{d}\varPsi}{\mathrm{d}t}=C\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}t} $$

20.2 麦克斯韦方程组

在前面几章我们已经讨论了静电场与恒定磁场，得到了静电场与恒定磁场的一般规律：

（1）静电场的高斯定理

$$ \oint_{S}\boldsymbol{D}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}=\sum q_{i} $$

（2）静电场的环路定理

$$ \oint_{L}\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}=0 $$

（3）恒定磁场的高斯定理

$$ \oint_{S}\boldsymbol{B}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}=0 $$

（4）恒定磁场的安培环路定理

$$ \oint_{L}\boldsymbol{H}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}=\sum_{L}I $$

对于一般电磁场，麦克斯韦在引入有旋电场和位移电流两个重要概念后，从理论上总结和推广了以上规律，提出了表述电磁场普遍规律的四个基本方程：

（1）电场的高斯定理

$$ \oint_{S}\boldsymbol{D}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}=\sum q_{i} $$

（2）电场的环路定理

$$ \oint_{L}\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}=-\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\Phi}}{\mathrm{d}t}=-\int_{S}\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S} $$

（3）磁场的高斯定理

$$ \oint_{S}\boldsymbol{B}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}=0 $$

（4）磁场的安培环路定理

$$ \oint_{L}\boldsymbol{H}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}=\sum_{L}I+\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\Psi}}{\mathrm{d}t}=\sum_{L}I+\int_{S}\frac{\partial\boldsymbol{D}}{\partial t}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S} $$

以上四个方程称为麦克斯韦方程组(Maxwell equations)的积分形式。

方程(20-10)说明：在任何电场（包括库仑电场、有旋电场或二者的叠加场）中，通过任意封闭曲面的电位移通量等于该封闭曲面所包围的自由电荷代数和。它表明电场是有源场。

方程(20-11)是法拉第电磁感应定律，反映了变化磁场和电场的关系。式(20-11)说明：在任何电场（包括库仑电场、有旋电场或二者的叠加场）中，电场强度沿任意闭合曲线的线积分等于穿过该曲线所包围的面积的磁通量对时间的变化率的负值。

方程(20-12)说明:在任何磁场(包括恒定电流的磁场、位移电流的磁场或二者的叠加场)中,通过任意封闭曲面的磁通量恒等于零。它表明磁场是无源场。

方程(20-13)说明：在任何磁场（包括恒定电流的磁场、位移电流的磁场或者二者的叠加场）中，磁场强度沿任意闭合曲线的线积分等于穿过该闭合曲线所包围面积的全电流。式(20-13)即全电流定理，它反映了变化的电场与磁场的关系。

对于均匀的、各向同性的介质有如下三个介质性质方程：

$$ \begin{aligned}\boldsymbol{D}&=\varepsilon\boldsymbol{E}\\\boldsymbol{B}&=\mu\boldsymbol{H}\\\boldsymbol{j}&=\gamma\boldsymbol{E}\end{aligned} $$

为求得电磁场对带电粒子的作用，还需要洛伦兹的电磁场力公式

$$ \mathbf{F}=q\mathbf{E}+q\mathbf{v}\times\mathbf{B} $$

上述麦克斯韦方程组的积分式，给出了有限范围内电磁场量间的关系，而在具体问题中，往往要知道电磁场中各点的性质。为此，应用矢量分析中的高斯定理

$$ \oint_{S}\boldsymbol{A}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}=\int_{V}(\nabla\cdot\boldsymbol{A})\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{V} $$

和斯托克斯定理

$$ \oint_{L}\boldsymbol{A}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}=\int_{S}(\nabla\times\boldsymbol{A})\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S} $$

可以从麦克斯韦方程的积分形式推得麦克斯韦方程组的微分形式如下：

$$ \nabla\cdot\boldsymbol{D}=\rho $$

$$ \nabla\times\boldsymbol{E}=-\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t} $$

$$ \nabla\cdot\boldsymbol{B}=0 $$

$$ \nabla\times\boldsymbol{H}=\boldsymbol{j}+\frac{\partial\boldsymbol{D}}{\partial t} $$

式中 $ \nabla=\frac{\partial}{\partial x}i+\frac{\partial}{\partial y}j+\frac{\partial}{\partial z}k $，称为矢量微分算符，它具有矢量和微分的双重性质。

利用麦克斯韦方程组，原则上可以从已知的边界条件和初始条件，求得任意时刻空间任意一点的电磁场量，即麦克斯韦方程组可以完全描述电磁场的动力学过程。以麦克斯韦方程组为核心的经典电磁理论是从牛顿力学理论到爱因斯坦相对论的提出这段时期中物理学史上最重要的理论成果。它与狭义相对论是相容的，在洛伦兹变换下满足相对性原理，即麦克斯韦方程组在任何惯性系中都具有相同的形式。但是用它处理微观领域问题时，遇到了困难，处理微观领域问题要使用量子电动力学的方法。经典的电磁理论可以看作是量子电动力学在一定条件下的近似，类似牛顿力学是相对论力学在低速情况下的近似一样，它也只能在一定范围内适用。

20.3 电磁波

麦克斯韦电磁场理论表明，变化的磁场会在其周围激发有旋电场，而当所激发的有旋电场随时间变化时，又会反过来激发变化的有旋磁场。所以，如果在空间某处有一电磁振源，在这里有交变的电流或电场，它在自己周围激发交变的有旋磁场，而有旋磁场又在自己周围激发有旋电场，这样变化的有旋电场和有旋磁场就会交替激发，使电磁振源的振动在空间由近及远地以有限地速度传播出去，形成电磁波（electromagnetic wave）。麦克斯韦的电磁场理论预言了电磁波的存在，并且其预言的正确性已被赫兹（Heinrich Ruddf Hertz，1857—1894）于1888年用实验证实了。

文档赫兹

20.3.1 电磁波及其性质

设电磁振源做简谐振荡，电磁波在没有自由电荷和传导电流（即 $ \rho_{e}=0, j=0 $）的无限大均匀绝缘介质中沿 x 轴方向传播，介质的介电常量为 $ \varepsilon $、磁导率为 $ \mu $。这样，从麦克斯韦方程组可以推导和出其波动方程是一平面简谐波方程，即

$$ \int\frac{\partial^{2}E}{\partial x^{2}}-\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}E}{\partial t^{2}}=0 $$

$$ \left\lfloor\frac{\partial^{2}H}{\partial x^{2}}-\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}H}{\partial t^{2}}=0\right. $$

其中波速为

$$ v=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon\mu}} $$

式（20-18）、式（20-19）的特解为

$$ \left(E=E_{0}\cos\omega\left(t-\frac{x}{v}\right)\right. $$

$$ \left(H=H_{0}\cos\omega\left(t-\frac{x}{v}\right)\right. $$

式中 $ E_{0}, H_{0} $ 为电场强度 E 与磁场强度 H 的振幅。

电磁波具有如下主要性质：

（1）电磁波是横波 如图20-4所示，电磁波中电场强度矢量E与磁场强度矢量H都垂直于波的传播方向，三者相互垂直，所以电磁波是横波。

（2）电磁波具有偏振性 对于沿给定方向传播的电磁波，E 与 H 分别在各自的平面内振动，这种特性即横波的偏振性，可见，电磁波具有偏振性。

（3）E 与 H 的量值关系 E 与 H 作同相位的周期性变化，E 与 H 的量值同时达到最大，亦同时达到最小。由于变化的电场和磁场是交替激发的，所以二者的变化是相互联系的，而不是彼此独立的。因此 E 与 H 的瞬时值有如下关系：

$$ 真空中 \quad\sqrt{\varepsilon_{0}}\boldsymbol{E}=\sqrt{\mu_{0}}\boldsymbol{H} $$

$$ 介质中 \quad\sqrt{\varepsilon}E=\sqrt{\mu}H $$

（4）电磁波的传播速度 介质中电磁波的传播速度为

$$ v=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon\mu}}=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_{0}\varepsilon_{\mathrm{r}}\mu_{0}\mu_{\mathrm{r}}}} $$

由于真空中 $ \varepsilon_{r}=1,\mu_{r}=1 $ ，所以真空中电磁波的传播速度

$$ v=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_{0}\mu_{0}}}\approx2.9979\times10^{8}m\cdot s^{-1} $$

这正是光在真空中的传播速度 c，可见介质中电磁波的传播速度为

$$ v=\frac{c}{\sqrt{\varepsilon_{\mathrm{r}}\mu_{\mathrm{r}}}} $$

（5）电磁波的传播不需要介质，电磁波既可以在介质中传播也可以在真空中传播。电磁波的这个性质与机械波是完全不同的。

20.3.2 电磁波的能量

电磁波的传播过程也就是电磁能量的传播过程，电磁波所携带的电磁能量称为辐射能。显然，辐射能的传播速度和传播方向与电磁波的传播速度和传播方向一致。单位时间通过垂直于传播方向上单位面积的辐射能量

$$ S=w v $$

式中 w 是电磁场的能量密度, v 是电磁波的波速。由于电磁场的能量密度是电场能密度与磁场能量密度之和, 即

$$ w=w_{\mathrm{e}}+w_{\mathrm{m}}=\frac{1}{2}\varepsilon E^{2}+\frac{1}{2}\mu H^{2} $$

将式(20-29)代入式(20-28)，并考虑到 $ v=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon\mu}} $, $ \sqrt{\varepsilon}E=\sqrt{\mu}H $ 有

$$ \begin{aligned}S&=\frac{1}{2}v(\varepsilon E^{2}+\mu H^{2})&\\&=\frac{1}{2\sqrt{\varepsilon\mu}}(\sqrt{\varepsilon}E\sqrt{\mu}H+\sqrt{\mu}H\sqrt{\varepsilon}E)\\ \\&=EH\\ \end{aligned} $$

辐射能的传播方向即 S 的方向与 E, H 的方向三者互相垂直, 所以式(20-30)可以写成矢量表达式

$$ \boldsymbol{S}=\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{H} $$

可见 S 与 E 及 H 三者方向呈右手螺旋关系（见图 20-5，图 20-5 S, E, H 的方向关系

S 的方向就是电磁波的传播方向，S 称为能流密度（energy flux density）矢量。

视频 紫外

摄影

☑ 视频 X 射线

摄影

视频 核磁共振成像

20.3.3 电磁波谱

电磁波具有很广的频率范围，实验证明，无线电波、微波、红外线、可见光、紫外线、X射线和 $ \gamma $射线等都是电磁波。这些电磁波在本质上是完全相同的，只是频率（或波长）相差很远。为了研究问题的方便，人们把电磁波按频率（或真空中的波长）的大小顺序排列成谱，称为电磁波谱（electromagnetic wave spectrum），如图20-6所示。由于电磁波的频率（或真空中的波长）相差悬殊，为了使各种电磁波在电磁波谱图中合理地表现出来，图20-6中的频率（或波长）采用了对数标尺。不同频率（或真空中的波长）的电磁波显示出不同的特征，具有不同的用途。

20.3.4 电磁场的物质性

我们知道，物质是永恒运动的，运动是物质存在的形式，而能量和动量是物质运动的量度。电磁场具有能量和动量，所以电磁场虽然看不见、摸不着，却具有物质属性，它是物质存在的一种形态。光电效应和康普顿散射都说明通常被认为是电磁波的光在某些方面表现出粒子性，而电子衍射现象又说明通常被认为是实物粒子的电子也具有波动性。尤其是在1932年研究人员发现，一对正负电子结合以后会转化为通常被认为是电磁波的γ射线。这些事实说明“场”与“实物”之间并没有不可逾越的界限，电磁场与实物一样，是一种客观存在的物质。

习题

20-1 有一平行板电容器，两极板均为半径为 a 的圆板，将它连接到一个交变电源上，极板上的电荷按规律 $ Q = Q_{0} \sin \omega t $ 随时间变化，略去边缘效应，则电容器极

板间的位移电流为()。

A. $ I_{d}=Q_{0}\omega\cos\omega t $ B. $ I_{d}=Q_{0}\omega\sin\omega t $ C. $ I_{d}=Q_{0}\cos\omega t $ D. $ I_{d}=Q_{0}\sin\omega t $

20-2 设 500 W 的电灯泡将 20% 的能量以电磁波的形式沿各方向均匀地辐射出去，则与电灯泡相距 20 m 处的电场强度和磁场强度的振幅分别为( )。

$$ E_{0}=38.7\mathrm{~V}\cdot\mathrm{m}^{-1},H_{0}=1.03\times10^{-2}\mathrm{~A}\cdot\mathrm{m}^{-1} $$

$$ E_{0}=38.7\ V\cdot m^{-1},H_{0}=1.03\times10^{-3}A\cdot m^{-1} $$

$$ E_{0}=3.87\mathrm{~V}\cdot\mathrm{m}^{-1},H_{0}=1.03\times10^{-2}\mathrm{~A}\cdot\mathrm{m}^{-1} $$

$$ E_{0}=3.87\ V\cdot m^{-1},H_{0}=1.03\times10^{-3}A\cdot m^{-1} $$

20-3 真空中，一平面电磁波的电场由下式给出：

$$ E_{x}=0,\quad E_{y}=6.0\times10^{-1}\mathrm{c o s}\left[2\pi\times10^{8}\bigg(t-\frac{x}{c}\bigg)\right]\quad(\mathrm{V}\cdot\mathrm{m}^{-1}),\quad E_{z}=0 $$

求：（1）该电磁波的波长和频率；（2）传播方向；（3）磁场的大小和方向。

20-4 一个很长的直圆筒半径为 R，表面上带一层均匀电荷，电荷面密度为 $ \sigma $，在外力矩作用下绕轴以匀角加速度 $ \alpha $ 旋转，求：(1) 筒内的磁感应强度和筒内边缘处的电场；(2) 筒内能流密度的大小和方向。

20-5 平行板电容器的两极板为圆形金属板，面积均为 S，接于一交流电源时，板上的电荷随时间变化关系 $ q=q_{max}\sin\omega t $ 。求：(1) 电容器极板间位移电流密度的大小；(2) 两板之间的磁感应强度 B 的大小与方向。

20-6 如题20-6图所示，在半径为R的圆柱形区域内存在均匀电场E，且 $ \frac{dE}{dt} $为负的常量，试求：(1)位移电流；(2)在r<R内任意一点P处，位移电流激发的磁场。

20-7 空气电容器接在电动势为 $ \varepsilon $的电源两端，电源内阻忽略不计。现将一板以匀速率v拉开，如题20-7图所示，当两板间的距离为x时，求电容器内位移电流密度的大小和方向。

20-8 试证明麦克斯韦方程组中蕴含了电荷守恒定律。

20-9 真空中有一平面电磁波，某一点的电场强度和磁场强度的振幅有以下

关系： $ \sqrt{\varepsilon_{0}}E_{0}=\sqrt{\mu_{0}}H_{0} $。试由此证明：在平面电磁波里，电场能量密度与磁场能量密度相等。

20-10 用于打孔的激光束为圆柱形激光束，其截面直径为 60 μm，功率为 300 kW。求：(1) 此激光束的坡印廷矢量的大小；(2) 该束激光中电场强度和磁感应强度的振幅各多大？