第22章 早期量子论

21-15 在惯性系 S 中，有两个事件同时发生在 $ xx' $ 轴上相距为 $ 1.0 \times 10^{3} $ m 的两处，从惯性系 S' 观测到这两个事件相距为 $ 2.0 \times 10^{3} $ m，试问由 S' 系测得此两事件的时间间隔为多少？

21-16 K 系与 K' 系是坐标轴相互平行的两个惯性系，K' 系相对于 K 系沿 Ox 轴正方向匀速运动，一根刚性尺静止在 K' 系中，与 $ O'x' $ 轴成 $ 30^{\circ} $ 角，今在 K 系中观测到该尺与 Ox 轴成 $ 45^{\circ} $ 角，问 K' 系相对于 K 系的速度是多少？

21-17 设想地球上有一观察者测得一宇宙飞船以 $ 0.60c $ 的速率向东飞行，5.0 s 后该飞船将与一个以 $ 0.80c $ 的速率向西飞行的彗星相碰撞。试问：

（1）飞船中的人测得彗星将以多大的速率向他运动？

（2）从飞船中的钟来看，还有多少时间容许它离开航线，以避免与彗星碰撞？

21-18 如果将电子由静止加速到速率为 0.10c，需对它做多少功？如将电子由速率为 0.80c 加速到 0.90c，又需对它做多少功？

21-19 电子的静止能量为 $ 0.51 \times 10^{6} $ eV，加速某电子后使其动能为 $ 4.59 \times 10^{6} $ eV 的动能，(1) 求该电子的总能量；(2) 运动电子的质量是其静质量的多少倍？(3) 此时电子的速度是多大？

21-20 在北京正负电子对撞机中，电子可以被加速到动能为 $ E_{k}=208\times10^{9} $ eV。问：（1）这种电子的速率和光速的差距？（2）这样的电子动量是多少？（3）假设这样的电子在周长为 240 m 的储存环内绕行，则它受到的向心力是多大，需要多大的偏转磁场？

21-21 观测上发现最强的宇宙射线具有 5 J 的能量，如果该射线是由一个质子形成的，则这样一个质子的速率和光速的差别是多少？

21-22 20世纪60年代人类从观测上发现了中子星，其特点为大质量，小尺度（质量约为一个太阳质量 $ 1.99 \times 10^{30} $ kg，而半径约为10 km），它会发出极其强烈的辐射。其辐射机制可能来源于中子星吞食远处物质时所释放的引力能。（1）假设有1 kg物质从远处落到中子星的表面，将释放多少引力能？释能效率（即释放的引力能与物质的静能之比）是多少？（2）如果是1 kg物质落到地球表面（地球的质量为 $ 5.98 \times 10^{24} $ kg，半径为 $ 6.37 \times 10^{6} $ m），释能效率又是多少？

$ ^{21-23} $ 如题21-23图所示，参考系S'相对于

参考系 S 以匀速 u 沿 x 轴正方向运动，设一质点在 S 系中沿 x 轴正方向以速度 v = v(t) 运动，加速度为 a。试证明：在 S' 系中该质点的加速度 a' 为

$$ a^{\prime}=\frac{\left(1-u^{2}/c^{2}\right)^{3/2}}{\left(1-u v/c^{2}\right)}a $$

>>> 第22章

早期量子论

早在1900年，为了推导黑体辐射的谱分布，普朗克引入了能量子的概念，这一颠覆经典物理基本观念的创举标志着量子物理的诞生。五年后，爱因斯坦将能量子的概念推广为光量子假说，简单地解释了光电效应的主要实验规律。1913年，玻尔运用量子化方法修正了卢瑟福的原子有核模型，比较完美地解释了氢原子光谱的实验规律，使得人们进一步确信量子化是微观世界的基本特征。1923年，康普顿散射实验证明光子不仅具有确定的能量，而且具有确定的动量。

光的电磁波理论是19世纪物理学的重大成就，干涉和衍射是波动性的主要特征。20世纪初关于光电效应和康普顿效应的研究又确认了光的粒子性。人们或许要问光究竟是波还是粒子？早期量子论的发展表明，不仅是光子，而且原子、分子和电子等其他粒子都具有波粒二象性。

本章围绕黑体辐射、光电效应和原子结构三个典型问题，简单介绍普朗克的能量子假说、爱因斯坦的光子假说和玻尔氢原子模型，还讨论了康普顿散射和光的波粒二象性等早期量子论的主要问题。

22.1 黑体辐射与能量量子化

22. 1.1 黑体辐射

热辐射(thermal radiation)是热量传递的重要方式。物体内部原子和分子的无规则热运动导致电磁辐射，即不断地以电磁波的形式向外辐射热量。不仅太阳和火焰等高温物体能产生强烈的热辐射，人的身体甚至寒冷刺骨的冰块也能产生不可见的红外辐射。

由于工业生产的巨大需求，早在19世纪人们已经对热辐射进行了比较系统的研究，并逐步建立了热辐射理论。更为重要的是，为了合理地说明黑体辐射的实验规律，普朗克提出了简谐振子能量量子化假说，开启了量子物理的新时代。

物体在任何温度下都能辐射电磁波。常温物体电磁辐射主要分布在红外波段。随着物体温度的升高，向外辐射的能量迅速增加，辐射能量的分布逐渐向短波方向移动，大约达到800 K 时将会集中到可见光区，肉眼就可以观察到发光物体的颜色随着温度升高由红转黄到蓝色的变化过程。温度决定黑体辐射的强弱和谱分布。

当然，物体也能从外部环境吸收热辐射能量。当物体因辐射而失去的能量等于从外界吸收的辐射能时，物体与外部达到热平衡，温度保持不变，此时的热辐射称为平衡热辐射。

为了定量描述物体的热辐射能力，可以定义辐射出射度，简称辐出度（radiant exitance），表示单位时间内从物体表面单位面积辐射的总能量，也称为总辐出度。给定物体平衡热辐射的辐出度是物体热力学温度 T 的函数，记为 $ M(T) $。为了更

进一步刻画热辐射的谱分布，即不同波长的电磁辐射所占的份额，需要测量单位时间内物体单位表面积所辐射的特定波长的电磁辐射能量，称为单色辐射出射度，简称单色辐出度，记为 $ M_{\lambda}(T) $，定义为波长 $ \lambda $ 附近单位波长范围内的辐出度，即

$$ M_{\lambda}(T)=\lim_{\Delta\lambda\to0}\frac{\Delta M(T)}{\Delta\lambda}=\frac{\mathrm{d}M(T)}{\mathrm{d}\lambda} $$

显然，单色辐出度对波长的积分给出总辐出度，即

$$ M(T)=\int_{0}^{\infty}M_{\lambda}(T)\mathrm{d}\lambda $$

入射到物体表面的热辐射除了被物体吸收，还可能被物体反射。为了描述物体对特定波长的热辐射的吸收和反射能力，可定义物体的单色吸收比（absorption） $ \alpha_{A}(T) $ 和单色反射比（reflectance） $ \rho_{A}(T) $，分别定义为被物体吸收和反射的辐射能与相应的入射热辐射能的比值。对于不透明物体，两者之和为1，即

$$ \alpha_{\lambda}(T)+\rho_{\lambda}(T)=1 $$

早在 1859 年，德国物理学家基尔霍夫（Gustav Robert Kirchhoff，1824—1887）得出了一个重要结论：处于热平衡状态下的所有物体的单色辐出度与单色吸收比之比是波长和温度的普适函数，与具体物质和表面特征无关，即

$$ \frac{M_{1\lambda}(T)}{\alpha_{1\lambda}(T)}=\frac{M_{2\lambda}(T)}{\alpha_{2\lambda}(T)}=\cdots=M_{0\lambda}(T) $$

也称为热辐射的基尔霍夫定律。式(22-4)表明对于不同的物体，其单色吸收比 $ \alpha_{\lambda}(T) $越大，吸收能力越强，则其单色辐出度 $ M_{\lambda}(T) $越大，热辐射能力越强；简单地说，好的吸收体也是好的辐射体。更为重要的是，式中的 $ M_{0\lambda}(T) $是不依赖于具体物质的普适函数，可以认为是绝对黑体(absolute blackbody)的单色辐出度。

所谓绝对黑体，是指在任何温度下能全部吸收任何波长的电磁辐射的特殊物体，简称黑体（blackbody），其吸收比 $ \alpha_{0\lambda}(T)=1 $，反射比 $ \rho_{0\lambda}(T)=0 $。自然界并不存在真正的黑体，实际物体的吸收比总是小于1，即便是看起来乌黑的煤烟的 $ \alpha_{\lambda}(T) $ 也不到98%。

物理研究的黑体是通过空腔上的小孔来实现的。如图22-1所示，以不透明材料做成的空心容器，内壁涂覆吸收能力极强的涂料，如果小孔的面积足够小，从外界入射进入小孔的电磁波将在空腔内多次反射吸收，几乎完全不能由小孔再辐射出来。所以，小孔就是一个理想的黑体。关于黑体辐射的理论研究都采用这样的简单模型。

图22-2给出了黑体的单色辐出度 $ M_{0\lambda}(T) $按波长分布的典型曲线。根据式(22-2)，每一条曲线下的总面积给出黑体在该温度下的总辐出度 $ M_{0}(T) $。

文档 斯特藩

文档 维恩

视频 红外摄影

1879年，奥地利物理学家斯特藩(Josef Stefan，1835—1893)已经从实验数据总结出黑体辐射的总出射度与黑体的绝对温度四次方成正比，即

$$ M_{0}(T)=\sigma T^{4} $$

1884年，玻耳兹曼还从热力学推导出这一重要关系，后人将其称为斯特藩-玻耳兹曼定律（Stefan-Boltzmann law，1879），其中 $ \sigma=5.670\ 51\times10^{-8}\ W\cdot m^{-2}\cdot K^{-4} $，称为斯特藩-玻耳兹曼常量。

斯特藩-玻耳兹曼定律说明物体温度越高，热辐射能力越强，且随绝对温度的四次方迅速增大。

从图22-2中的曲线还可以看出，黑体温度增高时，其单色辐出度的峰值波长 $ \lambda_{m} $向短波方向移动。事实上，德国物理学家维恩（Wilhelm Wien，1864—1928）已于1893年运用热力学和电磁理论推导了峰值波长与热力学温度的反比关系，即

$$ \lambda_{m}=\frac{b}{T} $$

其中常量 $ b = 2.897756 \times 10^{-3} $ m · K，这就是维恩位移定律（Wien displacement law, 1893）。

斯特藩-玻耳兹曼定律和维恩位移定律是黑体辐射的基本实验规律，在现代技术中有着广泛的应用。它们是测量高温、遥感、遥测和红外跟踪技术的物理基础，宇宙背景辐射温度和恒星温度常常也根据它们确定。

【例22-1】如果将太阳看成黑体，地球上测出其峰值波长为 $ \lambda_{m}=5\ 100\ \text{\AA} $，则其表面温度和辐出度为多少？

解 根据维恩位移定律

$$ T=\frac{b}{\lambda_{m}}=\frac{2.898\times10^{-3}}{5\ 100\times10^{-10}}\ K=5\ 680\ K $$

根据斯特藩-玻耳兹曼定律

$$ M_{0}(T)=\sigma T^{4}=5.67\times10^{-8}\times(5680)^{4}\mathrm{~W}\cdot\mathrm{m}^{-2}=5.90\times10^{7}\mathrm{~W}\cdot\mathrm{m}^{-2} $$

19 世纪末，人们尝试由经典物理推导绝对黑体的单色辐射出射度函数 $ M_{0\lambda}(T) $ 的数学表达式，却总是只能得到与实验结果部分相符的结果，例如维恩公式 (Wien formula, 1896) 和瑞利-金斯公式 (Rayleigh-Jeans formula, 1900)。

采用热力学方法，维恩得到了黑体辐射单色辐射出射度公式

$$ M_{0\lambda}(T)=\frac{c_{1}}{\lambda^{5}}\exp\left(-\frac{c_{2}}{\lambda T}\right) $$

其中常量 $ c_{1} $ 和 $ c_{2} $ 通过拟合实验数据确定，但此公式在长波极限与实验数据不符。

通过研究空腔内各种模式的电磁场的统计分布，英国物理学家瑞利(Lord Rayleigh，1842—1919)和金斯(James Hopwood Jeans，1877—1946)分别于1900年和1905年推导出另一个不同形式的公式：

$$ M_{0\lambda}(T)=\frac{2\pi c k T}{\lambda^{4}} $$

其中 $ c = 3 \times 10^8 \, \text{m} \cdot \text{s}^{-1} $ 为真空中的光速， $ k = 1.38 \times 10^{-23} \, \text{J} \cdot \text{K}^{-1} $ 是玻耳兹曼常量（Boltzmann constant）。瑞利-金斯公式（22-8）仅在长波区域与实验数据一致，在短波区域严重偏离实验结果并给出无限大的辐出度，这显然是不可能的，被称为经典物理的黑体辐射“紫外灾难”（ultraviolet catastrophe）。

1900年，德国物理学家普朗克(Max Karl Ernst Ludwig Planck, 1958—1947)在维恩公式和瑞利-金斯公式的启发下，得到了一个与实验数据完全吻合的黑体辐射公式，即

$$ M_{0\lambda}(T)=\frac{2\pi h c^{2}}{\lambda^{5}}\frac{1}{\mathrm{e}^{\frac{h c}{k}k\lambda T}-1} $$

称为黑体辐射的普朗克公式(Planck formula,1900)，其中 h 是普朗克引进的一个新的物理常量，称为普朗克常量(Planck constant)。通过与黑体辐射的实验数据对比，可以大致确定得到 $ h=6.63\times10^{-34} $ J · s。

容易验证，普朗克公式（22-9）在长波和短波极限下恰好分别近似为瑞利-金斯公式（22-8）和维恩公式（22-7）。不仅如此，通过普朗克公式还可以直接计算得到斯特藩-玻耳兹曼定律和维恩位移定律。维恩公式、瑞利-金斯公式和普朗克公式分别给出的黑体辐射谱分布如图22-3所示。

文档普朗克

黑体辐射的维恩公式和瑞利-金斯公式揭示了经典物理学存在深刻的内在矛盾。黑体辐射的“紫外灾难”和迈克耳孙-莫雷实验的反常结果（参见21章关于地球运动参考系中不同方向的光速测量的讨论）曾被英国物理学家开尔文（Lord Kelvin，1824—1907）称为当时“物理学晴朗天空上的两朵乌云”，它们预示一场物理学革命的来临——经典物理学只适用于我们熟悉的宏观世界和低速运动的特殊情形。

【例22-2】由普朗克公式导出斯特藩-玻耳兹曼定律和维恩位移定律。

解 （1）单色辐出度对所有可能的波长求积分给出总的辐射出射度，即

$$ M_{0}(T)=\int_{0}^{\infty}M_{0_{\lambda}}(T)\mathrm{d}\lambda $$

将普朗克黑体辐射公式(22-9)代入可得黑体的辐出度为

$$ M_{0}(T)=\int_{0}^{\infty}\frac{2\pi h c^{2}}{\lambda^{5}}\frac{1}{\mathrm{e}^{\frac{h c}{k}\lambda T}-1}\mathrm{d}\lambda $$

作变量替换 $ x=\frac{hc}{k\lambda T} $，且 $ \mathrm{d}\lambda=-\frac{hc}{kx^{2}T}\mathrm{d}x $，则上式的积分改写为

$$ M_{0}(T)=\int_{0}^{\infty}\frac{2\pi k^{5}T^{4}}{h^{3}c^{2}}\frac{x^{3}}{\mathrm{e}^{x}-1}\mathrm{d}x=\sigma T^{4} $$

其中

$$ \sigma=\frac{2\pi k^{5}}{h^{3}c^{2}}\int_{0}^{\infty}\frac{x^{3}}{\mathrm{e}^{x}-1}\mathrm{d}x $$

为常量。将真空中的光速 c，玻耳兹曼常量 k，普朗克常量 h，以及积分

$$ \int_{0}^{\infty}\frac{x^{3}}{\mathrm{e}^{x}-1}\mathrm{d}x\approx6.494 $$

代入可得 $ \sigma \approx 5.67 \times 10^{-8} \, \text{W} \cdot \text{m}^{-2} \cdot \text{K}^{-4} $，正是斯特藩-玻耳兹曼常量。

（2）推导维恩位移定律需要由黑体辐射的普朗克公式(22-9)对波长 $ \lambda $求极大值，即

$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda}\left(\frac{x^{5}}{\mathrm{e}^{x}-1}\right)=0 $$

即

$$ 5\mathrm{e}^{x}-x\mathrm{e}^{x}-5=0 $$

数值计算可得它的唯一解 $ x_{m}=4.965 $。所以单色辐出度的峰值波长 $ \lambda_{m} $ 满足

$$ x_{m}=\frac{hc}{k\lambda_{m}T}=4.965 $$

即

$$ \lambda_{m}=\frac{b}{T} $$

这正是维恩位移定律，其中 $ b=\frac{hc}{4.965k}\approx2.897\times10^{-3}\ m\cdot K $。

22. 1.2 普朗克能量子假说

普朗克公式(22-9)能够精确地描述黑体辐射的谱分布，但是在经典物理的框架内却无法推导出来。考察黑体辐射的空腔模型，可以认为空腔内的电磁场与构成腔壁的原子分子达到了热平衡，而这些原子分子的热运动是相对于平衡位置的简谐振动，它们的能量分布也就是空腔内电磁场的谱分布。普朗克深刻地分析了经典物理产生黑体辐射“紫外灾难”原因，他发现只要提出一个关于简谐振子所有能量可能取值的简单假设就可以根据经典物理的基本原理推导出正确公式。

普朗克能量子假设：辐射物体中的原子分子做简谐振动，这些谐振子辐射电磁波并与周围空间中的电磁场交换能量。简谐振子的能量只能取一系列特殊的值，即

$$ E_{n}=n h\nu,\quad n=1,2,\cdots $$

其中最小能量单元 $ \varepsilon = h\nu $ 取决于谐振子的本征频率 $ \nu $，称为该谐振子的能量子（energy quantum），h 即为普朗克常量。

能量子的概念是不能从经典物理学推导出来的。直到二十多年后，人们才能从更基本的量子力学原理解释物质世界的这一基本特征。第23章将根据量子力学的薛定谔方程更深入地探讨有关问题。

【例22-3】一个质量 $ m=0.3 \, kg $，劲度系数为 $ k=3.0 \, N \cdot m^{-1} $ 的弹簧振子，做振幅为 $ A=10 \, cm $ 的简谐振动。试根据普朗克能量子假设，确定其量子数 $ n $，并考察其量子数改变为 $ n+1 $ 时，其能量的相对变化。

解 弹簧振子本征频率为

$$ \nu=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{3.0}{0.3}}\text{Hz}\approx0.5\text{Hz} $$

能量子为

$$ \varepsilon=h\nu=6.63\times10^{-34}\times0.5\ J=3.3\times10^{-34}J $$

当它做振幅为 $ A=10 \, cm $ 的简谐振动时，总的机械能为

$$ E=\frac{1}{2}k A^{2}=\frac{1}{2}\times3\times0.1^{2}\ J=1.5\times10^{-2}\ J $$

对应的量子数为

$$ n=\frac{E}{\varepsilon}=\frac{1.5\times10^{-2}}{3.3\times10^{-34}}\approx45\times10^{30} $$

量子数改变1时，其能量的相对变化为

$$ \frac{\Delta E}{E}=\frac{\varepsilon}{n\varepsilon}=\frac{1}{n}\approx2.2\times10^{-32} $$

可见，宏观谐振子常常处于能量量子数很大状态，相邻两个能量状态的量值差很小，所以常常认为它们是连续分布的。

22.2 光电效应

按照普朗克能量子假设，物质（简谐振子）与电磁场相互作用可以发射或吸收的能量不是任意的，只能是能量子的整数倍。1905年，爱因斯坦将能量子假设推广为光量子假设，简单地解释了光电效应一系列与经典物理相冲突的实验规律。在普朗克的理论中，只是假设简谐振子的能量取值是量子化的，爱因斯坦假设电磁场或光场本身的能量就是量子化的，光量子的能量 $ \varepsilon $ 取决于它的频率 $ \nu $，即 $ \varepsilon = h\nu $。

22.2.1 光电效应的实验规律

1887 年，赫兹在关于电磁波的实验研究中偶然发现了光电效应（photoelectric effect），即光照射到金属表面时，有电子从金属中逸出。逸出的电子也称为光电子（photoelectron）。1902 年，德国物理学家勒纳德（Philipp Lenard，1862—1947）对光电效应进行了更详细的研究。

研究光电效应的典型实验装置如图 22-4 所示。阴极 K 和阳极 A 封闭在真空管 C 内，两极之间加一可调电压，用以加速或阻挡释放出来的光电子。光通过小窗照到阴极 K 上，在光的作用下，电子从电极 K 逸出，并受电场加速而形成电流，这种电流称为光电流（photocurrent）。A，K 两极之间的电流和电压可分别从电流计 G、伏特计 V 上读出。

实验发现，光电流与入射光之间存在如下的依存关系，即：

（1）光电流的饱和强度与入射光强度成正比。如图22-5所示，光电流I的大小随A，K两极之间的电压 $ U_{AK}=U_{A}-U_{K} $增加，直到 $ U_{AK} $增大到某一数值时，光电流达到饱和值 $ I_{s} $。若改变入射光的强度，饱和光电流（saturation photocurrent） $ I_{s} $与入射光的强度成正比。光电流达到饱和意味着单位时间内从阴极逸出的所有光电子全部抵达阳极，所以可以推论：单位时间内溢出光电子的数目与入射光的强度成正比。

（2）光电子逸出的初动能与入射光的强度无关，而随入射光频率线性地增加。如图22-5(a)所示，减小A，K两极的电压 $ U_{AK} $，光电流I也减小； $ U_{AK} $减小为零时，乃

至 $ U_{AK}<0 $ 时，仍然存在一定的光电流，即反向电场还不足以完全阻止电子飞向阳极。只有当反向电压增至一定值 $ U_{a} $ 时，光电流才戛然而止。这时的反向电压称为遏止电压（stopping voltage）。从阴极逸出的光电子具有一定的初动能，反向电压的存在说明光电子的初动能存在上限，且光电子的最大动能由遏止电压 $ U_{a} $ 确定，即

$$ \frac{1}{2}mv_{m}^{2}=eU_{a} $$

实验还发现：遏止电压不随入射光强变化，如图22-5(b)所示，所以光电子的初动能与入射光强度无关。对给定的阴极材料，遏止电压随入射光频率线性变化，即

$$ U_{a}=k\nu-U_{0} $$

式中 k 和 $ U_{0} $ 都是正数，且 k 是不随阴极材料改变的普适常量，而 $ U_{0} $ 依赖于阴极材料。

将式(22-12)代入式(22-11)可得

$$ \frac{1}{2}mv_{m}^{2}=ek\nu-eU_{0} $$

这是一条重要的实验规律，与关于光电效应的爱因斯坦方程形式上已经非常一致，爱因斯坦光量子假说将对它给出合理解释。

（3）对于给定的阴极金属材料，如果入射光频率小于某一特定的频率，无论光的强度多大，都不能产生光电效应。这一特定的频率称为该金属的截止频率（cutoff frequency），也称为红限频率，因为频率比它更小的入射光无法激发光电子。不同的金属具有不同的红限频率，表22-1列出了几种金属的红限频率。

（4）光电效应的产生没有明显的时间延迟。只要频率不低于阴极金属材料的红限频率，微弱的入射光也能够瞬间激发出光电子，所需时间不超过 $ 10^{-9} $ s。

22. 2.2 光量子的能量

经典物理学可以预言光电效应的发生。金属中存在大量自由电子，它们在外电场的作用下形成传导电流，但被金属材料的表面势束缚在金属体内。受到光照射时，电子从光波中吸收能量转化为电子的动能，其中一部分能量消耗于克服金属表面的束缚势，剩下的能量就是光电子溢出金属表面时的初动能。但是经典物理无法解释光电效应的定量特征，特别是无法说明光电效应遏止电压与入射光频率的正比关系、红限频率的存在和光电效应瞬间发生等重要特性。

按照经典电磁理论，光以波动的形式在空间传播，它对金属中自由电子的作用取决于光的强度。入射光越强，电子可能获得的能量越多，光电子逸出的初动能就越大，即光电子的初动能似乎应随入射光的强度增加而增加。由此将得出与实验事实不符推论，即无论光的频率如何，只要光的强度足够大，电子总能够吸收足够的能量从金属中逸出。

此外，金属中的自由电子从入射光波中连续不断地吸收能量时，必须积累到其能量大到足以克服金属表面的束缚能，才能形成光电子。电子从入射光中吸取能量需要一定的时间积累，光强愈小，积累的时间越长，甚至可长达几个小时。这也与实验事实不符。

1905年，爱因斯坦提出了光量子假设，可以简单地解释光电效应的主要实验规律。爱因斯坦推广了普朗克能量子假设，他认为光场的能量不是按经典电磁理论连续分布的，而是以粒子的形式在空间运动。

爱因斯坦光量子假设：入射光是以光速 c 运动着的粒子流，这些光粒子最初称为光量子，现在称为光子。每一个光子所带能量 $ \varepsilon = h\nu $，与光的频率成正比，不同频率 $ \nu $ 的光子具有不同的能量，式中 h 为普朗克常量。而光的强度 S 是单位时间垂直通过单位面积的光能， $ S = nh\nu $，n 是单位时间通过垂直于光传播方向的单位面积的光子数。

在光电效应实验中,频率为 $ \nu $ 的入射光与电子相互作用,表现为金属内的自由电子与能量 $ \varepsilon = h\nu $ 的光子发生完全非弹性碰撞,电子获得一个光子的能量 $ h\nu $ 后,其中一部分消耗于从金属表面逸出时克服金属表面势做功,称为逸出功,也称为该金属的功函数 (work function), 常记作 A, 剩下的能量转化为光电子的初始动能 $ \frac{1}{2}mv^{2} $。按照能量守恒定律, 得

$$ h\nu=\frac{1}{2}mv^{2}+A $$

称为爱因斯坦光电效应方程。

根据爱因斯坦光子假说和光电效应方程可以圆满地解释光电效应的主要实验

规律。

当入射光的强度增加时，每个光子的能量并未增加，而只是光子的数目增加，因而单位时间内吸收光子能量的电子数，也就是释放出的光电子数目随之增加，这就很自然地说明了光电子数目与入射光的强度成正比的关系。而爱因斯坦光电效应方程不仅直接地说明了光电子的动能与入射光频率的线性关系，而且说明了光电效应红限频率的存在。在式(22-14)中，令 $ \frac{1}{2}mv^{2} $等于零，得 $ hv_{0}=A $，说明具有红限频率 $ v_{0} $的光子的能量恰好等于该金属电子的逸出功A。如果入射光频率小于红限频率，无论光的强度多大，都不能产生光电效应；反之，入射光频率大于红限频率，无论光的强度多微弱，都能产生光电效应。一个光子的能量只能一次性地被一个电子吸收。如果一个电子吸收了一个能量足够的光子，电子将立即从金属表面逸出，勿需时间去积累能量。这就很自然地解释了光电效应的“瞬时性”问题。

不仅如此，比较经验公式(22-13)和爱因斯坦光电效应方程(22-14)可得

$$ h=k e,\quad\nu_{0}=\frac{A}{h} $$

爱因斯坦光电效应方程提供了另外一条途径确定最初只是从黑体辐射中得到的普朗克常量 h。

爱因斯坦的光量子概念是普朗克能量子假设的发展，能很好地解释光电效应，但光量子假设在当时却难以为人所理解和接受。将光看成是粒子的观点与麦克斯韦电磁场理论是不一致的，需要更多的理论研究和实验证据。

测量不同频率的入射光产生的微弱光电流在20世纪初还是一件十分困难的工

作。1916年，美国物理学家密立根（Robert Andrews Millikan，1868—1953）出色地完成了遏止电压 $ U_{a} $ 与频率 $ \nu $ 的关系的实验。实验发现，如图22-6所示，不同的金属具有不同的红限频率 $ \nu_{0} $ （ $ U_{a} $ 为零时的 $ \nu $ 值）；不同金属的遏止电压 $ U_{a} $ 随入射入射光频率 $ \nu $ 变化的函数关系是斜率相同的平行直线，斜率 k 与电子电荷量 e 的乘积恰好是普朗克常量 h。

【例 22-4】当波长 $ \lambda = 200 \, nm $ 的单色光照射在金属钨阴极上，求逸出电子的初动能？阳极对阴极的遏止电压？已知钨的红限频率 $ \nu_0 = 10.95 \times 10^{14} \, Hz $。

解 根据爱因斯坦光量子假说和光电效应方程，由钨的红限频率可得其功函数 $ A = h \nu_{0} $

根据爱因斯坦光电效应方程(22-14)可得光电子的初动能为

文档 密立根

$$ \begin{aligned}\frac{1}{2}mv^{2}&=h\nu-A=h\left(\nu-\nu_{0}\right)\\&=6.63\times10^{-34}\times\left(\frac{3\times10^{8}}{200\times10^{-9}}-10.95\times10^{14}\right)J\\&=2.67\times10^{-19}J\end{aligned} $$

这就是光电子的初动能。因为 $ 1 \, eV = 1.602 \times 10^{-19} \, J $，初动能也可以表示为

$$ \frac{1}{2}mv^{2}=2.67\times10^{-19}J\times\frac{1eV}{1.602\times10^{-19}J}=1.69eV $$

遏止电压要提供足够的势能恰好阻止电子抵达阳极，即 $ eU_{a}=\frac{1}{2}mv^{2} $，所以阳极对阴极的遏止电压为 $ U_{a}=-1.6\ V $。

22.3 康普顿效应

爱因斯坦关于光电效应的光量子理论只涉及光量子的能量。认真对待光子的概念，应该通过实验进一步检测光子的动量。自由电子对X射线的散射实验证明光子不仅具有确定的能量和动量，而且这一散射过程可以被分析为光子与电子的完全弹性碰撞过程。由此，人们确认了光的波粒二象性，并最终发现了物质的波粒二象性普遍特征，为建立量子力学提供了重要启示。

文档康普顿

22.3.1 康普顿效应与光子的动量

1923年，美国物理学家康普顿（Arthur Holly Compton，1892—1962）研究了X射线被较轻物质（石墨、石蜡等）散射后波长的变化，发现散射谱线中除了有波长与原波长相同的成分外，还有波长较长的成分。这种散射现象称为康普顿效应（Compton effect）。

康普顿效应的实验装置如图22-7所示。由X射线管发出的X射线经光阑准直后具有确定的频率和传播方向，投射到石墨散射体后可以被碳原子中弱束缚的

电子或碳原子实散射。康普顿将 $ \lambda_0 = 0.071 \, \text{nm} $ 的 X 射线投射到石墨上，然后在不同的角度测量被石墨分子散射的 X 射线强度。当 $ \varphi = 0^\circ $ 时，只有等于入射频率的单一频率光。当散射角 $ \varphi \neq 0^\circ $（如 $ 45^\circ $、 $ 90^\circ $、 $ 135^\circ $）时，探测到两种波长的散射光；一种波长与入射光相同，另一种的波长比入射光增长，且新射线的波长 $ \lambda $ 与原入射 X 射线波长之差 $ \Delta\lambda = \lambda - \lambda_0 $ 随散射角 $ \varphi $ 的增大而增大。

按照经典电磁理论，入射的单色X射线作用于比波长尺寸小很多的带电粒子，将引起带电粒子的受迫振动，向各方向辐射同频率的电磁波，在任何散射方向都不会产生不同波长的新射线。这与实验事实不符。而根据光子假设，将石墨对X射线的散射过程理解为光子与石墨中自由电子的弹性碰撞过程则可以简单地解释康普顿效应。

考察如图22-8所示的光子与自由电子的弹性碰撞过程。碰撞前电子静止于坐标原点，频率为 $ \nu_{0} $的光子沿x轴方向入射；发生完全弹性碰撞后光子沿 $ \varphi $角方向射出，电子则获得了速度v，沿 $ \theta $角的方向运动。

能量守恒要求

$$ m_{0}c^{2}+h\nu_{0}=h\nu+\frac{m_{0}c^{2}}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}} $$

其中 h 和 c 分别是普朗克常量和光在真空中的传播速度, $ \nu $ 是散射光子的频率, $ m_{0} $ 标记电子的静止质量。沿 x 轴和 y 轴的动量守恒给出

$$ \frac{h}{\lambda_{0}}=\frac{h}{\lambda}\cos\varphi+mv\cos\theta,\quad0=-\frac{h}{\lambda}\sin\varphi+mv\sin\theta $$

其中光子的能量与 X 射线频率的关系是爱因斯坦光量子理论的基本假设，而光子动量与 X 射线波长的关系是狭义相对论的一个简单推论。由式(21-55)知， $ p=h\nu/c=h/\lambda $。而以平面波的传播方向为光子动量的方向也是一个自然的推论。

简单计算可以得到康普顿公式

$$ \Delta\lambda=\lambda-\lambda_{0}=\lambda_{c}(1-\cos\varphi) $$

其中

$$ \lambda_{c}=\frac{h}{m_{0}c} $$

称为电子的康普顿波长， $ \lambda_{c}\approx2.43\times10^{-3} $ nm。由式(22-18)可见，散射光波长的增量 $ \Delta\lambda $由散射方向角 $ \varphi $决定：当散射角 $ \varphi $增大时， $ \Delta\lambda $也随之增大，与实验结果一致。

以上关于光子与带电粒子弹性碰撞的理论并不局限于 X 射线与自由电子的相互作用。在散射物质石墨中，除了相对自由的弱束缚电子，还有带电的原子核和束缚很紧的内层电子。当 X 射线与它们发生相互作用时，光子将与整个原子交换能量和动量。此时康普顿公式 (22-18) 中的 $ \lambda_c $ 在计算时要以原子的质量 $ m_a $ 代之 $ m_0 $，由于 $ m_a \approx 2\,000m_0 $，原子实的康普顿波长很小， $ \lambda_a \approx 1.21 \times 10^{-6} $ nm，故 X 射线被散射后波长的增量可以忽略不计。因此，散射光中除了波长增长的新射线，还有波长不变的成分。

【例 22-5】由波长差公式 (22-18) 可知，当散射角 $ \varphi = \pi $ 时波长的移动量最大， $ \Delta\lambda = 4.86 \times 10^{-12} $ m。今用 $ \lambda_0 = 56 \times 10^{-6} $ $ \mu $m 的 X 射线， $ \lambda_0 = 0.55 $ $ \mu $m 的可见光 (绿光) 做散射实验，求波长移动量 $ \Delta\lambda $ 与原波长 $ \lambda_0 $ 的比值为多少？

解 X 射线： $ \frac{\Delta\lambda}{\lambda_{0}}=\frac{4.86\times10^{-12}}{56\times10^{-12}}\approx\frac{1}{10} $

绿光： $ \frac{\Delta\lambda}{\lambda_{0}}=\frac{4.86\times10^{-12}}{0.55\times10^{-6}}\approx\frac{1}{10^{6}} $

由此可见，X射线散射时波长的移动量 $ \Delta\lambda $约为原波长 $ \lambda_{0} $的1/10，这在实验中是能够观察到的；用可见光做实验时波长移动量 $ \Delta\lambda $只有原波长 $ \lambda_{0} $的百万分之一，这是难以察觉的。

【例22-6】在康普顿效应实验中，能量为0.5 MeV的入射光子与自由电子相互作用，电子获得0.1 MeV的动能。求散射光子的波长和散射角。

解 散射光子的能量 $ h\nu=\frac{hc}{\lambda}=0.5-0.1\ \text{MeV}=0.4\ \text{MeV} $

$$ h c=6.63\times10^{-34}\times3.00\times10^{8}J\cdot m=12.43\times10^{-7}eV\cdot m=12.43\times10^{-4}MeV\cdot nm $$

散射光子的波长 $ \lambda=\frac{hc}{hv}=\frac{12.43\times10^{-4}}{0.4} $ nm $ =3.1\times10^{-3} $ nm

入射光子的波长 $ \lambda_{0}=\frac{hc}{hv_{0}}=\frac{12.43\times10^{-4}}{0.5} $ nm $ =2.48\times10^{-3} $ nm

由 $ \Delta\lambda=\lambda-\lambda_{0}=\frac{h}{m_{0}c}(1-\cos\varphi) $ 代入数值得散射角

$$ \varphi=42^{\circ} $$

22. 3.2 光的波粒二象性

人们关于光的本质的认识经历了漫长而曲折的过程。最初，牛顿提出光的粒子学说。假设光束本质上是遵循力学定律的粒子流，牛顿可以解释当时已知的主要光学效应，例如光的直线传播定律和光的反射定律。但是，牛顿的粒子说甚至都不能自圆其说地解释光的折射规律。

19 世纪后半期，大量实验无可争辩地证明了光的波动性，惠更斯提出的光的波动学说逐步为人们广泛接受。麦克斯韦的电磁理论进一步揭示出光本质上是特殊频率的电磁波。由电磁波理论可以成功地解释光的干涉、衍射、偏振等有关光的传播现象。

然而，光的经典电磁理论又不能解释黑体辐射、光电效应、康普顿效应等实验现象。光子的概念赋予了电磁场更具体的物质特性——电磁场由大量光子组成。电磁场对处于其中的带电粒子的作用实际上是光子撞击带电粒子的宏观表现。粗略地说，空间某处比较强的电场意味着比较大的光子数密度。这一切正如我们在光电效应和康普顿效应中所解释的那样。

关于光的粒子性的认识不是历史的简单回归，牛顿的粒子说是与波动说完全对立的。现在所认识到的粒子性只是光性质的一个方面，光性质的另一个方面是它的波动性。即概括为光具有波粒二象性（wave-particle duality）：在一些物理过程中，光显示出干涉和衍射等典型的波动特征；在另一些过程中，光表现为具有确定动量和能量的粒子；当然，人们不可能在任何实验中同时观察到概念上不相容的波动和粒子特征。

第一个肯定光既有波动性又有粒子性的是爱因斯坦。早在1905年，爱因斯坦在光量子假设中，就隐含了波动性与粒子性是光的两种表现形式的思想。他认为光在传播过程和与物质相互作用的过程中，能量不是分散的，而是一份一份地以能量子的形式存在。

在经典物理中，粒子和波是描述截然不同的物理对象的两个概念。粒子是指质量和能量局限于有限空间区域并作整体运动的微观个体，该客体既具有一定的质量和电荷等属性，又具有一定的位置和确切的一条运动轨道。波则是指分布在空间各处、互相影响并随时间和空间位置周期变化的某一物理量的传播过程。“波动性”意味着某种实在的物理量的空间分布在作周期性的变化，并呈现出干涉、衍射等反映相干叠加性的现象。显然，在经典概念下，粒子性和波动性很难统一到一个客体上去。然而，近代物理的实验已经表明光具有粒子和波动二象性。

光既是粒子，又是波，但不是经典意义下的粒子，也不是经典意义下的波，经典物理不足以描述光子的行为。在早期量子论中，人们对光的波粒二象性的理解可以概括为所谓的爱因斯坦关系，即

$$ \varepsilon=h\nu,\quad p=\frac{h}{\lambda} $$

它揭示了一束单色平面电磁波的频率 $ \nu $ 和波长 $ \lambda $ 与平面波中光子的能量 $ \varepsilon $ 和动量 p 的内在联系。第23章将讨论波函数的统计诠释，对物质的波粒二象性有更深刻的阐述。

22.4 氢光谱与玻尔氢原子模型

原子发光的规律取决于原子的内部结构和组成，原子光谱的研究是了解原子结构的重要手段。氢原子是最简单的原子，核外仅有一个电子。通过研究最简单的氢原子可以获得原子结构的普遍知识。

22.4.1 氢光谱的实验规律

氢原子光谱是最简单的原子光谱，可以从氢放电管中获得。到1885年人们已在可见光和近紫外光谱区发现了氢原子光谱的14条谱线，谱线强度和间隔都沿着短波方向递减。其中可见光区有4条，分别用 $ H_{\alpha} $， $ H_{\beta} $， $ H_{\gamma} $和 $ H_{\delta} $表示，其波长分别为656.28 nm、486.13 nm、434.05 nm和410.17 nm，如图22-9所示。

文档巴耳末

1885年，瑞士数学教师巴耳末(Johann Jakob Balmer，1825—1898)发现谱线的波长可以简单地表示为

$$ \lambda_{n}=B\left(\frac{n^{2}}{n^{2}-4}\right),\quad n=3,4,5,\cdots $$

称为巴耳末公式，式中常量 B=364.57 nm。当 n=3,4,5…时上式分别给出氢原子可见光谱中 $ H_{\alpha},H_{\beta},H_{\gamma} $ 和 $ H_{\delta} $ 等谱线的波长，这些谱线称为巴耳末线系。如果把波长的倒数 $ \sigma=1/\lambda $ 定义为波数，则巴耳末公式可以改写为

$$ \sigma_{n}=R\Big(\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{n^{2}}\Big),\quad n=3,4,5,\cdots $$

式中 $ R=4/B=1.097\ 373\ 156\ 853\ 9\left(55\right)\times10^{7}\ m^{-1} $，称为里德伯常量（Rydberg constant）。

此后，人们又陆续发现了氢原子光谱的其他谱线系，一个在紫外区，其他几个在红外区。里德伯（Johannes Rober Rydberg，1854—1919）将巴耳末公式推广为更普遍的形式，即

$$ \sigma_{kn}=R\Big(\frac{1}{k^{2}}-\frac{1}{n^{2}}\Big),\quad n>k=1,2,3,\cdots $$

称为里德伯公式，其中 k 和 n 均为正整数，且 k<n。当 k=1,2,3,4,5 时，分别给出氢光谱不同的线系，参见表22-2。

22.4.2 玻尔氢原子模型

1897 年，英国物理学家汤姆孙（Joseph John Thomson，1856—1940）通过阴极射线实验发现了电子。所有的电子带相同的负电荷，具有相同的质量。

1904年，汤姆孙本人提出了一个原子模型，如图22-10所示，认为原子中的正电荷均匀分布在一个球体内，电子镶嵌在其中做简谐振动，并辐射特定频率的电磁波。这个模型被人们形象地称为“面包-葡萄干”模型。

但是这个原子模型无法说明 $ \alpha $ 粒子散射实验的结果。实验表明，以高速运动的 $ \alpha $ 粒子轰击薄金箔，大多数 $ \alpha $ 粒子散射角很小，但也有约 $ 1/8400 $ 的粒子发生大角散射，个别 $ \alpha $ 粒子甚至被直接散射回来，散射角达到 $ 180^{\circ} $。 $ \alpha $ 粒子是带两个正电荷的氦离子，质量约为电子质量的 7300 倍，当它与电子碰撞时几乎不会改变运动方向。按照汤姆孙模型，正电荷弥散在原子内部，也不能产生强电场，对 $ \alpha $ 粒子影响不大，不可能发生大角度的散射。

文档 汤姆孙

1911年，卢瑟福（Ernest Rutherford，1871—1937）通过分析α粒子散射实验的结

文档 卢瑟福

果，提出了原子结构的“太阳系模型”。按照这个模型，原子由原子核和电子构成，原子核集中了原子中的全部正电荷和整个原子99.95%的质量，而所占区域极小。电子在原子核的库仑力作用下绕核运动，类似于行星绕太阳转动。

由于带正电荷的原子核集中在一个很小的区域，如果入射的 $ \alpha $粒子足够靠近

原子核就可能感受到巨大的库仑排斥力，发生大角散射，如图22-11所示。特别值得指出的是，虽然金箔由大量的金原子组成，但是对于入射的 $ \alpha $粒子，金箔是一个非常稀疏的结构，它主要受到某一个金原子核的库仑排斥作用，其他金原子核和电子的作用可以忽略不计。卢瑟福原子模型成功地解释了 $ \alpha $粒子散射实验的结果，正确地揭示了原子结构的主要特征，为人们深入研究原子和分子的物理性质奠定了基础。

文档玻尔

但是卢瑟福模型却无法说明原子的稳定性和原子的线光谱。按照经典电磁理论，电子绕核做加速运动，将不断向外辐射电磁能，核外电子的能量和轨道半径迅速减少，并很快落入原子核，自然界似乎不可能存在稳定的原子。另外，电子绕核加速运动产生的电磁辐射应该是连续分布，不应该给出线光谱。

1913年，丹麦物理学家玻尔（Niels Bohr，1885—1962）从氢原子光谱的实验规律出发，在综合考虑卢瑟福有核原子模型、氢光谱的里德伯公式、普朗克能量子假说和爱因斯坦光子假说的基础上，建立了氢原子模型。

玻尔模型的基础是如下三条基本假设，即：

定态假设：氢原子中的核外电子在一些特定的可能轨道上绕核作圆周运动，称为氢原子的定态；电子轨道离核愈远能量愈高。

量子跃迁假设:处于定态的核外电子不发射也不吸收能量,只有当电子从一个定态轨道跃迁到另一个定态轨道时原子才发射或吸收一个具有确定能量的光子;电磁辐射的频率由爱因斯坦关系确定,即 $ \Delta E = h\nu $,其中 $ \Delta E $是两个定态的能量差, $ h = 6.63 \times 10^{-34} $ J·s为普朗克常量。

角动量量子化假设：处于定态的核外电子的角动量必须是 $ h/2\pi $ 的整数倍。

玻尔进一步发展了普朗克和爱因斯坦的思想，即主要由宏观世界的物理实验总结出来的经典物理学规律能否应用于原子的微观世界需要重新检验。考虑卢瑟福的原子模型，由于氢原子核的质量约为电子质量的1840倍，当电子绕核做圆周运动时，可以忽略原子核的运动。氢原子核电荷量为+e，电子带电为-e，它们之间的静电引力提供了电子做圆周运动的向心力，即

$$ m\frac{v^{2}}{r}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{e^{2}}{r^{2}} $$

其中 r 为核外电子圆周运动的轨道半径，因此电子的动能为

$$ \frac{1}{2}mv^{2}=\frac{1}{8\pi\varepsilon_{0}}\frac{e^{2}}{r} $$

以 $ r \to \infty $ 时为电势能零点，则系统的电势能为 $ -e^{2}/4\pi\varepsilon_{0}r $。所以，氢原子系统的总能量为

$$ E=\frac{1}{8\pi\varepsilon_{0}}\frac{e^{2}}{r}-\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{e^{2}}{r}=-\frac{e^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}r} $$

按照角动量量子化假设，核外电子定态轨道还要满足量子化的条件

$$ L=mvr=n\frac{h}{2\pi},\quad n=1,2,3,\cdots $$

其中 n 标识不同的定态轨道。再利用等式(22-25)可得不同的定态轨道半径

$$ r_{n}=n^{2}\frac{\varepsilon_{0}h^{2}}{\pi m e^{2}},\quad n=1,2,3,\cdots $$

即电子绕核运动的轨道半径也是量子化的。当 n=1 时，得 $ r_{1}=\frac{\varepsilon_{0}h^{2}}{\pi me^{2}} $，称为氢原子的玻尔半径（Bohr radius），常记作 $ a_{B}\approx0.529\times10^{-10}\ m $ 。用玻尔半径表示，氢原子定态轨道半径式（22-28）可以改写为

$$ r_{n}=n^{2}a_{B} $$

电子定态轨道半径与 $ n^{2} $ 成正比。虽然当时难以直接测量原子的半径，但实验表明氢原子的尺寸的确大约为 $ 10^{-10} $ m 数量级。将式 (22-28) 代入式 (22-26) 还可得到定态能量表达式

$$ E_{n}=-\frac{me^{4}}{8\varepsilon_{0}^{2}h^{2}}\frac{1}{n^{2}} $$

其中 n=1,2,3, $ \cdots $，原子系统能量的可能取值是不连续的。这种量子化的能量值称为能级(energy level)。计算可得，氢原子各定态的能量值为

$$ E_{n}=-\frac{13.6}{n^{2}}\mathrm{eV},\quad n=1,2,3,\cdots $$

令 $n=1$ 时，得 $E_1 = -13.6$ eV，这是氢原子能量最低的定态，称为氢原子的基态（ground state）。当 $n>1$ 时的能量状态称为激发态（excited state）。当 $n \to \infty$ 时，$E_\infty = 0$，是氢原子的电离态，相当于氢原子中的电子摆脱原子核的束缚而电离成氢核和自由电子。因此，使处于基态的氢原子电离所需要最小能量为 $E = E_\infty - E_1 = 13.6$ eV，称为氢原子的电离能（ionization energy）。图 22-12 是氢原子的能级图，氢原子能级不等间距，随着 $n$ 的增大，能级越来越密集，当 $n = \infty$ 时，能量可以近似看成连续分布。

根据量子跃迁假设，氢原子从定态 n 到定态 k 跃迁过程中释放的光子能量为

$$ h\nu_{mn}=\frac{me^{4}}{8\varepsilon_{0}^{2}h^{2}}\left(\frac{1}{k^{2}}-\frac{1}{n^{2}}\right),\quad n>k=1,2,3,\cdots $$

注意到线光谱的波数与光子频率的关系 $ \sigma_{kn}=1/\lambda=\nu_{kn}/c $，式(22-32)可改写为里德伯公式(22-23)，且里德伯常量为

$$ R=\frac{me^{4}}{8\varepsilon_{0}^{2}h^{3}c}\approx1.09737\times10^{-7}m^{-1} $$

与实验数据吻合。如果固定 $ E_{k} $，电子从不同的高能级 $ E_{n} $ 向下跃迁发出的谱线就构成一个光谱系，例如取 k=2 就可得到巴耳末系。

玻尔的氢原子模型从理论上推导出氢光谱的里德伯公式（22-23），成功地解释了氢原子光谱实验规律，是量子论的重大进展，打开了人类认识微观世界的大门。1915年，德国物理学家索末菲（Arnold Sommerfeld，1868—1951）进一步将玻尔的氢原子模型推广到包括椭圆轨道，并考虑了电子的质量随其速度而变化的狭义相对论效应，解释了光谱的精细结构。1916年，爱因斯坦又从玻尔的原子理论出发采用统计的方法分析了物质对光的吸收和发射过程，重新导出了普朗克黑体辐射定律。

早期量子论虽然取得了明显的成就，但都是在经典物理基础上拼接一些特殊的量子化条件的过渡性理论。玻尔氢原子模型可以解释光谱线的频率，却完全不涉及光谱线的强度；更为严重的是，确定定态的角动量量子化条件无法作为普遍的物理规则应用于其他一般的物理系统。量子力学才是最终解决这些问题的一般理论，第23章将通过薛定谔方程简单介绍这一新力学的基本概念和方法。

习题

22-1 白炽灯工作时的温度为 2400 K，灯丝可以看作黑体。如果灯的功率为

100 W, 则灯丝的表面积为()。

A. $ 5.3 \times 10^{-8} $ m $ ^{2} $ B. $ 1.0 \times 10^{-6} $ m $ ^{2} $ C. $ 5.3 \times 10^{-6} $ m $ ^{2} $ D. $ 7.4 \times 10^{-2} $ m $ ^{2} $

22-2 当单色光垂直照射金属表面产生光电效应时，已知此金属的逸出电位为 $ U_{0} $，则这种单色光的波长 $ \lambda $ 一定要满足的条件是（）。

A. $ \lambda \leqslant \frac{hc}{eU_{0}} $ B. $ \lambda \geqslant \frac{hc}{eU_{0}} $ C. $ \lambda \geqslant \frac{eU_{0}}{hc} $ D. $ \lambda \leqslant \frac{eU_{0}}{hc} $

22-3 用频率为 $ \nu_{1} $ 的单色光照射一金属表面产生光电效应，用频率为 $ \nu_{2} $ 的单色光照射另一金属表面也产生光电效应，而且测得他们的光电子初动能有 $ E_{k1} > E_{k2} $ 的关系，则()。

A. $ \nu_{1}>\nu_{2} $ B. $ \nu_{1}<\nu_{2} $ C. $ \nu_{1}=\nu_{2} $ D. 不能确定

22-4 如题22-4图所示，被激发的氢原子跃迁到低能态时，可能发出波长为 $ \lambda_{1},\lambda_{2} $和 $ \lambda_{3} $的辐射，这三种波长的关系是()。

A. $ \lambda_{1}+\lambda_{2}=\lambda_{3} $ B. $ 2\lambda_{1}+2\lambda_{2}=\lambda_{3} $ C. $ \frac{1}{\lambda_{1}}+\frac{1}{\lambda_{2}}=\frac{1}{\lambda_{3}} $ D. $ \frac{1}{2\lambda_{1}}+\frac{1}{2\lambda_{2}}=\frac{1}{\lambda_{3}} $

22-5 氢原子光谱巴耳末系中，波长在 $ 656.2 \sim 377 \, nm $ 的范围内，共有谱线（）。

A. 6 条 B. 7 条 C. 8 条 D. 9 条

22-6 波长为 $ 0.710 \, A $ 的 X 射线射到石墨上，在与入射方向成 $ 45^{\circ} $ 角处观察到康普顿散射 X 射线的波长是()。

A. $ 0.703 \, A $ B. $ 0.007 \, 1 \, A $ C. $ 0.071 \, A $ D. $ 0.717 \, A $

22-7 将星球看成是绝对黑体，设测得太阳的 $ \lambda_{m}=5\ 500\ \textup{\AA} $，北极星 $ \lambda_{m}=3\ 500\ \textup{\AA} $，天狼星的 $ \lambda_{m}=2\ 900\ \textup{\AA} $，则这三个星球的表面温度分别是 ___，___，___。

22-8 波长为 $ 300 \, nm $ 的紫外线照射金属表面时，产生光电效应的光电子的能量在 0 J 到 $ 4.0 \times 10^{-19} \, J $ 的范围内，则此金属产生光电效应的红限频率是 ___。

22-9 已知氢原子基态能量为 $ E_{1}=-13.6\ eV $，根据玻尔理论，要把氢原子从基态激发到第一激发态所需能量为 ___。

22-10 当一个质子俘获一个动能为 $ E_{k}=13.6\ eV $ 的自由电子组成一个基态氢