第六篇 近代物理 · 第21章 狭义相对论
19世纪末经典物理学已经发展得相当完善。它能够以令人满意的方式描绘出一个图像清晰的物理世界。粒子和场是这个世界的基本组成。粒子被分析为遵循牛顿定律的质点，而电磁场的运动变化规律已被总结为麦克斯韦方程组。如果涉及大数粒子组成的宏观系统，热力学和统计物理能够分别从宏观和微观的角度描述系统热运动的特征。经典物理的世界秩序井然，因果分明，物理概念直观形象。经典物理学能够很好地说明和解释许多重要的实验结果，至今仍在工程技术应用和基础研究中发挥重要作用。
但是物理学并不仅仅满足于构建一个符合逻辑的理论体系，它总是力求发现和理解更广泛的现象和经验。在19世纪80年代到20世纪30年代的50年间，也就是在经典物理学日渐完善的同时，违背经典理论的新实验和新发现不断增多并最终导致了以相对论（relativity）和量子力学（quantum mechanics）为基础的新物理学的建立。这不仅仅是新的物理规律的发现，更重要的是它从根本上改变了人们对客观世界业已形成的一些固有观念，使人类认识客观世界的范围从亚原子的微观领域一直延伸至整个宇宙。
相对论常常给人一种神秘的印象，这主要是因为它给出了一系列违背日常经验的结论，例如孪生子效应、黑洞、大爆炸宇宙说、时间和长度的相对性，但部分原因却要归咎于通俗读物的推波助澜。读者在学习的时候若能虚心地放弃成见，就不难明白相对论事实上是遵循最典型的物理方法建立起来的科学理论，它是考虑狭义相对性原理和光速不变原理的影响和限制以后对原有的经典物理学的批判和继承，其结果都经历了科学实验和工程技术实践的反复检验，并像经典物理一样在科学研究和日常生活中发挥作用。
量子力学在物理原理上简洁优美，能非常精确地预言和解释几乎所有重要的实验结果；但它是以牺牲经典物理学的直观形象为代价的。在开始学习量子物理时我们要特别注意量子力学高度抽象的特征。当然，克服了最初数学上的困难，我们将发现一个比经典物理更广阔、更深邃的新世界。我们还将逐步了解到量子物理并不仅仅是远离人类日常生活经验的智力探险，它还是构建现代信息社会的科学基础，例如激光、核电站、计算机和移动电话等的基本原理都离不开量子力学。作为描述微观世界的基本理论，量子力学还为原子物理学、固体物理学、核物理学以及粒子物理学等学科奠定了理论基础。
本篇将简要介绍相对论和量子力学的基础知识。
>> 第21章
狭义相对论
文档 迈克
耳孙
文档 爱因斯坦
文档 伽利略
20世纪初，迈克耳孙（Albert Abraham Michelson，1852—1931）-莫雷（Edward Morley，1838—1923）关于地球相对于以太运动速度测量的零结果实验、考夫曼（W. Kaufmann）关于电子质量随速度增加等一系列新发现使经典物理学遭遇到空前危机。爱因斯坦（Albert Einstein，1879—1955）于1905年建立的狭义相对论（special relativity）彻底解决了物理学的这些困难。后来，在《物理学的进化》一书中爱因斯坦是这样总结的：相对论的兴起是由于实际需要，是由于旧理论中严重而深刻的矛盾已经无法避免了。新理论的力量在于——仅用几个非常令人信服的假定就一致而简单地解决了所有这些困难。旧力学只在低速下成立，成为了新力学（相对论力学）的极限情形。
在狭义相对论中，爱因斯坦从两个基本假设出发，对一些基本概念——例如时间、空间以及一些旧的观念——力学相对性原理等进行了改造，使得物理学又能够令人满意地描述新的实验结果和现象。本章学习的狭义相对论只适用于惯性参考系，爱因斯坦在1915年提出的广义相对论（general relativity）能够普遍地描述非惯性参考系中的物理现象，并且建立了引力与时空弯曲的内在联系。
21.1 牛顿的绝对时空观
21.1.1 伽利略变换 力学相对性原理
在上册的力学部分已经介绍了伽利略坐标变换和伽利略相对性原理，这里再做简要回顾。
假设在 S 和 S' 两个惯性参考系（直角坐标系）中，在 $ t=t'=0 $ 时两坐标系的坐标原点重合，S' 以匀速率 v 相对于 S 沿 x 轴正向运动。对于事件 P，如果在 S 系统中测得其位置和发生的时刻为 $ (x,y,z,t) $，在 S' 系统中测得的相应量为 $ (x',y',z',t') $，根据伽利略坐标变换，应有
$$ \left.\begin{array}{l} x^{\prime}=x - v t \\ y^{\prime}=y \\ z^{\prime}=z \\ t^{\prime}=t \end{array}\right\} $$
将方程组(21-1)两边分别对相应坐标系的时间求导数，考虑到 $ t=t^{\prime} $，可以得到伽利略速度变换公式为
$$ \left.\begin{array}{l}{u_{~x}^{\prime}=u_{x}~-~v}\\ {u_{~y}^{\prime}=u_{y}}\\ {u_{~z}^{\prime}=u_{z}}\end{array}\right\} $$
将上式合并成矢量式，为 $ u'=u-v $，这就是我们所熟知的经典力学中相对运动的速
度变换公式。
再将速度变换式两边对时间求导数，因坐标系之间的相对运动为匀速率，可得到矢量形式的加速度变换公式
$$ \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{u}^{\prime}}{\mathrm{d}t^{\prime}}=\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{u}}{\mathrm{d}t} $$
即 $ a'=a $，这表明同一物体在不同的惯性系中的加速度是相同的，即牛顿第二定律F=ma在所有的惯性参考系中形式不变。 $ \underline{\text{牛顿定律和其他力学基本规律在不同的惯性系中都具有相同形式，这就是经典力学中的力学相对性原理}} $。
力学相对性原理最先出现在牛顿运动定律的一个推论中：在一个给定的空间中，各个物体的运动是彼此相同的，无论这个空间是静止的，还是在做匀速直线运动。也就是说，牛顿定律在一个匀速直线运动参考系中与在一个静止的参考系中形式相同，通过在一个惯性系内部所做的任何力学实验都不能推断该惯性系相对于其他惯性系是否在运动。
力学相对性原理与牛顿的绝对时空观密不可分。牛顿的绝对时空观是牛顿力学的重要组成部分。关于“绝对时间”，牛顿指出：绝对的、真正的和数学的时间自身在流逝着，并且由于它的本性而均匀地、同任何外界事物无关地流逝着。关于“绝对空间”，牛顿指出：绝对的空间，就其本性而言，是和外界任何事物无关，永远是相同的和不动的。“相对于绝对空间的匀速直线运动是无法觉察的”其实就是力学相对性原理的另一种表述。
21.1.2 迈克耳孙-莫雷实验
求解麦克斯韦方程组可以得到，电磁波在真空中的传播速度 $ v = c = (\varepsilon_0 \mu_0)^{-1/2} $ 仅仅取决于真空的介电常量 $ \varepsilon_0 $ 和磁导率 $ \mu_0 $，它们两者都不依赖于特殊的惯性参考系 [式 (20-26)]。利用现代精密的激光测量技术，可以很精确地测量光速，也就是电磁波的速度。现在把光在真空中的速率 $ c $ 规定为一个基本常量，其值为299 792 458 m·s⁻¹。国际单位制中长度单位 m (米)正是根据这一规定来定义的。
但是根据伽利略速度变换公式(21-2)，如果在某一惯性系中测得的光速为c，在沿光传播方向上以速度v运动的另一惯性参考系中测得的光速应该为c-v，也就是说在这个运动的惯性系中麦克斯韦方程组的形式要改变。为了适应伽利略速度变换，人们最初假想了一种弥漫于整个宇宙处于绝对静止状态的介质——以太(ether)，认为麦克斯韦方程组只有在相对于以太静止的惯性参考系中才成立，而在相对于以太以速率v运动的惯性参考系中，光速由伽利略速度变换公式确定。为了验证上述以太假设的正确性，迈克耳孙和莫雷在1887年完成了一个著名的实验，即迈克耳孙-莫雷实验，目的是测定地球相对于以太的运动速度。
迈克耳孙-莫雷实验原理如图21-1(a)所示，由光源S发出波长为 $ \lambda $的光，入射到半透半反镜G后，一部分光反射到平面镜 $ M_{1} $上，由 $ M_{1} $反射回来透过G到达观测镜T；另一部分光透过G到达平面镜 $ M_{2} $上，由 $ M_{2} $反射回来透过G到达观测镜T。
假设臂长 $ GM_{1}=GM_{2}=l $，当两束光重新相遇时会由于相位差而产生相干现象。
如果将迈克耳孙干涉仪的 GM₂ 臂沿地球公转运动方向放置，显然光源和干涉仪均以地球公转速率 $ v $（约 $ 3 \times 10^4 \, \text{m} \cdot \text{s}^{-1} $）相对于以太沿 GM₂ 方向运动。根据伽利略变换，光束沿 GM₂ 臂往返一次时间为
$$ t_{1}=\frac{l}{c-v}+\frac{l}{c+v}=\frac{2l}{c}\bigg(\frac{1}{1-v^{2}/c^{2}}\bigg)\approx\frac{2l}{c}\bigg(1+\frac{v^{2}}{c^{2}}\bigg) $$
假设光束沿 $ GM_{1} $ 臂往返所经历的时间为 $ t_{2} $，考虑到地球的公转运动，光束沿 $ GM_{1} $ 臂往返经过的路径如图 21-1(b) 所示，因此有
$$ l^{2}+\left(\frac{v t_{2}}{2}\right)^{2}=\left(\frac{c t_{2}}{2}\right)^{2} $$
根据上式可以解出
$$ t_{2}=\frac{2l}{c\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}\approx\frac{2l}{c}\bigg(1+\frac{v^{2}}{2c^{2}}\bigg) $$
因此，光束在两臂间传播的时间差为
$$ \Delta t=t_{1}-t_{2}=\frac{lv^{2}}{c^{3}} $$
如果将上述实验装置顺时针转动 $ 45^{\circ} $，由于两臂对称，光束在两臂间传播的时间差将消失，即在转动过程中，两光束传播的时间差改变了 $ \Delta t = \frac{lv^{2}}{c^{3}} $；如果再继续顺时针转动 $ 45^{\circ} $，则时间差的总改变量为 $ 2\Delta t = \frac{2lv^{2}}{c^{3}} $。根据迈克耳孙干涉仪的实验原理，两光束传播时间差的改变意味着两光束在重新相遇时相位差的改变，这将引起干涉条纹的移动。如果按上述方式将干涉仪顺时针转动 $ 90^{\circ} $，干涉条纹移动的条数为
$$ \Delta N=\frac{2c\Delta t}{\lambda}=\frac{2lv^{2}}{\lambda c^{2}} $$
在迈克耳孙-莫雷实验中，臂长l约为10 m，光的波长 $ \lambda=5.0\times10^{-7} $ m，代入相关数据，可计算出干涉条纹移动的条数 $ \Delta N\approx0.4 $。而当时迈克耳孙干涉仪的精度已经达到条纹的1/100，因此，按照预想，应该毫不费力地观察到这0.4条条纹的移动。但他们在各种不同条件下进行了一年的观测，都没有测到预期的光速变化。关于该实验的零结果，最直接的解释应该是“地球相对于以太的运动速度为零”。换句话说，地球似乎应该是一个绝对静止的惯性系。这当然是与大量力学实验结果不一致的结论。如果不受伽利略变换关系和力学相对性原理的束缚，迈克耳孙-莫雷实验结果还可以解释为：真空光速是一个不变量，即真空中的光速在所有惯性系中都是相同的。
21.1.3 经典力学的困境
1. 麦克斯韦电磁理论对力学相对性原理提出了严峻挑战
麦克斯韦在1873年发表了电磁学理论的基本动力学方程——麦克斯韦方程组，它能描述电磁场的演化规律，预言了电磁波的存在，并给出了电磁波在真空中的传播速度与真空光速c相同，揭示了光的电磁本性。力学相对性原理作为一条管定律的定律，人们也试图要求麦克斯韦方程组也服从这一相对性原理。但是要使麦克斯韦方程组在任意惯性系中都取相同的形式，就意味着“电磁波相对于任意惯性系的速率都是c”。但这显然会违背伽利略的速度变换关系。因此经典物理学面临的选择就是：要么相对性原理只适合力学而不适合电磁学；要么就是麦克斯韦电磁理论需要修正。这是一个两难的选择：相对性原理的普适性是物理学家们的追求，而麦克斯韦的电磁理论又能经得起实验的检验。导致上述矛盾的根源其实来自于伽利略坐标变换关系给出的速度变换式，狭义相对论正是在这里找到问题的突破口，从根本上解决了上述疑难。
2. 超新星爆发过程中光传播的困惑
据《宋会要》记载：“……初，至和元年五月，晨出东方，守天关。昼如太白，芒角四出，色赤白，凡见二十三日。”用现代文来讲，就是从1054年7月开始，有“客星”出现在天关（即金牛座 $ \zeta $星）附近，在最初的23天，即使在白昼，它也像“太白”（即金星）一样亮。这一记载被认为是对现在蟹状星云所对应的超新星爆发的记录。
当一颗恒星核燃料耗尽时会产生超新星爆发，爆发时它的外围物质向四面八方飞散，有些抛射物飞向我们（超新星与地球的连线方向），其发出的光线设为A；有些抛射物沿着垂直于超新星和地球的连线方向，其发出的光线设为B。依据现代观测，蟹状星云到地球的距离L大约是5 000 l.y.（光年），爆发中抛射物的速度v大约是1 500 km·s⁻¹。如果光线的传播满足伽利略速度合成公式，则A和B达到地球的时间分别是L/(v+c)和L/c，其他方向抛射物发出的光到达地球的时间应介于二者之间。带入上述数据计算，发现A、B两种光线到达地球的时间差达到25年之久，也就是说应该在25年内都能持续看到这颗亮星，但根据史书的记载它最亮也就23天，然后慢慢变暗，约两年后就彻底隐没了。这一事实充
分说明光的传播速度是不满足伽利略速度变换关系的。
21.2 爱因斯坦的相对论时空观
21.2.1 狭义相对论的基本假设
光速在不同参考系中的这种“不变性”显然与伽利略速度变换公式(21-2)是不一致的。爱因斯坦认为这表明伽利略变换所隐含的时空观必须修正，他以非常简单和朴素的方式提出了两个基本假设，从根本上解决了真空光速恒定不变的事实给传统理论所带来的巨大困难。
爱因斯坦基本假设：
（1）狭义相对性原理：在洛伦兹变换下一切物理规律保持不变，即自然规律在所有惯性参考系中具有相同的数学形式。
（2）光速不变原理：所有惯性参考系中的真空光速都相同。
要利用爱因斯坦的两个基本假设来解决我们前面提出的困难，首要任务就是要确定不同惯性系之间的坐标变换，因为伽利略坐标变换显然不满足爱因斯坦的基本假设。当然，根据经验，伽利略坐标变换在低速下是成立的，一个普适的、正确的坐标变换应该在低速下还原为伽利略坐标变换。一个新理论在常规条件下能还原为经典理论的思想已经成为现代理论创新过程中的一条基本思路和检验判据。
*真空光速c是自然界物质运动速度的上限，静止质量为零的粒子（如光子，也许还包括中微子）的真空速度在惯性系中沿各个方向上的速度都是c，有静止质量的粒子（如电子）等无论怎样加速其速度都不可能达到光速c。W. Betozzi在1964年做了一个实验——测量持续被加速的电子速度，发现当增大持续作用在一个速度很高的电子上的力时，电子的动能可以增加到很大的值，但电子的速度最多只达到光速的0.99999999995倍，这从实验上验证了真空光速是速度上限的结论。
21.2.2 洛伦兹变换 物理规律的洛伦兹不变性
1. 洛伦兹坐标变换
下面我们根据爱因斯坦的两个基本假设，给出狭义相对论下的坐标变换关系——洛伦兹坐标变换（Lorentz transformation）。
如图21-2所示，设S和S'为两个惯性参考系，同样地，假设在 $ t=t'=0 $时两坐标系的坐标原点重合，S'系以匀速率v相对于S系沿x轴正向运动。对于事件P，假设在S系中测得其位置和发生的时刻为 $ (x,y,z,t) $，在S'系中测得的相应量为 $ (x',y',z',t') $，下面我们将导出S系中的坐标与S'系中的坐标之间的变换关系。
根据狭义相对论的基本假设，欲使正变换和逆变换取相同的形式而且保持真
空光速不变，对变换关系的一个合理猜想应该是线性变换
$$ x^{\prime}=\gamma(x-v t) $$
其中， $ \gamma $ 是与坐标 x, t 无关的比例系数（伽利略坐标变换中没有该因子），由它来实现不同惯性系中的真空光速不变。
根据狭义相对性原理，惯性系 S 和 S' 中的物理方程应该具有相同的数学形式，因此逆变换应取如下形式：
$$ x=\gamma\left[x^{\prime}-\left(-v\right)t^{\prime}\right] $$
其中，v 前面的负号表示 S 系相对于 S' 系统的速度沿 x' 轴的负方向。
假定在两坐标系原点重合时 $ (t=t'=0) $从原点发出一个沿x轴正方向传播的光信号，根据光速不变原理，对于两个参考系中的观测者，光速都是c。在S系的观测者经过时间t后测得光信号达到点的坐标为x=ct；对同一事件，在S'的观测者经过时间t'后测得光信号达到点的坐标为 $ x'=ct' $。将这些结果代入式（21-9）和式（21-10），有
$$ x^{\prime}=c t^{\prime}=\gamma\left(c t-v t\right)=\gamma\left(c-v\right)t $$
$$ x=c t=\gamma\left(c t^{\prime}+v t^{\prime}\right)=\gamma\left(c+v\right)t^{\prime} $$
将上面两式相乘，可得
$$ c^{2}t t^{\prime}=\gamma^{2}(c^{2}-v^{2})t t^{\prime} $$
因此有
$$ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}} $$
将式(21-14)代入式(21-9)，有
$$ x^{\prime}=\frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}} $$
将式(21-14)代入式(21-10)，有
$$ x=\frac{x^{\prime}+vt^{\prime}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}} $$
联立式(21-15)和式(21-16)可得
$$ t^{\prime}=\frac{t-\frac{v}{c^{2}}x}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}} $$
在垂直于坐标系相对运动速度方向的其他两个坐标 $ (y,z) $方向上，坐标变换关系为 $ y'=y,z'=z $。归纳上述结果得出两坐标系之间的坐标变换关系为
$$ \left.\begin{array}{r}x^{\prime}=\frac{x-vt}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}}\\ y^{\prime}=y\\ z^{\prime}=z\\ t^{\prime}=\frac{t-\frac{vx}{c^{2}}}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}}\end{array}\right\} $$
上式就是洛伦兹坐标变换式。一般地，从 S 系列 S' 的变换称为正变换，而从 S' 系列的变换称为逆变换。根据式(21-15)—式(21-17)或直接根据式(21-18)，可以得到逆变换的公式为
$$ \left.\begin{array}{r}x=\frac{x^{\prime}+vt}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}}\\ y=y^{\prime}\\ z=z^{\prime}\\ t=\frac{t^{\prime}+\frac{vx^{\prime}}{c^{2}}}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}}\end{array}\right\} $$
从上面的变换式可以看出，当 $ v \ll c $ 时，洛伦兹变换式又退化为伽利略变换式。因此可以把经典理论看成是狭义相对论在低速下的近似。
与伽利略变换相比，洛伦兹变换中的时间坐标和空间坐标相互关联，这表明，
在狭义相对论中，时间和空间的测量不能互相分离。因此，在相对论中一般把一个事件发生的位置和时刻联合起来，称为四维时空坐标。
洛伦兹坐标变换代表了相对论下的时空观，它把时间、空间和物体的运动紧密地联系在一起。
$ ^{*} $2. 相对论下的速度变换公式
我们知道，伽利略速度变换公式是不满足光速不变原理的。相对论下的速度变换公式应在洛伦兹坐标变换的基础上给出。
设运动质点 P 在 S 和 S' 系中的时空坐标分别为 $ (x, y, z, t) $ 和 $ (x', y', z', t' $ $，用 $ (u_x, u_y, u_z) $ 和 $ (u'_x, u'_y, u'_z) $ 分别表示质点在 S 和 S' 系中的速度分量，这些速度分量的定义如下：$
$$ \begin{aligned}u_{x}&=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t},\quad u_{y}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t},\quad u_{z}=\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\\u_{x}^{\prime}&=\frac{\mathrm{d}x^{\prime}}{\mathrm{d}t^{\prime}},\quad u_{y}^{\prime}=\frac{\mathrm{d}y^{\prime}}{\mathrm{d}t^{\prime}},\quad u_{z}^{\prime}=\frac{\mathrm{d}z^{\prime}}{\mathrm{d}t^{\prime}}\end{aligned} $$
对式(21-18)两端取全微分，考虑到惯性系S和S'之间的相对速度为常量，有
$$ \left.\begin{array}{l}\mathrm{d}x^{\prime}=\frac{\mathrm{d}x-v\mathrm{d}t}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}=\frac{u_{x}-v}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}\mathrm{d}t\\ \mathrm{d}y^{\prime}=\mathrm{d}y\\ \mathrm{d}z^{\prime}=\mathrm{d}z\\ \mathrm{d}t^{\prime}=\frac{\mathrm{d}t-\frac{v}{c^{2}}\mathrm{d}x}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}=\frac{1-\frac{v}{c^{2}}u_{*}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}\mathrm{d}t\end{array}\right\} $$
再根据前面对速度的定义，有
$$ \begin{aligned}&u_{_{x}}^{\prime}=\frac{\mathrm{d}x^{\prime}}{\mathrm{d}t^{\prime}}=\frac{u_{_{x}}-v}{1-\frac{u_{_{x}}v}{c^{2}}}\\&u_{_{y}}^{\prime}=\frac{\mathrm{d}y^{\prime}}{\mathrm{d}t^{\prime}}=\frac{u_{_{y}}\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}{1-\frac{u_{_{x}}v}{c^{2}}}\\&u_{_{z}}^{\prime}=\frac{\mathrm{d}z^{\prime}}{\mathrm{d}t^{\prime}}=\frac{u_{_{z}}\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}{1-\frac{u_{_{x}}v}{c^{2}}}\\ \end{aligned} $$
这就是相对论下的速度变换公式。根据相对性原理，将 v 换成 -v，带撇的量和不带撇的量互换可得速度的逆变换公式
$$ \left.\begin{aligned}u_{x}&=\frac{u_{x}^{\prime}+v}{1+\frac{u_{x}^{\prime}v}{c^{2}}}\\ u_{y}&=\frac{u_{y}^{\prime}\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}{1+\frac{u_{x}^{\prime}v}{c^{2}}}\\ u_{z}&=\frac{u_{z}^{\prime}\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}{1+\frac{u_{x}^{\prime}v}{c^{2}}}\end{aligned}\right\} $$
将速度变换公式与坐标变换公式比较可以发现，当S和S'系的相对速度沿x轴方向时，不仅速度的x分量需要变换，速度的y分量和z分量均需要变换。值得注意的是，后两个分量的变换方式与x分量的变换方式不同。
【例21-1】一束光在惯性系S中沿y轴正方向传播，速度为c，设惯性系S'相对于S沿x轴正方向以速度v运动，求在S'系中的观测者测到的光速大小及方向。解在S系中观测者测到的光速各分量为 $ u_{x}=0,u_{y}=c,u_{z}=0 $。根据速度变换公式，在S'系中的观测者测到的光速各分量为
$$ u_{_{x}}^{^{\prime}}=\frac{u_{_{x}}-v}{1-\frac{u_{_{x}}v}{c^{^{2}}}}=\frac{0-v}{1-\frac{0\cdot v}{c^{^{2}}}}=-v $$
$$ u_{y}^{\prime}=\frac{u_{y}\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}{1-\frac{u_{x}v}{c^{2}}}=\frac{c\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}{1-\frac{0\cdot v}{c^{2}}}=c\cdot\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}} $$
$$ u_{z}^{\prime}=\frac{u_{z}\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}{1-\frac{u_{x}v}{c^{2}}}=\frac{0\cdot\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}{1-\frac{u_{x}v}{c^{2}}}=0 $$
因此在 S' 系中的观测者测到的速率大小为
$$ u^{\prime}=\sqrt{u_{x}^{\prime2}+u_{y}^{\prime2}+u_{z}^{\prime2}}=\sqrt{v^{2}+c^{2}\left(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\right)}=c $$
上面的结果表明，运动观测者测到的光速仍然为 c，该结果与光速不变原理一致。
在 S' 系中，光不再沿 y' 轴传播，光速与 y' 轴之间有一夹角（如图 21-3 所示），夹角的大小为
$$ \alpha=\arctan\frac{u_{x}^{^{\prime}}}{u_{y}^{^{\prime}}}=\arctan\frac{-v}{c\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}} $$
3. 相对论下的时间间隔与空间间隔
设 S 和 S' 两个惯性参考系在 $ t=t^{\prime}=0 $ 时坐标原点重合，S' 以匀速率 v 相对于 S 沿 x 轴正向运动。有两个事件 $ P_{1} $ 和 $ P_{2} $ 发生，假设在 S 中测得 $ P_{1} $ 的时空坐标为 $ (x_{1},y_{1},z_{1},t_{1}) $，测得 $ P_{2} $ 的时空坐标为 $ (x_{2},y_{2},z_{2},t_{2}) $；而在 S' 系中测得两事件发生的时空坐标分别为 $ (x_{1}^{\prime},y_{1}^{\prime},z_{1}^{\prime},t_{1}^{\prime}) $ 和 $ (x_{2}^{\prime},y_{2}^{\prime},z_{2}^{\prime},t_{2}^{\prime}) $。根据洛伦兹坐标变换有
$$ x_{2}^{\prime}-x_{1}^{\prime}=\frac{(x_{2}-x_{1})-v(t_{2}-t_{1})}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}} $$
$$ t_{2}^{\prime}-t_{1}^{\prime}=\frac{(t_{2}-t_{1})-\frac{v}{c^{2}}(x_{2}-x_{1})}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}} $$
$$ x_{2}-x_{1}=\frac{\left(x_{2}^{\prime}-x_{1}^{\prime}\right)+v\left(t_{2}^{\prime}-t_{1}^{\prime}\right)}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}} $$
$$ t_{2}-t_{1}=\frac{\left(t_{2}^{\prime}-t_{1}^{\prime}\right)+\frac{v}{c^{2}}(x_{2}^{\prime}-x_{1}^{\prime})}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}} $$
这就是相对论下在不同惯性坐标系里时间间隔与空间间隔的变换关系。在下一节将根据这一组变换公式来进一步讨论狭义相对论下的时空观。
4. 同时的相对性 因果关系的绝对性
假设在一个惯性系里观测到两个事件在不同的地方同时发生，那么在另一个
坐标系里观测这两个事件，是否也是同时发生呢？这就是同时的相对性问题。假设在惯性系 S 中事件 $ P_{1} $ 和 $ P_{2} $ 同时发生，即 $ t_{1}=t_{2} $。在 S' 系中观测，根据式(21-24)有
$$ t_{2}^{\prime}-t_{1}^{\prime}=\frac{-\frac{v}{c^{2}}(x_{2}-x_{1})}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}} $$
从上式可以看出，当 $ x_{2} \neq x_{1} $ 时， $ t_{2}^{\prime} \neq t_{1}^{\prime} $。该结果表明，在某一惯性系中不同地点同时发生的事件，在相对该惯性系运动的另一惯性系中来观测，这两个事件并不是同时发生的。
如果 $ x_{2}=x_{1} $，则有 $ t_{2}^{\prime}=t_{1}^{\prime} $，即如果在一个惯性系中同时同地发生的两个事件，在另一个惯性系中观测，也是同时发生的。
上面的结果表明，在狭义相对论中，同时是相对的。
需要指出的是，在相对论中，在不同惯性系里观测两个没有因果关系的事件，其发生的先后顺序可能颠倒。根据式(21-27)，如果有另一个惯性系 S" 相对于 S 的速度沿 v 的反方向，则在 S' 和 S" 系中观测 $ P_{1} $ 和 $ P_{2} $ 两事件的先后顺序则是颠倒的。但是，对于有因果关系的两个事件，其先后顺序决不会因为参考系的不同而颠倒。假设发射导弹为事件 $ P_{1} $，导弹击中目标为事件 $ P_{2} $，显然 $ P_{1} $ 和 $ P_{2} $ 是有因果关系的两个事件，假设在 S 和 S' 系中， $ P_{1} $ 和 $ P_{2} $ 的时空坐标分别为 $ (x_{1}, t_{1}) $ 和 $ (x_{2}, t_{2}) $ 与 $ (x_{1}^{\prime}, t_{1}^{\prime}) $ 和 $ (x_{2}^{\prime}, t_{2}^{\prime}) $，根据式(21-24)有
$$ t_{2}^{\prime}-t_{1}^{\prime}=\frac{(t_{2}-t_{1})-\frac{v}{c^{2}}(x_{2}-x_{1})}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}=\frac{(t_{2}-t_{1})}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}\Bigg(1-\frac{v}{c^{2}}\cdot\frac{x_{2}-x_{1}}{t_{2}-t_{1}}\Bigg) $$
而 $ \frac{x_{2}-x_{1}}{t_{2}-t_{1}}=u $为S系中的导弹飞行速度，因此有
$$ t_{2}^{\prime}-t_{1}^{\prime}=\frac{(t_{2}-t_{1})}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}\bigg(1-\frac{vu}{c^{2}}\bigg) $$
在狭义相对论下，物体的运动速度不可能大于光速，显然 $ \frac{v u}{c^{2}} $恒小于1，因此 $ t_{2}^{\prime}-t_{1}^{\prime} $与 $ t_{2}-t_{1} $总是同号的，也就是说，有因果关系的两个事件，其时间顺序是不会颠倒的，即因果关系是绝对的，在任何惯性参考系中不会违背。
归纳来讲，就是在狭义相对论下，两个事件是否同时发生是相对的，但事件的因果关系却是绝对的。所谓“相对”是指所描述的结果与所选择的惯性坐标系有关，而“绝对”则与所选择的惯性坐标系无关。
5. 物理量的洛伦兹协变性与物理规律的洛伦兹不变性
两个惯性坐标系之间的最一般的洛伦兹变换定义为：保证两个惯性坐标系的空间坐标原点在 $ t=t^{\prime}=0 $时重合的坐标变换称为洛伦兹变换。更明确地说，就是洛伦兹变换既包括空间坐标轴的统一转动，也包括两个坐标系之间以任意速度方向匀速平动。
下面我们进一步来讨论狭义相对性原理：在洛伦兹变换下，一切物理规律（主要包括力学和电磁学）保持不变。这一原理还可以更确切地理解为：描述物理规律的数学方程[通常是关于时空坐标 $ (x,y,z,t) $的偏微分方程]在洛伦兹变换下保持形式不变。我们通常所说的“一条物理规律（或一个物理方程）具有洛伦兹协变性（或洛伦兹不变性）”，其实就是指描述物理规律的各个物理量均以洛伦兹协变量的形式表述后，该物理规律（方程）在所有惯性参考系下取相同的形式。这其实是狭义相对性原理的要求。
狭义相对论下，要使物理规律满足狭义相对性原理，即满足洛伦兹不变性，则物理量首先要改造成具有洛伦兹协变性。改造的第一步就是选取合适的坐标空间。爱因斯坦提出狭义相对论后不久由闵可夫斯基提出的“伪欧几里得空间”，即闵可夫斯基空间是最合适的坐标空间，它将时间和空间看成一个整体。描述物理规律的偏微分方程通常由四维张量来表达，其中的四维张量就是前面提到的狭义相对论下对物理量改造所需要具有的形式。例如在狭义相对论动力学中，速度、动量等都需要改写成四维张量形式。四维张量通常包括标量（即洛伦兹变换下的不变量，例如时空间隔、真空光速等）、矢量（例如时空坐标、四维速度等）、二秩张量（例如电磁场张量）等。
21.3 几个典型的相对论效应
洛伦兹变换反映了相对论下的时空观。21.2 节已告诉我们相对论下的时间和空间是相互关联的，不像经典理论下所认为的时间和空间是相互独立的；同时是相对的，而因果关系是绝对的。在相对论下关于时空新的认识还不止这些，比如在不同的惯性系里观测两个事件：
（1）假设在一个惯性系里观测到同一地点先后发生的两个事件的时间间隔为 $ t_{0} $，在另一个惯性系里来观测这两个事件发生的时间间隔是否还是 $ t_{0} $?
（2）假设在一个惯性系里观测到某一物体的形状和大小，在另一惯性系里观测到的形状和大小是否相同？
这些问题在经典理论里都有肯定的回答，但在狭义相对论里，对这些问题有截然不同的回答，这些回答集中体现了狭义相对论下的时空观。
21.3.1 动钟变慢 时间延缓
假设在 S 系统中某固定点 x 先后发生了 $ P_{1} $ 和 $ P_{2} $ 两事件，其发生的时刻分别为 $ t_{1} $
和 $ t_{2} $，时间间隔为 $ \Delta t = t_{2} - t_{1} $ 。考虑到 $ P_{1} $ 和 $ P_{2} $ 在 S 系中的空间坐标相同，即 $ x_{2} = x_{1} $ ，在 S' 系中来观测这两个事件，根据式（21-24），其时间间隔为
$$ \Delta t^{\prime}=t_{2}^{\prime}-t_{1}^{\prime}=\frac{t_{2}-t_{1}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}=\frac{\Delta t}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}} $$
上式表明，如果在 S 系中测得同一地点先后发生的两个事件的时间间隔为 $ \Delta t $，则在相对于 S 系运动的 S' 系中来观测，其时间间隔 $ \Delta t' $ 比 $ \Delta t $ 长。一般地，把在某一惯性系中同一地点先后发生的两个事件之间的时间间隔称为固有时，用 $ \tau_{0} $ 表示。如果把相对于该惯性系运动的惯性系中测得的两事件的时间间隔用 $ \tau $ 表示，则式 (21-30) 可以写成
$$ \tau=\frac{\tau_{0}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}} $$
显然， $ \tau > \tau_0 $，通常把这个效应称为时间延缓（time dilation）。时间延缓效应表明时间间隔也是相对的。如果用时钟走的快慢来说，S 系中的观测者把固定于 S 系的钟和固定在相对它运动的 S' 系中的钟相对比，发现 S' 系中的钟走慢了，因此这个效应也常常被叫做钟慢效应。需要指出的是，时间延缓效应是相对的，S' 系中的观测者把固定在 S' 系中的钟同固定在 S 系中的钟比较，又会发现 S 系中的钟走慢了。
根据式(21-31)还可以看出，当 $ v \ll c $ 时， $ \tau \approx \tau_0 $，此时在不同惯性参考系中观测到的时间间隔是一样的，又退化为绝对时空观下的时间间隔不变的结论。
【例 21-2】 时间延缓效应的实验验证——μ 子是一种类似于电子的基本粒子，它是不稳定的粒子，会自发地蜕变或衰变，在静止参考系中固有的平均寿命为 $ 2.2\ \mu\text{s} $。宇宙射线在高层大气中产生高速 μ 子，试求速率 $ v=0.99\ c $ 的 μ 子的平均寿命。
解 由题意可知，μ 子在相对静止的坐标系中的平均寿命即固有时 $ \tau_0=2.2\ \mu\text{s} $，如果用 $ \tau $ 表示实验室参考系中观测到的高速 μ 子的平均寿命，根据式 (21-31)，有
$$ \tau=\frac{\tau_{0}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}=\frac{2.2}{\sqrt{1-\frac{0.99c^{2}}{c^{2}}}}=16\mu s $$
从上面的计算可以看出，在实验室参考系测得的高速运动 $ \mu $ 子的平均寿命比静止时的平均寿命长了7倍多。观测到宇宙射线产生的高速 $ \mu $ 子的寿命增长是时间延缓的首批实验验证之一。
21.3.2 动尺变短 长度缩短
在 S' 系中沿 x' 轴放置一根刚性杆，在 S' 系中测量这根静止放置的杆的长度为 $ l' = x'_2 - x'_1 $，其中， $ x'_2 $ 和 $ x'_1 $ 分别为杆的两端点在 S' 中的坐标，如图 21-4 所示。由于
杆固定在 S' 系中，因此杆相对于 S 系以速度 v 沿 x 轴正方向运动。
在 S 系中的观测者在测量有相对运动的杆的长度时，必须同时 $ (t_{1}=t_{2}) $去测量杆两端的坐标 $ x_{1} $， $ x_{2} $，在 S 系中测得的长度为 $ l=x_{1}-x_{2} $。
根据式(21-23)，考虑到 $ t_{1}=t_{2} $，可以给出S'系和S系中杆长度的关系满足
$$ l^{\prime}=x_{2}^{\prime}-x_{1}^{\prime}=\frac{(x_{2}-x_{1})-v(t_{2}-t_{1})}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}=\frac{l}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}} $$
即有
$$ l=l^{\prime}\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}} $$
上式表明，固定在 S' 系中的杆在 S 系中的观测者测得的长度比在 S' 系中的观测者测得的长度短。通常把与杆相对静止的惯性参考系中测得的杆的长度称为固有长度，记为 $ l_{0} $，在其他沿杆的长度方向运动的惯性系中测得杆的长度为
$$ l=l_{0}\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}} $$
从上式可以看出，l 总小于 $ l_{0} $，这个效应称为长度收缩（length contraction）。长度收缩效应表明空间间隔是相对的。
根据式(21-34)可以看出，当 $ v \ll c $时， $ l \approx l_{0} $，此时在不同惯性参考系中观测到的空间间隔是一样的，即又退化为绝对时空观下的空间间隔不变的结论。
顺便指出，在上面的情形中，如果杆沿 $ y' $轴或 $ z' $轴放置，有 $ y'=y $或 $ z'=z $，杆长不会缩短。
【例21-3】一列静止长度为1200m的超快火车通过一个封闭车站，车站站长说车站长为900m，假设火车通过时，站长说他在封闭的车站内可以看到整列火车，求火车的速率至少该多大？此时火车上的乘务员看到的车站长度是多少？
解 要在 $ 900 \, m $ 的车站看到整列火车，火车的运动长度必须小于或等于 $ 900 \, m $，根据长度缩短公式 $ l = l_{0} \sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}} $，有
$$ 900=1200\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}} $$
解得
$$ v=2\times10^{8}\mathrm{~m}\cdot\mathrm{s}^{-1} $$
即火车的速率至少应为 $ 2 \times 10^{8} \, \text{m} \cdot \text{s}^{-1} $。此时，火车上的乘务员看到的车站长度为
$$ l=l_{0}\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}=900\sqrt{1-\left(\frac{2\times10^{8}}{3\times10^{8}}\right)^{2}}\mathrm{~m}=675\mathrm{~m} $$
【例21-4】一宇宙飞船相对地球以0.8c的速度匀速飞行，一光脉冲从船尾传到船头。飞船上的观测者测得飞船长为90 m，地球上的观测者测得光脉冲从船尾传到船头这两个事件的空间间隔是多少？
解 设地面观测者所在的惯性系为 S 系，固定在宇宙飞船上的惯性系为 S' 系，设在 S' 系中观测到发出光脉冲和光脉冲传到船头两个事件的时空坐标分别为 $ (x_{1}^{\prime}, t_{1}^{\prime}) $， $ (x_{2}^{\prime}, t_{2}^{\prime}) $，根据洛伦兹变换公式有
$$ \Delta x=x_{2}-x_{1}=\frac{\left(x_{2}^{\prime}-x_{1}^{\prime}\right)+v\left(t_{2}^{\prime}-t_{1}^{\prime}\right)}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}=\frac{\Delta x^{\prime}+v\Delta t^{\prime}}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}} $$
根据题意, $ \Delta x'=90\ m,v=0.8\ c,\Delta t'=\Delta x'/c $。把数据代入上式,求得 $ \Delta x=270\ m $，即地球上的观测者测得光脉冲从船尾到船头这两个事件的空间间隔是270 m。
特别需要说明的是，本题不是求地面观测者观测到的宇宙飞船的长度，而是两个事件的空间间隔，因此不能直接用长度收缩公式来求解。
21.4 相对论动力学
前面我们所讨论的都是相对论运动学问题，下面讨论相对论动力学问题。牛顿力学中，动力学基本规律是牛顿第二定律，用动量的形式可记为
$$ \mathbf{F}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\mathbf{m}\boldsymbol{v}) $$
其中，质点的质量 m 为一常量。根据该定律，假设质点受一恒力作用，则质点将被无限制地加速，以至超过光速，显然这是违背狭义相对论的基本原理的。因此，改造牛顿动力学方程势在必行，这种改造应满足：（1）狭义相对论的两个基本假设；（2）在低速运动下又可退化为牛顿力学。
21.4.1 运动物体的质量随速度增加
动量守恒定律是自然界的基本规律之一，在相对论下也同样成立。在洛伦兹变换下的动量守恒定律该如何表述呢？下面我们就来研究这一问题。在此基础上我们还可以看到物体的质量将随速度的改变而改变。
如图 21-5 所示，设两个表面光滑的全同小球进行完全弹性斜碰撞。在惯性系 S 中，假设两个小球共同的质心静止。小球在 xy 平面内运动，碰撞时两球的连心线
与 y 轴平行。设两小球碰撞前的速度为 $ v_{10} $ 和 $ v_{20} $，对于两个全同的小球，由于质心静止，因此有 $ v_{10} = -v_{20} $，即碰撞前两球的运动状态是对称的。由于是弹性碰撞，显然碰撞后两球的运动状态也应该是对称的，即有 $ v_{1} = -v_{2} $。因为是弹性碰撞，两小球组成的系统能量守恒，满足这一规律最合理的一种假设就是碰撞前后两小球的质量和速率都不变，即有 $ v_{1} = v_{10} $， $ v_{2} = v_{20} $。由于两小球表面光滑，碰撞时沿 x 轴不受力，因此碰撞前后两个方向上的速度分量满足： $ v_{1x} = v_{10x} $， $ v_{2x} = v_{20x} $； $ v_{1y} = -v_{10y} $， $ v_{2y} = -v_{20y} $。
再在 S' 系中来观察上述过程。假设 S' 系相对于 S 系沿 x 轴正方向的速度 $ V = v_{10x} $。下面约定在 S' 系中的各量都用带撇的相应各量表示。根据相对论速度变换公式给出碰撞前的速度分量为
$$ \left.\begin{aligned}&v_{10x}^{\prime}=0,\quad v_{10y}^{\prime}=\frac{v_{10y}}{\sqrt{1-\frac{V^{2}}{c^{2}}}}\\ &v_{20x}^{\prime}=-\frac{2V}{1+\frac{V^{2}}{c^{2}}},\quad v_{20y}^{\prime}=-\ v_{10y}\frac{\sqrt{1-\frac{V^{2}}{c^{2}}}}{1+\frac{V^{2}}{c^{2}}}\\ \end{aligned}\right\} $$
碰撞后的速度分量为
$$ \left.\begin{aligned}&v^{\prime}_{1x}=0,\quad v^{\prime}_{1y}=-\frac{v_{10y}}{\sqrt{1-\frac{V^{2}}{c^{2}}}}\\ &v^{\prime}_{2x}=-\frac{2V}{1+\frac{V^{2}}{c^{2}}},\quad v^{\prime}_{2y}=v_{10y}\frac{\sqrt{1-\frac{V^{2}}{c^{2}}}}{1+\frac{V^{2}}{c^{2}}}\\ \end{aligned}\right\} $$
碰撞前后两球速度在 $ y' $ 方向的改变量为
$$ \left.\begin{array}{l}\Delta v_{1y}^{\prime}=v_{1y}^{\prime}-v_{10y}^{\prime}=-\frac{2v_{10y}}{\sqrt{1-\frac{V^{2}}{c^{2}}}}\\ \Delta v_{2y}^{\prime}=v_{2y}^{\prime}-v_{20y}^{\prime}=2v_{10y}\frac{\sqrt{1-\frac{V^{2}}{c^{2}}}}{1+\frac{V^{2}}{c^{2}}}\end{array}\right\} $$
显然，在 S' 系中观察到的两球沿 y' 轴的速度改变量并不像在 S 系中等值反号。为了满足动量守恒定律，必须认为在 S' 中观测到两球质量不再相等。现假设两小球的质量分别为 $ m_{1}^{\prime} $ 和 $ m_{2}^{\prime} $，根据动量守恒定律，碰撞过程中两球的动量改变量应该相等，因此有
$$ m_{1}^{\prime}\Delta v_{1y}^{\prime}+m_{2}^{\prime}\Delta v_{2y}^{\prime}=0 $$
把式(21-38)代入式(21-39)，可得
$$ \frac{m_{1}^{\prime}}{m_{2}^{\prime}}=-\frac{\Delta v_{2y}^{\prime}}{\Delta v_{1y}^{\prime}}=\frac{c^{2}-V^{2}}{c^{2}+V^{2}} $$
根据式(21-37)，有
$$ 1-\frac{v_{2x}^{\prime2}}{c^{2}}=\left(\frac{c^{2}-V^{2}}{c^{2}+V^{2}}\right)^{2} $$
联立式(21-40)、式(21-41)有
$$ m_{2}^{\prime}=\frac{m_{1}^{\prime}}{\sqrt{1-\frac{v_{2x}^{\prime2}}{c^{2}}}} $$
令 $ v_{10y} $ 趋于无穷小，根据式（21-37）有 $ v'_{1x} = v'_{1y} = 0 $，即 $ v'_{1} = 0 $。因此 $ m'_{1} $ 可视为 S' 系中测到的第一球的静质量，记为 $ m_{0} $。因为两球全同，因此 $ m_{0} $ 也是第二球的静质量。又因为 $ v_{10y} $ 无穷小，有 $ v'_{2y} = 0 $。故有 $ v'_{2} = v'_{2x} $ 为第二个小球在 S' 系中的速度。因此可以得出结论：在运动惯性系中，质点的质量与速度的关系为
$$ m=\frac{m_{0}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}} $$
这就是著名的质-速公式。当质点速率远小于光速时， $ m \rightarrow m_{0} $，又回到经典力学的结论。
在爱因斯坦提出狭义相对论后不久 Bestelmeyer (1907 年) 以及 Bucherer (1909 年) 在关于电子质量随速率改变的实验中验证了相对论质-速公式的正确性。
图21-6显示的是20世纪不同时代实验物理学家测得的电子质量随速度的变化关系。
21.4.2 相对论动力学基本方程
由于质量会随着物体运动速率的改变而改变，因此相对论下的动量（relativistic momentum）为
$$ p=mv=\frac{m_{0}v}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}} $$
质点的动力学方程变为
$$ \mathbf{F}=\frac{d\mathbf{p}}{d t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(m\boldsymbol{v})=m\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{v}}{\mathrm{d}t}+\boldsymbol{v}\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t} $$
从上面的动力学方程可以看出，在狭义相对论中，力的作用效果不仅使质点的运动加速，同时也改变质点的质量。
当 $ v \ll c $ 时， $ m \rightarrow m_{0} $，即有 $ \frac{dm}{dt} \rightarrow 0 $，相对论下的动力学方程又回到经典理论下牛顿第二定律所给出的方程。
21.4.3 相对论的功和动能
下面来看如何把经典理论下的功能关系推广到狭义相对论下的动力学理论中去。我们知道，经典理论中，功是力的空间积累，根据它给出的动能定理从一个侧面反映了力的作用效果对质点运动状态的改变。在狭义相对论中，功的这种定义以及其物理意义将继续保持，只不过相对论下的动能定理中动能的数学表述形式将和经典理论下的形式有很大区别。
设质点在合外力 F 的作用下，从静止开始运动，物体的动能等于合外力所做的功。设质点运动元位移为 dr，则物体的动能增量为
$$ \begin{aligned}\mathrm{d}E_{k}&=\boldsymbol{F}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}=\frac{\mathrm{d}(m\boldsymbol{v})}{\mathrm{d}t}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}=\boldsymbol{v}\cdot\mathrm{d}(m\boldsymbol{v})\\&=m\boldsymbol{v}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{v}+\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{v}\mathrm{d}m=m v\mathrm{d}v+v^{2}\mathrm{d}m\end{aligned} $$
根据 $ m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} $ 有 $ dm=\frac{m_0v dv}{c^2\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{\frac{3}{2}}} $，将其代入上式并简化可得
$$ \mathrm{d}E_{k}=c^{2}\mathrm{d}m $$
当物体的速度由0增加到v时，质量由 $ m_{0} $增加到m，物体的动能变为
$$ E_{k}=\int_{0}^{E_{k}}\mathrm{d}E_{k}=\int_{m_{0}}^{m}c^{2}\mathrm{d}m $$
由此可得相对论下的动能表达式
$$ E_{k}=m c^{2}-m_{0}c^{2} $$
根据 $ m=\frac{m_{0}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}} $，可将动能表达式表示为
$$ E_{k}=m_{0}c^{2}\left(\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}-1\right) $$
对因子 $ \left(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\right)^{-\frac{1}{2}} $作泰勒展开，有
$$ \left(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\right)^{-\frac{1}{2}}=1+\frac{v^{2}}{2c^{2}}+\frac{3v^{4}}{8c^{4}}+\cdots $$
当 $ v\ll c $时，有
$$ E_{k}=\frac{1}{2}m_{0}v^{2} $$
即在低速近似下又回到经典力学的动能表达式。
将式(21-47)改写为
$$ m c^{2}=m_{0}c^{2}+E_{k} $$
等号两端都具有能量的量纲，爱因斯坦把 $ mc^{2} $ 定义为物体的总能量， $ m_{0}c^{2} $ 定义为物体的静止能量。因此上式表明物体的总能量等于物体的静止能量与动能之和。把物体的能量同它的质量（包括静止质量）直接联系起来——质量为 m 的物体具有能量 $ mc^{2} $，这是相对论最有意义的结论之一。
用 E 和 $ E_{0} $ 分别表示物体的总能量和静止能量
$$ E=m c^{2},\quad E_{0}=m_{0}c^{2} $$
这就是著名的相对论质量-能量公式。当物体与外界没有能量交换时，物体的总能量守恒，相对论质量也守恒。
由于 $ c^{2} $ 的值非常大，所以物体包含的静止能量是非常巨大的。例如一个电子的静止质量为 $ 9.1 \times 10^{-31} $ kg，相应的静能为 0.511 MeV；在热核反应中释放出的巨大能量实质上就是反应前后核物质的质量差所对应的能量。
【例21-5】求静止质量为1kg的物质所具有的静止能量。
$$ E_{0}=m_{0}c^{2}=1\times(3\times10^{8})^{2}\mathrm{~J}=9\times10^{16}\mathrm{~J} $$
如果这 1 kg 的物质是汽油, 其燃烧时释放的热能约为 $ 5 \times 10^{7} $ J, 仅为其静止能量的 $ 1 / (1.8 \times 10^{10}) $。
【例21-6】已知一个粒子的动能等于它本身的静止能量，求该粒子的速度。
解 根据题意有， $ E_{k}=m_{0}c^{2} $，而 $ E_{k}=m_{0}c^{2}\left(\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}-1\right) $，联立两式，有
$$ \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}=2 $$
从而可得粒子的速度为
$$ v=\frac{\sqrt{3}}{2}c $$
【例21-7】两个静止质量为 $ m_{0} $的粒子，其中一个静止，另一个以速度 $ v=0.8c $运动，在它们做对心完全非弹性碰撞后粘在一起，求碰撞后合成小球的静止质量。
解 设碰撞后合成粒子的静质量为 $ m'_{0} $，动质量为 $ m' $。两粒子碰撞前后动量和总能量守恒（注：两个基本粒子碰撞后形成一个复合粒子，属于完全非弹性碰撞，经典理论下的非弹性碰撞能量不守恒是指机械能不守恒，即机械能转化为了其他形式的能量，但包含静能量在内的总能量仍然是守恒的），因此有
$$ mv=m^{\prime}v^{\prime} $$
$$ m_{0}c^{2}+m c^{2}=m^{\prime}c^{2} $$
其中，m 为碰前运动粒子的动质量，有 $ m=\frac{m_{0}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}} $; v=0.8c; $ v^{\prime} $ 为合成粒子的速度。
联立式(1)、式(2)可解得 $ m'=\frac{8}{3}m_{0} $， $ v'=0.5c $。
再根据
$$ m^{\prime}=\frac{M_{0}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}} $$
可求出合成粒子的静质量 $ m_{0}^{\prime}=2.31m_{0} $
21.4.4 能量和动量的关系
根据质能关系和动量定义，静质量为 $ m_{0} $，速度为 v 的物体总能量和动量分别为
$$ E=m c^{2}=\frac{m_{0}c^{2}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}} $$
$$ p=mv=\frac{m_{0}v}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}} $$
将上式两边平方并联立消去 v，可给出相对论中能量和动量的一个重要关系式
$$ E^{2}=m_{0}^{2}c^{4}+p^{2}c^{2}=E_{0}^{2}+p^{2}c^{2} $$
如果以 E, pc 和 $ E_{0} $ 表示一个三角形三边的长度，则正好构成一个直角三角形，如图21-7所示。对于动能为 $ E_{k} $ 的粒子，将 $ E = E_{k} + m_{0}c^{2} $ 代入上式有
$$ E_{\mathrm{k}}^{2}+2E_{\mathrm{k}}m_{0}c^{2}=p^{2}c^{2} $$
当 $ v\ll c $时， $ E_{k}\ll m_{0}c^{2} $，忽略二阶小项 $ E_{k}^{2} $，有
$$ E_{k}=\frac{p^{2}}{2m_{0}} $$
即又回到了牛顿力学的动能表达式。
根据爱因斯坦在解释光电效应时的“光量子”假设(将22.2节中讨论)，对于频率为 $ \nu $的光子，其能量为
$$ E=h\nu $$
光子的静止质量 $ m_{0}=0 $ ，由式(21-51)给出光子的动量为
$$ p=\frac{E}{c} $$
因此有
$$ p=\frac{E}{c}=\frac{h\nu}{c}=\frac{h}{\lambda} $$
式中，h 为普朗克常量；E，p 反映了光的粒子特性， $ \nu $， $ \lambda $ 反映了光的波动特性。
【例21-8】在高能实验中，一个静质量为 $ m_{10} $，动能为 $ E_{k}(E_{k}\gg m_{0}c^{2}) $的高能粒子撞击另一个静止的、静质量为 $ m_{20} $的靶粒子，求碰撞后形成的复合粒子的静质量（一般地，基本粒子碰撞时会先形成一个复合粒子，但复合粒子并不稳定，会迅速分裂为其他粒子）。
解 碰撞前，入射粒子的能量为
$$ E_{1}=E_{k}=m_{10}c^{2}=\sqrt{m_{10}^{2}c^{4}+p^{2}c^{2}} $$
由此可得
$$ p^{2}c^{2}=E_{\mathrm{k}}^{2}+2m_{10}c^{2}E_{\mathrm{k}} $$
其中 p 为入射粒子的动量。
碰撞前两个粒子的总能量为
$$ E=E_{1}+m_{20}c^{2}=E_{k}+\left(m_{10}+m_{20}\right)c^{2} $$
碰撞后形成的复合粒子的总能量为
$$ E^{\prime}=\sqrt{m^{^{\prime}2}_{20}c^{4}}+p^{^{\prime}2}c^{2} $$
其中， $ p' $为复合粒子的动量。根据动量守恒 $ p=p' $，有
$$ E^{\prime}=\sqrt{m_{20}^{\prime2}c^{4}+p^{\prime2}c^{2}}=\sqrt{m_{20}^{\prime2}c^{4}+E_{\mathrm{k}}^{2}+2m_{10}c^{2}E_{\mathrm{k}}} $$
其中， $ m'_{20} $为复合粒子的静质量。再根据能量守恒 $ E=E' $，有
$$ \sqrt{m_{20}^{2}c^{4}+E_{k}^{2}+2m_{10}c^{2}E_{k}}=E_{k}+\left(m_{10}+m_{20}\right)c^{2} $$
上式两边平方后化简，有
$$ m_{20}^{\prime}=\left(m_{10}+m_{20}\right)\left[1+\frac{2m_{20}E_{\mathrm{k}}}{\left(m_{10}+m_{20}\right)^{2}c^{2}}\right]^{1/2} $$
上式即为碰撞后复合粒子的静质量。 $ m'_{20}c^{2} $ 可以看成是复合粒子在其自身质心系中的总能量，它就是在高能实验中引起粒子转化的资用能，为了增大资用能，提高粒子转化效率，现在多使用对撞机制——使两个高速粒子对撞，可以极大地提高资用能，从而有更多的机会发现那些需要较高能量才能转化的粒子。
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双生子效应
在狭义相对论中，我们知道在运动的惯性参考系中观测时，会发生时间延迟效应。设想一对双生兄弟，假设他们一出生时哥哥就告别弟弟，乘坐接近光速的宇宙飞船去作星际旅行了，假设哥哥去到织女星（到地球的距离约为26.5光年）旅行一圈后，又回到地球，这时兄弟俩见面时看到的彼此将会是什么样子呢？有人说，假设哥哥以无限接近光速的速度飞行，无论目标多远，哥哥在旅途花费的固有时间可以任意短，因此哥哥返回时还在牙牙学语，但弟弟已是老态龙钟，这正好印证了“地上一日，天上七年”的古语。也有人说，根据相对论，运动是相对的，弟弟的天是哥哥的地，哥哥的“天”就是弟弟的“地”，那么，对于哥哥来讲，也应该是“地上一日，天上七年”。也就是说，在他们再次相会时，在弟弟看来，哥哥应该比自己年轻很多；而在哥哥看来，就应该是弟弟比自己年轻很多。这一矛盾就是通常所说的“双生子佯谬（twin paradox）”。
仔细分析这个问题，我们发现从逻辑上讲，这一佯谬并不存在。因为在这里，天、地两个参考系是不对称的。弟弟所在的“地”可以看成是一个惯性系，但哥哥所在的“天”却不能看成惯性系，否则，哥哥将一去不再复返，没有机会相遇看到对方的年龄。“天”要复返，必然存在加速度，这已超出狭义相对论的范畴，需用广义相对论去解释。
实验和理论都表明，在“天”遨游的哥哥返回时的确应该比弟弟年轻，也就是说，不存在“双生子佯谬”，准确地讲，应该是“双生子效应”。
1971 年人们用原子钟进行了模拟“双生子”实验：将铯原子钟放在飞机上，沿赤道向东和向西分别绕行一周回到原处，与地球上静止的钟相比，分别慢了 59 ns 和快了 273 ns。考虑到地球本身不是惯性系（地球自转），该实验结果与广义相对论的理论计算相比较，符合得很好。
狭义相对论与广义相对论在全球定位系统(GPS)中的应用
相对论（包括狭义相对论和广义相对论）通常给人的印象是奇特有趣、难以理解、缺乏实用性。的确，在日常生活中所涉及的运动都速率较低，狭义相对论效应可以忽略。而广义相对论主要应用在遥远的天体和宇宙演化的研究中，与国计民生似乎没什么关系。但是，近年被广泛应用的一项现代技术——全球定位系统（Global Positioning System，简称GPS）却同时用上了狭义相对论和广义相对论。
GPS 包括空间设备、控制设备和用户设备三个部分。其中空间设备由携带原子钟的 24 颗人造卫星组成，它们分布在 6 个轨道平面，以近乎圆形轨道绕地球公
转，保证地面上每一点的上空都至少有4颗卫星飞行。控制设备位于地面，主要负责监测、数据收集处理，以及向卫星注入指令。用户设备就是GPS接收机，例如我们的手机。
卫星向用户设备发射的信号中包含发射时刻及该时刻卫星的位置信息。用户利用自身计算系统对接收到的来自四颗不同卫星的时刻和位置坐标进行计算处理，就可以得到自身在某一时刻的位置。然而，由于卫星的轨道运动和所受地球引力的改变，其原子钟的走时率与海平面的原子钟的走时率会有微小的差别，正是这一微小的差别会导致GPS卫星所给出的位置误差可达每天11 km的程度，如果不加修正，GPS将不能发挥正常的作用。
首先说说狭义相对论的动钟变慢效应。我们知道，地球上的时间以国际原子时间为标准，它由静止于海平面的原子钟给出。卫星的轨道速度达到 $ 3840 \, \text{m} \cdot \text{s}^{-1} $，而赤道海面钟的轨道速度约为 $ 465 \, \text{m} \cdot \text{s}^{-1} $。因此相对于理论上静止于地心的钟而言，卫星钟比赤道海面钟变慢要严重得多。既然我们都以赤道海面钟为标准，则卫星钟就要进行相应的调整。根据理论计算表明，卫星钟比赤道海面钟每天慢 $ 7 \, \mu\text{s} $。
再来说说广义相对论的引力钟慢效应。根据广义相对论，引力较强的地方时钟将变慢。位于高空的卫星所受地球引力肯定比地面要小，因此赤道海面钟会比卫星钟慢。严格的计算表明，由于地球引力的影响，赤道海面钟每天要比卫星钟慢45 μs，结合上面讨论的由于轨道速度差异引起的卫星钟比海面钟慢7 μs的效应，总效应就是卫星钟每天比赤道海面钟快了38 μs。尽管这个时间很短，但乘上光速后发现每天的误差达到11.4 km。因此GPS系统中必须考虑相对论效应，并做出相应的修正。
高速运动物体的视觉形象
我们知道，在观测高速运动物体运动时，由于在运动方向上有长度收缩效应，因此观测到的物体的形状将与相对静止参考系中观测到的形状有所不同。在具体讨论高速运动物体的视觉效应之前，我们先要弄明白两个概念，那就是“测量形象”和“视觉形象”。高速运动物体上各点对观测者参考系在同一时刻构成的位置形象，称为“测量形象”。例如理论上计算出在某一时刻相对于观测者参考系，运动物体上的各点处于什么位置，把各点连在一起，就构成其“测量形象”。而我们看到的“视觉形象”是指运动物体上各点发出的光“同时到达”眼睛所形成的图像，显然这些光线不是同时从物体发出的。
让我们先来看高速运动物体的测量形象。如图21-8所示，假设一个静止时呈球状的物体以接近光速的速度v沿x方向运动。设固定在运动物体上的参考系为S系，其上任意点P的坐标为 $ (x,y) $，如图21-8(a)所示。设观测者所在的参考系为S'系，在S'系中P点的坐标 $ (x',y') $与S系中该点的坐标关系为
$$ x^{\prime}=\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}\cdot x,\quad y^{\prime}=y $$
把物体表面上所有点连在一起,就可得到该物体的测量形状,如图21-8(b)所示,其测量形象是一个在运动方向上压扁的椭球体。
下面我们再来看该物体的视觉形象。假设一遥远观测者位于 $y$ 轴上方，观测者所在的参考系为 $S'$ 系。由于观测者离运动物体很远，物体上各点射向观测者的光线都可近似看成与 $y$ 轴平行。以坐标原点 $O$ 点作为基准，为了使光线同时到达观测者，显然 $O$ 点下方各点的光线要提前出发，上方的光线则要相对延迟，相对于 $O$ 点，光线需要提前或延迟的时间为 $t = y' / c$，在这段时间内物体在 $x$ 方向上移动了 $\Delta x' = vt' = vy' / c$。因此与 $S'$ 系中的测量坐标 $(x', y')$ 相比，$S'$ 系中各点的视觉形象坐标 $(x'', y'')$ 为
$$ x^{\prime \prime}=x^{^{\prime}}-\Delta x^{^{\prime}}=x^{^{\prime}}-v\cdot\frac{y^{^{\prime}}}{c},\quad y^{''}=y^{^{\prime}} $$
也就是说，观测者看到的物体形象上发生了剪切形变，观测者看到的投影形象与测量形象相比，似乎是整体上转过了一个角度，如图21-8(c)所示，这就是物体的“视觉形象”。需要特别指出的，得到这种视觉形象的前提是：物体垂直于视线方向运动，观测者远离运动物体。视觉形象只是运动物体的二维投影。
习题
21-1 一短跑选手在地球上以 10 s 跑完 100 m，在飞行速度为 0.98c 的飞船上的观测者看来，这位选手跑了多长时间和多长距离()。
A. $ 5.025 \, s, 1.48 \times 10^{10} \, m $
B. $ 50.25 \, s, -1.48 \times 10^{10} \, m $
C. $ 50.25 \, s, 1.48 \times 10^{9} \, m $
D. $ 502.5 \, s, 1.48 \times 10^{11} \, m $
21-2 某介子静止时的寿命为 $ 10^{-8} $ s，如果它在实验室中的速度为 $ 2 \times 10^{8} $ m·s^{-1}，请问它在一生中能飞多远()。
A. $ 10^{-3} $ m B. 3 m C. $ \sqrt{5} $ m D. $ \frac{6}{\sqrt{5}} $ m
21-3 某地发生两件事，静止于该地的甲测得时间间隔为 4 s，若相对甲做匀速直线运动的乙测得时间间隔为 5 s，则乙相对于甲的运动速度是（c 为真空中的光速）()。
A. $ (4/5)c $ B. $ (3/5)c $ C. $ (1/5)c $ D. $ (2/5)c $
21-4 静止边长为 $ 0.5 \, m $ 的正立方体，当它沿与一边平行的方向以 $ 2 \times 10^{8} \, m \cdot s^{-1} $ 的速度运动时，体积将变为（）。
A. $ 0.0009 \, m^{3} $ B. $ 0.0093 \, m^{3} $ C. $ 0.093 \, m^{3} $ D. $ 0.93 \, m^{3} $
21-5 一宇宙飞船相对地球以 $ 0.8c $ (c 表示真空中光速) 的速度飞行。一光脉冲从船尾传到船头，飞船上的观察者测得飞船长为 $ 90 \, m $，地球上的观察者测得光脉冲从船尾发出和到达船头两个事件的空间间隔为（）。
A. $ 90 \, m $ B. $ 54 \, m $ C. $ 270 \, m $ D. $ 150 \, m $
21-6 一个电子由静电场加速后，其动能为 0.34 MeV，此时它的速度和质量为（）。（提示： $ m_{e} $ 为电子的静质量， $ m_{e}c^{2}=0.51\, MeV $）。
A. 0.7c, 1.77m_{e} B. 0.8c, 1.67m_{e} C. 0.4c, 2.67m_{e} D. 0.9c, 1.57m_{e}
21-7 在相对论时空观中，以下的判断中正确的是()。
A. 在一个惯性系中，两个同时的事件，在另一惯性系中一定不同时
B. 在一个惯性系中，两个同时的事件，在另一惯性系中一定同时
C. 在一个惯性系中，两个同时又同地的事件，在另一惯性系中一定同时又同地
D. 在一个惯性系中，两个同时不同地的事件，在另一惯性系中只可能同时不同地
E. 在一个惯性系中，两个同时不同地的事件，在另一惯性系中只可能同地不同时
21-8 半人马星座α星是离太阳系最近的恒星，它距地球 $ 4.3\times10^{10} $ m。设有一宇宙飞船自地球往返于半人马星座α星之间，若宇宙飞船的速率为0.999c，按地球上时钟计算，飞船往返一次需要的时间为___。如以飞船上时钟计算，往返一次的时间为___。
21-9 某人测得一静止棒长为 l，质量为 m，求得此棒的线密度 $ \rho = m/l $。若此棒相对于观测者沿棒长度方向以速度 v 运动，则测得的线密度为 ___。
21-10 设在正负电子对撞机中，电子和正电子以速度 0.90c 相向飞行，它们之间的相对速度为 ___.
21-11 设粒子的动能为 $ E_{k} $，动量为 p，则该粒子的静止能量为 ___。
21-12 一个粒子的动能等于它本身的静止能量，此时该粒子的速度为 ___。
21-13 把一个静止质量为 $ m_{0} $ 的粒子由静止加速到 0.6c，需要做功 ___。
21-14 两个静止质量为 $ m_{0} $ 的粒子，其中一个静止，另一个以速度 v=0.8c 运动，在它们做对心完全非弹性碰撞后粘在一起，则碰撞后合成小球的动质量为 ___；速度为 ___。