第15章 静电场中的导体和电介质

$ \lambda $。试计算x轴上x>0各点的电势。

14-29 电荷 Q 均匀分布在半径为 R 的球体内。试证明离球心 r 处的电势为 $ U = \frac{Q(3R^{2} - r^{2})}{8\pi\varepsilon_{0}R^{3}} (r < R) $。

14-30 一个球形雨滴半径为 0.40 mm，带有电荷 $ 1.6 \times 10^{-12} $ C。它表面的电势多大？两个这样的雨滴碰后合成一个较大的球形雨滴，这个雨滴表面的电势又是多大？

$ ^{*} $14-31 两个同心的均匀带电球面，半径分别为 $ R_{1} $ 和 $ R_{2}(R_{1}

14-32 两个同心球面均匀带电，半径分别为 $ R_{1}=5.0\ cm $, $ R_{2}=20.0\ cm $，已知内球面的电势为 $ U_{1}=60\ V $，外球面的电势为 $ U_{2}=-30\ V $。求：

（1）内外球面上所带电荷量；

（2）在两球面之间何处的电势为零？

14-33 一均匀带电薄圆盘，半径为 R，电荷面密度为 $ \sigma $，求此圆盘轴线上的电势分布：（1）电势叠加法（利用例 14-14 的结果）；（2）场强积分法（利用例 14-5 的结果）。

14-34 半径为 R 的均匀带电圆盘，电荷面密度为 $ \sigma $。今将其中心半径为 R/2 的圆片挖去，试用叠加法求剩余圆环带在其垂直轴线上的电势分布，在其中心处的电势和场强各是多大？

14-35 如题14-35图所示，电荷面密度分别为

+ $ \sigma $ 和 - $ \sigma $ 的两块无限大均匀带电平面，处于与平面垂直的 x 轴上的 +l 和 -l 位置。设坐标原点 O 处的电势为零，试求空间的电势分布，并画出 U-x 函数曲线。

$ ^{*} $14-36 一无限长均匀带电圆柱，电荷体密度为 $ \rho $，截面半径为R。

（1）用高斯定理求出柱内外电场强度分布；

（2）求出柱内外的电势分布，以轴线为电势零点；

（3）画出 E-r 和 U-r 函数曲线。

14-37 用电势梯度法求习题 14-28 中 x 轴上 x>0 各点的电场强度。

14-38 均匀带电直线长为 L，电荷线密度为 $ \lambda $，求直线的延长线上距直线一端为 x 处的电势，然后用电势梯度法求该处的场强。

14-39 一电偶极子的电偶极矩原先处于与均匀电场一致的方向，在将它转过 $ 180^{\circ} $与电场反平行方向的过程中，外力做功为0.1 J。问当此电偶极矩方向与场强成 $ 45^{\circ} $角时，作用于此电偶极子上的力矩是多大？

14-40 一次闪电的放电电压大约是 $ 1.0 \times 10^{9} $ V，而被中和的电荷量约是 30 C。

（1）求一次放电所释放的能量是多大？

（2）一所小学每天消耗的电能 $ 20 \, kW \cdot h $。上述一次放电所释放的能量够该小学用多少天？

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静电场中的导体

和电介质

本章在研究真空中静电场规律的基础上，进一步应用这些规律讨论静电场与场中导体和电介质的相互作用和相互影响。我们先讨论导体的静电平衡条件，分析导体的静电平衡特性和导体表面电荷的分布规律，再研究电介质的极化和有介质时的高斯定理，然后讨论反映导体性质的电容概念，并进一步介绍电容器的电容及其计算，最后讨论电场的能量。

15.1 静电场中的导体

导体(conductor)通常是指导电性能良好的物质,如各种金属和电解质溶液。本节重点讨论各向同性的均匀金属导体与电场的相互影响。

15.1.1 导体的静电平衡状态及条件

在金属导体内，由于原子中最外层价电子与原子核之间的引力较弱，通常存在大量可自由移动的自由电子（free electron）。这些自由电子就像气体分子一样在导体内进行着无规则热运动，导体中的正离子有规则地排列成晶格。在导体不带电或未受外电场作用时，宏观上看，导体内正负电荷均匀分布，呈电中性，并无电荷作定向运动。

若将导体(无论是否带电)放入外电场中，在极短时间内，导体内自由电子将在电场力作用下做宏观定向运动并重新分布，直到导体一端表面带负电，另一端表面带正电，这些电荷在导体内产生的附加电场完全抵消外电场时，自由电子的宏观定向运动才停止。这就是所谓的静电感应(electrostatic induction)现象(图15-1)。因静电感应在导体表面出现的电荷称为感应电荷。不管导体原来是否带电和有无外电场作用，导体内部和表面都没有电荷做宏观定向运动的状态称为导体的静电平衡(electrostatic equilibrium)状态。

若用 $ E_{0} $ 表示外场场强, $ E' $ 表示感应电荷产生的附加电场的场强, 则电场中任意点的场强为

$$ \boldsymbol{E}=\boldsymbol{E}_{0}+\boldsymbol{E}^{\prime} $$

可见导体放入外电场后受到外电场的影响而产生感应电荷，同时感应电荷的出现又影响电场的分布（见图15-1）。

处于静电平衡状态下的导体，其内部和表面的电场具有如下性质：

（1）在导体内部，场强处处为零；导体表面场强垂直导体表面。电场线不进入导体内部，而与导体表面正交。

如果导体内场强 $ E_{内} $不等于零，自由电子在电场作用下将继续发生宏观定向运动。如果导体表面场强 $ E_{表} $不垂直导体表面（图15-2），必存在场强的切向分量 $ E_{t} $，说明导体表面的自由电子仍将做宏观定向运动。只有导体内部场强处处为零，导体表面场强处处垂直导体表面时，电荷分布才不再改变。

（2）导体内、导体表面各处电势相同，整个导体是等势体。

在导体中任选两点 a 和 b，由于 $ E_{内}=0 $，那么 $ U_{ab}=\int_{a}^{0}E\cdot dI=0 $，即导体上任意两点的电势差为零，整个导体是一个等势体，其电势值即为导体的电势。

以上即为静电平衡状态下导体的电场性质，通常称为静电平衡条件。必须指出：导体内部场强处处为零，整个导体是等势体，是电场中所有电荷的共同贡献。

15.1.2 静电平衡时导体上的电荷分布

1. 实心导体

处于静电平衡状态的实心导体，其内部各处净电荷为零，电荷只能分布于导体外表面。

这一结论可利用高斯定理证明，如图15-3所示，在导体内围绕任意一点P作闭合曲面S，由于静电平衡时导体内E处处为零，显然通过闭合面S的电场强度通量为零，则由高斯定理可知闭合面S包围的净电荷必为零。由于P点是任意的，S可任意小，所以导体内任一点均没有净电荷，电荷只能分布于导体外表面。

2. 空腔导体

下面分两种情况研究静电平衡时空腔导体（又称空心导体壳）的电荷和电场分布特征。

（1） 腔内无带电体

空腔内部场强为零，整个腔体是一等势体。若空腔导体带电，则电荷只分布于空腔导体外表面，内表面无电荷。

可通过图15-4应用导体静电平衡特性和高斯定理证明上述结论。在空腔导体内外表面之间作一包围内表面的闭合曲面S，根据静电平衡下导体内场强处处为零，则通过S面的电场强度通量为零，按高斯定理得闭合面S内电荷的代数和必为零。说明内表面即使带电，净电荷必定为零。进一步用反证法可证明，若内表面一部分带正电荷、一部分带负电，则腔内必存在电场，有电场线从正电荷指向负电荷，使腔体内表面间存在电势差。这显然与静电平衡时导体是一个等势体相矛盾。因此，空腔导体内表面必定无电荷，电荷只分布于腔体外表面。

（2） 腔内有带电体

空腔导体壳的内表面所带电荷与腔内带电体所带电荷等量异号。空腔内部场强不为零且决定于腔内带电体和腔内表面电荷的分布，空腔导体外的场强决定于外电场和空腔外表面的电荷分布。

下面通过图15-5和图15-6证明上述结论。在导体壳内外表面之间作一面积为S的高斯面，如图15-5所示，由于高斯面S处在导体内部，而静电平衡时导体内场强处处为零，则通过S的电场强度通量为零。根据高斯定理，在S内 $ \sum q=0 $。因此，如果导体壳内有带电体+q，则其内表面必带有-q的电荷。根据电荷守恒定律，假如空腔导体本身带电 $ q' $，则导体壳的外表面必带有 $ q'+q $的电荷（若将导体壳接地，则其外表面电荷为零；如导体壳外有其他带电体，则导体壳接地后其外表面电荷不为零）。由于导体中场强为零，空腔导体外的电场线不能进入导体，如图15-6所示（图中阴影部分为一导体盒），即空腔导体外电荷和空腔外表面电荷在导体中及空腔内部产生的合场强为零，即空腔内部场强决定于腔内带电体和腔内表面电荷的分布。又由于腔内带电体的电荷与导体壳内表面上的电荷等量异号，因此腔内带电体发出的电场线全部终止于内表面上的电荷，即它们两者在导体中及导体外产生的合场强应为零，所以空腔导体外的电场场强理所当然只可能由外电场和导体壳外表面上的电荷决定。需要说明的是，在图15-5中，由于没有外电场，空腔导体外的电场场强仅由导体壳外表面上的电荷决定。

3. 电荷在导体表面的分布

在静电平衡状态下，孤立导体表面上某处的电荷面密度 $ \sigma $ 与该处表面的曲率有关。

当一个导体周围不存在其他导体，或者其他导体或带电体的影响可以忽略不计时，这样的导体称为孤立导体。一般说来，孤立导体表面曲率越大，表面尖而凸出，则该处表面电荷面密度也越大；曲率较小，表面比较平坦，则该处表面的电荷面密度较小；曲率为负，表面凹进去，则该处电荷面密度最小，如图15-7所示。

4. 导体表面附近的场强

处于静电平衡的导体，其表面上各点的电荷面密度与表面邻近处场强成正比。

如图15-8所示，在导体表面上任取一无限小面积元 $ \Delta S $，其电荷面密度为 $ \sigma $，作一个底面积为 $ \Delta S $的闭合扁圆柱面，其轴线与导体表面垂直，上底面在导体外表面临近处，下底面处于导体内部，则根据静电平衡时导体内部场强处处为零和 $ E_{\text{表}} $垂直导体表面的特性，由高斯定理有

$$ \begin{aligned}\oint_{S}\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}&=E\Delta S=\frac{\sigma\Delta S}{\varepsilon_{0}}\\&\sigma=\varepsilon_{0}E_{ 表 }\end{aligned} $$

式(15-2)说明处于静电平衡时，导体表面上各点的电荷面密度 $ \sigma $与该点表面附近处场强的成正比。

根据式(15-2)也可由已知的导体表面电荷面密度求出该处导体表面邻近处的场强

$$ \boldsymbol{E}_{表 }=\frac{\boldsymbol{\sigma}}{\varepsilon_{0}}\boldsymbol{e}_{n} $$

式中 $ e_{n} $ 表示导体表面的单位外法向矢量。当 $ \sigma>0 $ 时， $ E_{表} $ 与 $ e_{n} $ 同向；当 $ \sigma<0 $ 时， $ E_{表} $ 与 $ e_{n} $ 反向。必须注意，式(15-3)中的 $ E_{表} $ 是空间所有电荷共同产生的，而 $ \sigma $ 是在各种情况综合作用下最终在该点所具有的电荷面密度。

对于有尖端的带电导体，尖端处电荷面密度很大，因此导体表面邻近处的场强也特别大，当场强超过空气的击穿场强时就会产生空气被电离的放电现象，称为尖

端放电(point discharge)。如图15-9所示，把金属针接在静电起电机一极（如正极）上，使针带正电，由于针尖的电荷密度很大，邻近空间强大的电场使得空气中残存的离子加速运动并与空气分子产生碰撞而电离，不断产生大量的正负带电粒子，从而导致与针尖上电荷异号的带电粒子向针尖方向运动，使尖端上的电荷被中和。与针尖上电荷同号的带电粒子受到强大电场的推动斥力而形成一股“电风”，足以将蜡烛的火焰吹向一边。避雷针能保护建筑物避免雷击就是利用这一原理制造的。而高压设备及零部件的表面均十分圆滑并接近球形，就是为防止尖端放电引起的危险和漏电造成的能量损耗。

15.1.3 静电屏蔽

如前所述，在静电平衡状态下，不管导体壳本身是否带电，是否处在外电场中，只要导体壳的腔内无其他带电体，它就实心导体一样，内部没有电场[图15-10(a)]。这一结论总是成立的。这样，导体壳的表面就屏蔽了它所包围的区域，使之不受外电场或导体壳外表面电荷的影响（有外电场时，导体壳外表面电荷分布和电势会有变化）。当导体壳不接地时[图15-10(b)]，导体壳外表面上的电荷产生的电场对外界会产生影响；而当导体壳接地时[图15-10(c)]，导体壳外表面上无电荷，空腔内带电体的电荷变化将不再影响导体外的物体。放在导体壳（不论是否接地）内部的物体不受壳外电荷的影响，外部物体不受接地导体壳内电荷影响的现象称为静电屏蔽（electrostatic shielding）。

在工程技术上常应用静电屏蔽原理。例如电子仪器封闭在金属壳（网）内屏蔽起来以免受外界电场的干扰。当金属壳（网）接地后，电子仪器内的电场不再影响外部。对于传送弱电信号的导线，常在其绝缘层外编织一层金属丝以避免外来电磁信号的干扰，这样的导线称为屏蔽线。

15.1.4 有导体存在时静电场的分析与计算

静电平衡时，导体上的电荷分布及周围的电场分布均确定不变，可根据静电场的基本规律、电荷守恒以及导体静电平衡条件加以分析和计算。

【例15-1】设有两个半径分别为 $ R_{1} $和 $ R_{2} $的金属球，它们周围无其他带电体或导体，它们之间相距也非常远。今用一根细导线把它们相连，如图15-11所示，若给它们带上一定电荷后，求它们表面的电荷面密度之比。

解 设两个金属球表面分别带有电荷 $ q_{1} $ 和 $ q_{2} $，因为它们相距很远，相互影响可忽略不计，所以每个金属球面上电荷分布都可认为是均匀的，则两球表面上的电荷面密度分别为 $ \sigma_{1}=\frac{q_{1}}{4\pi R_{1}^{2}} $， $ \sigma_{2}=\frac{q_{2}}{4\pi R_{2}^{2}} $。所以，两个金属球面上电荷面密度之比为

$$ \frac{\sigma_{1}}{\sigma_{2}}=\frac{R_{2}^{2}}{R_{1}^{2}}\frac{q_{1}}{q_{2}} $$

另一方面，两个金属球由细导线相连成为一个导体，它们的电势必定相等，即 $ U_{1}=U_{2} $。又因它们周围无其他带电体或导体，它们之间又相距很远，所以每个金属球的电势可以按孤立带电球面情况处理，分别为

$$ U_{1}=\frac{q_{1}}{4\pi\varepsilon_{0}R_{1}},\quad U_{2}=\frac{q_{2}}{4\pi\varepsilon_{0}R_{2}} $$

由 $ U_{1}=U_{2} $得

$$ \frac{q_{1}}{q_{2}}=\frac{R_{1}}{R_{2}} $$

由此得

$$ \frac{\sigma_{1}}{\sigma_{2}}=\frac{R_{2}}{R_{1}} $$

由此可见，细导线相连的两个金属球表面的电荷面密度与球面半径成反比。因为球面的曲率等于球面半径的倒数，所以本例的结果表明，两球表面的电荷面密度与球体表面的曲率成正比。

【例 15-2】有一块大金属平板，面积为 S，带有总电荷量 Q，现在其近旁平行放置第二块大金属平板，此板原来不带电。（1）求静电平衡时两金属板上的电荷分布及周围空间的电场分布；（2）如果把第二块金属板接地，情况又如何？

解 （1）静电平衡时电荷只能分布在两金属板的表面，不考虑边缘效应，这些电荷都可当作是均匀分布的。设两金属板四个表面的电荷面密度分别为 $ \sigma_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3} $ 和 $ \sigma_{4} $，如图 15-12(a) 所示。由电荷守恒定律有

$$ \sigma_{1}+\sigma_{2}=\frac{Q}{S} $$

$$ \sigma_{3}+\sigma_{4}=0 $$

在金属板内一点 $ P_{1} $ 或 $ P_{2} $ 的场强应该是4个带电面的电场的叠加，因而有

$$ \begin{aligned}&E_{P1}=\frac{\sigma_{1}}{2\varepsilon_{0}}-\frac{\sigma_{2}}{2\varepsilon_{0}}-\frac{\sigma_{3}}{2\varepsilon_{0}}-\frac{\sigma_{4}}{2\varepsilon_{0}}\\ &E_{P2}=\frac{\sigma_{1}}{2\varepsilon_{0}}+\frac{\sigma_{2}}{2\varepsilon_{0}}+\frac{\sigma_{3}}{2\varepsilon_{0}}-\frac{\sigma_{4}}{2\varepsilon_{0}}\\ \end{aligned} $$

由于静电平衡时，导体内各处场强为零，所以 $ E_{P1}=E_{P2}=0 $，因而有

$$ \begin{aligned}&\sigma_{1}^{}-\sigma_{2}^{}-\sigma_{3}^{}-\sigma_{4}^{}=0\\&\sigma_{1}^{}+\sigma_{2}^{}+\sigma_{3}^{}-\sigma_{4}^{}=0\\ \end{aligned} $$

将以上两式相加或相减可得

$$ \sigma_{1}=\sigma_{4} $$

$$ \sigma_{2}=-\sigma_{3} $$

将4个关于 $ \sigma_{1},\sigma_{2},\sigma_{3} $和 $ \sigma_{4} $的方程(1)、(2)、(3)、(4)联立求解，可得电荷分布的情况为

$$ \sigma_{1}=\sigma_{4}=\frac{Q}{2S},\quad\sigma_{2}=-\sigma_{3}=\frac{Q}{2S} $$

由此可得电场分布的情况为

$$ \begin{aligned}&E_{1}=\frac{Q}{2\varepsilon_{0}S},\quad 方向向左 \\&E_{Ⅱ }=\frac{Q}{2\varepsilon_{0}S},\quad 方向向右 \\&E_{Ⅲ }=\frac{Q}{2\varepsilon_{0}S},\quad 方向向右 \\ \end{aligned} $$

（2）如果将第二块金属板接地[图15-12（b）]，这块金属板右表面的电荷将会消失，即 $ \sigma_{4}=0 $。将此式与方程（1）、（3）、（4）联立求解可得电荷分布的情况为

$$ \sigma_{1}=\sigma_{4}=0,\quad\sigma_{2}=-\sigma_{3}=\frac{Q}{S} $$

由此可得电场分布的情况为

$$ E_{I}=0,\quad E_{II}=\frac{Q}{\varepsilon_{0}S}( 向右 ),\quad E_{III}=0 $$

【例 15-3】如图 15-13 所示，带有电荷 +q，半径为 $ R_{1} $ 的实心导体球，同心地罩上一个带电荷 +q、内径为 $ R_{2} $ 、外径为 $ R_{3} $ 的导体球壳。试求：(1) 静电平衡时内球和球壳的电荷分布；(2) 图中 A, B, C, D 处的场强和电势；(3) 用导线把内球与球壳相连，此时的电荷分布及 A, B, C, D 处的场强和电势又如何？

解 （1）根据静电平衡条件和高斯定理可知：内球

电荷+q 均匀分布在球表面；球壳内表面均匀分布

-q，外表面均匀分布+2q。

（2）由高斯定理可求得

$$ \begin{aligned}&E_{1}=0&(rR_{3})\\ \end{aligned} $$

其中 r 是场点到球心 O 的距离。 $ E_{1}=0, E_{3}=0 $ 也可由导体的静电平衡条件直接得到。

由电势的定义式求得

$$ \begin{aligned}U_{1}&=\int_{r}^{R_{1}}E_{1}\mathrm{d}r+\int_{R_{1}}^{R_{2}}E_{2}\mathrm{d}r+\int_{R_{2}}^{R_{3}}E_{3}\mathrm{d}r+\int_{R_{3}}^{\infty}E_{4}\mathrm{d}r\\&=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}R_{1}}-\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}R_{2}}+\frac{2q}{4\pi\varepsilon_{0}R_{3}}\quad(rr>R_{3})\end{aligned} $$

$$ U_{3}=\int_{r}^{R_{3}}E_{3}\mathrm{d}r+\int_{R_{3}}^{\infty}E_{4}\mathrm{d}r=\frac{2q}{4\pi\varepsilon_{0}R_{3}}\quad(R_{2}>r>R_{3}) $$

$$ U_{4}=\int_{r}^{\infty}E_{4}\mathrm{d}r=\frac{2q}{4\pi\varepsilon_{0}r}\quad(r>R_{3}) $$

所以

$$ E_{A}=0,\quad E_{B}=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}r_{B}^{2}},\quad E_{C}=0,\quad E_{D}=\frac{2q}{4\pi\varepsilon_{0}r_{D}^{2}} $$

$$ U_{A}=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}R_{1}}-\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}R_{2}}+\frac{2q}{4\pi\varepsilon_{0}R_{3}} $$

$$ U_{B}=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}r_{B}}-\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}R_{2}}+\frac{2q}{4\pi\varepsilon_{0}R_{3}} $$

$$ U_{c}=\frac{2q}{4\pi\varepsilon_{0}R_{3}},\quad U_{D}=\frac{2q}{4\pi\varepsilon_{0}r_{D}} $$

（3）用导线把内球与球壳相连，则内球与球壳连成一导体整体。静电平衡时，电荷只分布于导体外表面，故内球表面和球壳内表面都不带电，+2q 电荷均匀分布于球壳外表面，导体内场强为零，整个导体是一等势体，即有

$$ \boldsymbol{E}_{A}=\boldsymbol{E}_{B}=\boldsymbol{E}_{C}=0 $$

$$ U_{A}=U_{B}=U_{C}=\int_{R_{3}}^{\infty}E_{4}\mathrm{d}r=\frac{2q}{4\pi\varepsilon_{0}R_{3}} $$

$ E_{D} $ 与 $ U_{D} $ 仍与(2)中的计算相同,所以

$$ E_{D}=\frac{2q}{4\pi\varepsilon_{0}r_{D}^{2}},\quad U_{D}=\frac{2q}{4\pi\varepsilon_{0}r_{D}} $$

【例 15-4】如图 15-14 所示，有一半径为 R 的不带电的金属球，球外不远处放置一点电荷，电荷量为 q，与球心相距 r。试求金属球面上的感应电荷总量 $ q' $ 及感应电荷在距球心 O 为 l 处的 P 点产生的电势。

解 由静电场的基本知识可以判定，欲满足导体静电平衡条件，此球面上感应电荷分布必定不均匀，但显然 $ q' = 0 $。

静电平衡时导体内任一点电势均相同，因此选择球心 O 这一特殊点计算其电势。先求感应电荷在 O 处产生的电势。在球面上任取电荷元 $ d q^{\prime} $，由电势叠加原理可得 q' 在 O 处产生的电势为

$$ \begin{aligned}U_{q^{\prime}}&=\int\mathrm{d}U_{q^{\prime}}=\int_{q^{\prime}}\frac{\mathrm{d}q^{\prime}}{4\pi\varepsilon_{0}R}\\&=\frac{q^{\prime}}{4\pi\varepsilon_{0}R}=0\end{aligned} $$

点电荷 q 在 O 处产生的电势为

$$ U_{q}=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}r} $$

因此 O 点的电势为

$$ U_{o}=U_{q}+U_{q^{\prime}}=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}r} $$

$ U_{0} $ 就是导体球的电势，即

$$ U_{P}=U_{O}=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}r}=U_{q P}+U_{q^{\prime}P} $$

因点电荷 q 在 P 处产生的电势为 $ U_{qP}=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}(r-l)} $，所以感应电荷 q' 在 P 处产生的电势为

$$ U_{q^{\prime}P}=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}}\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r-l}\right) $$

15.2 静电场中的介质 介质中高斯定理

电介质(dielectric)通常是指绝缘介质，即电阻率很大、导电能力很差的物质。电介质包括氢、氧、氮等气态电介质，水、油漆等液态电介质和玻璃、云母、陶瓷、石英等固态电介质。

本节将只对均匀电介质的极化机制、介质极化后对电场的影响以及有介质时的高斯定理等问题进行研究，至于随着新技术的出现和发展，人们对电介质的新认识及其广泛应用，将在新材料科学的理论基础——电介质物理学中研究。

15.2.1 电介质的分类

在电介质内，原子中的电子被原子核的引力紧紧束缚不能分离，但能在原子大小 $ \frac{1}{2} $ 的范围内移动。电介质中每个分子均是一个复杂的带电系统。根据电介质分子内部电结构的不同，可以将电介质分子分为两大类：有极分子和无极分子。

一个中性电介质分子尽管所带正、负电荷的量值相等，但通常这些正电荷或负电荷在分子中并不集中于一点，而是分布于线度约 $ 10^{-10} $ m 数量级的所占空间内。我们把分子中全部正电荷（或负电荷）等效为一个正点电荷（或负点电荷），即这个等效正点电荷（或负点电荷）在远处产生的电场和中性电介质分子中全部正电荷（或负电荷）在该处所产生的电场相同。这个等效正点电荷（或负点电荷）的位置称为分子正电荷（或负电荷）的“中心”。若分子正、负电荷中心不相重合，这种电介质分子可视为一对距离极近的等值异号的点电荷，即可视为电偶极子，那么电介质可

视为由大量微小的电偶极子组成。如果在一个电介质分子中，以 q 表示分子中等效正点电荷的量值，以 l 表示从负电荷“中心”指向正电荷“中心”的径矢，则这个分子的等效电偶极矩为 $ p_{e}=ql $。

有一类电介质分子，在正常情况下，它们的电荷分布是不对称的，因而分子正负电荷的“中心”不重合。这样的分子具有固有的电偶极矩[图15-15（a）]，它们统称为有极分子（polar molecule），如 $ H_{2}O $，HCl，CO等分子。

另有一类电介质分子，在正常情况下它们的电荷分布具有对称性，因而分子正、负电荷的“中心”重合。这样的分子没有固有电偶极矩[图15-16(a)]，它们统称为无极分子（nonpolar molecule），如 $ H_{2} $，He， $ CH_{4} $等分子。

15.2.2 电介质的极化过程

对于无极分子，单个分子固有电偶极矩 $ p_{e}=0 $ 。当无外电场时，显然整个电介质中分子的电偶极矩的矢量和也为零 [图15-16(b)] 。当有外电场时，无极分子中的

正、负电荷受方向相反的电场力的作用，发生微小的相对位移。这样，每个分子的电偶极矩不再为零，而且都将沿电场方向排列[图15-16(c)]，这种现象称为无极分子电介质的位移极化（displacement polarization）。

对于有极分子电介质，尽管单个分子具有固有电偶极矩，但在无外电场时，由于电介质分子的杂乱无序热运动，整个电介质中分子电偶极矩的矢量和为零[图15-15（b）]。当有外电场时，每个有极分子等效一个电偶极子，受外电场力矩的作用将转向外电场方向[图15-15（c）]，这种现象称有极分子电介质的取向极化（orientation polarization）。显然，由于热运动，这种取向不可能完全一致（外电场越强，排列越整齐）。另外，有极分子电介质也有位移极化，但以取向极化为主。

虽然两类电介质受外电场作用的微观机制不同，但产生的宏观效果是一样的：都是使电介质内分子电偶极矩的矢量和不再为零，同时使电介质两相对的端表面上出现等量异号的正、负电荷层（内部仍为电中性）。这种出现在电介质外表面的电荷叫作极化电荷（polarization charge）。如果电介质是非均匀的，电介质内部的宏观微小区域也会出现多余的正的或负的极化电荷（本书主要讨论均匀电介质）。这种在外电场作用下电介质内部或表面上出现极化电荷的现象统称为电介质的极化。显然，外电场越强，电介质内分子电偶极矩的矢量和越大，介质表面出现的极化电荷越多。

应该指出：从电介质极化过程可以看出，电介质表面上出现的极化电荷与导体中的自由电荷（free charge）有本质的不同，它既不能在电介质内自由运动，也不能通过传导或接地的方法离开电介质，所以极化电荷又称为束缚电荷（bound charge）。还可以看出，处在外电场中的电介质将产生极化而出现极化电荷，极化电荷在空间产生附加电场，附加电场将反过来影响原电场的分布。当电场中有电介质时，空间任一点处的场强E应该由外电场（或自由电荷 $ q_{0} $产生的）场强 $ E_{0} $和极化电荷 $ q' $产生的附加电场E'的矢量和决定，即

$$ \boldsymbol{E}=\boldsymbol{E}_{0}+\boldsymbol{E}^{\prime} $$

一般说来，这时空间中任一点的场强，有的地方增强了，有的地方减弱了，而且合场强E的方向也不一定与 $ E_{0} $相同。而在电介质内部由于附加电场 $ E' $总是与外电场 $ E_{0} $方向相反，结果总是使合场强减弱，即 $ E_{内}

不同的电介质极化时介质内部电场被削弱的程度是不同的。当均匀无限大的电介质充满全场，或介质分界面为等势面时，电介质中场强被削弱为真空中场强的 $ 1/\varepsilon_{r} $，即 $ E_{内}=\frac{E_{0}}{\varepsilon_{r}} $。关于此式的推导及 $ \varepsilon_{r} $的定义，将在后面讨论。

15.2.3 电极化强度矢量

如前所述，由于两类电介质在外电场作用下产生同样的宏观效果，因此，从宏观上描述电介质的极化现象时不必分两类电介质讨论。

为了描述电介质的极化状态，可以用电介质内某处单位体积内分子的电偶极矩的矢量和来定量描述该处电介质的极化程度，即

$$ P=\frac{\sum p_{e}}{\Delta V} $$

P 称为电极化强度（polarization）。它是量度电介质内某点处极化状态的物理量。在国际单位制中，电极化强度 P 的单位是 $ \text{C} \cdot \text{m}^{-2} $（库仑每平方米）。

如果电介质中各点的电极化强度的大小和方向均相同，称电介质被均匀极化，否则称不均匀极化。

实验表明，当外电场不太强时，各向同性电介质中某处的电极化强度 P 与该处的总场强 E（指外电场 $ E_{0} $ 和极化电荷产生的附加电场 $ E' $ 在该点处的矢量和）成正比，即

$$ \boldsymbol{P}=\boldsymbol{\chi}_{e}\boldsymbol{\varepsilon}_{0}\boldsymbol{E} $$

式中比例系数 $ \chi_{e} $称电介质的电极化率（polarizability）。对各向同性的均匀介质，它是一个量纲为1的量，与场强E无关，仅与电介质种类有关。

由于电介质端表面上的电荷是电介质极化的结果，而且当介质极化程度越高时表面的极化电荷越多，可见电极化强度P与极化电荷密度之间一定存在某种定量关系。下面以无极分子电介质为例加以说明。

设电介质单位体积内的分子数为 n，每个分子的正、负电荷量大小为 q，假定极化时分子负电荷中心不动，正电荷中心沿外场方向移动 l，则极化后每个分子的等效电偶极矩为 $ p_{e}=ql $，由式(15-5)得电极化强度为

$$ P=\frac{\sum p_{e}}{\Delta V}=\frac{n p_{e}}{1}=nql $$

在图 15-17 中的介质表面取面元 dS。设外电场方向与面元矢量 dS 的法向夹角为 $ \theta $，则极化时电介质中以 dS 为底、高为 $ l\cos\theta $ 的斜柱体内所有的正电荷中心将移至 dS 外表面成为极化电荷。因单位体积内正电荷总量为 nq，则 dS 面上极化电荷总量 dq' 为

$$ \begin{aligned}\mathrm{d}q^{\prime}&=n q\mathrm{d}V=n q\mathrm{d}S l\cos\theta\\&=P\mathrm{d}S\cos\theta\end{aligned} $$

于是可得 dS 面上的极化电荷面密度为

$$ \begin{aligned}\sigma^{\prime}=&\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{q}^{\prime}}{\mathrm{d}S}=\boldsymbol{P}\cos\theta\\=&\boldsymbol{P}_{\mathrm{n}}=\boldsymbol{P}\cdot\boldsymbol{e}_{\mathrm{n}}\end{aligned} $$

上式表明，均匀电介质表面上产生的极化电荷面密度，等于该处电极化强度沿表面外法线方向的投影。这一结论对于有极分子电介质同样适用。若表面某处电极化强度与外法线方向的夹角 $ \theta $为锐角，则该处出现正极化电荷；若 $ \theta $为钝角，则该处出现负极化电荷。

由式(15-7)可得

$$ \mathrm{d}\boldsymbol{q}^{\prime}=\boldsymbol{P}\mathrm{d}S\cos\theta=\boldsymbol{P}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S} $$

P · dS 称为通过面元 dS 的电极化强度 P 的元通量。式(15-9)说明通过面元 dS 的电极化强度 P 的元通量在量值上等于介质外表面的极化电荷的电荷量。由此可知，穿过介质中某一闭合面 S 的电极化强度 P 的总通量 $ \oint_{S} P \cdot dS $ 就应等于因介质极化而移出此面的极化电荷总量，或者说等于闭合面 S 所包围的体积内极化电荷总量的负值。即

$$ \oint_{s}\boldsymbol{P}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}=-\sum_{s 内 }q^{^{\prime}} $$

【例 15-5】求均匀极化的电介质球表面上极化电荷的分布。已知电极化强度为 P。

解 取球心 O 为原点，取与 P 平行的直径为球的轴线（图 15-18），由式（15-8）可知，表面上任一点 A 的极化电荷面密度 $ \sigma^{\prime} $ 只与 $ \theta $ 角有关，即

$$ \sigma^{\prime}=P\cos\theta $$

上式表明，极化电荷在电介质球表面是不均匀分布的，在右半球表面上 $ \sigma^{\prime} $ 为正；在左半球表面上 $ \sigma^{\prime} $ 为负；在两半球分界面处 $ \theta=\frac{\pi}{2}, \sigma^{\prime}=0 $；而在轴线两端处 $ (\theta=0 \text{ 或 }\pi) $， $ \sigma^{\prime} $ 的绝对值最大。

15.2.4 介质中的高斯定理 电位移 D

当电场中出现导体时，由于导体上只产生自由电荷的重新分布，此时空间的电场仍是自由电荷产生的，因而真空中静电场的两个基本定理仍然适用，形式也不变。但当电场中存在电介质时，此时空间的电场将由自由电荷和极化电荷共同产生。因为此时自由电荷和极化电荷相对观察者静止，产生的是静电场，也为有势场。所以，当电介质存在时，静电场的环流定理仍然成立，即

$$ \oint_{L}\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}=0 $$

式中 E 是自由电荷和极化电荷在回路 L 上各点产生的合场强。同样，静电场中的

高斯定理也仍然成立，但形式应为

$$ \oint_{S}\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}=\frac{1}{\varepsilon_{0}}\sum\left(q_{0}+q^{\prime}\right) $$

式中， $ q_{0} $ 和 $ q' $ 分别为封闭曲面 S 所包围的自由电荷和极化电荷，E 为空间所有的自由电荷与极化电荷在封闭曲面 S 上各点产生的合场强。

由于极化电荷 $ q' $ 在实际问题中较难求得，但根据上式和式（15-10）有

$$ \oint_{S}\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}=\frac{1}{\varepsilon_{0}}\sum q_{0}-\frac{1}{\varepsilon_{0}}\oint_{S}\boldsymbol{P}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S} $$

整理得

$$ \oint_{S}\left(\boldsymbol{\varepsilon}_{0}\boldsymbol{E}+\boldsymbol{P}\right)\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}=\sum_{S 内 }q_{0} $$

定义一个描述电场的辅助矢量——电位移(Electric Displacement)D，即

$$ \boldsymbol{D}=\varepsilon_{0}\boldsymbol{E}+\boldsymbol{P} $$

于是得

$$ \oint_{s}\boldsymbol{D}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}=\sum_{s 内 }q_{0} $$

式(15-14)即为介质中的高斯定理。它表示，通过电介质中任一封闭曲面 S 的电位移通量等于该曲面所包围的自由电荷的代数和。

不同的电场，电位移的分布各不相同。可用电位移线（和电场线类似）形象地描述电场的电位移的分布。从式（15-14）可以看出，电位移线是从正的自由电荷出发，终止于负的自由电荷，这与电场线不同，电场线起于各种正电荷，终于各种负电荷，包括自由电荷和极化电荷。

式(15-13)是电位移 $D$ 的一般定义式,无论对各向同性介质还是对各向异性介质均适用。对于通常接触到的各向同性介质,将 $P=\chi_{\mathrm{e}}\varepsilon_{0}E$ 代入式(15-13)可得

$$ \mathbf{D}=\varepsilon_{0}\mathbf{E}+\mathbf{P}=\varepsilon_{0}\mathbf{E}+\chi_{\mathrm{e}}\varepsilon_{0}\mathbf{E}=\varepsilon_{0}\left(1+\chi_{\mathrm{e}}\right)\mathbf{E} $$

令

$$ \{\begin{aligned}\varepsilon_{\mathrm{r}}&=1+\chi_{\mathrm{e}}\\ \varepsilon&=\varepsilon_{0}\varepsilon_{\mathrm{r}}\end{aligned}. $$

则

$$ \boldsymbol{D}=\boldsymbol{\varepsilon}_{0}\boldsymbol{\varepsilon}_{r}\boldsymbol{E}=\boldsymbol{\varepsilon}\boldsymbol{E} $$

式(15-15)称为电介质的性质方程,其中 $ \varepsilon_{r} $ 称为介质的相对电容率,又称相对介电常量; $ \varepsilon $ 称为介质的电容率(permittivity),又称介电常量(dielectric constant)。它们和极化率 $ \chi_{e} $ 都是表征电介质本身特性的物理量,知道三者中任何一个即可求得其他两个。相对电容率 $ \varepsilon_{r} $ 是一个量纲为1的量,电容率 $ \varepsilon $ 的单位与 $ \varepsilon_{0} $ 相同。式(15-16)说明,当介质为各向同性时,电场中某点的电位移 D 等于该点电场强度 E 与介质在该点的介质的电容率的乘积,两者方向相同。

在国际单位制中，电位移的单位为 $ C \cdot m^{-2} $（库仑每平方米）。

应该指出：电位移 D 是一个辅助矢量，决定电场中电荷受力的仍然是电场强度 E；通过封闭曲面的电位移 D 的通量只与封闭曲面包围的自由电荷 $ q_{0} $ 有关，但绝不能认为电位移 D 只与自由电荷有关。实际上，根据定义式（15-13）可知，D 既与自由电荷有关，又与极化电荷有关。

15.2.5 有介质时静电场的计算

有电介质存在时，空间总电场将由自由电荷和极化电荷共同决定，而极化电荷又与介质中的总场强有关。这就为直接求解有介质时的电场带来困难。所以，通常采用的方法是：避开极化电荷 $ q' $ 和附加电场 $ E' $ 的计算，而由介质中的高斯定理先求得空间电位移 D 的分布，再由 $ D = \varepsilon E $ 求得空间场强 E 的分布。而运用这种方法的条件是：介质必须是均匀各向同性，自由电荷和介质的分布具有一定对称性（均匀无限大的电介质充满全场，或介质分界面为等势面）。

下面通过实例来说明这种方法。

【例15-6】如图15-19所示，一个带正电荷q的半径为R的金属球，周围充以无限大的相对介电常量为 $ \varepsilon_{r} $的油，求金属球外场强分布及贴近金属球表面的油面上的总极化电荷量 $ q^{\prime} $。

解 由自由电荷 q 和介质分布的球对称可知，E 和 D 的分布也应具有球对称性。电位移 D 方向沿径向。与球心相距 r 处各点的 D 的大小应相等。选取半径为 $ r (r > R) $ 的同心球面为高斯面计算电位移 D 的通量，有

$$ \oint_{s}\boldsymbol{D}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}=D4\pi r^{2}=q $$

得

$$ \mathbf{D}=\frac{\boldsymbol{q}}{4\pi r^{2}}\boldsymbol{e}_{r} $$

由式(15-16)得介质中场强分布为

$$ E=\frac{D}{\varepsilon}=\frac{q}{4\pi\varepsilon r^{2}}e_{r}=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}r^{2}}e_{r} $$

可见，在这种均匀无限大的电介质充满全场的情况下，介质中的场强减小为真空中场强的 $ 1/\varepsilon_{r} $，只需将同一带电体在真空中的场强公式里的 $ \varepsilon_{0} $ 换成 $ \varepsilon $ 即可得介质中的场强公式。

在贴近金属球外表面的油表面 r=R 处的电极化强度 P 的大小为

$$ P=\chi_{e}\varepsilon_{0}E=\left(\varepsilon_{r}-1\right)\varepsilon_{0}\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}R^{2}}=\frac{\left(\varepsilon_{r}-1\right)q}{4\pi\varepsilon_{r}R^{2}} $$

P 的方向沿径向 $ \pmb{e}_{r} $ 方向，与油面的外法线方向（指向 O）相反。所以油表面的极化电荷面密度为

$$ \sigma^{\prime}=\mathbf{P}\cdot\mathbf{e}_{n}=-\mathbf{P}\cdot\mathbf{e}_{r}=-\frac{(\varepsilon_{r}-1)q}{4\pi\varepsilon_{r} R^{2}} $$

整个油表面极化电荷为

$$ q^{\prime}=\sigma^{\prime}4\pi R^{2}=-\frac{\varepsilon_{\mathrm{r}}-1}{\varepsilon_{\mathrm{r}}}q $$

由于 $ \varepsilon_{r} > 1 $，所以 $ q' $ 总与 q 符号相反，而其数值则小于 q。

【例15-7】如图15-20所示，自由电荷面密度为 $ \pm\sigma_{0} $的无限大金属平板A，B间充满两层各向同性的电介质，电介质的界面与带电平板平行，相对介电常量分别为 $ \varepsilon_{r1} $和 $ \varepsilon_{r2} $，厚度分别为 $ d_{1} $和 $ d_{2} $。求：

（1）各介质层中的电场强度；

（2）A, B 间的电势差；

（3）各介质层界面上的极化电荷面密度。

解 由自由电荷和电介质分布的对称性知，两层介质中的电场都为均匀电场。电位移 D 的方向与带电平面垂直。

在第一层介质中选取圆柱形高斯面 $ S_{1} $，使其轴线与板面垂直，上底在金属板内，下底在介质1中，底面积为 $ \Delta S_{1} $ 并平行于金属板。由于金属中 D=0，高斯面侧面与 D 平行。由介质中的高斯定理得

$$ \oint_{S}\boldsymbol{D}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}=D_{1}\Delta S_{1}=\sigma_{0}\Delta S_{1} $$

得

$$ D_{1}=\sigma_{0},\quad E_{1}=\frac{D_{1}}{\varepsilon_{0}\varepsilon_{\mathrm{r}1}}=\frac{\sigma_{0}}{\varepsilon_{0}\varepsilon_{\mathrm{r}1}}=\frac{\sigma_{0}}{\varepsilon_{1}} $$

同理，作高斯面 $ S_{2} $，可得介质2中

$$ D_{2}=\sigma_{0},\quad E_{2}=\frac{D_{2}}{\varepsilon_{0}\varepsilon_{r2}}=\frac{\sigma_{0}}{\varepsilon_{0}\varepsilon_{r2}}=\frac{\sigma_{0}}{\varepsilon_{2}} $$

我们看到，在两层介质中 $ D_{1}=D_{2}=\sigma_{0} $，而 $ E_{1}\neq E_{2} $，在这种均匀电介质界面为等势面的情况下，介质中的场强也减小为真空中场强的 $ 1/\varepsilon_{r} $，只需将同一带电体在真空中的场强公式里的 $ \varepsilon_{0} $ 换成 $ \varepsilon $ 即可得介质中的场强公式。这个结论在均匀电介质分界面与等势面垂直的情况下仍然成立。

由电势差定义可求得

$$ U_{\mathrm{A}}-U_{\mathrm{B}}=\int_{\mathrm{A}}^{\mathrm{B}}\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}=E_{1}d_{1}+E_{2}d_{2}=\frac{\sigma_{0}}{\varepsilon_{0}}\left(\frac{d_{1}}{\varepsilon_{\mathrm{r}1}}+\frac{d_{2}}{\varepsilon_{\mathrm{r}2}}\right) $$

在介质1中，电极化强度为

$$ P_{1}=\chi_{e1}\varepsilon_{0}E_{1}=\left(\varepsilon_{r1}-1\right)\varepsilon_{0}\frac{\sigma_{0}}{\varepsilon_{0}\varepsilon_{r1}}=\left(1-\frac{1}{\varepsilon_{r1}}\right)\sigma_{0} $$

$$ \sigma_{1 上 }^{\prime}=-P_{1}=-\left(1-\frac{1}{\varepsilon_{r1}}\right)\sigma_{0},\quad\sigma_{1 下 }^{\prime}=P_{1}=\left(1-\frac{1}{\varepsilon_{r1}}\right)\sigma_{0} $$

同理可得

$$ \sigma_{2 上 }^{\prime}=-\left(1-\frac{1}{\varepsilon_{r2}}\right)\sigma_{0},\quad\sigma_{2 下 }^{\prime}=\left(1-\frac{1}{\varepsilon_{r2}}\right)\sigma_{0} $$

注意: 虽然介质表面的束缚电荷与其相邻的导体板上的电荷是异号的, 但两者不会中和。

【例15-8】如图15-21所示，内外半径分别为 $ R_{2} $， $ R_{3} $的金属球壳带有电荷Q，同心地装置在带有电荷q、半径为 $ R_{1} $的金属球外，它们之间充满介电常量为 $ \varepsilon $的均匀电介质，求空间场强和电势分布。

解 静电平衡后，金属球所带电荷量均匀分布在金属球表面，金属球壳内表面均匀带电-q，外表面带电 $ q+Q $。由自由电荷和介质分布的球对称性，电场也应具有球对称性。选取半径不同的同心球面为高斯面，则有

$$ \oint_{S}\boldsymbol{D}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}=4\pi r^{2}D=\sum q $$

显然

$$ r

$$ R_{1}

$$ R_{2}

$$ r>R_{3}\ 时 ,\quad\quad\quad\quad\quad\sum q=q+Q,\quad 得 D_{4}=\frac{q+Q}{4\pi r^{2}},\quad E_{4}=\frac{q+Q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}} $$

由 $ U = \int_{r}^{\infty} E \cdot dI $ 可求得各区域任一点的电势：

$ r < R_{1} $ 时，有

$$ \begin{aligned}U_{1}&=\int_{r}^{\infty}\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}=\int_{r}^{R_{1}}\boldsymbol{E}_{1}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}+\int_{R_{1}}^{R_{2}}\boldsymbol{E}_{2}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}+\int_{R_{2}}^{R_{3}}\boldsymbol{E}_{3}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}+\int_{R_{3}}^{\infty}\boldsymbol{E}_{4}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}\\&=\frac{q}{4\pi\varepsilon}\Big(\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}\Big)+\frac{q+Q}{4\pi\varepsilon_{0}R_{3}}\end{aligned} $$

$ R_{1}

$$ U_{2}=\frac{q}{4\pi\varepsilon}\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{R_{2}}\right)+\frac{q+Q}{4\pi\varepsilon_{0}R_{3}} $$

$ R_{2}

$$ U_{3}=\frac{q+Q}{4\pi\varepsilon_{0}R_{3}} $$

$ r>R_{3} $ 时，有

$$ U_{4}=\frac{q+Q}{4\pi\varepsilon_{0}r} $$

15.2.6 电介质的击穿

当外电场不太强时，电介质只被极化，不会增加内部的自由电荷数，即不影响电介质的绝缘性能。当电介质处在很强的外电场中时，电介质分子的正、负电荷中

心将被拉开，甚至脱离约束而成为自由电荷，此时遭到破坏的电介质将变成易于导电的材料，电介质从绝缘状态变为导电状态。这种现象称为电介质的击穿（breakdown）。电介质击穿时的临界外加电压 $ U_{b} $ 称为电介质的击穿电压，电介质击穿时的临界场强 $ E_{b} $ 称为电介质的击穿场强（breakdown field strength）或介电强度（dielectric strength）。对于充满同种均匀电介质的平行板电容器有

$$ E_{\mathrm{b}}=U_{\mathrm{b}}/d $$

其中 d 是电介质的厚度。

电介质的相对电容率和击穿场强由电介质的结构和性质决定。表15-1列出了一些电介质的相对电容率和击穿场强。

15.3 电容和电容器

15.3.1 孤立导体的电容

如果一个导体附近没有其他导体和带电体，则将这个导体称为孤立导体。静电平衡时孤立导体上容纳的电荷只能分布在外表面，且电荷的分布与其本身的形

状、结构及周围的介质均有关。若孤立导体带电荷 Q，它将有一定的电势 U，且孤立导体的电势与其所带电荷成正比，Q 与 U 的比值是确定值。为此定义孤立导体的电容（capacity）为

$$ C=\frac{Q}{U} $$

电容 C 是反映孤立导体容纳电荷和电能的能力的物理量，在数值上等于电势为一个单位时孤立导体所能容纳的电荷量。它只与孤立导体本身的形状、大小和周围介质有关，而与它是否带电无关。

在国际单位制中，电容的单位为法拉，符号为 F。而现实中常用微法（μF）和皮法（pF）等较小单位。其关系为 $ 1\ F = 10^6\ \mu\text{F} = 10^{12}\ pF $。

设真空中有一远离其他导体的孤立导体球，其半径为 R，电荷量为 Q。选无穷远为电势零点，则导体球的电势 $ U = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \frac{Q}{R} $。显然，孤立导体球的电容为

$$ C{=}4\pi{\varepsilon}_{0}R $$

地球可看作一个导体球,其半径 $ R=6.4\times10^{6} $ m, 周围空气的电容率与真空的电容率相差很小,由式(15-18)可求得地球的电容约为 $ 7.1\times10^{-4} $ F。

15.3.2 电容器及其电容

理想的孤立导体是不存在的。当周围有其他导体或带电体时，导体上的电荷分布和电势均会产生变化。通常利用静电屏蔽的原理设计电容器，其特点是体积小，容量大，而且不受外界影响。如图15-22所示，用一个封闭的导体壳B将导体A屏蔽起来，其中间充以空气或介质，这样的导体组（非常靠近的中间充满电介质的两个导体组合）称为电容器（capacitor）。两个导体称为电容器的极板。显然，根据静电屏蔽原理，电容器两极板之间的电场将不再受外界影响。实验证明，两极板之间的电势差 $ U_{AB} $将与极板上的电荷量q成正比，但 $ \frac{q}{U_{AB}} $却是一个确定值。为此定义电容器的电容为

$$ C=\frac{q}{U_{A}-U_{B}}=\frac{q}{U_{AB}} $$

式中，q 为一个极板带电荷量的绝对值， $ U_{A}-U_{B} $ 为两极板的电势差。电容 C 是描述电容器储存电荷和电能本领的物理量，在数值上等于电势差为一个单位时电容器的一个极板所能容纳的电荷量的绝对值，其大小取决于电容器本身的结构、形状、相对位置和填充介质的种类等情况，而与它是否带电无关。

计算电容器电容的一般步骤：

（1）首先假设电容器两个极板A和B分别带电荷+q和-q；

（2）求两极板间电场 E 的分布，并由 $ U_{AB} = \int_{A}^{D} E \cdot dI $ 计算两极板间的电势差；

（3）由定义式 $ C=\frac{q}{U_{AB}} $ 计算电容 $ C_{\circ} $

1. 平行板电容器

按照计算电容器电容的步骤，求图15-23所示的两个靠得很近、相距为d、面积为S、板间充满介电常量为 $ \varepsilon $的各向同性均匀电介质的平行金属板组成的平板电容器的电容C。

当忽略边缘效应后，可将两板看作无限大的平行板。设极板所带电荷量为+q 和 -q，则板间场强 $ E=\frac{\sigma}{\varepsilon} $，方向如图所示，可求得

$$ U_{\mathrm{A B}}=\int_{\mathrm{A}}^{\mathrm{B}}\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}=\int_{0}^{d}\frac{\boldsymbol{\sigma}}{\varepsilon}\boldsymbol{i}\cdot\mathrm{d}x\boldsymbol{i}=\frac{\boldsymbol{\sigma}d}{\varepsilon}=\frac{q d}{\varepsilon S} $$

由式 $ （15-19 $）求得平板电容器电容为

$$ C=\frac{q}{U_{AB}}=\frac{\varepsilon S}{d} $$

若两极板间为真空，可知其电容为

$$ C_{0}=\frac{\varepsilon_{0}S}{d} $$

即介质电容器电容是真空电容器电容的 $ \varepsilon_{r} $ 倍

$$ C=\varepsilon_{r}C_{0} $$

2. 球形电容器

球形电容器(图15-24)由两个半径分别为 $ R_{1} $ 和 $ R_{2}(R_{2}>R_{1}) $ 的同心金属球壳组成，球壳间充满介电常量为 $ \varepsilon $ 的各向同性均匀电介质。设内、外极板所带电荷为 +q 和 -q，场点到球心 O 的距离为 r，由高斯定理可知两球

壳之间电场的场强 $ E=\frac{q}{4\pi\varepsilon r^{2}} $, $ R_{1}

$$ U_{\mathrm{A B}}=\int_{\mathrm{A}}^{\mathrm{B}}\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}=\int_{R_{1}}^{R_{2}}E\mathrm{d}r=\int_{R_{1}}^{R_{2}}\frac{q}{4\pi\varepsilon r^{2}}\mathrm{d}r=\frac{q}{4\pi\varepsilon}\left(\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}\right) $$

所以电容

$$ C=\frac{q}{U_{AB}}=\frac{4\pi\varepsilon R_{1}R_{2}}{R_{2}-R_{1}} $$

显然，当满足 $ R_{2}-R_{1}=d $ 且 $ d \ll R_{1} $ 时，则有 $ C=\frac{4\pi\varepsilon R_{1}^{\varepsilon}}{d}=\frac{\varepsilon S}{d} $，这便与平板电脑电容器的电容相同。当 $ R_{2} \gg R_{1} $ 时， $ C=4\pi\varepsilon R_{1} $，这便是孤立导体球的电容。

3. 圆柱形电容器

圆柱形电容器（图15-25）由长为l的两个半径分别为 $ R_{1} $和 $ R_{2}(R_{2}>R_{1}) $的同轴

圆柱面组成，极板间充满介电常量为 $ \varepsilon $ 的各向同性均匀电介质。设内、外极板所带电荷量为 +q 和 -q，则极板单位长度带电荷为 $ \lambda = \frac{q}{l} $，由高斯定理可知两圆柱面之间电场的场强 $ E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon r} $，两极板间电势差为

$$ \begin{aligned}U_{_{AB}}&=\int_{_{A}}^{^{B}}\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}=\int_{_{R_{1}}}^{R_{2}}\boldsymbol{E}\mathrm{d}r\\&=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon}\int_{_{R_{1}}}^{R_{2}}\frac{\mathrm{d}r}{r}=\frac{q}{2\pi\varepsilon l}\ln\frac{R_{2}}{R_{1}}\end{aligned} $$

所以电容为

$$ C=\frac{q}{U_{\mathrm{AB}}}=\frac{2\pi\varepsilon l}{\ln\frac{R_{2}}{R_{1}}} $$

其单位长度电容为

$$ C_{l}=\frac{C}{l}=\frac{2\pi\varepsilon}{\ln\frac{R_{2}}{R_{1}}} $$

当满足 $ R_{2}-R_{1}=d $ 且 $ d \ll R_{1} $ 时， $ \ln \frac{R_{2}}{R_{1}}=\ln\left(1+\frac{d}{R_{1}}\right) \approx \frac{d}{R_{1}} $，则有 $ C=\frac{2\pi\varepsilon lR_{1}}{d}=\frac{\varepsilon S}{d} $，这便与平板电容器的电容相同。

以上是几种典型电容器的电容。实际上导体间均有电容，如导线之间、电子元器件间等均有电容，我们统称为分布电容。在安装电子设备，尤其是在高频电路中必须考虑分布电容的影响。

15.3.3 电容器的串联和并联

在电气工程和无线电工程中，电容器广泛地应用于交流或直流电路，其主要用途有储存电荷和电能，在交流电路中控制电流和电压，在发射机中产生振荡电流，在接收机中调谐，在整流电路中滤波，在电子线路中实现时间延迟等。电容器的主要性能指标是它的电容值和耐压值，尤其是在使用过程中极板间的电压绝对不能

超过电容器上所标称的耐压值，否则电容器就可能被强电场击穿而成为导体，从而使电容器失去作用。在实际使用中常采取串联或并联的方法解决已有电容器电容量和耐压能力不足的问题。

1. 串联

若将 n 个电容器串联（图 15-26）。串联后的总电压应等于各电容器上的分电压之和，而各电容器极板上所带电荷量则相等。其总电荷量 q 与各串联电容器的电荷量 $ q_{i} $ 、总电压 U 与分电压 $ U_{i} $ 、总电容 C 与各电容器 $ C_{i} $ 之间的关系为

$$ \begin{aligned}q&=q_{1}=q_{2}=q_{i}\\U&=\sum_{i=1}^{n}U_{i}\end{aligned} $$

$$ \frac{1}{C}=\frac{U}{q}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}U_{i}}{q}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{C_{i}} $$

n 个电容串联后，总的电容量减少，而耐压能力增强。但若其中一个电容器被击穿，其余电容器会相继被击穿。实际电路中串联方法运用较少。

2. 并联

n个电容器并联后（图15-27），各电容两端电压相等，每个电容器 $ q_{i}=C_{i}U_{i} $仍成立。其总电荷量q与各电容器电荷量 $ q_{i} $，总电压U与各电容两端的电压 $ U_{i} $，总电容C与各电容 $ C_{i} $之间关系为

$$ \begin{aligned}q&=\sum_{i=1}^{n}q_{i}\\&U=U_{i}\end{aligned} $$

$$ C=\frac{q}{U}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}q_{i}}{U}=\sum_{i=1}^{n}C_{i} $$

n 个电容器并联后，耐压能力不变，总电容增大。

【例 15-9】如图 15-28 所示，两个相同的平板电容器，电容均为 $ C = 0.5 \times 10^{-6} $ C，并联充电到 $ U_{AB} = 10 $ V，然后断开电源，并用相对介电常量 $ \varepsilon_{r} = 3 $ 的电介质充满电容器 I 的极板间的一半空间，其界面与极板平行。求此时电容器 I 极板上的电荷量和板间电压。

解 充电后至断开电源前每个电容器所带电荷为

$$ q_{0}=C U_{A B}=5\times10^{-6}C $$

断开电源后，两电容器上的总电荷量 $ 2q_{0} $ 不变。

当电容器Ⅰ的一半空间充以电介质后，其电容变为 $ C^{\prime} $，此时电容Ⅰ相当于由两个电容器 $ C_{1} $和 $ C_{2} $串联而成，因而有

$$ C_{1}=\frac{\varepsilon_{0}S}{d/2}=2\frac{\varepsilon_{0}S}{d}=2C $$

$$ C_{2}=\frac{\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}S}{d/2}=6C $$

$$ C^{\prime}=\frac{C_{1}C_{2}}{C_{1}+C_{2}}=\frac{3}{2}C $$

据题意，此时总电荷量 $ 2q_{0} $ 应在新组成的两电容器的极板上重新分配，并保持两电容器的端电压相等：

$$ \{\begin{aligned}&q_{1}+q_{2}=2q_{0}\\ &\frac{q_{1}}{C^{\prime}}=\frac{q_{2}}{C}=U_{_{AB}}^{\prime}\\ \end{aligned}. $$

解得

$$ q_{1}=\frac{6}{5}q_{0}=6\times10^{-6}C $$

$$ U_{AB}^{\prime}=\frac{4}{5}U_{AB}=8\ V $$

$ ^{15.3.4} $ 电容式传感器及其应用

1. 电容式传感器

电容式传感器以各种类型的电容器作为传感元件，其工作原理是将待测物理量的变化转变为电容的变化，借助测量电路检测出电容的变化量，并转换为与其成正比的电压、电流或频率信号。下面以平行板电容器为例说明电容式传感器的工作原理。平行板电容器的电容为

$$ C=\frac{\varepsilon S}{d}=\frac{\varepsilon_{0}\varepsilon_{r} S}{d} $$

上式表明，当 $ \varepsilon_{r} $，S 和 d 任何一个或几个发生变化，都导致电容发生变化。在实际应用中，常使 $ \varepsilon_{r} $，S 和 d 中的两个量保持不变，而改变另一个量使电容发生变化，由此电容传感器可分为变面积式、变间隙式和变电容率式三种类型。S 和 d 的变化可以反映线位移或角位移的变化，也可以间接反映弹力、压力等的变化。 $ \varepsilon_{r} $ 的变化可以反映液位的高低、材料的湿度、油中含水量的变化。

电容式传感器具有小功率、高阻抗、小的静电引力和良好的动态响应特性，以及本身发热影响小，结构简单、能在恶劣环境下工作等特点。因此，电容式传感器有广泛的应用。

2. 用开端微波谐振腔测液氢的平均密度

液氢是最受重视的低温液体，液氢在空间技术和高能物理中已有重要应用，并有希望成为减少城市污染的洁净能源。低温液体容易出现气液两相，平均密度与温度 T 和压强 p 无对应关系，而测量平均密度进而确定质量流量是低温液体管输过程中极为重要的问题。

液相氢和气相氢的电容率不同，两相流体的平均电容率 $ \varepsilon_{r} $ 与平均密度 $ \rho $ 有关。若微波谐振腔的真空谐振频率为 $ f_{0} $，当充以相对电容率为 $ \varepsilon_{r} $ 的电介质时的谐振频率为 f，则两者之间有如下关系： $ f = f_{0} / \sqrt{\varepsilon_{r}} $。所以只要能精确测量 $ f_{0} $ 和 f 就可以测定电容率，再利用电容率与平均密度的关系即可测定低温流体的平均密度 $ \rho $。

开端微波谐振腔由隔离体、耦合环、腔体三部分组成，如图15-29所示，两个半径相同的同轴圆筒固定在圆柱形波导内部形成谐振腔，两圆筒近端距离等于微波半波长的整数倍并使微波在两端完成全反射形成驻波。微波能量由耦合环引出进行检测；隔离体的参量选择应能使微波在腔内全反射而不让能量从两个开端泄漏。用此装置测量液氢的平均密度的精度可达到 $ 10^{-4} $ g·cm $ ^{-3} $。

15.4 电场的能量

任何带电系统的带电过程都是电荷相对移动的过程。在移动过程中，后移动的电荷必须靠外力克服已形成的电场对它的作用力而做功。外力做功应等于系统

能量的增量，且转换为电势能储存在电场中。下面将基于这一思路给出带电系统的能量公式，又从电容器的能量公式得出一般的电场能量公式。

15.4.1 带电系统的能量

带电体带有电荷 Q 的带电过程，可以设想是这样的：不断地把微小电荷 dq 从无限远处移到这带电体上，一直到带电体带有电荷 Q 为止。当开始把第一个 dq 从无限远处移至物体时，由于物体原来不带电，因此这个 dq 没有受到电场力的作用，外力不需做功。当带电体带电 dq 后，同时也在空间建立了静电场，再把第二个 dq 从无限远处移到这带电体上，即从电势为零处移到电势为 U 处，外力所做的功应为 dA = U dq。在带电体带电至 Q 的全部过程中，外力所做的总功

$$ A=\int\mathrm{d}A=\int_{0}^{Q}U\mathrm{d}q $$

根据功能原理，外力所做的功应等于带电体所具有的电能（electrostatic energy）。所以，带电体电能的计算公式是

$$ \boldsymbol{W}_{\mathrm{e}}=\boldsymbol{A}=\int_{0}^{Q}\boldsymbol{U}\mathrm{d}\boldsymbol{q} $$

电容器储存电荷的同时也储存了电能。在图15-30所示的实验中， $ \varepsilon $为电源，B为灯泡，C为电容器。先将开关S打向a，使电容器两极带上电荷，这个过程叫电容器充电。然后再将S打向b时，电容器两极板上的正负电荷又会通过有灯泡的电路中和，使灯泡发出一次强闪光，这一过程叫电容器的放电。显然，灯泡发光所消耗的能量是从电容器释放出来的。而电容器的能量是由于电源给电容器充电后提供的，这说明带电后的电容器具有电能。

下面计算电容为 C 的平板电容器，当两极板分别带电荷 +Q 和 -Q，相应的电势差为 U 时所具有的电能。设想电容器两极板的带电过程就是不断地把电荷元 dq 从原来中性的 B 极板迁移到 A 极板的过程。若在该过程的 t 时刻，A 极板带电荷 +q，B 板带电荷 -q，两极板的电势差为 $ U_{A} - U_{B} $，再把电荷 +dq 从 B 板移到 A 板上，外力所做的功为

$$ \mathrm{d}A=\left(U_{A}-U_{B}\right)\mathrm{d}q=\frac{q}{C}\mathrm{d}q $$

当电容器从 q=0 开始充电到 q=Q 时，外力所做的总功为

$$ A=\int\mathrm{d}A=\int_{0}^{Q}\frac{q}{C}\mathrm{d}q=\frac{Q^{2}}{2C} $$

$ \frac{Q^{2}}{2C} $就是电容器带电荷量Q时所具有的能量。若用 $ W_{e} $表示电容器的能量，由Q=CU可得到电容器的能量公式

$$ W_{e}=\frac{Q^{2}}{2C}=\frac{1}{2}CU^{2}=\frac{1}{2}QU $$

这一结果对各种结构的电容器均是正确的。

15.4.2 电场能量

若从电容器的能量公式(15-28)看，似乎电能应储存在带电体上，但电容器的带电过程又是电场的建立过程，电能似乎又与电场紧密相连。实验证明电能是分布在电场所占的整个空间的。这在静电场中尚难以判断，因为静电场中电荷与电场同时存在，均不变化，而在交变电磁场中，变化的电磁场可以脱离电荷单独存在，并以电磁波的形式伴随着能量在空间传播。这一事实证实了电能储存在电场中，电场是能量的携带者。这对理解电磁场的性质有着重要意义。

现仍以平板电容器为例，导出电能与电场强度的关系。设极板带电荷 Q，电容为 C，面积为 S，板间距离为 d。当板间充满介质 $ \varepsilon $ 时，其能量为

$$ \begin{aligned}W_{\mathrm{e}}=&\frac{1}{2}CU^{2}{=}\frac{1}{2}\frac{\varepsilon S}{d}(Ed)^{2}\\=&\frac{1}{2}\varepsilon E^{2}S d{=}\frac{1}{2}\varepsilon E^{2}V\end{aligned} $$

这样就把平板电脑电容器的能量用表征电场性质的场强 E 表示出来了，而且和电场所占体积 V=S d 成正比，这表明电能贮藏在电场中。考虑到平板电脑电容器中电场是均匀分布的，则贮藏的电场能量也应该是均匀分布的。为了描述电场中某点处储存能量的性质，定义某点处单位体积内的电场能量为该点的电场能量密度，以 $ w_{e} $ 表示，即

$$ w_{\mathrm{e}}=\frac{\mathrm{d}W_{\mathrm{e}}}{\mathrm{d}V} $$

显然，根据平板电脑电容器的电能公式得

$$ w_{e}=\frac{1}{2}\varepsilon E^{2}=\frac{1}{2}DE=\frac{1}{2}\frac{D^{2}}{\varepsilon} $$

在国际单位制中，电场能量密度的单位为 $ J \cdot m^{-3} $ 。上述结果虽是从均匀电场的特例中导出，但可以证明，它是一个普遍适用的计算公式。由式（15-30）可知，电场能量密度与场强是点点对应的。显然，对均匀电场，由于各点的 E 大小相同，所以电场能量密度为常量。而对非均匀电场，电场能量密度将随空间各点 E 的变化而变化。

对于任一带电系统的电场，只要知道其场强分布便可计算出其电场所储存的总能量。首先把电场空间划分成许多体积元 dV，dV 内的电场可视为均匀电场，dV 内的电场能量为

$$ \mathrm{d}W_{e}=w_{e}\mathrm{d}V=\frac{1}{2}\varepsilon E^{2}\mathrm{d}V $$

然后再对整个存在电场的空间 V 进行积分, 即可求得整个电场的总能量

$$ W_{e}=\int\mathrm{d}W_{e}=\int_{V}\frac{1}{2}\varepsilon E^{2}\mathrm{d}V $$

显然，计算电场能量的关键是选取合适的体积元 $ \mathrm{d}V $，并使 $ \mathrm{d}V $ 中各处的 E 相等，也即 $ \mathrm{d}V $ 中各点处的能量密度 $ w_{e} $ 相等。

【例15-10】一半径为R的金属球均匀带有电荷q，球外空间充满介电常量为 $ \varepsilon $的均匀电介质。求：（1）电场的总能量和电容 $ C $；（2）设想有一与金属球同心的球面，当其半径多大时球面所包围的电场能量为总能量的一半？

解 （1）利用高斯定理可求得场强分布为

$$ \begin{aligned}&E=0\quad\left(rR\right)\quad 方向沿径向 \\ \end{aligned} $$

显然，球外 r 相等的各点电场强度 E 的大小相等，电场能量密度也应相等。若选取的体积元 dV 是半径为 r、厚为 dr 的薄球壳，则薄球壳内各点的电能密度应处处相等。于是体积元 dV 中的能量为

$$ \begin{aligned}\mathrm{d}W_{e}&=w_{e}\mathrm{d}V=\frac{1}{2}\varepsilon E^{2}\cdot4\pi r^{2}\mathrm{d}r\\&=\frac{1}{2}\varepsilon\left(\frac{q}{4\pi\varepsilon r^{2}}\right)^{2}\cdot4\pi r^{2}\mathrm{d}r\end{aligned} $$

电场的总能量为上式对 r 从 R 到无限远的积分，即

$$ W_{e}=\int dW_{e}=\int_{R}^{\infty}\frac{1}{2}\varepsilon E^{2}\cdot4\pi r^{2}dr=\frac{q^{2}}{8\pi\varepsilon R} $$

由电容器的电能公式 $ W_{e}=\frac{1}{2}\frac{q^{2}}{C}=\frac{q^{2}}{8\pi\varepsilon R} $ 可得 $ C=4\pi\varepsilon R $。

（2）设球面半径为 $ R_{0} $，在半径 R 至 $ R_{0} $ 球壳范围内的电场能量为整个电场总能量的一半，即

$$ \int_{R}^{R_{0}}\mathrm{d}W_{e}=\int_{R}^{R_{0}}\frac{1}{2}\varepsilon\left(\frac{q}{4\pi\varepsilon r^{2}}\right)^{2}4\pi r^{2}\mathrm{d}r=\frac{W_{e}}{2}=\frac{q^{2}}{16\pi\varepsilon R} $$

由上式求得 $ R_{0}=2R $ 时球面所包围的电场能量为总能量的一半。

【例15-11】一空气平板电容器电容 $ C = 1.0 \times 10^{-12} $ F，当充电至 $ Q = 1.0 \times 10^{-6} $ C 时切断电源。求：(1) 极板间电势差 $ U_{AB} $ 及电场能量；(2) 将极板间距由 d 拉至 2d 时，能量是增加还是减少？为什么？

解 （1）极板间的电势差为

$$ U_{AB}=\frac{Q}{C}=\frac{1.0\times10^{-6}}{1.0\times10^{-12}}\ V=1.0\times10^{6}\ V $$

电场能量为

$$ W_{\mathrm{e}}=\frac{1}{2}C U_{\mathrm{AB}}^{2}=\frac{1}{2}\times1.0\times10^{-12}\times\left(1.0\times10^{6}\right)^{2}\mathrm{J}=0.5\mathrm{~J} $$

（2）当板间距由 d 拉至 2d 时，相应的电容为 $ C=\frac{\varepsilon_{0}S}{d}, C'=\frac{\varepsilon_{0}S}{2d}=\frac{C}{2} $。能量的变化为

$$ \begin{align*}\Delta W_{\mathrm{e}}&=W_{\mathrm{e}}^{\prime}-W_{\mathrm{e}}=\frac{1}{2}\frac{q^{2}}{C^{\prime}}-\frac{1}{2}\frac{q^{2}}{C}\\&=\frac{1}{2}q^{2}\bigg(\frac{2}{C}-\frac{1}{C}\bigg)=\frac{1}{2}\frac{q^{2}}{C}=0.5\mathrm{J}>0\end{align*} $$

可见电场能量增加了,增加的能量是由外力克服两极板间引力做功转化来的。

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静电现象和应用

静电现象是指物体带电后产生的一系列现象。当物体带电后能产生较高的电压和静电能。这一方面给工农业生产、科研和日常生活带来一定的危害，另一方面静电现象也可被用来为人类服务。下面对静电的危害和消除、静电的应用做简单介绍。

1. 静电的危害及消除

在人类认识史上，很早就从大自然中发现了静电现象。其实大自然是个静电的海洋，自然界的一切运动无不包含电的作用。我们每时每刻呼吸的空气，每立方厘米就含有 100~500 个带电粒子——离子，我们居住的地球就是一个巨大的电场，地壳就带有 $ 5 \times 10^5 $ C 的负电荷，地壳与大气外缘的电离层间有 $ 3.0 \times 10^6 $ V 的电势差，我们头顶的空气和脚下的地面间竟也有 220 V 的电势差，而地面附近平均场强可达 $ 130\ \text{V} \cdot \text{m}^{-1} $。如果乌云密布时，此时的场强甚至可骤升至 $ 10^4\ \text{V} \cdot \text{m}^{-1} $ 以上，并由此出现雷鸣电闪。可见人类和静电有着广泛而密切的联系。然而静电既能给人类带来幸福和乐趣，也能给人类带来灾难和痛苦。

静电对工业生产的危害主要集中在纺织、塑料、橡胶、印刷、石油、化工、食品粉体加工、电子等行业。

视频形成雷电的大电池

在纺织工业中，纺纱、精加工过程中由于摩擦产生的静电效应，可使纤维中产生绒毛竖立、不易收束，出现断线、缠结、不能折叠等现象；可因静电引力而造成静电污染，从而使产品质量下降；更严重的情况是引起火花放电，造成火灾等重大事故。

在塑料及橡胶工业中，静电主要的危害是吸附尘埃和产生电击，严重时同样会引起火灾。制成品一旦吸附尘埃，通常绝缘程度降低，影响使用。摄影胶卷生产过程中，常因火花放电而使胶片感光，产生次品甚至废品，甚至造成火灾事故。

印刷过程中，受滚筒挤压的纸张因带静电发生纸与纸相粘合分不开、对不齐的现象，造成印刷操作困难，油墨带电会产生“溅墨”现象，对厂房、车间造成污染。

石油、化工行业，静电危害主要发生在液体或粉体的输送工序中，液体或粉体与管道摩擦产生较强静电，从而产生火花引起爆炸。

在食品粉体加工过程中，飞扬的粉末与空气的混合物，常因生产过程中积累起的静电引起爆炸及火灾。

电子工业中，由于一些电子元器件如场效应管和集成电路等的抗静电能力很弱，微弱的静电感应或少量电荷就能使元器件信号失真或损坏，静电也能使工作中的电子设备（如电子计算机）产生不正常现象。

对有害的静电荷常采用如下静电防护措施设法消除。

（1）对易于产生静电荷的部件，用良导体接地。易于产生静电的装置或部件如输油管道，可每隔100~300 m设接地线，对大型油罐、桥台、钢轨、油轮码头可设专门的接地装置和大地保持良好接通，不让静电荷积累。

（2）加大空气湿度。实验证明，空气湿度对电位有显著影响。在汽油装卸中，空气湿度在35%~40%时油罐电位高达1000 V以上，空气湿度为50%时电位降为500~600 V，空气湿度达到72%~75%时电位几乎降为零。

（3）使用抗电剂。抗电剂的主要成分是活性剂，它能赋予不导电的塑料、化纤制品以吸湿性（亲水性）和电离性，从而增强其导电性能，避免静电荷的积累，而活性剂中含有的正、负离子使消除静电的效果更加显著。

（4）尽量应用导电材料做机械零件。因绝缘材料易于积累静电荷而不易散失，所以对于易产生静电荷的机械零部件，尽量采用导电材料。若必须使用橡胶、塑料、纤维等做零件，也可通过选用和改变加工工艺的办法，将橡胶、塑料、纤维等做成导电的。例如给绝缘材料涂上一层金属粉末、导电漆或包上导电薄膜，这样既不影响其强度、刚度和弹性等性能，又减少了静电积累。如聚乙烯外面包上一层“隆斯维特-P”导电薄膜，可将2500V电位降至零。导电纤维已被广泛用于制作防电工作服、手套、地毯、包装线和缝纫线等。

在集成电路的制造、检验、组装作业中，经常采用的静电防护措施有：在地板、工作台上铺设铅箔、铅板、导电橡胶、导电薄膜等；提高环境湿度；手腕戴上接地锁链；戴导电的橡皮手套等。

（5）应用静电屏蔽。静电屏蔽在电子工业生产、电信事业及科研活动中有着

广泛的应用，如场效应管、集成电路常放置在屏蔽盒内，对工频或高频车间常用接地的金属网罩起来，电缆线的外面增加一层用金属丝编织的套管等。

2. 静电应用

静电在工农业生产和科学研究中有着广泛的应用，如静电分选、静电集尘、静电复印、静电喷涂、植绒，静电起电机等。下面选几种静电应用供读者参考。

（1） 静电分选

植物的种子对静电场的反应较明显。小麦等形状细长的种子，在场强大到一定值时会按电场取向排列，这一场强称取向场强。根据取向场强的差异分选种子，能综合反映出种子绝对重量、密度、含水量、化学成分以及发芽率、发芽势等各方面的差异，这对于在育种工作中定向改变种子品质、加速优良品种培育有极大的意义。这样高标准的分选工作是其他任何一种分选法所无法单独胜任的。

种子静电分选仪由高压直流电源装置、工作室和测量指示装置组成。工作室中的两平板电极分别接电源两极，形成均匀电场，使种子取向。分选工作中，将首先取向的种子分离开工作室，然后逐档升高电压，一批一批分离出不同场强下取向的种子。

譬如：种子的绝对重量、密度和含水量是确定种子营养物质积累和播种品质的重要指标，而含水量的多少还关系到商品谷物的储藏和加工功效。事实证明，这些指标与取向场强有直接关系。以一组经过静电分选的大麦为例，在 $ 6.5 \times 10^5 $ V · m⁻¹场强取向的麦种，千粒重仅达 27.4 g，而在 $ 10.5 \times 10^5 $ V · m⁻¹场强取向的麦种，千粒重则达 47.5 g，增加 73%以上，而含水量也由前者 17.5%降到 12.4%。

再譬如，种子萌发力、发芽率和发芽势的测定，一般只能靠发芽试验，这不但费时费力，而且只能得到一批种子中的平均值，不能从中选出最好的来播种。人们对一批发芽率和发芽势分别为71%和61%的麦种进行静电分选，发现其中取向场强最低的一组，这两项指标仅为56%和48%，而取向场强最高的，发芽率和发芽势分别达80%和63%。这种非破坏性测定法，对于提高种子利用率，保证苗全苗壮，意义极大。

总之，静电分选的优越性还有许多，这里就不一一列举，静电分选在培育优良品种、提高单位面积产量、保管种子等各方面均优于其他分选法。

（2） 静电消除器

有些时候，如在胶片和印刷生产中，环境湿度不宜过大，这时可用静电消除器来消除有害的静电，它的原理是产生大量与摩擦电符号相反的离子，去中和有害的静电荷。

静电消除器的主要部件为一根电极管和一部高压电源装置。如图15-31所示，电极管的外壳A为一开有很多小孔的尼龙管，中心为金属棒B，棒上面排列一行金属针尖C，外壳附近有一根与尼龙管平行的粗铜棒D。铜棒D和金属棒B分别接到高压电源的两极上，在针尖C和铜棒之间有很强的电场，针尖将产生尖端放电，使空气电离，这些离子和工件上的静电荷中和，从而达到消除或减少工件上静电荷积累的目的。

（3） 静电除尘

现代生活中的空气污染问题越来越严峻地摆在我们面前。大量有害的烟粒、粉尘、液滴混合在空气里，使用静电除尘除掉这些污物是一种行之有效的方法。

静电除尘器有正、负两极，带正电的灰尘吸附于负极，带负电的灰尘吸附于正极，它们各自和电极表面的异号电荷中和，于是灰尘集聚在两极上，不致散布到外部空间去，从而实现了静电除尘。

工业上常用的除尘器，为了达到更好的效果常把许多金属圆筒并列起来，形成蜂窝状并作为正极，每个圆筒中心都有一根和圆筒保持绝缘的金属丝作为负极。含有烟尘的气体从圆筒一端进入，从另一端出去，烟尘被留下。用过一段时间的除尘器会因两极沾满灰尘形成绝缘层而降低集尘率，因此必须经常振打或清刷，除掉灰尘，使其保持正常工作。

静电除尘器的大小也不尽一致，大者可达十几层楼高，每分钟处理含尘气体近 $ 10\times10^{4}\ m^{3} $，回收整吨的飞尘；小的如空气净化器，可随身携带，其除尘效率一般情况下可达95%~99%。

根据同样原理还可制成静电滤布、静电口罩等。

（4） 静电加速器

静电加速器是加速电子、质子等带电粒子的一种装置。它的优点是加速电压准确而稳定。目前，除用于研究原子核物理外，在医学、生物等方面也有很多应用。静电加速电压是靠静电起电机产生的。图15-32是静电起电机的工作原理图。中空的金属球壳A是起电机的高压电极，它由绝缘支柱C支撑。球壳内和接近地面处装有转轴D和D'，可由电动机驱使它们转动。转轴上装有传送电荷的输电带（绝缘带）B。在下方的转轴D旁装有一排针尖E（称为喷电针尖），由高压电源使针尖带有相对地面为十几至几十千伏的电压。由于电压很高，在喷电针尖处场强很大，致使产生尖端放电现象，使针尖附近气体发生电

离。和针尖极性相同的带电粒子，在强电场作用下，从喷电针尖向输电带加速运动并附在输电带上，随着输电带的运动，移向高压电极 A。在高压电极中也有一排针尖 F（称为刮电针尖），由于静电感应，使刮电针尖带有极性相反的电荷，并且也产生尖端放电现象。气体电离后产生的与输电带上极性相反的带电粒子被吸向输电带，与输电带上的电荷中和。而与输电带上的电荷极性相反的带电粒子，则聚集到刮电针尖上并传向高压电极 A，从而使电荷分布于高压电极 A 的外表面上。随着输电带不断运转，A 上所带电荷量越来越多。若设高压电极对地电容为 C，当上面积累电荷为 Q 时，它对地的电压 $ U=\frac{Q}{C} $，C 很小，通常只有 $ 10\times10^{-12}\sim100\times10^{-12} $ F，所以只要高压电极 A 带有一定电荷量（如 $ 10^{-4} $ C），就可得到几兆伏的电压。利用这么高的电压对质子、电子等带电粒子加速，便可获得具有几兆电子伏能量的粒子。

静电应用已经活跃在工农业生产、医疗卫生、科研、宇宙飞行等各个领域，为我们展现出美好的前景。但在工艺、技术上有许多问题尚在探索和试验。静电学也是一门既古老又年轻的科学，许多静电现象至今尚未有圆满解释，已确立的理论还要不断接受实践的检验。总之，静电学理论和静电应用正在互相促进，不断完善和发展。

电介质击穿的危害及应用

1. 电介质击穿的一般规律

（1）气体电介质击穿的一般规律。气体电介质击穿的主要形式是气体放电（gas discharge）。气体因为通常所含的自由电荷很少，所以是良好的绝缘体。但由于某些原因气体中的分子也可发生电离而导电，这种电流通过气体的现象称为气体放电，也称为气体导电。气体导电常分自激导电和受激导电。受激导电是指气体在电离剂的作用下而电离。凡是能使气体电离的物质统称为电离剂，如紫外线、宇宙射线、X射线、火焰和放射性辐射等。当在气体两端的电极上加一定电压时，将有电流通过气体。电流I随所加电压U变化的关系如图15-33所示。其中饱和电流 $ I_{s} $反映了电离剂的强度。自激导电是指气体两端的电极上加一定数值 $ U_{c} $后，气体中的电流突然急剧增加（伏安曲线的CD段），这时即使撤去电离剂，导电过程仍能维持。在发生这种自激导电现象时，往往伴随有发声、发光等现象，这时气体被击穿， $ U_{c} $称为击穿电压。自激导电的物理机制是碰撞电离（形成簇射：电子和正负离子在强电场作用下获得很大的动能，当它们与中性分子碰撞时使后者电离。这样的过程链式地发展下去，形成簇射）、二次电子发射和热电子发射。根据气体的性质、气压、电极形状和大小、电极间的距离、外加电压的不同以及电流的大小而呈现不同的放电现象，如电晕放电、弧光放电、火花放电、辉光放电等。气体放电的研究与高电压绝缘、高温照明等问题密切相关。

视频 模拟测

雷电

当导体电极上有曲率较大的尖端，而又远离其他导体时，由于尖端附近的电场较强电势梯度较大，使气体电离并发出与日晕相似的蓝紫色的晕光层，这叫作电晕放电（corona discharge）。当出现电晕时，还伴随“哧哧”的声音，产生臭氧、氧化氮等。这种放电的主要物理机制是与起晕电极正负号相同的离子在晕光层内引起的碰撞电离。当电极与周围导体间的电压增大时，电晕层逐步扩大到附近其他导体，过渡到火花放电。可见，电晕放电是一种不完全的火花放电。电晕将引起电能的损耗，并对通信和广播产生干扰。

视频闪电的形成的过程

弧光放电(arc discharge)也称“电弧”，是一种显示弧形白光，产生高温的气体放电现象，可发生在稀薄气体、金属蒸气、普通大气和高压气体中，其特征是所需电压不高而电流很强。例如把两根炭棒或金属炭棒接于电压为数十伏的电路上，先使两棒的尖端互相接触，通过数十安以上的强大电流，然后使两棒分开而两端间保持不大的距离，这时电流仍能通过空隙，而使两端间产生温度达 $ 3000\;^{\circ}C $的稳定电弧（在高气压下可达 $ 6000\;^{\circ}C $）。维持电弧中强大的电流所需的大量离子，主要是由电极上的离子蒸发而来。电弧可作为强光源（弧光灯）、紫外线源（太阳灯）或强热源（电弧炉、电焊机等）。在开关电器中，由于触头分开而引起的电弧有一定危险，必须采取灭弧措施。

火花放电(spark discharge)也称电火花。在通常气压下，在曲率不太大的电极间加上高电压，当电流供给的功率不太大时，极间气体在强电场（空气中的场强超过 $ 3000\mathrm{kV}\cdot\mathrm{m}^{-1} $ )作用下被击穿，如此形成的自激放电就是火花放电。这时碰撞电离沿着电极间曲折的发光通道进行，气体因迅速、猛烈地发热而发出电火花和爆裂声。火花放电具有间歇性。火花的大小由电极的形状和大小、极间电压以及气体的性质和压强决定。雷电就是自然界中大规模的火花放电现象。电火花常应用在光谱分析、金属电火花加工、打火机、内燃机点火等方面。在高压电器设备中应采取措施防止发生电火花。但适当的火花间隙可用来保护电器设备，使它在受雷击产生过载电压时免遭破坏。

辉光放电（glow discharge），也称“冷阴极放电”（cold-cathode discharge）。这是一种当放电管中气压降低到约 $ 1.3 \times 10^{2} $ Pa，两端电压加到数百伏特时所发生的标准的稀薄气体放电现象。这时从阴极 K 沿着放电玻璃管到阳极 A 为止一共出现 5 个不同的光区（见图 15-34）：1 为第一阴极光层，2 为第一暗区，3 为第二阴极光层（或称负辉区），4 为第二暗区，5 为正柱区（或称阳辉区，此区一直伸展到阳极）。在这种放电现象中，电子在强电场作用下产生的碰撞

电离是发光的主要物理机制。放电的特征是电流密度很小，温度不高，辉光的颜色随所充气体而异，例如充氖呈红紫色、充氩和汞则呈蓝色等。利用这种放电的发光效应可以制成霓虹灯和荧光灯等光源，利用它在一定电压下才发光的稳压特性，可以制成氖稳压管。

（2）固体电介质击穿的一般规律。固体电介质的击穿主要分为电击穿和热

击穿。

电击穿的一般实验规律为：①在室温或低温时出现；②材料的击穿场强 $ E_{c} $ 与样品的外形和尺寸无关，是材料的本征性质参量，因此，表15-1中的击穿场强是电击穿时的击穿场强；③介质内部击穿时的放电路径常按一定方向择优发展；④ $ E_{c} $ 与外电压波形无关，完成击穿所需时间为微秒 ( $ \mu $s) 级或更小；⑤ $ E_{c} $ 是样品厚度 d 的缓变函数，当 d 很小时， $ E_{c} $ 变化较快， $ d < 10^{-6} $ m 时 $ E_{c} $ 随 d 下降而增大，称为薄膜强化效应。

热击穿的一般实验规律为：①高温下易于击穿，击穿是温度升高所引起；②热击穿场强和样品尺寸、耐热性能和散热条件等有关，击穿过程约需毫秒(ms)级时间；③交流的击穿场强比直流的击穿场强要小。除电击穿和热击穿外，还有因介质长时间使用，由放电老化和电化学老化使电介质老化而使电介质击穿。关于固体电介质的击穿机理和击穿过程的详细研究超出了本课程的范围，有兴趣的读者可参阅关于电介质材料物理的书籍和文献。

2. 电介质击穿的危害

电介质常用作介电材料作为电容器的介质，以便增加电容和提高耐压能力。固体介质击穿后，其介电性能不可恢复，造成电容器损坏。空气介质电容器击穿后虽不致彻底损坏，并能恢复其介电性能，但电介质击穿时电容器突然变成导体，电路性能发生变化，使电路或电子仪器不能正常工作。

高压输电线上的高电压可使其周围空气电离形成辉光放电，造成电能损耗。高压变电设备中的电介质击穿可导致电网停止供电或引起火灾。

可燃性气体、火药及石油产品，在生产、储存和运输中都会因摩擦、感应而带电，在适当条件下会发生火花放电而引起燃烧爆炸。据有关方面统计，自1960年到1978年共发生静电引起的装油火灾116起。1969年，国际航运公司有3艘20万吨级的油轮发生爆炸而沉入海底，其中大部分起因于静电问题。1976年元旦，挪威别尔根生航运公司一艘载重22万吨的油轮，在从巴西开往日本途中，船内突然连续3次发生强烈爆炸，使船体裂成几段并迅速沉入海底。32名船员仅有2名得救，损失惨重。其原因是由于压舱水被船身摇晃时产生的静电所致。

近 30 年，我国石油工业发展很快，静电危害也不断发生。例如 1977 年 12 月 8 日某石油罐爆炸起火，油罐顶盖被抛上天空。在事故发生前，该厂工作人员以 $ 0.6 \, m \cdot s^{-1} $ 的流速将另一种油输入油罐，在输油 12 min 时发生油罐爆炸。经调查确认是罐内铁浮子与其他物体之间放电所致。

现在许多城市铺设了天然气管道供很多家庭用天然气生火做饭，城市和农村也有很多家庭使用液化石油气。这不仅给用户带来很大方便，也大大减小了环境污染。但是一旦发生泄漏，房屋中将充满这些可燃气体，这时，不管是开还是关家用电器，或者停电、停电后恢复供电，开关处都可能因空气被击穿时产生的火花造成火灾。所以，一旦发现家中有天然气或液化石油气泄漏，要立即关气，开窗、开门通风，绝对不能开、关电器！

长期使用的输电线路中绝缘介质的老化击穿也是造成火灾的重要原因。

视频高压带电维修

视频 火箭避雷针

雷电是大规模天然电介质的击穿现象。雷电可能造成火灾和建筑物的损坏，其破坏力非常巨大。在航空航天事业中，由于电介质击穿造成火花放电，在空间产生的电磁波干扰计算机正常工作，甚至有可能造成火箭发射失败等事故，所以防雷、测雷、选择适当的天气条件对航天器的发射是十分重要的。

3. 电介质击穿的应用

空气介质击穿时可产生高温等离子体，正负电荷湮灭时发光并产生大量热量。利用这一现象可以制成发光强度很大的弧光灯。电焊也利用了这一现象。

在辉光放电产生的等离子体中，电子的能量范围为1~20 eV。由于辉光放电伴生的能量大于分子的键的能量（2~8 eV），故等离子体技术在聚合物的应用中有着美好的前景。利用聚合物的辉光放电合成，可以制造出物理化学性能优良的无孔均匀的薄膜。利用等离子体可对聚合物进行表面改性，等离子体也可用于选择性刻蚀或聚合物去除，还可以利用等离子体技术制造微电子元件中的膜、涂层及绝缘层等。

因为 pn 结的阻挡层非常薄，所以存在非常强的电场，一旦此电场超过 $ 10^{8} $ V/m，由于能带间的隧道效应，会有高密度的电流通过，这种现象称为齐纳击穿。利用齐纳击穿现象可以制造出和稳压放电管有相同功能的二极管，这种二极管称为齐纳二极管。

1981 年齐默尔曼(Zimmermann)提出了细胞电融合的方法，利用高电场使缓冲液中的细胞排成珠链，然后叠加高压方波脉冲使细胞产生可逆性击穿，从而产生细胞间融合的现象。1982 年诺伊曼(Neumann)提出基因电注入法，利用高压方波脉冲将所需的基因注入到细胞中。基因电注入法自开始就获得了极为广泛的应用，在调控、创造动植物优良品种及产生胰岛素、人体生长激素、干扰素、单克隆抗体等动植物蛋白质药物等方面已获得极为迅速的发展，已成为细胞工程及基因工程的重要部分。

电流变液的研究及应用

1. 电流变液

1896 年美国科学家杜夫(Duff)发现一些液体如甘油、蓖麻油、重石蜡油等在电场作用下其黏性增加。绝缘液体在电场作用下黏性发生变化的现象称为电黏性效应。

自 1939 年美国科学家温斯洛（Winslow）在绝缘液体中加入一些微粒制成悬浮体，对悬浮体在电场作用下黏性增大的现象进行了研究，1947 年申请专利并报道了他的研究成果。在绝缘油中加入淀粉、石灰石、面粉、明胶等使之形成悬浮体，当加上电场后，在两极板间会形成沿电场方向的纤维桥结构，其表观黏性有明显变化。后来的大量实验发现流体真正的黏性并没有大的变化，而是其特性曲线往往满足了宾厄姆（Bingham）塑性的结果。电场对分散体系的结构和流变性质的影响称为电流变效应（electrorheological effect），具有电流变效应的分散体系称为电流变体，简称 ER 体，亦称电流变液（eletrorheological fluids）。ER 体是指在绝缘的连续相液体介质中加精细的固体颗粒而形成的悬浊液。在一定电场作用下，ER 体明显地显示出与原来液体不同的固态特性，当电场解除后液体又恢复到原来所具有的性质。

这种变化是连续的、快速的(响应时间只需几毫秒)，并且是可逆的，所以电流变液的性能具有可控性。

1985 年前后，ER 体研究在国际上又一次进入高潮。美国、英国、德国、日本等国的许多大学、研究部门和公司相继建立了电流变液研究课题组。我国从 1985 年前后开始进行电流变学研究，现在许多大学正进行 ER 体机理和应用的开发研究。电流变液研究已列入国家自然科学基金资助项目和国家高技术研究发展计划（863 计划）资助项目。如今，每两年一届的国际电流变液学术会议受到科技界的广泛关注。电流变学是一门涉及物理学、化学、力学和材料科学等诸多领域的新兴边缘交叉学科。

2. 电流变液研究的近期进展

（1） 理论研究

为了解释极板间的纤维桥结构已提出如下理论：

① 原纤维化理论——ER 体的微结构。近期有研究人员利用有限元法计算成链粒子间的作用力；用局部电场中偶极子效应计算有效电容率，推求剪切模量等力学性质。

②电偶极层相互作用理论。该理论认为电流变效应是极化偶极层前后粒子间相互干涉增加的表现形式，且比拟为二次电黏性效应。

③ 分立粒子成线理论。这一理论适用于极稀悬浮体。

关于 ER 体粒子极化模型目前主要有电子极化、原子极化、偶极子式极化、游离式极化和面际式麦克斯韦-维格纳 (Maxwell-Waigner) 极化。

（2） 实验及开发研究

基液和悬浮颗粒的选择和比例；基液和悬浮颗粒的介电性质（电容率）、导电性质（电导率）对流变特性、传导特性、力学特性的影响。

电变量对 ER 体性质的影响: ER 体的最小阔场、力学特性剪切强度（如屈服应力等）与场强的关系。直流和交流电场对 ER 体特性的影响。

3. 电流变液的应用

ER 体器件的设计及其性能。

由于电流变液的流变特性和力学特性可以用电场进行连续、快速控制，并且解除电场后流体性质可以恢复，所以电流变液有着广泛的应用领域，例如离合器、刹车器、摩擦设备、机械卡具、定位工具、液压阀门、流体控制设备、控制泄漏的密封装置、减震器等。近几年有人提出将电流变液用作自适应智能材料。目前ER体的市场售价仍然较高，而且耐久性、使用温度范围和切变强度等还有待进一步提高。随着这些问题的不断解决，ER体必将广泛应用于航空、航天及民用工业各领域中，具有广阔的市场前景。

铁电体 压电效应

1. 铁电体

有一类各向异性电介质，在一定温度范围内，其极化强度和场强之间是非线性

关系，甚至没有单值的函数关系。当撤去外电场后，这类电介质能保留一定的极化。因为这类电介质的极化和铁磁体的磁化相似，所以被称为铁电体（ferroelectrics）。例如酒石酸钾钠单晶（NaK $ _{4} $H $ _{4} $O $ _{6} $·4H $ _{2} $O）、钛酸钡（BaTiO $ _{3} $）、铌酸钠（NaNbO $ _{3} $）、钽酸锂（LiTaO $ _{3} $）等都是铁电体。铁电体有以下特性：

（1） 铁电体在极化过程中有电滞现象

以钛酸钡为例，当它的温度低于 125 ℃时，若在钛酸钡上加上外电场，并把场强从零开始逐渐增大，则钛酸钡介质中的极化强度沿图 15-35 中的 OA 曲线上升，当极化强度的大小达到 $ P_s $ 值（图 15-35 中点 A）后，再增大场强，极化强度也不再增加，这种现象叫作电极化饱和。此后，若减弱电场，极化强度不沿原曲线减小，而是沿 AB 曲线逐渐减小。这表明钛酸钡中极化强度的减小滞后于场强的减小。当场强减弱到零时，钛酸钡中的极化强度并不减为零，而是保留某个数值 $ P_r $ [图 15-35(a) 中 B 点]， $ P_r $ 叫作剩余极化强度。这时若加上反向电场并逐渐增大场强，则极化强度沿曲线 BCD 变化。当场强达到 $ -E_s $ 时，钛酸钡在反方向达到极化饱和。此后，若减弱反向电场，则极化强度沿 DE 曲线变化。当场强减弱到零时，钛酸钡中保持 $ -P_r $ 的剩余极化。这时，若加上正向电场，则极化强度 P 沿曲线 EFA 上升。可见，场强大小和方向变化一周 $ (E_s \to 0 \to -E_s \to 0 \to E_s) $，极化强度沿闭合曲线 ABCDEFA 亦变化一周，这条闭合曲线叫作电滞回线。由电滞回线可见，同一场强值可以对应不同的极化强度，即钛酸钡中的极化强度不仅与场强的大小和方向有关，而且与钛酸钡的极化历史有关。不同的铁电体有不同的电滞回线，有些铁电体的电滞回线的形状十分接近矩形 [见图 15-35(b)]，这些铁电体可用于制造电子计算机的记忆元件。

（2） 居里点

当铁电体的温度超过某一临界值，铁电体就转化为一般电介质。这一临界温度叫作居里点。不同铁电体有不同的居里点，例如钛酸钡的居里点为 $ 125\;^{\circ}C $，钛酸铅的居里点为 $ 500\;^{\circ}C $。

（3） 铁电体的相对电容率很大

一般电介质的相对电容率在1~10之间，而铁电体的相对电容率在 $ 10^{2} $~ $ 10^{4} $之间，用铁电体作为介质可以制成电容量很大、体积很小的电容器。因为铁电体的电容率随铁电体中的场强而变化，所以用铁电体作为介质的电容器的电容量将随加

在电容器两极上的电压而变化，这种电容器叫作非线性电容器。非线性电容器用于振荡电路和介质放大器中。

2. 压电效应

铁电体和某些晶体（如石英、电气石、糖等晶体）在受到拉伸或压缩时也会发生极化现象，在承受压力或拉力的两个表面上出现等量异号的极化电荷，如图15-36所示，这种现象叫作压电效应（piezoelectric effect）。例如，石英晶体在受到9.81 N·cm⁻²的压强作用时，它承受正压力的两个表面会出现0~5 V的电势差。

压电效应有逆效应，即当给压电晶体加上电场时，它沿电场方向的长度发生变化，这种现象叫作电致伸缩（electrostriction）。当然，晶体的伸长或缩短是极其微小的，例如在压电晶体的两个表面加上几百伏的电势差时，晶体只伸长或缩短千分之一微米。

压电效应和电致伸缩在近代科学技术中有广泛应用。利用压电效应可以把机械振动变为电振荡。例如，扩音器的晶体话筒和电唱机的晶体唱头就是利用压电晶体的压电效应把机械振动转变为电振荡的。利用电致伸缩则可以把电振荡还原为机械振动。例如，晶体耳机就是借助压电晶体的电致伸缩把电振荡还原为机械振动，再把机械振动传给装在耳机中的金属膜片，使之发出声音。此外，利用电致伸缩还可产生超声波。把压电效应和电致伸缩结合在一起，还可制成用处很大的晶体振荡器，这种振荡器的突出优点是频率的高度稳定性。例如，利用晶体振荡器制成的石英钟，每昼夜的误差不大于 $ 2 \times 10^{-5} $ s。此外，利用压电效应还可制成压电变压器和压电传感器。

习题

15-1 如题 15-1 图所示，点电荷 +Q 位于金属球壳的中心，球壳的内、外半径分别为 $ R_{1}, R_{2} $，所带净电荷量为 0。设无穷远处电势为 0，如果移去球壳，则下列说法正确的是（）。

A. 如果移去球壳，B 点电势增加

B. 如果移去球壳，B 点电场强度增加

C. 如果移去球壳，A 点电势增加

D. 如果移去球壳，A 点电场强度增加

15-2 两个带有等量同号电荷、形状相同的金属小球 A 和 B 相互间的作用力为 F，它们之间的距离远大于小球本身的直径。现用一个带有绝缘柄的原来不带电的形状相同的金属小球 C 和小球 A 接触，再和小球 B 接触，

然后移去，则球A和球B之间的作用力变为( )。

A. $ \frac{F}{2} $ B. $ \frac{F}{4} $ C. $ \frac{3F}{8} $ D. $ \frac{F}{10} $

15-3 如题15-3图所示，导体球壳内有一点电荷q，当q从A点移到B点时，P点的场强()。

A. 变大 B. 变小 C. 不变 D. 无法确定

15-4 在接地金属壳内放置一中性导体 b 和一带正电导体 a，如题 15-4 图所示，则两导体电势()。

A. $ U_{a}=U_{b} $ B. $ U_{a}U_{b} $ D. 无法确定

15-5 设有两个半径分别为 $ R_{1} $ 和 $ R_{2} $ 的金属球，它们周围无其他带电体或导体，

它们之间相距也非常远。今用一根细导线把它们相

连，如题15-5图所示，它们所带电荷量分别为 $ Q_{1} $和 $ Q_{2} $，若它们的电势分别为 $ U_{1} $和 $ U_{2} $，则()。

A. $ U_{1}>U_{2}, Q_{1}>Q_{2} $

B. $ U_{1}

C. $ U_{1}=U_{2}, Q_{1}=Q_{2} $

D. $ U_{1}=U_{2}, Q_{1}

15-6 将平行板电容器充电后切断电源,然后在其两极板间充满均匀电介质,则两极板间的场强 E、电容 C、电势差 U、电场能量 W 四个量和充介质前相比较是( )。

A. $ E \uparrow, C \downarrow, U \downarrow, W \uparrow $

B. $ E \downarrow, C \uparrow, U \downarrow, W \downarrow $

C. $ E \downarrow, C \uparrow, U \uparrow, W \downarrow $

D. $ E \uparrow, C \uparrow, U \downarrow, W \downarrow $

15–7 真空中有一带电球体和一均匀带电球面，如果它们的半径和所带的总电荷量都相等，则下列说法正确的是( )。

A. 球体的静电能等于球面的静电能 B. 球体的静电能大于球面的静电能

C. 球体的静电能小于球面的静电能 D. 不能确定

15-8 如题15-8图所示，有两块大金属平板平行放置，面积均为S，分别带有总电荷量+Q，-Q，则静电平衡时，两金属板上的四个表面上的电荷面密度分别为 $ \sigma_{1}= $ ___， $ \sigma_{2}= $ ___， $ \sigma_{3}= $ ___， $ \sigma_{4}= $ ___。

15-9 一个未带电的导体球壳，内半径为 R，在其内离球心 O 的距离为 $ d(d

15-10 对下列问题请选取“增大”“减少”“不变”作答。

（1）如果保持平行板电容器板上电荷量不变（即充电后切断电源）。现在使两板间的距离增大，则：两板间的电势差 ___，场强 ___，电容 ___，电场能量 ___。

（2）如果保持两板间电压不变（即充电后与电源保持连接）。使两板间的距离增大，则两板上的电荷量___，两板间的场强___，电容___，电场能量___。

15-11 如题15-11图所示，电容器中充有两种各向同性均匀电介质，其相对电容率分别为 $ \varepsilon_{r1}, \varepsilon_{r2} $，且 $ \varepsilon_{r2}=2\varepsilon_{r1} $，则充电后介质1中的电场能量密度是介质2中的电场能量密度的___倍。

15-12 如题15-12图所示，一半径为a的接地导体球外有一点电荷q，它与球心O的距离为b，试求导体球上的感应电荷。

15-13 点电荷 $ q=4.0\times10^{-10} $ C 位于导体球壳的中心，壳内外半径分别为 $ R_{1}=2.0 $ cm, $ R_{2}=3.0 $ cm，求：

（1）导体球壳的电势；

（2）离球心 r=1.0 cm 处的电势；

（3）把点电荷移离球心 1.0 cm，再求导体球壳的电势。

15-14 半径为 $ r_{1} $ 和 $ r_{2}(r_{1}

（1）外球的电荷分布及电势；

（2）把外球接地后再重新绝缘，外球的电荷分布及电势；

（3）然后把内球接地，内球的电荷分布及外球的电势改变量。

15-15 A, B, C 是三块平行金属板, 面积均为 $ 200 \, cm^{2} $, A, B 相距 4.0 cm, A, C 相距为 2.0 mm, B, C 两板均接地, 如题 15-15 图所示, 如果 $ \left|\frac{2.0 \, mm}{4.0 \, mm}\right| < \frac{1}{2} \, cm $. 使 A 板带正电 $ 3.0 \times 10^{-7} \, C $ 。求：

（1）B, C 板上的感应电荷；

（2）A 板的电势。

15-16 半径为 R，相对介电常量为 $ \varepsilon_{r} $ 的均匀介质球中心放有点电荷 Q，球外是空气。求球内外的电场强度 E 和电势 U 的分布。

15-17 两块平行导体板上带有等值异号电荷，两板间的距离为 5.0 mm，两板间充满 $ \varepsilon_r = 3 $ 的介质，介质中的电场强度为 $ 1.0 \times 10^6 \, \text{V} \cdot \text{m}^{-1} $，求：

（1）介质中的电位移矢量；

（2）平板上的自由电荷面密度；

（3）介质中的极化强度；

（4）介质面上的极化电荷面密度；

（5）平板上自由电荷及介质面上极化电荷所产生的那一部分电场强度。

$ ^{*} $15-18 两个同轴导体圆筒的内、外筒半径分别为 $ R_{1}, R_{2}, R_{2} < 2R_{1} $，其间有两层均匀电介质，分界面半径为 $ r_{0} $，内层介质相对介电常量为 $ \varepsilon_{r1} $，外层介质相对介电常量为 $ \varepsilon_{r2}, \varepsilon_{r2} = \varepsilon_{r1}/2 $。两层电介质的击穿场强都是 $ E_{max} $。当电压升高时，哪层介质先击穿？两筒间能加的最大电势差多大？

$ ^{*}15-19 $ 半径为 R 的导体球，带有电荷 Q，球外有一

同心均匀电介质球壳，球壳的内外半径分别为 a, b，相对介电常量为 $ \varepsilon_{r} $，如题 15-19 图所示。求：

（1）介质内外的电位移D和电场强度E；

（2）介质内的电极化强度 P 和介质表面上的极化电荷面密度 $ \sigma^{\prime} $;

（3）离球心 O 为 r 处的电势 U;

（4）如果在电介质外罩一半径为 b 的导体薄球壳，该

球壳与导体壳构成一电容器，这电容器的电容多大？

15-20 在内极板半径为 a，外极板半径为 b 的圆柱形电容器内装入一层相对介电常量为 $ \varepsilon_{r} $ 的同心圆柱壳体（内径为 $ r_{1} $，外径为 $ A^{0} $

$ r_{2} $，则其电容变为原来电容的多少倍？

15-21 如题 15-21 图所示， $ C_{1}=10\ \mu F, C_{2}= $

5 $ \mu $F, $ C_{3}=5 $ $ \mu $F，求：

（1）两端A,B的等效电容；

(2) 在 A, B 间加上 $ 100 \, V $ 的电压，则 $ C_{2} $ 上的

电荷量和电压是多少？

（3）如果 $ C_{1} $被击穿，问 $ C_{3} $上的电荷量和电压各是多少？

15-22 一空气电容器充电后如果切断电源，灌入煤油（相对介电常量为 $ \varepsilon_{r} $），则电容器贮存的能量是原来能量的多少倍？如果当灌入煤油时电容器与电源相连，则电容器贮存的能量是原来的多少倍？

$ ^{*} $15-23 球形电容器内外两极板的半径分别为 $ R_{1} $ 和 $ R_{2} $，证明其带电后所储存的电场能量的一半是在半径为 $ r=\frac{2R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}} $ 的球面内部。一个孤立导体球带电后其电场能的一半储存在多大的球壳内？

15-24 圆柱形电容器的两个同轴圆柱面带有等量异号电荷 +Q 和 -Q，长度均为 l，半径分别为 a 和 b， $ l \gg b - a $，两圆柱面之间充有介电常量为 $ \varepsilon $ 的均匀电介质。求：

（1）在半径为 $ r(a

（2）电介质中的总能量；

（3）能否由此总能量推算出圆柱形电容器的电容？

$ ^{15-25} $ 有一平板空气电容器，每块极板面积均为 S，两极板间距为 d。今以厚度为 $ d^{\prime} $ 的铜板平行地插入电容器。

（1）计算此时电容器的电容。铜板与极板间的距离对这一结果有无影响？

（2）使电容器充电到两极板的电势差为 $ V_{0} $ 后与电源断开，再把铜板从电容器中抽出，需做功多少？

（3）如果插入的不是铜板而是一块同样厚度的相对介电常量为 $ \varepsilon_{r} $ 的均匀电介质板，则(1)、(2)两项结果又如何？