第五篇 电磁学 · 第14章 真空中的静电场

第五篇 电 磁 学

电磁运动是物质运动的一种最基本的运动形式，电磁学是研究电磁场的基本性质和基本规律及电磁场与物质的相互作用的科学。电磁学在现代物理学中占有重要地位。

电磁学起源于人类的生产活动，并随着生产的发展而逐步完善。远在公元前6世纪左右，希腊哲学家泰勒斯（Thales，公元前624—前546）已记载了用布摩擦过的琥珀能吸引草屑的现象。同一时期即春秋战国末年我国人民发现了磁铁矿吸铁的现象，并用天然磁石制成了指南针用于航海事业，还发现了地磁偏角。我国是发现天然磁石、发明指南针和发现地磁偏角最早的国家，在磁学发展史上留下了光辉的一页。关于电磁现象的定量的理论研究，最早可以从库仑（Charlse-Augustin de Coulomb，1736—1806）1785年研究电荷之间相互作用算起。其后通过泊松（Simeon Denis Poisson，1781—1840）、高斯（Johann Carl Friedrich Gauss，1777—1855）等人的研究形成了静电场（以及静磁场）的理论。伽伐尼（Luigi Galvani，1737—1798）于1786年发现了电流，后经伏打（Alessandro Vlota，1745—1827）、欧姆（Georg Simon Ohm，1789—1854）、法拉第（Michael Faraday，1791—1867）等人发现关于电流的定律。人们最初曾认为电现象和磁现象是互不相关的，直到1819年，奥斯特（Hans Christian Oersted，1777—1851）发现了电流对磁针的作用，人们才开始认识到电和磁的关系。此后一两年内，毕奥（Jean-Baptiste Biot，1774—1862）、萨伐尔（Felix Savart，1791—1841）、安培（Andre-Marie Ampere，1775—1836）、拉普拉斯（Pierre Simon Laplace，1749—1827）等作了进一步定量的研究。1831年法拉第发现了电磁感应现象及其规律，并提出了场和场线的概念，使人们对电现象和磁现象的内在关系有了更为深刻的认识。1865年，麦克斯韦（James Clerk Maxwell，1831—1879）在前人工作的基础上，提出了涡旋电场和位移电流两个假说，以其深刻的物理思想、高超的数学技巧建立了系统的电磁场理论，并由此预言了电磁波的存在，且指出光是一种电磁波，使光学成为电磁场理论的组成部分，完成了电、磁、光现象的理论大综合。

现在，电磁学理论已在工农业生产、科学研究及日常生活等方面有着极其广泛的应用，也已成为人类深入认识物质世界必不可少的基本理论。一切电磁器件和光电器件，例如电动机、发电机、电视机、微波、雷达、高能加速器、电子显微镜和电子计算机等，莫不依赖于电磁学的基本原理，而电工学、无线电电子学、无线电技术和集成电路等，都是在电磁学的基础上建立和发展起来的。

本篇将介绍电磁现象与电磁规律及其在生产和科研中的一些应用。由于电和磁有着密切的联系，电场和磁场是统一电磁场的两个侧面，因此本篇先分别讨论电现象和磁现象，再讨论电和磁的联系，介绍统一的电磁运动规律。

>> 第14章

真空中的静电场

相对于观察者静止的电荷所激发的场称为静电场。本章主要研究真空中静电场的基本性质和规律。

本章以库仑定律和场强叠加原理为基础推出静电场的两个基本定理——高斯定理和静电场环路定理，引入两个描述电场性质的物理量——场强和电势，并讨论由已知场源电荷的分布计算空间场强和电势分布的方法。在本章中首次引入场的观念并介绍场的研究方法，对后续内容中的磁场研究部分也有借鉴意义。本章所涉及的内容，就思维方法来讲，对整个电磁学甚至整个物理学都具有典型的意义。

14.1 库仑定律

14.1.1 电荷及其性质

具有吸引羽毛、纸屑等轻小物体的性质的物体称为带电体，使物体带电的过程称为起电(electrification)。人们可以用摩擦或其他方法使物体带电，并把带电体所带的电称为电荷(electric charge)。实验指出，电荷有两种，而且只有两种：一种是丝绸摩擦过的玻璃棒所带的电荷——称为正电荷，另一种是毛皮摩擦过的橡胶棒所带的电荷——称为负电荷。近代理论使我们对物质带电的本质有了进一步认识，物质电结构理论使我们认识到各种物质都由分子、原子组成，原子由原子核及核外电子组成，原子核又由中子和质子组成。中子不带电，质子带正电，电子带负电。通常状态下原子呈电中性(electric neutrality)状态，即原子中核内质子数与核外电子数相等。当两不同物体相互摩擦时，可使一物体失去一些电子而带正电，另一物体得到电子而带负电。物质电结构理论进一步表明：电荷是实物粒子的一种属性，它描述了实物粒子的电性质，正如质量反映实物粒子惯性或引力属性一样。一切实物粒子(无论宏观粒子或微观粒子)都有一定质量，但带电性质则可以不同。电荷只能随带电的基本粒子(电子、质子)的迁移而迁移，一切物体的原子核一般是不容易迁移的，所以物体带电的本质是两种物体间发生了电子的转移。

物体所带电荷数量的多少称为电荷量(electric quantity)，常用 Q 或 q 表示。在国际单位制中，它的单位为库仑，符号为 C。实验证明，在自然界中带电体所带电荷量总是一个基本单元的整数倍。这一基本单元的电荷量是电子所具有的电荷量的绝对值，以 e 表示，称为元电荷(elementary charge)。任意带电体所带电荷量则可表示为

$$ q=n e\quad(n 为整数 ) $$

电荷的这一特性称为电荷量子化(charge quantization)。经近代测定，元电荷 e 的量值为

$$ e=1.602\;176\;620\;8(98)\times10^{-19}C $$

现在已经知道基本粒子所具有的电荷量都是基本单元的整数倍。尽管近代物

理从理论上指出，基本粒子（如质子、中子等强子）都是由分别具有 $ \pm\frac{1}{3}e $和 $ \pm\frac{2}{3}e $电荷的夸克或反夸克组成，但这并不破坏电荷量子化的规律。因为，由于夸克禁闭，至今尚未在实验上发现单独存在的夸克，仅在一些间接的实验中验证了夸克的存在。

在物体的带电过程中，随着带电粒子的迁移，物体所带电荷可以从一个物体迁移到另一个物体上。但其所构成的系统的电荷总量既不会增加，也不会减少。实验证明，在一个孤立带电系统中（即没有净电荷通过系统界面），无论发生怎样的物理过程与化学过程，系统所具有的正负电荷的代数和总是保持不变，这就是电荷守恒定律（law of conservation of charge，1748）。电荷守恒定律在微观领域内也被证明是正确的。

此外，实验证明，物体所带电荷与它的运动状态无关。当质子和电子处在加速器中时，随着它们速度的变化，其质量变化是显著的，但电荷却没有任何变化。电荷的这一性质表明系统所带电荷与参考系的选取无关，即电荷具有运动不变性或相对论不变性。

14.1.2 库仑定律

1. 点电荷

从 18 世纪开始，不少人着手研究电荷之间的相互作用力的定量规律。最先研究的是静止电荷之间的相互作用力（即库仑力）。研究静止电荷之间的相互作用的理论称为静电学（electrostatics）。

实验发现，真空中两个静止带电体之间的电性相互作用力，不仅和两个带电体的电荷量、距离有关，而且与它们的大小、形状以及电荷在带电体上的分布有关。当带电体的几何线度远小于带电体之间的距离时，带电体的大小、形状以及电荷在带电体上的分布对它们之间的相互作用力的影响非常小，可以忽略不计，即可以把带电体所带的电荷看成集中在一个“点”上而视为点电荷。带电体被简化为点电荷后，可以用一个几何点标志它的位置，两个带电体之间的距离就是标志它们位置的两个几何点之间的距离。点电荷是理想模型。至于带电体的几何线度比带电体之间的距离小多少才能把带电体当作点电荷，要根据具体问题要求的精确度来确定。

2. 库仑定律

法国物理学家库仑发明了扭秤，并用扭秤研究两个点电荷之间的相互作用力的规律。1785年库仑发表了他的实验结果，这就是库仑定律（Coulomb's law，1785）。

扭秤装置如图14-1所示。如果小球A和B都带电，则作用在小球A上的静电力将使悬丝扭转。为了使两个带电小球保持在实验时所需要的特定距离，可将悬头扭转一角度

文档库仓

$ \theta $，以抵消悬丝的扭转效应。测量出角度 $ \theta $的大小就可以确定作用在带电小球A上的力。

实验结果指出

$$ F\propto\frac{1}{r^{2}} $$

式中，F 是作用于 A 和 B 这两个带电小球上的相互作用力的量值，r 是 A 和 B 间的距离。这两个力沿着两电荷的连线而指向相反的方向。应该注意，即使这两个电荷的大小不同，作用于每个电荷的力的大小也是相等的。

库仑还利用扭秤研究电荷间的相互作用力如何随着电荷的相对量值的改变而改变。当时，人们还没有其他方法可以用于检验或测量电荷，只能利用电荷间的静电力进行检验，而静电力与电荷量间的关系正是库仑所要解决的问题。库仑用巧妙的方法解决了这个问题。设两个完全相同的金属球，一个带电，一个不带电。如果这两个球接触，则原来的电荷必然均等地分配于这两个球上，这一点可以用扭秤来验证。使图14-1中B球的电荷量保持不变，令A球与另一完全相同的金属球C相碰，然后测量A与B、C与B间的相互作用力。可以测得，当距离r相同时力也相同。这就证明了A球与C球带有相同的电荷量。库仑利用这一方法，通过改变图14-1中A，B两球上电荷的相对量值，从而得到

$$ F\propto\frac{q_{1}q_{2}}{r^{2}} $$

式中 $ q_{1} $ 和 $ q_{2} $ 是球 A 和球 B 上电荷的相对量值。这一结论只对点电荷成立。即：真空中两个静止点电荷之间的相互作用力与这两个点电荷的电荷量的乘积成正比，与它们之间的距离的平方成反比，作用力的方向沿两点电荷的连线，同号电荷相斥，异号电荷相吸。这个结论称为库仑定律。库仑定律可用矢量公式表示为

$$ \mathbf{F}_{12}=k\frac{q_{1}q_{2}}{r_{12}^{2}}\mathbf{e}_{r12} $$

式中， $ q_1, q_2 $ 分别表示两个点电荷的电荷量（带有正、负号）； $ r_{12} $ 表示两点电荷之间的距离； $ F_{12} $ 表示 $ q_2 $ 对 $ q_1 $ 的作用力； $ e_{r12} $ 表示由 $ q_2 $ 指向 $ q_1 $ 方向的单位矢量； $ k $ 为比例系数， $ k $ 的数值和单位根据其他各量的单位由实验测定。当 $ q_1 $ 和 $ q_2 $ 同号时， $ F_{12} $ 与 $ e_{r12} $ 同方向，表明 $ q_1 $ 受 $ q_2 $ 的斥力，如图 14-2（a）所示；当 $ q_2 $ 与 $ q_1 $ 异号时， $ F_{12} $ 与 $ e_{r12} $ 反方向，表明 $ q_1 $ 受 $ q_2 $ 的吸引力，如图 14-2（b）所示。若将式（14-1）下标 1，2 对调，则此式将表示 $ q_1 $ 对 $ q_2 $ 的作用力 $ F_{21} $，因 $ e_{r21} = -e_{r12} $，则 $ F_{21} = -F_{12} $，即真空中两个静止点电荷之间的相互作用力符合牛顿第三定律。

如果用 $ e_{r} $ 表示由施力点电荷指向受力点电荷的单位矢量，则式(14-1)中的下标可去掉，即库仑定律的矢量公式又可表示为

$$ \mathbf{F}=k\frac{q_{1}q_{2}}{r^{2}}\mathbf{e}_{r} $$

在国际单位制(SI)中，电荷量的单位是C(库仑)，长度单位是m(米)，力的单位是N(牛顿)，实验测定的比例系数k为

$$ k=8.9880\times10^{9}N\cdot m^{2}\cdot C^{-2}\approx9\times10^{9}N\cdot m^{2}\cdot C^{-2} $$

通常引入另外一个常量 $ \varepsilon_{0} $来代替k，即

$$ k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} $$

于是，库仑定律的表达式可以写成

$$ \mathbf{F}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{q_{1}q_{2}}{r^{2}}\mathbf{e}_{r} $$

这里引入的常量 $ \varepsilon_{0} $叫作真空电容率（也称为真空介电常量），其2010年推荐值为

$$ \varepsilon_{0}=8.854\ 187\ 817\times10^{-12}\ C^{2}\cdot N^{-1}\cdot m^{-2}\approx8.85\times10^{-2}\ C^{2}\cdot N^{-1}\cdot m^{-2} $$

在库仑定律表达式中引入 $ 4\pi $ 因子的做法，称为单位制的有理化。单位制有理化的结果虽然使库仑定律的数学表达式变得复杂了些，却使常用的电磁学规律的数学表达式中不出现 $ 4\pi $ 因子，从而变得简单简洁。在今后学习中读者会逐步体会到电磁学单位制有理化的优越性。

实验证明，点电荷在空气中的作用力和在真空中的作用力相差极小，也就是空气的电容率与真空电容率相差极小，故对于空气中的静止点电荷，式（14-2）仍可应用。

库仑力是自然界中的一种基本相互作用力。库仑定律是关于一种基本相互作用力的定律。库仑力与距离 r 的平方成反比常简称为平方反比律。电磁学的某些基本规律与平方反比律有关。平方反比律的精确性不断经历着实验的考验，至今仍是某些物理学家关注的问题之一。

【例14-1】氢原子中电子和质子间的距离 $ r=5.3\times10^{-11} $ m，质子质量 $ m_{p}=1.7\times10^{-27} $ kg，电子质量 $ m_{e}=9.1\times10^{-31} $ kg，试比较此两粒子间万有引力和静电力的大小。

解 万有引力：

$$ F_{m}=\frac{G m_{e} m_{p}}{r^{2}}=\frac{6.7\times10^{-11}\times9.1\times10^{-31}\times1.7\times10^{-27}}{\left(5.3\times10^{-11}\right)^{2}}\ N=3.7\times10^{-47}\ N $$

静电力：

$$ F_{e}=\frac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}=9.0\times10^{9}\times\frac{(1.6\times10^{-19})^{2}}{(5.3\times10^{-11})^{2}}\ N=8.2\times10^{-8}\ N $$

两力之比为

$$ \frac{F_{\mathrm{e}}}{F_{\mathrm{m}}}=2.2\times10^{39} $$

显然，在微观粒子的相互作用中，万有引力与静电力相比远小得多，完全可以略去。在原子结合成分子、原子或分子组合成液体或固体时，它们的结合力在本质上也都属于电性力，万有引力则可忽略不计。应该指出的是，当质子和中子结合成原子核时，原子核内质子间的库仑斥力是非常大的，但由于原子核内除了这种斥力外还存在着远比斥力强的引力——核力，原子核才得以稳定。

14.2 电场 电场强度

14.2.1 电场

库仑定律指出了两个静止的点电荷在真空中的相互作用力，然而并没有告诉我们电荷间的相互作用是怎样进行的。

早期的电磁理论是超距作用理论，它认为相隔一定距离的两个物体之间所存在的相互作用，既不需要介质传递，也不需要时间。19世纪，法拉第在大量实验事实基础上，提出了以近距作用观点为基础的场和场线的概念，从此场的概念成为近代物理学中最主要的基本概念之一。

按照场的观点，电荷间的相互作用是通过一种特殊的介质——电场（electric field）来传递作用的。即任何电荷都在周围空间激发起电场；电场是物质的一种特殊形态，与有形的、占据一定空间的带电体不同，它不仅可以存在于带电体内，也存在于带电体外，以至弥漫于整个空间。

相对于观察者静止的电荷在周围空间激发的电场称为静电场（electrostatic field），该电荷称为场源电荷。静电场仅是电磁场的一种特殊形态。电磁场与实物物质一样具有质量、能量和动量等，电磁场一经产生就能单独存在，即使产生它的电荷已经消失，而电磁场所具有的空间叠加性却是实物物质所不具有的。因此，场和实物虽然都是物质，但又有区别，是物质存在的两种不同形式。从近代的观点看，两个点电荷是通过交换场量子而相互作用的，电磁场的场量子就是光子。

电场的重要外在表现是：对引入电场的任何其他电荷都有作用力，称为电场力；当电荷在电场中移动时，电场力将对其做功；使引入电场的导体或电介质分别产生静电感应现象或极化现象。我们将根据上述电场的外在表现来研究电场的性质。

14.2.2 电场强度

为了描述电场的性质，首先引进物理量——电场强度（electric field strength）。

设想一静止不变的场源电荷（可以是点电荷、点电荷系或带电体）在空间激发一静电场，现分析如何定量表示空间某点处电场的强弱。为此，在场中某点引入试验电荷 $ q_{0} $ 以测量它所受到的电场力 F，并要求试验电荷 $ q_{0} $ 的电荷量足够小，几何线度足够小（可视为点电荷），从而不影响原有电场的分布。

实验发现，同一试验电荷在场中不同点，其受力的大小和方向一般均不相同。对于场中任一固定点来说，比值 $ F/q_{0} $ 是一个无论大小和方向都与试验电荷无关的矢量（利用库仑定律也可以证明），显然它反映了电场本身的性质，我们把它定义为电场强度，简称为场强，用 E 表示，即

$$ \boldsymbol{E}=\frac{\boldsymbol{F}}{q_{0}} $$

由式(14-4)可知，电场中某点的电场强度，在量值上等于放在该点的单位正电荷所受电场力的大小，其方向与单位正电荷在该点的受力方向一致。在国际单位制中，电场强度的单位是 N·C^{-1} 或 V·m^{-1}。

电场存在于电荷周围的整个空间。为了描述电场的空间分布，设想在空间的每一点上都相应有一个矢量E，这些矢量E的总体称为矢量场（vector field）。矢量场实际就是空间坐标的一个矢量函数 $ E(x,y,z) $。在讨论场的性质时，我们关心的是场强与空间坐标之间的函数关系。

14.2.3 场强叠加原理

若场源电荷是由空间中 n 个点电荷 $ q_{1}, q_{2}, \cdots, q_{n} $ 所组成的点电荷系，试验表明，作用于场中某点 P 处试验电荷 $ q_{0} $ 的电场力 F，等于各个点电荷作用于 $ q_{0} $ 的力的矢量和，这称为力的独立作用原理，即

$$ \boldsymbol{F}=\boldsymbol{F}_{1}+\boldsymbol{F}_{2}+\cdots+\boldsymbol{F}_{n} $$

根据场强定义式(14-4)可求得合场强 E 为

$$ \begin{aligned}\boldsymbol{E}&=\frac{\boldsymbol{F}}{q_{0}}=\frac{\boldsymbol{F}_{1}}{q_{0}}+\frac{\boldsymbol{F}_{2}}{q_{0}}+\cdots+\frac{\boldsymbol{F}_{n}}{q_{0}}\\&=\sum_{i=1}^{n}\frac{\boldsymbol{F}_{i}}{q_{0}}=\sum_{i=1}^{n}\boldsymbol{E}_{i}\end{aligned} $$

由此可见，点电荷系在空间某点产生的场强，等于每一个点电荷单独存在时在该点分别产生的场强的矢量和。这一结果称为场强叠加原理（superposition principle of electric field intensity），这是场的基本性质之一。

14.2.4 场强的计算

设真空中有一个场源点电荷 q，在距点电荷 q 为 r 的 P 点放置一试验电荷 $ q_{0} $，根据库仑定律表达式（14-3），作用于 $ q_{0} $ 上的电场力为

$$ \mathbf{F}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{q q_{0}}{r^{2}}\mathbf{e}_{r} $$

式中 $ e_{r} $ 是从点电荷 q 指向 $ q_{0} $ 处（称为场点）的径向单位矢量。根据式（14-4）可得

$$ \mathbf{E}=\frac{\mathbf{F}}{q_{0}}=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}\mathbf{e}_{r} $$

式(14-6)即为点电荷的场强公式，它描述了点电荷 q 周围空间各点的场强大小和方向的分布。场强 E 的方向取决于 q 的正负，q>0,E 与 $ e_{r} $ 同向，q<0,E 与 $ e_{r} $ 反向，如图14-3所示。显然，点电荷电场强在空间呈球对称分布。

由场强叠加原理，将式(14-6)代入式(14-5)，可得点电荷系电场的场强公式为

$$ \boldsymbol{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\sum_{i=1}^{n}\frac{q_{i}}{r_{i}^{2}}\boldsymbol{e}_{ri} $$

式中， $ r_{i} $ 为第 i 个点电荷 $ q_{i} $ 到场点 P 处径矢的大小， $ e_{ri} $ 为该径矢的单位矢量。

场强的可叠加性不仅对点电荷系成立，对任意带电系统所产生的电场也成立。若要求电荷连续分布的带电体的场强分布时，我们可将带电体所携带的电荷看成由许多极小的电荷元 dq 集合而成，每一电荷元 dq 作点电荷处理。由式（14-6）可知，dq 在场中某点产生的电场强度为

$$ \mathrm{d}\boldsymbol{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{\mathrm{d}q}{r^{2}}\boldsymbol{e}_{r} $$

式中，r 是 dq 至该点径矢的大小， $ e_{r} $ 为该径矢的单位矢量。由场强叠加原理，所有电荷元在该点产生的合场强是各个电荷元在该点产生场强的矢量叠加：

$$ \boldsymbol{E}=\int\mathrm{d}\boldsymbol{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\int\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{q}}{r^{2}}\boldsymbol{e}_{r} $$

必须指出，式(14-7)和式(14-8)中的矢量求和及矢量积分，通常均需化成标量和及标量积分求解。选用直角坐标系时，首先计算各个点电荷或电荷元在所求场点产生的场强分别在各坐标轴上的投影 $ E_{x_i}, E_{y_i}, E_{z_i} $ 或 $ \mathrm{d}E_x, \mathrm{d}E_y, \mathrm{d}E_z $，再分别求和或积分以得出该场点的合场强在坐标轴上的投影 $ E_x, E_y, E_z $，最后求出该场点的合场强 E 的大小和方向，即

$$ \boldsymbol{E}=\boldsymbol{E}_{x}\boldsymbol{i}+\boldsymbol{E}_{y}\boldsymbol{j}+\boldsymbol{E}_{z}\boldsymbol{k} $$

为利用式(14-8)处理具体问题，还需引入电荷密度的概念。若电荷分布于一定体积的物体上，我们引入电荷体密度

$$ \rho=\lim_{\Delta V\to0}\frac{\Delta q}{\Delta V}=\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}V} $$

式中 $ \Delta q $ 为 $ \Delta V $ 体积中的电荷。若电荷分布于一个曲面或一根细线上，则我们相应引入电荷面密度和电荷线密度为

$$ \sigma=\lim_{\Delta S\to0}\frac{\Delta q}{\Delta S}=\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}S} $$

$$ \lambda=\lim_{\Delta l\to0}\frac{\Delta q}{\Delta l}=\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}l} $$

于是，式(14-8)中的 dq 可分别用 $ \rho $， $ \sigma $ 和 $ \lambda $ 表示为

$$ \mathrm{d}q=\rho\mathrm{d}V,\quad\mathrm{d}q=\sigma\mathrm{d}S,\quad\mathrm{d}q=\lambda\mathrm{d}l $$

必须指出，上面所说的 dV, dS 和 dl 在宏观上看是无限小的，小到可以认为在该范围内电荷 dq 是均匀连续分布的，而在微观上看却又大到可容纳大量分立而不连续的基本带电粒子（电子、质子），所以 $ \rho, \sigma $ 和 $ \lambda $ 均是宏观量。若电荷均匀分布，则 $ \rho, \sigma $ 和 $ \lambda $ 均为常量。

【例14-2】求电偶极子(electric dipole)连线的中垂线上一点P处的场强。

解 两个相距为l的等量异号点电荷+q 和-q 组成点电荷系，当讨论的场点P到两点电荷连线中点的距离r远大于l时（即 $ r\gg l $），称这一带电系统为电偶极子。若取-q 指向+q 的径矢为l，则矢量 $ p_{e}=ql $，称 $ p_{e} $ 为该电偶极子的电偶极矩，简称电矩（electric moment）。电偶极子是一个重要概念，在研究电介质极化、电磁波发射和吸收等问题时都要用到。

选定电偶极子连线中心 O 为坐标原点，建立

直角坐标 Oxy（如图 14-4 所示）。则 +q 和 -q 分别

在 P 点产生场强 $ E_{+} $ 和 $ E_{-} $ 的大小为

$$ \begin{aligned}&E_{+}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{q}{r^{2}+\left(\frac{l}{2}\right)^{2}}\\ &\\ &E_{-}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{q}{r^{2}+\left(\frac{l}{2}\right)^{2}}\\ \end{aligned} $$

方向分别在+q 和-q 与 P 点的连线上，前者背离+q，后者指向-q。由于 $ E_{+} $ 和 $ E_{-} $ 在 y 方向上的分量互相抵消，则 P 点合场强 $ E_{p} $ 为

$$ \begin{aligned}\boldsymbol{E}_{P}&=-(\boldsymbol{E}_{+}\cos\theta+\boldsymbol{E}_{-}\cos\theta)\boldsymbol{i}\\&=-\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{q}{r^{2}+\left(\frac{l}{2}\right)^{2}}\cdot\frac{l}{\sqrt{r^{2}+\left(\frac{l}{2}\right)^{2}}}\boldsymbol{i}\\&=\frac{-ql}{4\pi\varepsilon_{0}\left(r^{2}+\frac{l^{2}}{4}\right)^{3/2}}\boldsymbol{i}\end{aligned} $$

考虑到 $ r \gg l $ 及 $ p_{e} = q l $ 可得

$$ E_{P}=\frac{-ql}{4\pi\varepsilon_{0}r^{3}}i=\frac{-p_{e}}{4\pi\varepsilon_{0}r^{3}} $$

由此可见，电偶极子场强与电矩 $ p_{e} $的大小成正比， $ p_{e} $是表征电偶极子性质的重要物理量。还可看出，电偶极子的场强与距离的三次方成反比，与点电荷相比，随距离的增加衰减更快。

【例14-3】有一均匀带电的细直棒，其长度为L，所带总电荷量为q，直棒外一点P到直棒的垂直距离为a，P点到直棒两端的连线与直棒之间的夹角分别为 $ \alpha $和 $ \beta $，如图14-5所示。求P点的场强。

解 如图 14-5 所示，以 P 点到直棒的垂足 O 作为原点建立直角坐标系。因电荷在直棒上是均匀

分布的，所以电荷线密度为 $ \lambda=\frac{q}{L} $。在棒上 x 处取

线元 dx, dx 到 P 点的距离为 l, dx 所带电荷量为

dq，则dq在P点产生的场强dE的大小为

$$ \mathrm{d}E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{\mathrm{d}q}{l^{2}}=\frac{\lambda\mathrm{d}x}{4\pi\varepsilon_{0}l^{2}} $$

dE 的方向如图所示，因 dE 与 x 轴的夹角为 $ \theta $，所以 dE 在坐标轴上的分量为

$$ \mathrm{d}E_{x}=\mathrm{d}E\cos\theta $$

$$ \mathrm{d}E_{y}=\mathrm{d}E\sin\theta $$

在 $ \mathrm{d}E_{x} $ 和 $ \mathrm{d}E_{y} $ 中包含的变量有 x, l 和 $ \theta $，这三个变量是相互关联的，可统一用一个变量表示。显然

$$ l^{2}=a^{2}+x^{2}=a^{2}\csc^{2}\theta $$

$$ x=-a\cot\theta $$

对式(5)微分得

$$ \mathrm{d}x=\mathrm{d}(-a\cot\theta)=a\csc^{2}\theta\mathrm{d}\theta $$

把式(4)和式(6)代入式(2)和式(3)得

$$ \begin{aligned}&\mathrm{d}E_{x}=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_{0}a}\cos\theta\mathrm{d}\theta\\&\mathrm{d}E_{y}=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_{0}a}\sin\theta\mathrm{d}\theta\\ \end{aligned} $$

以上两式积分得

$$ E_{x}=\int\mathrm{d}E_{x}=\int_{\alpha}^{\beta}\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_{0}a}\cos\theta\mathrm{d}\theta=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_{0}a}(\sin\beta-\sin\alpha) $$

$$ E_{y}=\int\mathrm{d}E_{y}=\int_{\alpha}^{\beta}\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_{0}a}\sin\theta\mathrm{d}\theta=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_{0}a}(\cos\alpha-\cos\beta) $$

若棒为无限长，则 $ \alpha=0,\beta=\pi $ ，因此

$$ E_{x}=0 $$

$$ E_{y}=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}a} $$

此结果说明，此时P点场强仅有y分量，场强的大小与棒的电荷线密度 $ \lambda $成正比，与P点离棒的距离a成反比。

【例 14-4】试计算均匀带电圆环轴线上任一给定点 P 处的场强。设圆环半径为 R，圆环所带电荷量为 $ Q(Q>0) $，P 点与环心的距离为 x。

解 建立如图 14-6 所示的坐标系，在环上取电

荷元

$$ \mathrm{d}q=\lambda\mathrm{d}l=\frac{Q}{2\pi R}\mathrm{d}l $$

dq 在 P 点产生的场强 dE 的大小为

$$ \mathrm{d}E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{\mathrm{d}q}{r^{2}} $$

各电荷元在 P 点产生的场强大小相等，方向各异。显然，由对称性可知，各电荷元在 P 点产生的垂直 x 轴的场强分量 $ \mathrm{d}E_{\perp} $ 相互抵消， $ E_{\perp}=\int\mathrm{d}E_{\perp}=0 $；而平行 x 轴的分量 $ \mathrm{d}E_{\parallel} $ 则相互加强。考虑到对于给定点 P, $ \theta $, r, x 均为常量，则有

$$ \begin{align*}E_{P}=&\int\mathrm{d}E_{//}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\int\frac{\mathrm{d}q}{r^{2}}\mathrm{cos}\theta=\frac{\lambda\cos\theta}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}\int_{0}^{2\pi R}\mathrm{d}l\\=&\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Qx}{\left(x^{2}+R^{2}\right)^{3/2}}\end{align*} $$

得均匀带电圆环轴线上任一点 P 处的场强的方向沿 x 轴正向 (x > 0)，其大小为

$$ E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Qx}{\left(x^{2}+R^{2}\right)^{3/2}} $$

讨论:(1)当 $ x\gg R $时, $ E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q}{x^{2}} $。此结果说明，远离环心处一点的场强，相当于电荷集中于环心的点电荷在该处产生的场强。

（2）当x=0时，环心处场强 $ E_{0}=0 $。

(3) 由 $ \frac{dE}{dx}=0 $ 可推出当 $ x=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}R $ 时场强最大。

【例 14-5】试计算均匀带电圆盘轴线上任一给定点 P 处的场强。设圆盘半径为 R，圆盘电荷面密度为 $ \sigma $，P 点与盘心的距离为 x。

解 带电圆盘可以看成由许多同心的带电圆环组成。取一半径为 r，宽度为 dr 的细圆环，如图 14-7 所示，此环面积为 $ \mathrm{d}S = 2\pi rdr $，带有电荷 $ \mathrm{d}q = \sigma\mathrm{d}S $，利用式（14-13），此圆环电荷在轴线上任一点 P 处的场强大小为

$$ \mathrm{d}E=\frac{q\mathrm{d}x}{4\pi\varepsilon_{0}\left(x^{2}+r^{2}\right)^{3/2}} $$

方向沿轴线指向远方。由于组成圆盘的各圆

环的电场 $ \mathrm{d}E $ 的方向都相同, 因此可推得均匀带电圆盘轴线上任一点的场强大小为

$$ E=\int\mathrm{d}E=\int_{0}^{R}\frac{\sigma2\pi r\mathrm{d}r x}{4\pi\varepsilon_{0}\left(x^{2}+r^{2}\right)^{3/2}}=\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}\left(1-\frac{x}{\sqrt{x^{2}+R^{2}}}\right) $$

方向沿轴线方向。显然，当 $ R\gg x $时，可将均匀带电圆盘看作无限大的均匀带电平板，则其附近的场强大小为

$$ E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}} $$

式(14-15)说明无限大均匀带电平板附近是一个均匀电场，其场强大小由式(14-15)给出，当 $ \sigma>0 $时，其场强方向则从带电平板垂直指向两侧；当 $ \sigma<0 $时，场强方向则相反，从两侧垂直指向带电平板。

14.2.5 电场线

可以用一个矢量函数 E 来描述电场的空间场强分布，但对某些带电体而言，有时无法用一个简明的矢量函数 E 来描述电场中某一点的场强。为了形象地描述场强在空间的分布情况，英国物理学家法拉第首先引入电场线（electric field line，又称电场线或 E 线）这一重要概念。图 14-8 所示的是按下述规定在电场中人为画出的一系列假想的曲线：曲线上每一点的切线方向表示该点场强 E 的方向；曲线的密疏程度表示该点场强 E 的大小，即该点附近垂直于电场方向的单位面积所通过的电场线条数满足

$$ E=\frac{\mathrm{d}\Phi_{\mathrm{e}}}{\mathrm{d}S_{\perp}} $$

式中， $ \mathrm{d}S_{\perp} $ 表示垂直于电场方向上的面积元， $ \mathrm{d}\Phi_{\mathrm{e}} $ 表示通过面积元 $ \mathrm{d}S_{\perp} $ 的电场线条数。由电场线画法规定可知，电场线上任一点切线方向既表示了该点场强 E 的

方向，也表示了正电荷在该点的受力方向。图14-9给出了几种电荷分布所产生电场的电场线平面图。通过观察各种静电场的电场线图可知其有如下特点：

（1）电场线(E线)起自正电荷（或来自无穷远），终止于负电荷（或伸向无穷远），在无电荷处不中断；

（2）任意两条电场线都不相交；

（3）电场线不形成闭合线；

（4）场强大处电场线密集，场强小处电场线稀疏。

14.2.6 带电粒子在电场中的运动

电荷和电场之间的关系包括两个方面：一是电荷产生电场，二是电场对电荷产生作用力。电荷在电场中除受电场力外还可能受到其他力（如重力等）的作用，电荷在电场中的宏观运动遵守牛顿运动定律。

设点电荷 q 所在处的场强为 E，由式(14-4)可知，点电荷 q 所受的电场力为

$$ \boldsymbol{F}=q\boldsymbol{E} $$

如果 q 所受其他力（如重力）可以忽略不计，则电荷在该点处的加速度为

$$ a=\frac{F}{m}=\frac{qE}{m} $$

其中 m 是电荷的质量。根据电荷运动的初始条件可计算电荷的其他运动学参量。

若点电荷以初速 $ v_{0} $ 射入场强为 E 的均匀电场，当 $ v_{0} $ 与 E 平行时，点电荷做匀变速直线运动，一般地，当 $ v_{0} $ 与 E 成 $ \theta (\theta \neq 0, \pi) $ 角时，点电荷做抛物线运动。

若带电体处于场强为 E 的电场中，我们可将带电体所携带的电荷看成许多极小的电荷元 $ \mathrm{d}q $ 的集合，每一电荷元 $ \mathrm{d}q $ 作点电荷处理。由式(14-17)知，在电场中 $ \mathrm{d}q $ 所受的电场力为 $ \mathrm{d}F = E \mathrm{d}q $，带电体在电场中所受的电场力为

$$ \boldsymbol{F}=\int\boldsymbol{E}\mathrm{d}\boldsymbol{q} $$

实验室中经常使用的电子示波器（又称阴极射线示波器）是电子在电场中运动的实例。示波器是把电信号转变成可观察图像的仪器。图14-10是示波器的示意图。阴极发射电子束，经各阳极逐渐加速到一定速度，具有一定速度的电子到达荧光屏，在屏上形成一个亮点。当在偏转系统上加上变化的电压信号，电子通过偏转系统内的电场时，其运动发生变化，电子在荧光屏上产生的亮点的轨迹反映了加在偏转系统上电压信号的变化。

示波器中各电极的作用是使电子聚焦、控制电子的速度和方向。这些控制作用是通过电极所产生的电场实现的。因此，在设计时必须研究电极的形状、位置对电场的影响。

【例 14-6】图 14-11 是示波器的竖直偏转系统，加电压于两极板，在两极板间产生均匀电场 E，设电子质量为 m，电荷为 -e，它以速度 $ v_{0} $ 射进电场中， $ v_{0} $ 与 E 垂直。试讨论电子运动的轨迹。

试讨论电子运动的轨迹。

解 电子在两极板间电场中的运动和物体在地球重力场中的平抛运动相似。作用在电子上的电场力为 $ \pmb{F} = -e\pmb{E} $，电子的偏转方向与 E 相反，即图 14-11 中竖直向下的方向（设它为负 y 方向），电子在竖直方向的加速度为 $ a = \frac{-eE}{m} $。

在水平方向电子的运动方程为

$$ x=v_{0}t $$

在竖直方向电子的运动方程为

$$ y=\frac{1}{2}at^{2}=-\frac{1}{2}\frac{eE}{m}t^{2} $$

消去 t 即得电子运动的轨迹

$$ y=\frac{-eE}{2mv_{0}^{2}}x^{2} $$

这是一段抛物线，当电子跑出两极板的范围后，因不再受电场力作用，电子将沿着已偏转的方向匀速直线前进。

【例14-7】计算电偶极子在均匀电场中所受的作用解以E表示场强，l表示从-q到+q的矢量，电偶极子中点O到+q与-q的径矢分别为 $ r_{+} $和 $ r_{-} $，如图14-12所示。正、负电荷所受力分别为 $ F_{+}=qE $， $ F_{-}=-qE $，则 $ F=F_{+}+F_{-}=0 $，即电偶极子在均匀电场中所受的合力为零。 $ F_{+} $， $ F_{-} $对于偶极子中点O的力矩之和为

$$ \begin{aligned}\boldsymbol{M}=&\boldsymbol{r}_{+}\times\boldsymbol{F}_{+}+\boldsymbol{r}_{-}\times\boldsymbol{F}_{-}\\=&q\boldsymbol{r}_{+}\times\boldsymbol{E}+(-q)\boldsymbol{r}_{-}\times\boldsymbol{E}\\=&q\left(\boldsymbol{r}_{+}-\boldsymbol{r}_{-}\right)\times\boldsymbol{E}=q\boldsymbol{l}\times\boldsymbol{E}\end{aligned} $$

即

$$ M=p_{e}\times E $$

电偶极子在均匀外电场中受到力矩的作用。力矩 M 总是使电偶极子电矩 $ p_{e} $ 转向电场 E 的方向。

14.3 电场强度通量与高斯定理

14.3.1 电场强度通量

通量(flux)是描述矢量场的一个重要概念，来源于流体理论中流量这一概念。在流体力学中，整个流体可以看成是一个流速场（见上册第5章），即流体中每一点都有一个确定的流速 $ v(x,y,z) $，如果在流体中取一个面元 dS，以 $ e_n $ 表示其单位法向矢量，则可以定义面元矢量 $ dS = dS e_n $，也就是说，面元矢量的大小就是面积元 dS，面元矢量的方向就是面元的法向 $ e_n $，则单位时间流过 dS 的流体体积 $ v \cdot dS $，就称为 v 对面元 dS 的通量。

利用通量的概念可以说明场与源的关系，因此通量概念可推广用以描述一切矢量场。对于电场 $ E(x,y,z) $，可在某一点取一个面元 dS，其单位法向矢量 $ e_{n} $ 与该处场强 E 成 $ \theta $ 角，我们定义面元 dS 的电场强度通量（electric flux）为

$$ \mathrm{d}\boldsymbol{\varPhi}_{\mathrm{e}}=E\mathrm{d}S\cos\theta=\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S} $$

若用 $ \mathrm{d}S_{\perp} $ 表示 $ \mathrm{d}S $ 在垂直于场强方向上的投影面积, $ \mathrm{d}S_{\perp} = \mathrm{d}S\cos\theta $, 则式(14-20)可写成

$$ \mathrm{d}\varPhi_{e}=E\mathrm{d}S_{\perp} $$

由式(14-21)和式(14-16)可知，若应用电场线做形象描述，则电场强度通量正是穿过面元dS的电场线的条数。

由式(14-20)可知，电场强度通量是标量，当 $ 0 \leqslant \theta < \frac{\pi}{2} $ 时， $ \mathrm{d}\Phi_{e} > 0 $; 当 $ \frac{\pi}{2} < \theta \leqslant \pi $ 时， $ \mathrm{d}\Phi_{e} < 0 $; 当 $ \theta = \frac{\pi}{2} $ 时， $ \mathrm{d}\Phi_{e} = 0 $。

对于通过任意有限曲面 S 的电场强度通量，如图 14-13 所示，可将曲面 S 划分成无限多个面元 dS，再将通过面元的电场强度通量 $ \mathrm{d}\Phi_{e} $ 对整个 S 面求面积分得

$$ \Phi_{\mathrm{e}}=\int\mathrm{d}\varPhi_{\mathrm{e}}=\int_{S}\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S} $$

在匀强电场中，电场线是一系列均匀分布的直线，若平面 S 的单位法向矢量 $ e_{n} $ 与 E 的方向成 $ \theta $ 角（图 14-14），则穿过 S 面的电场强度通量为

$$ \Phi_{e}=\int_{S}\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}=\int_{S}E\mathrm{d}S\cos\theta=E\cos\theta\int_{S}\mathrm{d}S=E S\cos\theta $$

通过某个闭合曲面 S 的电场强度通量可表示为

$$ \Phi_{\mathrm{e}}=\oint_{S}\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S} $$

必须指出，对于不闭合的任意曲面，面元 dS 的单位法向矢量 $ e_n $ 可取曲面的任一侧；而对于闭合曲面，通常规定自闭合曲面内部指向外部的方向为面元 dS 的正法线方向。于是，当电场线从闭合曲面内部穿出时， $ 0 \leq \theta < \frac{\pi}{2} $，电场强度通量 $ \mathrm{d}\Phi_e > 0 $；当电场线从外部穿入闭合曲面时， $ \frac{\pi}{2} < \theta \leq \pi $，电场强度通量 $ \mathrm{d}\Phi_e < 0 $。通过整个闭合曲面的电场强度通量等于进入和穿出闭合面电场强度通量的代数和。式(14-23)中 $ \Phi_e $ 所表示的是净穿出闭合曲面电场线的总条数。

【例14-8】匀强电场中有一个半径为R的假想圆柱面，其轴线与E平行，求通过该闭合圆柱面的电场强度通量。

解 如图14-15所示，通过整个闭合圆柱面的电场强度通量为左底 $ S_{1} $、右底 $ S_{3} $和侧面 $ S_{2} $三个部分的电场强度通量的代数和。对圆柱面左底 $ S_{1} $，由于E和 $ e_{n} $的夹角 $ \theta=\pi $，电场线穿进圆柱面；对于圆柱面右底 $ S_{3} $，由于 $ \theta=0 $，电场线穿出圆柱面；而对侧面 $ S_{2} $，由于 $ \theta=\frac{\pi}{2} $，电场线既不穿进也不穿出圆柱面。所以

$$ \begin{aligned}\Phi_{\mathrm{e}}=&\oint_{S}\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}=\int_{S_{1}}\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}+\int_{S_{2}}\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}+\int_{S_{3}}\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}\\=&-\pi R^{2}E+0+\pi R^{2}E=0\end{aligned} $$

显然，通过整个闭合圆柱面的电场强度通量为零。

14.3.2 高斯定理

高斯(Johann Carl Friedrich Gauss, 1777—1855)是德国物理学家和数学家，他为19世纪下半叶和20世纪初叶的许多理论物理建立了数学基础，包括爱因斯坦的引力理论。静电场的高斯定理(Gauss theorem, 1835)可以表述为：

在真空中，静电场内通过任意闭合曲面的电场强度通量，等于该曲面所包围的电荷的代数和 $ \sum_{i=1}^{n} q_{i} $ 除以 $ \varepsilon_{0} $，即

$$ \phi_{e}=\oint_{S}\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}=\frac{1}{\varepsilon_{0}}\sum_{i=1}^{n}q_{i} $$

若场源电荷连续分布，则

$$ \oint_{S}\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}=\frac{1}{\varepsilon_{0}}\int_{V}\rho\mathrm{d}V $$

式中, $ \rho $ 是电荷体密度,V 是闭合曲面 S 所包围的体积。下面通过一个特例的讨论来说明和验证高斯定理的正确性。

先讨论点电荷 q 的电场。如图 14-16(a) 所示，设以点电荷 +q 为中心作一半径为 r 的球面 $ S_{1} $，则球面上任一点的电场强度大小均为 $ \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{q}{r^{2}} $，方向沿半径向外。显然， $ S_{1} $ 上任一面元 dS 与场强方向的夹角均为零。根据式 (14-24)，通过球面 $ S_{1} $ 的电场强度通量为

文档静电学的数学研究

$$ \begin{aligned}\varPhi_{\mathrm{e}}&=\oint_{S_{1}}\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}=\oint_{S_{1}}\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}\mathrm{d}S\cos0\\&=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}\oint_{S_{1}}\mathrm{d}S=\frac{q}{\varepsilon_{0}}\end{aligned} $$

即

$$ \Phi_{\mathrm{e}}=\oint_{S_{1}}\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}=\frac{q}{\varepsilon_{0}} $$

这说明由点电荷+q发出的通过任一闭合球面的电场强度通量与球面半径无关，只与它所包围的电荷多少有关。从电场强度通量的定义可知，对包围点电荷+q的任意曲面 $ S_{2} $，如图14-16(a)所示，通过它的电场强度通量也等于 $ \frac{q_{0}}{\varepsilon_{0}} $，即通过 $ S_{1} $和 $ S_{2} $的电场线总数相等。若闭合面中的电荷为-q，则通过闭合面的电场强度通量等于 $ -\frac{q}{\varepsilon_{0}} $。

若闭合面 S 不包围点电荷 +q，如图 14-16(b) 所示，则进入该闭合面的电场线数等于穿出的电场线数，亦即通过任意闭合面 S 的电场强度通量为零，即

$$ \Phi_{\mathrm{e}}=\oint_{S}\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}=0 $$

若场源电荷是由许多点电荷组成的系统，闭合曲面仅包围了 n 个点电荷，尚有 m 个点电荷在闭合曲面外，则根据场强叠加原理，穿过闭合曲面 S 的总通量应为

$$ \begin{aligned}\boldsymbol{\varPhi}_{\mathrm{e}}&=\oint_{S}\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}=\oint_{S}\Big(\sum_{i=1}^{n}\boldsymbol{E}_{i}+\sum_{j=1}^{m}\boldsymbol{E}_{j}\Big)\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}\\&=\sum_{i=1}^{n}\oint_{S}\boldsymbol{E}_{i}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}+\sum_{j=1}^{m}\oint_{S}\boldsymbol{E}_{j}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}\end{aligned} $$

式中， $ E_{i} $ 是闭合曲面 S 内任一点电荷 $ q_{i} $ 在面元 dS 处产生的场强， $ E_{j} $ 是 S 外任一点电荷 $ q_{j} $ 在同一面元 dS 处产生的场强。由式(14-26)和式(14-27)得

$$ \Phi_{e}=\oint_{S}\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}=\sum_{i=1}^{n}\frac{q_{i}}{\varepsilon_{0}}+0=\frac{1}{\varepsilon_{0}}\sum_{i=1}^{n}q_{i} $$

式中 $ \sum_{i=1}^{n} q_{i} $ 表示闭合面 S 包围的电荷的代数和。至此，我们讨论了点电荷及点电荷系电场的情况，显然高斯定理是正确的。

必须指出：

（1）高斯定理表达式（14-24）表明了通过闭合曲面的电场强度通量与闭合曲面所包围的电荷代数和（净电荷）之间的量值关系，而不是闭合面上场强与闭合面内电荷之间的关系。

（2）闭合面上各点的场强 E 是闭合面内、外全部电荷共同产生的合场强，并非只由闭合面内电荷所产生的。

（3）通过闭合面的总电场强度通量只决定于它所包围的电荷，闭合面以外的电荷对总电场强度通量并无贡献。

前面从特例出发根据库仑定律(点电荷场强公式由库仑定律导出)和场强叠加原理导出并验证了高斯定理。定义电场强度后，同样也可根据高斯定理导出库仑定律。这说明库仑定律和高斯定理并不是互相独立的。需要指出的是，对于静止电荷的电场，库仑定律和高斯定理两者等价；而对于运动电荷的电场，人们发现库仑定律并不成立，而高斯定理却仍然有效。可见，高斯定理是电磁场的基本定理之一。

借助于电场线的图像，高斯定理指出：当闭合面内 q 为正电荷时， $ \Phi_{e}>0 $，表示有电场线从 q 发出并穿出闭合面，所以正电荷称为静电场的源头；当 q 为负电荷时， $ \Phi_{e}<0 $，表示电场线穿进闭合面而终止于 q，所以负电荷称为静电场的尾闾。因此，高斯定理说明了电场线起始于正电荷，终止于负电荷，亦即静电场是有源场。

14.3.3 高斯定理的应用

当电荷分布已知时，根据高斯定理一般只能求出通过某闭合曲面的电场强度通量而不能确定电场的具体分布，但对于电荷分布具有某种对称性（如球对称、轴对称、面对称）的带电体场源或对称性带电体场源的组合，应用高斯定理能更简捷地求得空间场强的分布。应用高斯定理求 E 的方法概述如下：

首先分析给定问题中场强分布的对称性，明确场强方向，判断能否用高斯定理求解；其次，若能应用高斯定理求解，关键是选择简单而适当的闭合曲面——高斯面（通常选球面、圆柱面、长方体面等），选取高斯面时，必须使高斯面通过拟求的场点，并使高斯面的各部分或与电场线平行，或与电场线垂直，或与电场线成一恒角；最后，算出通过整个闭合面的电场强度通量（可由几部分组成）及闭合面包围的电荷总量，然后根据高斯定理求出场强E。

必须指出，一般情况下，若带电系统不具有高度的对称性，高斯定理是不能用来计算场强的。

下面通过例题具体说明应用高斯定理求 E 的方法，得出的结果可直接引用。

【例14-9】求半径为R、带电荷量为q的均匀带电球面的场强分布。

解 首先由于场源电荷分布的球对称性，显然可以判断场中各点场强分布也具有球对称性，即距离球心为r处各点的场强大小一定相等，而方向都沿各自的径矢方向，如图14-17所示。根据上述分析，以O点为球心，过球面外任一点P，作半径OP=r的闭合球面S（高斯面），由于高斯面上各点场强大小处处相等，方向又与各点处面元dS的法线方向一致，所以穿过高斯面的总电场强度通量为

$$ \boldsymbol{\varPhi}_{\mathrm{e}}=\oint_{S}\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}=\oint_{S}E\mathrm{d}S=E\oint_{S}\mathrm{d}S=4\pi r^{2}E $$

此球面 S 包围的电荷量为 q，由式(14-24)有

$$ E\cdot4\pi r^{2}=\frac{q}{\varepsilon_{0}} $$

由此可得

$$ E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{q}{r^{2}}\quad(r>R) $$

当 q>0 时，则场强 E 的方向沿径矢向外；当 q<0 时，场强的方向沿径矢向内指向球心 O。

对于球面内的场强分布，上述对称性分析仍然成立。同理，过 $ P' $ 点作以 O 为圆心，半径 $ OP'=r' $ 的高斯球面 $ S' $，通过 $ S' $ 的电场强度通量仍为 $ 4\pi r'^2E $，由于 $ S' $ 内没有电荷，根据高斯定理有

$$ \begin{aligned}&E\cdot4\pi r^{\prime2}=0\\ &\\E=0\quad(r^{\prime}

综合式 $ (14-28a) $和式 $ (14-28b) $，可得出均匀带电球面的场强分布为

$$ E=\{\begin{aligned}&\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{q}{r^{2}}&(r>R)\\ &0&(r

由式(14-28c)可画出均匀带电球面的场强随距离 r 的变化曲线。根据上述结果可知：均匀带电球面内部的场强处处为零；而球面外部的场强分布与将球面上电荷集中于球心的点电荷的场强分布相同；同时，场强 E 在球面处不连续，产生突变。

【例 14-10】求半径为 R、带电荷量为 q 的均匀带电球体的场强分布。解 用上题的解法，在球体外取一同心高斯球面 $ (r>R) $，根据高斯定理有

$$ E4\pi r^{2}=\frac{q}{\varepsilon_{0}},\quad 即 E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{q}{r^{2}} $$

在球体内取一同心高斯球面 $ (r

$ E\cdot4\pi r^{2}=\frac{1}{\varepsilon_{0}}\cdot\frac{4}{3}\pi r^{3}\cdot\frac{q}{\frac{4}{3}\pi R^{3}} $，即 $ E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{rq}{R^{3}} $

因此均匀带电球体的场强分布(见图14-18)为

$$ E=\{\begin{aligned}&\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{q}{r^{2}}&(r\geqslant R)\\ &\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{rq}{R^{3}}&(r\leqslant R)\end{aligned}. $$

【例14-11】求无限长均匀带电直线的空间场强分布。已知直线上的电荷线密度为 $ \lambda $。

解 根据无限长均匀带电直线的电荷分布具有轴对称性，故其空间电场也必然具有轴对称性，即与带电直线距离相等的同轴圆柱面上各点场强的大小均相等，方向均沿径向。

在图 14-19 中作一通过 P 点，以带电直线为轴，半径为 r，高为 l 的圆柱形高斯面 S。通过 S 的电场强度通量为

$$ \begin{aligned}\Phi_{e}&=\oint_{S}\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}\\&=\int_{ 侧面 }\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}+\int_{ 上底 }\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}+\int_{ 下底 }\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}\\&=\int_{ 侧面 }\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}=E2\pi r l\end{aligned} $$

高斯面 S 内包围的电荷 $ \sum q = l\lambda $，由高斯定理得

$$ E2\pi r l=\frac{1}{\varepsilon_{0}}\lambda l $$

所以

$$ E=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}r} $$

当 $ \lambda>0 $ 时，E 的方向沿径向指向外；当 $ \lambda<0 $ 时，E 的方向沿径向指向直线。这一结果与例 14-3 的讨论结果式 (14-12) 是相同的。

对均匀带电半径为 R 的无限长圆柱面，沿轴线方向电荷线密度为 $ \lambda $，同样可以运用本例解法得到该圆柱面内、外空间的场强分布（图14-20）为

$$ E=\{\begin{aligned}&0&(rR)\end{aligned}. }$$

E 的方向由 $ \lambda $ 的正负决定。

【例 14-12】求无限大均匀带电薄平板的空间场强分布，设电荷面密度为 $ \sigma $。

解 无限大均匀带电薄平板可看成无限多根无限长均匀带电直线排列而成。根据电荷分布的对称性，可以判定，平板两侧离该板相同距离处场强大小均相等，而方向都垂直平板。

选取一个轴垂直于带电平板且左右对称的圆柱面为高斯面（图14-21），P点位于其中一个底面上。由于圆柱面侧面上各点E的方向与侧面上各面元矢量dS垂直，所以通过侧面的电场强度通量为零；由于两底上各面元矢量dS与E方向平行，若设 $ \Delta S $为一底的面积，则通过高斯面的电场强度通量为

$$ \phi_{_{e}}=\oint_{S}\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}=\int_{ 两底 }\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}=2E\Delta S $$

高斯面包围的电荷为

$$ \textstyle\sum q=\sigma\Delta S $$

由高斯定理有

$$ 2E\Delta S=\frac{1}{\varepsilon_{0}}\sigma\Delta S $$

得

$$ E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}} $$

当 $ \sigma>0 $时E的方向垂直平板指向外，说明无限大均匀带电薄平板两侧的电场是均匀电场。它与例14-5的讨论结果式(14-15)是一致的。

应用本例的结果和场强叠加原理，可求得一对电荷面密度等值异号的无限大均匀带电平行平板间匀强电场的场强大小为

$$ E=\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}} $$

E 的方向从正极板指向负极板，而两平行平板外侧空间的场强为零。实验室里通常就是利用一对均匀带等值异号电荷的平行板电容器获得均匀电场（忽略边缘效应）。

综合上述实例可以看出，对电场分布具有一定对称性的情况下，利用高斯定理求E特别简捷。

14.4 静电场的环路定理与电势

前两节我们从静电场对场中电荷有力的作用的角度出发研究电场，用电场强度E来描述电场的状态，最后得出反映静电场性质的高斯定理，揭示了静电场是一个有源场。本节将从电荷在电场中移动时电场力将对其做功这一事实出发研究电场，并用电势U来描述电场的状态，从而得出反映静电场另一性质的环路定理，揭示了静电场是一个保守力场。本节将重点研究电势的计算。

14.4.1 电场力的功

设 q 为固定于某处的点电荷，当试验电荷 $ q_{0} $ 在 q 产生的电场中从 a 点经任意路径 L 移动到 b 点时 [图 14-22(a)]，若在路径上任取一微小位移 d l，设该处场强为 E，则电场力对 $ q_{0} $ 所做的元功为

$$ \mathrm{d}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{F}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}=q_{0}\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}=q_{0}E\mathrm{d}l\cos\theta $$

式中 $ \theta $ 为场强 E 与位移 dl 的夹角 [图 14-22(b)]。

当试验电荷 $ q_{0} $ 在电场中移动一有限路程 L 时，电场力对 $ q_{0} $ 所做的总功为

$$ \begin{align*}A_{ab}&=q_{0}\int_{a}^{b}E\mathrm{d}\mathrm{l}\cos\theta=q_{0}\int_{a}^{b}\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}\mathrm{d}\mathrm{l}\cos\theta\\&=\frac{q_{0}q}{4\pi\varepsilon_{0}}\int_{r_{a}}^{r_{b}}\frac{\mathrm{d}r}{r^{2}}\\&=\frac{q_{0}q}{4\pi\varepsilon_{0}}\bigg(\frac{1}{r_{a}}-\frac{1}{r_{b}}\bigg)\end{align*} $$

式中， $ \mathrm{d}r=\mathrm{d}l\cos\theta $， $ r_{a} $ 和 $ r_{b} $ 分别是点电荷 q 所在位置到路径 L 的起点 a 和终点 b 的距离。可见在场源为点电荷的电场中，电场力对试验电荷所做的功只取决于试验电荷 $ q_{0} $ 及其始末位置，而与路径无关。

其他类型的场源电荷（静止的点电荷系或电荷连续分布的带电体）的电场，均可看成是许多点电荷电场的叠加。当试验电荷 $ q_{0} $在电场中移动时，电场力对 $ q_{0} $所做的功等于各个点电荷单独存在时对 $ q_{0} $做功的代数和，即

$$ \begin{aligned}A_{ab}&=q_{0}\int_{a}^{b}\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}=\sum_{i=1}^{n}q_{0}\int_{a}^{b}\boldsymbol{E}_{i}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}\\&=\sum_{i=1}^{n}\frac{q_{0}q_{i}}{4\pi\varepsilon_{0}}\Big(\frac{1}{r_{ia}}-\frac{1}{r_{ib}}\Big)\end{aligned} $$

式中 $ r_{ia} $, $ r_{ib} $ 分别为点电荷 $ q_{i} $ 到 a 点和 b 点的距离。上式仍与路径无关，只决定于 $ q_{0} $ 及其始末位置。因此可得出结论：试验电荷在任何静电场中移动时，电场力的功只与电场本身性质（场源电荷及其分布）、试验电荷大小及路径的始末位置有关，而与路径无关。静电场的这一特性称为静电场的保守性，即静电力是保守力。

14.4.2 静电场的环路定理

静电场的保守性还可表述成另一种形式。设试验电荷 $ q_{0} $ 从电场中 a 点出发沿某一闭合路径（图 14-23）acbfa 移动再回到出发点时，电场力所做的功应为

$$ \begin{aligned}A_{acbfa}&=q_{0}\oint_{L}\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}=q_{0}\int_{acb}\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}+q_{0}\int_{bfa}\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}\\&=q_{0}\int_{acb}\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}-q_{0}\int_{afb}\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}\end{aligned} $$

由式(14-35)知上式应为零，而 $ q_{0}\neq0 $，所以

$$ \oint_{L}\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}=0 $$

上式左项是场强 E 沿闭合路径的线积分，称为静电场场强 E 的环流。式(14-36)表明，在静电场中，场强沿闭合路径的线积分恒等于零，称为静电场的环路定理（circuital theorem of electrostatic field）。

这就是静电场保守性的另一表述形式，它说明“场强沿任意闭合环路的线积分等于零”和“静电场力做功与路径无关”这两种说法是等价的。

14.4.3 电势能与电势

对于保守力场可引进相关势能概念。静电场是保守力场，因而可引进静电势能概念。当在静电场中移动试验电荷 $ q_{0} $ 时，电场力要对它做功，在这一过程中试验电荷 $ q_{0} $ 的电势能将要相应变化。当电场力做正功时，试验电荷 $ q_{0} $ 的电势能减少；电场力做负功时， $ q_{0} $ 的电势能增加。仿照重力场中重力对质点做功等于质点在始末位置重力势能增量的负值，可将试验电荷 $ q_{0} $ 在静电场中从 a 点移至 b 点电场力做的功 $ A_{ab} $ 看作 $ q_{0} $ 在 a 和 b 两点电势能改变的量度，即

$$ \boldsymbol{W}_{a}-\boldsymbol{W}_{b}=-\left(\boldsymbol{W}_{b}-\boldsymbol{W}_{a}\right)=\boldsymbol{A}_{ab}=\int_{a}^{b}\boldsymbol{q}_{0}\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l} $$

式中 $ W_{a} $, $ W_{b} $ 分别表示试验电荷 $ q_{0} $ 在 a 和 b 两点的电势能。

与重力势能相似，电势能的量值是相对的。 $ q_{0} $ 在某一点的电势能的量值与电势能零点的选择有关。若选取 b 点为电势能零点，亦即 $ W_{b}=0 $ 。由式(14-37)，此时试验电荷 $ q_{0} $ 在电场中 a 点处的电势能为

$$ \boldsymbol{W}_{a}=\boldsymbol{A}_{a, 电势能零点 }=\int_{a}^{ 电势能零点 }q_{0}\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l} $$

即试验电荷 $ q_{0} $ 在电场中 a 点处的电势能在量值上等于将 $ q_{0} $ 由该处移至电势能零点时电场力所做的功。

电势能与其他形式势能一样，是属于相互作用的系统的，其实质是试验电荷与电场之间的相互作用能。

式(14-38)说明，试验电荷 $ q_{0} $ 在电场中 a 点的电势能 $ W_{a} $ 与 $ q_{0} $ 和电场均有关，并不直接描述电场中某点的性质。而比值 $ \frac{W_{a}}{q_{0}} $ 则与 $ q_{0} $ 无关，仅决定于 a 点电场的性质，称为 a 点的电势（electric potential），以 $ U_{a} $ 表示：

$$ U_{a}=\frac{W_{a}}{q_{0}}=\int_{a}^{} 电势零点 \boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l} $$

于是，电场中 a 点的电势在量值上等于单位正电荷在该点具有的电势能，或等于单位正电荷从 a 点沿任意路径移到电势零点（即电势能零点）处电场力所做的功。

电势是标量，但有正或负的量值。在国际单位制中，电势的单位是J·C^{-1}，以V 表示。

必须指出，静电场中某点的电势只具有相对意义。要确定场中某点的电势值，必须选择一个计算电势的参考点。在理论计算中，对有限带电体，通常选择无限远处为电势零点，则式（14-39）变为

$$ U_{a}=\int_{a}^{\infty}\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l} $$

对“无限大”带电体，只能在电场内选一个适当的有限位置作为电势零点；而在许多工程实际问题中，常以地球（或电器外壳）作为电势零点。当电势零点选定后，电场中各点的电势值也就由式(14-39)唯一确定。由此确定的电势是空间坐标的标量函数 $ U = U(x, y, z) $。

14.4.4 电势差

静电场中任意两点 a 和 b 电势的差值 $ U_{a}-U_{b} $，称为 a, b 两点的电势差，通常又称为电压（electric potential difference），以 $ U_{ab} $ 表示，即

$$ \begin{aligned}U_{ab}&=U_{a}-U_{b}\\&=\int_{a}^{ 电势零点 }E\cdot\mathrm{d}l-\int_{b}^{ 电势零点 }E\cdot\mathrm{d}l\\&=\int_{a}^{ 电势零点 }E\cdot\mathrm{d}l+\int_{ 电势零点 }^{b}E\cdot\mathrm{d}l\\&=\int_{a}^{b}E\cdot\mathrm{d}l\end{aligned} $$

上式表示，静电场中 a 和 b 两点的电势差，等于将单位正电荷从 a 点经任意路径移至 b 点时电场力所做的功。显然，电场中两点的电势差有确定的量值，与电势零点的选择无关。沿电场线方向电势降低，逆电场线方向电势升高。由式（14-35）和式（14-41）知，若将电荷 $ q_{0} $ 从电场中 a 点移至 b 点时，电场力所做的功应为

$$ A_{ab}=q_{0}(U_{a}-U_{b})=q_{0}U_{ab} $$

上式是计算电场力做功的常用公式。

14.4.5 电势叠加原理

若场源电荷是由空间中 n 个点电荷 $ q_{1}, q_{2}, \cdots, q_{n} $ 所组成的点电荷系，则其电场的场强应满足叠加原理式（14-5），即

$$ \boldsymbol{E}=\sum_{i=1}^{n}\boldsymbol{E}_{i} $$

根据电势的定义式(14-40)，电场中任一点 P 的电势为

$$ \begin{aligned}U_{P}&=\int_{P}^{\infty}\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}=\int_{P}^{\infty}\sum_{i=1}^{n}\boldsymbol{E}_{i}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}\\&=\sum_{i=1}^{n}\int_{P}^{\infty}\boldsymbol{E}_{i}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}=\sum_{i=1}^{n}U_{i}\end{aligned} $$

此式称为电势叠加原理(superposition principle of electric potential)。它表示点电荷系电场中任一点电势等于各点电荷单独存在时在同一场点所产生的电势的代数和。

14.4.6 电势的计算

当场源电荷分布为已知时，可以求得空间的电势分布。

设真空中有一个点电荷 q，取无限远处为电势零点。根据点电荷场强公式（14-6）、电势定义式（14-40），如图14-24所示，当 d l 取 r 方向时， $ d l = d r e_{r} $，与点电荷相距 r 的 P 点的电势为

$$ \begin{array}{c}{\displaystyle U_{P}=\int_{p}^{\infty}\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}=\int_{r}^{\infty}\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}\boldsymbol{e}_{r}\cdot\mathrm{d}r\boldsymbol{e}_{r}}\\ {\displaystyle}\\ {\displaystyle=\int_{r}^{\infty}\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}\mathrm{d}r.}\\ \end{array} $$

对上式积分得点电荷电场中电势的分布为

$$ U_{P}=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}r}\quad(r\neq0) $$

式(14-44)说明点电荷电场中某点的电势值与点电荷 q 的正负和该点距场源的距离有关。在正电荷电场中，电势永远为正值，离点电荷越远电势越低；在负电荷电场中，电势永远为负值，离点电荷越远电势越高。

将式（14-44）代入式（14-43）可得点电荷系电场的电势公式为

$$ U_{P}=\sum_{i=1}^{n}\frac{q_{i}}{4\pi\varepsilon_{0}r_{i}} $$

式中 $ r_{i} $ 为第 i 个点电荷 $ q_{i} $ 到场点 P 的距离。

对于电荷连续分布的带电体，可以认为它由许多电荷元 $ \mathrm{d}q $ 所组成。将每个电荷元都看作点电荷，并将式(14-45)的求和改为积分，便可得

$$ U_{P}=\int\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{q}}{4\pi\varepsilon_{0}r} $$

式中 r 为电荷元 dq 到场点 P 的距离。上式积分是对场源电荷所在空间进行计算的。

必须指出，由于式(14-46)是以点电荷电势公式(14-44)为基础的，故其电势零点是选择在无限远处的。

从以上讨论可以看出，通常计算电势的方法有两种：一种称为电势定义式法，首先根据已知的场源电荷分布求出场强分布（或场强分布已知），在确定电势零点位置后，再根据式（14-39）或式（14-40）沿一条方便的路径积分而求得电势值，故有时又称此方法为场强积分法；另一种称为电势叠加法，是在点电荷电势公式或已知电势公式的基础上应用叠加原理进行计算的。

【例 14-13】求均匀带电球面电场中任一点 P 处的电势。设球面半径为 R，总带电荷量为 q。

解 利用例 14-9 的结论得场强分布为

$$ \boldsymbol{E}=\{\begin{aligned}&\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{q}{r^{2}}\boldsymbol{e}_{r}&\quad(r>R)\\ &0&\quad(r

若选取无限远处为电势零点，设球壳外任一点P距球心O为r，从P点出发沿径矢 $ e_r $指向无限远为积分路径，则 $ \mathrm{d}l = \mathrm{d}r e_r $，由式(14-40)得P点的电势为

$$ \begin{align*} U_{P}&=\int_{P}^{\infty}\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}=\int_{r}^{\infty}\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}\boldsymbol{e}_{r}\cdot\mathrm{d}r\boldsymbol{e}_{r}\\ &=\int_{r}^{\infty}\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}\mathrm{d}r=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}r}\end{align*} $$

此结果说明：均匀带电球面外任一点的电势与将电荷集中于球心的点电荷产生的电势相同。

同理，设球壳内任一点 $ P' $ 距球心 O 为 r，且选取与前述相同的积分路径，则由式(14-40)得 $ P' $ 点的电势为

$$ \begin{aligned}U_{P^{\prime}}&=\int_{P^{\prime}}^{\infty}\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}=\int_{r}^{R}\boldsymbol{E}_{ 内 }\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}+\int_{R}^{\infty}\boldsymbol{E}_{ 外 }\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}\\ &=\ 0+\int_{R}^{\infty}\boldsymbol{E}_{ 外 }\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}=0+\int_{R}^{\infty}\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}\mathrm{d}r\\ &=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}R}\\ \end{aligned} $$

这说明均匀带电球面内各点的电势相等，且等于球面上各点的电势值。因此，均匀带电球面的空间电势分布为

$$ U=\{\begin{aligned}&\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}R}&\quad(r\leqslant R)\\ &&\\ &\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}r}&\quad(r\geqslant R)\end{aligned}. $$

图 14-25 表明，在 r=R 的球壳处电势是连续变化的，而场强却存在跃变。

【例14-14】求半径为R，均匀带电为q的细圆环轴线上任一点的电势。

解 本例仍可用电势定义式法，根据电势定义式对已知的场强函数沿轴线路径进行积分从而求得电势。下面利用电势叠加法进行计算。

如图14-26所示，在圆环上取任意电荷元 $ \mathrm{d}q,\mathrm{d}q=\lambda\mathrm{d}l=\frac{q}{2\pi R}\mathrm{d}l $，而圆环在P点的电势由式(14-46)得

$$ \begin{aligned}U_{P}&=\int_{0}^{2\pi R}\frac{\lambda\mathrm{d}l}{4\pi\varepsilon_{0}r}=\int_{0}^{2\pi R}\frac{\lambda\mathrm{d}l}{4\pi\varepsilon_{0}\left(R^{2}+x^{2}\right)^{1/2}}\\&=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_{0}\left(R^{2}+x^{2}\right)^{1/2}}\int_{0}^{2\pi R}\mathrm{d}l=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}\left(R^{2}+x^{2}\right)^{1/2}}\end{aligned} $$

从以上结果可以看出：当 $ x \gg R $ 时， $ U_{P} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}x} $，相当于将电荷集中于环心的一个点电荷在 P 点产生的电势；当 x = 0 时， $ U_{0} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}R} $，而此时 $ E_{0} = 0 $。圆环轴线上电势分布如图 14-26 所示。从本例还可看出，电势的计算较场强的计算方便，只需标量叠加，而场强计算是矢量积分，相对要繁杂一些。

【例 14-15】如图 14-27 所示，一对无限长共轴直圆筒，半径分别为 $ R_{1}, R_{2} $，圆筒面上都均匀带电，沿轴线上单位长度的电荷量分别为 $ \lambda_{1} $ 和 $ \lambda_{2} $，设外筒电势为 0，求：(1) 各区域内的电势分布，并画出 U-r 图；(2) 两筒间的电势差。

解（1）由高斯定理易得场强分布为

$$ \begin{aligned}&\boldsymbol{E}=\{\begin{aligned}\\ &0&&(rR_{2})\\ &\end{aligned}.\\ \end{aligned} $$

据题意选取外简处 $ (r=R_{2}) $为电势零点。设空间中任一点P距圆简轴线的距离为r，从P点出发沿r轴向外简处积分，则 $ \mathrm{d}l=\mathrm{d}r $，由式(14-39)得P点的电势为

当 $ r

$$ U_{1}=\int_{r}^{R_{2}}\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}=\int_{r}^{R_{2}}E\mathrm{d}r=\int_{R_{1}}^{R_{2}}\frac{\lambda_{1}}{2\pi\varepsilon_{0}r}\mathrm{d}r=\frac{\lambda_{1}}{2\pi\varepsilon_{0}}\ln\frac{R_{2}}{R_{1}} $$

当 $ R_{1}

$$ U_{2}=\int_{r}^{R_{2}}E\mathrm{d}r=\int_{r}^{R_{2}}\frac{\lambda_{1}}{2\pi\varepsilon_{0}r}\mathrm{d}r=\frac{\lambda_{1}}{2\pi\varepsilon_{0}}\ln\frac{R_{2}}{r} $$

当 $ r>R_{2} $时，

$$ U_{3}=\int_{r}^{R_{2}}E\mathrm{d}r=\int_{r}^{R_{2}}\frac{\lambda_{1}+\lambda_{2}}{2\pi\varepsilon_{0}r}\mathrm{d}r=\frac{\lambda_{1}+\lambda_{2}}{2\pi\varepsilon_{0}}\ln\frac{R_{2}}{r} $$

由以上计算结果可画出 U-r 图，如图 14-28 所示。值得注意的是，此题的电荷分布于“无限长”，只能选有限位置（不能选无限远）作电势零点。

（2）由于外筒电势为0，两筒间的电势差即为内筒处 $ (r=R_{1}) $的电势，即

$$ \Delta U=\frac{\lambda_{1}}{2\pi\varepsilon_{0}}\ln\frac{R_{2}}{R_{1}} $$

【例 14-16】计算电偶极矩为 $ p_{e}=ql $ 的电偶极子在外电场中的电势能。

解 电偶极子中正、负电荷在电场中的电势能为

$$ \boldsymbol{W}_{+}=q\boldsymbol{U}_{+},\quad\boldsymbol{W}_{-}=-q\boldsymbol{U}_{-} $$

电偶极子在外电场中的电势能为

$$ \boldsymbol{W}=\boldsymbol{W}_{+}+\boldsymbol{W}_{-}=q\boldsymbol{U}_{+}-q\boldsymbol{U}_{-}=q\left(\boldsymbol{U}_{+}-\boldsymbol{U}_{-}\right) $$

如图 14-29 所示，有

$$ U_{+}-U_{-}=-\int_{b}^{a}\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}=-E l\cos\theta $$

式中 a, b 为电偶极子中正、负电荷所在的位置。所以

$$ \boldsymbol{W}=-\boldsymbol{p}_{\mathrm{e}}\cdot\boldsymbol{E} $$

式(14-49)表明，当 $ p_{e} $与E方向一致时 $ (\theta=0) $， $ W=-p_{e}E $是电势能的最小值；当 $ p_{e} $与E反向时 $ (\theta=\pi) $， $ W=p_{e}E $是电势能的最大值。从能量的观点来看，能量越低，系统的状态越稳定。由式(14-19) $ M=p_{e}\times E $知，当 $ \theta=0 $或 $ \theta=\pi $时，M=0。显然，电势能W取最小值的位置 $ (p_{e} $与E同方向 $是电偶极子的稳定平衡位置，电势能W取最大值的位置 $ (p_{e} $与E反方向 $是电偶极子的非稳定平衡位置，所以外电场的作用将使电偶极子趋向 $ p_{e} $与E一致的方向，即趋向稳定平衡位置。

14.5 等势面 场强与电势的微分关系

14.5.1 等势面

我们曾用电场线来形象描述电场强度的分布，同样我们也可用等势面（equipotential surface）来形象描述电场中电势的分布。一般而言，静电场中的电势值是逐点变化的，它是空间坐标的标量函数。但是电场中有许多点的电势值是相等的，电场中电势相等的点所连成的曲面称为等势面。并规定，相邻等势面之间电势差相等。图14-30画出了几种常见电场的等势面和电场线，其中实线代表电场线，虚线代表等势面与纸面的交线。如图14-30（a）所示，在正点电荷电场中，电场线从正电荷发出并沿径向指向外，随着r的增大，场强E越来越小。从点电荷电势公式 $ U=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}r} $可知，等势面是以点电荷为中心的同心球面。由图14-30不难看出，任意带电体的电场的等势面有如下性质：

（1）电荷沿等势面移动，电场力做功为零。

若试验电荷 $ q_{0} $ 沿等势面从 a 点移到 b 点，由于 $ U_{a}=U_{b} $，电场力做的功 $ A=q_{0}(U_{a}-U_{b}) $，所以 A=0。

（2）等势面与电场线处处正交。

若将试验电荷 $ q_{0} $ 沿等势面移动，位移为 dL，则电场力做功为零，即

$$ \mathrm{d}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{q}_{0}\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}=\boldsymbol{q}_{0}E\mathrm{d}l\cos\theta=0 $$

显然在 $ q_{0}, E $ 和 dI 均不等于零的情况下，必须 $ \theta = \frac{\pi}{2} $，说明电场线与等势面处处正交。

（3）电场线从高电势等势面指向低电势等势面。（此性质证明见本章第4节）

（4）等势面密集处电场线密集（场强的量值大），等势面稀疏处电场线稀疏（场强的量值小）。（此性质在后面证明）

显然，等势面与电场线有密切的关系，从等势面和电场线的关系是可以分析电

场分布的。而在许多实际问题中，等势面常用实验方法直接测定并描绘出来，我们可以据此分析和控制电场线的分布。

14.5.2 场强与电势的微分关系 电势梯度

电场强度与电势都是描述同一电场中各点性质的物理量，电场强度描述电场的力方面的性质，电势则描述电场的能（或功）方面的性质，它们间必然有着某种联系。式（14-39）、式（14-40）、式（14-41）是反映电场的电势、电势差与电场强度的积分关系式，使我们能由已知的场强分布求得电场的电势分布。下面导出场强与电势的微分关系，并引进电势梯度（potential gradient）概念，为我们由电势分布求得电场的场强分布提供方便。

如图14-31所示设电场中有两个靠得很近的

等势面 U 和 U+dU（设 dU>0）， $ e_{n} $ 为其单位法向矢

量。在两等势面之间沿 $ e_{n} $ 取一长度为 dn 的线段，

分别与两等势面的交点为 $ P_{1} $ 和 $ P_{2} $。由等势面与

电场线垂直可知，场强 E 与 $ e_{n} $ 只能同向或反向。

若以 $ E_{n} $ 表示 E 在 $ e_{n} $ 方向上投影，即 $ E = E_{n}e_{n} $，则当

$ E_{n}>0 $ 时 E 与 $ e_{n} $ 同向，否则反向。

利用式(14-41)，令积分沿 $ e_{n} $方向进行，且 $ \mathrm{d}\boldsymbol{n}=\mathrm{d}n\boldsymbol{e}_{n} $，则

$$ U-\left(U+\mathrm{d}U\right)=\int_{P_{1}}^{P_{2}}\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{n} $$

考虑到 $ P_{1} $ 和 $ P_{2} $ 很靠近，可以认为 $ P_{1} $ 和 $ P_{2} $ 连线上各点的 $ E_{n} $ 与 $ P_{1} $ 点的相同，故有

$$ \begin{aligned}-\mathrm{d}U&=\int_{P_{1}}^{P_{2}}\boldsymbol{E}_{\mathrm{n}}\boldsymbol{e}_{\mathrm{n}}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{n}\boldsymbol{e}_{\mathrm{n}}=E_{\mathrm{n}}\mathrm{d}n\\E_{\mathrm{n}}&=-\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}n}\end{aligned} $$

考虑到方向关系，则有

$$ \boldsymbol{E}=\boldsymbol{E}_{\mathrm{n}}\boldsymbol{e}_{\mathrm{n}}=-\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}n}\boldsymbol{e}_{\mathrm{n}} $$

由此得到电势与场强的微分关系:电场中某点的场强等于这一点的电势沿等势面法线方向的方向导数 $ \frac{dU}{dn} $的负值。式中负号表示场强方向沿电势降落的方向。由于我们规定,相邻等势面之间电势差相等,即dU一定,那么dn小(等势面密集)处场强E的量值大,dn大(等势面稀疏)处场强E的量值小。

如果在两邻近等势面之间由 $ P_{1} $ 点沿任意方向 l 取长为 $ \mathrm{d}l = P_{1}P_{3} $ 的线段，其与等势面 U + $ \mathrm{d}U $ 的交点为 $ P_{3}, l $ 与 $ e_{n} $ 的夹角为 $ \theta $，则由式(14-41)可得

$$ U-\left(U+\mathrm{d}U\right)=\int_{P_{1}}^{P_{3}}\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}=E\cos(\boldsymbol{\pi}-\theta)\mathrm{d}l=E_{l}\mathrm{d}l $$

即

$$ E_{l}=-\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}l} $$

这就是说，电场中某点的场强沿任意方向的分量，等于这一点的电势沿该方向的方向导数的负值。

由图14-31可知， $ \mathrm{d}\cos\theta=\mathrm{d}n $，则 $ \frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}l}=\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}n}\cos\theta $。因此，在所有的方向导数中，等势面法线方向的方向导数数值最大，且其他方向的方向导数等于它乘以 $ \cos\theta $。于是我们可以定义一个矢量，方向沿 $ e_{n} $的方向，大小等于 $ \frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}n} $，这个矢量叫作电势梯度矢量，用grad U或 $ \nabla U $表示。电势梯度的大小等于电势在该点的最大空间变化率（最大方向导数），方向沿等势面法指向电势增加方向。

结合式(14-51)，得

$$ \mathbf{E}=-\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}n}\mathbf{e}_{\mathrm{n}}=-\nabla U $$

即电场强度 E 与电势梯度 $ \frac{dU}{dn}e_{n} $ 的关系是量值相等而方向相反。

不难看出式(14-52)正是式(14-53)的分量式。当电势函数用 $ U=U(x,y,z) $ 表示时，取 l 分别沿直角坐标 x,y,z 轴方向，则得到场强 E 沿这三个方向的分量，分别为

$$ \left.\begin{aligned}E_{x}&=-\frac{\partial U}{\partial x}\\ E_{y}&=-\frac{\partial U}{\partial y}\\ E_{z}&=-\frac{\partial U}{\partial z}\end{aligned}\right\} $$

场强 E 可写成

$$ \boldsymbol{E}=E_{x}\boldsymbol{i}+E_{y}\boldsymbol{j}+E_{z}\boldsymbol{k}=-\left(\frac{\partial U}{\partial x}\boldsymbol{i}+\frac{\partial U}{\partial y}\boldsymbol{j}+\frac{\partial U}{\partial z}\boldsymbol{k}\right)=-\nabla U $$

式（14-53）就是电场强度与电势的微分关系。在实际应用中，当计算场强 E 时，可先求出电势函数 U（或电势分布已知），然后根据式（14-53）或式（14-55）求出场强 E，这是求场强的第三种方法——电势梯度法。求场强的第一种方法是场强叠加法，它是在点电荷场强公式或已知场强公式的基础上应用叠加原理进行计算的（见本章第二节）。求场强的第二种方法是高斯定理法，它是在电场分布具有一定对称性的情况下利用高斯定理求解的（见本章第三节）。显然，通过标量积分计算 U，再通过求微商得到 E 比直接用矢量积分计算场强 E 要简便得多。需要指出的是，场

强与电势的微分关系说明电场中某点的场强只决定于该点电势的空间变化率，而与该点电势值本身无直接关系。

在国际单位制中，电势梯度的单位是 $ \text{V} \cdot \text{m}^{-1} $， $ 1 \, \text{V} \cdot \text{m}^{-1} = 1 \, \text{N} \cdot \text{C}^{-1} $。

【例 14-17】试根据点电荷电场中的电势分布函数，由电场强度与电势的微分关系求空间中场强的分布。

解 根据点电荷电势公式得 $ U=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}r} $，显然点电荷电场的场强方向沿径矢 r 方向，则电场强度 E 沿径矢 r 方向的分量就是电场强度 E 的大小。应用式 (14-52) 有

$$ \begin{aligned}E&=-\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}l}=-\frac{\mathrm{d}U(\boldsymbol{r})}{\mathrm{d}r}\\&=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\bigg(\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}r}\bigg)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}\end{aligned} $$

所以

$$ E=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}e_{r} $$

【例 14-18】 一均匀带电圆板，半径为 R，其电荷面密度为 $ \sigma $，试求极轴线上电势和场强的分布。

解 选取坐标系如图 14-32 所示，把圆板分成许多小圆环，取一个半径为 y、宽为 dy 的圆环，则圆环所带电荷量为 $ \mathrm{d}q = 2\pi\sigma y\mathrm{d}y $，这个圆环在场点 P 处产生的电势为

$$ \mathrm{d}U=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{\mathrm{d}q}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}\frac{y\mathrm{d}y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} $$

整个圆板在点 P 处产生的电势为

$$ U=\int_{0}^{R}\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}\frac{y\mathrm{d}y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}(\sqrt{x^{2}+R^{2}}-x) $$

由于电势分布函数只有一个自变量 x，所以场强沿轴线方向，其大小为

$$ E=-\frac{\partial U}{\partial x}\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}\left(1-\frac{x}{\sqrt{R^{2}+x^{2}}}\right) $$

对于一定带电体系的电场，如果既要求解场强分布又要求解电势分布，有两种解题顺序：一种是先解出场强的分布函数 $ E=E(x,y,z) $，进而由电场强度与电势的积分关系求出电势的分布；另一种是先求出电势分布函数 $ U=U(x,y,z) $，进而由电场强度与电势的微分关系求出场强分布。前者要求解一个矢量场，而后者要求解一个标量场（scalar field），因此要根据具体情况选择合适的解题顺序。当电荷分布

具对称性，可用高斯定理求场强时，通常采用第一种解题顺序；反之则采用第二种解题顺序。

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卡文迪许关于点电荷相互作用力的研究

英国科学家亨利·卡文迪许(Henry Cavendish,1731—1810)采用与库仑不同的方法研究两个点电荷之间的作用力。他认为两点电荷之间的相互作用力和两个质点之间的万有引力相似，反比于两点电荷之间距离的平方。

设想一个薄球壳，在它的表面上有均匀分布的电荷，在这个球壳内放入一个电荷。因为电荷之间的相互作用力反比于它们之间距离的平方，所以可以得知，整个球壳上均匀分布的电荷对这个电荷的总的作用力等于零。如果在此球壳内再放入一个符号相同的电荷，则这两个电荷将互相排斥，并往相反的方向运动。

卡文迪许在 1773 年完成了这个实验。他把一个带电金属球放在一个空心金属

球内，空心球是由两个金属半球拼成的（见图14-33），起初空心球不带电。然后用细导线把内、外两个金属球连接起来（为此在外球上开了一个小孔），经过一段时间，把空心球打开，取出内球，然后将内球与验电器相连，检验内球是否带电。如果电荷之间的相互作用力（这里指斥力）反比于它们之间距离的平方，则验电器不会张开，表明内球已经不带电。

结果的确如此，只要导线刚将内球与外球接通，电荷立刻就沿导线从内球传到外球，并均匀地分布在外球上。原本位于内球上的各个电荷之间存在一种相互排斥的力，只要内球与外球是相互绝缘的，电荷就不可能离开内球；当内球与外球接通后，电荷就传到外球上，它们将均匀地分布于外球壳的表面，它们对位于内球上的电荷的作用力之和等于零。

实验表明，电荷从内球向外球传输的过程一直进行到全部电荷都离开内球为止。由此，卡文迪许得出如下结论：电荷之间的相互作用力反比于它们之间距离的平方。卡文迪许多次重复了上述实验，并且确定了电荷之间的相互作用力服从平方反比定律，指数偏差不超过0.02。这比1785年库仑的结果（指数偏差不超过0.04）还要精确。

卡文迪许的实验设计巧妙，用很简单的仪器获得了相当精确的结果。他成功的关键在于掌握了牛顿万有引力定律这一理论武器，通过数学处理将直接测量转换为间接测量，并用示零法精确判断结果，从而得到了电荷之间的相互作用力的平方反比律。

应当说，卡文迪许是第一个用实验确定电荷之间的相互作用定律的人。可惜他没有公布他的这项发现。在卡文迪许生前，此项工作一直无人知晓。过了很久，直到19世纪中叶麦克斯韦公布了它之后，卡文迪许的工作才为后人所知晓，但这时它只能作为一件历史资料了。

习题

14-1 电荷量均为 +Q 的两个点电荷相距为 l，连线的中点为 O，另有一点电荷 -q 静止地放在连线的中垂线上距 O 为 y 处，如题 14-1 图所示，则点电荷所处的状态为()。

A. 保持静止不动

B. 做匀加速直线运动

C. 做匀速直线运动

D. 做周期性振动

14-2 如题14-2图所示，在场强为E的均匀静电场中，取一半球面，其半径为R，E的方向和半球的轴平行，则通过这个半球面的电场强度通量的大小是()。

A. $ \pi R^{2}E $ B. $ 2\pi R^{2}E $ C. $ \sqrt{2}\pi R^{2}E $ D. $ \frac{1}{\sqrt{2}}\pi R^{2}E $

14-3 如题14-3图所示，在点电荷+Q,-Q产生的电场中，a,b,c,d为同一直线上等间距的四个点，若将一点电荷+q_{0}由b点移到d点，则电场力( )。

A. 做正功 B. 做负功 C. 不做功 D. 不能确定

14-4 如题 14-4 图所示，在点电荷 +q 的电场中，若取 P 点处为电势零点，则 M 点的电势为()。

A. $ \frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}l} $ B. $ \frac{q}{8\pi\varepsilon_{0}l} $ C. $ \frac{-q}{4\pi\varepsilon_{0}l} $ D. $ \frac{-q}{8\pi\varepsilon_{0}l} $

14-5 两块无限大均匀带电平行平板，其电荷面密度分别为 $ \sigma(\sigma>0) $，-2 $ \sigma $，如题14-5图所示，则

Ⅰ区电场强度的大小为___，方向___。

Ⅱ区电场强度的大小为___，方向___。

Ⅲ区电场强度的大小为___，方向___。

14-6 一个点电荷 q 位于一边长为 a 的立方体高斯面中心，如题 14-6 图，则通过此高斯面的电场强度通量为 ___ ，通过立方体一面的电场强度通量是 ___ ，如果此电荷移到立方体的一个角上，这时（1）通过包括电荷所在顶角的三个面的每个面的电场强度通量是 ___ ，(2) 通过另外三个面每个面的电场强度通量是 ___ 。

14-7 如题 14-7 图所示，曲线表示一种轴对称性静电场的场强大小 E 的分布，r 表示离对称轴的距离。这是 ___ 的电场。

14-8 半径为 R 的半球面均匀带电 q，则球心处的电势 U= ___。

14-9 如题14-9图所示，在半径为 $ r_{1} $ 的球壳上均匀带有电荷量 Q，将一个点电荷 $ q(q \ll Q) $ 从球内 a 点经球壳上一个小孔移到球外 b 点，b 点到球心 O 的距离为 $ r_{2} $，则此过程中电场力做功 A= ___。

14-10 已知某静电场的电势函数 $ U=6x-6x^2y-7y^2 $ (SI 单位)，由场强和电势梯度的关系式可得点 $ (2,3,0) $ 处的场强 $ E=\underline{\hspace{2cm}}i+\underline{\hspace{2cm}}j+\underline{\hspace{2cm}}k $ (SI 单位)。

14-11 两个电荷量均为 +Q 的点电荷相距为 2l，所在位置连线的中点为 O。今在连线的垂直平分线上放另一点电荷 q，q 与 O 点相距为 r。求：(1) q 所受的力；(2) q 放在哪一点时，所受的力最大？(3) 若将 q 于所在位置从静止释放，任其运

动，问 q 将如何运动？试分别讨论 q 与 Q 同号和异号两种情况。

14–12 有四个点电荷电荷量均为 +Q，分别放在正方形的四个顶点。问：

(2) 这样的平衡与正方形的边长有无关系？这样的平衡是稳定的平衡还是不稳定的平衡？

$ ^{14-13} $ 如题14-13图所示，用四根等长的线将四个带电小球相连，带电小球的电荷量分别为-q, Q, -q, Q。试证明当此系统处于平衡时， $ \cot^{3}\alpha = q^{2}/Q^{2} $。

14-14 在直角三角形 ABC 的 A 点上，有点电荷 $ q_{1}=1.8\times10^{-9} $ C，B 点上有点电荷 $ q_{2}=-4.8\times10^{-9} $ C，如题 14-14 图所示，已知 BC=0.04 m，AC=0.03 m，求 C 点处场强。

14-15 一均匀带电直线长为 L，电荷线密度为 $ \lambda $，求：

(1) 直线的延长线上距直线中点为 $ r\left(r>\frac{L}{2}\right) $ 处的场强；

（2）直线的垂直平分线上距直线中点为 r 处的场强。

14-16 用不导电的细塑料棒弯成半径为 50.0 cm 的圆弧，两端间空隙为 2.0 cm，若正电荷所带 $ 3.12 \times 10^{-9} $ C 的电荷量均匀分布在棒上，求圆心处场强的大小和方向。

14–17 如题 14–17 图所示，一半径为 R 的半圆环均匀带电 +Q。半圆环中心 O 点的电场强度大小是多少？方向如何？

$ ^{14-18} $ 如题 14-18 图所示，两根平行长直直线间距为 2l，一端用半圆形线连起来。全线上均匀带电。试证明在圆心 O 处的电场强度为零。

14-19 真空中两无限长均匀带电直线相互平行，相距为 l，电荷线密度分别为 $ -\lambda $ 和 $ + \lambda $。求：

（1）这两根线构成的平面上任一点的场强；

（2）每单位长度的带电直线受到的作用力。

14-20 一无限大平面，开有一个半径为 R 的圆孔，平面上均匀带电，电荷面密度为 $ \sigma $。求这孔的轴线上离孔心为 r 处的场强。

$ ^{14-21} $ 如题14-21图所示，一半径为R的无限长半圆柱形薄筒，均匀带电，单位长度上所带电荷量为 $ \lambda $。试求圆柱面轴线上一点的电场强度。

$ ^{*}14-22 $ 如题14-22图所示，有一电荷面密度为 $ \sigma $的均匀带电半球面，试求其球心的电场强度。

14–23 两个同心球面，半径分别为 0.10 m 和 0.30 m，小球上带有电荷 $ 1.0 \times 10^{-8} $ C，大球上带有电荷 $ 1.5 \times 10^{-8} $ C。求离球心为 0.05 m, 0.20 m, 0.50 m 处的电场强度。

14-24 两个无限长同轴圆柱面，半径分别为 $ R_{1} $ 和 $ R_{2}(R_{2}>R_{1}) $，每单位长度的电荷量（即电荷线密度）分别为 $ \lambda $ 和 $ -\lambda $。试求该带电系统的场强分布。

*14-25 如题14-25图所示，一厚度为b的无限大非均匀带电平板，其电荷体密度为 $ \rho=kx(0\leq x\leq b) $。求：

（1）板两侧外的任意一点A和B处的场强是多少？

（2）板内距坐标原点 O 为 $ x_{0} $ 的 C 点处的场强又是多少？

14-26 点电荷 $ q_{1}, q_{2}, q_{3}, q_{4} $ 的电荷量均为 $ 4 \times 10^{-9} $ C，分别置于一正方形的四个顶点上，如各点距正方形中心 O 点均为 5 cm，则 O 点的电势是多少？若将试验电荷 $ q_{0} = 10^{-9} $ C 从无穷远处移到 O 点，则电场力做功是多少？电势能的改变为多大？

14-27 如题14-27图所示，在真空中有相距为 d 的 A, B 两点，分别带电荷 -Q 和 +Q，AB 连线的中点上有一质量为 m、电荷量为 +q 的带电粒子以 $ \pmb{v}_{0} $ 向 A 运动。求当带电粒子运动到达 C 点时的速度 $ \pmb{v}_{c} $ 为多少？

14-28 一细直杆沿 z 轴由 z=-a 延伸到 z=a，杆上均匀带电，其电荷线密度为