第16章 恒定磁场

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恒定磁场

静止电荷在其周围产生静电场，而运动电荷不仅在其周围产生电场，而且会产生磁场。本章将主要讨论由恒定电流产生的不随时间变化的恒定磁场。

16.1 恒定电流

16.1.1 电流和电流密度

如果在金属导体两端加上电压，金属中的自由电子除了参加热运动外，还在电场的作用下，从低电势处向高电势处做定向运动，在导体内形成宏观的电流。金属中电流是由带负电的电子流动形成的，而在电解液和气态导体中，电流却是由正、负离子及电子形成的，为了研究问题的方便，习惯上把电流看成是由正电荷流动形成的，并且把正电荷定向运动的方向规定为电流的方向。这样，在导体中电流的方向总是沿着电场方向，从高电势处指向低电势处。

单位时间内通过导体任一横截面的电荷量称为电流(electric current)，用 I 表示，即

$$ I=\lim_{\Delta t\to0}\frac{\Delta q}{\Delta t}=\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} $$

式中 $ \Delta q $ 是一段时间间隔 $ \Delta t $ 内通过导体仕一横截面的电荷量。如果导体中电流的大小和方向不随时间改变，则称这种电流为恒定电流（steady current）或直流（direct current）。如果电流是随时间变化的，则 t 时刻的瞬时电流一般表示为

$$ i(t)=\frac{\mathrm{d}q(t)}{\mathrm{d}t} $$

在国际单位制中，电流的单位是 A（安培），常用的电流单位还有 mA（毫安）、 $ \mu $A（微安）。它们之间的关系是

$$ 1\ m A=10^{-3}\ A $$

$$ 1\ \mu A=10^{-6}\ A $$

电流是标量，它只能描述导体中通过某一截面电流的整体特征。在通常的电路问题中，一般引入电流 I 和 $ i(t) $ 的概念就可以了。但是，在一些实际问题中有时会遇到电流在大块导体中流动的情形，这时导体的不同部分电流的大小和方向都不一样，形成了一定的电流分布。另外，在迅变交流电中，由于趋肤效应，即使在很细的导线中电流沿横截面也有一定的分布。因此，为了细致地描述电流在导体横截面上的分布情况，需要引入一个新的物理量——电流密度（current density）。

电流密度是一个矢量，用j表示，该矢量在导体中各点的方向代表该点电流的方向，其大小等于通过该点单位垂直截面的电流，即单位时间内通过单位垂直截面

的电量。若在导体中某点取一个与电流方向垂直的截面元 $ \mathrm{d}S $ [图 16-1(a)]，则通过 $ \mathrm{d}S $ 的电流 $ \mathrm{d}I $ 与该点电流密度 $ \boldsymbol{j} $ 的大小之间的关系为

$$ \mathrm{d}I=j\mathrm{d}S\quad 或 \quad j=\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}S} $$

如果截面元 dS 的法线 $ e_{n} $ 与电流方向成 $ \theta $ 角 [图 16-1(b)]，则

$$ \mathrm{d}I=j\mathrm{d}S\cos\theta=j\cdot\mathrm{d}S $$

在大块导体中各点的电流密度 j 有不同的数值和方向，这就构成了一个矢量场——电流场。像用电场线形象地描绘电场分布一样，我们用电流线来描绘电流场。电流线就是一些用以形象地描绘电流场的曲线，电流线上每一点的切线方向都与该点的电流密度方向一致。

通过导体中任一有限截面 S 的电流为

$$ I=\int_{(S)}\boldsymbol{j}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}=\int_{(S)}j\cos\theta\mathrm{d}\boldsymbol{S} $$

即通过导体中任一有限截面的电流就是通过该截面的电流密度通量。在国际单位制中，电流密度的单位是 $ A/m^{2} $。

【例16-1】金属导体中的传导电流是由大量自由电子的定向漂移运动形成的。自由电子除了无规则的热运动外，在电场的影响下，将沿着场强E的反方向漂移。设电子的电荷量的绝对值为e，电子“漂移”运动速度的平均值为 $ \bar{v} $，单位体积内自由电子数为n，试证电流密度的量值 $ j=ne\bar{v} $。

解 在金属导体中，取一微小截面 $ \Delta S $， $ \Delta S $ 的法线与电场方向平行，通过 $ \Delta S $ 的电流 $ \Delta I $，等于每秒内通过截面 $ \Delta S $ 的所有自由电子的总电荷量（绝对值）。以 $ \Delta S $ 为底面积，以 $ \bar{v} $ 为高作小柱体（图 16-2），显然，柱体内的自由电子数 $ n\bar{v}\Delta S $ 等于每秒内通过截面 $ \Delta S $ 的自由电子数，因此

$$ \Delta I=(n\,\overline{v}\Delta S)\,(e)=ne\,\overline{v}\Delta S $$

而电流密度为

$$ j{\frac{\Delta I}{\Delta S}}=n e~{\overline{v}} $$

例如铜导线单位体积内自由电子数 $ n \approx 8.5 \times 10^{28} \, \text{m}^{-3} $，设 $ j = 2.0 \times 10^{6} \, \text{A} \cdot \text{m}^{-2} $，可求出

$$ \begin{aligned}\overline{v}=&\frac{j}{ne}\frac{2.0\times10^{6}}{8.5\times10^{28}\times1.6\times10^{-19}}\mathrm{~m}\cdot\mathrm{s}^{-1}=1.5\times10^{-4}\mathrm{~m}\cdot\mathrm{s}^{-1}\\ =&0.15\mathrm{~mm}\cdot\mathrm{s}^{-1}\end{aligned} $$

由此可见，电子的漂移速度是十分缓慢的。

$ ^{*} $16.1.2 电流的连续性方程和恒定条件

像前面表述高斯定理那样，如果在导体内取任一闭合曲面 S，并规定在 S 面上处处取外法线方向为正方向，则由电荷守恒定律知，单位时间内由 S 面流出的电荷量 $ \oint_{(S)} \boldsymbol{j} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S} $ 应等于单位时间内 S 面内减少的电荷量 $ - \mathrm{d} q / \mathrm{d} t $，即

$$ \oint_{(s)}\boldsymbol{j}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}=-\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} $$

这就是电流场的一个重要的基本性质——电流的连续性方程。

恒定电流的电流场是不随时间变化的，也就是说此时导体内任一点的电流密度 $ \dot{j} $的大小和方向都不随时间发生变化，它只是空间位置的函数，这就要求导体内电荷的分布也不随时间发生变化，因而电荷产生的电场是恒定电场。若电荷分布发生变化，电流场就不可能维持恒定。所以，在恒定电流情况下，任意闭合曲面S内的电荷量不随时间变化，即 $ \mathrm{d}q/\mathrm{d}t=0 $，结合式(16-4)得

$$ \oint_{(S)}\boldsymbol{j}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}=0 $$

上式即为电流的恒定条件。它表明，在恒定条件下，通过任意闭合曲面 S 一侧流入的电荷量等于从另一侧流出的电荷量。即在恒定条件下，电流线连续地穿过任意闭合曲面所包围的体积，它们不可能在任何地方中断，永远都是闭合曲线。因此在

一段没有分支的恒定电路中，通过各截面的电流必定相等。另外电流的恒定条件还表明，恒定电路必须是闭合的。

$ ^{16.1.3} $ 欧姆定律

1826年，欧姆(Georg Simon Ohm,1787—1854)由实验发现：在恒定条件下，通过一段导体的电流和导体两端的电势差成正比，即

$$ I=\frac{U}{R}\quad 或 \quad U=IR $$

这个结论称为欧姆定律。式中比例系数 R 决定于导体的性质，叫作该段导体的电阻（resistance），在国际单位制中，电阻的单位是 $ \Omega $（欧姆）。电阻的倒数称为电导（conductance），用 G 表示：

$$ G=\frac{1}{R} $$

电导的单位是 S（西门子）， $ 1\ S=1\ \Omega^{-1} $

导体电阻的大小与导体的材料和几何形状有关。实验表明，一段粗细均匀的导体，它的电阻 R 与长度 l 成正比，与横截面积 S 成反比，即

$$ R=\rho\frac{l}{S} $$

式中比例系数 $ \rho $ 称为电阻率 (resistivity)。如果导线的截面 S 或电阻率 $ \rho $ 不均匀，则导线的电阻为

$$ R=\int\frac{\rho\mathrm{d}l}{S} $$

电阻率的单位是 $ \Omega \cdot m $（欧姆米）。电阻率的倒数称为电导率（conductivity），由 $ \sigma $ 表示，即

$$ \sigma=\frac{1}{\rho} $$

电导率的单位是 $ S \cdot m^{-1} $（西门子每米）。

电阻率（或电导率）与导体材料的性质和温度有关，当温度不太低时，电阻率 $ \rho $ 与温度 t (℃) 近似有线性关系

$$ \rho=\rho_{0}(1+\alpha t) $$

式中 $ \rho $ 和 $ \rho_{0} $ 分别是 $ t(\mathrm{~^{\circ}C}) $ 和 $ 0^{\circ}C $ 时的电阻率， $ \alpha $ 称为电阻的温度系数，其值随材料的

不同而不同。有些合金，例如锰铜（84%Cu，12%Mn，4%Ni）的 $ \alpha $ 值为 $ 1\times10^{-5} $ °C $ ^{-1} $，而 Cu 的 $ \alpha $ 值为 $ 4.3\times10^{-3} $ °C $ ^{-1} $，这说明锰铜合金的电阻率随温度的变化很小，所以用它做的电阻受温度的影响极小，因此，锰铜合金常用作标准电阻。表 16-1 给出了几种金属、合金和碳在 $ 0 $ °C 时的电阻率 $ \rho_0 $ 和电阻温度系数 $ \alpha $。

某些金属、合金以及化合物在温度降低到接近绝对零度时，它们的电阻率突然减小到零，这种现象称为超导。

【例16-2】两个同轴金属圆筒长为a，内外筒半径分别为 $ R_{1} $和 $ R_{2} $，两筒间充满电阻率 $ \rho $相当大的均匀材料。当内外两筒之间加上电压后，电流沿径向由内筒流向外筒（图16-3）。试计算内外筒之间的均匀材料的总电阻（这就是圆柱形电容器、同轴电缆的漏电电阻）。

解 由电流的方向可知，通过电流的“横截面”是与圆筒同轴的圆柱面，而“长度”是内外筒的间隔。为了计算两筒间材料的总电阻，可以设想两筒间材料由许许多多薄圆柱层组成，以 r 代表其中任一薄层的半径，其面积就是 $ 2\pi r a $，以 dr 表示此薄层的厚度，则这一薄层的电阻就是

$$ \mathrm{d}R=\rho\frac{\mathrm{d}r}{2\pi r a} $$

由于各个薄层都串联的，所以总电阻应是各薄层电阻之和，亦即上式的积分。由此得总电阻为

$$ R=\int\mathrm{d}R=\int_{R_{1}}^{R_{2}}\rho\frac{\mathrm{d}r}{2\pi r a}=\frac{\rho}{2\pi a}\ln\frac{R_{2}}{R_{1}} $$

欧姆定律式(16-6)中 $ U = \int E \cdot dI $ 和 $ I = \int j \cdot dS $ 都是积分量，故可称之为欧姆定律的积分形式，它描述的是电场在一段导体内引起的总效果。为了更细致地描述导体中引起的总效果的导电规律，我们有必要引入导体中各点的电流密度 $ j $ 和电场强度 $ E $ 的关系，即欧姆定律的微分形式。

如图 16-4 所示,设想在导体的电流场中任取一长度为 $ \Delta l $、垂直截面积为 $ \Delta S $ 的小电流管。将欧姆定律用于这段小电流管,则有 $ \Delta I = \Delta U / R $,式中 $ \Delta I = j\Delta S $ 为管内的电流, $ \Delta U $ 为沿这段电流管的电势降落。实验表明,导体中的电场强度 E 与电流密度 j 的方向处处一致,所以有 $ \Delta U = E\Delta l $。若设电流管内导体的电导率为 $ \sigma $,则电阻 $ R = \frac{\Delta l}{\sigma\Delta S} $,把这些关系式都代入 $ \Delta I = \Delta U / R $ 不难得出

$$ j=\sigma E $$

考虑到电流密度i与电场强度E方向一致，上式可写成矢量形式：

$$ \boldsymbol{j}=\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{E} $$

这就是欧姆定律的微分形式，它给出了导体中各处电流密度 j 与电场强度 E 的关系。

欧姆定律不仅适用于金属，而且对电解液也适用。但是对于许多导体（如电离子的气体）或半导体，欧姆定律不再成立。气体中的电流与电压一般不成线性关系，半导体（如二极管）中的电流不但不与电压成正比，而且电流方向改变时，它和电压的关系也会发生改变。

【例 16-3】长度为 $ l = 1.00 \, m $ 的圆柱形电容器，内外两个极板的半径分别为 $ r_A = 5.00 \times 10^{-2} \, m $， $ r_B = 1.00 \times 10^{-1} \, m $，所充的非理想电介质的电阻率为 $ \rho = 1.00 \times 10^9 \, \Omega \cdot \text{m} $。设两极间所加电压 $ U_A - U_B = 1\,000 \, V $。求介质内各点处的场强 $ E $、漏电电流的电流密度 $ j $ 以及该介质的漏电电阻值。

解 设圆柱形容器内、外极板间的漏电总电流为 I，由于漏电电流（从内极板流向外极板）是沿径向对称分布的，而在距离圆柱轴线 r 处，总电流 I 所通过的截面积 $ S=2\pi r l $，所以该处电流密度 i 的大小应为

$$ j=\frac{I}{S}=\frac{I}{2\pi r l} $$

对于 $ r \sim r + dr $ 的圆柱形薄层来说，相应的电阻为

$$ \mathrm{d}R=\rho\frac{\mathrm{d}r}{S}=\frac{\rho\mathrm{d}r}{2\pi r l} $$

对于从内到外的一系列圆柱形薄层来说，各层相应的电阻是相互串联的，因此可求得漏电电阻值为

$$ R=\int\mathrm{d}R=\int_{r_{\mathrm{A}}}^{r_{\mathrm{B}}}\frac{\rho}{2\pi r l}\frac{\mathrm{d}r}{r}=\frac{\rho}{2\pi l}\ln\frac{r_{\mathrm{B}}}{r_{\mathrm{A}}} $$

代入数据后，得

$$ R=\frac{1.00\times10^{9}\ \Omega}{2\pi\times1.00}\ln2=1.10\times10^{8}\ \Omega $$

按欧姆定律，求得漏电总电流

$$ \begin{aligned}I=&\frac{U_{\mathrm{A}}-U_{\mathrm{B}}}{R}\!=\!\frac{2\pi l(\,U_{\mathrm{A}}-U_{\mathrm{B}})\,}{\rho\ln\frac{r_{\mathrm{B}}}{r_{\mathrm{A}}}}\\ =&\frac{1\ 000}{1.10\times10^{8}}\mathrm{~A}=9.06\times10^{-6}\mathrm{~A}\end{aligned} $$

将式(3)代入式(1)，求得漏电的电流密度之值

$$ \begin{align*}j=&\frac{(U_{\mathrm{A}}-U_{\mathrm{B}})}{\rho\ln\frac{r_{\mathrm{B}}}{r_{\mathrm{A}}}}\frac{1}{r}\\=&\frac{1.44\times10^{-6}\mathrm{~A}\cdot\mathrm{m}^{-1}}{r}\end{align*} $$

式中的 r 的单位为 m。应用欧姆定律的微分形式，可求得介质中各点处场强的大小为

$$ \begin{aligned}E=&\rho j{=}\frac{(U_{\mathrm{A}}-U_{\mathrm{B}})}{}\frac{1}{\rho\ln\frac{r_{\mathrm{B}}}{r_{\mathrm{A}}}}\\=&\frac{1.44\times10^{3}\mathrm{~N}}{r}\end{aligned} $$

式中的 r 的单位为 m, E 和 j 的方向都是沿径向向外的。

16.1.4 电动势

如前所述，在一段均匀的导体中，产生恒定电流的条件是在导体内维持一恒定不变的电场。那么怎样才能满足这一条件呢？下面我们以电容器的放电过程为例加以讨论。当用导线把充过电的电容器的正负极连接起来，正电荷就在静电力的作用下从正极板通过导线向负极板流动而形成电流，随着电流的继续，两极板上的电荷逐渐中和而减少。这种随时间减少的电荷分布不能维持电场恒定不变，也就不能保证电流恒定不变。实际上电容器的放电电流是一种很快变小的暂时电流。要使电流恒定不变，就必须想办法使流到负极板上的电荷重新回到正极板上去，从而产生一个恒定电场。而两极板间的静电场方向是由正极板指向负极板，显然靠静电力是不可能使正电荷从负极板回到正极板的，必须靠一种本质上完全不同于静电力的力——非静电力，这种非静电力能使正电荷逆着静电场的方向运动，致使在电流继续的情况下，仍能在正负极板上产生稳定的电荷分布，形成恒定电场，从而得到恒定电流。

提供非静电力的装置称为电源(power supply)，图16-5是电源的一般原理图。

每一个电源都有两个极，电势高的叫正极，电势低的叫负极。正电荷由正极流出，经过外电路流入负极，然后，在电源的非静电力作用下，从负极经过电源内部流到正极。电源内部的电路称为内电路。内电路与外电路连接而成闭合电路。在电源的作用下，电荷在闭合电路中持续不断地流动，形成恒定电流。

电源有很多种类型，不同类型的电源中，非静电力的本质不同。在干电池、蓄电池等化学电池中，非静电力起源于与离子的溶解和沉积过程相联系的化学作用；在温差电源中，非静电力起源于与温度差和电子浓度差相联系的扩散作用；在发电机中，非静电力起源于电磁感应作用。

在不同的电源内，由于非静电力的不同，使相同的电荷由负极移到正极时，非静电力做的功是不同的，这表明不同的电源转化能量的本领是不一样的。为了定量描述电源转化能量本领的大小，我们定义一个新的概念——电动势（electromotive force, emf）。一个电源的电动势 $ \varepsilon $定义为：把单位正电荷从负极通过电源内部移到正极时非静电力所做的功，即

$$ \varepsilon=\frac{A_{ 非 }}{q} $$

式中 $ A_{非} $ 为在电源内部电荷量为 q 的正电荷从负极移到正极时非静电力所做的功。电动势的单位是 V（伏特）。电动势是标量，我们通常把电源内部从负极到正极的方向称为电动势的方向。

仿照静电场对电荷的作用，我们可以把电荷所受新的非静电力看作是一种非

静电场对电荷的作用。若用 $ E_{k} $ 表示非静电场强度，则它对电荷 q 的非静电力为 $ F_{k}=qE_{k} $。在电源内，电荷 q 由负极移到正极时非静电力做的功为

$$ \begin{aligned}A_{ 非 }&=\int_{(-)}^{(+)}q\boldsymbol{E}_{k}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}\\&( 电源内 )\end{aligned} $$

将上式代入式(16-13)可得

$$ \begin{aligned}\mathcal{E}&=\int_{\left(\text{–}\right)}^{\left(\text{+}\right)}E_{k}\cdot\mathrm{d}l\\&\left( 电源内 \right)\end{aligned} $$

上式表示非静电力集中在一段电路内（如电源内）作用时，用场的观点表示的电动势。若非静电力存在于整个电流回路中，则整个回路中的总电动势为

$$ \mathcal{E}=\oint_{L}\boldsymbol{E}_{\mathrm{k}}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l} $$

式中线积分遍积整个回路 L。

$ ^{*} $16.1.5 全电路和一段含源电路的欧姆定律

把电源和负载用导线连接起来就构成了电路(electric circuit)。图16-6是一

闭合电路，外电路中有一电阻 R，ε 为电源的电动势，下面我们来讨论这一简单闭合电路中的电流 I 如何确定。

因为恒定电场是保守场，所以回路中电场强度E对回路L的线积分为

$$ \oint_{L}\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}=0 $$

而此时回路中非静电力与静电力同时存在，电流密度 $ \boldsymbol{j} $由非静电场 $ E_{k} $和静电场E共同决定，可表述为

$$ \boldsymbol{j}=\boldsymbol{\sigma}\left(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{E}_{\mathrm{k}}\right) $$

由上式可得

$$ E=\frac{1}{\sigma}j-E_{k} $$

将式(16-17)代入式(16-16)可得

$$ \oint_{L}\frac{\boldsymbol{j}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}}{\sigma}-\oint_{L}\boldsymbol{E}_{\mathrm{k}}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}=0 $$

式中 dl 为电路中一段有限长度元，因此 dl 与导线中 j 的方向一致，所以

$$ \oint_{L}\frac{\boldsymbol{j}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}}{\sigma}=\oint_{L}\frac{j\mathrm{d}l}{\sigma}=\oint_{L}\frac{j S\mathrm{d}l}{\sigma S} $$

又 $ jS=I $，而回路中各处电流相等，故有

$$ \oint_{L}\frac{I}{\sigma S}\mathrm{d}l=I\oint_{L}\frac{\mathrm{d}l}{\sigma S} $$

其中 $ \frac{dl}{\sigma S} $为回路中长度元 $ dl $的电阻，可见上式右边的积分即整个回路的电阻 $ R_{总} $，包括电源内的电阻 $ R_{i} $和电源外的电阻 $ R_{o} $。所以

$$ I\oint_{L}\frac{\mathrm{d}l}{\sigma S}=IR_{ 总 }=I(R_{i}+R) $$

考虑到式(16-18)中 $ \oint_{L} E_{k} \cdot dI $ 为整个闭合回路的电动势，故式(16-18)可写为

$$ \begin{aligned}I(R_{i}+R)-\mathcal{E}&=0\\ I=&\frac{\mathcal{E}}{R+R_{i}}\end{aligned} $$

即

式（16-20）称为全电路欧姆定律。

对于一个比较复杂的回路，电流又如何呢？如图16-7所示的电路，设电流方向沿顺时针方向，如果我们想象从A点出发，沿顺时针方向环绕电路一周，把各段的电势增量相加，应得

$$ \begin{aligned}-\mathcal{E}_{1}-IR_{1}-IR_{2}-IR_{i1}-IR_{i2}+\mathcal{E}_{2}&=0\\I&=\frac{\mathcal{E}_{2}-\mathcal{E}_{1}}{R_{1}+R_{2}+R_{i1}+R_{i2}}\end{aligned} $$

即

上式可以写成一个更普遍的形式：

$$ I=\frac{\sum\mathcal{E}_{i}}{\sum R_{i}} $$

这就是闭合电路欧姆定律的普遍形式。式中的 $ I $ 与 $ \varepsilon_i $ 都有正或负之分，其符号规则如下：电动势方向和回路 $ L $ 的方向相同的 $ \varepsilon_i $ 取正号，反之则取负号；电流方向与回路 $ L $ 方向相同的 $ I $ 取正号，反之则取负号。

在实际中，我们经常需要计算整个电路中一段含源电路两端的电势差，通常用计算电势增量的方法来处理这类问题比较方便。

如图 16-8 所示, 我们试求 A, B 两点间的电势差。应用前面提出的两条符号规则, 可以确定 A 到 B 的电势增量为

$$ \begin{aligned}\boldsymbol{U}_{B}-\boldsymbol{U}_{A}=&-\boldsymbol{I}_{1}\boldsymbol{R}_{1}-\boldsymbol{\mathcal{E}}_{1}-\boldsymbol{I}_{1}\boldsymbol{R}_{\mathrm{i}1}+\boldsymbol{\mathcal{E}}_{2}+\boldsymbol{I}_{2}\boldsymbol{R}_{\mathrm{i}2}+\boldsymbol{I}_{2}\boldsymbol{R}_{2}-\boldsymbol{\mathcal{E}}_{3}+\boldsymbol{I}_{2}\boldsymbol{R}_{\mathrm{i}3}\\\boldsymbol{U}_{B}-\boldsymbol{U}_{A}=&\left(\boldsymbol{\mathcal{E}}_{2}-\boldsymbol{\mathcal{E}}_{1}-\boldsymbol{\mathcal{E}}_{3}\right)+\left(-\boldsymbol{I}_{1}\boldsymbol{R}_{1}-\boldsymbol{I}_{1}\boldsymbol{R}_{\mathrm{i}1}+\boldsymbol{I}_{2}\boldsymbol{R}_{\mathrm{i}2}+\boldsymbol{I}_{2}\boldsymbol{R}_{2}+\boldsymbol{I}_{2}\boldsymbol{R}_{\mathrm{i}3}\right)\end{aligned} $$

即

写成一般表达式为

$$ U_{B}-U_{A}=\textstyle\sum\mathcal{E}_{j}+\sum I_{i}R_{i} $$

上式称为一段含源电路的欧姆定律。

$ ^{16.1.6} $ 基尔霍夫方程组

在工程技术中或者在实验室，经常需要解决一些比较复杂的电路问题。一个复杂电路一般是多个电源和多个电阻的复杂连接，我们将任意一条电源和电阻串联的电路称为支路（branch），将几条支路构成的闭合通路称为回路（loop），将三条或三条以上支路的汇集点称为节点（node）。解决复杂电路问题，一般用基尔霍夫方程组比较方便。

基尔霍夫第一方程组 作一闭合曲面包围电路中任一

节点，根据电流的恒定条件 $ \oint j \cdot dS = 0 $，汇流于该节点的电流为零。如果我们规定：从节点流出的电流取正值，流向节点的电流取负值，则汇于节点的各支路电流的代数和为零。例如，对于图16-9中的A点，由此可列出方程

$$ \begin{aligned}-I_{1}-I_{2}+I_{3}&=0\\\sum I_{i}&=0\end{aligned} $$

或

对于有 n 个节点的完整电路，可以列出 n-1 个彼此独立的这类方程，这 n-1 个独立方程组成的方程组称为基尔霍夫第一方程组或节点电流方程组。

基尔霍夫第二方程组 把一段含源电路的欧姆定律[式(16-22)]应用到闭合回路上，即若图16-8中A，B点重合，则 $ U_{B}-U_{A}=0 $，可得

$$ \begin{array}{r}{\sum\mathcal{E}_{j}+\sum I_{i}R_{i}=0}\end{array} $$

上式说明，沿任一闭合回路的电势增量的代数和等于零。这一方程的基础是恒定电场的环路定理 $ \oint E \cdot d\mathbf{l} = 0 $，即沿回路绕行一周回到出发点，电势数值不变。

对于一个有 n 个节点 p 条支路的电路，共有 $ p-(n-1)=p-n+1 $ 个独立回路，可列出 p-n+1 个独立的与式 (16-24) 一类的方程，这些方程组成的方程组就称为基尔霍夫第二方程组或回路电压方程组。

综上可知，对于有 n 个节点 p 条支路的复杂电路共有 p 个未知的电流，根据基尔霍夫第一方程组可列出 n-1 个独立方程；根据基尔霍夫第二方程组可以列出 $ p-n+1 $ 个独立方程，即总共可以列出 p 个独立的方程。可见，未知电流的数目与独立方程式的数目相等，因此基尔霍夫方程组（Kirchhoff equations）可解，而且解是唯一的。所以，原则上来说基尔霍夫方程组可解决任何直流电路问题。

【例16-4】如图16-10所示的电路， $ \varepsilon_{1}=12V,R_{i1}=1\Omega,\varepsilon_{2}=8V,R_{i2}=0.5\Omega,R_{1}=3\Omega,R_{2}=1.5\Omega,R_{3}=4\Omega $ 。试求通过每个电阻的电流。

解 设通过各个电阻的电流 $ I_{1} $、 $ I_{2} $、 $ I_{3} $ 如图。对

节点 a 列出式 (16-23) 那样的基尔霍夫第一

方程

$$ -I_{1}+I_{2}+I_{3}=0 $$

如果对节点 b 也列出电流方程，将得到与此式相同的结果，并不能得到另一个独立方程。

对回路 I 列出式(16-24)那样的基尔霍夫第二方程，则可得

$$ \mathcal{E}_{1}-I_{1}R_{i1}-I_{1}R_{1}-I_{3}R_{3}=0 $$

对回路Ⅱ，可以得

$$ \mathcal{E}_{2}-\boldsymbol{I}_{2}\boldsymbol{R}_{i2}-\boldsymbol{I}_{2}\boldsymbol{R}_{2}+\boldsymbol{I}_{3}\boldsymbol{R}_{3}=0 $$

如果对整个外面的大回路列基尔霍夫第二方程，就会发现那将是上述的两个方程的叠加。也不是一个独立的方程，所以不能用。

将已知数据代入这两个回路方程并与上面的电流方程联立求解就可得

$$ I_{1}=1.25\ A,\quad I_{2}=-0.5\ A,\quad I_{3}=1.75\ A $$

此结果中 $ I_{1}, I_{3} $为正值，说明实际电流方向与图中所设相同。 $ I_{2} $为负值，说明它的实际方向与图中所设方向相反。

$ ^{*} $16.1.7 电功率、焦耳定律

电流通过一段电路时，电场力对电荷做功，在做功的过程中，电势能转化成其他形式的能量。例如：如果一段电路只是由导线和电阻元件组成的，电势能就转化成热能，由导线和电阻元件释放；如果电路是由导线和直流电机组成的，电势能的一小部分转化成热能，由导线释放，大部分转化成机械能，由电动机对外界做机械功。

如图 16-11 所示，设有一段电路 AB，其中电阻为 R，A，B 两端间的电势差为 $ U_{1}-U_{2} $，通过的电流为 I，则当带电荷量为 q 的电荷通过这段电路时，电场力所做的功为

$$ \boldsymbol{A}=\boldsymbol{q}\left(\boldsymbol{U}_{1}-\boldsymbol{U}_{2}\right) $$

因为 q=It，所以上式可以写成

$$ A=I t\left(U_{1}-U_{2}\right) $$

这功通常称为电流的功（简称电功），相应的功率为

$$ P=\frac{A}{t}=I(U_{1}-U_{2}) $$

称为电流的功率（简称电功率）。电功的单位为J（焦耳），电功率的单位为W（瓦特）。在电力工程上，通常电功的单位用 kW·h（千瓦时）、电功率的单位用 kW（千瓦）。我们平常所说的一度电就是 1 kW·h。kW·h 和 J 之间的换算关系是

$$ 1\mathrm{kW}\cdot\mathrm{h}=1000\mathrm{W}\times3600\mathrm{s}=3.6\times10^{6}\mathrm{J} $$

在纯电阻电路中，电场力所做的功全部转化成热能。根据能量转化与守恒定律，式（16-25）就表示电流通过这段电路时导体所放出的热量，根据欧姆定律可得

$$ \begin{aligned}Q&=A\\&=I(U_{1}-U_{2})t\\&=\frac{(U_{1}-U_{2})^{2}}{R}t\\&=I^{2}Rt\end{aligned} $$

$$ Q=I^{2}R t $$

即

式(16-27)最初是由焦耳直接根据实验结果确定的,因此称之为焦耳定律(Joule law)。

由式 $ （16-27） $容易得出电流通过电阻时发热的功率为

$$ P=I^{2}R $$

热量的单位是J（焦耳），热功率的单位是W（瓦特）。

值得注意的是，在一段纯电阻电路中，电功等于电热。在非纯电阻电路（如包含电动机、电解槽等能量转化装置的电路）中，电功和电热两者并不相等，电功用 $ A=I(U_{1}-U_{2})t $ 计算，而电热用 $ Q=I^{2}Rt $ 计算。

当导体内通过电流时，单位体积内的热功率称为热功率密度，用 p 表示。如图 16-12 所示，设小圆柱体的电阻率为 $ \rho $，则它的电阻 R 为 $ \rho \frac{dI}{dS} $，又其体积为 dSdl，所以，由热功率密度定义可得

$$ p=\frac{P}{\mathrm{d}S\mathrm{d}l}=\frac{\left(\mathrm{d}I\right)^{2}R}{\mathrm{d}S\mathrm{d}l}=\left(\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}S}\right)^{2}\rho $$

因为 $ j=\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}S} $，又 $ j=\sigma E,\rho=\frac{1}{\sigma} $，所以

$$ \begin{aligned}p=\rho j^{2}&=\frac{1}{\sigma}(\sigma E)^{2}\\p=\sigma E^{2}\end{aligned} $$

即

上式称为焦耳定律的微分形式，它表明：导体内某点的热功率密度正比于该点的电

场强度的平方，也正比于导体的电导率。在电能不转化为其他形式能量的情况下，焦耳定律的微分形式对于通过电流的导体中任意一点都是成立的。

16.2 磁场与磁感应强度

16.2.1 基本磁现象

我国是世界上最早发现和应用磁现象的国家之一。早在战国时期（公元前300年）人们就发现了磁石（ $ Fe_{3}O_{4} $）吸铁的现象。东汉著名的唯物主义思想家王充在《论衡》中所描述的“司南勺”被公认为是世界上最早的磁性指南器。11世纪北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中第一次明确地记载了指南针及其制作方法。沈括还发现了地磁偏角，比欧洲的发现早约400年。12世纪初我国已有关于指南针用于航海的明确记录。

磁铁矿石能够吸引铁、钴和镍等物质的性质称为磁性(magnetism)，磁体上磁性特别强的区域称为磁极(magnetic pole)。若在远离其他磁性物质的地方将磁铁悬挂起来，使它能在水平面内自由转动，则其静止时两端的磁极总是指向南北方向。磁铁指北的一端称为北极(N极)，指南的一端称为南极(S极)。通常情况下，磁铁的指向与严格的南北方向有所偏离，所偏离的角度称为地磁偏角(geomagnetic declination)，地磁偏角的大小因地区不同而稍有差别。磁体的磁极总是成对出现，且同名磁极相互排斥，异名磁极相互吸引。

16.2.2 磁场

在历史上很长一段时间里，电学与磁学彼此独立的发展着，人们认为电和磁是

两种互不相关的现象，直到1819—1820年间，丹麦科学家奥斯特（Hans Christian Oersted，1777—1851）通过实验发现电流对小磁针的作用，才使人们认识到电与磁之间有着密不可分的联系，电荷运动可以产生磁场，运动电荷本身也会受到磁力的作用。奥斯特的实验可概述如下：如图16-13

视频 地球磁极会翻转

视频对地磁场磁力线的研究

文档 奥斯特

所示，在沿南北方向放置的导线 AB 下面有一可在水平面自由转动的小磁针，当导线中没有电流通过时，小磁针在地磁场作用下沿南北取向，但当导线中通过电流时，小磁针就会发生偏转。若电流从 A 流向 B，则从上往下看，小磁针沿逆时针方向偏转；反之，则小磁针沿顺时针方向偏转。

奥斯特实验表明，电流会对磁铁施加作用力。1820年安培（Andre-Marie Ampere，1775—1836）又发现，放在磁铁附近的载流导线或载流线圈，也会受到力的作用而发生运动[如图16-14(a)、(b)所示]。其后又发现载流导线之间或载流线圈之间也有相互作用。

那么所有这些磁铁与磁铁、磁铁与电流、电流与电流之间的相互作用是以什么方式进行的呢？物理实验和理论都表明，所有这些相互作用都是通过一种特殊的物质——磁场来传递的。

磁极或电流在自己周围的空间里产生磁场(magnetic field)，磁场的基本性质就是它对任何置于其中的其他磁极或电流施加力的作用。用磁场的观点可将上述磁铁与磁铁、磁铁与电流、电流与电流之间的相互作用可概括为

16.2.3 磁感应强度

在静电场中，我们曾根据试验电荷在电场中的受力情况引入电场强度 E 来描述电场的性质，类似地，为了定量地描述磁场，我们根据运动电荷在磁场中受力的性质引入一个磁感应强度 (magnetic induction) B。

实验发现,带电荷量为 $ q_{0} $ 的试验电荷在磁场中任一点以速度 v 运动时都会受到磁场力的作用,只有沿某一特定方向(或其反方向)运动时磁场力才为零,而当试验电荷 $ q_{0} $ 在磁场中以速度 v 垂直于磁感应强度 B 的方向运动时,它所受的磁场力

最大，用 $ F_{max} $表示。在磁场中给定点处

$$ F_{max}\propto q_{0}v $$

比值 $ \frac{F_{\max}}{q_{0}v} $仅与试验电荷所在的位置有关。在磁场不同点处， $ \frac{F_{\max}}{q_{0}v} $一般有不同的值。显然，比值 $ \frac{F_{\max}}{q_{0}v} $表征了该磁场的性质，我们把这个特征量定义为磁感应强度B的大小，即

$$ B=\frac{F_{max}}{q_{0}v} $$

由上可知，磁场中某点的磁感应强度 B，其大小等于试验电荷在该点所受的最大磁场力与试验电荷的电荷量 $ q_{0} $ 与速率 v 的乘积之比值，而其方向与该点小磁针 N 极的指向一致。在国际单位制中，磁感应强度的单位是 T（特斯拉）。

16.2.4 磁感应线

在静电场中，我们曾借助电场线来形象地描述电场的分布。在这里，我们同样可以借助磁感应线来形象地描述磁场的分布。磁感应线（magnetic induction line）（B线）是一些有方向的曲线，其上每一点的切线方向与该点的磁感应强度矢量的方向一致；磁感应线的疏密表示磁场的强弱。

图16-15是几种常见磁场的磁感应线，从这些典型磁场的磁感应线可以看出，任意两条磁感应线不相交，磁感应线是无头无尾的闭合曲线；磁感应线总是与电流互相套合，二者的方向服从右手螺旋关系。

文档毕奥

文档萨伐尔

16.3 毕奥-萨伐尔定律

16.3.1 毕奥-萨伐尔定律

毕奥-萨伐尔定律(Biot-Savart law,1820)是载流导线激发磁场的基本规律，它是19世纪20年代，法国科学家毕奥(Jean-Baptiste Biot,1774—1862)和萨伐尔(Felix Savart,1791—1841)以他们的实验工作为基础，在数学家拉普拉斯(Pierre-Simon Laplace,1749—1827)的帮助下，得到的关于载流导线中任一电流元在真空中任意一点产生的磁应强度所遵循的规律。其内容可表述如下：如图16-16所示，载流导线中任一电流元Idl，在真空中任意一点P处产生的磁感应强度dB的大小与电流元Idl的大小成正比，与电流元和由电流元到P点的径矢r之间的夹角 $ \theta $的正弦成正比，与 $ r^{2} $成反比；dB的方向垂直于Idl与r组成的平面，沿Idl经小于 $ 180^{\circ} $的角转向r时右手螺旋前进的方向。即

$$ \mathrm{d}B=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\frac{I\mathrm{d}l\times r}{r^{3}} $$

dB 的大小为

$$ \mathrm{dB}=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\frac{I\mathrm{d}l\sin\theta}{r^{2}} $$

式中 $ \mu_{0} $ 是真空磁导率，其值为

$$ \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\mathrm{~H}\cdot\mathrm{m}^{-1}=4\pi\times10^{-7}\mathrm{~N}\cdot\mathrm{A}^{-2} $$

整个载流导线在真空中 P 点处产生的磁感应强度 B 等于导线上各电流元 Id 在该点处所产生的磁感应强度 dB 的矢量和，即

$$ \boldsymbol{B}=\int\mathrm{d}\boldsymbol{B}=\int\frac{\mu_{0}}{4\pi}\frac{I\mathrm{d}\boldsymbol{l}\times\boldsymbol{r}}{r^{3}} $$

16.3.2 毕奥-萨伐尔定律的应用

应用毕奥-萨伐尔定律[式(16-31)]和它的积分形式[式(16-32)]，原则上可以计算任意载流导体所激发的磁感应强度。下面我们利用几个例题来计算一些特殊形状的载流导体所激发的磁场的磁感应强度。

【例 16-5】设真空中有一条长为 L 的载流直导线 CD，通过导线的电流为 I。现计算该导线外任一点 P 处的磁感应强度。

解 在直导线上任取一电流元 Id(图 16-17)。

按毕奥-萨伐尔定律,电流元在给定点 P 处所产生磁感应强度的大小为

$$ \mathrm{d}B=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\frac{I\mathrm{d}l\sin\alpha}{r^{2}} $$

dB 的方向垂直于电流元 Idl 与径矢 r 所决定的平面，指向如图 16-17 所示（即垂直于 xOy 平面，沿 z 轴负方向）。导线中各个电流元在 P 点所产生的 dB 的方向都是一致的，应用磁场叠加原理，则 P 点的总磁感应强度为

$$ B=\int\mathrm{d}B=\int\frac{\mu_{0}}{4\pi}\cdot\frac{I\mathrm{d}l\sin\alpha}{r^{2}} $$

进行积分计算时，应先把 $ dl, r, \alpha $ 等变量用同一参变量来表示。现取径矢 r 与 P 点到直导线的垂线 OP 之间的夹角 $ \beta $ 为参变量，并以 a 表示 OP 的长度，取垂足即坐标原点 O 到 $ dl $ 处的距离为 l。从图中可以看出

$$ \sin\alpha=\cos\beta,\quad r=a\sec\beta,\quad l=a\tan\beta,\quad\mathrm{d}l=a\sec^{2}\beta\mathrm{d}\beta $$

从而

$$ \begin{aligned}B&=\int\frac{\mu_{0}}{4\pi}\frac{I\mathrm{d}l\sin\alpha}{r^{2}}=\frac{\mu_{0}I}{4\pi a}\int_{\beta_{1}}^{\beta_{2}}\cos\beta\mathrm{d}\beta\\&=\frac{\mu_{0}I}{4\pi a}(\sin\beta_{2}-\sin\beta_{1})\end{aligned} $$

式中， $ \beta_{1} $ 是从 PO 转到电流的起点（流入点）C 时，PO 与 PC 之间的夹角； $ \beta_{2} $ 是从 PO 转到电流的终点（流出点）D 时，PO 与 PD 之间的夹角。当角 $ \beta $ 朝电流相同方向旋转时取正值；当朝电流相反的方向旋转时取负值。图 16-17 中的 $ \beta_{1} $ 和 $ \beta_{2} $ 均为正值。现讨论几种特殊情况：

（1）对于“无限长”载流直导线

$$ \beta_{1}\rightarrow\left(-\frac{\pi}{2}\right),\quad\beta_{2}\rightarrow\left(+\frac{\pi}{2}\right) $$

因此由上式可得

$$ B=\frac{\mu_{0}I}{2\pi a} $$

（2）对于“半无限长”载流直导线，有

$$ B=\frac{\mu_{0}I}{4\pi a} $$

（3）对于载流直导线延长线上一点，有

$$ \boldsymbol{B}=\boldsymbol{0} $$

【例16-6】设真空中有一圆形线圈，半径为R，载有电流I，试计算圆线圈轴线上任一点P的磁感应强度。

解 取线圈轴线为 x 轴，原点 O 在圆心上。在圆线圈上任取电流元 IdI，参看图 16-18。由图可见，电流元与电流元到 P 点径矢 r 间夹角为 $ 90^{\circ} $，按毕奥-萨伐尔定律，这电流元在 P 点所产生的磁感应强度 dB 的大小为

$$ \mathrm{d}B=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\frac{I\mathrm{d}l\sin\left(\mathrm{d}l,r\right)}{r^{2}}=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\frac{I\mathrm{d}l}{r^{2}} $$

方向如图16-18(a)所示，在r与轴线所构成的平面内并垂直于r。显然，线圈上各电流元在P点所产生的磁感应强度，方向是各不相同的。因此，可以把dB分解成垂直于轴线的分量 $ \mathrm{dB}_{\perp} $和平行于轴线的分量 $ \mathrm{dB}_{\parallel} $。由于对称关系， $ \mathrm{dB}_{\perp} $互相抵消，而 $ \mathrm{dB}_{\parallel} $互相加强。所以，总的磁感应强度的大小为

$$ B=\int\mathrm{d}B_{//}=\int\mathrm{d}B\cdot\sin\theta=\int_{0}^{2\pi R}\frac{\mu_{0}}{4\pi}\frac{I\mathrm{d}l}{r^{2}}\cdot\frac{R}{r}=\frac{\mu_{0}}{2}\frac{R^{2}I}{\left(R^{2}+x^{2}\right)^{3/2}} $$

B 的方向沿着轴线，与电流方向组成右手螺旋关系。

下面讨论几种特殊情况：

（1）在圆心 O 点处, x=0 ，有

$$ B=\frac{\mu_{0}I}{2R} $$

若圆电流由 N 匝导线组成，通过每匝的电流均为 I，则圆心 O 点处磁感应强度的大小为

$$ B=\frac{\mu_{0}NI}{2R} $$

(2) 在轴线上相距圆心很远处, $ x\gg R $，有

$$ B=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\cdot\frac{2\pi R^{2}I}{x^{3}}=\frac{\mu_{0}\cdot2P_{m}}{4\pi x^{3}} $$

式中， $ P_{m}=IS=I\cdot\pi R^{2} $，称为电流磁矩。上式与电偶极子延长线一点场强的表达式 $ E=\frac{2p_{e}}{4\pi\varepsilon_{0}x^{3}} $很相似，类似地，在我们研究载流线圈在很远处产生的磁场时，可以把载流线圈看成是一个磁偶极子。

（3）一段载流圆弧导线在圆心激发的磁感应强度 B 的大小为

$$ B=\frac{\mu_{0}I}{2R}\cdot\frac{\theta}{2\pi}=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\frac{\theta I}{R} $$

其方向也是沿轴线并遵从右手定则。式中 $ \theta $ 是圆弧对圆心所张的圆心角，用弧度表示[图16-18(b)]。这里由于每一个电流元产生的 dB 的方向都相同，所以只需进行简单积分运算即可得出上式。

【例16-7】设直螺线管截面的半径为R，单位长度线圈匝数为n，通有电流I，试求其内部的磁感应强度。

解 直螺线管就是绕在直圆柱面上的螺旋线圈[图16-19(a)]。若螺线管上各匝线圈绕得很紧密，每匝线圈就相当于一个圆线圈。载流直螺线管在某点处所产生的磁感应强度，就等于各匝线圈在该点所产生的磁感应强度的总和。若在螺线管上距P点为x处，任取一小段dx，这小段上有线圈 $ n\mathrm{d}x $匝，则相当于有电流为 $ I\mathrm{~d}x $的一个圆形电流。应用例16-6的结论，这小段线圈在轴线上P点所产生的磁应强度为

$$ \mathrm{d}B=\frac{\mu_{0}}{2}\cdot\frac{R^{2}I n\mathrm{d}x}{\left(R^{2}+x^{2}\right)^{3/2}} $$

dB 的方向沿轴线向右。因螺线管各小段在 P 点所产生的磁感应强度的方向都相同，所以整个螺线管在 P 点所产生的磁感应强度为

$$ B=\int_{L}\mathrm{d}B=\int_{L}\frac{\mu_{0}}{2}\cdot\frac{R^{2}I n\mathrm{d}x}{\left(R^{2}+x^{2}\right)^{3/2}} $$

式中的 $ \mu_{0} $ 为真空的磁导率。为便于积分，可引入参变量 $ \theta $，它是螺线管轴线与从 P 点到 dx 处小段线圈上任一点的径矢之间的夹角。从图 16-19(b) 可看出

$$ x=R\cot\theta $$

对上式微分，得

$$ \mathrm{d}x=-R\csc^{2}\theta\mathrm{d}\theta $$

又

$$ \boldsymbol{R}^{2}+\boldsymbol{x}^{2}=\boldsymbol{R}^{2}\csc^{2}\theta $$

所以

$$ \begin{aligned}B&=\int\frac{\mu_{0}}{2}\frac{R^{2}nI\mathrm{d}x}{\left(R^{2}+x^{2}\right)^{3/2}}\\&=\int_{\theta_{1}}^{\theta_{2}}-\frac{\mu_{0}}{2}nI\mathrm{s i n}\theta\mathrm{d}\theta\\&=\frac{\mu_{0}}{2}nI(\cos\theta_{2}-\cos\theta_{1})\\ \end{aligned} $$

下面讨论两种特殊情况：

（1）无限长直螺线管： $ \theta_{1}=\pi,\theta_{2}=0 $，因而上式可化为

$$ \boldsymbol{B}=\mu_{0}n\boldsymbol{I} $$

这表明，在密绕的无限长螺线管轴线上，磁场是均匀的。其大小只决定于螺线管单位长度的匝数 n 和导线中的电流 I，而与场点位置无关，其方向遵从右手螺旋定则。可以证明此结论不仅适用于轴线上任一点，在整个无限长螺线管内部的空间里，磁场都是均匀的。

（2）在半无限长螺线管的一端：

$$ \theta_{1}=\frac{\pi}{2},\theta_{2}=0\quad 或 \quad\theta_{1}=\pi,\theta_{2}=\frac{\pi}{2}, $$

无论哪种情况都有

$$ B=\frac{1}{2}\mu_{0}n I $$

即在半无限长螺线管端点，轴上的磁感应强度是无限长螺线管中间磁感应强度的一半。

螺线管轴线上磁场大小的分布情况，如图16-19(d)所示。当螺线管的长度比其半径大很多时，在内部很大范围内的磁场是均匀的，只在端点附近，B才显著下降。

从上述例题可以看出，载流导线在真空中给定点所产生的磁感应强度 B 与导线中的电流、导线的形状、真空的磁导率以及该给定点相对于导线的位置有关。

16.4 匀速运动点电荷的磁场

由毕奥-萨伐尔定律可知,真空中载流导体上电流元 IdI 所产生的磁感应强度 dB 的大小为

$$ \mathrm{d}B=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\cdot\frac{I\mathrm{d}l\sin(Idl,r)}{r^{2}} $$

若设电流元 IdI 的横截面积为 S，在导体内有 n 个带电粒子，每个粒子带有电荷量 q，并以速度 v 沿 IdI 的方向匀速运动，则单位时间内通过横截面 S 的电荷量为 qnvs，亦即电流 I 为

$$ I=q n v s $$

将 $ I=q_{NVS} $ 代入电流元 $ I_{dI} $ 所产生的磁感应强度 dB 的大小的表达式，并考虑到 $ I_{dI} $ 的方向与正电荷 q 的运动速度 v 的方向相同，可得

$$ \mathrm{d}B=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\cdot\frac{(q n v s)\mathrm{d}l\sin(\theta\cdot r)}{r^{2}} $$

在电流元 Idl 内有 dN=nsdl 个带电粒子以速度 v 运动着，所以从微观意义上来说电流元 Idl 所产生的磁感应强度 dB，就是这 dN 个运动电荷共同产生的。这样，我们就可以得到每一个以速度 v 运动的电荷所产生的磁感应强度 B 的大小为

$$ B=\frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}N}=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\cdot\frac{q v\sin\left(v,r\right)}{r^{2}} $$

上式可用矢量式表示为

$$ B=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\cdot\frac{qv\times r}{r^{3}} $$

可见，B 的方向垂直于 v 和 r 组成的平面。如果运动电荷带正电，那么 B 的指向符合右手螺旋定则：以螺旋转动的方向为 v 经 $ (v,r) $ 小于 $ 180^{\circ} $ 的夹角转向 r 的方向，则螺旋前进的方向就是 B 的指向；若运动电荷带负电，则 B 的指向与之相反（如图 16-20 所示）。

式(16-34)是匀速运动电荷的磁场表达式，也称之为毕奥-萨伐尔定律的微观形式。它说明电流产生磁场的本质是由于带电粒子的运动。

16.5 磁场的高斯定理和安培环路定理

16.5.1 磁通量 磁场的高斯定理

仿照静电场中引入电场强度通量的方法,我们引入磁通量(magnetic flux)。规定通过任意一曲面 S 的磁通量 $ \Phi_{m} $ 为

$$ \Phi_{\mathrm{m}}=\oint_{S}\mathrm{d}\boldsymbol{\Phi}_{\mathrm{m}}=\oint_{S}\boldsymbol{B}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S} $$

在国际单位制中磁通量的单位为 Wb(韦伯)。像电场强度通量 $ \Phi_{e} $ 代表通过其曲面的电场线数目一样，磁通量 $ \Phi_{m} $ 也可理解为磁感应线的数目。这样，磁感应强度 B 的大小就是通过单位垂直面积的磁感应线数目，即磁感应线的数密度。可见在磁感应线密集的地方磁感应强度 B 大，在磁感应线稀疏的地方磁感应强度 B 小。

对于闭合曲面，若规定由里向外为法线的正方向，则磁感应线从闭合面穿出处的磁通量为正，穿入处的磁通量为负。由于磁感应线是闭合曲线，从闭合曲面某处穿入的磁感应线必定要从另一处穿出，因此通过任一闭合曲面的磁通量恒等于零，即

$$ \oint_{S}\boldsymbol{B}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}=0 $$

这就是磁场的高斯定理，它与静电场中的高斯定理十分相似，但二者存在着本质的区别。由于自然界中有单独的正负电荷存在，所以在静电场中通过闭合曲面的电场强度通量可以不为零；而自然界还没有真正发现与电荷对应的“磁荷”（或磁单极子）存在，所以通过任意闭合曲面的磁通量必为零。

早在1931年，狄拉克就从量子理论预言了磁单极子的存在。关于弱相互作用、电磁相互作用和强相互作用的“大统一理论”也认为存在磁单极子。磁单极子在宇宙学中占有重要地位，它有利于宇宙大爆炸理论的印证。在1975年和1982年分别有实验室宣称他们探测到了磁单极子，但都没有得到科学界的公认。因此，至今科学界仍未能从实验上确认磁单极子的存在。

16.5.2 安培环路定理

在静电场中，电场强度 E 沿任意闭合路径的线积分为零，即 $ \oint_{L}\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}=0 $，它说明静电场是保守力场。那么，在恒定磁场中，磁感应强度 B 沿任意闭合路径的线积分等于多少呢？恒定磁场是否是保守场呢？下面，我们以载流长直导线的磁场为

例对以上问题加以分析说明。

如图 16-21 所示，在无限长直线电流磁场中，取一垂直于电流的平面，则平面内的磁感应线是一系列以平面与导线的交点为圆心的同心圆，其绕向与电流方向成右手螺旋关系。在这一平面内任取一包围电流的闭合路径 L，并设其绕行方向为逆时针方向，路径上任一点 P 点的磁感应强度为

$$ B=\frac{\mu_{0}I}{2\pi r} $$

式中 I 为导线中的传导电流，r 为 P 点到导线的垂直距离，则 B 沿这一闭合路径的线积为

$$ \begin{array}{r}\oint_{L}\boldsymbol{B}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}=\oint_{L}B\cos\theta\mathrm{d}l\\&=\oint_{L}\frac{\mu_{0}I}{2\pi r}r\mathrm{d}\varphi\\&=\frac{\mu_{0}I}{2\pi}\oint_{L}\mathrm{d}\varphi\\&=\mu_{0}I\end{array} $$

上式说明，当闭合路径包围电流 I 时，这个电流对该闭合路径上 B 的环流的贡献为 $ \mu_{0}I $。上述结论对非平面闭合路径以及回路中包含有任意电流的情况都是成立的。不难证明：在恒定磁场中，磁感应强度 B 沿任意闭合路径 L 的线积分（B 的环流）等于该路径 L 所包围的电流的代数和的 $ \mu_{0} $ 倍，即

$$ \oint_{L}\boldsymbol{B}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}=\mu_{0}\sum I_{ 内 } $$

此即安培环路定理(Ampere circuital theorem)，它表明磁感应强度的环流一般不等于零，磁场是非保守场。

对安培环路定理的理解应注意如下几点：

（1）式(16-37)中 $ \Sigma I_{内} $只包括穿过闭合回路L的电流；

（2）当回路的绕行方向与电流方向满足右手螺旋关系时，电流取正，否则电流取负；

（3）式(16-37)中的B是空间所有电流激发的磁感应强度之矢量和，其中也包含了不穿过回路L的电流产生的磁场，只是不穿过回路L的电流产生的磁感应强度沿L的积分总效果为零。

16.5.3 安培环路定理的应用

我们知道，在静电学中用高斯定理计算某些具有对称性的带电体的电场分布比较方便，在这里我们利用安培环路定理计算某些具有一定对称性的载流导线的磁场分布也比较方便。下面就举几个典型的例题来说明如何利用安培环路定理计算磁场分布。

【例 16-8】求无限长载流圆柱直导线的磁场分布。设圆柱半径为 R，总电流 $ I_{0} $ 在横截面上均匀分布。

解 如图 16-22 所示，设任意点 P 距圆柱轴线的垂直距离为 r，通过点 P 作半径为 r 的圆 L，圆面与圆柱轴线垂直，由于电流分布的对称性，L 上各点 B 值相等，方向沿圆的切线，根据安培环路定理有

$$ \oint_{L}\boldsymbol{B}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}=\oint_{L}B\cos\theta\mathrm{d}l=B\oint_{L}\mathrm{d}l=B2\pi r=\mu_{0}I $$

可得

$$ B=\frac{\mu_{0}I}{2\pi r} $$

其中 I 是圆周 L 所包围的电流。

当 r < R 时，即 P 点在圆柱导线内部，如图 16-22(a) 所示，导线中电流只有一部分通过圆周 $ L, I = \frac{I_{0}}{\pi R^{2}} \pi r^{2} $，因此

$$ B=\frac{\mu_{0}I_{0}r}{2\pi R^{2}} $$

当r>R时，即P点在圆柱导线之外，如图16-22(b)所示， $ I=I_{0} $，于是

$$ B=\frac{\mu_{0}I_{0}}{2\pi r} $$

【例16-9】求密绕长直螺线管内的磁场。设螺线管的长度为L，共有N匝线圈，单位长度上有 $ n=N/L $匝线圈，通过每匝线圈电流为I。密绕的长直螺线管内中央部分的磁场是均匀的，方向与螺线管的轴线平行，在管的外侧磁场很弱，可以忽略不计。

解 为了计算螺线管中央部分内部某点 P 的磁感应强度，在图 16-23 中作一矩形回路 abcda，B 沿此闭合回路的线积分可以分成四段，即

ab 段在管内，B 的大小相等，方向与 dI 相同，所以 $ \int_{a}^{b}B\cdot dI=B|ab| $；bc 段和 da 段，一部分在管内，一部分在管外，虽然管内部分 $ B\neq0 $，但 B 与 dI 相互垂直，管外部分 B=0，所以 $ \int_{b}^{c}B\cdot dI=\int_{d}^{a}B\cdot dI=0 $；cd 段在管外，B=0，所以 $ \int_{c}^{d}B\cdot dI=0 $。这样，上式可写为

$$ \oint_{L}\boldsymbol{B}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}=\int_{a}^{b}B\mathrm{d}l=B\mid ab\mid $$

闭合回路 abcda 所包围的总电流为 $ n|ab|I $，且电流方向与回路绕向满足右手螺旋关系，根据安培环路定理有

$$ \oint_{L}\boldsymbol{B}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}=B\mid ab\mid=\mu_{0}n\mid ab\mid I $$

所以

$$ \boldsymbol{B}=\mu_{0}n\boldsymbol{I} $$

【例16-10】求环形螺线管内的磁感应强度。如图16-24所示，环形螺线管也叫螺绕环，环上密绕N匝线圈，线圈中通有电流I。

解 作以 O 点为圆心， $ r(r_{1}

$$ \oint_{L}\boldsymbol{B}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}=\oint_{L}B\cos\theta\mathrm{d}l=B\oint_{L}\mathrm{d}l=B2\pi r $$

该回路所包围的电流的代数和为 $ \sum_{i=1}^{N}I_{i}=NI $，由右手螺旋关系知电流应为正值，根据安培环路定理有

$$ \oint_{L}\boldsymbol{B}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}=B2\pi r=\mu_{0}NI $$

$$ B=\frac{\mu_{0}NI}{2\pi r} $$

所以

如果用 R 表示螺绕环的平均半径， $ r_{1} $ 和 $ r_{2} $ 分别表示环的最小半径和最大半径，当 $ R \gg (r_{2}-r_{1}) $ 时，可近似地认为环内任一与环共轴的同心圆的半径 $ r \approx R $，由上式可得

$$ B{=}\frac{\mu_{0}NI}{2\pi R}{=}\mu_{0}nI $$

式中 $ n=\frac{N}{2\pi R} $ 为环上单位长度所绕的匝数。当螺绕环的直径比环的内外直径之差大得多时，管内的磁场可视为均匀的。

【例16-11】无限大平面电流的磁场分布。如图16-25所示，一无限大导体薄平板垂直于纸面放置，其上有指向读者方向的电流流通，而电流密度（即通过与电流方向垂直的单位长度的电流）大小为j，且处处均匀。

解 无限 $ \underline{大} $平面电流可看成是由无限多条平行排列的长直电流所组成。如图16-25所示，以OP为对称轴，取一对宽度相等的长直电流 $ dI' $和 $ dI'' $，它们在任一点P处产生的磁场分别为 $ dB' $和 $ dB'' $。由于二者大小相等，其合磁场 $ dB $的方向一定平行于电流平面。这样，无数对对称直流在P点的总磁场方向也一定平行于电流平面。但在该平面两侧B的方向相反。又由于电流平面无限大，故与电流平面等距离的各点的B的大小应相同。

根据以上所述磁场分布的特点，可以作矩形回路 abcda，其中 ab, cd 两边与电流平面平行，而 bc 和 da 两边被电流平面等分。该回路所包围的电流为 jl，由安培环路定理知

$$ \begin{aligned}\oint_{L}\boldsymbol{B}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}=&\int_{a}^{b}\boldsymbol{B}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}+\int_{b}^{c}\boldsymbol{B}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}+\int_{c}^{d}\boldsymbol{B}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}+\int_{d}^{a}\boldsymbol{B}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}\\=&B\cdot2l=\mu_{0}jl\end{aligned} $$

故

$$ B=\frac{\mu_{0}J}{2} $$

这说明，无限大均匀平面电流两侧的磁场为均匀磁场，并且大小都为 $ B=\frac{\mu_{0}j}{2} $，但方向相反。

由以上各例题不难看出，利用安培环路定理计算磁场分布时，应首先根据电流的对称性分析磁场分布的对称性，然后选取适当的闭合路径 L（闭合路径 L 的选取应方便于积分 $ \oint_{L} B \cdot dI $ 中的 B 以标量形式从积分号内提出来），再利用安培环路定理计算磁感应强度的大小。

习题

16-1 如题16-1图所示，两根导线沿半径方向被引到半径为R的铁环上B,C两点。电流方向如图所示。则环中心O处的磁感应强度B的大小为()。

A. 0 B. $ \frac{\mu_{0}I}{4\pi R} $

C. $ \frac{\mu_{0}I}{4R} $ D. 无法判断

16–2 用金属丝制作的圆形及正方形回路中，圆的直径及正方形的边长均为a，当通过相等的电流时，它们各自在中心产生的磁感应强度之比为( )。

A. 1.4 B. 1.11 C. 2.1 D. 2.4

16-3 如题16-3图所示，实线为载流导线，通以电流I，A，B各伸延到无限远

16-3 如题16-3图所示，实线为载流点处，则在圆心O处的磁感应强度为()。

A. $ \frac{\mu_{0}I}{4\pi R}+\frac{\mu_{0}I}{8R} $ B. $ \frac{\mu_{0}I}{2\pi R}+\frac{\mu_{0}I}{8R} $ C. $ \frac{\mu_{0}I}{2\pi R}+\frac{\mu_{0}I}{R} $ D. $ \frac{\mu_{0}I}{4\pi R}+\frac{\mu_{0}I}{R} $

16-4 两块平行的大金属板上有均匀电流流通，电流面密度大小都是 j，但方向相反。则板间和板外的磁场分布为( )。

A. 两板间 $ B=B_{1}+B_{2}=2\mu_{0}j $，两板外 $ B=B_{1}-B_{2}=0 $

B. 两板间 $ B=B_{1}+B_{2}=\mu_{0}j $ ，两板外 $ B=B_{1}-B_{2}=0 $

C. 两板间 $ B=B_{1}+B_{2}=0 $ ，两板外 $ B=B_{1}-B_{2}=\mu_{0}j $

D. 两板间 $ B=B_{1}+B_{2}=0 $ ，两板外 $ B=B_{1}-B_{2}=2\mu_{0}j $

16-5 北京正负电子对撞机的储存环是周长为 240 m 的近似圆形规道。当环中电子流强度为 8 mA 时，则在整个环中有 ___ 个电子在运行。已知电子的速率接近光速。

16-6 空气中由于存在少量的自由电子和正离子而具有微弱的导电性。地表附近，晴天大气平均电场强度约为 120 V/m，大气平均电流密度为 $ 4 \times 10^{-12} $ A/m $ ^{2} $。则大气的电阻率 = ___；如果电离层和地表之间的电势差为 $ 4 \times 10^{5} $ V，则大气的总电阻 = ___。

16-7 一根铜线长10m，截面半径为2mm，其中载有5A电流。已知铜的自由电子数密度为 $ 8.3\times10^{23}\ m^{-3} $。则：（1）电流密度=___；（2）自由电子的漂移速率=___；（3）电子通过这根导线所需的时间=___。

16-8 如题16-8图所示，两条截面积分别为 $ S_{1} $ 和 $ S_{2}(S_{1}

16-9 设电池的端电压 U=2.2 V，电流 I=1.1 A，求下列各情况下电池做功的功率 $ P_{x} $、电池的电功率 $ P_{y} $ 和热功率 $ P_{Q} $。（1）已知电池的电动势 $ \varepsilon=1.3 $ V，该电池正在充电；（2）已知电池的电动势 $ \varepsilon=2.6 $ V，该电池正在放电。

16-10 如题 16-10 图所示，已知 $ \varepsilon_{1}=6\ V $, $ \varepsilon_{2}=1.5\ V $, $ R_{i1}=R_{i2}=R_{1}=1\ \Omega $, $ R_{2}=0\sim2\ \Omega $, 求 a, b 间及 c, d 间的电势差。

16-11 一电路如题16-11图所示。(1) 求 a, b 两点间的电势差; (2) 求 c, d 两点间的电势差; (3) 如果 c, d 两点短路, 则 a, b 两点间的电势差是多少?

16-12 高压输电线在地面上空 25 m 处，通过电流为 $ 1.8 \times 10^{3} $ A。(1) 求在地面上由该电流所产生的磁感应强度为多大？(2) 在上述地区，地磁场为 $ 0.6 \times 10^{-4} $ T，问输电线产生的磁场与地磁场相比如何？

16-13 两平行直导线相距 d=40 cm，每根导线载有电流 $ I_{1}=I_{2}=20 $ A，如题16-13图所示。求：(1)两导线所在平面内与该两导线等距离的一点处的磁感应强度；(2)通过图中斜线所示面积的磁通量（设 $ r_{1}=r_{3}=10 $ cm，l=25 cm）。

16-14 一半径为 R 的塑料圆盘，表面均匀分布电荷 q。试证明：当它绕通过盘心而垂直于盘的轴以 $ \omega $ 角速度转动时，盘心处的磁感应强度 $ B = \frac{\mu_{0}\omega q}{2\pi R} $。

16–15 在真空中有两个点电荷 $ \pm q $，相距为3d，它们都以角速度 $ \omega $绕一与两点电荷连线垂直的轴转动。+q到转轴的距离为d。试求转轴与电荷连线交点处的磁场。

16-16 如题16-16图所示，有一矩形截面的螺绕环，(1)求环内磁感应强度的分布；(2)证明通过螺绕环截面的磁通量为

$$ \Phi_{\mathrm{B}}=\frac{\mu_{0}NIh}{2\pi}\ln\frac{D_{2}}{D_{1}} $$

16-17 一半径为 R 的无限长薄壁圆管，平行于轴向有一宽为 $ a(a \ll R) $ 的无限长细缝，如题 16-17 图所示，管壁上均匀地通有恒定电流，设管壁圆周上单位长度电流为 i，其方向垂直纸面向外。求圆柱中