第24章 激光

23-13 有一光子，在磁场 $ B=0.20\ \text{Wb} \cdot \text{m}^{-2} $ 中，产生一对正负电子，其轨道曲率半径 $ r=2.5 \times 10^{-2}\ \text{m} $，求电子的能量和波长（电子电荷绝对值 $ e=1.6 \times 10^{-19}\ \text{C} $，电子静质量 $ m_e=9.1 \times 10^{-31}\ \text{kg} $； $ \hbar=6.6 \times 10^{-16}\ \text{eV} \cdot \text{s} $。

23-14 电子的动能为 $ 100 \, eV \pm 0.001 \, eV $，求其位置的不确定程度 $ \Delta x $。

23-15 电子在原子大小的范围(数量级为 $ 10^{-10} $ m) 内运动，求电子所能具有的最小能量。

23-16 已知一维粒子的波函数为

$$ \psi(x,t)=A\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}a^{2}x^{2}-\frac{1}{2}\omega t} $$

a, $ \omega $ 为已知常量，A 为任意常数，求：

（1）归一化的波函数；

（2）粒子的概率分布；

（3）粒子在何处出现的概率最大？

23-17 若有一质量 $ m = 0.001 \, \text{kg} $ 的粒子以速度 $ v = 10^{-2} \, \text{m} \cdot \text{s}^{-1} $ 在宽度 $ a = 10^{-2} \, \text{m} $ 的一维无限深势阱中运动，求其量子数 n.

26–18 若在一维无限深势阱中运动的粒子的量子数为 n，试求：

(1) 距势阱左壁 $ \frac{1}{4} $ 宽度处发现离子的概率是多少？

(2) n 取何值在此处找到离子的概率最大?

(3) 当 $ n \to \infty $ 时，这个概率的极限是多少？这个结果说明了什么问题？

23-19 粒子在一维势阱

$$ U(x)=\{\begin{aligned}&\infty&,x<0\\ &-U_{0},0a\end{aligned}. $$

中运动，求粒子的能量.

23-20 证明

$$ \psi(x)=\sqrt{\frac{2}{3\sqrt{\pi}}}\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}a^{2}x^{2}}(2a^{2}x^{2}-3ax) $$

是势能为 $ \frac{1}{2}\mu\omega^{2}x^{2} $的线性谐振子的定态波函数(其中 $ a=\sqrt{\frac{\mu\omega}{\hbar}} $).

23-21 证明：氢原子 2p 和 3d 态径向概率密度的最大值分别位于距核 $ 4a_{B} $ 和 $ 9a_{B} $ 处。（2p 和 3d 态波函数径向部分分别为 $ R_{2p}(r)=\left(\frac{1}{2a_{B}}\right)^{\frac{3}{2}}\frac{r}{a_{B}\sqrt{3}}\mathrm{e}^{-\frac{r}{2a_{B}}} $ 和 $ R_{3d}(r)=\left(\frac{2}{a_{B}}\right)^{\frac{3}{2}}\frac{1}{81\sqrt{15}}\left(\frac{r}{a_{B}}\right)^{2}\mathrm{e}^{-\frac{r}{3a_{B}}} $，式中 $ a_{B} $ 是玻尔半径).

23-22 根据量子力学角动量量子化条件，试描绘原子中 l=3 时，电子角动量 L 在磁场中空间量子化的示意图，并写出 L 在磁场方向上的分量的各种可能值。

激光(laser)是20世纪60年代以后发展起来的一门高新科学技术。它是现代物理学的一项重大成果，是20世纪量子理论、无线电电子学、微波波谱学及固体物理学等的综合产物，也是科学与技术、理论与实践相结合而产生的辉煌成就。

激光和普通光相比，它的亮度高、方向性和单色性很好，其亮度比射到地球上太阳光的亮度高出上百亿倍。激光使光波通信成为现实，以激光为传递信息的载体，一根比头发丝还细的光纤，可以同时传输几万路电话或几万路电视。激光开发了信息存储技术，用激光写入和读出信息的光盘，存储信息密度可达 $ 10^{8} $ bit · cm $ ^{-2} $。此外，激光技术在机械加工、生物学、化学、医学、军事、农业、商业等方面的应用已经越来越多。由于激光的出现，使古老的光学获得了新的生命力，促进了傅里叶光学、全息光学、激光光谱学、非线性光学和光化学等新兴学科的发展。

在英语中激光叫“laser”，它是“light amplification by stimulated emission of radiation”的缩写，即“光的受激辐射放大”的意思。早在1916年，爱因斯坦在论述普朗克黑体辐射公式的推导中首先提出了受激辐射（stimulated radiation）的概念，为激光奠定了理论基础。这篇论文题为《辐射的量子理论》，发表在德文版《物理学年鉴》上，爱因斯坦在玻尔能级理论的基础上进一步发展了光量子理论，他不但论述了辐射的两种形式——自发辐射（spontaneous radiation）和受激辐射，而且也讨论了光子与分子之间的两种相互作用——能量交换和动量交换，为后来发现的康普顿效应奠定了理论基础。

本章将介绍自发辐射、受激辐射和受激吸收（stimulated absorption）的概念，激光产生的条件，常见激光器及其主要性能，激光的特性及其应用。

24.1 原子的自发辐射、受激辐射和受激吸收

原子内光子的运动所具有的能量，表现为原子的不同能级。原子从高能级向低能级跃迁，使原子的能量减少，所减少的能量以光子的形式释放出来，这就是原子的发光，这种发光过程有自发辐射和受激辐射两种可能的形式。

1. 自发辐射

当原子吸收外界能量而被激发到高能级时，处于激发态的原子是不稳定的，在没有任何外界作用下，激发态原子会自发辐射光子回到基态，这一过程称为自发辐射，如图24-1所示，处于 $ E_{2} $能级的原子，自动地从 $ E_{2} $能级返回基态 $ E_{1} $，而辐射光子的频率为

$$ \nu=\frac{E_{2}-E_{1}}{h} $$

自发辐射是个随机过程，各个原子的辐射是自发地、独立地进行的，因而各个光子的相、偏振状态、传播方向之间没有确定的关系。对大量原子来说，它们所处

的激发态不尽相同，因而辐射光子的频率也不相同，所以，自发辐射的光是不相干，普通光源如白炽灯、日光灯等的发光就属于自发辐射。

2. 受激辐射

处于激发态 $ E_{2} $ 的原子，在辐射前受到能量为 $ h\nu=E_{2}-E_{1} $ 的外来光子的刺激作用，可以从高能态 $ E_{2} $ 跃迁到低能态 $ E_{1} $，同时辐射一个与外来光子的频率、相位、偏振状态以及传播方向都相同的光子，这一过程称为受激辐射，它可以形象化地用图24-2表示。

受激辐射是激发态原子在外来光子的同步作用下的辐射过程，所辐射的光子和外来光子的状态相同，一个光子射入原子系统后，由于受激辐射变为两个全同光子，两个又可变为四个……如果条件合适，光就可以像雪崩一样得到放大和加强。受激辐射光放大，是激光产生的基本机制，特别值得注意的是这样放大的光是一般自然条件下得不到的“相干光”。

3. 受激吸收

能量为 $ h\nu=E_{2}-E_{1} $ 的光子射入原子系统时，原子将吸收此光子从低能态 $ E_{1} $ 跃

迁到高能态 $ E_{2} $，这一过程称为受激吸收，或称光激发，也简称为吸收，如图24-3所示。

光和原子相互作用时，必然同时存在着受激吸收、自发辐射和受激辐射三种过程，达到平衡时，单位体积单位时间内通过吸收从基态跃迁到激发态的原子数，应等于从激发态通过自发辐射和受激辐射跃迁回基态的原子数。

24.2 激光产生的条件

产生激光需要三个条件：一要具有适当能级结构，能产生受激辐射光放大的工作物质，一般称为激活介质；二要有使激活物质发出激光的能源，称为激励能源；三要有一个维持光振荡的谐振腔，称为光学谐振腔。下面我们通过粒子数反转（population inversion）和光学谐振腔（optical cavity）的介绍，来说明产生激光的条件。

1. 粒子数反转

激光是通过受激辐射实现了光的放大。但是，光和原子系统相互作用时，总是

同时存在吸收、自发辐射和受激辐射三种过程，而且自然条件下的辐射都是以自发辐射为主。要产生激光，受激辐射必须占主导地位。若工作物质中处于基态能级 $ E_{1} $ 的原子数为 $ N_{1} $，处于激发态能级 $ E_{2} $ 的原子数为 $ N_{2} $，如果 $ N_{1} > N_{2} $，入射光子被吸收的几率比较大，总的效果是入射光强度逐渐减弱；如果 $ N_{2} > N_{1} $，受激辐射就有可能占优势而实现光放大。根据玻耳兹曼能量分布定律，热平衡时，处于能量状态 $ E_{2} $ 和 $ E_{1} $ 的原子数 $ N_{2} $ 和 $ N_{1} $，分别与 $ e^{-\frac{E_{2}}{kT}} $ 和 $ e^{-\frac{E_{1}}{kT}} $ 成正比，于是， $ N_{2} $ 与 $ N_{1} $ 之比为

$$ \frac{N_{2}}{N_{1}}=\mathrm{e}^{-\frac{E_{2}-E_{1}}{kT}} $$

上式表明，在热平衡条件下，处于高能级 $ E_{2} $ 的原子数 $ N_{2} $ 总是小于低能级 $ E_{1} $ 上的原子数 $ N_{1} $，所以光的吸收占主导地位。这是当年爱因斯坦提出了受激辐射的概念而未想到利用受激辐射实现光的放大的原因。事实上，在爱因斯坦提出受激辐射理论的许多年内，这个理论并未有太多的运用，仅仅局限于理论上讨论光的散射、折射、色散和吸收等过程，直到1933年，在研究反常色散问题时，才触及到光的放大。

要使受激辐射胜过吸收，必须使高能态原子数 $ N_{2} $大于低能态原子数 $ N_{1} $，这种分布不是平衡态粒子分布，称为粒子数反转分布，简称粒子数反转。

原子的激发态能级实际也有一定的宽度 $ \Delta E $，而原子在激发态上停留的时间也是有限的，工作物质中原子在激发态上停留的平均时间 $ \Delta t $，称为原子在激发态上的平均寿命，简称寿命或能级寿命，根据不确定性关系 $ \Delta E\Delta t>h $，激发态能级越宽，其能级寿命就越短，一般激发态能级寿命的数量级为 $ 10^{-8} $ s，也有一些激发态能级寿命特别长，可达 $ 10^{-3} $ s 甚至 1 s。这种寿命特别长的激发态，叫做亚稳态，如图 24-4 所示，某种工作物质原子具有亚稳态能级 $ E_{2} $，当外界输入能量时，使原子从基态 $ E_{1} $ 跃迁到激发态 $ E_{3} $ 上，由于激发态 $ E_{3} $ 的寿命很短，原子很快就跃迁到态 $ E_{1} $ 或 $ E_{2} $ 态上。因为亚稳态的寿命很长，不会立即跃迁。当外界源源不断地供给激励能，上述过程就会不断地进行，结果就会使处于亚稳态 $ E_{2} $ 的原子数 $ N_{2} $ 越来越多，当 $ N_{2} $ 超过处于基态 $ E_{1} $ 的原子数 $ N_{1} $ 时，在基态 $ E_{1} $ 和激发态（亚稳态） $ E_{2} $ 之间就实现了粒子数反转，这时，如果有能量为 $ h\nu = E_{2} - E_{1} $ 的光子的刺激作用，在工作物质中就会实现受激辐射光放大。

例如，红宝石激光器的工作物质是红宝石，它是在 $ Al_{2}O_{3} $ 中掺入少量的铬离子 $ (\mathrm{Cr}^{3+}) $ 而构成的晶体，当红宝石受脉冲氙灯发出的强光照射时，大量的铬离子吸收光能量后，从基态 $ E_{1} $ 跃迁到激发态 $ E_{3} $，继而很快转移到亚稳态 $ E_{2} $，外界强光不断照射，亚稳态 $ E_{2} $ 上的粒子不断积累，从而在 $ E_{1}, E_{2} $ 之间形成了粒子数反转。

综上所述，要实现受激辐射光放大，必须实现粒子数反转。而要实现粒子数反转，需要两个条件：一是要有激活介质（active medium），即具有亚稳态能级结构的工作物质；二是要给激活介质源源不断地输入能量，这种能量的输入过程一般称为激

励、抽运或泵浦等。输入能量的方法，有用光照射激活介质的，这种方法叫做光泵抽运，这在固体激光器中常用；有用电子碰撞的，电子通过气体激活介质，在适当的气压下碰撞气体分子，使它激发到高能级上；还有共振吸收等。

2. 光学谐振腔

处于激发态的原子，可以通过自发辐射和受激辐射这两种过程回到基态。在实现了粒子数反转的激活介质内，初始光信号就来自于自发辐射，而原子的自发辐射是随机的，因而在这样的光信号激励下发生的受激辐射也是随机的，不能得到方向性和单色性很好的激光。为了使某一定方向和一定频率的光信号享有最优越的条件进行放大，而获得单色性、方向性都很好的激光，就必须将其他方向和频率的信号抑制住。光学谐振腔就是为此目的设计的一种装置。

在激活介质两端放两个反射镜，这两块反射镜可以是平面，也可以是凹面，或者一平面一凹面，两反射镜的轴线与工作物质（激活介质）的轴线平行放置，这反射镜就构成了光学谐振腔，如图24-5所示，激活介质两端的反射镜，一个为全反射镜，一个为部分反射镜。根据光的传播规律，凡是偏离轴线的光子或直接逸出腔外，或经过几次反射最终将逸出腔外而被淘汰。只有沿腔轴方向传播的光子，在腔内来回反射，激活介质就在这些轴向运动的光子的刺激作用下，产生轴向受激辐射光放大，形成稳定的激光束，从部分反射镜一端输出。可见，激光具有很好的方向性，是来源于谐振腔对光束方向的选择作用。

谐振腔除了对光束的方向有选择作用外，还能改善光的单色性，在谐振腔内来回反射的平面波将产生相干叠加，只有形成驻波的光才能获得振荡放大，产生激光。设腔长为 L，激活介质的折射率为 n，波长为 $ \lambda $，形成驻波的条件为

$$ nL=k\frac{\lambda}{2} $$

式中 k 为整数，对于波长 $ \lambda $ 不满足上式的光，在谐腔内将衰减而被淘汰，只有波长（频率）满足上式的受激辐射，才能实现振荡放大而形成激光，所以，谐振腔还有选频作用，使输出的激光的单色性更好。

为了维持谐振腔的光振荡，还必须满足阈值条件（threshold condition）。由于谐振腔内存在各种损耗，如光子被低能态原子吸收，反射镜的吸收和透射，介质内部不均匀引起的折射、散射等各种损耗。当光子在谐振腔内沿轴向振荡时，两个相反的过程，即光放大过程和损耗过程在同时进行，光放大过程使光子增值，增值的光子越多，光放大的增益就越高，只有当光子来回一次的增益大于损耗时，谐振腔才能维持光振荡。因此，外界激励的能量就不能太低，维持光振荡所需外界激励能量的最低值，称为能量阈值。只有当外界输入的能量大于能量阈值时，才能获得稳定的激光输出，这称为谐振腔的阈值条件。

24.3 常见激光器及其主要性能

从上述激光产生的过程来看，一个激光器要由下列三个主要部分组成：

1. 工作物质（激光介质，即产生激光的物质）

按所采用的工作物质不同，可分为气体激光器，固体激光器，液体激光器，半导体激光器等。

2. 激发源

它的作用是将大量低能级上的原子激发到高能级上去，以形成粒子数反转。

3. 谐振腔

它的结构有各种类型，工作物质两端的反射镜有平面、球面，也有一端是平面，另一端是球面，其结构直接影响激光束的质量。

目前已发明的激光器有几千种，常见的激光器及主要性能如表24-1所列。

24.4 激光的特性及其应用

激光器具有普通光源所没有的一系列优异特性，是一种新型光源，归纳起来，由激光器输出的激光具有如下特性：

1. 方向性好

由于谐振腔的选向作用，激光几乎是一束平行光，有的激光器发出的激光束其发散角可等于或小于 $ 10^{-3} \sim 10^{-5} $ rad。

2. 单色性极好

即颜色极纯。以 He-Ne 激光器为例，它输出的激光的波长为 632.8 nm，相应的频率为 $ 4.74 \times 10^{14} $ Hz 时，其频带宽度可压窄到 $ 7.51 \times 10^{3} $ Hz，相对频宽为 $ 10^{-11} $ 量级，这是普通光源无法比拟的。

3. 相干性好

由于激光是受激辐射产生的，它是相干光束，与普通光源相比，它有很高的空间相干性和时间相干性，从而使它成为全息照相的理想光源。

4. 极高的功率

由于激光的方向极好，可以使激光的能量高度集中获得极强的输出功率，激光器连续输出功率可达 $ 10^{4} \sim 10^{5} $ W 量级，脉冲输出功率可达 $ 10^{13} \sim 10^{14} $ W 量级。脉冲激光器可以使激光的能量在空间上、时间上高度集中，从而产生强大的威力。如激

光束集中在百分之几毫米或千分之几毫米的范围内，可以产生几百万摄氏度高温，几百万个大气压，每厘米几千万伏的强电场，在千分之几秒内可以熔化或汽化各种材料。

由于激光的上述优异特性，使得它的应用非常广泛。大至核聚变反应中的触发作用，小至实验室内的检测工作，都有激光的用武之地。下面对激光的应用做一些简要的介绍。

1. 激光加工

激光细小光束，带着巨大能量，可用透镜聚集，照在物体的微小面积上，产生巨大的热量，使这小部分物体熔化或汽化。这一特性，可应用于细小的打孔、切割等工作。例如激光快速打孔机比机械打孔效率高几十倍，我国钟表钻石轴承已全部采用激光打孔；激光可以焊接许多难以焊接的金属材料和微型零件；激光不仅可以切割金属板料，还可以切割其他非金属材料，如尼龙、塑料、陶瓷等；激光可以对工作表面进行局部热处理，大大提高使用寿命等。

2. 激光农业

生物吸收激光能量后，将引起生物体产生光生物效应、生物光压效应、生物光化学效应、生物电磁效应和生物刺激效应。在播种前，用激光照射过的种子，发芽时间短，秧苗粗壮、均匀且生长快，抗病害能力强、成熟早、稻穗粒数增多。用激光照射果树，可以提高产量、改善品质。

3. 激光医学

激光可以用作医学美容及治疗视网膜脱落、心肌梗塞等许多疾病，在破坏肿瘤方面也取得了一定的进展。

由于激光的能量密度高，当将激光照射到生物体组织上时，生物组织将吸收激光的能量，在极短的时间（几毫秒）内使被照部分局部温度升高（200~1 000 ℃），这种高温会破坏细胞的新陈代谢，破坏蛋白质，甚至使生物组织碳化汽化；当光束以一定速度移动时，能把组织切开，起手术刀的作用。激光刀在切开组织的同时，其能量还把组织中的血管烧结封闭起来，起到止血的作用。所以，用激光刀动手术时出血量较少。同时，由于激光刀与手术部位是非接触的，因而可以避免细菌的感染。

4. 激光武器

由于大功率激光器具有强大破坏力，可以作为武器摧毁对方的飞机、导弹、卫星等。激光制导炸弹是用激光寻找、追击目标的炸弹。

激光武器具有以下优点：

（1）速度快、射束直、精确度高。因为光在空气中以近似等于 $ 3 \times 10^{8} $ m/s 的速度传播，所以射击时不需要提前量。同时，由于光沿直线传播，故瞄准精度高，对高速运动的目标，这个优点尤为突出。

（2）无惯性。光束质量按光子的静质量为零，所以射击时无后座力，便于迅速变换射击方向而不影响射击精度。可以同时或连续攻击多个目标，而不影响高速载体（如飞机、舰艇等）的运动。

（3）由于激光能量集中，摧坚强力强。

（4）不存在使用常规武器造成的硝烟、尘埃等环境污染。

（5）抗电磁干扰能力强。

5. 激光光谱

在光谱分析中，将激光照在样品某点上，使这微小区域的物质气化，配合适当火花电极，使电极间的火花的光进入摄谱仪，能发现一般火花所不易激发的谱线。并且所获光谱，仅反应这微小区域的化学成分（称微区光谱分析）。而一般火花电极所得的光谱分析结果，表示比较大区域的平均值。用这种办法，可检查物质的不均匀性。

6. 精密测量

利用激光的高单色性特点，可以进行精密测量。如激光干涉仪与普通干涉仪相比，不但测量速度快而且精度高。各种激光准直仪、导向仪、水准仪已广泛应用于采矿、造船、建筑、机械安装等行业。激光测距仪在炮兵、坦克、飞机上等也得到广泛的使用，用它测定地球到月球的距离，精度可达1.5 m。激光雷达不但可以定出目标的方位，还可以测出目标的速度和加速度。此外，还可以用激光测量薄膜的厚度、细丝的直径、表面光洁度、硬度，检测材料的成分、纯度以及内部缺陷等。由于激光测量是非接触测量，不破坏待测物体，可用于生产线上的快速测量，以即时进行生产过程的调整、控制。

7. 激光核聚变

利用激光能量在空间，时间上可以高度集中的特点，将大功率激光照射在聚变物质上，可使它短时间内受到巨大的压缩并产生高温实现核聚变反应。例如将激光射到氘与氚混合体，激光将带给它们巨大能量，产生高压与高温，促使二种原子核聚合变为氦与中子，并同时放出巨大辐射能量。激光核聚变所产生的能量可以作为电力的能源。

8. 光纤通信

有线光通信即为光纤通信，其原理与有线电通信相似。光缆中有许多条光纤，光信号在光纤内传送，不仅可以减小信号在传递过程中的损耗，而且也大大提高了传递信息的容量。

光波是高频电磁波，用光波作为载波是提高传递信息容量最经济有效的方法。然而，普通光源发出的光波因为单色性差不能作为载波。如果用这种光波作为广播用的载波，将等效于有多套广播频率的节目同时到达您的收音机，因此，不可能听清任何节目。如果用这种光波作为电视用的载波，您收到的将是许多不同频率的电视图像的叠合，结果在电视屏幕上看到的图像是可想而知的。激光器发射的光束单色性非常好，因此，光纤通信只有在激光问世后才得以实现。

此外，激光在同位素分离、激光全息、等离子体测试、激光照排印刷、激光光阀大屏幕显示等方面也有着重要的应用。