第26章 广义相对论、天体物理与宇宙学简介

也阻止 p 型中的空穴进入 n 区，所以又称为阻挡层。由于阻挡层的存在，外电压加到 pn 结两端时，阻挡层的电势差将发生改变。当正极接到 p 区一侧，负极接到 n 区一侧，即正向连接时，外电场方向与阻挡层的电场方向相反，使 pn 结中电场减弱，势垒减低。于是，n 区中的电子和 p 区中的空穴通过阻挡层，不断向对方扩散，形成正向电流。这时 pn 结导通，外加电压增大，电流增大。

反之，当负极接到 p 区一侧，正极接到 n 区一侧，使阻挡层的势垒增高，n 区中的电子和 p 区中的空穴更难于通过阻挡层。这时，只有来自 p 区的少数电子和来自 n 区的少数空穴通过阻挡层，形成微弱的反向电流，由于反向电流很弱，通常说 pn 结具有单向导电的作用。

由于 pn 结的单向导电性，当加上交流电压时，只有一个方向的电流可以通过 pn 结，这即为 pn 结的整流作用。因此，可以做成晶体二极管，在电子电路中用于整流和检波。把各类型的半导体适当组合，可以做成各种晶体管。例如，在半导体的两个 p 区之间夹入一个窄的 n 区，或者，在半导体的两个 n 区之间夹入一个窄的 p 区，就可以制成 pnp 或 npn 的半导体三极管，用于放大电信号。随着超精细小型化技术的发展，可以制成各种规模的集成电路，广泛应用于自动控制、电子计算机、通讯、雷达、宇航、电视等技术领域。

习题

25-1 食盐属于绝缘体，是因为()。

A. 满带与空带间的禁带很窄

B. 满带与空带间的禁带很宽

C. 导带未被电子填满

D. 满带与空带重叠

25-2 pn 结是 p 型半导体和 n 型半导体交界处，由于扩散而形成的 ___；它具有 ___ 的作用；pn 结中的电场方向是 ___。

25–3 试述本征半导体和杂质半导体的导电机制。

*第26章

广义相对论 天体

物理与宇宙学简介

由爱因斯坦创立的广义相对论 $ \uwave{\text{彻底改变了人类关于宇宙起源和演化的}} $看法，说得更准确一点，是广义相对论的出现，才使得人类第一次有了科学研究宇宙的工具。广义相对论与量子力学的结合，使得人类的研究触觉无论是从时间上还是从空间上都空前地扩展了，它使得我们不仅认识了很多从未知道的天体，也使我们对以前只有通过想象来感知的宇宙有了相当科学的认识。在本章，我们将简要介绍广义相对论（general relativity）的基本知识，并在此基础上简介天体物理（astrophysics）和宇宙学（cosmology）。

26.1 广义相对论基础

虽然狭义相对论可以解决电磁学的困惑，但在解决引力理论时却遇到了根本的困难。牛顿引力理论要求物质分布改变时，其周围任何远的引力场都要随之而改变，即要求引力场的传播速度趋近于无穷大，这直接和光速为速度上限相矛盾。虽然爱因斯坦早在1907年就意识到这个问题，但直到1911年才开始认真思考这个问题。1913年在他的论文中提出了物质和能量将以某种方式使时空弯曲，引力仅仅是时空弯曲的一个外在表现；1915年11月给出了质量、能量和时空弯曲的联系方程——爱因斯坦场方程。爱因斯坦提出的这种新的引力理论被称为广义相对论。1919年英国前往西非的探险队在日食时观测到了光线通过太阳时被偏折的现象，获得了广义相对论的第一个实验验证。

26.1.1 广义相对论的基本原理与时空弯曲

爱因斯坦建立广义相对论的一个重要实验依据是物体的惯性质量等于引力质量，即 $ m_{惯}=m_{引} $。设参考系固定在一匀强引力场中自由降落的宇宙飞船上，在飞船上的观测者看来，飞船上的所有物体都好像没有受到引力场一样，也就是说，在飞船上的观测者所做的任何实验都跟在一个惯性参考系中所做的实验结果是一样的，人们无法用物理实验来区分固定在自由降落物体上的参考系和没有引力场、没有加速度的惯性参考系。在均匀引力场中自由降落的参考系内，引力的影响消失了，因此，我们说这样的参考系和一个没有引力场、没有加速度的惯性系是等效的。当然，实际的引力场并不是均匀的，空间中不同位置的引力场一般是不同的，因此，引力场只能在很小的范围内可以近似认为是均匀的，一般把在小范围内自由下落的参考系叫做局域惯性系。

由此可给出广义相对论的基本原理——等效原理（principle of equivalence）：在一个局域惯性系中，重力的效应消失了，在该参考系中，所有的物理定律和在一个远离任何引力场的真正惯性系中是一样的；反之，在太空中一个加速的参考系将会出现一个表观的引力，即在该参考系中，所有的物理定律与在引力场内静止的参考系中的物理定律是一样的。简言之，就是引力和加速度等效。在上述等效原理中，已经包含了狭义相对性原理向广义相对论的推广，即广义协变性原理，或广义相对

性原理：所有参考系中物理定律都具有相同的形式。

广义相对论的本质是引力理论。牛顿理论中，时间和空间是事件发生的背景，各自在两个方向上可以无限延伸。时间已经存在和将要存在无限久远。爱因斯坦理论中，时间和空间互相纠缠。宇宙中物质和能量使时空弯曲和畸变。事件是在时空中发生和存在的。广义相对论把时间和空间变成了事件的动力学因素，把时间和空间从事件发生的被动背景变成了动力学的主动参与者。

那么空间是如何弯曲的呢？它又是如何决定物体的运动呢？爱因斯坦认为，时间和空间的性质会由于物质的存在而发生改变，时空不再是平直的，而是一个弯曲时空（curved spacetime），这种弯曲的时空将用黎曼几何来描述。反过来，这种弯曲的时空又影响其他物质的运动，物质之间的引力作用将通过弯曲的时空来体现。描述上述关系的定量方程就是著名的爱因斯坦场方程（Einstein field equation）

$$ R_{\mu}^{\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu}^{\nu}R=-8\pi T_{\mu}^{\nu} $$

其中， $ R_{\mu}^{v} $ 和 R 分别为二阶黎曼曲率张量和黎曼曲率标量， $ g_{\mu}^{v} $ 为度规张量， $ T_{\mu}^{v} $ 为物质的能量动量张量。方程的左边描述时空的弯曲性质；右边为使时空弯曲的引力场源。在这里，我们只给出爱因斯坦场方程的形式，而不打算做更深入的阐述。爱因斯坦场方程被认为是20世纪最伟大、最美妙的描述自然的科学方程。

26.1.2 广义相对论的实验验证

下面是广义相对论预言的几个可观测效应的实验验证。

1. 光线经过太阳附近的偏转

根据广义相对论得出的一个结论是光线在引力场中会发生偏折，例如地面观测者观测一发光星体，当星体射向地面的光线掠过太阳附近时，太阳的引力作用将使光线发生偏折，从而使星体的视在位置偏离它的实际位置（图26-1）。在实际观测中，由于星光比太阳光弱很多，因此，要观测这种星体的位置偏离，只有在日全食时进行。天文学家首次对这种现象的观测是在1919年进行的，他们测量出光线的偏转角为1.5%~2.0”，广义相对论的预言值是1.75”。更为可靠的测量是近年来射电天文学家对脉冲星或射电源的测量，测量的结果与广义相对论的预言值符合得相当好。

类似于光通过透镜发生偏转后成像一样，光线在引力场中弯曲的一个必然推论就是引力透镜成像。早在1920年英国科学家爱丁顿（Arthur Stanley Eddington，1882—1944）就提出引力场会聚成像可以作为对广义相对论的一个检验；1936年爱因斯坦提出，引力透镜是散焦的，一般会成双像。但后来一直没有观测结果的支持，引力透镜的思想长期受到冷落。直到1979年瓦尔什（Walsh）等人发现“一对孪生的类星体”，它们之间的角距离只有5.7”，发射光谱和吸收光谱在很宽的波段内都一样，红移量也基本相同，后来天体物理学家证认这对“孪生的类星体”是一个类星体由于引力透镜所成的双像。此后又陆续发现一些其他引力透镜成像的例子。

2. 雷达回波延迟

根据广义相对论可以推知，在遥远的惯性系中观测某一引力场中发生的事件，所测得引力场中的时钟比当地的固有时慢，空间距离比当地的固有长度短，综合这两个效应的一个必然推论就是，对于遥远观测者而言，引力场中的光速变慢。人们通常把上述效应简称为时缓尺缩、光速变慢效应。根据这些推论给出的一个可观测效应就是雷达回波延迟。1971年夏皮罗(I. Shapiro)等人通过向金星发射雷达波并接收其反射波来测量雷达回波延迟效应——当太阳、地球和金星排在一条直线上时，雷达波在往返的路上都要经过太阳附近，此时雷达波往返所用的时间会比雷达波不经过太阳附近时要长一些。观测到的数值跟理论值符合得很好。以后又陆续有其他实验验证雷达回波延迟效应，并得到了更精确的测量结果。

3. 引力红移

在相对静止的惯性系来观测，某种物质的谱线是确定的。根据广义相对论，对于遥远的观测者，当他观测某一星体表面发出固有周期为 $ T_{0} $的光时，会发现观测到的周期T比固有周期 $ T_{0} $长，且二者满足关系

$$ T=\frac{T_{0}}{\sqrt{1-\frac{2Gm}{c^{2}R}}} $$

其中，G为引力常量，m为星体的质量，R为星体的半径。由 $ \nu=\frac{1}{T} $容易给出观测频率 $ \nu $和固有频率 $ \nu_{0} $之间的关系为

$$ \nu=\sqrt{1-\frac{2Gm}{c^{2}R}}\nu_{0} $$

一般将波长的改变量 $ \lambda - \lambda_{0} $ 与固有波长 $ \lambda_{0} $ 之比定义为引力红移（gravitational redshift）（严格来讲应该叫表面引力红移），即

$$ z_{G}=\frac{\lambda-\lambda_{0}}{\lambda_{0}}=\frac{\nu_{0}-\nu}{\nu}=\left(1-\frac{2Gm}{c^{2}R}\right)^{-\frac{1}{2}}-1 $$

（需要特别指出的是：表面引力红移与多普勒频移 $ z_{\mathrm{D}} = (v - v_{0}) / v_{0} $ 的产生根源有着本质的不同）。对于太阳， $ m_{\odot} = 1.99 \times 10^{30} \, \mathrm{kg} $， $ R_{\odot} = 6.96 \times 10^{5} \, \mathrm{km} $，容易算出其引力红

移为 $ z_{G}=2.12\times10^{-6} $，显然太阳的引力红移效应非常微弱。但对于致密星体，例如中子星，由于其质量跟太阳质量差不多大，但其半径却远远小于太阳半径，因此会产生较强的引力红移。例如一个质量为 $ 1.4m_{\odot} $，半径为 12 km 的中子星，其引力红移为 $ z_{G}=0.11 $。

对中子星等致密星体引力红移的测量虽然已有一些初步结果，但由于这些星体离我们太远，考虑到星际物质和多普勒频移的影响，目前很难有比较准确的测量结果。但是在20世纪六七十年代对太阳的引力红移（例如对钠谱线和钾谱线）的测量结果与理论值都符合得很好。

4. 水星近日点的进动

水星是离太阳最近的一颗行星，如果不考虑其他行星的影响，根据牛顿引力理论可以算出，在太阳引力场的作用下，水星沿一椭圆轨道运动，其近日点与远日点的连线在空间的方向是确定不变的。但是，天文观测表明，这个连线的方向是变化的，也就是说，水星的近日点有进动。天体物理学家考虑了其他行星的影响，根据牛顿理论算出水星近日点的进动为每100年557.62"，但实际观测却是5600.73"，比理论值多了43.11"，这个问题长期困扰着天文学家，一直得不到合理的解释。爱因斯坦创立广义相对论后，根据广义相对论来计算水星近日点的进动，发现广义相对论对牛顿理论修正值是增加了43.03"，与观测值符合得很好。广义相对论对水星近日点进动的解释是广义相对论初期的重大实验验证之一。

26.2 致密天体

我们知道，气体具有自引力不稳定性，如果大片的均匀气体中有微小密度起伏，在密度稍偏大的区域，会因为引力而使这片区域的密度变得更大，这种正反馈将使得这片区域的密度越来越大，最后形成一个密度比原来高出很多倍的团块，团块内的物质将在自身的引力作用下向质心坍缩，最后形成一个密度、压强和温度由内向外逐渐降低的力学平衡态，这就是原恒星。由于原恒星存在温度梯度，不是热平衡态，热量将从中心向外流出，中心压强将随之降低，因此在热能的重新分布过程中，将再次发生引力收缩。这种收缩将使星体内部温度逐渐升高，达到核反应的点火温度后，将在星体内逐渐形成较为稳定的热核反应。热核反应下的星体会维持一个很长时间的热平衡和力学平衡，这种平衡态下的星体就是恒星。恒星能发射可见光及其他波段的辐射，除太阳外，它们离我们都很遥远，所以看上去都呈光点状。事实上，恒星并不“恒”，它们在不断运动变化着，都有其各自的演化史，正常恒星演化都很慢，因此亮度变化小。当恒星的核燃料耗尽后，由于与强大引力抗衡的辐射压消失，星体将发生引力坍缩。不同质量的老年恒星坍缩后的命运也不同，很大质量的恒星将坍缩成黑洞，稍小质量的恒星坍缩成中子星，更小质量的恒星则坍缩成白矮星。下面我们具体来看恒星三种不同的演化结局。

视频 恒星的

平衡机制

26.2.1 白矮星

白矮星(white dwarf)是高密度、小体积、低光度、表面高温的白色星。1915年观测确定的天狼B就是白矮星，比中子星的观测发现整整提前了半个世纪。一颗典型的白矮星，例如天狼B，其特征性质为：质量 $ 1.034m_{\odot} $，半径 $ 0.0084R_{\odot} $，有效温度 $ 24790K $，平均密度达 $ 2.5\times10^{9}kg\cdot m^{-3} $，比水的密度大6个数量级。如果把地球压缩成一颗“白矮星”，其半径还不到1km。

白矮星内部没有热核反应，通过内部储存的热能传导到表面发光，它们的光度很低，因此仅有很近的白矮星才容易被观测到，估计银河系中至少10%的恒星是白矮星。白矮星的中心区密度为 $ 10^8 \sim 10^{12} \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^{-3} $，体积小、密度大的白矮星内部引力场非常强，以至物质的原子结构都被摧毁，原子空间大大压缩，电子与原子核紧贴在一起，根据量子力学的观点，此时物质的电子呈简并状态，所有量子态能级都被电子填满，根据泡利不相容原理，物质不能被进一步压缩，也就是说简并电子压力顶住了强大的引力达到平衡，使星体不至进一步坍缩。

根据简并电子态物质的物态方程可以给出白矮星的质量-半径关系。跟质量越大半径越大的主序星不同，对于白矮星，质量越大，半径越小。如果白矮星质量增加，半径将减小，电子被挤压到更小的空间区域内，如果该空间再变小，则会摧毁电子简并态，变成其他更基本的物态。因此白矮星的质量存在一个上限，1935年钱德拉塞卡（Chandrasekhar）给出的上限为 $ 1.44m_{\odot} $，即“钱德拉塞卡极限”。

一颗恒星演化到白矮星，可以说已走到生命的尽头，白矮星失去了能量来源，热辐射使它逐渐冷却，约几十亿年后，将变成一个完全暗冷的天体，最终消失于茫茫的宇宙荒野之中。

26.2.2 中子星

20世纪上半叶，广义相对论在天体物理中的应用和基本粒子理论、场论与天体物理的结合，推动了天体物理学的迅速发展。20世纪30年代初发现中子后不久就有人提出由中子组成致密星体的设想。30年代末，根据广义相对论建立了第一个中子星理论模型。但在观测上找到中子星却是30年以后的事情。1967年英国人发现了一个奇怪的射电源，该射电源在银河系内，稳定地脉冲发射81.5 MHz的电磁辐射，脉冲周期为1.337 s，周期稳定度达 $ 10^{-8} $s，可与原子钟精度相比。通过理论分析后发现这种脉冲星就是早就预言了的中子星（neutron star）。因此在观测上一般把中子星称为脉冲星（pulsar）。

现在所说的中子星，通常是指那些质量在 $ 1\sim3m_{\odot} $、半径在10 km左右、脉冲周期分布在 $ 1.6\,ms\sim8\,s $之间以及中心密度数倍于饱和核密度的致密星体。质量大而体积小的中子星会产生很强的引力场，因此在研究中子星结构时采用的动力学不能再是牛顿的引力理论，而必须使用广义相对论。根据中子星的超强引力场我们还知道，在中子星内部达到引力平衡时必然存在一个超高压环境，在这种环境中的致密物质只能是以较基本的粒子态而存在，因此中子星是一个天然的基本粒子实

验室，研究中子星的一个重要目标就是研究致密物质的物态，即研究超高密度下的物质组成及其相互作用机制等规律。现在我们已经知道，中子星物质并不是像当初认为的那样，单纯只由中子组成，其内部具有复杂的物质组成。不同质量的中子星其内核的密度是不同的，当然其物态也可能是不同的。现在流行的观点认为中子星中可能存在的物态有中子化物质（n, p, e, μ）、奇异粒子（Σ, Λ, Ξ, Δ 等）、玻色凝聚态（π⁻, K⁻ 等）和夸克解禁态（u, d, s）等。

现在我们对中子星的了解大多是通过其脉冲辐射获得的。中子星的脉冲辐射机制一般用“倾斜自转磁中子星模型”来解释：中子星具有很强的磁场，磁轴与自转轴之间有一定夹角，沿磁轴发射的辐射束随中子星的自转类似于灯塔的光束扫射，辐射束扫过地球时，就观测到一次脉冲。显然，脉冲周期应等于脉冲星的自转周期。可以想象，有很多脉冲星的辐射束由于方位的关系，永远不能到达地球。对于射电脉冲星，一般认为其射电辐射束源自于高速旋转星体中连续不断的正负电子对的产生。当星体的转速低于一定值时这种粒子对的产生将停止，射电辐射也将随之停止，所以不是所有的脉冲星都能观测到射电辐射。

中子星的演化是研究中子星的一个重要课题。中子星的诞生是中子星演化的开始。一般认为中子星是诞生于大质量恒星（大于 $ 8m_{\odot} $）在燃料耗尽后的引力坍缩（超新星爆发），还有一种可能就是双星系统中的白矮星吸积伴星使质量增加，超过钱德拉塞卡极限后坍缩成中子星。尽管现在可观测的宇宙范围内中子星的诞生事件很少，但我们还是有机会观测到很多中子星的诞生，因为有的中子星尽管已经诞生了一百万年，但如果它离我们的距离有一百万光年那么远，则它诞生时的信号到现在才传到我们地球上来，只不过距离越远，观测越困难。有的中子星的演化已经经历了数亿年甚至更长的时间，我们不可能通过跟踪某一颗或几颗星体来研究其演化过程，在宇宙中分布有众多的中子星，这些中子星的集合就是一部中子星的演化史。这就像认识人的一生，只需看看我们周围各种不同年龄的人就知道人一生要经历那些阶段，每一阶段会有什么特征。

在观测上，通常把周期在0.02~8 s的中子星称为典型中子星（canonical pulsar），占观测到的中子星的绝大部分；把周期更短的中子星称为毫秒脉冲星（millisecond pulsar），一般认为毫秒脉冲星经历了更长时间的演化——新生的中子星（一般是典型中子星）在其漫长的演化过程中自转速度将由于辐射损失角动量而逐渐变慢，如果由于偶然的机会俘获了伴星，则由于吸积作用会使得转动加速，从而变成毫秒脉冲星。现在已经积累了丰富的脉冲星观测资料。

26.2.3 黑洞

当一颗恒星的燃料耗尽后，将没有辐射压来抵消强大的指向恒星中心的引力，星体将产生引力坍塌。如果恒星的质量不够大，星体坍塌到一定时候，电子的简并压力将与引力达到平衡，星体形成一种稳定的结构，这就是白矮星；如果恒星的质量再大一些，将由中子的简并压来抵消引力，这就是中子星；但是当恒星的质量再进一步增加的时候，将没有任何已知的力量可以和强大的引力场相抗衡，这时所有

☑ 视频 黑洞

的物质都向星体中心自由降落，最后所有的物质都聚集到星体中心的几何点上，星体坍缩成了一个体积无限小，密度无限大的奇态，这就是我们通常所说的“黑洞”（black hole）。黑洞周围具有非常强的引力场，任何物质包括光子，一旦进入黑洞，就再也逃不出来了，也正因为光子都被吸引进去了，所以在外面是无法直接看到黑洞的，这也是它被称为黑洞的原因。一般认为，恒星质量如果大于 $ 20m_{\odot} $，当其核燃料耗尽后将坍缩成黑洞。

我们知道,对于一个半径为 R,质量为 m 的均匀球对称星体,牛顿定律给出的逃逸速度为

$$ \nu=\sqrt{\frac{2Gm}{R}} $$

对于半径一定的星体，如果其质量足够大以至于逃逸速度比光速还大时，星体中的物质包括光子都不可能从星体中逃出去了。这个星体就是黑洞。当逃逸速度等于光速时，根据上式，有

$$ R=\frac{2Gm}{c^{2}} $$

巧合的是，根据广义相对论也可以得到同样的公式。上式给出的半径是质量为 m 的星体变成黑洞的最大半径，这一半径称为施瓦西 (Schwarzschild) 半径。例如地球 ( $ m = 6 \times 10^{24} $ kg)，要把它变成黑洞，需要把地球压缩成一个半径为 9 mm 的小球。相当于一个跳棋子大小。

在黑洞周围，空间的弯曲度相当大，任何物体跨进施瓦西半径后，就再也甭想出来了（根据霍金的黑洞理论，黑洞会有“蒸发”现象，可以有物质从黑洞逸出，小的黑洞可能会因为蒸发而消失）。

在观测上，现代天文学家认为有些星体就是黑洞，例如强 X 射线源天鹅座 X-1，天文学家根据观测通过分析发现它是一个双星系统，一个是普通的发光星体，质量约为 $ 30m_{\odot} $，而另一个星体很有可能就是黑洞，因为其质量约为 $ 10m_{\odot} $，而半径小于 150 km。这两个星体距离很近，绕着共同的质心运动，周期大约是 5.6 天。黑洞不断从伴星中吸出物质，这些物质先绕着黑洞旋转，在进入黑洞前被强大的引力场加速，温度急剧升高，可达 1 亿度左右，在这样的高温下粒子发生碰撞向外发射 X 射线，这就是地面上观测到的 X 射线。由此可以看出，黑洞虽然是黑的，但可以通过它的引力效应间接地被观测到。

26.3 宇宙学基础

关于宇宙，除了想知道宇宙的起点、宇宙的现状，还有很多问题存在于我们的头脑之中，例如，宇宙是否是无限的？它的存在是否是永恒的？人类有限的思维能否理解似乎是无限的宇宙？……

这些问题，自古就有人在思考。但是用科学的方法、实证的方法来研究它们的历史却不到一百年。要科学地研究我们的宇宙，引力理论是至关重要的。在广义相对论出现以前，只有牛顿的引力理论，但用牛顿引力理论来解释整个宇宙会得出自相矛盾的结论。没有一个自洽的理论基础，显然谈不上对其进行更深入的科学研究了。

爱因斯坦提出的广义相对论是更一般的引力理论，它已成为研究宇宙的主要理论武器。早在广义相对论提出后的第三年，爱因斯坦就尝试用它来研究宇宙了。

26.3.1 宇宙学的观测基础——宇宙膨胀与宇宙背景辐射

1. 宇宙正在膨胀

20世纪20年代，一系列的观测发现，几乎所有河外星系的光谱都产生红移现象，不同的星系红移不同。美国天文学家哈勃（Hubble）通过研究已观测到的多个星系发现：星系的红移量与该星系到地球的距离成正比，即

$$ z=H_{0}\frac{r}{c} $$

这就是哈勃定律。其中， $ H_{0} $ 是哈勃常量，c 是光速，r 是河外星系到地球的距离，红移量 z 定义为 $ z = \frac{\lambda - \lambda_{0}}{\lambda_{0}} $， $ \lambda_{0} $ 为光线的本征波长， $ \lambda $ 为测量波长。目前哈勃常量通常取值为 $ H_{0} = 100h\ km \cdot (s \cdot Mpc)^{-1} $，其中， $ 0.5 \leq h \leq 0.85 $，秒差距 1 pc = 3.085 677 6 $ \times $ $ 10^{16} $ m。

根据多普勒效应，当光源相对于观测者运动时，光源发出的光谱线将发生移动。当光源向着观测者运动的时候，谱线向短波方向移动，即发生紫移；当光源远离观测者运动时，谱线向长波方向移动，即发生红移。哈勃定律表明，所有的河外星系都远离我们而去，而且星系距离越远，红移量越大，也就是说星系远离我们的退行速度就越大。这实际上意味着整个宇宙都在膨胀。

2. 宇宙背景辐射

1964年，贝尔实验室的彭齐亚斯（Penzias）和威尔逊（Wilson）为了查明卫星通讯的天空噪声原因，用一架噪声极低和方向性很强的天线测量了星空的射电辐射，扣除所有已知的噪声源外，各方向总接收到强度等效于温度为3.5 K的黑体辐射的微波噪声，这种噪声没有季节和周期变化。与此同时，普林斯顿大学的迪克（Dicke）和皮布尔斯（Peebles）重新认识到背景辐射问题对宇宙学的重要性，他们也正在准备仪器来探测背景辐射。当迪克和皮布尔斯得知彭齐亚斯和威尔逊的实验结果立即就意识到这就是他们所要寻找的宇宙背景辐射。

我们先来分析背景辐射的光源是什么。我们今天观测到的宇宙并不是整个宇宙的一个等时快照，对于遥远的星系，我们现在看到的情形是星系在 $ t_{0}=r/c $ 时刻前的景象（r为星系到地球的距离），星系越远，我们观测到的是它越早的景象。由于宇宙的年龄是有限的，在这有限的时间内光传播的距离也是有限的，因此，当星系

离我们的距离超过一定程度，我们将观测不到那里的星系。这并不说明那里现在没有星系，只是那里的星系在它刚形成的时候所发出的光还没有达到地球。

我们知道，在宇宙大爆炸发生后约 $ t_{1}=3\times10^{5} $ a（年），光子开始与物质退耦，此后光子就开始以光速自由飞行。假设现在宇宙的年龄为 t，那么当年在离我们距离为 $ r=(t-t_{1})c $ 的地方退耦的光子现在才飞到地球上来，这就是我们观测到的背景辐射。等 r 面被称为最后散射面，它就是背景辐射的光源。

那么我们常说的 3 K 背景辐射中的温度 3 K 是什么意思呢？回答这个问题得先从辐射强度随频率的分布关系说起。由于光子的退耦时间很短，最后散射面很薄，理想化讨论时常常可忽略它的厚度。从最后散射面发出的光子频谱接近普朗克(Planck)谱，也就是说可以把最后散射面视为热平衡光源，假设其表面温度为 $ T_{surf} $，根据普朗克公式知道，光源发出动量为 $ p_{0} $ 的光子数密度为

$$ n(p_{0})\propto\left(\mathrm{e}^{\frac{p_{0}}{T_{\mathrm{surf}}}-1}\right)^{-1} $$

考虑到因宇宙膨胀产生的红移，从最后散射面发射的频率为 $ v_{0} $ 的光子到达地球时频率变为 $ \nu $，根据红移的定义式有

$$ 1+z=\frac{v_{0}}{v}=\frac{p_{0}}{p} $$

因此，从最后散射面到达地球后的光子动量变为 p，因此观测到的光子数随动量的分布为

$$ n_{ 观测 }(p)\propto\left(\mathrm{e}^{\frac{p}{T_{eff}}}-1\right)^{-1} $$

其中， $ T_{eff} $ 为等效温度。结合上面两式，我们容易得出

$$ T_{eff}=\frac{T_{surf}}{1+z} $$

代入观测得到的红移量和光子退耦时的温度，就可计算出背景辐射的等效温度，该温度就是我们通常所说的背景辐射温度。由 COBE 卫星测量结果给出的背景辐射温度为

$$ T_{eff}=\left(2.728\pm0.004\right)K $$

背景辐射是伽莫夫(Gamow)宇宙论中对早期宇宙的特征性预言，它的发现使大爆炸宇宙论重新焕发了生机，也证实了宇宙论的基本前提——宇宙学原理的正确性。

背景辐射对绝对静止参考系有了重新诠释。从广义相对论的观点，在随时间变化的引力场中，全局性的惯性系是不存在的，因此狭义相对论只能局域地成立。狭义相对性原理认为相对运动着的惯性参考系中的物理规律具有相同的形式，无法用物理准则来判断一个参考系是运动的或是静止的。但从宇宙学的事实我们看到，甄别动或静的物理标准是存在的，那就是宇宙背景辐射。例如在银河系中观测

宇宙背景辐射，由于银河系除了参与宇宙的膨胀外，还有自身的运动。在这种运动的星系中观测宇宙背景辐射就会有多普勒效应，因此在观测宇宙背景辐射时会存在微弱的各向异性，这种各向异性反映了星体的本动。因此从某参考系中测量是否存在宇宙背景辐射的各向异性就可判断它是否是“绝对静止坐标系”。需要指出的是，由于宇宙是膨胀的，背景辐射本身也会随时间而变化，因此依照它定义的绝对静止坐标系也只能是局域的，而且空间不同点的局域静止系之间由于宇宙膨胀也是相对运动着的，因此这种“绝对静止坐标系”与牛顿的绝对时空观有着本质的不同，绝不是牛顿时空观的复活。

26.3.2 大爆炸宇宙学

在宇宙大尺度上，我们的宇宙是均匀和各向同性的，这就是宇宙学原理。所有的现代宇宙模型都服从这个原理。

爱因斯坦在刚开始运用广义相对论研究宇宙时，遇到了很大的困难。爱因斯坦相信宇宙是静态的，也就是说从他的场方程中应该有一个不随时间改变的稳定宇宙解。为了这个信念，爱因斯坦在他的场方程中添上了宇宙常数项。宇宙常数项的意义实际上起到一种排斥的效果，用以抵消物质的相互吸引，从而防止宇宙的整体收缩。

宇宙在空间上应该是无限延伸的，现代观测证明了这一点。但宇宙肯定是随时间而变化的，因为如果宇宙是随时间不变而且存在了无限久，这就会导致恒星的无限长时间的辐射积累使宇宙被加热到与恒星相同的温度，这显然与事实不符。夜空是黑的表明我们今天观察到的宇宙状态不是存在了无限久，恒星肯定是在一个有限的过去被点燃，非常遥远恒星的光线还没有到达我们这里。宇宙膨胀也证明了宇宙是随时间演化的。所有这些都与爱因斯坦的静态宇宙模型不符。科学只相信实证，爱因斯坦的静态宇宙模型被观测结果否定了。反映宇宙静态特征的宇宙常数项也就当然地被去掉了。因此爱因斯坦认为在场方程中引入宇宙常数项是他“一生中最大的失误”：它使得爱因斯坦错失了预言宇宙演化规律的机会（注：在最新的一些理论中，为了解释暗物质、暗能量等对宇宙演化的影响，人们又在场方程中加上了宇宙常数项，当然这与静态宇宙模型中宇宙常数项有着根本的不同）。

根据哈勃定律，我们可以推断，明天的宇宙一定比今天的宇宙大，而昨天的宇宙一定比今天的宇宙小，也就说，我们的宇宙是发展变化的，并不是一个稳态的宇宙。经过有限的时间t将追溯到密度为无穷大的状态，这表明宇宙必有一个起点。这也是大爆炸宇宙模型的起点。如果把宇宙密度为无穷的时刻作为计时起点，则t就是今天宇宙的年龄，显然宇宙有一个有限的年龄。顺着时间一直倒推，宇宙在很早的早期，一定处在一个范围很小而密度又很大的状态。在理论研究上，为了与观测一致，人们从场方程中去掉了宇宙常数项。根据它再来研究宇宙时，要求宇宙必须从一个大爆炸开始。

利用哈勃定律，虽然可以从理论上去计算宇宙的年龄，但我们却无法直接测量

视频 大爆炸

视频 银河系

宇宙年龄，好在可以设法测量最古老天体的年龄，在通常情况下，可以把它们的年龄近似为宇宙的年龄。这个观测年龄与理论值是自洽的。

大爆炸宇宙学采用了宇宙学原理，认为宇宙开始于一次猛烈的大爆炸。但应指出，该爆炸与炸弹爆炸时弹片向空中飞散的情景不同，我们不能指出某一特殊点，说大爆炸就发生在那儿。大爆炸发生在空间各处，对于膨胀的宇宙，无论在什么地方和从什么方向观测，都可观测到各向同性的宇宙背景辐射。

对于膨胀着的宇宙，宇宙学的任务就是根据宇宙现在的状态和早期宇宙演化遗留下来的痕迹，来推断早期宇宙的状态和今后的演化去向。根据广义相对论发展起来的宇宙学已经深入到除宇宙创生问题以外关于宇宙的所有问题。例如宇宙早期的演化，宇宙的物质组成，宇宙的结构和宇宙的演化等，尽管很多理论还是初步的，有的理论还处在模型研究阶段，但关于宇宙演化的理论已深入人心，宇宙学已发展成为一门逻辑严谨、内容丰富、充分体现科学美和思维美的独立学科。

阅读材料

固有时、固有长度和时空的间隔距离

空间相邻两点的距离 ds 用二次型

$$ \mathrm{d}s^{2}=g_{\mu\nu}x^{\mu}x^{\nu} $$

来进行定义。ds 为与坐标无关的标量， $ g_{\mu\nu} $ 是二阶协变张量，称为度规张量。例如我们熟悉的三维欧氏空间，在笛卡儿坐标系下， $ x^{1}=x, x^{2}=y, x^{3}=z $，相邻两点的距离公式为

$$ \mathrm{d}s^{2}=\mathrm{d}x^{2}+\mathrm{d}y^{2}+\mathrm{d}z^{2} $$

度规张量为

$$ g_{\mu\nu}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} $$

另一个例子是适用于狭义相对论的四维闵可夫斯基(Minkowski)空间，取坐标 $ x^{0}=ct $, $ x^{1}=x $, $ x^{2}=y $, $ x^{3}=z $，四维时空的间隔距离为

$$ \mathrm{d}s^{2}=-ct^{2}+\mathrm{d}x^{2}+\mathrm{d}y^{2}+\mathrm{d}z^{2} $$

度规张量为

$$ g_{\mu\nu}=\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}\equiv\eta_{\mu\nu} $$

对于广义相对论下包含引力场或非惯性系的任意情形，由式(26-13)定义不变距离的空间称为黎曼空间。

无论物体的运动状态如何，其自身所经历的时间是客观的，是一个不变量。例如双胞胎兄弟，哥哥在地球上，弟弟乘接近光速的火箭旅行，哥哥自己记录的年龄是15岁，弟弟自己记录的年龄也是15岁，那么他们的生长发育应该是同等的水平。因此，每一个物体在相对于它自身静止的参考系里所经历的时间是不变量，定义为“固有时”。在四维闵柯夫斯基空间中，时空的间隔距离为 $ \mathrm{d}s^{2}=-ct^{2}+\mathrm{d}x^{2}+\mathrm{d}y^{2}+\mathrm{d}z^{2} $。如果一个物体相对于一个惯性系静止，则有 $ \mathrm{d}l^{2}=\mathrm{d}x^{2}+\mathrm{d}y^{2}+\mathrm{d}z^{2}=0 $。因此有 $ \mathrm{d}s^{2}=-ct^{2} $，即

$$ \mathrm{d}t=\frac{1}{c}\sqrt{-\mathrm{d}s^{2}} $$

因为物体相对于该惯性系静止，因此 dt 正是物体所经历的固有时。而由于 ds 在坐标变换下是不变的，因此在任何参考系下（包括非惯性系），上式都是成立的。因此在任何惯性系下，物体所经历的固有时为

$$ \tau=\int\mathrm{d}t=\int\frac{1}{c}\sqrt{-\mathrm{d}s^{2}} $$

任何实际物体经历的固有时总是实数，因此 $ ds^{2} $ 恒小于零，也就是说任何实际有质量物体所经历的四维间隔距离总是类时的[在四维时空中，将 $ ds^{2}=0 $ 的区域定义为光锥； $ ds^{2}<0 $ 的区域定义为类时区， $ ds^{2}>0 $ 的区域定义为类空区，具有质量的一个实际粒子在四维时空中运动时所有事件点的连线称为“世界线”，显然实际粒子的世界线只能位于类时区。在广义相对论中，世界线的“长度”是一个基本不变量，与所选择的参考系（包括非惯性系）无关]。

广义相对论对双生子佯谬的解释

一对刚出生的双生兄弟，哥哥留在地球上，弟弟乘坐接近光速的火箭远航，若干年后，火箭返回，两兄弟再次相遇。从地球上哥哥的立场来看，根据狭义相对论的钟慢效应，弟弟应该年轻很多；但“相对”的，从弟弟的立场来看，他看到的是火箭不动，地球以接近光速运动，应该是哥哥更年轻些。这似乎是狭义相对论的内在逻辑矛盾，因此被称为“佯谬”。

这个“佯谬”在狭义相对论范围无法彻底解决，因为火箭不是惯性系，我们需要在广义相对论下来讨论这个问题。两兄弟再次相遇时到底谁更年轻，应该根据各自所经历的固有时来进行比较。这里隐含了一个前提，那就是：人在生物学意义上的年龄增长在相对于其静止的参考系中是相同的，也就是说，哥哥在地球上自己觉得过了二十年和弟弟在火箭上自己觉得过了二十年，他们在生理上的演化是相同的。因此，哥哥或弟弟的年龄就是他们所经历的固有时，在广义相对论中这是一个不变量，与观察者所在的参考系无关。我们只要弄清楚兄弟俩再次相遇时谁的固有时短，那谁就更年轻了。