微积分（上）测试题一

微积分（上）测试题一

一、 填空题

1. $ \int_{-1}^{1}(x + \sqrt{1 - x^{2}})^{2}dx = \_\_\_ $.

1. $ f(x) = \int_0^{x^2} (2 - t) e^{-t} \, dt $ 的最大值是 ___.

1. 过原点(0,0)作曲线 $ y = e^{\frac{1}{3}x} $ 的切线，则切线方程为 ___.

1. 曲线 $ y = e^{\frac{1}{x^2}}\arctan\frac{x^2 + x + 1}{(x - 1)(x + 2)} $ 的水平渐近线 ___.

二、 选择题

1. $ f(x) = \begin{cases} \frac{3\sin(x-1)}{x-1}, & x \lt 1 \\ e^{2ax} - e^{ax} + 1, & x \geq 1 \end{cases} $ 在 $ (-∞, +∞) $ 上连续，则 a = ___.

(A) $ \ln2 $ (B)0 (C)2 (D)任意实数

1. 已知 $ y = \ln \cos \sqrt{x^2 + 1} $. 则 $ dy = $ ___.

(A) $ \frac{1}{\cos \sqrt{x^2 + 1}} dx $ (B) $ -\tan \sqrt{x^2 + 1} dx $

(C) $ -\frac{\tan \sqrt{x^2 + 1}}{2 \sqrt{x^2 + 1}} dx $ (D) $ -\frac{x \tan \sqrt{x^2 + 1}}{\sqrt{x^2 + 1}} dx $

1. 设 $ f'(x_0) $存在．则 $ \lim_{h\to0}\frac{f(x_0+2h)-f(x_0-h)}{h}= $ ___.

(A) 一定不存在

(B) 不一定存在

(C) $ 3f'(x_0) $

(D) $ 3f'(x_0-h) $

1. 若 $ f(x) $ 的导函数是 $ e^{-x} + \cos x $，则 $ f(x) $ 的一个原函数是 ___.

(A) $ -e^{-x} + \sin x $ (B) $ e^{-x} - \cos x $

(C) $ -e^{-x} - \cos x $ (D) $ e^{-x} + \sin x $

1. 若 $ f(x) $ 连续， $ \int_{0}^{x}f(t)dt=\frac{1}{2}x^{2} $，则 $ \int_{0}^{4}\frac{1}{\sqrt{x}}f(\sqrt{x})dx= $ ___.

(A) 2 (B) 4 (C) 8 (D) 16

三、 计算题

1. 讨论极限 $ \lim_{x \to 0} \frac{|\sin x|}{x} $.

1. 设 $ \{\begin{aligned}x&=\mathrm{e}^{-t}\\ y&=t\mathrm{e}^{t}\end{aligned}. $. 求 $ \frac{dy}{dx} $， $ \frac{d^{2}y}{dx^{2}} $.

1. 求不定积分 $ \int\frac{xe^{x}}{\sqrt{e^{x}-2}}dx $.

1. 设 $ f(x) = \{ \begin{aligned} & \frac{1}{1 + x} & x \geqslant 0 \\ & \frac{1}{1 + e^{x}} & x \leqslant 0 \end{aligned} . $. 求 $ \int_{0}^{2} f(x - 1) \, dx $.

1. 讨论积分 $ \int_{2}^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{x(\ln x)^{k}} $的敛散性.

1. 试确定 a, b, c, 使 $ y = x^{3} + ax^{2} + bx + c $ 有一个拐点 (1, -1)，且在点 x = 0 处有极大值 1，并求此函数的极小值.

四、 证明题

设 $ f(x) $可导．试证 $ f(x) $的两个零点之间一定有 $ f(x)+f'(x) $的零点.

五、 应用题

给定曲线 $ y = x^{2}(x \geqslant 0) $:

（1）在曲线上求一点 $ M(x_{0},y_{0}) $，使曲线在该点处的切线与曲线以及 x 轴所围平面图形 D 的面积为 $ \frac{1}{12} $;

(2) 求图形 D 绕 x 轴旋转一周所成旋转体的体积 V.