第4章 不定积分

4 不定积分

作业20 不定积分的概念与性质

1. 填空题：

(1) 设 $ f(x) $ 连续．则 $ \mathrm{d}\int f(x)\mathrm{d}x = $ ___， $ \int \mathrm{d}f(x) = $ ___， $ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int f(x)\mathrm{d}x = $ ___， $ \int f'(x)\mathrm{d}x = $ ___；

(2)设 $ F_{1}(x) $， $ F_{2}(x) $ 是 $ f(x) $ 的两个不同的原函数，且 $ f(x) \neq 0 $。则 $ F_{1}(x) - F_{2}(x) = $ ___。

1. 计算下列不定积分，并填上答案：

(1) $ \int\frac{1}{x^{2}(1+x^{2})}\mathrm{d}x= $ ___;

(2) $ \int\frac{3+x^{2}}{1+x^{2}}dx= $___；

(3) $ \int\left(\frac{4}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{3}{\sqrt{x}}\right)dx = $ ___;

(4) $ \int(2^x + 3^x)^2 \, dx = $ ___;

(5) $ \int \sec x (\sec x - \tan x) \, dx = $ ___;

(6) $ \int \cot^2 x \, dx = $ ___;

(7) $ \int \sqrt{1 - \sin 2x} \, dx = $ ___;

(8) $ \int \frac{1}{x^4(1 + x^2)} \, dx = $ ___.

1. 设 $ f'(\sin^{2}x)=\cos2x $，求 $ f(x) $.

1. 验证 $ y = \frac{x^2}{2} \text{sgn} x $ 是 $ |x| $ 在 $ (-\infty, +\infty) $ 的一个原函数.

1. 已知 $ f(x) $ 的一个原函数为 $ \frac{\sin x}{1 + x \sin x} $. 求 $ \int f(x) f'(x) \, dx $.

1. 设 $ f(x) $ 的导函数为 $ -\sin x + e^{3} $，且 $ f(0) = 3 $。求 $ f(x) $ 过点 $ (0, 0) $ 的原函数。

作业21 不定积分的换元积分法

1. 仿照 $ x^{3}dx = \frac{1}{4}d(x^{4} + C) $，变换下列各个表达式：

(1) $ \frac{1}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x= $___；

(2) $ e^{-\frac{x}{2}}\mathrm{d}x= $___；

(3) $ \sin \frac{3}{2} x dx = $___； (4) $ \frac{dx}{1 + 9x^2} = $___；

(5) $ \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^{2}}}= $___； (6) $ \frac{1}{x}\mathrm{d}x= $___。

1. 利用凑微分法计算下列不定积分，并将答案写上：

(1) $ \int (3 - 2x)^{3} \, \mathrm{d}x = $ ___;

(2) $ \int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{3-2x}}= $ ___;

(3) $ \int\frac{dx}{1+2x}= $ ___;

(4) $ \int 5e^{3x} \, dx = $ ___;

(5) $ \int e^x \sin e^x \, dx = $ ___;

(6) $ \int \frac{1}{x^2} \cos \frac{1}{x} \, dx = $ ___;

(7) $ \int \frac{1}{x \ln x} \, dx = $ ___;

(8) $ \int x^{2} \sqrt{1 + x^{3}} \, dx = $ ___;

(9) $ \int (1 - \frac{1}{x^2}) e^{x + \frac{1}{x}} \, dx = $ ___;

(10) $ \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{4 - 9x^{2}}} = $ ___.

1. 计算下列不定积分：

(1) $ \int\frac{1}{x^{2}-9}dx; $

(2) $ \int\frac{1-x}{\sqrt{9-4x^{2}}}\mathrm{d}x; $

(3) $ \int\sin^{2}x\tan x\sec x dx $;

(4) $ \int\frac{\ln\tan\frac{x}{2}}{\sin x}dx $;

(5) $ \int\tan^{5}x\sec^{3}x dx $;

(6) $ \int\frac{1}{1+\sin x}dx; $

(7)

$$ \int\frac{1-\ln x}{\left(x+\ln x\right)^{2}}\mathrm{d}x; $$

(8)

$$ \int\frac{x^{3}}{\sqrt{1+x^{2}}}\mathrm{d}x; $$

（9）

$$ \int\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}; $$

(10)

$$ \int\frac{1+\ln x}{\left(x\ln x\right)^{2}}\mathrm{d}x. $$

1. 计算下列不定积分：

(1)

$$ \int\frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{x^{2}-1}}; $$

(2) $ \int\sqrt{3-2x-x^{2}}dx $;

(3)

$$ \int\frac{\mathrm{d}x}{1+\sqrt{1-x^{2}}}; $$

(4)

$$ \int\frac{\mathrm{d}x}{x+\sqrt{1-x^{2}}}; $$

(5)

$$ \int\frac{\mathrm{d}x}{x^{4}\sqrt{1+x^{2}}}; $$

(6)

$$ \int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^{2}-2x-3}} $$

作业22 不定积分的分部积分法

1. 求下列不定积分：

(1) $ \int x\cos^{2}x dx $;

(2) $ \int(\arcsin x)^{2}\mathrm{d}x $;

(3) $ \int x\tan^{2}x dx $;

(4) $ \int\frac{\ln x}{x^{3}}dx $;

(5) $ \int \sin x \ln \tan x \, dx $;

(6) $ \int\frac{x\arctan x}{\sqrt{1+x^{2}}}\mathrm{d}x; $

(7) $ \int x\ln(x+\sqrt{1+x^{2}})\,\mathrm{d}x. $

1. 已知 $ f(x) $ 的一个原函数是 $ \frac{\sin x}{x} $. 求 $ \int x f'(x) \, dx $.

1. 导出下列不定积分对于正整数 n 的递推公式：

(1) $ I_n = \int x^n e^{kx} \, dx $;

(2) $ I_{n}=\int(\ln x)^{n}\mathrm{d}x. $

作业23 几类可积函数的不定积分

求下列不定积分：

(1) $ \int\frac{x}{x^{2}+2x-3}dx $;

(2)

$$ \int\frac{x-2}{x^{2}+2x+3}dx; $$

(3)

$$ \int\frac{\left(x^{2}+1\right)}{x\left(x-1\right)^{2}}\mathrm{d}x; $$

(4) $ \int\frac{3}{x^{3}+1}dx; $

(5)

$$ \int\frac{1}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}\mathrm{d}x; $$

(6)

$$ \int\frac{1}{x^{3}}\sqrt{\frac{x}{2-x}}\mathrm{d}x; $$

(7)

$$ \int\frac{1-x-1}{1+\sqrt[3]{x-1}}\mathrm{d}x; $$

(8)

$$ \int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{\mathrm{e}^{x}+1}}; $$

(9)

$$ \int\frac{\mathrm{d}x}{\sin x+\cos x}; $$

（10）

$$ \int\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}\mathrm{d}x. $$

不定积分测试题

1. 计算 $ \int\frac{dx}{\sin2x + 2\sin x} $.

1. 计算 $ \int\frac{\arctan x}{x^{2}(1+x^{2})}dx $.

1. 计算 $ \int e^{2x}(\tan x + 1)^{2}dx $.

1. 已知 $ f'(e^{x}) = xe^{-x} $，且 $ f(1) = 0 $。求 $ f(x) $.

1. 设 $ f(x) = \{ \begin{aligned} &\ln x, x \geqslant 1 \\ &\frac{1}{2} - \frac{1}{1 + x^{2}}, x \lt 1 \end{aligned} . $. 求 $ \int f(x) \, dx $.

1. 试确定系数 A, B, 使下式成立: $ \int \frac{dx}{(a + b\cos x)^2} = \frac{A\sin x}{a + b\cos x} + B\int \frac{dx}{a + b\cos x} $

1. 设 $ f(x) $ 的一个原函数是 $ \frac{\sin x}{x} $. 求 $ \int(x^{3} + x)f'(x)dx $.

1. 设 $ f(x) = \{ \begin{aligned} 1, & -1 \leq x \leq 0 \\ x^{2}, & 0 \lt x \leq 1 \end{aligned} . $. 证明 $ f(x) $ 在 $ [-1,1] $ 上不存在原函数.