第8章 曲线积分与曲面积分

8 曲线积分与曲面积分

作业13 对弧长的曲线积分

1. 计算 $ \int\limits_{C}\sqrt{x^{2}+y^{2}}ds $，式中曲线C是 $ y=\sqrt{2ax-x^{2}} $在 $ 0\leq x\leq2a $上的一段弧 $ (a\gt 0) $.

1. 计算 $ \int_{L}\left(x^{\frac{4}{3}}+y^{\frac{4}{3}}\right)\mathrm{d}s $，其中 L 为星形线 $ x=a\cos^{3}t $， $ y=a\sin^{3}t $ 在第一象限内的弧 $ \left(0\leq t\leq\frac{\pi}{2}\right) $.

1. 计算 $ \int_{T}xyzds $，其中 $ \Gamma $是折线ABC，这里A，B，C依次为点 $ (0,0,0) $， $ (1,2,3) $， $ (1,4,3) $.

1. 计算 $ \int_{\Gamma}(x^{2}+y^{2})z\mathrm{d}s $，其中 $ \Gamma $为螺线 $ x=t\cos t $， $ y=t\sin t $， $ z=t $上相应于 $ t $从0变到1的一段弧。

1. 计算 $ \oint_{L}\sqrt{x^{2}+y^{2}}\mathrm{d}s $，其中 $ L:x^{2}+y^{2}=ax,a\gt 0 $.

1. 计算 $ \oint_{L}\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{ds} $，其中L为圆周 $ x^{2}+y^{2}=a^{2} $，直线y=x及x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界.

1. 求曲线 x = at, $ y = \frac{a}{2}t^{2} $, $ z = \frac{a}{3}t^{3} $ (0 ≤ t ≤ 1) 的质量，其密度函数 $ \mu = \sqrt{\frac{2y}{a}} $.

1. 求半径为 a, 中心角为 $ \alpha $ 的均匀圆弧（线密度 $ \mu = 1 $）的质心.

作业14 对坐标的曲线积分

1. 计算下列对坐标的曲线积分：

(1) $ \oint_{L}(x+y)dx + (x-y)dy $，其中 L 为按逆时针方向绕椭圆 $ \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 $ 一周；

(2) $ \oint_{L} |y| dx + |x| dy $，其中 $ L $ 为以点 $ A(1,0), B(0,1) $ 及 $ C(-1,0) $ 为顶点的三角形的边界（按逆时针方向）；

(3) $ \int_{L}(12xy + e^{y})dx - (\cos y - xe^{y})dy $，其中 L 为由点 $ A(-1,1) $ 沿抛物线 $ y = x^{2} $ 到点 $ O(0,0) $，再沿 x 轴到点 $ B(2,0) $ 的弧段；

(4) $ \int_{T} x \, dx + y \, dy + (x + y - 1) \, dz $，其中 $ \Gamma $ 是从点 $ (1,1,1) $ 到点 $ (2,3,4) $ 的线段；

(5) $ \int_{r} y \, dx - x \, dy + dz $，其中 $ \Gamma $ 是圆柱螺线 $ x = 2\cos t, y = 2\sin t, z = 3t $ 从 $ t = 0 $ 到 $ t = 2\pi $ 的一段弧。

1. 计算 $ \oint_{L}(2x-y^{2})\mathrm{d}x+(2y-x^{2})\mathrm{d}y $，其中 L 是点 $ (0,0) $ 沿抛物线 $ L_{1}: y = \frac{x^{2}}{2} $ 至点 $ A(2,2) $，再由点 A 沿抛物线 $ L_{2}: x = \frac{y^{2}}{2} $ 回到点 O 的闭曲线.

1. 设力 F 的大小等于作用点的横坐标的平方，而方向依 y 轴的负方向．求质量为 m 的质点沿抛物线 $ 1 - x = y^{2} $ 从点 (1,0) 移动到点 (0,1) 时，力 F 所做的功.

1. 设 $ \Gamma $ 为曲线 x = t, $ y = t^{2} $, z = t^{3} 上相应于 t 从 0 变到 1 的曲线弧．把对坐标的曲线积分 $ \int_{\Gamma} P \, dx + Q \, dy + R \, dz $ 化成对弧长的曲线积分．

作业15 格林公式及其应用

1. 利用曲线积分求下列曲线所围成的图形的面积：

（1）星形线 $ x = a \cos^{3} t, y = a \sin^{3} t $;

（2）椭圆 $ 9x^{2} + 16y^{2} = 144 $.

1. 计算 $ \oint_{L}(x+y)dx-(x-y)dy $，其中 L 为反时针绕椭圆 $ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 $ 一周.

1. 计算 $ \int_{L}(2xy^{3}-y^{2}\cos x)\mathrm{d}x+(1-2y\sin x+3x^{2}y^{2})\mathrm{d}y $，其中L为曲线 $ 2x=\pi y^{2} $上由点 $ (0,0) $到点 $ \left(\frac{\pi}{2},1\right) $的一段弧.

1. 计算 $ \oint_{L}(ye^{xy} + 3x - y + 1)dx + (xe^{xy} + 3x - y + 3)dy $，其中 $ L: \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 $，取正向.

1. 计算曲线积分 $ I = \int_{L} f'(x) \sin y \, dx + [f(x) \cos y - \pi x] \, dy $，其中 $ f'(x) $ 为连续函数，L 是沿圆周 $ (x - 1)^2 + (y - \pi)^2 = 1 + \pi^2 $ 按逆时针方向由点 $ A(2, 2\pi) $ 到点 $ O(0, 0) $ 的一段弧.

1. 计算 $ \oint_{L}\frac{x\mathrm{d}y - y\mathrm{d}x}{x^{2} + y^{2}} $，其中L为：

（1）圆周 $ (x-1)^{2}+(y-1)^{2}=1 $（按反时针方向）；

(2) 闭曲线 $ \left|x\right| + \left|y\right| = 1 $ (按反时针方向).

1. 证明下列曲线积分在 xOy 平面内与路径无关，并计算积分值：

(1) $ \int_{(1,0)}^{(2,1)}(2xy - y^{4} + 3)\,\mathrm{d}x + (x^{2} - 4xy^{3})\,\mathrm{d}y $;

(2) $ \int_{(0,0)}^{(\pi,2)}(\mathrm{e}^{y}\cos x - m)\,\mathrm{d}x + (\mathrm{e}^{y}\sin x - my)\,\mathrm{d}y $.

1. 计算 $ \oint_{L}(e^{y} + x)dx + (xe^{y} - 2y)dy $，其中L是过三点 $ A(0,0) $， $ B(0,1) $， $ C(1,2) $的圆周.

1. 设 $ f(x) $在 $ (-∞, +∞) $上具有连续导数，计算

$$ \int_{L}\frac{1+y^{2}f(xy)}{y}\mathrm{d}x+\frac{x}{y^{2}}\left[y^{2}f(xy)-1\right]\mathrm{d}y, $$

其中L为从点 $ \left(3,\frac{2}{3}\right) $到点(1,2)的线段.

1. 验证下列 $ P(x,y)\mathrm{d}x + Q(x,y)\mathrm{d}y $ 在整个 xOy 平面内是某一函数的全微分，并求出它的一个原函数：

(1) $ \left[(x+y)\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{y}\right]\mathrm{d}x+\left[\mathrm{e}^{x}-(x+1)\mathrm{e}^{y}\right]\mathrm{d}y; $

(2)

$$ (3x^{2}y+8xy^{2})\mathrm{d}x+\left(x^{3}+8x^{2}y+12y\mathrm{e}^{y}\right)\mathrm{d}y; $$

(3) $ (2x\cos y + y^{2}\cos x)\mathrm{d}x + (2y\sin x - x^{2}\sin y)\mathrm{d}y $

1. 设有一变力在坐标轴上的投影为 $ X = x + y^{2} $, Y = 2xy - 8，这变力确定了一个力场．证明质点在此力场内移动时，场力所做的功与路径无关.

作业16 对面积的曲面积分

1. 计算下列对面积的曲面积分：

(1) $ \iint_{\Sigma}(z+2x+\frac{4}{3}y)\mathrm{d}S $，其中 $ \Sigma $ 为平面 $ \frac{x}{2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{4}=1 $ 在第一卦限中的部分；

(2) $ \iint_{\Sigma}(xy + yz + zx)\,\mathrm{d}S $，其中 $ \Sigma $ 为锥面 $ z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $ 被柱面 $ x^{2} + y^{2} = 2ax $ 所截得的有限部分；

(3) $ \iint_{\Sigma}(x^{2}+y^{2}+z^{2})\,dS $，其中 $ \Sigma $ 为球面 $ x^{2}+y^{2}+z^{2}=2ax $.

1. 计算 $ \iint_{\Sigma} y \, \mathrm{d}S $， $ \Sigma $是平面 $ x + y + z = 4 $被圆柱面 $ x^{2} + y^{2} = 1 $截出的有限部分.

1. 求球面 $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2} $ 含在圆柱面 $ x^{2} + y^{2} = ax $ 内部的那部分面积.

1. 求抛物面壳 $ z = \frac{1}{2}(x^{2} + y^{2})(0 \leq z \leq 1) $ 的质量，此壳的密度按规律 $ \rho = z $ 变更.

1. 设圆锥面 $ z = \frac{h}{a} \sqrt{x^{2} + y^{2}} $，a 为圆锥面的底面半径，h 为高，其质量均匀分布．求它的重心位置．

1. 计算 $ \oint_{\Sigma}\frac{dS}{\left(1+x+y\right)^{2}} $，其中 $ \Sigma $是四面体： $ x+y+z\leq1 $， $ z\geq0 $， $ x\geq0 $， $ y\geq0 $的界面.

作业17 对坐标的曲面积分

1. 计算 $ \iint_{\Sigma} z \, dx \, dy + x \, dy \, dz + y \, dz \, dx $，其中 $ \Sigma $是柱面 $ x^{2} + y^{2} = 1 $被平面z = 0及z = 3所截得的在第一卦限内的部分前侧.

1. 计算 $ \iint_{\Sigma}(z^{2}+x)dydz-z dxdy $，其中 $ \Sigma $为旋转抛物面 $ z=\frac{1}{2}(x^{2}+y^{2}) $下侧介于平面z=0及z=2之间的部分.

1. 计算 $ \oint_{\Sigma} \frac{e^{z}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \, dx \, dy $，其中 $ \Sigma $ 为上半锥面 $ z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $ 及平面 $ z = 1 $，z = 2 所围成立体表面的外侧.

1. 计算 $ \oint_{\Sigma} xyydydz + yzdzdx + xzdxdy $，其中 $ \Sigma $是平面x=0, y=0, z=0及 $ x+y+z=1 $所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧.

1. 计算曲面积分 $ \iint_{\Sigma} \frac{ax \, dy \, dz + (z + a)^2 \, dx \, dy}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} $，其中 $ \Sigma $ 为 $ z = -\sqrt{a^2 - x^2 - y^2} $ 的上侧， $ a $ 为大于零的常数.

1. 把对坐标的曲面积分 $ \iint_{\Sigma} P(x, y, z) \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z + Q(x, y, z) \, \mathrm{d}z \, \mathrm{d}x + R(x, y, z) \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y $ 化为对面积的曲面积分：

(1) $ \Sigma $ 是平面 $ 3x + 2y + 2\sqrt{3}z = 6 $ 在第一卦限部分的上侧；

(2) $ \Sigma $ 是抛物面 $ z = 8 - (x^{2} + y^{2}) $ 在面上方部分的上侧.

作业18 高斯公式和斯托克斯公式

1. 利用高斯公式计算曲面积分：

(1) $ \oint_{\Sigma} x^{2} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z + y^{2} \, \mathrm{d}z \, \mathrm{d}x + z^{2} \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y $，其中 $ \Sigma $ 是平面 x = 0, y = 0, z = 0 及 $ x + y + z = 1 $ 所围成的立体的表面外侧；

(2) $ \oint_{\Sigma} x(y-z) \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z + (x-y) \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y $，其中 $ \Sigma $ 为柱面 $ x^2 + y^2 = 1 $ 及平面 $ z = 0 $， $ z = 3 $ 所围成的立体的表面外侧.

1. 计算 $ \iint_{\Sigma}(8y+1)x\mathrm{d}y\mathrm{d}z+2(1-y^{2})\mathrm{d}z\mathrm{d}x-4yz\mathrm{d}x\mathrm{d}y $，其中 $ \Sigma $ 是由曲线 $ \{\begin{aligned}z&=\sqrt{y-1}(1\leqslant y\leqslant3)\\x&=0\end{aligned}. $ 绕 y 轴旋转一周所成的曲面，它的法向量与 y 轴正向的夹角恒大于 $ \frac{\pi}{2} $.

1. 设函数 $ f(\mu) $ 有一阶连续导数．利用高斯公式计算曲面积分

$$ I=\iint\limits_{\Sigma}\frac{2}{y}f(xy^{2})\mathrm{d}y\mathrm{d}z-\frac{1}{x}f(xy^{2})\mathrm{d}z\mathrm{d}x+\left(x^{2}z+y^{2}z+\frac{1}{3}z^{3}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y, $$

式中 $ \Sigma $ 是下半球面 $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 (z \leq 0) $ 的上侧.

1. 利用斯托克斯公式计算曲面积分：

(1) $ \oint_R 3y \, dx - xz \, dy + yz^2 \, dz $，式中 $ \Gamma $ 是圆周 $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 2z \\ z = 2 \end{cases} $，从 $ z $ 轴正向看去 $ \Gamma $ 取逆时针方向；

(2) $ \oint_{D} y \, dx + 3z \, dy + 2x \, dz $，其中 $ \Gamma $ 为圆周 $ \{\begin{aligned}x^{2} + y^{2} + z^{2} &= 4\\ x + y + z &= 0\end{aligned}. $，从 y 轴的正向看去 $ \Gamma $ 取逆时针方向。

作业19 场论初步

1. 求下列向量场 A 通过曲面 $ \Sigma $ 指定一侧的通量：

(1) $ A = zi + yj - xk $, $ \Sigma $ 为由平面 $ 2x + 3y + z = 6 $ 与 x = 0, y = 0, z = 0 所围成立体的表面，流向外侧；

(2) $ A = (2x + 3y)i - (xz + y)j + (y^2 + 2z)k $， $ \Sigma $ 为以点 $ (3, -1, 2) $ 为球心，半径 $ R = 3 $ 的球面，流向外侧.

1. 求向量场 $ \boldsymbol{A} = (x - z)i + (x^3 + yz)j - 3xy^2k $ 沿闭曲线 $ \Gamma $ 的环流量（从 z 轴正向看 $ \Gamma $ 依逆时针的方向），其中 $ \Gamma $ 为圆周 $ z = 2 - \sqrt{x^2 + y^2} $，z = -2.

1. 求向量场 $ A = \{4xyz, -xy^2, x^2yz\} $ 在点 $ M(1, -1, 2) $ 处的散度和旋度.

1. 证明向量场 $ A = \{-2y, -2x\} $ 为平面调和场，并求势函数.

1. 验证下列向量场 A 为保守场，并求其势函数：

(1) A = yzi + zxj + xyk;

(2) $ A = (2x + y)i + (x + 2z)j + (2y - 6z)k $.

1. 设 $ u = u(x, y, z) $ 具有二阶连续偏导数. 计算 $ \mathrm{rot}(\mathrm{grad}u) $.

曲线积分与曲面积分测试题

1. 填空题：

（1）对坐标的曲线积分 $ \int_{r}Pdx+Qdy+Rdz $化成第一类曲线积分是___，其中 $ \alpha,\beta,\gamma $为有向曲线弧 $ \Gamma $在点 $ (x,y,z) $处的___的方向角；

(2) 设 $ L $ 为取正向的圆周 $ x^2 + y^2 = 9 $。则曲线积分 $ \oint (2xy - 2y) \, \mathrm{d}x + (x^2 - 4x) \, \mathrm{d}y = $ ___；

（3）设曲线积分 $ \int_{L}[f(x) - e^x]\sin y\,dx - f(x)\cos y\,dy $与积分路径无关，其中 $ f(x) $一阶连续可导，且 $ f(0) = 0 $。则 $ f(x) = $___；

(4) $ \iint_{\Sigma}(y^2 + z) \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z + (x + z^2) \, \mathrm{d}z \, \mathrm{d}x + (y + x^2) \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y = $ ___，其中 $ \Sigma $ 为单位球面 $ x^2 + y^2 + z^2 = 1 $ 的外侧；

(5) 设 $ A = e^x \sin y i + (2xy^2 + z)j + xzy^2 k $，则 $ \mathrm{div} A \mid_{(1,0,1)} = $ ___， $ \mathrm{rot} A \mid_{(1,0,1)} = $ ___。

1. 计算下列曲线积分：

(1) 计算 $ \oint_{L} z^{2} \, ds $，其中 $ L $ 为球面 $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2} $ 与平面 $ x + y + z = 0 $ 的相交部分 $ (a \gt 0) $；

(2) $ \int_{L}\frac{|y|}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}ds $，其中 $ L $ 是 $ \{\begin{aligned}&x^{2}+y^{2}+z^{2}=4a^{2}\\ &x^{2}+y^{2}=2ax\end{aligned}. $， $ z\geqslant0,a\gt 0 $;

(3) $ \int_{L}(x^{2}+2xy)dy $，其中L为椭圆 $ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 $由点 $ A(a,0) $经点 $ C(0,b) $到点 $ B(-a,0) $的弧段；

(4) $ \oint_{L} x^{2} y \, dx + (x^{2} + y^{2}) \, dy + (x + y + z) \, dz $，其中 $ L $ 是 $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 11 $ 与 $ z = x^{2} + y^{2} + 1 $ 的交线，其方向与 $ z $ 轴正向成右手系；

(5) $ \int_{L}\left(\mathrm{e}^{x}\sin y - 2y\right)\mathrm{d}x + \left(\mathrm{e}^{x}\cos y - 2\right)\mathrm{d}y $，其中 L 为上半圆周 $ (x - a)^{2} + y^{2} = a^{2}, y \geqslant 0 $，沿逆时针方向；

(6) $ \oint_{L}\frac{dx + dy}{|x| + |y|} $，其中L是以点 $ A(1,0) $， $ B(0,1) $， $ C(-1,0) $， $ D(0,-1) $为顶点的正方形的整个边界（取正向）.

1. 计算下列曲面积分：

(1) $ \iint_{\Sigma} \frac{e^{z}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \, \mathrm{d}S $, $ \Sigma $ 为锥面 $ z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $ 介于 $ 1 \leqslant z \leqslant 2 $ 之间的部分；

(2) 计算 $ \iint_{x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}}\frac{\mathrm{d}S}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+(z-h)^{2}}} $，其中 $ h \neq R $;

(3) $ \iint_{\Sigma} yz \, dz \, dx + 2 \, dx \, dy $，其中 $ \Sigma $ 是上半球面 $ z = \sqrt{4 - x^{2} - y^{2}} $ 的上侧；

(4) $ \iint_{\Sigma}(y^2-z)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z + (z^2-x)\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}x + (x^2-y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y $，其中 $ \Sigma $ 为锥面 $ z = \sqrt{x^2 + y^2} $（ $ 0 \leqslant z \leqslant h $）的外侧；

(5) $ \oint_{F}2ydx + 3xdy - z^{2}dz $，其中 $ \Gamma $ 是圆周 $ \{\begin{array}{l}x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9 \\ z = 0\end{array}. $，若正对着 z 轴正向看去 $ \Gamma $ 取逆时针方向；

(6) $ \iint_{\Sigma} x \, dy \, dz + y \, dz \, dx + z \, dx \, dy $，其中 $ \Sigma $ 是曲线 $ \{\begin{aligned}z &= y^{2} \\ x &= 0\end{aligned}. $ ( $ z \leqslant 1 $) 绕 z 轴旋转所得旋转曲面的上侧.

1. 设曲线积分 $ \int_{L}xy^{2}dx + y\varphi(x)dy $与路径无关，其中 $ \varphi(x) $连续可导，且 $ \varphi(0)=0 $。求

$$ \int_{(0,0)}^{(1,1)}x y^{2}\mathrm{d}x+y\varphi(x)\mathrm{d}y. $$

1. 设 $ f(x) $具有连续的导数， $ f(0)=0 $，且使表达式 $ \left[xe^{x}+f(x)\right]ydx+f(x)dy $是某函数 $ u(x,y) $的全微分．求 $ f(x) $，并求一个 $ u(x,y) $.

1. 证明在右半平面 $ (x\gt 0) $内，力 $ F=\{\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\} $所做的功与所走的路径无关，并计算由点 $ A(1,1) $到 $ B(2,2) $力F所做的功.

1. 证明： $ \frac{x\mathrm{d}x+y\mathrm{d}y}{x^{2}+y^{2}} $ 在整个 xOy 平面除去 y 的负半轴及原点的区域 G 内是某个二元函数的全微分，并求出一个这样的二元函数.

1. 求向量 $ A = 2xi + yj - zk $ 通过 $ 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1, 0 \leq z \leq 1 $ 的边界曲面流向外侧的通量.

1. 求向量场 $ A = xy\mathbf{i} + \cos(xy)\mathbf{j} + \cos(xz)\mathbf{k} $ 在点 $ \left(\frac{\pi}{2}, 1, 1\right) $ 处的散度.