微积分（上）测试题三

微积分（上）测试题三

一、 填空题

1. 设 $ y = 5^{x} + x^{e} $ - $ \cos e $. 则 $ \mathrm{d}y = \_\_\_\_\_\_ $.

1. 设 $ f(x+1) = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n+x}{n-2} \right)^n $，则 $ f(x) = $ ___.

1. 设函数 $ F(x) = \{ \begin{aligned} \frac{f(x)}{x}, & x \neq 0, \\ f(0), & x = 0 \end{aligned} . $，其中 $ f(x) $ 在 x = 0 处可导， $ f'(0) \neq 0, f(0) = 0 $。则 x = 0 是 $ F(x) $ 的 ___ 间断点。

1. $ \int_{0}^{\sqrt{5}} \sqrt{5 - x^{2}} \, dx = $ ___.

1. $ \int_{1}^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{x(1+x^{2})}= $ ___.

二、 选择题

1. 若函数 $ f(x) $是可导函数，则 $ \lim_{h\to0}\frac{f^2(x+h)-f^2(x)}{h}= $ ___.

(A)0

(B) $ f'(x) $

(C) $ 2f(x) $

(D) $ 2f(x)f'(x) $

1. 设 $ f(x) $ 在 $ (-\infty, +\infty) $ 内连续，其导函数的图形如下图所示．则 $ f(x) $ 有 ___

（A）一个极小值点和一个极大值点

（B）两个极小值点和一个极大值点

（C）两个极小值点和两个极大值点

（D）三个极小值点和一个极大值点

1. 设函数 $ f(x) $在 $ [a,b] $上连续，且 $ f(x)\gt 0 $，则方程 $ \int_{a}^{}f(t)dt+\int_{b}^{} $

$ \frac{1}{f(t)} $dt=0 在开区间 $ (a,b) $内的根有 ___.

(A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)无穷多个

1. 设 $ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(\ln(x-1)) = x $. 则 $ f(x) = $ ___.

(A) $ -\frac{1}{2}x^2 + c $

(B) $ \frac{1}{2}x^2 + x + c $

(C) $ \frac{1}{2}\ln^2(x-1) + c $

(D) $ \frac{1}{2}e^{2x} + e^x + c $

三、 计算题

1. 设 $ \{\begin{aligned}x&=\arctan t\\ 2y-ty^{2}+\mathrm{e}^{t}&=5\end{aligned}. $ 确定了 y 是 x 的函数．求 $ \frac{dy}{dx} $

1. 求极限 $ \lim_{x\to0}\sqrt[x^2]{1-x+\sin x} $

1. 设 $ f(x) = \{ \begin{aligned} &\frac{\int_{0}^{x}(\mathrm{e}^{t^{2}} - 1)dt}{x^{2}}, x \neq 0 \\ &0, x = 0 \end{aligned} . $. 求 $ f'(0) $ 之值.

1. 计算 $ \int\frac{dx}{x^{2}\sqrt{x^{2}-4}} $

1. 设 $ e^{-\frac{x^2}{2}} $ 的原函数为 $ f(x) $. 求 $ \int_0^1 f'(x) f''(x) dx $ 之值.

1. 求当 t 取多少时，曲线 $ y = x^{2} $ 与直线 x = 0, x = 1, y = t (0 < t < 1) 所围成的图形的面积最小

四、 证明题

1. 设 $ f(x) $, $ g(x) $都在 $ [a,b] $上连续，且在 $ (a,b) $内可微，对于 $ (a,b) $内的x有 $ g'(x)\neq0 $。则在 $ (a,b) $内至少存在一点 $ \xi $，使得 $ \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\frac{f(\xi)-f(a)}{g(b)-g(\xi)} $.

1. 试证 $ \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}f\left(\left|\cos x\right|\right)\mathrm{d}x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f\left(\left|\cos x\right|\right)\mathrm{d}x. $

五、 应用题

抛物线 $ y^{2}=2px $ 与圆 $ (x-a)^{2}+y^{2}=a^{2} $ 相交于 O, A, B 三点. 问 p 为何值时, 抛物线与公共弦 AB 围成的图形面积最大? 并求此最大面积 (其中 a 为定值, 且 a > p > 0).