微积分（下）测试题三

微积分（下）测试题三

1. 填空题：

(1) 若函数 $ f(x,y) = 2x^{2} + ax + xy^{2} + 2y $ 在点 $ (1, -1) $ 处取得极值，则常数 $ a = $ ___；

(2) 设 $ f(x) = \int_{0}^{1} e^{\frac{x}{y}} dy $，则 $ \int_{0}^{1} f(x) dx = $ ___；

(3) 设 $ S $ 是立方体 $ 0 \leq x, y, z \leq 1 $ 的边界外侧．则曲面积分 $ \oint_S x^5 \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z + y^6 \, \mathrm{d}z \, \mathrm{d}x + z^7 \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y = $ ___；

(4) 已知函数 $ y = y(x) $ 由方程 $ e^y + 6xy + x^2 - 1 = 0 $ 确定．则 $ y''(0) = $ ___；

(5) 微分方程 $ y'' + 3y' - 4y = x^2 e^{-4x} $ 用待定系数法确定的特解（系数值不求）的形式为 ___.

1. 在椭球面 $ 2x^{2}+2y^{2}+z^{2}=1 $ 上求一点，使得函数 $ f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2} $ 在该点处沿方向 l=i-j 的方向导数最大.

1. 求曲面 $ e^{\frac{x}{2}} + e^{\frac{y}{2}} = 4 $ 上点 ( $ \ln 2, \ln 2, 1 $) 处的切平面和法线方程.

1. 设 $ F(t) = \iiint\limits_{x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq t^{2}} f(x^{2} + y^{2} + z^{2}) \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z $，其中 $ f(u) $ 为连续函数．求 $ F'(t) $

1. 求微分方程 $ y'' - 4y' + 3y = 0 $ 的解，使得该解所表示的曲线在点 (0,2) 处与直线 2x - 2y + 4 = 0 相切.

1. 设函数 $ f(u) $ 有二阶连续导数，而函数 $ z = f(e^x \sin y) $ 满足方程

$$ \frac{\partial^{2}z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}z}{\partial y^{2}}=z\mathrm{e}^{2x}. $$

试求出函数 $ f(u) $.

7. 计算曲面积分

$$ \iint\limits_{\Sigma}(x y^{2}\cos\alpha+y x^{2}\cos\beta+z^{2}\cos\gamma)\mathrm{d}S, $$

其中 $ \Sigma $ 是球体 $ x^2 + y^2 + z^2 \leq 2z $ 与锥体 $ z \geq \sqrt{x^2 + y^2} $ 的公共部分 $ \Omega $ 的表面， $ \cos\alpha $， $ \cos\beta $， $ \cos\gamma $ 是其外法线方向的方向余弦。

1. 证明 $ f(x,y) = \{ \begin{aligned} & \frac{\sin(xy)}{x}, x \neq 0 \\ & y, \quad x = 0 \end{aligned} . $ 在全平面可微.

1. 计算曲线积分 $ \int_{L}(1+xe^{2y})dx+(x^{2}e^{2y}-1)dy $，其中 $ L $为 $ (x-2)^{2}+y^{2}=4 $在第一象限内逆时针方向的半圆弧.

1. 求曲面 $ S: \frac{x^{2}}{2} + y^{2} + \frac{z^{2}}{4} = 1 $ 到平面： $ 2x + 2y + z + 5 = 0 $ 的最短距离.

1. 附加题：（供学习无穷级数的学生作测试）

(1) 判断级数 $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\beta^{n}}{n^{\alpha}} (\alpha \gt 0, \beta \gt 0) $ 的敛散性；

(2) 试将函数 $ f(x) = \int_{0}^{x} e^{-t^{2}} \, dt $ 展开成 $ x $ 的幂级数（要求写出该幂级数的一般项并指出其收敛区间）；

（3）证明级数 $ \frac{1}{2}+\frac{3}{2^{2}}+\frac{5}{2^{3}}+\cdots+\frac{2n-1}{2^{n}}+\cdots $收敛，并求其和.