第7章 重积分

7 重积分

作业9 二重积分的概念与性质

1. 利用二重积分的性质，比较下列积分的大小：

(1) $ \iint_{D}(x+y)^{2}\mathrm{d}\sigma $ 与 $ \iint_{D}(x+y)^{3}\mathrm{d}\sigma $. ①D 是由直线 x=0, y=0 及 $ x+y=1 $ 所围成的闭区域；

②D 是由圆周 $ (x-2)^{2}+(y-1)^{2}=2 $ 所围成的闭区域.

(2) $ \iint_{D}e^{xy}d\sigma $ 与 $ \iint_{D}e^{2xy}d\sigma $. ①D 是矩形闭区域: $ 0 \leqslant x \leqslant 1, 0 \leqslant y \leqslant 1 $;

②D 是矩形闭区域： $ -1 \leqslant x \leqslant 0, 0 \leqslant y \leqslant 1 $.

1. 利用积分的性质，估计下列各积分的值：

(1) $ I = \iint_{D} xy(x + y) \, \mathrm{d}\sigma $，其中 D 是矩形闭区域: $ 0 \leqslant x \leqslant 1, 0 \leqslant y \leqslant 1 $;

(2) $ I = \iint_{D} (x + y + 1) \, \mathrm{d}\sigma $，其中 D 是矩形闭区域: $ 0 \leqslant x \leqslant 1, 0 \leqslant y \leqslant 2 $.

1. 设积分域 D 是以原点为中心、半径为 r 的圆域．求极限

$$ \lim_{r\to0}\frac{1}{\pi r^{2}}\iint\limits_{D}\mathrm{e}^{x^{2}+y^{2}}\cos\left(x+y\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y. $$

1. 设 D 是非空的开区域， $ \bar{D} $ 是由 D 和 D 的边界组成的平面有界闭区域，函数 $ f(x,y) $ 在 $ \bar{D} $ 上连续非负，又 $ \iint_{D}f(x,y)\,\mathrm{d}\sigma=0 $ 。证明：在 $ \bar{D} $ 上， $ f(x,y)=0 $

1. 设D是平面有界闭区域，函数 $ f(x,y) $和 $ g(x,y) $在D上连续， $ g(x,y) $在D上不变号．证明：存在点 $ (\xi,\eta)\in D $，使得 $ \iint_{D}f(x,y)g(x,y)\,\mathrm{d}\sigma=f(\xi,\eta)\iint_{D}g(x,y)\,\mathrm{d}\sigma $．

作业10 二重积分的计算

1. 试将二重积分 $ \iint_{D}f(x,y)d\sigma $化为两种不同的二次积分，其中区域D分别为：

（1）由直线 y = x, x = 3 及双曲线 xy = 1 所围成的闭区域；

(2) 环形闭区域: $ 1 \leq x^{2} + y^{2} \leq 4 $.

1. 改换下列二次积分的积分次序（填空）：

(1) $ \int_{0}^{1} \mathrm{d}y \int_{y}^{\sqrt{y}} f(x,y) \, \mathrm{d}x = $ ___;

(2) $ \int_{1}^{e} \mathrm{d}x \int_{0}^{\ln x} f(x, y) \, \mathrm{d}y = $ ___;

(3) $ \int_{0}^{1} \mathrm{d}y \int_{0}^{2y} f(x,y) \, \mathrm{d}x + \int_{1}^{3} \mathrm{d}y \int_{0}^{3-y} f(x,y) \, \mathrm{d}x = $ ___.

1. 画出积分区域，并计算下列二重积分：

(1) $ \iint_{D} e^{x+y} \, \mathrm{d}\sigma $，其中 $ D $ 是由 $ |x| + |y| \leq 1 $ 所确定的闭区域；

(2) $ \iint_{D}(x^{2}-y^{2})\,\mathrm{d}\sigma $，其中D是由不等式 $ 0\leqslant y\leqslant\sin x,0\leqslant x\leqslant\pi $所围成的闭区域；

(3) $ \iint_{D}x\cos(x+y)d\sigma $，其中D是顶点分别为 $ (0,0) $， $ (\pi,0) $， $ (\pi,\pi) $的三角形闭区域；

（4） $ \iint_{D}\frac{\sin y}{y}\mathrm{d}\sigma $，其中D是由抛物线 $ x=y^{2} $与直线y=x所围成的闭区域.（注：在原点处，补充定义被积函数的值为1）

1. 求由 $ y^{2}=2px+p^{2}, y^{2}=-2qx+q^{2}(p,q\gt 0) $ 曲线所围成的闭区域的面积.

1. 求下列曲面所围立体的体积: $ z = x^{2} + y^{2} $, $ y = x^{2} $, y = 1, z = a $ (设 a \gt 0 充分大).$

1. 化下列二次积分为极坐标系下的二次积分：

(1) $ \int_{0}^{2} \mathrm{d}x \int_{x}^{\sqrt{3x}} f\left(\sqrt{x^{2} + y^{2}}\right) \mathrm{d}y = $ ___;

(2) $ \int_{0}^{2} \mathrm{d}x \int_{\sqrt{2x-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}} f(x,y) \, \mathrm{d}y = $ ___.

1. 利用极坐标计算下列积分：

(1) $ \iint_{D}(x+y)\,\mathrm{d}\sigma $，其中D是由圆 $ x^{2}+y^{2}=x+y $所围成的闭区域；

(2) $ \iint_{D}y\mathrm{d}\sigma $，D 是 $ \alpha x \leqslant y \leqslant \beta x $ 与 $ a^{2} \leqslant x^{2} + y^{2} \leqslant b^{2} (\beta \gt \alpha \gt 0, a \gt b \gt 0) $ 所确定的闭区域；

(3) $ \iint_{D} x\mathrm{d}\sigma $，其中D是介于两圆 $ x^{2} + y^{2} = 2x $和 $ x^{2} + y^{2} = 4x $之间的闭区域；

(4) $ \iint_{D}\frac{1}{\left(a^{2}+x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\mathrm{d}\sigma $，其中D是矩形闭区域： $ 0\leqslant x\leqslant a,0\leqslant y\leqslant a $

1. 用适当的坐标计算下列积分：

（1） $ \iint_{D}\arctan\frac{r}{x}\mathrm{d}\sigma $，其中D是平面区域 $ 1\leqslant x^{2}+y^{2}\leqslant4 $在第一象限中介于两直线y=0，y=x之间的闭区域；

(2) $ \iint_{D} \sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}} \mathrm{d}\sigma $，其中 D 是由圆周 $ x^{2}+y^{2}=Rx $ 所围成的闭区域；

(3) $ \iint_{D}xy\,d\sigma $, $ D:(x-1)^2+(y-1)^2\leq1 $;

(4) $ \iint_{D} \sqrt{\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}} \, \mathrm{d}\sigma $, $ D: \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} \leqslant 1 $.

作业11 三重积分的概念与计算

1. 试将三重积分 $ \iiint_{\Omega} f(x,y,z) dv $ 化为三次积分，其中积分区域 $ \Omega $ 分别为：

(1) 由双曲抛物面 xy = z 及平面 $ x + y - 1 = 0 $, z = 0 所围的闭区域. $ \iiint\limits_{D} f(x, y, z) \, \mathrm{d}v = $ ___.

（2）由曲面 $ z = x^{2} + 2y^{2} $ 及 z = 2 - $ x^{2} $ 所围的闭区域.

$$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)\,\mathrm{d}v = \underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\cdot}$$

1. 利用直角坐标计算下列三重积分：

(1) $ \iiint_{\Omega}\frac{1}{\left(1+x+y+z\right)^{3}}\mathrm{d}v $，其中Ω为平面x=0,y=0,z=0,x+y+z=1所围成的四面体；

(2) $ \iiint_{\Omega} xy^2 z^3 \, dx \, dy dz $，其中 $ \Omega $ 是由曲面 $ xy = z $ 与平面 $ x = y, x = 1, z = 0 $ 所围的闭区域；

(3) $ \iiint_{\Omega} z^{2} \, \mathrm{d}v $，其中 $ \Omega $ 为两个球体 $ x^{2} + y^{2} + z^{2} \leqslant R^{2} $ 和 $ x^{2} + y^{2} + z^{2} \leqslant 2Rz(R \gt 0) $ 的公共部分.

1. 利用柱面坐标计算下列三重积分：

(1) $ \iiint_{\Omega} e^{-x^2 - y^2} dv $，其中 $ \Omega $ 是曲面 $ x^2 + y^2 = 1 $ 和平面 $ z = 0, z = 1 $ 所围成的闭区域；

(2) $ \iiint_{\Omega} z \, dv $，其中 $ \Omega $ 是曲面 $ z = \sqrt{2 - x^{2} - y^{2}} $ 及 $ z = x^{2} + y^{2} $ 所围成的闭区域；

(3) $ \iiint_{\Omega}(x^{2}+y^{2})\mathrm{d}v $，其中 $ \Omega $ 是曲面 $ z=\frac{1}{2}(x^{2}+y^{2}) $ 和平面 z=2 所围成的闭区域；

(4) $ \iiint_{\Omega}\left(x^{3}+xy^{2}\right)dv $，其中 $ \Omega $是曲面 $ x^{2}+(y-1)^{2}=1 $和平面z=0,z=1所围成的闭区域.

1. 利用球面坐标计算下列三重积分：

（1） $ \iiint_{\Omega}\frac{\sin\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\mathrm{d}v $，其中Ω是球面 $ x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2} $与平面x=0，y=0及z=0所围成的在第一卦限的闭区域；

(2) $ \iiint_{\Omega} z \, dv $，其中 $ \Omega $ 是由不等式 $ x^{2} + y^{2} + z^{2} \leqslant 2Rz (R \gt 0) $， $ z \geqslant \sqrt{x^{2} + y^{2}} $ 所确定的闭区域；

（3） $ \iiint_{\Omega}\sqrt{1-x^{2}-y^{2}-z^{2}}dv $，其中 $ \Omega $是由不等式 $ x^{2}+y^{2}+z^{2}\leqslant1,z\geqslant\sqrt{x^{2}+y^{2}} $所确定的闭区域.

1. 选取适当的坐标计算下列三重积分：

(1) $ \iiint_{\Omega} \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} \, dv $，其中 $ \Omega $ 是球面 $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = z $ 所围的闭区域；

(2) $ \iiint_{\Omega}(x^{2}+y^{2})\mathrm{d}v $，其中 $ \Omega $ 是由曲面 $ 4z^{2}=25(x^{2}+y^{2}) $ 及平面 z=5 所围的闭区域；

（3） $ \iiint_{\Omega} x e^{\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{a^{2}}} dv $，其中 $ \Omega $ 是球面 $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2} $ 所围的在第一卦限内的闭区域；

(4) $ \iiint_{D}e\sqrt{\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{r^{2}}}dv $，其中Ω是椭球面 $ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 $所围成的闭区域.

1. 有一球心在原点，半径为 R 的球体，在其上任意一点的体密度与该点到球心的距离成正比．求这球体的质量．

作业12 重积分的应用

1. 求下列均匀几何体的形心：

（1）质量均匀分布在心形线 $ r = a(1 - \cos\theta)(a \gt 0) $ 所围区域上；

（2）质量均匀分布在半球体 $ 0 \leq z \leq \sqrt{R^{2} - x^{2} - y^{2}} $ 上.

1. 求球体 $ x^{2} + y^{2} + z^{2} \leqslant 2az $ 的质心．这里假设球体内各点处的密度等于该点到坐标原点的距离的平方．

1. 设均匀薄片（面密度为常数 $ \mu $）所占闭区域D如下．求指定的转动惯量：

（1）D由双曲线 $ xy=a^{2} $与直线y=x，y=2a（a>0）所围成．求 $ I_{x} $和 $ I_{y} $

（2）D为椭圆闭区域： $ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}\leq1 $．求 $ I_{y} $

1. 设半径为 R 的球体内每一点的密度与该点到球心的距离成正比．求质量为 M 非均匀球体对其直径的转动惯量．

1. 求面密度为常数 $ \mu $ 的均匀圆环形薄片： $ r^{2} \leqslant x^{2} + y^{2} \leqslant R^{2} $，z = 0 对位于 z 轴上的点 $ P(0,0,a) $ （ $ a \gt 0 $）处的单位质量质点的引力.

1. 一均匀物体（密度 $ \rho $ 为常量）占有的闭区域 $ \Omega $ 由曲面 $ z = x^2 + y^2 $ 和平面 $ z = 0 $， $ |x| = a $， $ |y| = a $ 所围成：（1）求物体的体积；（2）求物体的质心；（3）求物体关于 z 轴的转动惯量。

重积分测试题

1. 选择以下各题中给出的四个结论中唯一正确的结论：

（1）设有空间闭区域

$$ \Omega_{1}=\{(x,y,x)\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\leqslant R^{2},z\geqslant0\}, $$

$$ \Omega_{2}=\{(x,y,x)\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\leqslant R^{2},x\geqslant0,y\geqslant0,z\geqslant0\}. $$

则有( )；

(A) $ \iiint_{\Omega_1} x \, dv = 4 \iiint_{\Omega_2} x \, dv $ (B) $ \iiint_{\Omega_1} y \, dv = 4 \iiint_{\Omega_2} y \, dv $ (C) $ \iiint_{\Omega_1} z \, dv = 4 \iiint_{\Omega_2} z \, dv $ (D) $ \iiint_{\Omega_1} x y z \, dv = 4 \iiint_{\Omega_2} x y z \, dv $

（2）设平面闭区域

$$D = \{(x,y) \mid -a \leqslant x \leqslant a, x \leqslant y \leqslant a\}, D_1 = \{(x,y) \mid 0 \leqslant x \leqslant a, x \leqslant y \leqslant a\}.$$

则$$\iint_{D}(xy + \cos x\sin y) \, dx \, dy = \left(\right)$$；

(A) $2\iint_{D_1} \cos x\sin y \, dx \, dy$

(B) $2\iint_{D_1} xy \, dx \, dy$

(C) $4\iint_{D_1}(xy + \cos x\sin y) \, dx \, dy$

(D) $0$

（3）设 $ f(x,y) $是有界闭区域 $ D:x^{2}+y^{2}\leq a^{2} $上的连续函数．则当 $ a\to0 $时， $ \frac{1}{\pi a^{2}}\iint_{D}f(x,y)dxdy $的极限（）.

(A) 不存在

(B) 等于 $ f(0,0) $

(C) 等于 $ f(1,1) $

(D) 等于 $ f(1,0) $

1. 选择适当的坐标系计算下列二重积分：

(1) $ \iint_{D}|\cos(x+y)|\,\mathrm{d}\sigma $, D 是由直线 y = x, y = 0, $ x = \frac{\pi}{2} $ 所围成的区域；

(2) $ \iint_{D}y^{2}\mathrm{d}\sigma $，其中D是由 $ x=\frac{\pi}{4},x=\pi,y=0 $和 $ y=\cos x $所围成的区域；

(3) $ \iint_{D} e^{\max{|x^2, y^2|}} \, \mathrm{d}\sigma $，其中 $ D = \{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1, 0 \leqslant y \leqslant 1\} $;

(4) $ \iint_{D}(x^{2}+y^{2})\,\mathrm{d}\sigma $，其中D是由 $ y=x,y^{2}=x,y=2 $所围成的平面区域，且 $ y\geqslant1 $;

(5)

$$ \iint_{D}(y-x)^{2}\mathrm{d}\sigma,D:y\leqslant R+x,x^{2}+y^{2}\leqslant R^{2},y\geqslant0(R\gt 0). $$

1. 交换下列二次积分的次序：

(1) $ \int_{0}^{4} \mathrm{d}y \int_{-\sqrt{4-y}}^{\frac{1}{2}(y-4)} f(x,y) \, \mathrm{d}x = $ ___;

(2) $ \int_{0}^{1} \mathrm{d}x \int_{\sqrt{x}}^{1 + \sqrt{1 - x^2}} f(x, y) \, \mathrm{d}y = $ ___;

(3) $ \int_{0}^{1} \mathrm{d}x \int_{0}^{x^2} f(x,y) \, \mathrm{d}y + \int_{1}^{3} \mathrm{d}x \int_{0}^{\frac{1}{2}(3-x)} f(x,y) \, \mathrm{d}y = $ ___.

1. 将 $ \iint_{D}f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y $变为极坐标形式的二次积分，其中D由不等式 $ x\geqslant0,y\geqslant0 $和 $ (x^{2}+y^{2})^{3}\leqslant4a^{2}x^{2}y^{2} $所规定.

1. 计算 $ \iint_{D}|y-x^{2}|\,\mathrm{d}\sigma $，其中D是矩形域： $ |x|\leqslant1,0\leqslant y\leqslant1 $.

1. 计算 $ \iiint_{\Omega}\frac{y\sin x}{x}dxdydz $，其中 $ \Omega $是由 $ y=\sqrt{x},y=0,z=0,x+z=\frac{\pi}{2} $所围成的闭区域.

1. 将三次积分 $ I = \int_{0}^{1} \mathrm{d}y \int_{-\sqrt{y-y^{2}}}^{\sqrt{y-y^{2}}} \mathrm{d}x \int_{0}^{\sqrt{3(x^{2}+y^{2})}} f(x^{2} + y^{2} + z^{2}) \, \mathrm{d}z $ 变为柱坐标及球坐标的形式.

1. 计算 $ \iiint_{\Omega}(x+z)e^{-(x^{2}+y^{2}+z^{2})}\,dv $，其中 $ \Omega:1\leqslant x^{2}+y^{2}+z^{2}\leqslant4,x\geqslant0,y\geqslant0,z\geqslant0 $.

1. 计算下列三重积分：

(1) $ \iiint_{\Omega}\frac{z\ln(x^{2}+y^{2}+z^{2}+1)}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+1}dv $，Ω是由球面 $ x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 $所围成的闭区域；

(2) $ \iiint_{\Omega}(y^{2}+z^{2})\mathrm{d}v $，其中 $ \Omega $ 是由 xOy 平面上曲线 $ y^{2}=2x $ 绕 x 轴旋转而成的曲面与平面 x=5 所围成的闭区域.

1. 求平面 $ \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1 $ 被三坐标面所割出的有限部分的面积.

1. 设 $ f(x) $ 在 $ [a,b] $ 上连续．证明：

$$ \int_{a}^{b}\mathrm{d}y\int_{a}^{y}(y-x)^{n-1}f(x)\mathrm{d}x=\frac{1}{n}\int_{a}^{b}(b-x)^{n}f(x)\mathrm{d}x, $$

其中 n 为正整数.

1. 求曲面 $ z = x^{2} + y^{2} + 1 $ 上点 $ M_{0}(1, -1, 3) $ 处的切平面与曲面 $ z = x^{2} + y^{2} $ 所围成的空间立体的体积.

1. 一平面薄片所占的闭区域由不等式 $ x^{2} + y^{2} \leqslant R^{2}, x^{2} + y^{2} \leqslant 2Rx $ 所确定，其上每一点的面密度为 $ \rho(x,y) = x^{2} + y^{2} $. 试求该薄片的质量.

1. 求由抛物线 $ y = x^{2} $ 及直线 y = 1 所围成的均匀薄片（面密度为常数 $ \mu $）对于直线 y = -1 的转动惯量.

1. 设在 xOy 面上有一质量为 M 的匀质半圆形薄片，占有平面闭区域 $ D = \{(x,y) \mid x^{2} + y^{2} \leqslant R^{2}, y \geqslant 0\} $，过圆心 O 垂直于薄片的直线上有一质量为 m 的质点 P，OP = a。求半圆形薄片对质点 P 的引力。