微积分（上）测试题二

微积分（上）测试题二

一、 填空题

1. 若 $ f(x) $ 为可导的奇函数，且 $ f'(x_0) = 5 $，则 $ f'(-x_0) = $ ___.

1. 设当 $ x \to 0 $ 时， $ \mathrm{e}^{x\cos x^2} - 1 $ 与 $ x^n $ 是同阶无穷小．则 $ n = $ ___．

1. 设 $ f(x) $ 可微, $ y = f(x) \arctan f(x) $. 则 $ \mathrm{d}y = $ ___.

1. $ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(3x^{3} + \sin^{2}x)\cos^{2}x\,dx = \underline{\qquad} $.

1. 已知 $ f(x) $的一个原函数是 $ x^2\ln x $。则 $ \int x f'(x) \, \mathrm{d}x = $___。

二、 选择题

1. 函数 $ f(x)=\frac{x\left|x\right|}{(x-1)(x-2)} $在 $ (-∞,+∞) $上有___.

(A)1条垂直渐近线，1条水平渐近线 (B)1条垂直渐近线，2条水平渐近线 (C)2条垂直渐近线，1条水平渐近线 (D)2条垂直渐近线，2条水平渐近线

1. 如果函数 $ f(x) $ 在 $ x_{0} $ 处可导, $ \Delta f(x_{0}) = f(x_{0} + \Delta x) - f(x_{0}) $, 则极限 $ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f(x_{0}) - \mathrm{d}f(x_{0})}{\Delta x} = $ ___.

(A) $ f'(x_{0}) $ (B) 1 (C) 0 (D) 不存在

1. $ \frac{d\sin\sqrt{x}}{d\sqrt{x}} = $ ___.

(A) $ \frac{1}{2\sqrt{x}}\cos\sqrt{x} $ (B) $ \frac{\cos\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}dx $

(C) $ \cos\sqrt{x}dx $ (D) $ \cos\sqrt{x} $

1. $ \int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x\sqrt{x}}e^{\frac{1}{x}}dx = $ ___.

(A) $ 2(e-1) $

(B) $ 2(1-e) $

(C) $ 1-e $

(D) $ e-1 $

三、 计算题

1. 设 $ y = \arccos \sqrt{1 - x^2} $，求 $ y' $.

1. 设方程 $ x^{y}=y^{x}(x\gt 0,y\gt 0) $ 确定了 y 为 x 的可微函数，求 dy.

1. 求极限 $ \lim_{x \to 0} \frac{x - \int_{0}^{x} \frac{\sin t}{t} dt}{x - \sin x} $.

1. 计算积分 $ \int\frac{x\sin2x^{2}}{1+\sin x^{2}}dx\left(\sin x^{2}\neq-1\right) $.

1. 试求过点 $ M_{0}(-1,1) $ 且与曲线 $ 2e^{x}-2\cos y-1=0 $ 上点 $ (0,\frac{\pi}{3}) $ 的切线相垂直的直线方程.

1. 计算 $ \int_{0}^{3}\frac{x^{2}}{\sqrt{1+x}}dx $.

1. 计算曲线 $ \{\begin{aligned}x&=\int_{1}^{t}\frac{\cos u}{u}\mathrm{d}u\\ y&=\int_{1}^{t}\frac{\sin u}{u}\mathrm{d}u\end{aligned}. $，在 $ 1 \leqslant t \leqslant \frac{\pi}{2} $ 的一段弧长.

四、 证明题

1. 当 x < 1 时，有 $ e^{x} \leqslant \frac{1}{1 - x} $

1. 设 $ f(x) $ 二阶连续可导．证明至少存在一点 $ \xi \in (0,2) $，使得

$$ \int_{0}^{2}f(x)\mathrm{d}x=2f(1)+\frac{1}{3}f^{\prime \prime}(\xi). $$

五、 应用题

曲线 $ y = \frac{\sqrt{x}}{1 + x^{2}} $ 绕 x 轴旋转得一旋转体面．若把它在 x = 0 与 x = $ \xi $ 之间围成的一个旋转体体积记为 $ V(\xi) $，试问 a 多少时 $ V(a) = \frac{1}{2} \lim_{\xi \to \infty} V(\xi) $？