微积分（上）试卷（A卷）

微积分（上）试卷（A卷）

一、 填空题（每小题4分，共20分）

1. 设 $ x \to 0 $ 时 $ \sqrt{4 + 3\sin x} - 2 $ 与 $ x^k $ 是同阶无穷小. 则 $ k = $ ___.

1. 由方程 $ e^{2x+y} - \cos(xy) = e - 1 $ 确定 $ y = y(x) $. 则 $ y'(0) = $ ___.

1. 设 $ y = \sqrt{1 + x^2} $. 在 x = 1 处对应的微分 $ dy = \_\_\_\_\_\_ $.

1. 已知 $ f(0) = f'(1) = 1, f(1) = 3 $. 则 $ \int_{0}^{1} x f''(x) \, dx = $ ___.

1. 曲线 $ y = (x - 1) \sqrt[3]{x^2} $ 拐点处的横坐标 $ x = \_\_\_\_\_\_ $.

二、 计算下列各题（每小题5分，共20分）

1. 求极限 $ \lim_{x\to0}\frac{e^{x}-e^{\sin x}}{(x^{2}+x^{3})\ln(1+x)} $

1. 求极限 $ \lim_{x\to0}\left(\frac{2+e^{\frac{1}{x}}}{1+e^{\frac{4}{x}}}+\frac{\sin x}{|x|}\right) $

1. 利用泰勒公式求极限 $ \lim_{x\to0}\frac{e^x\sin x-x(1+x)}{x^3} $.

1. 设 $ f(x) = \{ \begin{aligned} & \frac{\sqrt{ax + b} - 2}{x - 1}, & x \neq 1 \\ & -1, & x = 1 \end{aligned} . $ 在 x = 1 处连续，求 a, b 的值.

三、 计算下列各题（每小题5分，共15分）

1. 设 $ y = \frac{1}{2} \arctan\left(\sqrt[4]{1 + x^4}\right) + \frac{1}{4} \ln\frac{\sqrt[4]{1 + x^4} + 1}{\sqrt[4]{1 + x^4} - 1} $. 求 $ y' $.

1. 设 $ f(x) $ 连续，在 x = 0 的某邻域内有 $ f(1 + \sin x) - 3f(1 - \sin x) = 8x + o(x) $，且 $ f(x) $ 在 x = 1 处可导。求曲线 $ y = f(x) $ 在点 $ (1, f(1)) $ 处的切线方程.

1. 设由参数方程 $ \{\begin{array}{l}x=t-\ln(1+t)\\y=t^{2}+t^{3}\end{array}. $ 确定函数 $ y=y(x) $. 求 $ \frac{d^{2}y}{dx^{2}} $

四、 计算下列积分（每小题5分，共15分）

1. 求积分 $ \int\frac{\arctan\frac{1}{x}}{1+x^{2}}\,dx $.

1. 求积分 $ \int\frac{xe^{-\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}}}{\sqrt{(1+x^2)^3}} $dx.

1. 求积分 $ \int_{-1}^{1}(x+\sqrt[4]{1-x^{2}})^{2}dx $

五、 解答下列各题（每小题5分，共15分）

1. 设 $ f(y) $ 是连续函数，且 $ F(x) = \int_{a}^{b} f(y) |x - y| \, \mathrm{d}y $, a < x < b. 求 $ F''(x) $.

1. 设 $ S_{1}(t) $ 是曲线 $ y = x^{2} $ 与直线 x = 0 及 y = t 所围图形的面积， $ S_{2}(t) $ 是曲线 $ y = x^{2} $ 与直线 x = 1 及 y = t 所围图形的面积，其中 0 < t < 1 。求两个面积之和的最小值.

1. 求曲线 $ x^{2}+(y-5)^{2}=16 $ 所围平面图形绕 x 轴旋转一周所成立体的体积.

六、 证明下列各题（每小题5分，共15分）

1. (1) 写出 $ f(x) $ 在 $ x_{0} $ 可微的定义；

（2）设 $ f(x) $在区间 $ (a,b) $上可微，且 $ \mathrm{d}y=\Delta y $。证明 $ f(x) $在 $ (a,b) $上为一次函数 $ f(x)=kx+b $。

1. 利用函数凸性证明 $ a^{1-\lambda}b^{\lambda}\leqslant(1-\lambda)a+\lambda b $，其中 a>0, b>0,0<\lambda<1.

1. 设 $ f(x) $ 在区间 $ [2,4] $ 上有连续的导数，且 $ f(2) = f(4) = 0 $。证明

$$ \left|\int_{2}^{4}f(x)\mathrm{d}x\right|\leqslant\max_{2\leqslant x\leqslant4}\left|f^{\prime}(x)\right|. $$