第6章 多元函数微分学

6 多元函数微分学

作业1 多元函数

1. 填空题：

(1) 函数 $ f(x, y) = \sqrt{9 - x^2 - y^2} $的定义域是___，值域是___；

(2) 函数 $ f(x, y) = \begin{cases} \frac{2xy}{x^2 + y^2}, & x^2 + y^2 \neq 0 \\ 0, & x^2 + y^2 = 0 \end{cases} $ 的连续范围是 ___；

(3) 函数 $ z=\frac{1}{\sin x\sin y} $ 在 ___ 处间断.

1. 画出下列函数的图形：

(1) $ f(x, y) = \sqrt{1 - x^2 - y^2} $; (2) $ f(x, y) = 6 - 3x - 2y $;

(3) $ f(x, y) = 2x^{2} + y^{2} $.

1. 求下列极限：

(1) $ \lim_{{x \to 1}_{y \to 0}} \frac{\ln(x + e^y)}{\sqrt{x^2 - y^2}} $;

(2) $ \lim_{{x \to +\infty \\ y \to +\infty}} \left( \frac{xy}{x^2 + y^2} \right)^{x^2} $;

(3) $ \lim_{{x \to 0}} \frac{1 - \sqrt{1 + x^2 + y^2}}{y - 0} \sin(x^2 + y^2) $

1. 讨论极限 $ \lim_{{x \to 0} \atop y \to 0} \frac{x^3 y}{x^6 + y^2} $是否存在.

1. 证明 $ f(x, y) = \{ \begin{aligned} & \frac{2xy}{x^{2} + y^{2}}, & x^{2} + y^{2} \neq 0 \\ & 0, & x^{2} + y^{2} = 0 \end{aligned} . $ 在点 (0, 0) 分别对于每个自变量 x 或 y 都连续，但作为二元函数在点 (0, 0) 却不连续.

作业2 偏导数

1. 填空题：

(1) 设 $ f(x, y) = x + (y - 2) \arcsin \sqrt{\frac{x}{y}} $. 则 $ f_x(x, 2) = $ ___;

(2) 设 $ f(x, y) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} $. 则 $ \frac{\partial f}{\partial x} = $ ___， $ \frac{\partial f}{\partial y} = $ ___；

（3）设 $ u = xz^2 + \sin \frac{x}{y} $．则 $ \frac{\partial^3 u}{\partial x \partial y \partial z} = $ ___；

(4) 曲线 $ \Gamma $: $ \begin{cases} z = \dfrac{x^2 + y^2}{4} \\ y = 4 \end{cases} $ 在点 $ (2, 4, 5) $ 处的切线与 x 轴正向的倾角是 ___.

1. 设 $ u = x^{y^{z}} $. 求 $ \frac{\partial u}{\partial x} $, $ \frac{\partial u}{\partial y} $, $ \frac{\partial u}{\partial z} $, $ \frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}} $, $ \frac{\partial^{2}u}{\partial x\partial y} $.

1. 设 $ z = (x^{2} + y^{2}) e^{-\arctan\frac{x}{y}} $. 求 $ \frac{\partial^{2}z}{\partial x\partial y} $.

1. 设 $ u = \frac{1}{r} $， $ r = \sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2} $，其中 a, b, c 为常数．证明

$$ \frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial z^{2}}=0. $$

1. 设函数 $ f(x, y) = \{ \begin{aligned} & x^{2}(x^{2} + y^{2}) \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ & 0, & x = 0 \end{aligned} . $

（1）试求 $ f(x,y) $的偏导函数；

（2）考察偏导函数在（0，3）点处是否连续.

作业3 全微分及其应用

1. 填空题

(1) $ z = f(x, y) $ 在点 $ (x_{0}, y_{0}) $ 处偏导数存在是 $ z = f(x, y) $ 在该点可微的 ___ 条件；

(2) 函数 $ z = x^2 y^3 $ 在点 $ (2, -1) $ 处，当 $ \Delta x = 0.02 $， $ \Delta y = -0.01 $ 时有全增量 $ \Delta z = $ ___，全微分 $ \mathrm{d}z = $ ___；

(3) 设 $ z = f(x, y) $ 在点 $ (x_0, y_0) $ 处的全增量为 $ \Delta z $，全微分为 $ \mathrm{d}z $。则 $ f(x, y) $ 在点 $ (x_0, y_0) $ 处的全增量与全微分的关系式是 ___；

(4) 若 $ u = \arctan \frac{y}{x} $ 在点 $ (1, 1) $ 处的 $ \mathrm{d}u = $ ___;

(5) 若 $ u = (\sin y)^{\cos x} $，则 $ \mathrm{d}u = $ ___；

(6) $ u = \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} $，则 $ du = $ ___。

1. 证明 $ f(x, y) = \sqrt{|xy|} $ 在点 $ (0, 0) $ 处连续， $ f_{x}(0, 0) $ 与 $ f_{y}(0, 0) $ 存在，但在 $ (0, 0) $ 处不可微.

1. 设函数 $ f(x, y) = \{ \begin{aligned} x y \sin \frac{1}{x^{2} + y^{2}}, & x^{2} + y^{2} \neq 0 \\ 0, & x^{2} + y^{2} = 0 \end{aligned} . $．试证：

（1）函数 $ f(x,y) $在点(0,0)处是可微的；

（2）函数 $ f_{x}(x,y) $在点(0,0)处不连续.

作业4 多元复合函数的求导法则

1. 填空题：

(1) 设 $ z = e^u \cos v $， $ u = \frac{y}{x} $， $ v = 3y - 2x $。则 $ \frac{\partial z}{\partial x} = $ ___；

(2) 设 $ u = f(t) $， $ t = x + y $。则 $ \mathrm{d}u = $ ___；

(3) 设 $ u = (x - y)^z $， $ z = xy $。则 $ \frac{\partial u}{\partial x} = $ ___；

(4) 设 $ z = x^2 + \sqrt{y} $， $ y = \cos x $。则 $ \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x} = $ ___。

1. 求下列函数的偏导数：

(1) 设 $ u = f\left(x, \frac{x}{y}\right) $，其中 f 具有一阶连续偏导数。求 $ \frac{\partial u}{\partial x} $， $ \frac{\partial u}{\partial y} $；

(2) 设 $ u = f(x, y, z) $，而 $ z = \varphi(y, t) $， $ t = \psi(y, x) $，其中 $ f, \varphi, \psi $ 均可微．求 $ \frac{\partial u}{\partial x} $ 和 $ \frac{\partial u}{\partial y} $

1. 验证下列各式

（1）设 $ z = yf(x^2 - y^2) $，其中 $ f(u) $ 可微．则 $ y^2 \frac{\partial z}{\partial x} + xy \frac{\partial z}{\partial y} = xz $；

(2) 令 $ \xi = x $， $ \eta = y - x $， $ \zeta = z - x $，证明方程 $ \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial u}{\partial z} = 0 $ 可变为 $ \frac{\partial u}{\partial \xi} = 0 $.

1. 设 $ z = x f\left(2x, \frac{y^2}{x}\right) $，其中函数 $ f $ 具有二阶连续偏导数．求 $ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} $

1. 设 $ u = \varphi\left(\frac{y}{x}\right) + x\psi\left(\frac{y}{x}\right) $，其中函数 $ \varphi $， $ \psi $ 具有二阶连续偏导数．试证：

$$ x^{2}\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+2xy\frac{\partial^{2}u}{\partial x\partial y}+y^{2}\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}=0. $$

作业5 隐函数求导法

1. 填空题：

(1) 已知 $ x^2 - y^2 + 2xy = 0 $。则 $ \frac{dy}{dx} = $ ___；

(2) 已知 $ \ln \sqrt{x^2 + y^2} = \arctan \frac{y}{x} $. 则 $ \frac{dy}{dx} = $ ___;

（3）已知 $ x^2 - xy + 2y^2 + x - y - 1 = 0 $。则 $ \left.\frac{dy}{dx}\right|_{(0,1)} = $ ___， $ \left.\frac{d^2y}{dx^2}\right|_{x=1} = $ ___；

（4）已知 $ x + y + z = e^z $。则 $ \mathrm{d}z = $ ___；

(5) 已知 $ z = f(xyz, z - y) $，其中 $ f $ 具有一阶连续偏导数。则 $ \mathrm{d}z = $ ___。

1. 设 $ F(y+z, xy+yz)=0 $，其中 F 具有二阶连续偏导数．求 $ \frac{\partial^{2}z}{\partial y^{2}} $

1. 求由方程组 $ \{\begin{array}{l} z=x^{2}+y^{2} \\ x^{2}+2y^{2}+3z^{2}=10 \end{array}. $ 所确定的 $ y(x) $ 及 $ z(x) $ 的导数 $ \frac{dy}{dx} $ 及 $ \frac{dz}{dx} $.

1. 设 $ z = x^{2} + y^{2} $，其中 $ y = y(x) $ 为由方程 $ x^{2} - xy + y^{2} = 1 $ 所确定的函数．求 $ \frac{dz}{dx} $ 及 $ \frac{d^{2}z}{dx^{2}} $

1. 设 $ u = f(z) $, $ z = z(x, y) $ 是由方程 $ z = x + y\varphi(z) $ 所确定的隐函数. 求证:

$$ \frac{\partial u}{\partial y}=\varphi(z)\frac{\partial u}{\partial x}. $$

作业6 方向导数与梯度

1. 填空题：

（1）在梯度向量的方向上，函数的变化率 ___；

（2）函数在给定点的方向导数的最大值就是梯度的；

(3) 函数 $ z=4x^{2}+9y^{2} $ 在点(2,1)的梯度为 $ \mathrm{grad}z= $ ___;

(4) 函数 $ u = e^x \cos(yz) $ 在点 $ (0, 0, 0) $ 处沿方向 $ \overrightarrow{l} = \{2, 1, -2\} $ 的方向导数是 ___；

(5) 函数 $ u = \ln(x + \sqrt{y^2 + z^2}) $ 在点 $ A(1, 0, 1) $ 处沿 $ A $ 指向点 $ B(3, -2, 2) $ 方向的方向导数是___。

1. 求 $ z = x^{2} + y^{2} - xy $ 在点 $ M(1, 1) $ 沿 x 轴的正向组成 $ \alpha $ 角的方向上的方向导数．在怎样的方向上此导数有：（1）最大值；（2）最小值；（3）等于零．

1. 求函数 $ u = \frac{1}{r} $， $ r = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} $ 在点 $ M_{0}(x_{0}, y_{0}, z_{0}) $ 处梯度的大小和方向.

1. 设 $ u = u(x, y) $， $ f(u) $ 是可微函数．证明 $ \mathrm{grad}f(u) = f'(u)\mathrm{grad}u $

作业7 偏导数的几何应用

1. 填空题：

（1）曲线 y=x，z=x^{2} 在点 M(1,1,1) 处的切线方程为 ___，法平面方程为 ___；

（2）曲线 $ \{\begin{aligned}x^{2}+z^{2}&=10\\ y^{2}+z^{2}&=10\end{aligned}. $在点(1，1，3)处的切线方程为___，法平面方程为___；

（3）由曲线 $ \{\begin{aligned}&3x^{2}+2y^{2}=12\\ &z=0\end{aligned}. $绕y轴旋转一周所得到的旋转曲面在点 $ M(0,\sqrt{3},\sqrt{2}) $处的指向内侧的单位法向量为___；

（4）曲面 $ x^{2}+2y^{2}+3z^{2}=21 $ 在点（1，-2，2）处的法线方程是___，切平面方程是___；

(5) 已知曲线 x=t, y=t^{2}, z=t^{3} 上点 P 的切线平行于平面 x+2y+z=4. 则点 P 的坐标是 ___.

1. 证明曲面 $ xyz = a^{3} (a \gt 0) $ 的切平面与坐标面形成体积一定的四面体.

1. 设 $ l $ 是曲线 $ \{\begin{aligned}x^2+y^2+z^2=6\\ x+y+z=0\end{aligned}. $ 在点 $ (1, -2, 1) $ 处的切向量．求函数 $ f(x, y, z) = xy + yz + zx $ 在该点沿 $ l $ 的方向导数．

1. 求函数 $ u = x^{2} + y^{2} + z^{2} $ 在沿椭球面 $ \frac{x}{a^{2}} + \frac{y}{b^{2}} + \frac{z}{c^{2}} = 1 $ 上点 $ M_{0}(x_{0}, y_{0}, z_{0}) $ 处的外法线方向的方向导数.

1. 证明：曲面 $ z = xf\left(\frac{y}{x}\right) $ 在任意点处的切平面都通过原点，其中 f 具有连续导数.

作业8 多元函数的极值

1. 求下列函数的极值：

(1) $ z = (x - 1)^2 + (y - 2)^2 $;

(2) $ z = x^{2} - xy + y^{2} - 2x + y $;

(3) $ z = x^{4} + y^{4} - x^{2} - 2xy - y^{2} $;

(4) $ z = 1 - \sqrt{x^{2} + y^{2}} $

1. 求函数 $ f(x, y) = x^{2} + 2y^{2} - x^{2}y^{2} $ 在区域 $ D = \{(x, y) \mid x^{2} + y^{2} \leqslant 4, y \geqslant 0\} $ 上的最大值和最小值.

1. 已知容积为 V 的开顶长方体. 当其尺寸怎样时, 有最小的表面积?

1. 求椭圆 $ \{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}=R^{2}\\x+y+z=1\end{array}. $ 的长半轴和短半轴.

多元函数微分学测试题

1. 填空题：

(1) $ \lim_{{x \to 0}} \frac{3 - \sqrt{9 + xy}}{xy} = $ ___;

(2) 设 $ u = x^{y^{2}} $. 则 $ \mathrm{d}u = $ ___;

(3)已知 $ f(x, y)=\{\begin{aligned}&\frac{(x^{2}-y^{2})xy}{x^{2}+y^{2}},&(x, y)\neq0\\ &0,&(x, y)=0\end{aligned}. $，则 $ f_{x}(0, y)= $___；

(4) 函数 $ u = \left(\frac{x}{y}\right)^{\frac{1}{x}} $ 在点 (1, 1, 1) 的梯度为 ___；

(5) 函数 $ z = x^{2} + y^{2} $ 在点 $ P_{0}(1, 2) $ 沿从点 $ P_{0}(1, 2) $ 到点 $ P_{1}(2, 2 + \sqrt{3}) $ 方向的方向导数是 ___

(6) 已知曲面 $ z = xy $ 上的点 $ P $ 处的法线 $ l $ 平行于直线 $ l_1 $： $ \frac{x - 6}{2} = \frac{y - 3}{-1} = \frac{2z - 1}{2} $。则该法线的方程为___；

(7)设 $ f(x, y) = x^3 - y^3 + 3x^2 + 3y^2 - 9x $，x > 0。则它有极小值，为___。

1. 求解下列各题：

（1）已知 $ \frac{x}{z}=\varphi\left(\frac{y}{z}\right) $，其中 $ \varphi $为可微函数．求 $ x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y} $

（2）设 $ z = x f\left(\frac{y}{x}\right) + y g\left(x, \frac{x}{y}\right) $，其中 $ f $， $ g $ 均为二阶可微函数．求 $ \frac{\partial^{2}z}{\partial x \partial y} $

（3）设函数 $ u(x, y) $ 有连续偏导数．试用极坐标与直角坐标的转化公式 $ x = r \cos \theta $, $ y = r \sin \theta $，将 $ x - y \frac{\partial u}{\partial x} $ 变化为 r， $ \theta $ 下的表达式；

（4）已知 $ z = f(x, y) $， $ x = \varphi(y, z) $，其中 $ f, \varphi $ 均为可微函数．求 $ \frac{dz}{dx} $

（5）设 $ \vec{n} $ 是曲面 $ z = x^{2} + \frac{y^{2}}{2} $ 在 $ P(1, 2, 3) $ 处指向外侧的法向量．求函数 $ u = \sqrt{\frac{3x^{2} + 3y^{2} + z^{2}}{x}} $ 在点 $ P $ 处沿方向 $ \vec{n} $ 的方向导数；

(6) 设 $ z = z(x, y) $ 是由方程 $ x^{2} + y^{2} - z = \varphi(x + y + z) $ 所确定的函数，其中 $ \varphi(x) $ 可导．求 dz；

(7) 设 $ e^z = xyz $. 求 $ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} $.

1. 在第一卦限内作椭球面 $ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 $的切平面使该切平面与三个坐标平面围成的四面体的体积最小．求切点的坐标．

1. 设 $ f(x, y) = \{ \begin{aligned} &(x + y)^2 \sin \frac{1}{x^2 + y^2}, & x^2 + y^2 \neq 0 \\ &0, & x^2 + y^2 = 0 \end{aligned} . $

(1) 求 $ \frac{\partial f}{\partial x} $, $ \frac{\partial f}{\partial y} $;

(2) $ \frac{\partial f}{\partial x} $， $ \frac{\partial f}{\partial y} $是否在原点连续？ $ f(x,y) $在原点是否可微？说明理由.

1. 已知 x, y, z 为常数，且 $ \mathrm{e}^{x} + y^{2} + |z| = 3 $．求证： $ \mathrm{e}^{x}y^{2} |z| \leqslant 1 $．