第9章 微分方程

9 微分方程

作业20 微分方程基本概念

1. 写出下列条件所确定的微分方程：

（1）曲线在点 $ M(x,y) $处的切线的斜率等于该点的横坐标的平方；

（2）曲线上点 $ M(x,y) $处的切线与y轴的交点为Q，线段MQ的长度为2，且曲线通过点(2,0);

（3）曲线上任一点 $ M(x, y) $ 处的切线，以及 M 点与原点的连线和 x 轴所围成的三角形的面积为常数 $ a^{2} $.

1. 求曲线簇 $ y^{2}=4a(x+C)^{3} $ (C 为任意常数) 所满足的微分方程.

1. 求微分方程 $ y'' + 3y' + 2y = 0 $ 形如 $ y = e^{rx} $ 的解.

作业21 可分离变量的微分方程

1. 解微分方程 $ y' \sin x = y \ln y $.

1. 求解初值问题： $ \begin{cases}xy' + e^y = 1\\y \mid_{x=1} = -\ln2\end{cases} $

1. 解微分方程 $ y \, \mathrm{d}x + x \, \mathrm{d}y = x^{2} \, \mathrm{d}y $.

1. 解微分方程 $ (y+1)^{2}y'+x^{3}=0 $.

1. 一曲线通过点(2,3)，它在两坐标轴之间的任意切线段均被切点所平分．求这曲线方程.

1. 设有连接 $ O(0, 0) $ 和 $ A(1, 1) $ 的一段向上凸的曲线弧 OA，对于 OA 上任一点 $ P(x, y) $，曲线弧 OP 与线段 $ \overrightarrow{OP} $ 所围成的面积为 $ x^{2} $. 求曲线弧 OA 的方程.

作业22 齐次方程

1. 解微分方程 $ (x^{3}+y^{3})\mathrm{d}x-3xy^{2}\mathrm{d}y=0 $.

1. 求解初值问题 $ \{\begin{aligned}xyy'&=x^{2}+y^{2}\\ y&\big|_{x=1}=2\end{aligned}. $

1. 作适当的变量代换，求下列方程的通解：

(1) $ y' = \frac{1}{x - y} + 1 $; (2) $ y' = \frac{y - x + 1}{y + x + 5} $;

(3) $ (x+y)^{2}y'=1 $

1. 求曲线 $ y = y(x) $，使它正交于圆心在 x 轴上且过原点的任一圆（注：两曲线正交是指在交点处两曲线的切线互相垂直）.

作业23 一阶线性微分方程

1. 解微分方程 $ \frac{dx}{dt} - x = \sin t $.

1. 解微分方程 $ xy' - 3y = x^{2} $

1. 解微分方程 $ y \ln y \, \mathrm{d}x + (x - \ln y) \, \mathrm{d}y = 0 $.

1. 求解初值问题 $ \{\begin{array}{l} y^{\prime}+y\cot x=5\mathrm{e}^{\cos x} \\ y\big|_{x=\frac{\pi}{2}}=-4 \end{array}. $

1. 设曲线积分 $ \int_{L} yf(x) \, dx + [2xf(x) - x^{2}] \, dy $ 在右半平面 $ (x \gt 0) $ 内与路径无关，其中 $ f(x) $ 可导，且 $ f(1) = 1 $。求 $ f(x) $。

1. 解微分方程 $ \frac{dy}{dx}-3xy=xy^{2} $

作业24 全微分方程

判别下列方程中哪些是全微分方程，并求全微分方程的通解：

1. $ (3x^{2}+6xy^{2})\mathrm{d}x+(6x^{2}y+4y^{2})\mathrm{d}y=0 $

1. $ (x\cos y + \cos x)y' - y\sin x + \sin y = 0 $

$$ 3.\ \mathrm{e}^{y}\mathrm{d}x+\left(x\mathrm{e}^{y}-2y\right)\mathrm{d}y=0. $$

作业25 可降价的高阶微分方程

1. 求下列微分方程的通解：

(1) $ y'' = \ln x $;

(2) $ (1 + x^2)y'' = 2xy' $; $ y|_{x=0} = 1 $; $ y'\|_{x=0} = 3 $;

(3) $ yy'' - (y')^2 = 0 $;

(4) $ y'' = (y')^3 + y' $.

1. 求解初值问题 $ \{\begin{aligned} y^{3}y''+1&=0 \\ y\big|_{x=1}&=1,\quad y'\big|_{x=1}=0\end{aligned}. $

1. 设第一象限内的曲线 $ y = y(x) $ 对应于 $ 0 \leq x \leq a $ 一段的长在数值上等于曲边梯形 $ (0 \leq y \leq y(x), 0 \leq x \leq a) $ 的面积，其中 a > 0 是任意给定的， $ y(0) = 1 $。求 $ y(x) $。

作业26 线性微分方程解的结构

1. 已知 $ y_{1}(x)=\frac{1}{x} $ 是齐次线性方程 $ y''+\frac{1}{x}y'-\frac{1}{x^{2}}y=0 $ 的一个解．求此方程的通解．

1. 若 $ y_{1} $， $ y_{2} $， $ y_{3} $ 是二阶非齐次线性微分方程(1)的线性无关的解，试用 $ y_{1} $， $ y_{2} $， $ y_{3} $ 表达方程(1)的通解.

1. 已知 $ y_{1}=x^{2} $， $ y_{2}=x+x^{2} $， $ y_{3}=e^{x}+x^{2} $ 都是二阶线性非齐次方程

$$ (x-1)y^{\prime \prime}-xy^{\prime}+y=-x^{2}+2x-2 $$

的解．求此方程的通解．

作业27 二阶常系数齐次线性微分方程

1. 求下列微分方程的通解：

(1) $ y'' - 6y' + 9y = 0 $;

(2) $ y'' - 2y' = 0 $;

(3) $ y'' + 6y' + 10y = 0 $;

(4) $ y^{(4)} - 4y = 0 $

1. 求方程 $ y'' + 4y' + 4y = 0 $ 满足所给初始条件 $ y|_{x=0} = 0 $, $ y'|_{x=0} = 1 $ 的特解.

1. 设可微函数 $ \varphi(x) $ 满足方程 $ \varphi(x) = e - \int_{0}^{x}(x - u)\varphi(u)du $。求 $ \varphi(x) $.

作业28 二阶线性非齐次微分方程

1. 求下列各方程的通解：

(1) $ y'' - 3y' = -6x + 2 $;

(2) $ y'' + 2y' - 3y = e^{-3x} $;

(3) $ y'' + 3y' + 2y = 3x\mathrm{e}^{-x} $;

(4) $ y'' + 4y = x\cos x $;

(5) $ y'' - y = \sin^{2}x $.

1. 求方程 $ y'' + y + \sin 2x = 0 $ 满足初始条件 $ y\big|_{x=\pi} = 1 $， $ y'\big|_{x=\pi} = 1 $ 的特解.

1. 已知二阶线性非齐次微分方程 $ y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x) $ 的三个特解为 $ y_1 = x $, $ y_2 = e^x $, $ y_3 = e^{2x} $. 试求方程满足初始条件 $ y(0) = 1 $, $ y'(0) = 3 $ 的特解.

1. 设连续函数 $ f(x) $ 满足 $ f(0) = 0 $，且适合 $ f'(x) = 1 + \int_{0}^{x} [3\mathrm{e}^{-t} - f(t)]\,\mathrm{d}t $。求 $ f(x) $。

微分方程测试题

1. 填空题：

（1）函数 $ y = Cx^{3} $ 是微分方程 ___ 的通解；

(2) 微分方程 $ \frac{d}{dx}x^2 + 2x + 1 = 0 $, $ x^2e^x y' = 1 - xe^y $ 的通解是 ___;

(3) 已知二阶线性齐次方程的两个解 $ y_{1} = e^{x} $, $ y_{2} = xe^{x} $. 则该方程为 ___;

（4）方程 $ y \mathrm{d}x + (x - e^{-y}) \mathrm{d}y = 0 $ 的通解是 ___；

(5) 方程 $ y'' + y = 2\cos x $ 的特解形式是 ___.

1. 求下列各方程的通解：

(1) $ y^{2}dx + x^{2}dy = xy dy $;

(2) $ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{y}{x+y^{3}}; $

(3) $ 2(2 + y)y'' = 1 + (y')^2 $;

(4) $ x^2 y'' = (y')^2 + 2xy' $;

(5) $ y'' + 4y = x\cos x $;

(6) $ y'' - 2y' + y = x(1 + 2e^x) $;

(7) $ y'' + 4y' + 4y = 3e^{-2x} $;

(8) $ (2x-5y+3)\mathrm{d}x-(2x+4y-6)\mathrm{d}y=0. $

1. 设 $ f(x) $ 具有二阶连续导数，且 $ f(0)=0, f'(0)=1 $，并且

$ [xy(x+y)-f(x)y]\mathrm{d}x+\left[f'(x)+x^2y\right]\mathrm{d}y=0 $

为一全微分方程．求 $ f(x) $．

1. 已知方程 $ \frac{\partial^{2}z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}z}{\partial y^{2}}=ze^{2x} $有形如 $ z=f(e^{x}\sin y) $的解．试求出这个解．

1. 设函数 $ f(x) $ 在 $ (-\infty, +\infty) $ 内具有连续导数，且满足

$$ \begin{array}{c} f(t)=2\displaystyle\iint\limits_{x^{2}+y^{2}\leq t^{2}}(x^{2}+y^{2})f\big(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\big)\mathrm{d}x\mathrm{d}y+t^{4}.\end{array} $$

求 $ f(x) $.

1. 设曲线 $ y = y(x) $ 是一向上凸的连续曲线，其上任一点 $ (x, y) $ 处的曲率为 $ \frac{1}{\sqrt{1 + (y')^2}} $，且此曲线上点 $ (0, 1) $ 处的切线方程为 $ y = x + 1 $。求该曲线的方程。

1. 设 $ f(x) = \sin x - \int_{0}^{x} (x - t) f(t) \, dt $，其中 $ f(x) $ 为连续函数．求 $ f(x) $.