第10章 无穷级数

10 无穷级数

作业29 常数项级数的概念和性质

1. 按定义判定下列级数的敛散性．若收敛，求级数的和：

(1) $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(5n-4)(5n+1)} $;

(2) $ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}; $

(3) $ \sum_{n=1}^{\infty} (\sqrt{n + 2} - 2 \sqrt{n + 1} + \sqrt{n}) $;

(4) $ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n-1}{2^{n}} $

1. 判别下列级数的敛散性：

(1)

$$ \frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{9}+\frac{1}{12}+\frac{1}{15}+\cdots; $$

(2)

$$ 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt[3]{3}}+\frac{1}{\sqrt[4]{4}}+\cdots; $$

(3)

$$ \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2^{n}}+\frac{1}{10n}\right). $$

1. 设 $ a_n \leq c_n \leq b_n (n \in \mathbb{N}^* $ $，级数 $ \sum_{n=1}^{\infty} a_n $ 与 $ \sum_{n=1}^{\infty} b_n $ 都收敛，求证级数 $ \sum_{n=1}^{\infty} c_n $ 收敛。$

作业30 正项级数及其收敛性

1. 用比较判别法（或其极限形式）判定下列级数的敛散性：

(1) $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin^{2}n}{n^{2}} $;

(2) $ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{3n-1}{n^{2}+n-1} $;

(3) $ \sum_{n=1}^{\infty}2^{n}\tan\frac{\pi}{3^{n}}; $

(4) $ \sum_{n=1}^{\infty}\left(\sqrt[n]{n}-1\right) $.

1. 用比值判别法判定下列级数的敛散性：

(1) $ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2}}{3^{n}} $;

(2) $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n} $

1. 用根值判别法判定下列级数的敛散性：

(1) $ \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2n+1}{3n+1}\right)^{n} $;

(2) $ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln(1+n)}{2^{n}} $

1. 用适当的方法判定下列级数的敛散性：

(1) $ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}+(-1)^{n}}{3^{n}} $;

(2) $ \sum_{n=1}^{\infty}\sin\frac{n\pi}{3^{n}}. $

1. 利用级数收敛的必要条件证明 $ \lim_{n\to+\infty}\frac{2^n}{n!}=0 $.

1. 设正项级数 $ \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} $ 收敛．证明级数 $ \sum_{n=1}^{\infty}\sqrt{a_{n}a_{n+1}} $ 也收敛．

作业31 交错级数与任意项级数的收敛性

1\. 判别下列级数的敛散性．若收敛，说明是条件收敛还是绝对收敛：

(1) $ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n+1}}; $

(2) $ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{n^{3}}{2^{n}} $;

(3) $ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n-\ln n}; $

(4) $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos nx}{n^{2}} \quad (x \in \mathbb{R}) $.

1. 设 $ \lim_{n\to\infty}n^{2}a_{n}=a $ (a为常数). 证明级数 $ \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} $ 绝对收敛.

1. 设级数 $ \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} $ 收敛， $ \lim_{n\to\infty}\frac{b_{n}}{a_{n}}=1 $ 。试问级数 $ \sum_{n=1}^{\infty}b_{n} $ 是否也收敛？如果级数 $ \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} $ 与 $ \sum_{n=1}^{\infty}b_{n} $ 都是正项级数呢？

作业32 幂级数及其求和

1. 求下列幂级数的收敛半径和收敛域：

(1) $ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{2^{n}\cdot n}; $

(2) $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n}}{n!} x^{n} $;

(3) $ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n-1}{2^{n}}x^{2n-2} $;

(4) $ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-1)^{n}}{\sqrt{n}} $

1. 求下列幂级数的收敛域及其和函数：

(1) $ \sum_{n=1}^{\infty} nx^{n} $;

(2) $ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{nx^{n}}{n+1} $

1. 求幂级数 $ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n-1}}{2n-1} $ 的收敛域及其和函数，并由此计算级数 $ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)\cdot5^{n}} $ 的和.

作业33 函数展开成幂级数

1. 将下列函数展开成麦克劳林级数，并指出其成立的区间：

(1) $ \frac{e^{x}-e^{-x}}{2} $;

(2) $ \sin^{2}x $;

(3)

$$ \frac{x}{1+x-2x^{2}}; $$

(4) $ x \ln(1 + x) $;

(5)

$$ \frac{1}{\left(1-x\right)^{2}}; $$

(6) $ \int_{0}^{x}\frac{\sin t}{t}dt. $

1. 将下列函数展开成 $ x - x_{0} $ 的幂级数，并指出其成立区间：

(1) $ \frac{1}{1-x}, x_{0}=3; $

(2) $ \cos x $, $ x_{0} = -\frac{\pi}{3} $.

1. 把函数 $ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{\mathrm{e}^{x}-1}{x}\right) $展开为x的幂级数，并证明 $ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{(n+1)!}=1 $.

作业34 傅里叶级数

1. 将下列以 $ 2\pi $ 为周期的函数展开成傅里叶级数：

(1) $ f(x) = \mathrm{e}^{ax} $ （ $ -\pi \leqslant x \lt \pi $）;

(2) $ f(x) = \pi^2 - x^2 $ ( $ -\pi \leq x \lt \pi $).

1. 将函数 $ f(x) = \sin ax $ （ $ -\pi \leq x \lt \pi $， $ a \neq 0 $， $ \pm 1 $， $ \pm 2 $， $ \cdots $）展开成傅里叶级数.

1. 把函数 $ f(x)=\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2} $（ $ 0\leq x\leq\pi $）展开成余弦级数.

1. 把函数 $ f(x) = x(\pi - x) $ $ (0 \leq x \leq \pi) $ 展开成正弦级数，并由此证明

$$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{n-1}}{\left(2n-1\right)^{3}}=\frac{\pi^{3}}{32}. $$

作业35 一般周期函数的傅里叶级数

1. 将下列周期函数展开成傅里叶级数：

(1) $ f(x) = x - [x] $;

(2) $ f(x) = |\sin x| $.

1. 将函数 $ f(x)=\{\begin{array}{ll}x, & 0\lt x\lt 1 \\ 2-x, & 1\leq x\lt 2\end{array}. $ 展开成正弦级数.

1. 试将函数 $ f(x)=\{\begin{aligned}&1,& \frac{3}{2}\lt x\leqslant2\\ &x^2,& 2\lt x\lt 3\end{aligned}. $ 展开成余弦级数.

无穷级数测试题

1. 填空题：

（1）部分和数列有界是正项级数 $ \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} $ 收敛的 ___ 条件；

(2) 若级数 $ \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} $ 绝对收敛，则级数 $ \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} $ 必定 ___；

（3）若级数 $ \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} $条件收敛，则级数 $ \sum_{n=1}^{\infty}|a_{n}| $必定___；

(4) $ \lim_{n \to \infty} a_n = 0 $ 是级数 $ \sum_{n=1}^{\infty} a_n $ 收敛的 ___ 条件.

1. 用适当的方法判定下列级数的敛散性：

(1) $ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\ln(n+1)}; $

(2)

$$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\left(\ln n\right)^{n}} $$

(3) $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \cdot \sqrt[n]{n}}; $

(4) $ \sum_{n=1}^{\infty}\left(\mathrm{e}^{\frac{1}{n}}+\mathrm{e}^{-\frac{1}{n}}-2\right) $;

(5)

$$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\left(\ln n\right)^{\ln n}} $$

(6) $ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2n-1)!!}{n!} $;

(7)

$$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{a^{n}n!}{n^{n}}; $$

(8)

$$ \sum_{n=1}^{\infty}n\left(\sqrt[n]{3}-1\right)^{n}; $$

(9) $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{b^{n}}{a_{n}} $，其中 $ a_{n} $，b 均为正数，且 $ \lim_{n \to \infty} a_{n} = a $；

(10) $ \sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{\frac{1}{n}}\frac{\sqrt{x}}{x^{2}+1}dx. $

1. 判别下列级数的敛散性．若收敛，说明是条件收敛还是绝对收敛：

(1) $ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{\sqrt{n}}{n-1}; $

(2)

$$ \sum_{n=1}^{\infty}\sin(\pi\sqrt{n^{2}+1}); $$

(3)

$$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{n}}{\pi^{n}}\sin\frac{\pi}{n}; $$

(4)

$$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{n-1}}{\sqrt[n]{n}}. $$

1. 求下列幂级数的收敛半径和收敛域：

(1) $ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n!)^{2}}{(2n)!}x^{n} $;

(2) $ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^{n}+(-2)^{n}}{n}(x+1)^{n} $

1. 求下列幂级数的收敛域及其和函数：

(1) $ \sum_{n=1}^{\infty} n^{2} x^{n-1} $;

(2) $ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{4n^{2}-1}x^{2n+1} $

1. 求幂级数 $ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!} $ 的收敛域，证明它的和函数满足微分方程 $ y'' = y $，并由此求出和函数.

1. 将下列函数展开成麦克劳林级数，并指出其成立的区间：

(1) $ \ln(2 - 3x + x^2) $;

(2) $ x\arctan x - \ln \sqrt{1 + x^{2}} $

1. 将函数 $ f(x) = \lg x $ 展开成 x - 1 的幂级数，并指出其成立的区间.

1. 将函数 $ f(x) = \cos \frac{x}{2} \quad(-\pi \leq x \lt \pi) $展开成周期为 $ 2\pi $的傅里叶级数.

1. 将函数 $ f(x) = \frac{x}{2} $ 在区间 $ [0,2] $ 上分别展开成周期为4的正弦级数和余弦级数.