微积分（下）测试题一

微积分（下）测试题一

1. 填空题：

(1) 设 $ z = \arctan \frac{x - y}{1 + xy} $. 则 $ \mathrm{d}z \big|_{(1,\sqrt{3})} = $ ___;

(2) 设 $ L $ 为 $ x^2 + y^2 = 1 $ 正向一周．则 $ \oint \mathrm{e}^{x^2} \, \mathrm{d}y = $ ___；

（3）设 $ \Sigma $ 是平面 $ \frac{x}{2} + \frac{y}{3} + z = 1 $ 由 $ x \geqslant 0, y \geqslant 0, z \geqslant 0 $ 所确定的三角形区域．则曲面积分 $ \iint_{\Sigma}(3x + 2y + 6z)ds = $ ___；

（4）设圆柱面 $ x^{2} + y^{2} = 3 $ 与曲面 z = xy 在 $ (x_{0}, y_{0}, z_{0}) $ 点相交，且它们的交角为 $ \frac{\pi}{6} $. 则正数 $ z_{0} = $ ___;

（5）设一阶线性非齐次微分方程 $ y' + P(x)y = Q(x) $ 有两个线性无关的解 $ y_{1}, y_{2} $。若 $ \alpha y_{1} + \beta y_{2} $ 也是该方程的解，则应有 $ \alpha + \beta = $ ___。

1. 求二重极限 $ \lim_{{x \to 0 \atop y \to 0}} (x^2 + y^2)^{x^2 y^2} $.

1. 设由方程组 $ \{\begin{array}{l}x=\mathrm{e}^{u}\cos v\\y=\mathrm{e}^{u}\sin v\end{array}. $ 确定了 u, v 是 x, y 的函数．求 $ \frac{\partial u}{\partial x} $ 及 $ \frac{\partial v}{\partial x} $ 与 $ \frac{\partial v}{\partial y} $

1. 已知点 $ A(1,1,1) $ 及点 $ B(3,2,-1) $. 求函数 $ u = \ln(3xy - 2z^{3}) $ 在点 A 处沿 $ \overrightarrow{AB} $ 方向的方向导数.

1. 计算累次积分 $ \int_{1}^{2}dx\int_{1}^{\sqrt{x}}\frac{1}{y}e^{\frac{x}{y}}dy+\int_{2}^{4}dx\int_{\frac{x}{2}}^{\sqrt{x}}\frac{1}{y}e^{\frac{x}{y}}dy. $

1. 计算 $ I = \iiint_{\Omega} z \, dx \, dy \, dz $，其中 $ \Omega $ 是由柱面 $ x^{2} + y^{2} = 1 $ 及平面 z = 0, z = 1 所围成的区域.

1. 计算 $ \iint_{\Sigma}(x^{3}+y^{2}+z)\,\mathrm{d}S $，其中 $ \Sigma $是抛物面 $ 2z=x^{2}+y^{2} $被平面 $ z=2 $所截下的有限部分.

1. 计算 $ \int_{L}\left(4x+\frac{2x}{y}\cos\frac{x^{2}}{y}\right)\mathrm{d}x-\frac{x^{2}}{y^{2}}\cos\frac{x^{2}}{y}\mathrm{d}y $，L是点 $ A\left(\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) $到点 $ B(\pi,2\pi) $在上半平面 $ (y\gt 0) $上的任意逐段光滑曲线.

1. 计算 $ \iint_{\Sigma}(x+y^{2})\mathrm{d}y\mathrm{d}z+(y+z^{2})\mathrm{d}z\mathrm{d}x+(z+x^{2})\mathrm{d}x\mathrm{d}y $，其中 $ \Sigma $为半球面 $ z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}} $上侧.

1. 设二阶连续可导函数 $ y = f(x) $， $ x = \frac{s}{t} $ 适合 $ \frac{\partial^{2}y}{\partial t^{2}} + 4\frac{\partial^{2}y}{\partial s^{2}} = 0 $ 。求 $ y = f(x) $

1. 求方程 $ y'' + 4y = \cos 2x $ 的通解.

1. 求内接于椭球面 $ \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1 $ 且所有表面都平行于坐标面的长方体中，体积最大的长方体.

1. 附加题：（供学习无穷级数的学生作测试）

(1) 判别级数 $ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{\left[\ln(1+n)\right]+n} $ 是否收敛．如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？

(2) 求幂级数 $ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{n^{2}+1}{2^{n}\cdot n!}x^{n} $ 的收敛区间及和函数；

(3) 将 $ f(x) = \{ \begin{array}{l} 0, & 0 \lt a \leq |x| \lt \pi \\ H\pi, & 0 \lt x \lt a \\ -H\pi, & -a \lt x \lt 0 \end{array} . $ 展开成以 $ 2\pi $ 为周期的傅里叶级数.