微积分（下）测试题二

微积分（下）测试题二

1. 填空题：

(1) 曲面 $ 3xyz - z^{3} = a^{3} $ 在点 $ (0, a, -a) $ 处的切平面方程是 ___;

(2) 微分方程 $ y'' - 2y' - 3y = 2xe^{-x} $ 的待定特解形式是 ___ ;

（3）设平面曲线 L 为下半圆周 $ y = -\sqrt{1 - x^{2}} $ 。则曲线积分 $ \int_{L}(x^{2} + y^{2})ds = $ ___；

(4) 设 $ \Sigma $ 是球面 $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2} $ 的外测．则曲面积分 $ \iint_{\Sigma} \frac{x\mathrm{d}y\mathrm{d}z + y\mathrm{d}z\mathrm{d}x + z\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{(x^{2} + y^{2} + z^{2})^{\frac{3}{2}}} = $ ___;

（5）累次积分 $ \int_{1}^{2}dx\int_{1}^{\sqrt{x}}\frac{1}{y}e^{\frac{x}{y}}dy+\int_{2}^{4}dx\int_{\frac{x}{2}}^{\sqrt{x}}\frac{1}{y}e^{\frac{x}{y}}dy= $ ___.

1. 计算二次积分 $ \int_{-1}^{1}dx\int_{-\sqrt{1-x^{2}}}^{\sqrt{1-x^{2}}}\frac{1}{\sqrt{1+y^{2}}\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}}dy. $

1. 设 $ \Omega $ 为由曲线 $ \{\begin{aligned} y^{2} - z^{2} &= 1 \\ x &= 0 \end{aligned}. $ 绕 z 轴旋转一周而成的旋转曲面 $ \Sigma $ 与平面 z = -1, z = 1 围成的立体. 计算 $ \iiint_{\Omega} (x^{2} + y^{2}) \, dv $.

1. 求函数 $ u = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 3z $ 在点 $ M_{0}(1, -1, 2) $ 处的梯度及沿梯度方向上函数的方向导数.

1. 做一个容积为 $ 1 \, m^{3} $ 的有盖圆柱形桶，问尺寸应如何才能使用料最省？

1. 设积分域 D 由 $ x^{2}+y^{2}\leqslant4,x\geqslant0,y\geqslant0 $ 所围成．试计算二重积分 $ \iint_{D}\sin(x^{2}+y^{2})d\sigma $

1. 计算三重积分 $ \iiint_{\Omega} z \, dv $，式中 $ \Omega $ 为由 $ \{\begin{aligned} z &\geqslant \sqrt{x^{2}+y^{2}} \\ 1 &\leqslant z \leqslant 2 \end{aligned}. $ 所确定的固定的圆台体.

1. 设 $ f(x) $在 $ (-∞,+∞) $上有连续的一阶导数．求曲线积分

$$ \int_{L}\frac{1+y^{2}f(xy)}{y}\mathrm{d}x+\frac{x}{y^{2}}\left[y^{2}f(xy)-1\right]\mathrm{d}y, $$

其中曲线 L 是从点 $ A\left(3,\frac{2}{3}\right) $ 到点 $ B(1,2) $ 的线段.

1. 计算曲面积分 $ \iint_{\Sigma}(x+y+z)dS $，其中 $ \Sigma $ 为上半球面: $ x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}\quad(z\geqslant0) $.

1. 求微分方程 $ \tan x \cdot \left( \frac{dy}{dx} - 2e^{\cos x} \right) + y = 0 $, $ y \big|_{x=\frac{\pi}{2}} = -1 $ 的解.

1. 试证 $ f(x,y) = \begin{cases} \frac{xy^{2}}{x^{2}+y^{4}}, & (x,y) \neq (0,0) \\ 0, & (x,y) = (0,0) \end{cases} $ 在点 $ (0,0) $ 处不连续，但存在一阶偏导数.

1. 设二阶常系数线性微分方程 $ y'' + \alpha y' + \beta y = \gamma e^x $ 的一个特解为 $ y = e^{2x} + (1 + x)e^x $。试确定常数 $ \alpha, \beta, \gamma $，并求该方程的通解。

1. 附加题：（供学习无穷级数的学生作测试）

（1）求无穷级数 $ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{n\cdot3^{n}} $的收敛域及在收敛域上的和函数；

（2）求函数 $ f(x)=(x-2)\ln(4+x) $在 $ x_{0}=1 $处的幂级数展开式；

(3) 将函数 $ f(x) = \{ \begin{aligned} 0, & \quad -2 \leq x \lt 0 \\ 1, & \quad 0 \leq x \leq 2 \end{aligned} . $ 展开成傅里叶级数，并指明展开式成立的范围.