微积分（下）试卷（A卷）
微积分(下)试卷(A卷)
- 填空题：（每题4分，共24分）
（1）函数 $ z = f(x, y) $ 在点 $ (x, y) $ 处可微分是它在该点偏导数 $ \frac{\partial z}{\partial x} $ 与 $ \frac{\partial z}{\partial y} $ 连续的 ___ 条件（填必要、充分或充要），又是它在该点有方向导数的 ___ 条件（填必要、充分或充要）；
（2）向量场 $ A = e^{xy}i + \cos(xy)j + xz^2k $的散度为___，向量场 $ B = (2z - 3y)i + (3x - z)j + (y - 2x)k $的旋度为___；
（3）设 $ z = f(x, xy) $， $ f(u, v) $ 有连续偏导数．则 $ \mathrm{d}z = $ ___；
（4）交换二次积分的积分次序 $ \int_{0}^{2}\mathrm{d}y\int_{\sqrt{2}}^{2y}f(x,y)\mathrm{d}x= $ ___;
（5）设曲面 $ \Sigma $ 为圆柱面 $ x^2 + y^2 = 1 $ 介于平面 $ z = 0 $ 与 $ z = 1 $ 部分的外侧．则曲面积分 $ \iint_{\Sigma}(x^2 + y^2) \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y = $ ___， $ \iint(x^2 + y^2) \, \mathrm{d}s = $ ___；
(6) 设 $ f(x,y) = x^{3} - y^{3} + 3x^{2} + 3y^{2} - 9x $, x > 0. 则它有极小值 = ___.
2.（本题8分）设 $ e^{z}=xyz $．求 $ \frac{\partial^{2}z}{\partial x^{2}} $
3.（本题7分）设长方体的长x、宽y、高z满足 $ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1 $．求体积最小的长方体．
4.（本题7分）求球面 $ x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 $ 含在圆柱面 $ x^{2}+y^{2}=2x $ 内部的那部分面积.
5.（本题7分）计算三重积分 $ \iiint_{\Omega}(x-y-z)^{2}dv $，其中 $ \Omega $是由单位球面 $ x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 $所围成的闭区域.
6.（本题7分）计算曲面积分 $ \iint_{\Sigma}(z^{2}+3x)dy dz-(x+y)dxdx-(y+z)dxdy $，其中 $ \Sigma $是圆锥面 $ z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} $位于平面z=2之间下方部分的下侧.
7.（本题7分）计算曲线积分 $ \int_{L}\frac{y\mathrm{d}x-x\mathrm{d}y}{\left(x-y\right)^{2}} $，其中L表示第四象限内以 $ A(0,-1) $为起点，以 $ B(1,0) $为终点的光滑曲线.
8.（本题7分）求微分方程 $ 3\mathrm{e}^{x}\sin y\,\mathrm{d}x+(1-\mathrm{e}^{x})\cos y\,\mathrm{d}y=0 $的通解.
9.（本题7分）求满足下述方程的可导函数 $ y = y(x) $ :
$$ y(x)\cos x+2\int_{0}^{x}y(t)\sin t\mathrm{d}t=x+1. $$
10.（非化工类做·本题6分）设 $ a \gt 0 $ 且 $ a \neq e $，试根据 $ a $ 的值判定级数 $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^n}{a^n n!} $ 的敛散性.
11.（非化工类做·本题6分）设 $ f(x) $是周期为 $ 2\pi $的周期函数，它在 $ [-\pi,\pi) $上的表达式为 $ f(x)=x $．试将 $ f(x) $展开成傅里叶级数．
12.（非化工类做·本题7分）设 $ f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{(2x)^{2n-1}}{(2n-1)!} $.证明 $ f(x) $满足微分方程 $ f''(x)=4f(x) $，并求 $ f(x) $.
13.（化工类做·本题6分）求解初值问题 $ \{\begin{aligned}y''+y&=x^{2}\\ y(0)&=y'(0)=1\end{aligned}. $
14.（化工类做·本题6分）设l是曲线 $ \{\begin{aligned}&x^{2}+y^{2}+z^{2}=6\\&x+y+z=0\end{aligned}. $在点 $ (1,-2,1) $处的切向量．求函数 $ f(x,y,z)=xy+yz+zx $在该点沿l的方向导数.
15.（化工类做·本题7分）给定曲面 $ F\left(\frac{x-a}{z-c},\frac{y-b}{z-c}\right)=0 $，a，b，c为常数，其中 $ F(u,v) $有连续偏导数.证明曲面的切平面通过一个定点.