第1章函数与极限

原书第 11 页

1 函数与极限

作业1 函数

一、填空题

函数 $ f(x) = \sqrt{6 + 5x - x^2} + \lg(x^2 - 5x + 6) $的定义域为___。

函数 $ f(x) = \begin{cases} x, & -\infty \lt x \lt 1 \\ x^2, & 1 \leq x \leq 4 \\ 2^x, & 4 \lt x \lt +\infty \end{cases} $ 的反函数 $ f^{-1}(x) = $ ___.

复合函数 $ y = \arcsin \sqrt{\ln(1 + x^2)} $ 是由函数 ___ 复合而成的.

已知 $ f(x) $在区间 $ (-\infty, +\infty) $上单调递减．则 $ f(x^2+4) $的单调递减区间是___．

设函数 $ f(x) $ 对一切实数 $ x_1, x_2 $, $ f(x_1 + x_2) = f(x_1) + f(x_2) $ 成立，且 $ f(1) = a $。则 $ f(0) = $ ___， $ f(n) = $ ___。（n 为正整数）

设 $ f(x) = \begin{cases} 2x, & x \lt 0 \\ x, & x \geq 0 \end{cases} $， $ g(x) = \begin{cases} 5x, & x \lt 0 \\ -3x, & x \geq 0 \end{cases} $。则 $ f[g(x)] = $ ___。

二、作图与计算题

作函数 $ f(x) = \operatorname{sgn}\sin x $ 的图像.

原书第 12 页

设 $ f(x) $ 是奇函数， $ F(x)=f(x)\left(\frac{1}{a^{x}+1}-\frac{1}{2}\right) $ (a 为不等于 1 的正数). 判断 $ F(x) $ 的奇偶性.

设 $ \varphi(x) $, $ \psi(x) $, $ f(x) $ 都为单调增加函数，且对一切实数 $ x $ 均有 $ \varphi(x) \leq f(x) \leq \psi(x) $。证明 $ \varphi[\varphi(x)] \leq f[f(x)] \leq \psi[\psi(x)] $。

证明函数 $ f(x)=\left|1-6x\right| $在其定义域内无界.

原书第 13 页

作业2 数列的极限

用数列极限的“ $ \varepsilon - N $”定义证明下列极限：

(1) $ \lim_{n \to \infty} \frac{2n^2}{n^2 + 3n + 1} = 2 $;

(2) $ \lim_{n\to\infty}\frac{2\sqrt{n}-1}{3\sqrt{n}+1}=\frac{2}{3} $;

(3) $ \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[3]{n^2} \sin n}{n + 1} = 0 $

原书第 14 页

设数列 $ \{x_n\} $ 有界，而 $ \lim_{n \to \infty} y_n = 0 $ 。证明： $ \lim_{n \to \infty} x_n y_n = 0 $

证明：若 $ \lim_{n\to\infty}x_n=a $，则 $ \lim_{n\to\infty}|x_n|=|a| $。并举例说明其逆命题不成立。

设数列 $ \{u_{n}\} $， $ \{v_{n}\} $ 有相同的极限 A. 证明：若 $ x_{n}=u_{n}-v_{n} $，则 $ \lim_{n\to\infty}x_{n}=0 $.

若 $ \lim_{n \to \infty} x_n = a $, $ a \neq 0 $, 证明: 存在 N > 0, 当 n > N 时, 有 $ \frac{1}{|x_n|} \lt \frac{2}{|a|} $.

原书第 15 页

作业3 函数的极限

根据函数极限定义证明：

(1) $ \lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} = 1 $;

(2) $ \lim_{x\to1}\frac{3x+1}{2x-1}=4 $;

已知 $ \lim_{x\to2}f(x)=1 $。证明：

(1) 存在 $ \delta_1 \gt 0 $，使得当 $ 0 \lt |x - 2| \lt \delta_1 $ 时 $ f(x) \gt \frac{5}{6} $;

(2) 对任意取定的 $ k \in (0,1) $，存在 $ \delta_2 $，使得当 $ 0 \lt |x - 2| \lt \delta_2 $ 时 $ f(x) \gt k $.

原书第 16 页

设 $ f(x)=\{\begin{aligned}&3x^{2}+2x-1,&x\leqslant1\\ &x,&1\lt x\lt 2\\ &2x-2,&x\geqslant2\end{aligned}. $. 研究极限 $ \lim_{x\to1}f(x) $， $ \lim_{x\to2}f(x) $， $ \lim_{x\to3}f(x) $ 是否存在，若存在将它求出来.

证明 $ \lim_{x \to \infty} f(x) = a \Leftrightarrow \lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} f(x) = a $.

证明：如果 $ x \to x_{0} $ 时 $ f(x) $ 的极限存在，则此极限值唯一.

原书第 17 页

作业4 无穷小与无穷大

根据无穷小的定义证明：

(1) 当 $ n \to \infty $ 时， $ u_n = \frac{n^3}{2^n} $ 是无穷小；

(2) 当 $ x \to 0 $ 时， $ f(x) = x \sin \frac{1}{x} $ 是无穷小.

根据无穷大的定义证明：当 $ x \to 0 $ 时， $ f(x) = \frac{1 + 3x}{x} $ 是无穷大.

当 $ x \to 0 $ 时，将 $ f(x) = (\sin x + \cos x)^2 $ 分解为一个常数与一个无穷小之和.

原书第 18 页

已知 $ \lim_{x \to \infty} f(x) = \infty $。证明 $ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{f(x)} = 0 $。

设当 $ x \to x_{0} $ 时， $ f(x) \to \infty $， $ g(x) \to A $ ( $ A \neq 0 $ 为常数). 试证明下列各式：

(1) $ \lim_{x \to x_0} [f(x) + g(x)] = \infty $;

(2) $ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{f(x)+g(x)}=1 $

证明： $ f(x)=\frac{1}{x}\sin\frac{1}{x} $在 $ (0,1) $内无界，当 $ x\to0^{+} $时， $ f(x) $不是无穷大.

原书第 19 页

作业5 极限的运算法则

求下列极限：

(1) $ \lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x} $;

(2) $ \lim_{x\to-1}\left(\frac{1}{x+1}-\frac{3}{x^{3}+1}\right) $;

(3) $ \lim_{x \to -\infty} (\sqrt{2x^2 + x - 1} - \sqrt{2x^2 - 3x - 5}) $;

(4) $ \lim_{x \to 5} \frac{\sqrt{2x-1}-3}{\sqrt{3x+1}-4} $;

原书第 20 页

(5) $ \lim_{x \to +\infty} (\sin \sqrt{x + 1} - \sin \sqrt{x}) $;

(6) $ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x + x^2} - 1}{x + x^2} $;

(7) $ \lim_{n \to \infty} \cos \frac{x}{2} \cos \frac{x}{4} \cdots \cos \frac{x}{2^n} $

确定常数 a, b，使得 $ \lim_{x \to \infty} \left[ \frac{x^2 + 1}{x + 1} - (ax + b) \right] = 0 $.

原书第 21 页

作业6 极限存在准则与重要极限

求极限 $ \lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n^{2}+n+1}+\frac{2}{n^{2}+n+2}+\cdots+\frac{n}{n^{2}+n+n}\right) $.

求极限 $ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{1^n + 2^n + \cdots + 10^n} $.

设数列 $ \{x_n\} $ 满足： $ 0 \lt x_1 \lt \pi $，且 $ x_{n+1} = \sin x_n $ ( $ n=1,2,\cdots $)。证明 $ \lim_{n \to \infty} x_n $ 存在，并求出此极限值。

设 $ a \gt 0 $, $ x_{1} \gt 0 $, $ x_{n+1} = \frac{1}{3} \left( 2x_{n} + \frac{a}{x_{n}^{2}} \right) (n = 1, 2, \cdots) $. 求 $ \lim_{n \to \infty} x_{n} $.

原书第 22 页

求下列极限：

(1) $ \lim_{x\to0}\frac{\sin7x-\tan4x}{2x} $;

(2) $ \lim_{x\to0}\frac{x-\sin2x}{x+\sin3x} $;

(3) $ \lim_{x\to0}\left(\frac{1}{x\sin x}-\frac{1}{x\tan x}\right) $;

(4) $ \lim_{x\to0}\frac{\ln(1+\tan x)}{x} $;

(5) $ \lim_{x \to 0} (\cos x + \sin x)^{\frac{1}{x}} $.

设 $ f(x+1)=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+x}{n-2}\right)^n $，求 $ f(x) $ 的表达式.

原书第 23 页

作业7 无穷小的比较

已知当 $ x \to 0 $ 时， $ \mathrm{e}^{x^{2}} - (ax^{2} + bx + c) $ 是比 $ x^{2} $ 高阶的无穷小．试确定常数 a, b, c.

设 $ \lim_{x\to0}\frac{\ln\left[1+\frac{f(x)}{\sin x}\right]}{2^x-1}=3 $. 求 $ \lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2} $.

当 $ x \to 0 $ 时，确定下列无穷小关于 x 的阶数：

(1) $ \sqrt{1 + \tan x} - \sqrt{1 + \sin x} $;

(2) $ 3x + \sin^{2}x $.

原书第 24 页

求下列各极限：

(1)

$$ \lim_{x\to0}\frac{1-\cos\frac{x}{2}}{(\mathrm{e}^{\sin x}-1)\ln(1-2x)}; $$

(2)

$$ \lim_{x\to0}\frac{\tan x-\sin x}{\ln(1+x^{3})}; $$

(3)

$$ \lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x+x^{2}}-1}{x^{3}+\sin2x}; $$

(4)

$$ \lim_{x\to0}\frac{\mathrm{e}^{2x}-\mathrm{e}^{-3x}}{\sqrt{1-x}-1}； $$

(5)

$$ \lim_{x\to1}x^{\frac{1}{1-x}} $$

原书第 25 页

作业8 函数的连续性

证明：若函数 $ y = f(x) $ 对于一切正实数 $ x_{1} $， $ x_{2} $ 满足等式 $ f(x_{1} \cdot x_{2}) = f(x_{1}) + f(x_{2}) $，且 $ f(x) $ 在 x = 1 处连续，则 $ f(x) $ 在任一点 $ x_{0} (x_{0} \gt 0) $ 处连续.

确定常数 a，b 的值，使得 $ f(x)=\{\begin{aligned}&\frac{\sqrt{ax+b}-2}{x-1},&x\neq1\\ &-1,&x=1\end{aligned}. $ 在 x=1 处连续.

指出函数 $ f(x)=\frac{x^{2}-x}{|x|}(x^{2}-1) $的间断点及其类型.

求下列极限：

$$(1)\lim_{x\to0}\frac{3\sin x+x^{2}\cos\frac{1}{x}}{(1+\cos x)\ln(1+x)};$$

原书第 26 页

(2) $ \lim_{x \to \pi} (\sqrt{2} \cos \frac{x}{4})^{\csc x} $

设 $ f(x) $在 $ [a, b] $上连续，且 $ f(a) = f(b) $。证明存在点 $ c \in (a, b) $，使得

$$ f(c)=f(c+\frac{b-a}{2}). $$

设 $ f(x) $ 在 $ (a, b) $ 内连续， $ x_1, x_2 \in (a, b) $， $ m_1 \gt 0 $， $ m_2 \gt 0 $。证明在 $ [a, b] $ 上至少存在点 $ \xi $，使得 $ f(\xi) = \frac{m_1 f(x_1) + m_2 f(x_2)}{m_1 + m_2} $。

证明：若 $ f(x) $在 $ [a,+\infty) $上连续，且 $ \lim_{x\to a}f(x) $存在，则 $ f(x) $在 $ [a,+\infty) $上有界.

原书第 27 页

函数与极限测试题

填空题：

(1) 若 $ f(x) = \max\{2 |x|, |x + 1|\} $，则 $ \min f(x) = $ ___；

(2) 若函数 $ f(x) $ 的定义域为 $ [0, 1] $，则 $ f(\ln x) $ 的定义域为 ___；

(3) 若 $ x \to 0 $ 时 $ e^{x\cos x^2} - e^x $ 与 $ x^n $ 是同阶无穷小，则 $ n = $ ___;

(4) 设 $ f(x) = \begin{cases} \frac{3\sin(x-1)}{x-1}, & x \lt 1 \\ e^{2ax} - e^{ax} + 1, & x \geq 1 \end{cases} $ 在 $ (-\infty, +\infty) $ 上连续．则 $ a = $ ___．

单选题：

(1) 变量 $ x \cos x $ ( ).

(A) 当 $ x \to +\infty $ 时是无穷小

(B) 当 $ x \to +\infty $ 时是无穷大

(D) 在区间 $ [0, +\infty) $ 上无界，当 $ x \to +\infty $ 时不是无穷大

(2) 设函数 $ f(x) = \frac{x}{a + e^{bx}} $ 在 $ (-\infty, +\infty) $ 上连续，且 $ \lim_{x \to -\infty} f(x) = 0 $。则常数 a, b 满足（）.

(A)a<0, b<0

(B)a>0, b>0

(D) $ a\leqslant0,\ b\gt 0 $

（3）设 $ f(x) $和 $ \varphi(x) $在 $ (-\infty,+\infty) $内有定义， $ f(x) $为连续函数，且 $ f(x)\neq0 $， $ \varphi(x) $有间断点．则( )．

(A) $ \varphi(f(x)) $必有间断点 (B) $ \varphi(x)^{2} $必有间断点

(4) 设 $ f(x) = x^{3} + 4x^{2} - 3x - 1 $. 则方程 $ f(x) = 0 $ ___.

(A)在(0,1)内没有实根 (B)在(-1,0)内没有实根

求下列极限：

(1) $ \lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{4x^2 + x - 1} + x + 1}{\sqrt{x^2 + \sin x}} $;

原书第 28 页

(2) $ \lim_{x \to 1} (2 - x)^{\sec \frac{\pi x}{2}} $

求函数 $ f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{x^{n+2} - x^{-n}}{x^n + x^{-n-1}} $ 的连续区间.

指出函数 $ f(x)=\{\begin{aligned}&2^{\frac{1}{x+1}},&x\lt 0\\&\sin x,&x\geqslant0\end{aligned}. $ 的间断点及其类型.

设 $ f(x) $ 在 $ (a, b) $ 内为非负连续函数， $ a \lt x_1 \lt x_2 \lt \cdots \lt x_n \lt b $。证明在 $ (a, b) $ 内存在 $ \xi $，使得 $ f(\xi) = \sqrt[n]{f(x_1)f(x_2) \cdots f(x_n)} $。

设 $ f(x) $在 $ [0,1] $上连续，且 $ 0\leq f(x)\leq 1 $。试证在 $ [0,1] $内至少存在一个 $ \xi $，使得 $ f(\xi)=\xi $。

第1章 函数与极限