第2章 导数与微分

2 导数与微分

作业9 导数概念

1. 设 $ f(1)=f'(1)=2 $. 求极限 $ \lim_{x\to0}\frac{f^3(1+x)-f^3(1)}{x} $.

1. 设函数 $ f(x) = \begin{cases} \ln \sqrt{x^2 - a^2}, & x \gt 1 \\ e^{b(x-1)} - 1, & x \leq 1 \end{cases} $ 在点 x = 1 处可导．求 $ a $， $ b $ 的值．

1. 求函数 $ f(x)=\{\begin{aligned}&\frac{e^{\sin^{2}x}-1}{x-\pi},&x\neq\pi\\ &0,&x=\pi\end{aligned}. $ 在点 $ x=\pi $ 处的导数.

1. 证明可导的偶函数的导数 $ f'(x) $为奇函数.

1. 设 $ f(x) $可导，且满足 $ \lim_{x\to0}\frac{f(1)-f(1-x)}{2x}=-1 $。求曲线 $ y=f(x) $在点 $ (1,f(1)) $处的切线方程。

1. 设函数 $ F(x) = f(x)(1 + |\sin x|) $，且 $ F(x) $， $ f(x) $ 在点 x = 0 处均可导。试求 $ f(0) $.

1. 某企业每月生产 x 个单位（单位：百件）产品的总成本（单位：千元）函数为 $ C(x) = x^{2} + 12x + 100 $。如果每百件产品销售价格为 4 万元，求每月生产 10 个单位、16 个单位的边际利润。

作业10 函数的求导法则

1. 求下列函数的导数：

(1) $ y = x^2 \ln x \cos x $;

(2)

$$ y=\frac{\arcsin x}{\arccos x}; $$

(3) $ y = \ln\left[\ln^{2}\left(\ln^{3}x\right)\right] $;

(4) $ y = e^{\sin^2 \sqrt{x}} $;

(5) $ y = (\cos x)^{\sin x} $;

$$ \left(6\right)y=\sqrt{x^{2}-a^{2}}-a\arccos\frac{a}{x}(x\gt a\gt 0). $$

1. 设 $ y = f(\sqrt{\ln x}) $。已知 $ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2x^2\sqrt{\ln x}} $，求 $ f'(x) $。

1. 已知 $ y = \log_x u(x) $，其中 $ x \gt 0 $，且 $ x \ne 1 $， $ u(x) $ 可导．求 $ \frac{dy}{dx} $

1. 在什么条件下函数

$$ f(x)=\{\begin{aligned}x^{n}\sin\frac{1}{x},x&\neq0\\ 0,x&=0\end{aligned}.(n 为自然数 ) $$

(1) 在 x=0 点连续；

（2）在x=0点可导；

（3）在 x=0 点导数连续.

1. 设 $ y = f(x) $ 与 $ x = \varphi(y) $ 互为反函数， $ f(x) $ 可导，且 $ f'(x) \neq 0 $， $ f(3) = 5 $，而 $ g(x) = f\left(\frac{1}{3}\varphi^{2}(4x - 3)\right) $。求 $ g'(2) $。

作业11 隐函数与参数方程确定函数的导数

1. 求由下列方程所确定的隐函数 $ y = y(x) $ 的导数：

(1) $ \mathrm{e}^{xy} + \tan(x + y) = y; $

(2) $ \sin(xy)-\ln\frac{x+1}{y}=1 $

1. 设 $ y = y(x) $ 由方程 $ \ln(x^2 + y + 1) = x^3y + \sin x $ 确定：

(1) 求曲线 $ y = y(x) $ 在 $ (0, y(0)) $ 处的切线方程；

(2) 求极限 $ \lim_{n \to \infty} ny \left( \frac{2}{n} \right) $.

1. 求下列函数的导数 $ \frac{dy}{dx} $:

(1) $ y = x \sin x \cdot \sqrt[3]{\frac{x - 2}{\sqrt{x^2 + 3} \cdot \ln x}} $;

(2) $ (\cos x)^{y} = (\sin y)^{x} $

1. 求下列参数方程所确定函数的导数 $ \frac{dy}{dx} $

(1) $ \{\begin{aligned}x&=\ln(1+t^{2})\\ y&=t-\arctan t\end{aligned}. $;

(2) $ \{\begin{aligned}x&=\theta(1-\sin\theta)\\ y&=\theta\cos\theta\end{aligned}. $

1. 求三叶玫瑰线 $ r = a \sin(3\theta) (a \gt 0) $ 上对应于 $ \theta = \frac{\pi}{4} $ 点处的切线方程（直角坐标形式）.

1. 在摆线的一拱 $ \{\begin{aligned}x&=a(1-\sin\theta)\\ y&=a(1-\cos\theta)\end{aligned}. $， $ (0\leqslant t\leqslant2\pi) $上求一点，使该点处的切线与直线y=1-x平行，并写出切线方程.

作业12 函数的微分

1. 填空题：

(1) $ y=x^{2}+5x $，在x=2处，当 $ \Delta x=0.01 $时，则 $ \Delta y= $___， $ \mathrm{d}y= $___；

(2) 设 $ y = f(x) $ 在 $ x_0 $ 处可微．则 $ \lim_{\Delta y \to 0} \Delta y = $ ___；

(3)设 $ f(u) $可微，且 $ y=f(\cos^{4}5x) $。则 $ \mathrm{d}y= $___ $ \mathrm{d}(\cos5x)= $___ $ \mathrm{d}(5x)= $___ $ \mathrm{d}(x) $.

1. 用微分法则计算下列函数的微分：

(1) $ y = x^4 \arctan x $;

(2) $ y=\frac{\cos x}{1-x^{2}}; $

(3) $ y = \sin^{2} \ln(1 + 3x) $;

$$ (4)y=\arctan\frac{u(x)}{v(x)}(u^{\prime},v^{\prime} 存在 ). $$

1. 利用一阶微分形式不变性求微分 dy:

(1) $ y = f(\ln^2{x} - e^{-x}) $;

(2) $ x^{y}-2x+y=0 $.

1. 设扇形的圆心角 $ \alpha = 60^{\circ} $，半径 $ R = 100 \, cm $，见下图。如果 R 不变， $ \alpha $ 减少 $ 30' $，问扇形面积大约改变了多少？又如果 $ \alpha $ 不变，R 增加 $ 1 \, cm $，问扇形面积大约改变了多少？

1. 求下列各数的近似值：

(1) lg11;

(2) $ \sqrt[3]{1.02} $

1. 当 $ \left|x\right| $ 很小时，证明：

(1) $ \sqrt{1+x} \approx 1 + \frac{x}{2} $;

(2) $ \tan x \approx x $.

作业13 高阶导数与高阶微分

1. 填空题：

(1) 设 $ y = a^{x} $. 则 $ y^{(n)}(0) = $ ___;

(2) 设 $ y = \sin 3x $. 则 $ y^{(n)}(x) = $ ___;

(3)设 $ y=\frac{1}{1-4x} $. 则 $ y^{(6)}(x)= $___；

(4) 设 $ y = f(x) $ 二阶可导，且其一阶、二阶、三阶导数均不为零，其反函数为 $ x = \varphi(y) $。则 $ \varphi''(y) = $ ___， $ \varphi'''(y) $ ___；

(5)已知函数 $ y(x) $ 由方程 $ e^y + 6xy + x^2 = 1 $ 确定．则 $ y''(0) = $ ___．

1. 求下列函数的二阶导数：

(1) $ y = e^{-2x} \cos x $;

(2) $ y=(1+x^{2})\ln(1+x^{2}). $

1. 求下列函数的 n 阶导数的一般表达式：

(1) $ y = \cos^{2} x $;

$$ y=x\mathrm{e}^{-x}. $$

1. 求下列方程所确定的隐函数 $ y(x) $ 的二阶导数：

(1) $ y = \tan(x + y) $;

$$ \mathrm{e}^{x+y}-xy=1. $$

1. 求下列参数方程确定的函数的二阶导数 $ \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}} $ :

(1) $ \{\begin{array}{l}x=\ln\mathrm{sint}\\y=\cos t+t\sin t\end{array}. $;

(2) $ \{\begin{aligned}x&=f'(t)\\ y&=tf'(t)-f(t)\end{aligned}. $ （设 $ f''(t) $存在且不为零）.

1. 设 $ f(x)=\{\begin{aligned}&e^{x},&x\lt 0\\ &ax^{2}+bx+c,&x\geqslant0\end{aligned}. $，且 $ f''(0) $ 存在．试确定常数 a，b 和 c 值．

导数与微分测试题

1. 填空题：

(1)设函数 $ f(x) $在 $ x_0 $点可导.则 $ \lim_{x\to x_0}\frac{f\left(\frac{x+x_0}{2}\right)-f(x_0)}{x-x_0}= $___；

(2) 设 $ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(f\left(\frac{1}{x^{2}}\right)\right)=\frac{1}{x} $. 则 $ f'(\frac{1}{2})= $ ___;

(3) 设 $ f(x) = \frac{1}{1 - x} $. 则 $ f^{(n)}(2) = $ ___;

(4)设函数 $ y = f(x) $ 由方程 $ \sin(x^2 + y^2) + e^x - xy^2 = 0 $ 所确定．则 $ \frac{dy}{dx} = $ ___．

1. 求下列导数或微分：

(1)已知 $ y = \arcsin \frac{2\sin x + 1}{2 + \sin x} $ ( $ |x| \lt \frac{\pi}{2} $)．求 $ \mathrm{d}y $;

(2) 设 $ y = f(x + y) $，其中 f 具有二阶导数，且其一阶导数不等于 1. 求 $ \frac{d^2 y}{dx^2} $;

(3) $ y = y(x) $ 是由方程组 $ \{ \begin{array}{l} x = 3t^{2} + 2t + 3 \\ \mathrm{e}^{y} \sin t - y + 1 = 0 \end{array} . $ 所确定的隐函数．求 $ \left. \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}} \right|_{t=0} $

1. 设 $ f(x) $ 在 x=0 的邻域内具有二阶导数，且 $ \lim_{x\to0}\left(1+x+\frac{f(x)}{x}\right)^{\frac{1}{x}}=\mathrm{e}^3 $.

(1) 求 $ f(0) $， $ f'(0) $ 和 $ f''(0) $（学完下章再求）；

(2) 求 $ \lim_{x \to 0} \left(1 + \frac{f(x)}{x}\right)^{\frac{1}{x}} $

1. 设 $ f(x) = \lim_{t \to +\infty} \frac{x}{2 + x^2 - e^{tx}} $. 讨论 $ f(x) $ 的可导性.

1. 设 $ f(x) = x^{2} \sin x \cos x $. 求 $ f^{(2001)}(0) $.

1. 设 $ f(x) $ 对任意实数 $ x_{1}, x_{2} $ 有 $ f(x_{1} + x_{2}) = f(x_{1})f(x_{2}) $，且 $ f'(0) = 1 $。证明 $ f'(x) = f(x) $