第3章 微分中值定理及导数的应用

3 微分中值定理及导数的应用

作业14 微分中值定理

1. 填空题：

(1) 设 $ f(x) = x(x+1)(2x+1)(3x-1) $. 则在区间 $ (-1,0) $ 内方程 $ f'(x) = 0 $ 有 ___ 个实根，在区间 $ (-1,1) $ 内 $ f''(x) = 0 $ 有 ___ 个实根；

(2) 函数 $ f(x) = \mathrm{e}^{x} $ 在区间 [0, 1] 上的有限增量公式中的 $ \theta $ 等于 ___；

(3) 在区间 $ [-1, 2] $ 上，函数 $ f(x) = x^{3} + 4x^{2} - 7x - 10 $ 满足罗尔微分中值定理的 $ \xi = $ ___；

(4)在区间[0, 1]上，函数 $ f(x) = \arctan x $满足拉格朗日微分中值定理中的 $ \xi = \_\_\_\_\_\_ $.

(5)在区间 $ \left[0, \frac{\pi}{2}\right] $上，函数 $ f(x) = \sin x $及 $ F(x) = x + \cos x $满足柯西微分中值定理中的 $ \xi = $___。

1. 设函数 $ f(x) $ 与 $ g(x) $ 在 $ (a, b) $ 内可微， $ g(x) \neq 0 $，且 $ \begin{vmatrix} f(x) & g(x) \\ f'(x) & g'(x) \end{vmatrix} \equiv 0, x \in (a, b) $. 证明存在常数 k，使 $ f(x) = kg(x), x \in (a, b) $.

1. 设函数 $ f(x) $在区间 $ [0, 1] $上连续，在 $ (0, 1) $内可导，且 $ f(0) = f(1) = 0 $， $ f\left(\frac{1}{2}\right) = 1 $。试证：

(1)存在 $ c \in \left(\frac{1}{2}, 1\right) $，使得 $ f(c) = c $；

(2)对任意实数 $ \lambda $，必存在 $ \xi\in(0,c) $，使得 $ f'(\xi)-\lambda[f(\xi)-\xi]=1 $.

1. 证明：当 $ x \geqslant 0 $ 时，等式 $ \sqrt{x+1}-\sqrt{x}=\frac{1}{2\sqrt{x+\theta(x)}} $ 中的 $ \theta(x) $ 满足 $ \frac{1}{4} \leqslant \theta(x) \leqslant \frac{1}{2} $，且 $ \lim_{x \to 0^{+}} \theta(x) = \frac{1}{4} $， $ \lim_{x \to +\infty} \theta(x) = \frac{1}{2} $.

1. 证明下列等式或不等式：

(1) $ x \geqslant 1 $ 时， $ \arctan x - \frac{1}{2}\arccos \frac{2x}{1 + x^{2}} = \frac{\pi}{4} $;

(2) 当 x > 0 时， $ \frac{x}{1+x} \lt \ln(1+x) \lt x $;

(3) 当 a > b > 0, n > 1 时, $ nb^{n-1}(a - b) \lt a^n - b^n \lt na^{n-1}(a - b) $.

1. 证明方程 $ x^{5} + x - 1 = 0 $ 在 $ (0, 1) $ 内有且仅有一个实根.

作业15 洛必达法则

1. 求下列极限：

(1)

$$ \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)}{\operatorname{arccot}x}; $$

(2)

$$ \lim_{x\to-1^{+}}\frac{\sqrt{\pi}-\sqrt{\arccos x}}{\sqrt{x+1}} $$

(3)

$$ \lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\left(\pi-2x\right)^{2}; $$

(4)

$$ \lim_{x\to0}\left(\frac{1}{\ln(x+\sqrt{1+x^2})}-\frac{1}{\ln(1+x)}\right); $$

(5)

$$ \lim_{x\to1}(1-x)\tan\frac{\pi}{2}x; $$

(6)

$$ \lim_{x\to0}\left(\frac{a_{1}^{x}+a_{2}^{x}+\cdots+a_{n}^{x}}{n}\right)^{\frac{1}{x}}\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\gt 0\right). $$

1. 已知 $ f(x) $ 有一阶连续导数，且 $ f(0) = f'(0) = 1 $。求极限 $ \lim_{x \to 0} \frac{f(\sin x) - 1}{\ln f(x)} $。

1. 设 $ \varphi(x) $ 具有二阶连续导数，且 $ \varphi(0)=1 $ 。若 $ f(x)=\{\begin{aligned}&\frac{\varphi(x)-\cos x}{x},&x\neq0\\ &a,&x=0\end{aligned}. $

(1) 确定 a，使 $ f(x) $ 在 x=0 点连续；

(2) 求 $ f'(x) $;

(3) 讨论 $ f'(x) $ 在 x=0 点的连续性.

1. 设 $ f(x) $ 在 x=0 的某邻域内二阶可导，且 $ \lim_{x\to0}\left(\frac{\sin3x}{x^3}+\frac{f(x)}{x^2}\right)=0 $ 。求 $ f(0) $， $ f'(0) $， $ f''(0) $ （学完下节再做）及 $ \lim_{x\to0}\frac{f(x)+3}{x^2} $ 。

作业16 泰勒公式

1. 写出 $ f(x) = \arctan x $ 带有皮亚诺型余项的四阶泰勒公式.

1. 写出 $ f(x) = xe^{x} $ 带有拉格朗日型余项的 n 阶麦克劳林公式.

1. 写出 $ f(x) = \ln x $ 在 $ x_{0} = 1 $ 处带有皮亚诺型余项的 n 阶泰勒公式.

1. 利用泰勒公式求下列极限：

(1) $ \lim_{x \to 0} \frac{\cos x \ln(1 + x) - x}{x^2} $;

(2) $ \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - e^{-\frac{x^2}{2}} + \frac{x^4}{12}}{x^6} $

1. 证明：若函数 $ f(x) $在a点存在二阶导数，则 $ \lim_{h\to0}\frac{f(a+h)+f(a-h)-2f(a)}{h^2}=f''(a) $.

1. 证明：若 $ f(x) $在 $ [0,1] $上具有连续的三阶导数，且 $ f(0)=1 $， $ f(1)=2 $， $ f''\left(\frac{1}{2}\right)=0 $，则在 $ (0,1) $内存在一点 $ \xi $，使得 $ f'''(\xi)\geqslant24 $。

作业17 函数的单调性与极值

1. 求函数 $ y = (x - 1) \cdot \sqrt[3]{x^2} $ 的单调区间与极值.

1. 研究函数 $ f(x) = |x| e^{-|x-1|} $的极值.

1. 求函数 $ y = \arctan \frac{x-1}{x+1} $ ( $ 0 \leq x \leq 1 $) 的最大值、最小值.

1. 证明：当 $ 0 \lt x \lt \frac{\pi}{2} $ 时， $ \frac{2}{\pi}x \lt \sin x \lt x $.

1. 设函数 $ f(x) $ 二次可微， $ f''(x) \gt 0 $， $ f(0) = 0 $。证明函数 $ F(x) = \{ \begin{aligned} & \frac{f(x)}{x}, & x \neq 0 \\ & f'(0), & x = 0 \end{aligned} . $ 是单调增函数。

1. 讨论方程 $ x \ln x + a = 0 $ 实根的个数.

1. 一个正圆锥内接于半径为 R 的球。问圆锥的高 h 和底半径 r 各为多少时，其体积最大？

作业18 函数的凸性和图形的描绘

1. 填空题：

(1) 若曲线 $ y = ax^3 + bx^2 $ 的拐点为 (1, 3)，则常数 $ a = $ ___， $ b = $ ___；

(2) 曲线 $ y = x \ln \left( e + \frac{1}{x} \right) $，(x > 0) 的渐近线方程为 ___；

(3)设函数 $ y(x) $ 由参数方程 $ \{\begin{aligned}x=t+5t+1\\ y=t^{3}-3t+1\end{aligned}. $ 确定．则曲线 $ y=y(x) $ 向上凸的 x 的取值范围为 ___；

(4) 曲线 $ y=(x-1)^{2}(x-3)^{2} $ 有 ___ 个拐点.

1. 计算下列函数图形的凸向及拐点：

(1) $ y = e^{\arctan x} $;

1. 证明下列不等式：

(1) $ \frac{x^{n}+y^{n}}{2}\gt \left(\frac{x+y}{2}\right)^{n}\quad(x\gt 0,y\gt 0,x\neq y,n\gt 1) $;

(2) $ x \ln x \geqslant (x + 1) \ln \frac{x + 1}{2} \quad (x \gt 0) $.

1. 描绘下列函数的图形：

(1) $ y = \frac{(x + 1)^3}{(x - 1)^2} $;

(2) y = x - 2 $ \arctan x $.

1. 设 $ f(x) $ 在点 $ x_{0} $ 三阶可导， $ f''(x_{0})=0 $， $ f'''(x_{0})\neq0 $。证明点 $ (x_{0}, f(x_{0})) $ 是曲线 $ y=f(x) $ 的拐点。

作业19 平面曲线的曲率

1. 计算曲线 $ y = \ln(x + \sqrt{1 + x^2}) $ 在原点处的曲率.

1. 求摆线 $ \{\begin{aligned}x&=a(t-\sin t)\\ y&=a(1-\cos t)\end{aligned}. $ (a>0) 在对应点 $ t=\pi $ 处的曲率.

1. 求心形线 $ r = a(1 + \cos\theta) $ 在任意点 $ (r, \theta) $ 处的曲率半径.

1. 曲线 $ y = \sin x (0 \lt x \lt \pi) $ 上哪一点处的曲率半径最小？求出该点处的曲率半径.

微分中值定理及导数的应用测试题

1. 填空题：

(1) 设 $ x \to 0 $ 时， $ \mathrm{e}^{\tan x} - \mathrm{e}^{x} $ 与 $ x^{n} $ 是同阶无穷小．则 $ n = $ ___；

(2) 函数 $ f(x) = \begin{cases} 2 - \ln x, & \frac{1}{e} \leq x \leq 1 \\ \frac{1}{x} + 1, & 1 \lt x \leq 3 \end{cases} $ 在 $ \left(\frac{1}{e}, 3\right) $ 内满足拉格朗日中值定理的条件的中值 $ \xi = $ ___;

(3) 曲线 $ y = xe^{-x^2} $ 的下凸区间是 ___;

(4) 曲线 $ y = (2x - 1)e^{\frac{1}{x}} $ 的斜渐近线方程为 ___；

(5)若曲线 $ y=ax^{4}-x^{2} $ 拐点的横坐标为 x=1，则常数 a=___.

1. 求下列函数的极限：

(1) $ \lim_{n \to \infty} \left( n \tan \frac{1}{n} \right)^{n^2} $;

(2) $ \lim_{x\to1}\frac{(x^{3x-2}-x)\sin2(x-1)}{(x-1)^3} $

1. 求函数 $ y = (x - 1)e^{\frac{\pi}{2} + \arctan x} $ 的单调区间和极值，并求该图形的渐近线.

1. 证明：当 0 < x < 2 时， $ 4x \ln x \geqslant x^{2} + 2x - 3 $.

1. 设 $ f(x) $在有限区间 $ (a, b) $内可导，但无界．证明 $ f'(x) $在 $ (a, b) $内也无界．逆命题是否成立？试举例说明．

1. 设 $ f(x) $ 在 $ (0, +\infty) $ 上具有二阶导数。又知对一切 x > 0 有 $ |f(x)| \leq a $， $ |f''(x)| \leq b $，其中 a, b 为常数。证明 $ |f'(x)| \leq 2\sqrt{ab} $， $ x \in (0, +\infty) $。

1. 已知等腰三角形的周长是 $ 2l $（定数），求它的腰多长时其面积最大，并求其最大面积.