第5章 定积分

5 定积分

作业24 定积分的概念与性质

1. 利用定积分的几何意义填写下列定积分值：

(1) $ \int_{-1}^{1}x^{3}dx= $ ___;

(2) $ \int_{0}^{2\pi}\cos x dx = \_\_\_\_\_\_ $;

(3) $ \int_{0}^{2}\sqrt{1-\frac{1}{4}x^{2}}dx = \_\_\_ $.

1. 不算出积分，回答下面问题：

(1) $ \int_{0}^{1}e^{x}dx $与 $ \int_{0}^{1}e^{x^{2}}dx $哪个大？

(2) $ \int_{0}^{2\pi}x\sin xdx $ 是正的, 还是负的?

1. 利用定积分定义计算 $ \int_{0}^{2}x^{2}dx $.

1. 将极限 $ \lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{(n+1)^2}+\frac{n}{(n+2)^2}+\cdots+\frac{n}{(n+n)^2}\right) $表示为定积分.

1. 证明: $ 1 \lt \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{x} dx \lt \frac{\pi}{2} $.

1. 利用定积分性质, 求下列极限:

(1) $ \lim_{n \to \infty} \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{x^n}{1 + x} \, dx $;

(2) $ \lim_{n \to \infty} \int_{n}^{n+p} \frac{\cos x}{\sqrt{x}} \, dx \quad (p \gt 0) $.

作业25 微积分基本定理

1. 计算下列各导数：

(1) $ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\int_{0}^{x^{2}}\sqrt{1+t^{2}}\mathrm{d}t\right)= $ ___;

(2) $ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\int_{x^{3}}^{1}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1+t^{2}}}\right) = $ ___;

(3) $ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\int_{\sin x}^{\cos x}e^{t^{2}}\mathrm{d}t\right)= $ ___;

(4) $ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\int_{0}^{x}(x-t)f(t)\mathrm{d}t\right)= $ ___.

1. 当 $ x \geqslant 0 $ 时， $ \int_{0}^{x^{2}+x} f(t) \, \mathrm{d}t = x^{2} $，其中 $ f(t) $ 连续，求 $ f(2) $.

1. 求常数 a, b, 使得 $ \lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{x} (at - \arcsin t) dt}{b - \cos x} = 1 $.

1. 设 $ f(x) = \{ \begin{aligned} x^{2}, & 0 \leqslant x \leqslant 1 \\ x, & 1 \lt x \leqslant 2 \end{aligned} . $. 求 $ \Phi(x) = \int_{0}^{x} f(t) \, dt $ 在 $ [0,2] $ 上的表达式，并讨论 $ \Phi(x) $ 在 $ (0,2) $ 内的连续性.

1. 在原点附近，试用一个二次多项式近似代替函数 $ f(x) = 3 + \int_{0}^{x} \frac{1 + \sin t}{2 + t^{2}} dt $.

1. 计算 $ \int_{0}^{\pi}\sqrt{1-\sin x}dx $

作业26 定积分的计算

1. 计算下列定积分：

(1) $ \int_{-1}^{1}(x+\sqrt{1-x^{2}})^{2}\mathrm{d}x; $

(2) $ \int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{1}\frac{\sqrt{1-x^{2}}}{x^{2}}\mathrm{d}x; $

(3)

$$ \int_{1}^{\sqrt{3}}\frac{\mathrm{d}x}{x^{2}\sqrt{1+x^{2}}}; $$

(4) $ \int_{0}^{3}\frac{x\mathrm{d}x}{1+\sqrt{1+x}}; $

(5) $ \int_{0}^{\ln2}\sqrt{e^{x}-1}dx $;

(6) $ \int_{0}^{3}\arcsin\sqrt{\frac{x}{1+x}}dx $;

(7) $ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{\cos x-\cos^{3}x}dx $;

(8) $ \int_{0}^{2n\pi}\sqrt{1-\cos2x}dx,n $为正整数.

1. 设 $ f(x) = \{ \begin{aligned} & 2x, x \geqslant 0 \\ \frac{1 + x}{1 - x}, x \lt 0 \end{aligned} . $. 求 $ \int_{0}^{2} f(x - 1) \, dx $.

1. 求下列定积分：

(1) $ \int_{0}^{\pi}(1-2x)\cos x dx $;

(2) $ \int_{0}^{2}\left|1-x\right|\sqrt{(x-4)^{2}}\mathrm{d}x; $

(3) $ \int_{1}^{e}\sin(\ln x)dx $

1. 已知 $ f'(x) = \sin^{2}(x - 1) $，且 $ f(0) = 0 $。求 $ \int_{0}^{1} f(x) \, dx $。

1. 设 $ f(x) $ 为连续函数且是奇函数. 证明 $ \int_{0}^{x} f(t) \, dt $ 是偶函数; 若 $ f(x) $ 为连续函数且是偶函数, 证明 $ \int_{0}^{x} f(t) \, dt $ 是奇函数.

1. 设 $ f(x) $ 在区间 $ [2,4] $ 上有连续的导数，且 $ f(2) = f(4) = 0 $。证明

$$ \left|\int_{2}^{4}f(x)dx\right|\leqslant\max_{2\leqslant x\leqslant4}\left|f^{\prime}(x)\right|. $$

作业27 定积分的几何应用

1. 求由下列各曲线所围成的平面图形的面积：

(1) $ y = x e^{x} $ 与 $ y = e^{x} $;

(2) $ y=-x^{3}+x^{2}+2x $ 与 y=0

(3) $ r = a (1 + \sin\theta) \quad (a \gt 0) $.

1. 求 a 值，使抛物线 $ y = x^{2} $ 与直线 x = a 及 x = a + 1，y = 0 所围成的平面图形面积最小.

1. 求由下列各曲线所围成的平面图形绕指定的坐标轴旋转所得立体的体积：

(1) $ y=e^{x}-1 $，x= $ \ln3 $ 和 y=0，绕 x 轴；

(2) $ y=x^{2} $，x=2 和 y=0，绕 y 轴.

1. 求摆线 $ x = a(t - \sin t) $, $ y = a(1 - \cos t)(a \gt 0) $ 的一拱 $ 0 \leq t \leq 2\pi $ 与 x 轴所围成的平面图形绕 y = 2a 旋转所得旋转体的体积.

1. 求 $ y = |\ln x| $ 在 $ \frac{1}{e} \leq x \leq e $ 内一段弧的弧长.

1. 试证双扭线 $ r^{2}=2a^{2}\cos2\theta $ (a>0) 的全长可以表示为 $ L=4\sqrt{2}a\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{1-x^{4}}} $

作业28 定积分的物理应用

1. 已知弹簧的弹性恢复力与弹簧的伸长量成正比某弹簧伸长量为 0.5cm 时，弹性恢复力为 1N. 如果把弹簧由原来长度拉伸 6cm，需要做多少功？

1. 设一锥形蓄电池深 15m、口径 20m，盛满了水．今将水全部吸出，需做多少功？

1. 有一半径为 R 的半圆形闸门垂直放置，直边在上且与水面平齐．求闸门的一侧所受的水压力.

1. 求函数 $ y = \sqrt{a^2 - x^2} $ 在 $ [-a, a] $ 上的平均值.

1. 一物体以速度 $ v = 3t^{2} + 2t $ (m/s) 做直线运动。计算它在 t = 0s 到 t = 3s 这段时间内的平均速度。

作业29 广义积分

1. 判断下列广义积分的敛散性，如果收敛，计算它的值：

(1) $ \int_{1}^{+\infty}\frac{1}{e^{x}+e^{2-x}}dx; $

(2) $ \int_{1}^{+\infty}\frac{\arctan x}{x^{2}}dx; $

(3) $ \int_{0}^{+\infty} e^{-ax} \sin x dx \quad (a \gt 0) $;

(4)

$$ \int_{0}^{1}\frac{x\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^{2}}}; $$

(5)

$$ \int_{1}^{2}\frac{x\mathrm{d}x}{\sqrt{x-1}}; $$

(6) $ \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}\frac{\mathrm{d}x}{\cos^{2}x}; $

(7) $ \int_{1}^{e}\frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{1-(\ln x)^{2}}}; $

(8) $ \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}}\frac{dx}{\sqrt{\left|x-x^{2}\right|}} $

1. 当 k 为何值时，广义积分 $ \int_{2}^{+\infty} \frac{dx}{x(\ln x)^{k}} $ 收敛？又当 k 为何值时，该广义积分取得最小值？

1. 利用递推公式计算广义积分 $ I_{n} = \int_{0}^{+\infty} x^{n} e^{-x} \, dx $.

定积分测试题

1. 填空题：

(1) $ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_{0}^{x}\sin(x-t)^{2}\mathrm{d}t= $ ___;

(2) $ \int_{0}^{1}\sqrt{2x-x^{2}}dx= $___；

(3) 由曲线 $ y = xe^{x} $ 与直线 $ y = e^{x} $ 所围成平面图形的面积为 ___；

（4）设 $ f(x) $连续，且 $ f(x)=\frac{1}{1+x^{2}}+\sqrt{1-x^{2}}\int_{0}^{1}f(x)dx $．则 $ f(x)= $___；

(5) $ \int_{0}^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{x^{2}+4x+8}= $ ___.

1. 计算 $ \int_{0}^{2\pi}|\sin x - \cos x|dx $.

1. 计算 $ \int_{1}^{16}\arctan\sqrt{\sqrt{x}-1}dx $.

1. 求在圆 $ r = 2\cos\theta $ 内部，又在心形线 $ r = 2(1 - \cos\theta) $ 外部的面积.

1. 过点 $ (2a,0) $向椭圆 $ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 $作两条切线，求两切线与椭圆围成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积.

1. 设 $ f(x) $ 在 $ [0,1] $ 上可微，且 $ f(1) = 2\int_{0}^{\frac{1}{2}} x f(x) \, dx $. 证明存在 $ \xi \in (0,1) $，使得 $ f(\xi) + \xi f'(\xi) = 0 $.

1. 设 $ f(x) $ 在 $ [0,1] $ 上连续，且单调不增．证明：对于 $ a \in (0,1) $，有

$$ \int_{0}^{a}f(x)\mathrm{d}x\geqslant a\int_{0}^{1}f(x)\mathrm{d}x. $$